2011-2012学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 双曲线x 22−y 22=1的渐近线方程为（ ） A.y ＝±x B.y ＝±√2xC.y ＝±2xD.y ＝±4x2. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 33−S 1=1，则数列{a n }的公差是（ ） A.12 B.1C.2D.33. 空间向量a →=(1, 1, 1)，b →=(0, 1, −1)，则a →，b →的夹角为（ ） A.30∘B.60∘C.90∘D.120∘4. 已知p ：1x <1，q:x >1，则p 是q 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. 命题p:∀x ∈R ，ax 2+ax +1≥0，若p 是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A.(0, 4) B.[0, 4]C.(−∞, 0)∪(4, +∞)D.(−∞, 0]∪[4, +∞)6. 点P(2, t)在不等式组{x −y −4≤0x +y −3≤0表示的平面区域内，则点P(2, t)到原点距离的取值范围是（ ）A.[2, 3]B.[2,2√2]C.[2,3√2]D.[2, 4]7. 已知定点A(−1, 0)，B(1, 0)，P 是动点且直线PA ，PB 的斜率之积为λ，λ≠0，则动点P 的轨迹不可能是（ ） A.圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分8. 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)中，F 1，F 2为其左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与椭圆交于A ，B ，C ，D 四个点，若F 1，F 2，A ，B ，C ，D 恰好为一个正六边形的六个顶点，则椭圆的离心率为（ ） A.√2−1B.√22C.√3−1D.√32二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.抛物线y 2=2x 上横坐标为2的点到其焦点的距离为________．在△ABC 中，a =3，b =5，C =120∘，则c =________，sin A =________．空间向量a →=(2, −1, 0)，b ¯=(1, 0, −1)，n →=(1, y, z)，若n →⊥a →，n →⊥b →，则y +z =________．若直线y =x +t 与抛物线y 2=4x 交于两个不同的点A 、B ，且弦AB 中点的横坐标为3，则t =________．数列{a n }的前n 项和为S n =n 2+n ，n ∈N ∗，则a n =________，数列{ann 2+9}中最大项的值为________．若椭圆C 1:x 2a 12+y 2b 12=1(a 1>b 1>0)和椭圆C 2:x 2a 22+y 2b 22=1(a 2>b 2>0)的离心率相同，且a 1>a 2．给出如下四个结论：①椭圆C 1和椭圆C 2一定没有公共点； ②a 1a 2=b1b 2；③a 12−a 22<b 12−b 22； ④a 1−a 2<b 1−b 2．则所有结论正确的序号是________．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.已知椭圆C ：x 28+y 24=1的左焦点为F 1，直线l:y =x −2与椭圆C 交于A 、B 两点．（1）求线段AB 的长；（2）求△ABF 1的面积．数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 1=1，且2S n =(n +1)a n ，n ∈N ∗． （1） 求{a n }的通项公式和S n ；（2）设b n=a2n，求{b n}的前n项和．四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，其中AD // BC，O为AD中点，PO⊥底面ABCD．又AB=2√2，BC=8，AD=4，PO=4．（1）求直线PA和CD所成角的余弦值；（2）求B−PA−D的平面角的余弦值．椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，直线y=k(x−1)经过椭圆C的一个焦点与其相交于点M，N，且点A(1,32)在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）若线段MN的垂直平分线与x轴相交于点P，问：在x轴上是否存在一个定点Q，使得|PQ||MN|为定值？若存在，求出点Q的坐标和|PQ||MN|的值；若不存在，说明理由．参考答案与试题解析2011-2012学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】 A【考点】双曲线的离心率 【解析】 由x 22−y 22=1，可得x 22−y 22=0，化简可得双曲线的渐近线方程．【解答】 由x 22−y 22=1，可得x 22−y 22=0，即y ＝±x∴ 双曲线x 22−y 22=1的渐近线方程为y ＝±x2. 【答案】 B【考点】等差数列的前n 项和 【解析】由等差数列的性质可得a 1+a 3=2a 2，结合条件化简可得公差的值． 【解答】解：由等差数列的性质可得a 1+a 3=2a 2， 而原条件可化为：a 1+a 2+a 33−a 1=1，代入可得3a 23−a 1=1，即a 2−a 1=1故数列{a n }的公差是1， 故选B 3. 【答案】 C【考点】空间向量的夹角与距离求解公式 【解析】利用向量a →⋅b →=0⇔a →⊥b →即可得出． 【解答】解：∵ a →⋅b →=0+1−1=0，∴ a →⊥b →，∴ a →，b →的夹角为90∘． 故选C ． 4. 【答案】 B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】解分式不等式1x <1，可得x >1或x <0，由集合{x|x >1}，{x|x >1或x <0}的包含关系可得答案． 【解答】解：解分式不等式1x <1，可得x >1或x <0， 因为集合{x|x >1}是集合{x|x >1或x <0}的真子集， 故“x >1或x <0”是“1x <1”的必要不充分条件，故选B 5.【答案】 C【考点】命题的真假判断与应用 【解析】先求出命题p 为真时对应的取值范围，然后利用p 是假命题，求出非p 的范围． 【解答】解：当a =0时，不等式等价为1≥0，所以成立．当a ≠0时，要使不等式ax 2+ax +1≥0恒成立，则有{a >0△≤0，即{a >0a 2−4a ≤0，解得0<a ≤4． 综上0≤a ≤4，即p 为真命题时，p:0≤a ≤4． 因为p 是假命题，所以￢p:a <0或a >4． 即实数a 的取值范围是(−∞, 0)∪(4, +∞)． 故选C ． 6.【答案】 B【考点】二元一次不等式（组）与平面区域 【解析】作出不等式组 {x −y −4≤0x +y −3≤0表示的平面区域与x =2的直线，由图形判断出其上到原点距离的最大最小的点的位置求出其坐标算出最大最小值即可． 【解答】解：先作出不等式组 {x −y −4≤0x +y −3≤0表示的平面区域与x =2的直线，如图由图知点P(2, t)到原点距离最小的点的坐标是A(2, 0) 到原点的距离，最大值为2；点P(2, t)到原点距离最大的点的坐标是B(2, −2)的点到原点的距离，最大值为2√2．故选B ．7. 【答案】 D【考点】 抛物线的定义 【解析】根据题意可分别表示出动点P 与两定点的连线的斜率，根据其之积为常数，求得x 和y 的关系式，对λ的范围进行分类讨论，分别看λ>0，λ<0且λ≠−1和λ=−1时，根据圆锥曲线的标准方程可推断出点P 的轨迹． 【解答】解：已知定点A(−1, 0)，B(1, 0)，设P(x, y) 依题意可知y x+1⋅yx−1=λ，整理得y 2−λx 2=−λ，当λ>0时，方程的轨迹为双曲线．当λ<0时，且λ≠−1方程的轨迹为椭圆． 当λ=−1时，点P 的轨迹为圆∴ 抛物线的标准方程中，x 或y 的指数必有一个是1，故P 点的轨迹一定不可能是抛物线． 故选D ． 8.【答案】 C【考点】 椭圆的定义 【解析】如图，连接AF 2，结合正六边形的性质得∠F 1AF 2=90∘．Rt △AF 1F 2中，|F 1F 2|=2c ，|AF 1|=c ，可得|AF 2|=√3c ，结合椭圆的定义得：|AF 1|+|AF 2|=(1+√3)c =2a ，再结合离心率公式即可算出该椭圆的离心率．【解答】解：如图，连接AF 2，可得等腰△ABF 2中，∠B =120∘ ∴ ∠BAF 2=∠AF 2B =30∘因此∠F 1AF 2=120∘−30∘=90∘Rt △AF 1F 2中，|F 1F 2|=2c ，|AF 1|=c∴ |AF 2|=√3c ，得|AF 1|+|AF 2|=(1+√3)c =2a 因此，椭圆的离心率e =ca =2c2a =2c (1+√3)c=√3−1故选：C二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.【答案】52【考点】 抛物线的求解 【解析】直接利用抛物线的定义，求解即可． 【解答】解：抛物线y 2=2x 上横坐标为2的点到其焦点的距离， 就是这点到抛物线的准线的距离． 抛物线的准线方程为：x =−12，所以抛物线y 2=2x 上横坐标为2的点到其焦点的距离为12+2=52． 故答案为：52．【答案】 7,3√314【考点】 余弦定理 【解析】利用余弦定理，可求c ，利用正弦定理，可求sin A ． 【解答】解：∵ a =3，b =5，C =120∘，∴ c 2=a 2+b 2−2ab cos C =9+25−2⋅3⋅5⋅(−12)=49， ∴ c =7，∵ asin A =csin C ， ∴ sin A =a sin C c=3√314． 故答案为：7，3√314【答案】3【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直 【解析】利用n →⊥a →，n →⊥b →，⇔{n →⋅b →=0˙，解出即可． 【解答】解：∵ n →⊥a →，n →⊥b →，∴ {n →⋅b →=0˙，即{2−y =01−z =0，解得{y =2z =1，∴ y +z =3．故答案为3．【答案】 −1【考点】圆锥曲线的综合问题 【解析】设A(x 1, y 1)，B(x 1, y 2)，线段AB 的中点为M(3, m)．利用“点差法”即可得到m ，代入直线方程即可得到t ． 【解答】解：设A(x 1, y 1)，B(x 1, y 2)，线段AB 的中点为M(3, m)，把A ，B 的坐标代入抛物线方程得y 12=4x 1，y 22=4x 2，两式相减得(y 1+y 2)(y 1−y 2)=4(x 1−x 2)，得2m ×1=4，解得m =2． ∴ 2=3+t ，解得t =−1． 故答案为−1． 【答案】 2n ,13【考点】等差数列的前n 项和 数列的函数特性 等差数列的通项公式【解析】由于a 1=S 1=2；当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n ，可得数列的通项公式为 a n =2n ．数列{a nn 2+9}的通项公式为 2n n 2+9=2n+9n，利用基本不等式求得数列{ann 2+9}中最大项的值．【解答】解：∵ 数列{a n }的前n 项和为S n =n 2+n ，n ∈N ∗，则 a 1=S 1=2；当n ≥2时，a n =S n −S n−1=(n 2+n)−[(n −1)2+(n −1)]=2n ，故数列的通项公式为 a n =2n ．数列{a nn 2+9}的通项公式为 2n n 2+9=2n+9n≤2√9=13，当且仅当n =3时，取等号，故数列{a nn 2+9}中最大项的值为13， 故答案为 2n ，13．【答案】①② 【考点】命题的真假判断与应用 【解析】利用两椭圆有相同的离心率，可知两个椭圆a ，b ，c 之间的关系，进而分别判断各结论是否正确． 【解答】解：因为两椭圆有相同的离心率，所以a 12−b 12a 12=a 22−b 22a 22，①因为a 12−b 12a 12=a 22−b 22a 22，即1−(b 1a 1)2=1−(b2a 2)2，所以b1a 1=b2a 2，即a1a 2=b1b 2成立，因为a 1>a 2，所以b 1>b 2．即椭圆C 1和椭圆C 2一定没有公共点，所以①正确． ②由①知即a 1a 2=b1b 2成立，所以②正确．③因为a 12−b 12a 12=a 22−b 22a 22，且a 1>a 2，所以a 12−b 12>a 22−b 22，即a 12−a 22>b 12−b 22，所以③错误．④由②知a 2=a 1b 2b 1，所以a 1−a 2=a 1−a 1b 2b 1=a 1(b 1−b 2b 1)=a1b 1(b 1−b 2)>b 1−b 2，所以④错误．故所有结论正确的序号是①②．故答案为：①②．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【答案】 解：（1）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)． 因为x 28+y 24=1和y =x −2相交，把两个方程联立，得{x 2+2y 2−8=0y =x −2代入得到x 2+2(x −2)2−8=0，即3x 2−8x =0，解得x 1=0，x 2=83 所以y 1=−2，y 2=23，所以|AB|=√(0−83)2+(−2−23)2=83√2（2）法一：因为点F 1(−2, 0)到直线y =x −2的距离为d =√1+1=2√2所以S △ABF 1=12|AB|⋅d =12⋅8√23⋅2√2=163法二：直线y =x −2通过椭圆的右焦点F 2(2, 0)，则△ABF 2的面积为S △ABF 1=12|F 1F 2|(|y 1|+|y 2|)=12×4×(2+23)=163【考点】直线与椭圆结合的最值问题【解析】（1）把直线方程代入椭圆方程，求得交点坐标，可求线段AB 的长；（2）法一：求出点F 1(−2, 0)到直线y =x −2的距离，可求△ABF 1的面积；法二：直线y =x −2通过椭圆的右焦点，利用S △ABF 1=12|F 1F 2|(|y 1|+|y 2|)，可得结论． 【解答】 解：（1）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)． 因为x 28+y 24=1和y =x −2相交，把两个方程联立，得{x 2+2y 2−8=0y =x −2代入得到x 2+2(x −2)2−8=0，即3x 2−8x =0，解得x 1=0，x 2=83 所以y 1=−2，y 2=23，所以|AB|=√(0−83)2+(−2−23)2=83√2（2）法一：因为点F 1(−2, 0)到直线y =x −2的距离为d =√1+1=2√2所以S △ABF 1=12|AB|⋅d =12⋅8√23⋅2√2=163法二：直线y =x −2通过椭圆的右焦点F 2(2, 0)，则△ABF 2的面积为S △ABF 1=12|F 1F 2|(|y 1|+|y 2|)=12×4×(2+23)=163【答案】 解：（1）∵ 2S n =(n +1)a n ， ∴ n ≥2时，2S n−1=n ⋅a n−1，∴ 两式相减，可得2a n =(n +1)a n −n ⋅a n−1， ∴ a nan−1=nn−1∴ a n =a na n−1⋅a n−1a n−2•…•a 2a 1⋅a 1=n ，∴ S n =n(n+1)2；（2）由（1）知，b n =a 2n =2n ∴ T n =2(1−2n )1−2=2n+1−2【考点】数列的应用 数列的求和【解析】（1）利用数列递推式，在写一式，两式相减，可得数列的通项，从而可求{a n }的通项公式和S n ； （2）利用等比数列的求和公式，即可得到结论． 【解答】 解：（1）∵ 2S n =(n +1)a n ， ∴ n ≥2时，2S n−1=n ⋅a n−1，∴ 两式相减，可得2a n =(n +1)a n −n ⋅a n−1， ∴ a nan−1=nn−1∴ a n =a n a n−1⋅a n−1a n−2•…•a 2a 1⋅a 1=n ，∴ S n =n(n+1)2；（2）由（1）知，b n =a 2n =2n ∴ T n =2(1−2n )1−2=2n+1−2【答案】 解：（1）取BC 中点E ，连接AE ，OE ，则 ∵ AD =4，BC =8， ∴ AE // DC∴ ∠PAE （或其补角）即为直线PA 和CD 所成角 ∵ PO ⊥底面ABCD ， ∴ PO ⊥AO ，PO ⊥OE ∵ 底面ABCD 为等腰梯形， ∴ OE =2，AE =2√2，PE =√20 ∵ PO =4，AO =2∴ PA =√20∴ cos ∠PAE =PA 2+AE 2−PE 22PA⋅AE=2⋅√20⋅2√2=√1010；（2）设B −PA −D 的平面角为α，则∵ 底面ABCD 为等腰梯形，AD =4，BC =8，∴ ∠ABC =45∘，∴ ∠BAD =135∘， 在△BAO 中，AB =2√2，AO =2，∴ BO =√8+4−2⋅2√2⋅2⋅(−√22)=√20∴ PB =√20+16=6在△PAB 中，PB =6，PA =√20，AB =2√2，∴ cos ∠PAB =2⋅2√2⋅√20=−√1010∴ sin ∠PAB =3√1010∴ S △PAB =12⋅√20⋅2√2⋅3√1010=6∵ S △PAD =12⋅4⋅4=8 ∴ cos α=S△PAB S △PAD =68=34．【考点】二面角的平面角及求法异面直线及其所成的角【解析】（1）取BC中点E，连接AE，OE，则∠PAE（或其补角）即为直线PA和CD所成角，利用余弦定理可求；（2）设B−PA−D的平面角为α，利用cosα=S△PABS△PAD可求．【解答】解：（1）取BC中点E，连接AE，OE，则∵AD=4，BC=8，∴AE // DC∴∠PAE（或其补角）即为直线PA和CD所成角∵PO⊥底面ABCD，∴PO⊥AO，PO⊥OE∵底面ABCD为等腰梯形，∴OE=2，AE=2√2，PE=√20∵PO=4，AO=2∴PA=√20∴cos∠PAE=PA2+AE2−PE22PA⋅AE =2⋅√20⋅2√2=√1010；（2）设B−PA−D的平面角为α，则∵底面ABCD为等腰梯形，AD=4，BC=8，∴∠ABC=45∘，∴∠BAD=135∘，在△BAO中，AB=2√2，AO=2，∴BO=√8+4−2⋅2√2⋅2⋅(−√22)=√20∴PB=√20+16=6在△PAB中，PB=6，PA=√20，AB=2√2，∴cos∠PAB=2⋅2√2⋅√20=−√1010∴sin∠PAB=3√1010∴S△PAB=12⋅√20⋅2√2⋅3√1010=6∵S△PAD=12⋅4⋅4=8∴cosα=S△PABS△PAD =68=34．【答案】解：（1）由题意，椭圆的一个焦点为(1, 0)，又∵点A(1,32)在椭圆C上，∴{a2−b2=11a+94b=1∴a2=4，b2=3∴椭圆C的方程为x24+y23=1；（2）存在，直线y=k(x−1)与椭圆方程联立可得(3+4k2)x2−8k2x+4k2−12=0，设M(x1, y1)，N(x2, y2)，则x1+x2=8k23+4k2，x1x2=4k2−123+4k2，∴y1+y2=−6k3+4k2∴MN垂直平分线方程为y−−3k3+4k2=−1k(x−4k23+4k2)令y=0，可得x=k23+4k2∴P(k23+4k2, 0)，设Q(a, 0)，则|PQ|=|k23+4k2−a|∵|MN|=√1+k2⋅|x1−x2|=12(1+k2)3+4k2，∴a=1时，|PQ||MN|=|k2−a(3+4k2)|12(1+k2)=14∴Q(1, 0)．【考点】直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程【解析】（1）确定椭圆的焦点，利用点A(1,32)在椭圆C上，建立方程，求出几何量，即可得到椭圆的方程；（2）直线y=k(x−1)与椭圆方程联立，利用韦达定理，确定MN垂直平分线方程，|MN|，可得P的坐标，从而可得结论．【解答】解：（1）由题意，椭圆的一个焦点为(1, 0)，又∵点A(1,32)在椭圆C上，∴{a2−b2=11a2+94b2=1∴a2=4，b2=3∴椭圆C的方程为x24+y23=1；（2）存在，直线y=k(x−1)与椭圆方程联立可得(3+4k2)x2−8k2x+4k2−12=0，设M(x1, y1)，N(x2, y2)，则x1+x2=8k23+4k2，x1x2=4k2−123+4k2，∴y1+y2=−6k3+4k2∴MN垂直平分线方程为y−−3k3+4k2=−1k(x−4k23+4k2)令y=0，可得x=k 23+4k2∴P(k23+4k2, 0)，设Q(a, 0)，则|PQ|=|k 23+4k2−a|∵|MN|=√1+k2⋅|x1−x2|=12(1+k2)3+4k2，∴a=1时，|PQ||MN|=|k2−a(3+4k2)|12(1+k2)=14∴Q(1, 0)．。
