立体几何2

立体几何（Ⅱ）——角与距离一、知识网络二、高考考点1.异面直线所成的角；异面直线间的距离.其中，异面直线所成的角是重点，也是难点。

2.直线和平面所成的角；直线与平面的距离.其中，在计算题中，直线和平面所成的角或距离问题为高考命题热点，它不但所占比例大，而且几乎年年有，次次出。

3.二面角、以二面角为载体引出的平行、垂直以及其它的角和距离问题。

三、知识要点1.异面直线所成的角异面直线间的距离（见专题26）2.直线和平面所成的角（1）斜线在平面内的射影（Ⅰ）有关概念：①过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面内的射影；这点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段。

②一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直时，这条直线叫做这个平面的斜线；斜线和平面的交点叫做斜足；从平面外一点向平面引斜线，这点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段。

③从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面内的射影。

（Ⅱ）定理：从平面外一点向平面所引的垂线段和斜线段中①射影等长斜线段等长；②射影较长斜线段较长；③斜线段长大于垂线段。

（2）直线和平面所成的角（Ⅰ）定义与命题①定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

特例：若直线与平面垂直，则说直线和平面所成的角是直角；若直线与平面平行或在平面内，则说直线与平面所成角是0°的角。

认知：设斜线l与平面所成角为θ，则θ∈（0°，90°）；设直线l与平面所成角为θ，则θ∈[0°，90°]。

②命题（最小角定理）：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角。

（3）三垂线定理及其逆定理三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。

bbgxxbj高二选必一数学人教B版章节第一章空间向量与立体几何1.2空间向量在立体几何中的应用1.2.4二面角第1课时二面角及其度量一、单选题（本大题共6小题，共30分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知平面内有一个以AB为直径的圆，，点C在圆周上异于点A，，点D，E分别是点A在PC，PB上的射影，则 ( )A. 是二面角的平面角B. 是二面角的平面角C. 是二面角的平面角D. 是二面角的平面角2.如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是 ( )A. 相等B. 互补C. 相等或互补D. 不能确定3.已知和均为边长为a的等边三角形，且，则二面角的大小为 ( )A. B. C. D.4.如图所示，点P是二面角棱上的一点，分别在，平面内引射线PM，PN，若，，则二面角的大小为 ( )A. B. C. D.5.正方形ABCD所在平面外有一点P，平面ABCD，若，则平面PBC与平面ABCD的夹角为 ( )A. B. C. D.6.如图，在正方体ABCD中，棱长为1，过AB作平面交棱，分别为E，若平面与底面ABCD所成的角为，则截面ABEF的面积为 ( )A. B. C. D.二、填空题（本大题共3小题，共15分）7.若P是所在平面外一点，且和都是边长为2的正三角形，，则二面角的大小为__________.8.四边形ABCD是边长为2的正方形，MA和PB都与平面ABCD垂直，且，则平面PMD 与平面ABCD所成角的余弦值为__________.9.在正方体中，截面与底面ABCD所成的二面角的正切值为__________.三、解答题（本大题共1小题，共12分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）10.本小题12分已知在三棱锥中，平面ABC，，求二面角的余弦值.答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查二面角，线面垂直的判定，属于中档题；根据题意做出图形，证明平面PAC继而证明平面PBC，所以有平面ADE即可得结果．【解答】解：因为，，所以，因为AB为圆的直径，所以，，所以平面PAC，所以，因为D为A在PC上的射影，所以，又，所以平面PBC，所以，又，，所以平面ADE，所以是二面角的平面角 .故选2.【答案】C【解析】【分析】本题考查二面角的概念，属于基础题.根据二面角的概念可知，当这两个二面角的两个面均同向或均异向时，它们相等；当这两个二面角的两个面中，一组同向，另一组异向时，它们互补，即可求解.【解答】解：当这两个二面角的两个面均同向或均异向时，它们相等；当这两个二面角的两个面中，一组同向，另一组异向时，它们互补．故选3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了二面角的大小计算，属于基础题.取BC的中点E，连结EA，ED，得到，，得到二面角的平面角，利用等边三角形的性质计算即可.【解答】解：如图，取BC的中点E，连接､，根据等边三角形的性质得，，即为所求，又，，所以是等边三角形，则故选4.【答案】D【解析】【分析】本题考查的知识点是二面角及其度量，属于基础题，我们要根据二面角的定义，在两个平面的交线上取一点Q，然后向两个平面引垂线，构造出二面角的平面角，然后根据平面几何的性质，求出含二面角的平面角的三角形中相关的边长，解三角形即可得到答案．【解答】解：过AB上一点Q分别在，内做AB的垂线，交PM，PN于M点和N点，则即为二面角的平面角，如下图所示：设，，，，又由，易得为等边三角形，则，解三角形QMN易得，故答案为5.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查线面垂直的判定及性质，利用空间向量求二面角，属于中档题.以A点为原点，建立空间直角坐标系，不妨设，写出各点的坐标，由线面垂直的判定及性质得到为平面PAB的法向量，过A作，可证明平面PCD，故为平面PCD的法向量，利用〈，〉可得平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小．【解答】解：由题意可以A点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，，，平面ABCD，平面ABCD，，又，，面PAB，平面PAB，为平面PAB的法向量，即，过A作，，则E为PD中点，由题意，，，PA，面PAD，面PAD，面PAD，，，PD，面PCD，则平面PCD，故为平面PCD的法向量，且，，平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小为故答案选6.【答案】D【解析】【分析】本题考查二面角与空间几何体的截面问题，为基础题.【解答】解：由图可知，平面与底面ABCD所成的角等同于，可得，且截面ABEF为矩形，可得截面面积为7.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了二面角及其度量，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．取BC的中点D，连接PD、AD，根据二面角的平面角的定义可知为二面角的平面角，在三角形PDA中求出此角即可．【解答】解：取BC的中点D，连接PD、AD，、均为正三角形，，，为二面角的平面角．又，，故答案为8.【答案】或【解析】【分析】本题考查二面角的求法，解题时要认真审题，注意面积法的合理运用.考虑在平面ABCD同侧或异侧，结合，能求出【解答】解：设平面PMD与平面ABCD所成角的大小为，在平面ABCD上的射影为，易得当在平面ABCD同侧时，如图所示：，，当在平面ABCD异侧时，如图所示：，，，，所以平面PMD与平面ABCD所成角的余弦值为或故答案为或9.【答案】【解析】【分析】本题考查了二面角的求法，考查了转化思想，属于基础题．连接AC交BD于点O，连接，根据条件可知为所求的角，再求出即可．【解答】解：如图所示，连接AC交BD于点O，连接，则，，为二面角的平面角，设，则，所以10.【答案】方法一：如图，过点B作于点E，则E为AC的中点，过点E作于点F，连接因为平面ABC，平面PAC，所以平面平面又因为，平面ABC，平面平面，所以平面由三垂线定理有，所以是二面角的平面角.设，由E是AC的中点，得，，所以，所以方法二：利用射影面积公式如图，过点B作于点E，连接因为平面ABC，平面PAC，所以平面平面ABC，又因为，平面ABC，平面平面，所以平面PAC，所以是在平面PAC上的射影.设，则，，所以在中，AB边上的高，所以又设二面角的大小为，由射影面积公式有【解析】本题考查二面角的求解，为一般题.。

第八章立体几何第二节空间几何体的表面积与体积A级·基础过关|固根基|1.如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为()A．312B．34C．612D．64解析：选A易知三棱锥B1－ABC1的体积等于三棱锥A－B1BC1的体积，又三棱锥A－B1BC1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312.2．(2020届大同调研)某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为()A．11πB．14π3C．28π3D．16π解析：选C由三视图可知，该几何体的直观图为三棱锥，记为三棱锥A－BCD，将该三棱锥放在长方体中，如图所示，其中AB⊥平面BCD，AB＝2，△BCD为边长为2的正三角形．设O 1为正△BCD 的中心，O 为三棱锥A －BCD 外接球的球心，R 为外接球的半径．连接OO 1，OB ，O 1B ，则OO 1⊥平面BCD ，OO 1＝1，BO 1＝23×2×32＝233，则OB 2＝R 2＝12＋2332＝73，所以该几何体外接球的表面积S ＝4πR 2＝4π×73＝28π3，故选C ．3.如图是一个实心金属几何体的直观图，它的中间是高l 为6124的圆柱，上、下两端均是半径r 为2的半球，若将该实心金属几何体在熔炉中高温熔化(不考虑过程中的原料损失)，熔成一个实心球，该球的直径为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C 实心金属几何体的体积V ＝43πr 3＋πr 2l ＝43π×8＋π×4×6124＝1256π.设实心球的半径为R ，由体积相等得43πR 3＝1256π，所以R ＝52，所以该球的直径为2R ＝5.4.如图，圆柱的底面半径为1，平面ABCD 为圆柱的轴截面，从A 点开始，沿着圆柱的侧面拉一条绳子到C 点，若绳子的最短长度为3π，则该圆柱的侧面积为( )A ．42π2B ．22π2C ．52π2D ．4π2解析：选A 沿AD 将圆柱的侧面展开，绳子的最短长度即侧面展开图中A ，C 两点间的距离，连接AC ，所以AC ＝3π，展开后AB 的长度为π.设圆柱的高为h ，则AC 2＝AB 2＋h 2，即9π2＝π2＋h 2，解得h ＝22π，所以圆柱的侧面积为2×π×1×22π＝42π2.5．(2020届贵阳摸底)某几何体的三视图如图所示，则它的体积为()A．23B．43C．13D．16解析：选A根据三视图可知，该几何体为三棱锥，记为A－BCD，放在正方体中如图所示，则该几何体的体积V＝13·S△BCD×2＝13×12×2×1×2＝23.故选A．6．(2019届合肥市二检)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图由两个半圆和两条线段组成，则该几何体的表面积为()A．17π＋12 B．12π＋12C．20π＋12 D．16π＋12解析：选C由三视图知，该几何体是一个由大半圆柱挖去一个小半圆柱得到的，两个半圆柱的底面半径分别为1和3，高均为3，所以该几何体的表面积为12×2π×3×3＋12×2π×1×3＋2×⎝⎛⎭⎪⎫12π×32－12π×12＋2×2×3＝20π＋12，故选C．7．(2019届福州市质检)如图，以棱长为1的正方体的顶点A为球心，以2为半径作一个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为()A．3π4B．2πC．3π2D．9π4解析：选C正方体的表面被该球面所截得的弧长是相等的三部分，如图，上底面被球面截得的弧长是以A1为圆心，1为半径的圆周长的14，所以所有弧长之和为3×2π4＝3π2.故选C．8．(2019届洛阳市第二次联考)已知正三角形ABC的三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面圆面积的最小值是()A．7π4B．2πC．9π4D．3π解析：选C设正三角形ABC的中心为O1，连接OO1，OA，O1A，由题意得O1O⊥平面ABC，O1O＝1，OA＝2，∴在Rt△O1OA中，O1A＝OA2－O1O2＝3，∴AB＝3.∵E为AB的中点，∴AE＝3 2.连接OE，则OE⊥AB．过点E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的面积最小，此时截面圆的半径r ＝32，可得截面圆面积的最小值为πr 2＝9π4，故选C ．9．(2019届南昌市二模)已知圆锥的侧面展开图为四分之三个圆面，设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，有以下结论：①l ∶r ＝4∶3；②圆锥的侧面积与底面面积之比为4∶3；③圆锥的轴截面是锐角三角形．其中所有正确结论的序号是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③解析：选A 设圆锥的母线长l ＝1.因为圆锥的侧面展开图为四分之三个圆面，所以圆锥的侧面积为34π.又圆锥的底面半径为r ，所以由2πr ＝34×2π，得r ＝34，所以l r ＝43，故①正确；圆锥的侧面积与底面积之比为34ππ·⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝43，故②正确；设圆锥的轴截面三角形的顶角为θ，因为圆锥的底面直径为2×34＝32，所以cos θ＝12＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫3222×1×1＝－18，所以角θ为钝角，所以圆锥的轴截面是钝角三角形，故③错误．故选A ．10．(2019届惠州模拟)已知三棱锥S －ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，AB ＝2，SA ＝SB ＝SC ＝2，则三棱锥S －ABC 的外接球的球心到平面ABC 的距离是( )A ．33B ．1C ． 3D ．332解析：选A ∵三棱锥S －ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，SA ＝SB ＝SC ＝2，∴S 在底面ABC 内的射影为AB 的中点．设AB 的中点为H ，连接SH，CH，∴SH⊥平面ABC，∴SH上任意一点到A，B，C的距离相等，易知SH＝3，CH＝1，∴在Rt△SHC中，∠HSC＝30°.在面SHC内作SC的垂直平分线MO，交SH于点O，交SC于点M，则O为三棱锥S－ABC的外接球的球心．∵SC＝2，∴SM＝1.又∠OSM＝30°，∴SO＝233，OH＝33，∴球心O到平面ABC的距离为33，故选A．11．如图，在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC＝2CD＝2AD＝2，若将该直角梯形绕BC边旋转一周，则所得的几何体的表面积为________．解析：根据题意可知，所得几何体的上半部分为圆锥(底面半径为1，高为1)，下半部分为圆柱(底面半径为1，高为1)，如图所示，则所得几何体的表面积为圆锥侧面积、圆柱的侧面积以及圆柱的下底面面积之和，即表面积为π×1×12＋12＋2π×1×1＋π×12＝(2＋3)π.答案：(2＋3)π12．(2020届贵阳摸底)在四面体ABCD中，若AB＝CD＝5，AC＝BD＝6，AD＝BC＝3，则四面体ABCD的外接球的表面积为________．解析：如图所示，将四面体补形为长方体，则四面体的四个顶点均为长方体的顶点，四面体的外接球即长方体的外接球．设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则⎩⎪⎨⎪⎧a2＋b2＝9，a2＋c2＝6，b2＋c2＝5，三个等式相加得2(a2＋b2＋c2)＝20⇒a2＋b2＋c2＝10，设该四面体外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2＝10，即R＝102，所以该四面体外接球的表面积为4πR2＝4π×104＝10π.答案：10πB级·素养提升|练能力|13.(2019届合肥市二检)我国古代名著《张丘建算经》中记载：“今有方锥，下广二丈，高三丈．欲斩末为方亭，令上方六尺．问：斩高几何？”大致意思是：有一个正四棱锥下底边长为二丈，高三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台，且正四棱台的上底边长为六尺，则截去的正四棱锥的高是多少．如果我们把求截去的正四棱锥的高改为求剩下的正四棱台的体积，则该正四棱台的体积是(注：1丈＝10尺)()A．1 946立方尺B．3 892立方尺C．7 784立方尺D．11 676立方尺解析：选B解法一：如图，记正四棱台为A1B1C1D1－ABCD．该正四棱台由正四棱锥S－ABCD截得，O为正方形ABCD的中心，E为BC的中点，E1为B1C1的中点．设正四棱台的高为x，则由图中△SO1E1∽△SOE，得SO1SO＝O1E1OE，即30－x30＝310，解得x＝21，所以该正四棱台的体积V＝13×(62＋6×20＋202)×21＝3 892(立方尺)，故选B．解法二：如解法一中图，记正四棱台为A1B1C1D1－ABCD．该正四棱台由正四棱锥S－ABCD截得，O为正方形ABCD的中心，E为BC的中点，E1为B1C1的中点．设截去的正四棱锥的高为x，则由图中△SO1E1∽△SOE，得SO1SO ＝O1E1OE，即x 30＝310，解得x＝9，所以该正四棱台的体积V＝V正四棱锥S－ABCD－V正四棱锥S－A1B1C1D1＝13×202×30－13×62×9＝3 892(立方尺)，故选B．14．(2019届郑州市第二次质量预测)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝DD1＝1，AB＝3，E，F，G分别是棱AB，BC，CC1的中点，P是底面ABCD 内一动点，若直线D1P与平面EFG没有公共点，则△PBB1面积的最小值为()A．32B．1C．34D．12解析：选C记△PBB1的面积为S.因为P在底面ABCD上，所以PB⊥BB1，即△PBB1为直角三角形．又BB1＝DD1＝1，所以S＝12×BB1×PB＝12PB，所以当线段PB的长最小时，S取得最小值．因为D1P与平面EFG无公共点，所以D1P∥平面EFG.如图①，连接AD1，D1C，AC，易证GF∥AD1，EF∥AC，又GF∩EF ＝F，AD1∩AC＝A，所以平面AD1C∥平面EFG，所以D1P⊂平面AD1C，又点P 是底面ABCD内一动点，所以点P一定在线段AC上运动．如图②，当PB⊥AC时，线段PB的长最小，此时PB＝AB·BCAC＝32，故S min＝12×32＝34，故选C．15．在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是()A．4πB．9π2C．6πD．32π3解析：选B由题意可得，若V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若与三个侧面都相切，可求得球的半径为2，球的直径为4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球可与上下底面相切，此时半径R＝32，故该球的体积最大，V max＝43πR3＝4π3×278＝9π2.16．(2020届惠州调研)在三棱锥A－BCD中，底面BCD是直角三角形且BC⊥CD，斜边BD上的高为1，三棱锥A－BCD的外接球的直径是AB，若该外接球的表面积为16π，则三棱锥A－BCD体积的最大值为________．解析：如图，过点C作CH⊥BD于H.由外接球的表面积为16π，可得外接球的半径为2，则AB＝4.因为AB为外接球的直径，所以∠BDA＝90°，∠BCA ＝90°，即BD⊥AD，BC⊥CA，又BC⊥CD，CA∩CD＝C，所以BC⊥平面ACD，所以BC⊥AD，又BC∩BD＝B，所以AD⊥平面BCD，AD⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCD，又平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CH⊥平面ABD．设AD＝x(0＜x＜4)，则BD＝16－x2.在△BCD中，BD边上的高CH＝1，所以V三棱锥A－BCD＝V三棱锥C－ABD＝13×12×x×16－x2×1＝16－x4＋16x2，当x2＝8时，V三棱锥A－BCD有最大值，故三棱锥A－BCD体积的最大值为4 3.答案：4 3。

立体几何（2）一、基础训练1. 一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是_________2. 已知点E ，F ，G ，H 分别为空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且直线EF ⋂直线GH=P ，那么P 在直线___________上. (填以A ，B ，C ，D 为起点和终点的直线)3. 在正方形1111D C B A ABCD -中，对角线D B 1与对角线AC 所成的角的大小为_______.4. 若直线a ∥直线b ，直线b ∥平面α，则a 与α的位置关系是_____________.5. 正三棱锥底面三角形的边长为3，侧棱长为2，则其体积为____________ 6．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．①若m ⊂α，m ⊥β，则α⊥β； ②若m ⊂α，α∩β＝n ，α⊥β，则m ⊥n ； ③若m ⊂α，n ⊂β，α∥β，则m ∥n ； ④若m ∥α，m ⊂β，α∩β＝n ，则m ∥n ． 上述命题中为真命题的是___________（填写所有真命题的序号）．二、例题1. 已知四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABC ，,M N 分别是,AB PC 的中点． （1）求证：MN AB ⊥；（2）若PA AD =，求证：MN ⊥平面PCD ．2．已知：正方体1111ABCD-A B C D ，边长为1，E 为棱1CC 的中点． （1）求证：AE BD ⊥；（2）求二面角E-AD-C 的正切值A BC DD 1C 1B 1A 1 3．如图，在棱长均为4的三棱柱111ABC ABC -中，D 、1D 分别是BC 和11B C 的中点． （1）求证：11A D ∥平面1AB D ；（2）若平面ABC ⊥平面11BCC B ，160O B BC ∠=，求三棱锥 1B ABC -的体积．4. 直四棱柱1111A B C D A B C D -中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，222AB AD CD ===．11=BB（1）求证：AC ⊥平面BB 1C 1C ；（2）在A 1B 1上是否存一点P ，使得DP 与平面BCB 1与平面ACB 1都平行？证明你的结论．三、作业1. 已知P 为ABC ∆所在平面外一点，点O 为点P 在平面ABC 上的射影，若PA ，PB ，PC 与底面成等角，则O 是ABC ∆的________心.2. 三个平面两两垂直，它们的交线交于一点O ，若点P 到三个平面的距离分别为3,4,5，则OP 的长为________.3. 已知直线m 、n 及平面α，其中m ∥n ，那么在平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集。

立体几何22作业（文科）知识回顾一、旋转体和多面体 1．旋转体的形成几何体 旋转图形 旋转轴 圆柱 矩形 任一边所在的直线 圆锥 直角三角形 任一直角边所在的直线 圆台 直角梯形 垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线2.多面体的结构特征3．直观图(1)画法：常用斜二测画法． (2)规则：①在已知图形中建立直角坐标系xOy ，画直观图时，它们分别对应x ′轴和y ′轴，两轴交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，它们确定的平面表示水平平面；②已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ′轴和y ′轴的线段； ③已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的12.4．三视图(1)三视图的画法规则：主、俯视图长对正，主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等，前后对应． (2)画简单组合体的三视图应注意的两个问题：①首先，确定主视、俯视、左视的方向，同一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同．②其次，简单组合体是由哪几个基本几何体组成的，并注意它们的组成方式，特别是它们的交线位置．典例1、如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是 ( )二、空间图形的基本关系与公理 1．空间图形的公理(1)公理1：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)． (2)公理2：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(即直线在平面内)．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．(4)公理4：平行于同一条直线的两条直线平行． 2．空间中两直线的位置关系(1)空间中两直线的位置关系⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧相交直线平行直线异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：过空间任意一点P 分别引两条异面直线a ，b 的平行线l 1，l 2(a ∥l 1，b ∥l 2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a ，b 所成的角．②范围：⎝⎛⎦⎤0，π2. (3)定理(等角定理)空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)空间中直线与平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点直线a在平面α内aα有无数个公共点直线在平面外直线a与平面α平行a∥α没有公共点直线a与平面α斜交a∩α＝A有且只有一个公共点直线a与平面α垂直a⊥α(2)空间中两个平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点两平面平行α∥β没有公共点两平面相交斜交α∩β＝l有一条公共直线垂直α⊥β且α∩β＝a典例2、如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是()A B C D三、线面平行1．线面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)∵l∥a，aα，lα，∴l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)∵l∥α，lβ，α∩β＝b，∴l∥b2.面面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，aα，bα，∴α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b 1111①AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1；③AD1∥DC1；④AD1∥平面BDC1.四、线面垂直1．直线与平面垂直(1)定义：如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．(2)定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫aαbαl⊥al⊥ba∩b＝A⇒l⊥α性质定理如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行⎭⎬⎫a⊥αb⊥α⇒ a∥b2.二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角．这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．(2)二面角的度量——二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．平面角是直角的二面角叫作直二面角．3．平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直⎭⎬⎫l⊥αlβ⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⎭⎬⎫α⊥βlβα∩β＝al⊥a⇒l⊥αA．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l ，那么l ⊥γ 五、空间几何体的表面积与体积 1．多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式 S 圆柱侧＝2πrlS 圆锥侧＝πrlS 圆台侧＝π(r 1＋r 2)l三者关系S 圆柱侧＝2πrl ――→r ′＝r S 圆台侧＝π(r ＋r ′)l ――→r ′＝0S 圆锥侧＝πrl名称几何体表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S 表面积＝S 侧＋S 底 V ＝13Sh台体(棱台和圆台)S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h球S ＝4πR 2V ＝43πR 31．正四面体的表面积与体积棱长为a 的正四面体，其表面积为3a 2，体积为212a 3. 2．几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ， ①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ； ②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ；③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1，棱长为a 的正四面体，其内切球半径R 内＝612a ，外接球半径R 外＝64a . 典例5、如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．强化训练一、单选题1．正四棱台的上､下底面边长分别为1cm,3cm 2cm ，则棱台的侧面积为（ ） A ．24cmB ．28cmC ．243cmD ．23cm2．设a ，b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，给出下列命题： ①若,,a b a b αβ⊥⊂⊂，则αβ⊥ ②若,,a b αβαβ⊂⊂∥，则a b ∥ ③若,,a b αβαβ⊂⊥∥，则a b ⊥ ④若,,a b a b αβ⊥⊥∥，则αβ∥ 其中为真命题的是（ ） A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④3．正方体1111ABCD A B C D -中，点M 在棱1DD 上，过点C 作平面1BMC 的平行平面α，记平面α与平面11BCC B 的交线为l ，则1A C 与l 所成角的大小为（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 4．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，若E ，F ，G 分别是棱AD ，1C C ，11B C 的中点，则下列结论中正确的是（ ） A ．BE ⊥平面DFGB ．1//A E 平面DFGC ．//CE 平面DFGD ．平面1//A EB 平面DFG5．以下结论中错误的是（ ） A ．经过不共面的四点的球有且仅有一个 B ．平行六面体的每个面都是平行四边形 C ．正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直D ．棱台的每条侧棱均与上下底面不垂直6．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为（ ） A ．4π B ．2π C ．23π D ．π7．如图是一个长方体的展开图，如果将它还原为长方体，那么线段AB 与线段CD 所在的直线（ ）A ．平行B ．相交C ．是异面直线D ．可能相交，也可能是异面直线8．如图为一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ）A ．13B ．23C ．12D ．439．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．210．“圆柱容球”是指圆柱形容器里放了一个球，且球与圆柱的侧面及上、下底面均相切，则该圆柱的体积与球的体积之比为（ ） A ．2 B ．32C ．3D ．π3二、填空题11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的外接球的表面积为________．12．已知圆锥的顶点为P ，母线PA ，PB 所成角的余弦值为34，PA 与圆锥底面所成角为60°，若PAB △的面积为7，则该圆锥的体积为______.13．某圆柱的侧面展开图是面积为8的正方形，则该圆柱一个底面的面积为___________. 14．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是侧面11BB C C 内的一个动点，则三棱锥1D AED -的体积为_________.三、解答题15．如图，在三棱锥P ABC -中，底面ABC 是直角三角形，2AC BC ==，PB PC =，D 为AB 的中点．(1)证明：BC PD ⊥；(2)若3PA =，5PB =，求点A 到平面PDC 的距离．16．如图1，菱形ABCD 中，60A ∠=︒，4AB =，DE AB ⊥于E ，将AED 沿DE 翻折到A ED '，使A E BE '⊥，如图2．(1)求三棱锥C A BD -'的体积；(2)在线段A D '上是否存在一点F ，使EF ∥平面A BC '？若存在，求DFFA '的值；若不存在，说明理由．17．如图，在三棱锥P -ABC 中，底面ABC 是直角三角形，AC =BC =2，PB =PC ，D 为AB 的中点.(1)证明：BC⊥PD；(2)若AC⊥PB，PA=3，求直线PA与平面PBC所成的角的正弦值.。

第一章 立体几何初步特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，'h 为斜高，l 为母线）ch S =直棱柱侧面积'21ch S =正棱锥侧面积 ')(2121h c c S +=正棱台侧面积 rh S π2=圆柱侧 ()l r r S +=π2圆柱表rl S π=圆锥侧面积 ()l r r S +=π圆锥表 lR r S π)(+=圆台侧面积 ()22R Rl rl r S +++=π圆台表柱体、锥体、台体的体积公式 V Sh =柱13V Sh =锥'1()3V S S h =台 2V Sh r h π==圆柱h r V 231π=圆锥 '2211()()33V S S h r rR R h π=+=++圆台 （4）球体的表面积和体积公式：V 球=343R π ； S 球面=24R π第二章 直线与平面的位置关系2.11 2 三个公理：（1符号表示为A ∈LB ∈L => l α⊂ A ∈αB ∈α（2符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。

公理（3公理 L A · α C · B · A · α2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。

2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.4 注意点：① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ；④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

（1）确定平面的条件：①不公线的三点；②直线和直线外一点；③相交直线；（2）直线与直线的位置关系：相交；平行；异面；直线与平面的位置关系：在平面内；平行；相交（垂直是它的特殊情况）；平面与平面的位置关系：相交；；平行；（3）等角定理：如果两个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等；如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；（4）射影定理（斜线长、射影长定理）：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，射影相等的两条斜线段相等；射影较长的斜线段也较长；反之，斜线段相等的射影相等；斜线段较长的射影也较长；垂线段比任何一条斜线段都短。

（5）最小角定理：斜线与平面内所有直线所成的角中最小的是与它在平面内射影所成的角。

（6）异面直线的判定：①反证法；②过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不过该点的直线是异面直线。

（7）过已知点与一条直线垂直的直线都在过这点与这条直线垂直平面内。

（8）如果—直线平行于两个相交平面，那么这条直线平行于两个平面的交线。

（9）如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面。

三、唯一性定理：（1）过已知点，有且只能作一直线和已知平面垂直。

（2）过已知平面外一点，有且只能作一平面和已知平面平行。

（3）过两条异面直线中的一条能且只能作一平面与另一条平行。

四、空间角的求法：（所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题，尤其是直角三角形）（1）异面直线所成的角：通过直线的平移，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所oαo 注意：若异面直线中一条直线是三角形的一边，则平移时可找三角形的中位线。

有的还可以通过补形，如：将三棱柱补成四棱柱；将正方体再加上三个同样的正方体，补成一个底面是正方形的长方体。

（2）线面所成的角：①线面平行或直线在平面内：线面所成的角为o0；②线面垂直：线90；面所成的角为o③斜线与平面所成的角：o o α即也就是斜线与它在平面内的射影所成的角。

[课堂练通考点]1．(2013·济南模拟)一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为( )A.203 B.403 C ．20D ．40解析：选B 该空间几何体是一个四棱锥，其直观图如图所示．其体积为13×12(1＋4)×4×4＝403.2．(2014·临沂模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．6B ．8C ．10D ．12解析：选D 该几何体是一个长方体在左边挖去一个三棱柱再拼接到右边而得到的，它的体积就是长方体的体积，体积为V ＝(2.4＋0.6)×2×(1＋1)＝12.3．(2014·湖北八校联考)已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为V 1，直径为4的球的体积为V 2，则V 1∶V 2＝________.解析：由三视图知，该几何体为圆柱内挖去一个底面相同的圆锥，因此V 1＝8π－8π3＝16π3，V 2＝4π3×23＝32π3，V 1∶V 2＝1∶2.答案：1∶24.已知三棱锥O -ABC 中，∠BOC ＝90°，OA ⊥平面BOC ，其中AB ＝AC ＝7，BC ＝11，O ，A ，B ，C 四点均在球S 的表面上，则球S 的表面积为________．解析：易知以O 点为顶点的三条棱两两垂直，则球S 即为以O 为顶点，以OA ，OB ，OC 为棱的长方体的外接球，所以2R ＝OA 2＋OB 2＋OC 2＝12×2(OA 2＋OB 2＋OC 2)＝522(R 为球S 的半径)，所以R ＝524，表面积S ＝4πR 2＝25π2. 答案：25π25．(2013·郑州模拟)已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，SA ＝23，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°，求球O 的表面积．解：取SC 的中点E ，连接AE ，BE ，依题意，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60°＝3，∴AC 2＝AB 2＋BC 2，即AB ⊥BC .又SA ⊥平面ABC ，∴SA ⊥BC ，又SA ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面SAB ，BC ⊥SB ，AE ＝12SC ＝BE ，∴点E 是三棱锥S -ABC 的外接球的球心，即点E 与点O重合，OA ＝12SC ＝12SA 2＋AC 2＝2，球O 的表面积为4π×OA 2＝16π.[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的全面积为( ) A ．48(3＋3) B ．48(3＋23) C ．24(6＋2) D ．144解析：选A S 底＝6×34×42＝243，S 侧＝6×4×6＝144，∴S 全＝S 侧＋2S 底＝144＋483＝48(3＋3)．2．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A ．7B ．6C ．5D ．3解析：选A 设圆台较小底面半径为r ， 则另一底面半径为3r .由S ＝π(r ＋3r )·3＝84π，解得r ＝7.3．(2013·深圳调研)如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积、体积分别是( )A ．32π，128π3B ．16π，32π3C ．12π，16π3D ．8π，16π3解析：选C 根据三视图可知，该几何体是一个半球，且半径为2，故其表面积S ＝12(4×π×22)＋π×22＝12π，体积V ＝12⎝⎛⎭⎫43×π×23＝16π3. 4.(2014·南昌第一次模拟)已知正三角形ABC 三个顶点都在半径为2的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为1，点E 是线段AB 的中点，过点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值是( )A.7π4 B ．2π C.9π4D ．3π解析：选C 由题意知，正三角形ABC 的外接圆半径为22－12＝3，则AB ＝3，过点E 的截面面积最小时，截面是以AB 为直径的圆，截面面积S ＝π×⎝⎛⎭⎫322＝9π4，选C.5．(2013·洛阳统考)如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．64＋32πB ．64＋64πC ．256＋64πD ．256＋128π解析：选C 依题意，该几何体是一个正四棱柱及一个圆柱的组合体，其中正四棱柱的底面边长是8、侧棱长是4，圆柱的底面半径是4、高是4，因此所求几何体的体积等于π×42×4＋82×4＝256＋64π，选C.6．某几何体的三视图如图所示，则其体积为________．解析：易知原几何体是底面圆半径为1，高为2的圆锥体的一半，故所求体积为V ＝12×13×(π×12)×2＝π3.答案：π37．(2014·杭州模拟)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于________cm 3.解析：根据三视图，几何体是一个三棱柱削去一个三棱锥，体积V ＝12×3×4×5－13×12×4×3×3＝24 cm 3.答案：248.(创新题)如图，在三棱锥D -ABC 中，已知BC ⊥AD ，BC ＝2，AD ＝6，AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝10，则三棱锥D -ABC 的体积的最大值是________．解析：由题意知，线段AB ＋BD 与线段AC ＋CD 的长度是定值，因为棱AD 与棱BC 相互垂直．设d 为AD 到BC 的距离． 则V D －ABC ＝AD ·BC ×d ×12×13＝2d ，当d最大时，V D－ABC体积最大，∵AB＋BD＝AC＋CD＝10，∴当AB＝BD＝AC＝CD＝5时，d有最大值42－1＝15.此时V＝215.答案：2159．一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为3、宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的表面积S.解：(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为3，所以V＝1×1×3＝ 3.(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形．S＝2×(1×1＋1×3＋1×2)＝6＋2 3.10．(2014·徐州质检)如图，在直三棱柱ABC -A1B1C1中，AB＝AC＝5，BB1＝BC＝6，D，E分别是AA1和B1C的中点．(1)求证：DE∥平面ABC；(2)求三棱锥E -BCD的体积．解：(1)证明：如图，取BC的中点G，连接AG，EG，因为E是B1C的中点，所以EG∥BB 1，且EG ＝12BB 1.由题意知，AA1綊BB 1.而D 是AA 1的中点，所以EG 綊AD . 所以四边形EGAD 是平行四边形． 所以ED ∥AG .又DE ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ， 所以DE ∥平面ABC .(2)因为AD ∥BB 1，所以AD ∥平面BCE . 所以V E -BCD ＝V D -BCE ＝V A -BCE ＝V E -ABC . 由(1)知，DE ∥平面ABC ，所以V E -BCD ＝V E -ABC ＝V D -ABC ＝13AD ·12BC ·AG ＝16×3×6×4＝12. 第Ⅱ组：重点选做题1．(2013·昆明调研)如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边长均为1，则该几何体的表面积为( )A ．1＋ 2B ．2＋2 2 C.13 D ．2＋ 2解析：选D 依题意得，题中的几何体是底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱锥P -ABCD (如图)，其中底面边长为1，PD ＝1，PD ⊥平面ABCD ，S △P AD ＝S △PCD ＝12×1×1＝12，S △P AB ＝S △PBC ＝12×1×2＝22，S 四边形ABCD ＝12＝1，因此该几何体的表面积为2＋2，选D.2．(2014·绍兴模拟)已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD 是边长为2的正方形，则这个正四面体的体积为________．解析：由题意知BD 为实长，即正四面体的边长为22，所以S ＝34·(22)2＝23，h＝(22)2－⎝⎛⎭⎫2632＝433，故V ＝13·S ·h ＝13×23×433＝83.答案：83。

名师辅导 立体几何 第2课 空间两条直线（含答案解析）●考试目标 主词填空1.空间两条直线有三种位置关系 相交直线——有且仅有一个公共点.平行直线——同在一个平面内，没有公共点.异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点. 2.平行直线定义：同一平面内两条不相交的直线称为平行直线. 公理4：平行同一条直线的两条直线互相平行. 3.异面直线)定义：“不同在任何一个平面内的两条直线为异面直线”. 异面直线的判定定理：“过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线”.这是判定空间两直线是异面直线的理论依据. ●题型示例 点津归纳【例1】 如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是A 1C 1与A 1B 上的点，且A 1E =A 1F .求证：EF ∥AD 1.【解前点津】 判定两条直线平行，首先考虑把两直线放在同一 平面内，利用平面图形的性质实施证明，若图形中这样的平面不好找， 可以考虑实施转化，利用平行公理(或后继将要学习的直线与平面平行 的性质定理、向量知识等)实施证明.—【规范解答】 证明：连结BC 1、AD 1，因为ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体，所以A 1C 1=A 1B .在△A 1BC 1中， ∵A 1C 1=A 1B ,A 1E =A 1F ,∴BA FA C A E A 11111 ,∴EF ∥BC 1. 又∵D 1C 1平行且等于AB ，∴四边形ABC 1D 1是平行四边形， ∴BC 1∥AD 1,∴EF ∥AD 1.【例2】 如图所示，长方体A 1B 1C 1D 1-ABCD 中，∠ABA 1=45°,∠A 1AD 1=60°,求异面直线A 1B 与AD 1所成的角的度数.【解前点津】 求两条异面直线所成的角的步骤如下： ①用平移法作出异面直线所成的角；）②说明作出的角就是要求的角； ③计算(解三角形)； ④结论.【规范解答】 如图所示，连结BC 1、A 1C 1， ∵A 1B 1C 1D 1-ABCD 是长方体，∴AB 平行且等于D 1C 1，即ABC 1D 1是平行四边形， ∴AD 1平行且等于BC 1，∴∠A 1BC 1(或它的补角)是异面直线A 1B 与AD 1所成的角. 设AA 1=a ,∵∠ABA 1=45°,∠A 1AD 1=60°例1题图例2题图∴在△AA 1D 1与△A 1AB 中，AB =AA 1=a ,A 1B =2a ,AD 1=BC 1=2a ,A 1D 1=3a ,\∴A 1C 1=211211B A D A +=2a ,在△A 1BC 1中，由余弦定理知，cos ∠A 1BC 1=1121121212BC B A C A BC B A ⋅-+=42.∴∠A 1BC 1=arcos42,所以异面直线A 1B 与AD 1所成的角是arccos 42. 【解后归纳】 学完空间向量之后，我们还可以利用向量的夹角公式求异面直线所成的角.【例3】 如图所示，求证分别与两条异面直线都相交，且交点为不同的四个点的两条直线是异面直线.已知：a 、b 异面，AB 交a 、b 于A 、B ，CD 交a 、b 于 C 、D ，A 、B 、C 、D 四点不同.求证：AB 与CD 是异面直线.^【解前点津】 此题条件不具备异面直线的判定定理所需条件，而当结论的反面即AB 、CD 共面时，易得AC 、BD共面.即a 、b 共面，与已知矛盾.故用反证法证明较易.【规范解答】 假设AB 与CD 不是异面直线，则AB 与CD 共面，设此平面为α, 所以，A 、B 、C 、D 都在α内， 所以直线AC ⊂平面α,BD ⊂平面α,所以AC 与BD 共面，即a 与b 共面，这与a 、b 为异面直线相矛盾. 所以AB 与CD 是异面直线.【解后归纳】 证明两条直线是异面直线除利用定义、定理外，还常常使用反证法，要掌握好.【例4】 直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中AB =AC =AA 1=d ,D 是AB 的中点,若C 1D =211d ,求异面直线AB 与A 1C 1所成的角.《【规范解答】 如图，连结CD ,∵AC ∥A 1C 1,∴∠BAC 或其补角就是异面直线AB 与A 1C 1所成的角, 在Rt △C 1CD 中,∠C 1CD =90°,∴CD 2=C 1D 2-CC 12=247d 在△ADC 中,AD =21AB =2d,AC =dcos ∠CAD =21224742222222-=⋅⨯-+=⋅-+dd d d d AC AD CD AC AD .∴∠CAD =120°,∴异面直线AB 与A 1C 1所成的角为60°.例3题图例4题图【解后归纳】 此题也可运用异面直线上两点间的距离公式θcos 2222mn n m d EF ±++=,求出cos θ,其中EF ,d ,m ,n 就是题中的C 1D ,AA 1,A 1C 1,AD ,而θ就是∠CAD .,●对应训练 分阶提升 一、基础夯实1.“a 、b 为异面直线”是指①a ∩b =,且a ∥＼ b ;②a ⊂面α,b ⊂面β且a ∩b =;③a ⊂面α,b ⊂面β,且a ∩β=;④a ⊂平面α,b ⊂平面α;⑤不存在面α,使a ⊂面α且b ⊂面α成立,上述结论中，正确的是 ( )A.①④⑤都正确B.①③④都正确C.仅②④正确D.仅①⑤正确 2.无论怎样选择平面，两条异面直线在该平面内的射影不可能是 ( ) A.两条平行直线 B.两条相交直线 C.一条直线和直线外一点 D.两个点 3.相交直线a 、b 的夹角为50°，则过交点与a 、b 都成60°角的直线的条数为 ( ).2 C4.正方体的对角线与正方体的棱组成的异面直线共有 ( ) 对 对 对 对\5.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1所有各面的对角线中与AB 1成60°角且与AB 1异面的直线的条数为( ).2 C6.空间四边形两条对角线互相垂直，则顺次连结各边中点的四边形是 ( ) A.空间四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形7.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则异面直线CM 与D 1N 所成的角的正弦值为 ( )A.91B.32C.594D. 592.8.如图所示，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA ＝90°，点D 1、E 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，则BD 1与AE 1所成角的余弦值是 ( )A.1015 B.1530 C.21 D.10309.在四面体ABCD 中，AB ＝８，CD ＝６，M 、N 分别是BC 、AD 的中点，且MN ＝５，则AB!第7题图 第8题图与CD 所成角是 ( )° ° ° °10.空间四点A 、B 、C 、D ，每两点的连线长都等于a ，动点P 在线段AB 上，动点Q 在线段CD 上，则点P 与Q 的最小距离为 ( )B.a 23 C.a 22D. a 21 二、思维激活11.正方体六个面内的所有对角线互成60°角的共有 对．12.在三棱锥S —ABC 中，AB ＝6cm ，AC ＝4cm ，∠BAC =60°，M 、N 分别是△SAB 和△SAC 的重心，则MN ＝ .13.在正四面体ABCD 中,E 、F 分别是AB ,CD 的中点,则EF 与AC 所成角的大小为 .14.在四面体ABCD 中，棱长均相等，E 是AD 的中点，则AB 和CE 所成角的余弦值为 . 三、能力提高（15.如图所示，在三棱锥D —ABC 中,DA ⊥平面ABC ,∠ACB =90°,∠ABD =30°,AC =BC ,求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值.16.已知a 、b 是异面直线，A 、B ∈a 且AB =m ，C ∈b .》(1)当线段AB 在直线a 上移动时，C 为定点，证明△ABC 面积不变.(2)当C 点在直线b 上移动，问点C 在何位置时，△ABC 的面积最小.17.如图所示，已知P 为△ABC 所在平面外的一点，E 为PA 的中点，F 为PC 的中点，BE ⊥AC ，PC ⊥AC .。

立体几何专题2 计算部分3、（2010全国卷2理数）（9）已知正四棱锥S ABCD -中，SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（A ）1 （B（C ）2 （D ）3 【答案】C【命题意图】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.【解析】设底面边长为a ，则高所以体积，设，则，当y 取最值时，，解得a=0或a=4时，体积最大，此时，故选C.（2010辽宁文数）（11）已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，BC =O 的表面积等于（A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）π解析：选A.由已知，球O 的直径为22R SC ==，∴表面积为244.R ππ=8、（2010全国卷2文数）（8）已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA =3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为（A ）(C)4 (D) 34【解析】D ：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。

过A 作AE 垂直于BC 交BC 于E ，连结SE ，过A 作AF 垂直于SE 交SE 于F ，连BF ，∵正三角形ABC ，∴ E 为BC 中点，∵ BC ⊥AE ，SA ⊥BC ，∴ BC ⊥面SAE ，∴ BC ⊥AF ，AF ⊥SE ，∴ AF ⊥面SBC ，∵∠ABCSEFABC DA 1B 1C 1D1OABF 为直线AB 与面SBC 所成角，由正三角形边长3，∴AE =AS=3，∴ SE=AF=32，∴3sin 4ABF ∠=（2010全国卷1文数）（12）已知在半径为2的球面上有A 、B、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为(A)3(B)3 (C) 312.B 【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析】过CD 作平面PCD ，使AB ⊥平面PCD,交AB 与P,设点P 到CD 的距离为h ,则有ABCD 11222323V h h =⨯⨯⨯⨯=四面体,当直径通过AB 与CD 的中点时,max h =故max V =24、（2010全国卷1文数）（9）正方体ABCD -1111A B C D 中，1BB 与平面1ACD 所成角的余弦值为 （A ）（B（C ）23（D9.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D 到平面AC 1D 的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.【解析1】因为BB 1//DD 1,所以B 1B 与平面AC 1D 所成角和DD 1与平面AC 1D 所成角相等,设DO ⊥平面AC 1D ，由等体积法得11D ACD D ACD V V --=,即111133ACD ACD S DO S DD∆∆⋅=⋅.设DD 1=a,则122111sin 60)2222ACD S AC AD a ∆==⨯⨯= ,21122ACD S AD CD a ∆== .所以1313A C D A C D S D D D O a S ∆∆==,记DD 1与平面AC 1D 所成角为θ,则1sin DO DD θ==所以cos 3θ=. 【解析2】设上下底面的中心分别为1,O O ；1O O 与平面AC 1D 所成角就是B 1B 与平面AC 1D所成角，1111cos 3O O O OD OD ∠===25、（2010全国卷1文数）(6)直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线 1BA 与1AC 所成的角等于(A)30° (B)45°(C)60° (D)90°6.C 【命题意图】本小题主要考查直三棱柱111ABC A B C -的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法.【解析】延长CA 到D ，使得AD AC =，则11ADA C 为平行四边形，1DA B ∠就是异面直线1BA 与1AC 所成的角，又三角形1A DB 为等边三角形，0160DA B ∴∠=26、（2010全国卷1理数）（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为（2013年高考大纲卷（文））已知正四棱锥1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于（ ）A ．23B ．3C ．3D ．13【答案】A（2013年高考辽宁卷（文））已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,若34AB AC ==，,AB AC ⊥,112AA =,则球O 的半径为（ ）A ．2B ．C ．132D ．【答案】C（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知正四棱锥O-ABCD 的体积为,底面边长为,则以O 为球心,OA 为半径的球的表面积为________.【答案】24π（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知H 是球O 的直径AB 上一点,:1:2AH HB =,AB ⊥平面α,H 为垂足,α截球O 所得截面的面积为π,则球O 的表面积为_______.【答案】92π; （2013年高考大纲卷（文））已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆,其公共弦长等于球O 的半径,3602OK O K = ，且圆与圆所在的平面所成角为，则球O 的表面积等于______.【答案】16π（2013年高考天津卷（文））已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为92π, 则正方体的棱长为 ______.。

立体几何公理2的三个推论
一、几何证明
1、欧几里得（Euclid）形式的正确性：公理，推论和定理连接起来，形成整体的论证。

2、不完备的证明：如果在某一修订中拥有恰当的公理但又不被推论和定理检视，就会有不完备的情况发生，证明可能就会失去其真正的价值和有效的可用性。

3、反证法：反证法是一种建立在两种相反猜想上的方法，当第一种猜想最终证明是可行的时候，第二种猜想也必定正确。

二、分型演绎本质
1、确定明确的假设：定义一个问题时，首先要确定明确的假设，把它们一一列出，以便下一步的分析和推论。

2、尝试陈述：解决几何问题的一般步骤，首先要빁操尝试陈述，尝试把问题陈述得更加具体和明确。

3、证明分型演绎：当一个问题把假设和结论分开比较，一般可以利用分型演绎的原理来证明结论是正确的。

三、立体几何原理
1、平面相切两线原理：如果两条平面互相切交，那么它们最多只有两条交线。

2、共面三角形原理：如果两线在一个平面内交于一点，那么它们的终端点必须为共面的三角形。

3、角等分原理：如果一条线从一定角度经过一个顶点，必然会将这个顶点的角等分为两个相等的角。