集合的运算 (二)

集合的运算律公式(二)集合的运算律公式交换律交换律指的是集合的并、交运算，在交换操作的顺序不影响最终结果。

具体公式如下：•并运算交换律：A ∪ B = B ∪ A•交运算交换律：A ∩ B = B ∩ A例如：设集合 A = {1, 2, 3}，集合 B = {3, 4, 5}。

则根据并运算交换律，有A ∪ B = B ∪ A = {1, 2, 3, 4, 5}。

根据交运算交换律，有A ∩ B = B ∩ A = {3}。

结合律结合律指的是集合的并、交运算，在结合操作的顺序不影响最终结果。

具体公式如下：•并运算结合律：(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)•交运算结合律：(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)例如：设集合 A = {1, 2, 3}，集合 B = {3, 4, 5}，集合 C = {1, 3, 5}。

则根据并运算结合律，有(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪C) = {1, 2, 3, 4, 5}。

根据交运算结合律，有(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) = {3}。

分配律分配律指的是集合的并、交运算之间的关系。

具体公式如下：•并运算对交运算的分配律：A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)•交运算对并运算的分配律：A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)例如：设集合 A = {1, 2, 3}，集合 B = {3, 4, 5}，集合 C = {1, 3, 5}。

根据并运算对交运算的分配律，有 A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) = {1, 2, 3, 4, 5}。

根据交运算对并运算的分配律，有A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = {1, 3}。

吸收律吸收律指的是集合的并、交运算与集合的子集之间的关系。

具体公式如下：•并运算对子集的吸收律：A ⊆ (A ∪ B)•交运算对子集的吸收律：(A ∩ B) ⊆ A例如：设集合 A = {1, 2, 3}，集合 B = {3, 4, 5}。

1.1.3《集合的基本运算（2）》导学案【学习目标】1、理解全集与补集的定义，会求给定子集的补集.2、熟练掌握集合的交、并、补综合运算及应用.【重点难点】▲重点：准确利用补集定义求解补集，集合的交、并、补综合运算.▲难点：集合的交、并、补综合运算及应用.【知识链接】1、集合与子集2、集合的交、并运算【学习过程】阅读课本第10页到第11页补集部分的内容，尝试回答以下问题：知识点一 补集问题1、结合全集的定义，你认为全集是固定不变的还是依据具体问题来加以选择的？试举例说明.问题2、全集用什么符号来表示?全集U 中子集A 的补集怎么表示?问题3、结合补集的定义填空(1) U C U =__________； (2)U C ∅=__________； （3）A A C U =__________；(4)A A C U =__________； (5))(A C C U U = __________.问题4、我们是用_______法来表示集合}{9U x x =是小于的正整数的,用_______法来表示集合}{1,2,3,4,5,6,7,8,9U =的.问题5、例9中集合}{U x x =是三角形的元素是什么？三角形可分为哪几类?问题6、你能理解集合U C ()A B 吗？我们是如何来求U C ()A B 的,分几个步骤？知识点二 集合的交、并、补综合运算及应用例1已知集合S={x |1<x ≤7},A={x |2≤x <5},B={x |3≤x <7},求:（1）（A C S ） （B C S ）；（2）)(B A C S ；（3）（A C S ） （B C S ）；（4）)(B A C S .点拨：利用数轴工具规律方法：思考：从本题的结果你可以发现什么规律？例2在开秋季运动会时，某班有28名同学参加比赛，其中有15人参加径赛，有8人参加田赛，有14人参加球类比赛，同时参加田赛和径赛的有3人，同时参加径赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田赛和球类比赛的有多少人？只参加径赛的同学有多少人？分析：问题1、若参加径赛、田赛、球类比赛的同学组成的集合分别为C B A 、、，则本题的叙述可否转化为数学语言？问题2、你能根据题意画出对应的韦恩图吗？规律方法：例3已知集合A={0624|2=++-a ax x x },B={x |x <0},若∅≠B A ,求a 的取值范围. 分析：问题1、由∅≠B A 方程06242=++-a ax x 的根的分布有那几种情况？问题2、分这些情况一一去讨论比较复杂，难于从正面入手，你能从反面入手解决这个问题吗？规律方法：例4、对于集合B A 、，定义B A - ={B x A x x ∉∈且|},B A ⊕ =)()(A B B A -- ,设M ={1,2,3,4,5,6},N ={4,5,6,7,8,9,10},则N M ⊕=________________.规律方法：【基础达标】A1、设}{S x x =是平行四边形或梯形，}{A x x =是平行四边形，}{B x x =是菱形，}{C x x =是矩形，求B C ，S C B ，S C A .A2、已知全集U={x |-2≤x ≤1},A={x |-2<x <1},B={x |022=-+x x },C={x |-2≤x <1},则( )A 、C ⊆AB 、C A C U ⊆ C 、C B C U =D 、B A C U =B3、设集合}{37A x x =≤<，}{210B x x =<<，求R C ()A B ，R C ()A B ， （R C A ）B ，A （R C B ）.B4、已知集合A ={012|2=++b ax x x }和B ={0|2=+-b ax x x }满足}2{)(=B A C U , A },4{)(=B C U R U =,求实数b a ,的值.C5、已知全集U=B A ={x 100|≤≤∈x N },A )(B C U ={1,3,5,7},求集合B .C6、已知全集U ={1,2,3,4,5}, A ={095|2=+-x x x },q A C U A U 及求,⊆.D7、已知全集为R ，集合P ={R x x x y y ∈++=,14|2},Q ={R x x x y y ∈++-=,32|2}求Q P 和)(Q C P R .D8、已知012=++ax x ，022=-+a x x ，0222=++ax x ，若这三个方程至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围.【小结】分类讨论思想、数形结合思想补集的思想、方程的思想【当堂检测】A1、已知全集}{1,2,3,4,5,6,7U =，}{2,4,5A =，}{1,3,5,7B =，求A （U C B ）， （U C A ） （U C B ）.B2、设全集U 和集合P B A ,,满足A =B C U ,B=P C U 则A 与P 的关系是：（ ）A 、P C A U =B 、P A =C 、P A ≠⊃D 、P A ≠⊂ B3、定义集合B A ,的一种运算A ※B ={x |x =B x A x x x ∈∈+2121,，其中},若A ={1,2,3},B ={1,2},则A ※B 中的所有元素数字之和为（ ）A 、9B 、14C 、18D 、21【课后反思】。

1.1.3集合的基本运算（二）一、三维目标：知识与目标：（1）掌握交集与并集的区别，了解全集、补集的意义；（2）正确理解补集的概念，正确理解符号“U C A ”的含义；（3）会求已知全集的补集，并能正确应用它们解决一些具体问题。

过程与方法：通过观察和类比，借助图理解集合补集的含义和集合的基本运算。

情感态度与价值观：体会直观图示对理解抽象概念的作用，培养数形结合的思想。

二、学习重、难点：重点：补集的有关运算及数轴的应用。

难点：对补集概念的理解。

三、学法指导：研读学习目标，了解本章重难点，精读教材，独立完成学案，通过小组学习解决部分疑难问题，再通过课堂各小组展示及质疑对抗，共同提高，完成学习任务。

四、知识链接：1．什么叫子集、真子集、集合相等？符号分别是怎样的？2．什么叫交集、并集？符号语言如何表示？3．已知A ＝{x|x ＋3>0}，B ＝{x|x ≤－3}，则A 、B 与R 有何关系？五、学习过程：思考1． U={全班同学}、A={全班参加足球队的同学}、B={全班没有参加足球队的同学}，则U 、A 、B 有何关系？全集、补集概念及性质1.全集的定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集,记作U ，全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念。

2.补集的定义：对于一个集合A ， ，叫作集合A 相对于全集U 的补集，记作：读作：“A 在U 中的补集”，即{},U C A x x U x A =∈∉且用Venn 图表示：（阴影部分即为A 在全集U 中的补集）讨论：集合A 与U C A 之间有什么关系？→借助Venn 图分析。

,(),U U U U U U A C A A C A U C C A AC U C U ⋂=∅⋃===∅∅=巩固练习①．U={2,3,4}，A={4,3}，B=φ，则U C A = ，U C B = ；②．设U ＝{x|x<8，且x ∈N}，A ＝{x|(x-2)(x-4)(x-5)＝0}，则U C A ＝ ； ③．设U ＝{三角形}，A ＝{锐角三角形}，则U C A ＝ 。

《1.3.2 集合的基本运算》教学设计1．能举例说明全集；对于具体的集合，能写出其补集；并会用符号语言、图形语言表教学重点：全集、补集的含义．教学难点：补集的含义，利用Venn图解决一些与集合运算有关的问题．PPT．一、问题导入问题1：上一节课学习了交集和并集，请你默写定义，并用符号语言和图形语言表示．集合的并集是类比了实数的加法运算，实数也有减法运算，那么集合是否也可以“相减”呢？如集合A＝{1，2，3}，B＝{3}，则集合A“减去”集合B应该是什么呢？请写出你的猜想．师生活动：学生先默写，之后互相检查，再写出猜想，以小组交流，教师适时引导．设计意图：通过回顾并集概念，寻找集合运算与实数运算之间的相似性，为类比引入补集做好铺垫．二、全集1．形成概念问题2：小学到初中，数的研究范围逐步地由自然数到整数，再到有理数，引进无理数后，数的研究范围扩充到实数．思考下面两个集合中元素是否相同？为什么？A＝{x∈Q|(x－1)(x2－2)＝0}；B＝{x∈R|(x－1)(x2－2)＝0}．师生活动：学生独立完成，之后展示交流，教师补充．预设的答案：两个集合中的元素不相同．原因如下：A＝{x∈Q|(x－1)(x2－2)＝0}＝{1}；B＝{x∈R|(x－1)(x2－2)＝0}＝{1，2，－2}．教师讲解：在不同范围研究同一个问题，可能有不同的结果，如上述方程(x－1)(x2－2)＝0的根在不同数集范围下是不同的．因此，在研究问题时，经常要确定研究对象的范围．即：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（universe set），通常记作U．设计意图：利用已有的知识类比学习新知识，学生容易接受，举例说明让学生体会到在研究对象时，确定研究范围的重要性．2．初步理解追问：你能再举出几个全集的例子吗？师生活动：学生举例，展示交流，教师补充．预设的答案：上操站队时，全校学生构成的集合是全集；班主任分配宿舍时，我班所有学生构成的集合就是全集；参加学校运动会按班级报参赛项目时，我班的运动员构成的集合就是全集．设计意图：通过举例，让学生初步理解全集的概念．三、补集3．形成概念问题3：阅读教科书第12、13页，什么是补集？猜想定义．在问题1中，你的猜想正确吗？有哪些值得肯定之处？师生活动：学生阅读课本获得定义，并通过比较发现自己的猜想与教科书中定义的一致之处，以及不同之处．预设的答案：在学生默写的基础上教师修正，给出答案（如图1）．设计意图：阅读获得定义，默写记忆定义，并通过比较，肯定学生猜想中的合理之处，激发学生的兴趣．4．精致定义问题4：学习了集合的三种运算，它们之间有哪些异同，你是如何区别的？师生活动：学生先独立梳理，再展示交流，教师设计表格帮助学生进行整理．预设的答案： 语言 并集 交集 补集自然语言 由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合 由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合 由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 在全集U中的补集记法A ∪B A ∩B AC U 记法读作A 并BA 交B A 在全集U 中的补集符号语言A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B } AC U ＝{x ∈U ，且x ∉A } 图形语言集合关系 A 、B 可以是任意集合A 、B 可以是任意集合 A ⊆U 图1 自然语言 符号语言图形语言 对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U的补集，简称为集合A 的补集，记作A C U （读作“集合A 在全集U 中的补集”）}{A x U x A C U ∉∈=，且设计意图：集合的三种运算（并集、交集、补集）的定义相近，符号语言表示相似，易混淆，通过将三者放在一起对比，异同点一目了然，帮助学生进一步理解概念．四、概念应用问题5：自己独立完成教科书第13页的例5、例6，然后对比教材批改．每一个题目求解的依据是什么？师生活动：学生独立完成，教师巡视观察学生做的情况，有个别问题个别纠正，共性问题教师再针对性讲解．答案略．设计意图：练习补集运算，巩固集合运算．五、运算律问题6：定义了一种运算之后，为简便计算会研究其运算律．回忆一下并集、交集运算律有哪些？通过类比猜想补集运算有哪些运算律？师生活动：学生思考交流，教师给出如下提示：A∪（C U A）＝________，A∩（C U A）＝________，C U（C U A）＝________．（其中U 为全集）预设的答案：A∪（C U A）＝U，A∩（C U A）＝ ，C U（C U A）＝A ．（其中U为全集）设计意图：通过类比并集、交集的运算律，探索发现补集的运算律．六、巩固应用例1 （1）设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，则C U M＝（）A．U B．{1，3，5} C．{3，5，6} D．{2，4，6}（2）设全集U＝R，集合A＝{x|2＜x≤5}，则C U A＝________．（3）设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝（）A．{2} B．{1，2，4}C．{1，2，4，6} D．{x∈R|－1≤x≤5}（4）设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，则C R(A∪B)＝________，(C R A)∩B＝________．师生活动：学生独立完成之后展示交流．预设的答案：（1）C；（2）{x|x≤2，或x＞5}；（3）B；（4）{x|x≤2，或x≥10}，{x|2＜x＜3，或7≤x＜10}解：把全集R和集合A，B在数轴上表示如下：图2由图2知，A∪B＝{x|2＜x＜10}，∴C R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}．∵C R A＝{x|x＜3，或x≥7}，∴(C R A)∩B＝{x|2＜x＜3，或7≤x＜10}．设计意图：巩固集合的基本运算．问题7：本题求解的依据是什么？每个题目中所给集合有什么特点？你获得了什么求解经验？师生活动：学生观察总结，展示交流，师生完善补充．预设的答案：求解的依据是定义．对于用列举法给出的集合，可直接观察或借助于Venn 图写出结果．对于用描述法给出的集合，首先明确集合中的元素，其次将两个集合化为最简形式；对于连续的数集常借助数轴表示结果，此时要注意数轴上方所有“线”下面的实数组成了并集，数轴上方“双线”(即公共部分)下面的实数组成了交集，要注意端点是否在集合中．设计意图：通过应用加深对概念的理解，并提升数学运算素养．例2 设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}，若(C U A)∩B ＝∅，则m＝__________．问题8：本题中两个集合可否化简？集合B化简之后有几种情况？待求解的问题是否可以化简？师生活动：学生根据问题7的引导，对题目进行化简，教师引导学生对集合B要分类讨论写出其化简后的情况．然后再对化简后的问题进行求解就比较容易了．解：A＝{－2，－1}，由(∁U A)∩B＝∅，得B⊆A，∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠∅．∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．①若B＝{－1}，则m＝1；②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B≠{－2}；③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m＝2．经检验知m＝1和m＝2符合条件．∴m＝1或2．设计意图：通过两个集合的运算，转化为两个集合间的关系，利用学生熟悉的一元二次方程根的情况，分类讨论求解，培养学生分析问题的能力，提升数学运算素养．七、归纳总结、布置作业问题9：本节课你有哪些收获？可以从以下几方面思考：（1）两个集合间的基本运算有哪些？（2）求解集合运算问题，你获得了哪些经验？师生活动：相互讨论、概括总结．预设的答案：（1）略；（2）①集合中的元素若是离散的，一般采用什么方法；集合中的元素若是连续的实数，则用什么方法，此时要注意端点的情况．②已知集合的运算结果求参数，要注意检验参数的值是否满足题意，或者是否满足集合中元素的互异性．设计意图：梳理总结，深化理解．布置作业：教科书习题1.3的第4，5，6题．八、目标检测设计1．设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，3，4}，则C U A等于（）A．{1，2，5，6} B．{5，6} C．{2} D．{1，2，3，4}2．如图所示，阴影部分表示的集合是______________，全集是_______________．3．已知集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4}的子集，且C U(A∪B)＝{4}，B＝{1，2}，则A∩C U B等于（）A．{3} B．{4} C．{3，4} D．4．设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(C R S)∪T等于（）A．{x|－2＜x≤1} B．{x|x≤－4}C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}答案：1．B2．{7，9}，U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}或写成{n∈N|1≤n≤10}3．A4．C设计意图：1，2题考查集合的全集集和补集的概念，3，4题考查集合的运算的综合应用．。

集合的基本运算（2）一 选择题1.若集合A={x|﹣2＜x ＜1}，B={x|0＜x ＜2}，则集合A ∩B=（ ）A ． {x|﹣1＜x ＜1}B ． {x|﹣2＜x ＜1}C ． {x|﹣2＜x ＜2}D ． {x|0＜x ＜1}2.已知集合M={1，2，3}，N={2，3，4}，则（ ）A ． M ⊆NB ． N ⊆MC ． M∩N={2，3}D ． M ∪N={1，4}3.已知集合M={y|y=x 2}，N={y|x=y 2}，则M∩N=（ ）A ． {（0，0），（1，1）}B ． {0，1}C ． {y|y≥0}D ． {y|0≤y≤1}4.下列关系Q∩R=R∩Q；Z ∪N=N ；Q ∪R=R ∪Q ；Q∩N=N 中，正确的个数是（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 45.设集合A={3，5，6，8}，集合B={4，5，7，8}，则A∩B 等于（ ）A ． {3，4，5，6，7，8}B ． {3，6}C ． {4，7}D ． {5，8}6.集合A={0，2，a}，B={1，a2}，若A ∪B={0，1，2，4，16}，则a 的值为（ ）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 47.已知集合P={x ∈N|1≤x≤10}，集合Q={x ∈R|x 2+x ﹣6=0}，则P∩Q 等于（ ）A ． {2}B ． {1，2}C ． {2，3}D ． {1，2，3}8.若集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x ＞2}，则A∩B 等于（ ）A ． {x|2＜x≤3}B ． {x|x≥1}C ． {x|2≤x＜3}D ． {x|x ＞2}9.设集合S={x||x ﹣2|＞3}，T={x|a ＜x ＜a+8}，S ∪T=R ，则a 的取值范围是（ ）A ． ﹣3＜a ＜﹣1B ． ﹣3≤a≤﹣1C ． a ≤﹣3或a≥﹣1D ． a ＜﹣3或a ＞﹣110. 设全集U 是实数集R ，M={x||x ≥2，或x ≤-2}，N= {x|1＜x ＜3}，则图中阴影部分所表 示的集合是( ) A. {x|-2＜x ＜1} B. {x|-2＜x ＜2} C. {x|1＜x ＜2} D. {x|x ＜2}二 填空题1.已知集合A={x|x≥2}，B={x|x≥m}，且A∪B=A，则实数m 的取值范围是2.已知集合A={1，2，3，}，B={2，m ，4}，A∩B={2，3}，则m=3.满足条件{1，3}∪B={1，3，5}的所有集合B 的个数是4.若集合A={x|x≤2}、B={x|x≥a}满足A∩B={2}，则实数a=5.设集合U={1,2,3,4}，M={1,2,3}，N={2,3,4}，则C U (M ∩N)= _____________6.已知集合A={(x,y)|y=3x+2}，B={x|y=x-4}，则A ∩B=________________7.设A={x|x ＜2}，B={x|x ≤m}，且A ∪B=A ，则实数m 的取值范围是8.设(){},46A x y y x ==-+， (){},53B x y y x ==-，求A ∩B=9.设{}12A x x =-<<，{}13B x x =≤≤，求A ∪B= ；A ∩B=10.设U ＝{x|x<13，且x ∈N }，A ＝{8的正约数}，B ＝{12的正约数}，则U C A = U C B = 三 解答题1.已知A={x|x 2+ax+b=0}，B={x|x 2+cx+15=0}，A∪B={3，5}，A∩B={3}，求实数a ，b ，c 的值2.已知集合A={x|x ﹣2＞3}，B={x|2x ﹣3＞3x ﹣a}，求A∪B3.设集合A={（x ，y ）|2x+y=1，x ，y ∈R}，B={（x ，y ）|a 2x+2y=a ，x ，y ∈R}，若A∩B=∅，求a 的值4.若集合S={3，a 2}，T={x|0＜x+a ＜3，x ∈Z}，且S ∩T={1}，P=S ∪T ，求集合P 的所有子集5.设A={x|x 2+4x=0}，B={x|x 2+2（a+1）x+a 2-1=0}，若A ∩B=B ，求a 的值6.设U=R ，A ＝{x|－1<x<2}，B ＝{x|1<x<3}，求A ∩B 、A ∪B 、U C A 、U C B7.已知全集I={小于10的正整数}，其子集A 、B 满足()(){1,9}I I C A C B =，(){4,6,8}I C A B =，{2}A B =. 求集合A 、B8.已知集合A ＝{1，3，5}，B ＝{1，2，x2－1}，若A ∪B ＝{1，2，3，5}，求x 及A∩B。