高考数人教A课后作业：2-4 定积分与微积分基本定理(理)

1-定积分与微积分基本定理(理)含答案版本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March定积分与微积分基本定理(理)基础巩固强化1.求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d yD ．S ＝⎠⎛01(y－y )d y[答案] B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数．[解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .2．如图，阴影部分面积等于( )A ．2 3B ．2－3[答案]C[解析] 图中阴影部分面积为S ＝⎠⎛-31(3－x 2－2x )d x ＝(3x －13x 3－x 2)|1－3＝323. 4－x 2d x ＝( ) A ．4π B ．2π C ．π[答案] C[解析] 令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S ＝14×π×22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( )A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．在t 1时刻，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面 [答案] A[解析] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t 0，t 1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v (t )的图象与t 轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t 0时刻，v甲的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积大于v乙的图象与t 轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积，因此，在t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C，D错误；同样，在t1时刻，v甲的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积，仍然大于v乙的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积，所以，可以断定：在t1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．向平面区域Ω＝{(x，y)|－π4≤x≤π4，0≤y≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y＝cos2x下方的概率是()－1[答案]D[解析]平面区域Ω是矩形区域，其面积是π2，在这个区6．的值是()A．0C．2D．－2 [答案]D[解析]2(cos sin)2x xππ---＝2(cos sin)2x xππ---＝－2.7．⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝________.[答案] 3[解析] ∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 0≤x ≤13－x 1<x ≤2，∴⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝⎠⎛01(1＋x )d x ＋⎠⎛12(3－x )d x＝(x ＋12x 2)|10＋(3x －12x 2)|21＝32＋32＝3. 9．已知a ＝20(sin cos )x x dx π+⎰，则二项式(a x －1x)6的展开式中含x 2项的系数是________．[答案] －192[解析] 由已知得a ＝20(sin cos )x x dx π+⎰＝(－cos x ＋sin x )|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是T r ＋1＝(－1)r ×C r 6×26－r ×x 3－r，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C 16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．[解析] 设直线与抛物线的两个交点分别为A (a ，a 2)，B (b ，b 2)，不妨设a <b ，则直线AB 的方程为y －a 2＝b 2－a2b －a(x －a )，即y ＝(a ＋b )x －ab .则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎛ab [(a ＋b )x －ab －x 2]d x ＝(a ＋b 2x 2－abx －x 33)|ba ＝16(b －a )3，∴16(b －a )3＝43，解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P (x ，y )，其中⎩⎨⎧x ＝a ＋b 2，y ＝a 2＋b22.将b －a ＝2代入得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋1，y ＝a 2＋2a ＋2. 消去a 得y ＝x 2＋1.∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x 2＋1.能力拓展提升11.等比数列{a n }中，a 3＝6，前三项和S 3＝⎠⎛034x d x ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12 D ．－1或－12[答案] C[解析] 因为S 3＝⎠⎛034x d x ＝2x 2|30＝18，所以6q ＋6q 2＋6＝18，化简得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，故选C.12．已知(x ln x )′＝ln x ＋1，则⎠⎛1e ln x d x ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1[答案]A[解析] 由(x ln x )′＝ln x ＋1，联想到(x ln x －x )′＝(ln x ＋1)－1＝ln x ，于是⎠⎛1e ln x d x ＝(x ln x －x )|e 1＝(e ln e －e )－(1×ln1－1)＝1.13．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．[答案] 18[解析] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝4－x ，解得两交点A (2,2)、B (8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y 22、x ＝4－y ，∴S ＝⎠⎛-42 [(4－y )－y 22]dy ＝(4y －y 22－y36)|2－4＝18.14.已知函数f (x )＝e x －1，直线l 1：x ＝1，l 2：y ＝e t －1(t 为常数，且0≤t ≤1)．直线l 1，l 2与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S 2表示．直线l 2，y 轴与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S 1表示．当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案] (e －1)2[解析] 由题意得S 1＋S 2＝⎠⎛0t (e t －1－e x ＋1)d x ＋⎠⎛t1(e x －1－e t ＋1)d x ＝⎠⎛0t (e t －e x )d x ＋⎠⎛t1(e x －e t )d x ＝(xe t －e x )|t 0＋(e x －xe t )|1t ＝(2t －3)et＋e ＋1，令g (t )＝(2t －3)e t ＋e ＋1(0≤t ≤1)，则g ′(t )＝2e t ＋(2t －3)e t ＝(2t －1)e t，令g ′(t )＝0，得t ＝12，∴当t ∈[0，12)时，g ′(t )<0，g (t )是减函数，当t ∈(12，1]时，g ′(t )>0，g (t )是增函数，因此g (t )的最小值为g (12)＝e ＋1－2e 12＝(e －1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2.15．求下列定积分．(1)⎠⎛1－1|x |d x; (2)⎠⎛0πcos 2x2d x ；(3)∫e ＋121x －1d x . [解析] (1)⎠⎛1－1|x |d x ＝2⎠⎛01x d x ＝2×12x 2|10＝1.(2)⎠⎛0πcos 2x 2d x ＝⎠⎛0π1＋cos x 2d x ＝12x |π0＋12sin x |π0＝π2. (3)∫e ＋121x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝1. 16．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，求a 的值．[解析] f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0， ∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)． ∴S 阴影＝⎠⎛a0[0－(－x 3＋ax 2)]d x＝(14x 4－13ax 3)|0a ＝112a 4＝112， ∵a <0，∴a＝－1.1．已知函数f (x )＝sin 5x ＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求22()f x dx ππ-⎰的值，结果是( )＋π2 B ．π C ．1 D ．0 [答案] B[解析] 22()f x dx ππ-⎰＝22ππ-⎰sin 5x d x ＋22ππ-⎰1d x ，由于函数y ＝sin 5x 是奇函数，所以22ππ-⎰sin 5x d x ＝0，而22ππ-⎰1d x ＝x |π2－π2＝π，故选B.2．若函数f (x )＝⎩⎨⎧－x －1 －1≤x <0，cos x 0≤x <π2，的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a ，则a 的值为( )C ．1[答案] D[解析] 由图可知a ＝12＋⎠⎜⎜⎛0π2cos x d x ＝12＋sin x |π20＝32.3．对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b的运算原理如图所示，则2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝________.[答案] 22[解析] ∵⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝2>2，∴2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝2⊗2＝2－12＝22.4．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．[答案] 33[解析] ⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝(ax 33＋cx )|10＝a 3＋c ，故a 3＋c ＝ax 2＋c ，即ax 20＝a 3，又a ≠0，所以x 20＝13，又0≤x 0≤1，所以x 0＝33.故填33.5．设n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ，则(x －2x )n展开式中含x 2项的系数是________．[答案] 40[解析] ∵(x 3－2x )′＝3x 2－2， ∴n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ＝(x 3－2x )|21＝(23－2×2)－(1－2)＝5.∴(x －2x )5的通项公式为T r ＋1＝C r 5x 5－r(－2x)r＝(－2)r C r 5x5－3r 2，令5－3r2＝2，得r ＝2， ∴x 2项的系数是(－2)2C 25＝40.。

3-4 定积分与微积分基本定理理12022·宁夏银川一中月考求曲线＝2与＝所围成图形的面积，其中正确的是A．S＝错误!2－d B．S＝错误!－2dC．S＝错误!2－d D．S＝错误!－错误!d[答案] B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数．[解析]两函数图象的交点坐标是0,0，1,1，故积分上限是1，下限是0，由于在 [0,1]上，≥2，故函数＝2与＝所围成图形的面积S＝错误!－2d2．2022·辽宁锦州模拟如图，阴影部分面积等于A．2错误! B．2－错误![答案] C[解析]图中阴影部分面积为3．2022·山东烟台模拟错误!错误!d＝A．4π B．2πC．π[答案] C[解析]令＝错误!，则2＋2＝4≥0，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S＝错误!×π×22＝π4．已知函数＝2与＝>0的图象所围成的封闭区域的面积为错误!，则等于A．2 B．1 C．3 D．4[答案] C[解析]由错误!消去得2－＝0，所以＝0或＝，则所求区域的面积为错误!－2d＝错误!2－错误!3|错误!＝错误!即错误!3－错误!3＝错误!，解得＝5．2022·汕头模拟设f＝错误!，则错误!f d等于D．不存在[答案] C[解析]错误!f d＝错误!2d＋错误!2－d6．A．0 C．2 D．－2[答案] D[解析]7．2022·惠州模拟错误!2－|1－|d＝________[答案] 3[解析]∵＝错误!2f6a4a 4c错误!，∴错误!⊗错误!ind＝错误!⊗2＝错误!＝错误!。

定积分与微积分基本定理(理)基础巩固强化1.求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d yD ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y[答案] B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .2．如图，阴影部分面积等于()A ．2 3B ．2－ 3 C.323 D.353[答案] C[解析] 图中阴影部分面积为S ＝⎠⎛-31(3－x 2－2x )d x ＝(3x －13x 3－x 2)|1－3＝323. 3.⎠⎛024－x 2d x ＝( )A ．4πB ．2πC ．π D.π2[答案] C [解析] 令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S ＝14×π×22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( )A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．在t 1时刻，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面 [答案] A[解析] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t 0，t 1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v (t )的图象与t 轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t 0时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t 0围成区域的面积大于v 乙的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t 0围成区域的面积，因此，在t 0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C ，D 错误；同样，在t 1时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝t 1围成区域的面积，仍然大于v 乙的图象与t 轴和t ＝t 1围成区域的面积，所以，可以断定：在t 1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．向平面区域Ω＝{(x ，y )|－π4≤x ≤π4，0≤y ≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos2x 下方的概率是( )A.π4B.12C.π2－1 D.2π[答案] D[解析] 平面区域Ω是矩形区域，其面积是π2，在这个区6．的值是( )A ．0 B.π4 C ．2 D ．－2 [答案] D[解析] 2(cos sin )2x x ππ---＝2(cos sin )2x x ππ---＝－2. 7．⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝________.[答案] 3 [解析]∵y ＝⎩⎨⎧1＋x 0≤x ≤13－x 1<x ≤2，∴⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝⎠⎛01(1＋x )d x ＋⎠⎛12(3－x )d x＝(x ＋12x 2)|10＋(3x －12x 2)|21＝32＋32＝3. 9．已知a ＝20(sin cos )x x dx π+⎰，则二项式(a x －1x)6的展开式中含x 2项的系数是________．[答案] －192[解析] 由已知得a ＝20(sin cos )x x dx π+⎰＝(－cos x ＋sin x )|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是T r ＋1＝(－1)r ×C r 6×26－r×x 3－r ，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C 16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．[解析] 设直线与抛物线的两个交点分别为A (a ，a 2)，B (b ，b 2)，不妨设a <b ，则直线AB 的方程为y －a 2＝b 2－a2b －a(x －a )，即y ＝(a ＋b )x －ab .则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎛ab [(a ＋b )x －ab －x 2]d x＝(a ＋b 2x 2－abx －x 33)|b a ＝16(b －a )3，∴16(b －a )3＝43，解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P (x ，y )， 其中⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b 2，y ＝a 2＋b 22.将b －a ＝2代入得⎩⎨⎧x ＝a ＋1，y ＝a 2＋2a ＋2.消去a 得y ＝x 2＋1.∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x 2＋1.能力拓展提升11.等比数列{a n }中，a 3＝6，前三项和S 3＝⎠⎛034x d x ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12 D ．－1或－12[答案] C [解析] 因为S 3＝⎠⎛34x d x ＝2x 2|30＝18，所以6q ＋6q2＋6＝18，化简得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，故选C.12．已知(x ln x )′＝ln x ＋1，则⎠⎛1e ln x d x ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1 [答案] A[解析] 由(x ln x )′＝ln x ＋1，联想到(x ln x －x )′＝(ln x ＋1)－1＝ln x ，于是⎠⎛1e ln x d x ＝(x ln x －x )|e 1＝(e ln e －e )－(1×ln1－1)＝1.13．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．[答案] 18 [解析]由方程组⎩⎨⎧y 2＝2x ，y ＝4－x ，解得两交点A (2,2)、B (8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y 22、x ＝4－y ，∴S ＝⎠⎛-42 [(4－y )－y 22]dy ＝(4y －y 22－y 36)|2－4＝18.14.已知函数f (x )＝e x －1，直线l 1：x ＝1，l 2：y ＝e t －1(t 为常数，且0≤t ≤1)．直线l 1，l 2与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S 2表示．直线l 2，y 轴与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S 1表示．当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案] (e －1)2[解析] 由题意得S 1＋S 2＝⎠⎛0t (e t －1－e x ＋1)d x ＋⎠⎛t1(e x －1－e t ＋1)d x ＝⎠⎛0t (e t －e x )d x ＋⎠⎛t1(e x －e t )d x ＝(xe t －e x )|t 0＋(e x －xe t )|1t ＝(2t －3)e t ＋e＋1，令g (t )＝(2t －3)e t ＋e ＋1(0≤t ≤1)，则g ′(t )＝2e t ＋(2t －3)e t ＝(2t －1)e t ，令g ′(t )＝0，得t ＝12，∴当t ∈[0，12)时，g ′(t )<0，g (t )是减函数，当t ∈(12，1]时，g ′(t )>0，g (t )是增函数，因此g (t )的最小值为g (12)＝e ＋1－2e 12＝(e －1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2.15．求下列定积分． (1)⎠⎛1－1|x |d x;(2)⎠⎛0πcos 2x2d x ；(3)∫e ＋121x －1d x . [解析] (1)⎠⎛1－1|x |d x ＝2⎠⎛01x d x ＝2×12x 2|10＝1.(2)⎠⎛0πcos 2x2d x ＝⎠⎛0π1＋cos x 2d x ＝12x |π0＋12sin x |π＝π2. (3)∫e ＋121x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝1.16．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，求a 的值．[解析] f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0， ∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)． ∴S 阴影＝⎠⎛a0[0－(－x 3＋ax 2)]d x＝(14x 4－13ax 3)|0a ＝112a 4＝112， ∵a <0，∴a ＝－1.1．已知函数f (x )＝sin 5x ＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求22()f x dx ππ-⎰的值，结果是( )A.16＋π2 B ．π C ．1 D ．0 [答案] B[解析] 22()f x dx ππ-⎰＝22ππ-⎰sin 5x d x ＋22ππ-⎰1d x ，由于函数y ＝sin 5x 是奇函数，所以22ππ-⎰sin 5x d x ＝0，而22ππ-⎰1d x ＝x |π2－π2＝π，故选B.2．若函数f (x )＝⎩⎨⎧－x －1 (－1≤x <0)，cos x (0≤x <π2)，的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a ，则a 的值为( )A.2＋π4B.12 C ．1 D.32[答案] D[解析] 由图可知a ＝12＋⎠⎜⎜⎛0π2cos x d x ＝12＋sin x |π20＝32.3．对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝________.[答案] 22[解析] ∵⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝2>2， ∴2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝2⊗2＝2－12＝22. 4．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．[答案] 33[解析] ⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝(ax 33＋cx )|10＝a 3＋c ，故a 3＋c ＝ax 20＋c ，即ax 20＝a 3，又a ≠0，所以x 20＝13，又0≤x 0≤1，所以x 0＝33.故填33.5．设n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ，则(x －2x )n 展开式中含x 2项的系数是________．[答案] 40[解析] ∵(x 3－2x )′＝3x 2－2，∴n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ＝(x 3－2x )|21 ＝(23－2×2)－(1－2)＝5.∴(x －2x )5的通项公式为T r ＋1＝C r 5x 5－r (－2x)r ＝(－2)r C r 5x 5－3r 2 ，令5－3r 2＝2，得r ＝2， ∴x 2项的系数是(－2)2C 25＝40.。

1.设连续函数f(x)>0,则当a<b 时,定积分∫()b a f x dx 的符号( ) A.一定是正的 B.一定是负的C.当0<a<b 时是正的,当a<b<0时是负的D.以上结论都不对 【答案】 A【解析】 由∫()b a f x dx 的几何意义及f(x)>0,可知∫()ba f x 表示x=a,x=b,y=0与y=f(x)围成的曲边梯形的面积. ∴∫()b a f x dx>0.2. ∫22ππ- (1+cosx)dx 等于( )A.πB.2C.π-2D.π+2【答案】 D【解析】 ∫22ππ-(1+cosx)dx=(x+sinx)|22ππ-2(π=+sin 22)[ππ--+sin 2()]2π-=+π. 3.用S 表示图中阴影部分的面积,则S 的值是( )A. ∫()c a f x dxB.| ∫()c a f x dx|C. ∫()b a f x dx+∫()cb f x dxD. ∫()cb f x dx-∫()b a f x dx【答案】 D【解析】 由定积分的几何意义知选项D 正确.4.(2012山东荷泽模拟)设函数()mf x x ax =+的导函数则∫21()f x -dx 的值等于( ) A.56 B.12 C.23 D.16【答案】 A【解析】 由于()m f x x ax =+的导函数为f′(x)=2x+1,所以2()f x x x =+,于是∫21()f x -dx=∫221()x x -313(x -212)x |2516=.5.直线y=2x+3与抛物线2y x =所围成的图形面积为 . 【答案】323【解析】 由 223y x y x =+,⎧⎨=,⎩得1213x x =-,=. ∴面积S=∫31(23)x -+dx-∫321x -dx 2(3)x x =+|33113x --|33213-=. 1. ∫412x dx 等于( )A.-2ln2B.2ln2C.-ln2D.ln2【答案】 D【解析】 ∫412x dx=lnx |42=ln4-ln2=ln2.2.(2011福建高考,理5) ∫10(e 2)xx +dx 等于( ) A.1B.e-1 C.e D.e+1【答案】 C【解析】 ∵被积函数e 2x x +的一个原函数为e 2xx +,∴∫10(e 2)x x +dx=(e 2)x x +|10(=e 121)(+-e 0+3.已知f(x)= 210101x x x ⎧,-≤≤,⎨,<<,⎩则∫11()f x -dx 的值为 ( )A.32B.23-C.23D.43【答案】 D【解析】 ∫11()f x -dx=∫021x -dx+∫101dx 313x=|01x -+|10 14331=+=.4.函数f(x)= 2110cosx 0x x x π+,-≤<,⎧⎨,≤≤⎩ 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( ) A.32B.1C.2D.12【答案】 A【解析】 根据定积分的几何意义结合图形可得所求的封闭图形的面积为1211S =⨯⨯+∫20πcosxdx 12=+sinx |2π12=+sin 2π-sin032=.5.函数y=∫(x x -cos 22)t t ++dt( )A.是奇函数B.是偶函数C.是非奇非偶函数D.以上都不正确【答案】 A【解析】 y=(sin 332)t t t ++|2xx -=sin 3234x x x ++,为奇函数6.(2011湖南高考,理6)由直线330x x y ππ=-,=,=与曲线y=cos x 所围成的封闭图形的面积为( ) A.12 B.1【答案】 D【解析】 结合图形可得:S=∫33ππ-cosxdx=sin x |33ππ-3π-3()π-=7.由曲线32y x y x =,=围成的封闭图形的面积为( )A.112B.14C.13D.712【答案】 A【解析】 因为2y x =与3y x =的交点为(0,0),(1,1), 故所求封闭图形的面积为∫102x dx-∫103x d 313x x =|10414x -|101113412=-=,选A.8.曲线1x y =与直线y=x,x=2所围成的图形面积为 . 【答案】32-ln2【解析】 S=∫211()x x -d 212(x x =-lnx)|2312=-ln2. 9.如果∫10()f x dx=1, ∫20()f x dx=-1,则∫21()f x dx= .【答案】 -2【解析】 ∵∫20()f x dx=∫10()f x dx+∫21()f x dx, ∴∫21()f x dx=∫20()f x dx-∫10()f x dx=-1-1=-2.10.由曲线2y x =和直线2(01)t t ,∈,所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为 .【答案】14【解析】 围成图形的阴影部分的面积3S t =-∫20t x dx+∫12t x dx 2324133(1)t t t t --=-+.令S′2420t t =-=,解得12t =或t=0(舍去).可判断当12t =时S 最小1min 4S ,=.11.计算下列定积分.(1) ∫2211(2)x x -dx;(2) ∫322dx;(3) ∫30π(sinx-sin2x)dx.【解】 (1) ∫2211(2)x x -d 323(x x =-lnx)|21 163=-ln 214332-=-ln2.(2) ∫322dx=∫312(2)x x ++dx212(x =+lnx+2x)|32 92(=+ln3+6)-(2+ln2+4)=ln 3922+.(3) ∫30π(sinx-sin2x)dx=(-cos 12x +cos2x)|30π11112424()(1)=----+=-.12.已知f(x)为二次函数,且f(-∫10()f x -2.(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值.【解】 (1)设2()(0)f x ax bx c a =++≠,则f′(x)=2ax+b. 由f(-1)=2,f′(0)=0,得 20a b c b -+=,⎧⎨=⎩即20c a b =-,⎧⎨=.⎩∴2()(2)f x ax a =+-.又∫10()f x dx=∫120[(2)]ax a +-dx 313[(2)]ax a x =+-|120322a =-=-. ∴a=6,c=-4.从而2()64f x x =-. (2)∵2()64[11]f x x x =-,∈-,, ∴当x=0时min ()4f x ,=-; 当1x =±时max()2f x =.13.如图所示,直线y=kx 分抛物线2y x x =-与x 轴所围图形为面积相等的两部分,求k 的值.【解】 抛物线2y x x =-与x 轴两交点的横坐标为1201x x =,=, 所以,抛物线与x 轴所围图形的面积S=∫120()x x -d 23123()x x x =-|1106=.又由 2y x x y kx ⎧=-,⎨=,⎩ 可得抛物线2y x x =-与y=kx 两交点的横坐标为3401x x k =,=-,所以,2S =∫120()k x x kx ---d 231123()k x x x -=-|13106(1)k k -=-.又知16S =,所以312(1)k -=,于是11k ==14.一条水渠横断面为抛物线型,如图,渠宽AB=4米,渠深CO=2米,当水面距地面0.5米时,求水的横断面的面积.【解】 如图,建立直角坐标系,设抛物线方程为22x py =,代入(2,2)得2p=2,∴22x y =.将点(x,1.5)代入22x y =得x =∴水的横断面的面积为S=(1.2125)x -dx=(1.3165)x x -|.∴水的横断面的面积为平方米.。

年 级 高二 学科数学内容标题 定积分的计算 编稿老师马利军一、教学目标：1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题.2. 理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题.二、知识要点分析1. 定积分的概念：函数)(x f 在区间［a ，b ］上的定积分表示为：⎰badx x f )(2. 定积分的几何意义：（1）当函数f （x ）在区间[a ，b]上恒为正时，定积分⎰badx x f )(的几何意义是：y=f（x ）与x=a ，x=b 及x 轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下.⎰badx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f （x ）的图象、以及直线x=a ，x=b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号.在图（1）中：0s dx )x (f ba>=⎰，在图（2）中：0s dx )x (f ba<=⎰，在图（3）中：dx)x (f ba⎰表示函数y=f （x ）图象及直线x=a ，x=b 、x 轴围成的面积的代数和.注：函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于⎰badx x f )(，仅当在区间[a ，b]上f （x ）恒正时，其面积才等于⎰badx x f )(.3. 定积分的性质，（设函数f （x ），g （x ）在区间［a ，b ］上可积） （1）⎰⎰⎰±=±bab aba dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [（2）⎰⎰=baba dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数）（3）⎰⎰⎰+=bcbac adx x f dx x f dx x f )()()(（4）若在区间［a ，b ］上，⎰≥≥badx x f x f 0)(,0)(则推论：（1）若在区间［a ，b ］上，⎰⎰≤≤babadx x g dx x f x g x f )()(),()(则（2）⎰⎰≤babadx x f dx x f |)(||)(|（3）若f （x ）是偶函数，则⎰⎰=-aaadx x f dx x f 0)(2)(，若f （x ）是奇函数，则0)(=⎰-aadx x f4. 微积分基本定理：一般地，若)()()(],[)(),()('a Fb F dx x f b a x f x f x F ba-==⎰上可积，则在且注：（1）若)()('x f x F =则F （x ）叫函数f （x ）在区间［a ，b ］上的一个原函数，根据导数定义知：F （x ）+C 也是f （x ）的原函数，求定积分⎰badx x f )(的关键是求f （x ）的原函数，可以利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向求F （x ）.（2）求导运算与求原函数的运算互为逆运算.【典型例题】知识点一：定积分的几何意义例1．根据⎰=π200sin xdx 推断：求直线x=0，x=π2，y=0和正弦曲线y=sinx 所围成的曲边梯形面积下列结论正确的是（ ）A ．面积为0B ．曲边梯形在x 轴上方的面积大于在x 轴下方的面积C ．曲边梯形在x 轴上方的面积小于在x 轴下方的面积D ．曲边梯形在x 轴上方的面积等于在x 轴下方的面积题意分析：本题考查定积分的几何意义，注意dx x ⎰π20sin 与y=sinx 及直线x=a ，x=b 和x轴围成的面积的区别.思路分析：作出函数y=sinx 在区间[0，π2]内的图象及积分的几何意义及函数的对称性可判断.解：对于（A ）：由于直线x=0，x=π2，y=0和正弦曲线y=sinx 所围成的曲边梯形面积为正可判断A 错.对于（B ），（C ）根据y=sinx 在[0，π2]内关于（)0,π对称知两个答案都是错误的. 根据函数y=sinx 的图象及定积分的几何意义可知：答案（D ）是正确的.解题后的思考：本题主要考查定积分的几何意义，体现了数与形结合的思想的应用，易错点是混淆函数y=sinx 与x 轴、直线x=0，x=π2围成的面积等于⎰π20)(dx x f .例2．利用定积分的几何意义，说明下列等式的合理性 （1）121=⎰xdx（2）⎰=-1241πdx x .题意分析：本题主要考查定积分的几何意义：在区间[0，1]上函数y=2x ，及y=21x -恒为正时，定积分⎰102xdx 表示函数y=2x 图象与x=0，x=1围成的图形的面积，dx x ⎰-121表示函数y=21x -图象与x=0，x=1围成的图形的面积.思路分析：分别作出函数y=2x 及y=21x -的图象，求此图象与直线x=0，x=1围成的面积.解：（1）在同一坐标系中画出函数y=2x 的图象及直线x=0，x=1（如图），它们围成的图形是直角三角形.其面积∆S =11221=⨯⨯.由于在区间[0，1]内f （x ）恒为正，故1210=⎰xdx .（2）由]1,0[,11222∈=+⇒-=x y x x y ，故函数y 21x -=（]1,0[∈x 的图象如图所示，所以函数y 21x -=与直线x=0，x=1围成的图形面积是圆122=+y x 面积的四分之一，又y 21x -=在区间［0，1］上恒为正.⎰=-1241πdx x解题后的思考：本题主要考查利用定积分的几何意义来验证函数y=2x 及函数y=21x -在区间［0，1］上的定积分的值，体现了数与形结合的思想的应用，易错点是画函数图象的不准确造成错误的结果.例3．利用定积分的几何意义求⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值.题意分析：本题考查定积分的几何意义，⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值是函数|3||1|-+-=x x y 的图象与直线x=0，x=4所围成图形的面积.思路分析：首先把区间［0，4］分割为［0，1］，［1，3］，［3，4］，在每个区间上讨论x －1，x －3的符号，把函数|3||1|-+-=x x y 化为分段函数，再根据定积分的几何意义求⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值.解：函数|3||1|-+-=x x y 化为⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈∈+-=]4,3[(,42]3,1[(,2]1,0[(,42x x x x x y由于函数⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈∈+-=]4,3[(,42]3,1[(,2]1,0[(,42x x x x x y 在区间［0，1］，［1，3］，［3，4］都恒为正.设函数y=－2x+4的图象与直线x=0，x=1围成的面积为S 1 函数y=2的图象与直线x=1，x=3围成的面积是S 2 函数y=2x －4的图象与直线x=3，x=4围成的面积是S 3 由图知：S 1=S 3=,31)24(21=⨯+S 2=422=⨯ 由定积分的几何意义知：⎰-+-4|)3||1(|dx x x =10231=++S S S解题后的思考：本题考查的知识点是定积分的几何意义，利用其几何意义求定积分⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值，体现了等价转化的数学思想（把区间［0，4］分割，把函数y=|x －1|+|x －3|化成分段函数）、数与形结合的思想的应用.易错点是：区间［0，4］分割不当及画函数图象不准确，造成错误的结果.当被积函数含有绝对值时，常采用分割区间把函数化为分段函数的方法求定积分的值.小结：本题主要考查定积分的几何意义，要分清在区间［a ，b ］上f （x ）恒为正时，f （x ）在区间[a ，b]上定积分值才等于函数图象与直线x=a ，x=b 围成的面积.在画函数图象时注意x 的取值区间.当被积函数含有绝对值时，恰当的分割区间把函数画为分段函数再求定积分的值.高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解一、选择题1．(2010·山东日照模考)a ＝⎠⎛02x d x ，b ＝⎠⎛02e xd x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b2．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112B.14C.13D.712(2010·湖南师大附中)设点P 在曲线y ＝x 2上从原点到A (2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记作S 1，S 2.如图所示，当S 1＝S 2时，点P 的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，169C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，157D.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，137 3．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形的面积为( ) A ．4B.43C.185D ．64．(2010·湖南省考试院调研)⎠⎛1－1(sin x ＋1)d x 的值为( )A ．0B ．2C ．2＋2cos1D ．2－2cos15．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( ) A ．2πB ．3πC.3π2D ．π6．函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值7．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋n ，函数f (x )＝⎠⎛1x 1td t ，若f (x )<a 3，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫36，＋∞ B ．(0，e 21) C ．(e －11，e )D ．(0，e 11)8．(2010·福建厦门一中)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A.1πB.2πC.3πD.π49．(2010·吉林质检)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2－2≤x <02cos x 0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的图形面积S 为( )A.32B ．1C ．4D.1210．(2010·沈阳二十中)设函数f (x )＝x －[x ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函数g (x )＝－x3，f (x )在区间(0,2)上零点的个数记为m ，f (x )与g (x )的图象交点的个数记为n ，则⎠⎛mn g (x )d x 的值是( )A ．－52B ．－43C ．－54D ．－7611．(2010·江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c (b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x 2＋2bx ＋c ＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( )A.13B.23C.12D.3412．(2010·吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为O (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，曲线y ＝x 2(x ≥0)与x 轴，直线x ＝1构成区域M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M 内的概率是( )A.12 B.14 C.13D.25二、填空题13．(2010·芜湖十二中)已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.14．已知a ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ，则二项式(a x －1x )6的展开式中含x 2项的系数是________．15．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．16．(2010·安徽合肥质检)抛物线y 2＝ax (a >0)与直线x ＝1围成的封闭图形的面积为43，若直线l 与抛物线相切且平行于直线2x －y ＋6＝0，则l 的方程为______．17．(2010·福建福州市)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________．三、解答题18．如图所示，在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2，试在此区间内确定t 的值，使图中阴影部分的面积S1＋S2最小．。

定积分与微积分基本定理(理)基础巩固强化1.求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d x B ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d y D ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y[答案]B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析]两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .2．如图，阴影部分面积等于( )A ．23B ．2－ 3 C.323D.353 [答案]C[解析]图中阴影部分面积为S ＝⎠⎛-31(3－x 2－2x )d x ＝(3x －13x 3－x 2)|1－3＝323. 3.⎠⎛024－x 2d x ＝( )A ．4πB ．2πC ．π D.π2 [答案]C[解析]令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S ＝14×π×22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( )A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．在t 1时刻，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面 [答案]A[解析]判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t 0，t 1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间行驶的路程就是该时间段速度函数的定积分，即速度函数v (t )的图象与t 轴以与时间段围成区域的面积．从图象知：在t 0时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t 0围成区域的面积大于v 乙的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t 0围成区域的面积，因此，在t 0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C ，D 错误；同样，在t 1时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝t 1围成区域的面积，仍然大于v 乙的图象与t 轴和t ＝t 1围成区域的面积，所以，可以断定：在t 1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．向平面区域Ω＝{(x ，y )|－π4≤x ≤π4，0≤y ≤1}随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos2x 下方的概率是( )A.π4B.12C.π2－1D.2π [答案]D[解析]平面区域Ω是矩形区域，其面积是π2，在这个区6．的值是( )A ．0 B.π4 C ．2 D ．－2 [答案]D[解析]2(cos sin )2x x ππ---＝2(cos sin )2x x ππ---＝－2. 7．⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝________.[答案]3[解析]∵y ＝⎩⎨⎧1＋x 0≤x ≤13－x 1<x ≤2，∴⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝⎠⎛01(1＋x )d x ＋⎠⎛12(3－x )d x＝(x ＋12x 2)|10＋(3x －12x 2)|21＝32＋32＝3. 9．已知a ＝20(sin cos )x x dx π+⎰，则二项式(a x －1x)6的展开式中含x 2项的系数是________．[答案]－192 [解析]由已知得a ＝2(sin cos )x x dx π+⎰＝(－cos x ＋sin x )|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是T r ＋1＝(－1)r ×C r 6×26－r×x 3－r ，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C 16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．[解析]设直线与抛物线的两个交点分别为A (a ，a 2)，B (b ，b 2)，不妨设a <b ，则直线AB 的方程为y －a 2＝b 2－a 2b －a (x －a )，即y ＝(a ＋b )x －ab .则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎛ab [(a ＋b )x －ab －x 2]d x＝(a ＋b 2x 2－abx －x 33)|ba ＝16(b －a )3，∴16(b －a )3＝43，解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P (x ，y )， 其中⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b 2，y ＝a 2＋b 22.将b －a ＝2代入得⎩⎨⎧x ＝a ＋1，y ＝a 2＋2a ＋2.消去a 得y ＝x 2＋1.∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x 2＋1.能力拓展提升11.等比数列{a n }中，a 3＝6，前三项和S 3＝⎠⎛034x d x ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12 [答案]C [解析]因为S 3＝⎠⎛034x d x ＝2x 2|30＝18，所以6q ＋6q 2＋6＝18，化简得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，故选C.12．已知(x ln x )′＝ln x ＋1，则⎠⎛1e ln x d x ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1 [答案]A[解析]由(x ln x )′＝ln x ＋1，联想到(x ln x －x )′＝(ln x ＋1)－1＝ln x ，于是⎠⎛1e ln x d x ＝(x ln x －x )|e 1＝(e ln e －e )－(1×ln1－1)＝1.13．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．[答案]18[解析]由方程组⎩⎨⎧y 2＝2x ，y ＝4－x ，解得两交点A (2,2)、B (8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y 22、x ＝4－y ，∴S ＝⎠⎛-42 [(4－y )－y 22]dy ＝(4y －y 22－y 36)|2－4＝18.14.已知函数f (x )＝e x －1，直线l 1：x ＝1，l 2：y ＝e t －1(t 为常数，且0≤t ≤1)．直线l 1，l 2与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S 2表示．直线l 2，y 轴与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S 1表示．当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案](e －1)2[解析]由题意得S 1＋S 2＝⎠⎛0t (e t －1－e x ＋1)d x ＋⎠⎛t1(e x －1－e t ＋1)d x＝⎠⎛0t (e t －e x )d x ＋⎠⎛t1(e x －e t )d x ＝(xe t －e x )|t 0＋(e x －xe t )|1t ＝(2t －3)e t ＋e ＋1，令g (t )＝(2t －3)e t ＋e ＋1(0≤t ≤1)，则g ′(t )＝2e t ＋(2t －3)e t ＝(2t －1)e t，令g ′(t )＝0，得t ＝12，∴当t ∈[0，12)时，g ′(t )<0，g (t )是减函数，当t ∈(12，1]时，g ′(t )>0，g (t )是增函数，因此g (t )的最小值为g (12)＝e ＋1－2e 12＝(e －1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2.15．求下列定积分． (1)⎠⎛1－1|x |d x; (2)⎠⎛πcos 2x2d x ；(3)∫e ＋121x －1d x . [解析](1)⎠⎛1－1|x |d x ＝2⎠⎛1x d x ＝2×12x 2|10＝1.(2)⎠⎛πcos 2x 2d x ＝⎠⎛0π1＋cos x 2d x ＝12x |π0＋12sin x |π0＝π2. (3)∫e ＋121x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝1. 16．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，求a 的值．[解析]f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0， ∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)． ∴S 阴影＝⎠⎛a0[0－(－x 3＋ax 2)]d x＝(14x 4－13ax 3)|0a ＝112a 4＝112， ∵a <0，∴a ＝－1.1．已知函数f (x )＝sin 5x ＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求22()f x dx ππ-⎰的值，结果是( )A.16＋π2 B ．π C ．1 D ．0 [答案]B[解析]22()f x dx ππ-⎰＝22ππ-⎰sin 5x d x ＋22ππ-⎰1d x ，由于函数y ＝sin 5x 是奇函数，所以22ππ-⎰sin 5x d x ＝0，而22ππ-⎰1d x ＝x |π2－π2＝π，故选B.2．若函数f (x )＝⎩⎨⎧－x －1 (－1≤x <0)，cos x (0≤x <π2)，的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a ，则a 的值为( )A.2＋π4B.12 C ．1 D.32 [答案]D[解析]由图可知a ＝12＋⎠⎜⎜⎛0π2cos x d x ＝12＋sin x |π20＝32.3．对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝________.[答案]22[解析]∵⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝2>2， ∴2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝2⊗2＝2－12＝22. 4．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________． [答案]33[解析]⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝(ax 33＋cx )|10＝a 3＋c ，故a 3＋c ＝ax 20＋c ，即ax 20＝a 3，又a ≠0，所以x 20＝13，又0≤x 0≤1，所以x 0＝33.故填33. 5．设n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ，则(x －2x)n 展开式中含x 2项的系数是________．[答案]40[解析]∵(x 3－2x )′＝3x 2－2， ∴n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ＝(x 3－2x )|21 ＝(23－2×2)－(1－2)＝5.∴(x －2x )5的通项公式为T r ＋1＝C r 5x 5－r (－2x)r ＝(－2)r C r 5x 5－3r 2 ，令5－3r2＝2，得r ＝2， ∴x 2项的系数是(－2)2C 25＝40.。

第四节 定积分的概念、微积分基本定理及其简单应用一．复习要点： 1．定积分的实质如果在区间[,]a b 上函数连续且有()0f x ≥，那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,x a x b ==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积。

如果在区间[,]a b 上函数连续且有()0f x ，那么定积分()ba f x dx ⎰表示由直线,x a xb ==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积的相反数。

如果在区间[,]a b 上函数连续且()f x 有正有负时，那么定积分()baf x dx ⎰表示介于,x a x b ==（a b ≠）之间x 轴之上、下相应的曲边梯形的面积代数和。

()baf x dx ∴=⎰阴影A 的面积—阴影B 的面积（即x 轴上方面积减x 轴下方的面积）2．定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1 a b dx ba-=⎰1性质2⎰⎰=babadx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数） （定积分的线性性质）性质31212[()()]()()bbbaaaf x f x d x f x d xf x d x ±=±⎰⎰⎰ （定积分的线性性质）性质4()()()()bcbaacf x dx f x dx f x dxa cb =+<<⎰⎰⎰其中（定积分对积分区间的可加性）3.微积分基本定理一般的，如果()f x 是闭区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么()()()baf x dx F b F a =-⎰。

可以把()2()0aa af x dx f x dx -==⎰⎰()()F b F a -记作()|baF x ，即()()|()()bb a af x dx F x F b F a ==-⎰。

2020高考数学人教A 版课后作业1.(2020·湖南)⎠⎛241xd x 等于( )A ．－2ln2B ．2ln2C ．－ln2D ．ln2[答案] D[解析] ⎠⎛241xd x ＝ln x |42＝ln4－ln2＝ln2.2．(2020·汕头模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2x ∈[0，1]2－x x ∈1，2]，则⎠⎛02f (x )d x 等于( )A.34 B.45 C.56 D ．不存在[答案] C[解析] ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x＝13x 3|10＋⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 221＝56. 3．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( ) A ．2π B ．3π C.3π2D ．π[答案] A [解析] 如下图，S ＝∫2π0(1－cos x )d x＝(x －sin x )|2π0＝2π.[点评] 此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决，但若把积分区间改为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π，则对称性就无能为力了． 4．(2020·德州阶段检测) ⎠⎜⎜⎛－π2π2 (sin x ＋cos x )d x 的值是( )A ．0 B.π4 C ．2 D ．4[答案] C[解析] ⎠⎜⎜⎛－π2π2 (sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x )|⎪⎪⎪⎪π2－π2＝2.5．(2020·吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为O (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，曲线y ＝x 2(x ≥0)与x 轴，直线x ＝1构成区域M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M 内的概率是( )A.12B.14 C.13 D.25[答案] C[解析] 如图，正方形面积1，区域M 的面积为S ＝⎠⎛01x 2d x ＝13x 3|10＝13，故所求概率p ＝13.6．(2020·马鞍山市质检)设f (x )＝⎠⎛0x (1－t )3d t ，则f (x )的展开式中x 的系数是( )A ．－1B ．1C ．－4D ．4[答案] B[解析] f (x )＝⎠⎛0x (1－t )3d t ＝－14(1－t )4|x 0＝14－14(1－x )4，故展开式中x 的系数为－14×(－C 14)＝1，故选B.7．已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛-11f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.[答案] －1或13.[解析] ⎠⎛-11 (3x 2＋2x ＋1)d x ＝(x 3＋x 2＋x )|1－1＝4，∴2(3a 2＋2a ＋1)＝4即3a 2＋2a －1＝0，解得a ＝－1或a ＝13.8．(2020·潍坊模拟)抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (1,0)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积为________．[答案] 23[解析] ∵y ′＝－2x ＋4，∴在点A (1,0)处切线斜率k 1＝2，方程为y ＝2(x －1)， 在点B (3,0)处切线斜率k 2＝－2，方程为y ＝－2(x －3)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1y ＝－2x －3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝2，故所求面积S ＝⎠⎛12[(2x －2)－(－x 2＋4x －3)]d x ＋⎠⎛23[(－2x ＋6)－(－x 2＋4x －3)]d x ＝(13x 3－x 2＋x )|21＋(13x 3－3x 2＋9x )|32＝13＋13＝23.1.(2020·福建莆田市质检)如图，D 是边长为4的正方形区域，E 是区域D 内函数y ＝x 2图象下方的点构成的区域，向区域D 中随机投一点，则该点落入区域E 中的概率为( )A.15B.14C.13D.12[答案] C[解析] 阴影部分面积S ＝2⎠⎛02x 2d x ＝2×13x 3|20＝163，又正方形面积S ′＝42＝16，∴所求概率P ＝S S ′＝13. 2．(2020·江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c (b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x 2＋2bx ＋c ＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( )A.13B.23C.12D.34[答案] A[解析] 方程x 2＋2bx ＋c ＝0有实根的充要条件为Δ＝4b 2－4c ≥0，即b 2≥c ，由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p ＝⎠⎛01b 2db 1×1＝13.3．(2020·安徽巢湖市质检)设a ＝⎠⎛0πsin x d x ，则二项式(a x －1x)6展开式的常数项是( )A ．160B ．20C ．－20D ．－160[答案] D[解析] a ＝⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x |π＝2，T r ＋1＝C r 6(2x )6－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r 26－r C r 6x 3－r，∵T r ＋1为常数项，∴3－r ＝0，∴r ＝3， ∴(－1)3×23×C 36＝－160，故选D.4．(2020·湖南师大附中)设点P 在曲线y ＝x 2上从原点到A (2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记作S 1，S 2.如图所示，当S 1＝S 2时，点P 的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，169C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，157 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，137 [答案] A[解析] 设P (t ，t 2)(0≤t ≤2)，则直线OP ：y ＝tx ，∴S 1＝⎠⎛0t (tx －x 2)d x ＝t 36；S 2＝⎠⎛t2(x2－tx )d x ＝83－2t ＋t 36，若S 1＝S 2，则t ＝43，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169.5．(2020·上海大同中学模拟)在函数y ＝|x |(x ∈[－1,1])的图象上有一点P (t ，|t |)，此函数与x 轴，直线x ＝－1及x ＝t 围成图形(如图阴影部分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系图可表示为( )[答案] B[解析] 当t ≤0时，S ＝⎠⎛-1t －x d x ＝－12x 2|t －1＝12－12t 2；当t >0时，S ＝12＋⎠⎛0tx d x ＝12＋12x 2|t 0＝12＋12t 2，故选B. 6．(2020·龙岩质检)已知函数f (x )＝sin 5x ＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求∫π2－π2f (x )d x 的值，结果是( )A.16＋π2 B ．π C ．1 D ．0[答案] B[解析] ⎠⎜⎜⎛－π2π2f (x )d x ＝⎠⎜⎜⎛－π2π2sin 5x d x ＋⎠⎜⎜⎛－π2π21d x ，由于函数y ＝sin 5x 是奇函数，所以⎠⎜⎜⎛－π2π2sin 5x d x ＝0，而⎠⎜⎜⎛－π2π21d x ＝x⎪⎪⎪⎪π2－π2＝π，故选B.7．(2020·广东佛山顺德区质检)对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝________.[答案]22[解析] ∵⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝2>2，∴2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝2⊗2＝2－12＝22.8.(2020·福州月考)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R)的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，求a 的值．[解析] f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0， ∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)． ∴S 阴影＝⎠⎛a0[0－(－x 3＋ax 2)]d x＝(14x 4－13ax 3)|0a ＝112a 4＝112， ∵a <0，∴a ＝－1.1．⎠⎜⎛0 π2(sin x ＋a cos x )d x ＝2，则实数a 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－ 3 D. 3[答案] B[解析] ⎠⎜⎛0 π2 (sin x ＋a cos x )d x ＝(－cos x ＋a sin x ) ⎪⎪⎪⎪π2＝⎝⎛⎭⎪⎫－cos π2＋a sin π2－(－cos0＋a sin0)＝a ＋1＝2， ∴a ＝1，故选B.2．(2020·潍坊二模)曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面区域的面积为( )A ．⎠⎜⎛0 π2(sin x －cos x )d x B ．2⎠⎜⎛0 π4(sin x －cos x )d xC ．⎠⎜⎛0 π2(cos x －sin x )d x D ．2⎠⎜⎛0 π4(cos x －sin x )d x[答案] D[解析] 在同一坐标系中作出函数y ＝sin x (0≤x ≤π2)与y ＝cos x (0≤x ≤π2)的图象，可以发现两图象交于点P (π4，22)，两图象与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面区域关于直线x ＝π4对称，在[0，π4)上，cos x >sin x ，由x ＝0，y ＝cos x ，y ＝sin x 在[0，π4]上围成的平面区域面积为⎠⎜⎛0 π4(cos x －sin x )d x ，故选D.。

第十三节 定积分与微积分基本定理积分的运算及应用(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． (2)了解微积分基本定理的含义．知识点一 定积分 1．定积分的性质(1)⎠⎛a bkf (x )d x ＝k⎠⎛a bf (x )d x (k 为常数)．(2)⎠⎛a b [f (x )±g (x )]d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ±⎠⎛a bg (x )d x .(3)⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛c bf (x )d x (其中a <c <b )． 2．定积分的几何意义(1)当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义是由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积(图(1)中阴影部分)．(2)一般情况下，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x ＝a 、x ＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(图(2)中阴影所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．易误提醒 (1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量． (2)定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．(3)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．[自测练习]1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (x ≥0)，2x (x <0)，则⎠⎛1－1f (x )d x 的值是( ) A.⎠⎛1－1x 2d x B.⎠⎛1－12xd x C.⎠⎛0－1x 2d x ＋⎠⎛102x d x D.⎠⎛0－12x d x ＋⎠⎛10x 2d x解析：由分段函数的定义及积分运算性质，∴⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛0－12xd x ＋⎠⎛10x 2d x . 答案：D2．已知f (x )是偶函数，且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛6－6f (x )d x ＝( ) A ．0 B ．4 C ．6D ．16解析：因为函数f (x )是偶函数，所以函数f (x )在y 轴两侧的图象对称，所以⎠⎛6－6f (x )d x ＝⎠⎛0－6f (x )d x ＋⎠⎛06f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝16.答案：D知识点二 微积分基本定理如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )．那么⎠⎛a bf (x )d x ＝F (b )－F (a )．这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F (b )－F (a )记成F (x )| b a ，即⎠⎛a bf (x )d x ＝F (x )| b a ＝F (b )－F (a )．必备方法 运用微积分基本定理求定积分的方法： (1)对被积函数要先化简，再求积分．(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分． (4)注意用“F ′(x )＝f (x )”检验积分的对错．[自测练习]3．设a ＝⎠⎛01x －13d x ，b ＝1－⎠⎛01x 12d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．b >c >a解析：a ＝⎠⎛01x －13d x ＝32x 23| 10＝32， b ＝1－⎠⎛01x 12d x ＝1－23x 32| 10＝13， c ＝⎠⎛01x 3d x ＝14x 4| 10＝14，因此a >b >c ，故选A. 答案：A4．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形的面积为( ) A.112 B.14 C.13D.712解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝x 3得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.结合图形知(图略)所求封闭图形的面积为⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－14x 4| 10＝112，故选A. 答案：A考点一 定积分的计算|1．定积分⎠⎛039－x 2d x 的值为( ) A ．9π B ．3π C.94π D.92π 解析：由定积分的几何意义知，⎠⎛039－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积，故⎠⎛039－x 2d x ＝π·324＝9π4，故选C.答案：C2．(2016·临沂模拟)若∫π20(sin x ＋a cos x )d x ＝2，则实数a 等于( ) A ．－1 B ．1 C. 3D ．－ 3解析：∵(a sin x －cos x )′＝sin x ＋a cos x . ∴∫π20(sin x ＋a cos x )d x ＝(a sin x －cos x )⎪⎪π20 ＝⎝⎛⎭⎫a sin π2－cos π2－(a sin 0－cos 0)＝a ＋1＝2. ∴a ＝1. 答案：B3．(2015·西安模拟)已知A ＝⎠⎛03|x 2－1|d x ，则A ＝________.解析：A ＝⎠⎛03|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛13(x 2－1)d x ＝⎝⎛⎭⎫x －13x 3| 10＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x | 31＝223. 答案：223定积分计算的三种方法定义法、几何意义法和微积分基本定理法，其中利用微积分基本定理是最常用的方法，若被积函数有明显的几何意义，则考虑用几何意义法，定义法太麻烦，一般不用．考点二 利用定积分求平面图形的面积|设抛物线C ：y ＝x 2与直线l ：y ＝1围成的封闭图形为P ，则图形P 的面积S 等于( )A ．1 B.13 C.23D.43[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝1，得x ＝±1.如图，由对称性可知，S ＝2()1×1－⎠⎛01x 2d x ＝2⎝⎛⎭⎫1×1－13x 3| 10＝43，选D.[答案] D利用定积分求平面图形面积的三个步骤(1)画图象：在直角坐标系内画出大致图象．(2)确定积分上、下限：借助图象的直观性求出交点坐标，确定积分上限和下限． (3)用牛顿－莱布尼茨公式求面积：将曲边多边形的面积表示成若干定积分的和，计算定积分，写出结果．1．(2015·衡中三模)由曲线y ＝2－x 2，直线y ＝x 及x 轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是________．解析：把阴影部分分成两部分求面积． S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛0－2(2－x 2)d x ＋⎠⎛01(2－x 2－x )d x＝⎝⎛⎭⎫2x －x 33| 0－2＋⎝⎛⎭⎫2x －x 33－x 22| 10 ＝22－(2)33＋2－13－12＝423＋76. 答案：423＋76考点三 定积分物理意义的应用|一物体做变速直线运动，其v -t 曲线如图所示，则该物体在12s ～6 s 间的运动路程为________．[解析] 由图象可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t <1，2，1≤t <3，13t ＋1，3≤t ≤6，所以12s ～6 s 间的运动路程s ＝⎠⎜⎛126 v (t )= ⎠⎜⎛1262t d t ＋⎠⎛132d t ＋⎠⎛36⎝⎛⎭⎫13t ＋1d t＝36111322149264t t t ⎛⎫+++=⎪⎝⎭. [答案]494利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求．2．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，(0≤x ≤2)，3x ＋4，(x >2)，(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米，力F (x )做功为( )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J解析：力F (x )做功为⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x＝10x | 20＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x | 42 ＝20＋26＝46. 答案：B5.混淆图形面积与定积分关系致误【典例】 已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．[解析] 由题意可得f (x )＝⎩⎨⎧10x ，0≤x ≤12，10－10x ，12<x ≤1，所以y ＝xf (x )＝⎩⎨⎧10x 2，0≤x ≤12，10x －10x 2，12<x ≤1与x 轴围成图形的面积为120⎰10x 2d x ＋112⎰(10x －10x 2)d x ＝103x 3112012231053x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝54. [答案] 54[易误点评] (1)本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误．(2)本题易弄错积分上、下限而导致解题错误，实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错．[防范措施] 解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处理好以下两个问题： (1)熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求出曲线交点，必要时能正确分割图形．(2)准确确定被积函数和积分变量．[跟踪练习] (2015·洛阳期末)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0e x ，0≤x ≤1的图象与直线x ＝1及x 轴所围成的封闭图形的面积为________．解析：由题意知，所求面积为⎠⎛0－1(x ＋1)d x ＋⎠⎛01e x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x | 0－1＋e x | 10＝－⎝⎛⎭⎫12－1＋(e －1)＝e －12.答案：e －12A 组 考点能力演练1．已知t >0，若⎠⎛0t(2x －2)d x ＝8，则t ＝( ) A ．1 B ．－2 C ．－2或4D ．4解析：由⎠⎛0t(2x －2)d x ＝8得(x 2－2x )| t0＝t 2－2t ＝8，解得t ＝4或t ＝－2(舍去)，故选D.答案：D2．(2015·青岛模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e](其中e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x的值为( )A.43 B.54 C.65D.76解析：⎠⎛0ef (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛1ef (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e1x d x ＝x 33| 10＋ln x | e1＝13＋ln e ＝43，故选A.答案：A3．(2016·武汉模拟)设a ＝⎠⎛12(3x 2－2x )d x ，则⎝⎛⎭⎫ax 2－1x 6的展开式中的第4项为( ) A ．－1 280x 3 B ．－1 280C ．240D ．－240解析：本题考查定积分的计算与二项式定理．依题意得a ＝(x 3－x 2)| 21＝4，二项式⎝⎛⎭⎫4x 2－1x 6的展开式的第四项是T 4＝C 36·(4x 2)3·⎝⎛⎭⎫－1x 3＝－1 280x 3，故选A. 答案：A4．如图所示，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1x(x >0)图象下方的区域(阴影部分)，从D 内随机取一点M ，则点M 取自E 内的概率为( )A.ln 22B.1－ln 22C.1＋ln 22D.2－ln 22解析：本题考查定积分的计算与几何概率的意义．依题意，题中的矩形区域的面积是1×2＝2，题中的阴影区域的面积等于2×12＋eq \a\vs4\al(\i\in(1xd x ＝1＋ln x eq \b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(1,＝1＋ln 2，因此所求的概率等于1＋ln 22，故选C.答案：C5．已知数列{a n }是等差数列，且a 2 013＋a 2 015＝⎠⎛024－x 2d x ，则a 2 014(a 2 012＋2a 2 014＋a 2016)的值为()A ．π2B ．2πC ．πD ．4π2解析：⎠⎛024－x 2d x 表示圆x 2＋y 2＝4在第一象限的面积，即⎠⎛024－x 2d x ＝π，又数列{a n }是等差数列，所以a 2 013＋a 2 015＝a 2 012＋a 2 016＝2a 2 014，所以得a 2 014·(a 2 012＋2a 2 014＋a 2 016)＝π2×2π＝π2，故选A.答案：A6．(2015·南昌模拟)直线y ＝13x 与抛物线y ＝x －x 2所围图形的面积等于________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝13x ，y ＝x －x 2，解得x ＝0或23，所以所求面积为∫230⎝⎛⎭⎫x －x 2－13x d x ＝∫230⎝⎛⎭⎫23x －x 2d x＝⎝⎛⎭⎫13x 2－13x 3⎪⎪230＝13×⎝⎛⎭⎫232－13×⎝⎛⎭⎫233－0＝481. 答案：4817．(2015·长春二模)已知a >0且曲线y ＝x 、x ＝a 与y ＝0所围成的封闭区域的面积为a 2，则a ＝________.解析：由题意a 2＝⎠⎛0ax d x ＝23x 32| a 0，所以a ＝49.答案：498．已知a ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则⎠⎛0a (cos x －sin x )d x 取最大值时，a ＝________.解析：⎠⎛0a(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )| a 0＝sin a ＋cos a －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫a ＋π4－1.∵a ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴当a ＝π4时，[]⎠⎛0a(cos x －sin x )d x max ＝2－1.答案：π49．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解：如图，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ，得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎫2－x ＋13x d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32＋16x 2| 10＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2| 31＝23＋16＋43＝136. 10．汽车以54 km /h 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度－3 m/s 2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多远？解：由题意，得v 0＝54 km /h ＝15 m/s. 所以v (t )＝v 0＋at ＝15－3t . 令v (t )＝0，得15－3t ＝0.解得t ＝5.所以开始刹车5 s 后，汽车停车． 所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为 s ＝⎠⎛05v (t )d t ＝⎠⎛05(15－3t )d t ＝⎝⎛⎭⎫15t －32t 2| 50＝37.5(m)． 故汽车走了37.5 m.B 组 高考题型专练1．(2014·高考陕西卷)定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1解析：⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )| 10＝1＋e 1－1＝e.答案：C2．(2014·高考江西卷)若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C.13D ．1解析：令⎠⎛01f (x )d x ＝m ，则f (x )＝x 2＋2m ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋2m )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋2mx | 10＝13＋2m ＝m ，解得m ＝－13，故选B. 答案：B3．(2013·高考湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2解析：由v (t )＝0得t ＝4.故刹车距离为 s ＝⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝ ⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t＝⎣⎡⎦⎤－32t 2＋7t ＋25ln (1＋t )| 40＝4＋25ln 5.答案：C4．(2014·高考山东卷)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．2 2B ．4 2C ．2D ．4解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ，y ＝x 3得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍)． ∴S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 4| 20＝4. 答案：D5．(2015·高考天津卷)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________． 解析：由题意，可得封闭图形的面积为⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－13x 3| 10＝12－13＝16. 答案：166．(2015·高考陕西卷)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．解析：建立如图所示的直角坐标系，可设抛物线的方程为x 2＝2py (p >0)，由图易知(5,2)在抛物线上，可得p ＝254，抛物线方程为x 2＝252y ，所以当前最大流量对应的截面面积为2⎠⎛05⎝⎛⎭⎫2－225x 2d x ＝403，原始的最大流量对应的截面面积为2×(6＋10)2＝16，所以原始的最大流量与当前最大流量的比值为16403＝1.2. 答案：1.2。

第十四节 定积分与微积分基本定理(理)时间：45分钟 分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2013·江西卷)若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1解析 本题考查微积分基本定理．S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝x 33|21＝73.S 2＝⎠⎛121x d x ＝ln x |21＝ln 2－ln 1＝ln 2.S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e (e －1)．令e ＝2.7，∴S 3>3>S 1>S 2.故选B . 答案 BA ．3B ．4C ．3.5D ．4.5解析答案 C3．如图所示，图中曲线方程为y ＝x 2－1，用定积分表达围成封闭图形(阴影部分)的面积是()A .⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎠⎛02(x 2－1)d x B .⎠⎛02(x 2－1)d xC.⎠⎛02|x 2－1|d xD .⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛02(x 2－1)d x解析 面积S ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝⎠⎛02|x 2－1|d x ，故选C.答案 C4．(2012·湖北卷)已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )A.2π5B.43C.32D.π2解析答案 B5．(2013·湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln5B ．8＋25ln 113 C ．4＋25ln5D ．4＋50ln2解析 令v (t )＝0,7－3t ＋251＋t＝0 ∴3t 2－4t －32＝0，∴t ＝4，则汽车行驶的距离为⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln (1＋t )|40＝7×4－32×42＋25ln5－0＝4＋25ln5，故选C.答案 C6．(2014·武汉调研)如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1x (x ＞0)图象下方的区域(阴影部分)，从D 内随机取一个点M ，则点M 取自E 内的概率为( )A.ln22B.1－ln22C.1＋ln22D.2－ln22解析答案 C二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．(2013·湖南卷)若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．解析 ∵⎠⎛0T x 2d x ＝x 33|T 0＝T33＝9，∴T ＝3. 答案 38．(2014·厦门市质检)计算：⎠⎛01(x 2＋1－x 2)d x ＝______.解析 ⎠⎛01(x 2＋1－x 2)d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛011－x 2d x ＝x 3310＋14π＝13＋π4.答案 13＋π49．已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5、C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．解析 设直线为y ＝kx ＋b ，代入A ，B 两点，得y ＝10x .代入B ，C 两点，则⎩⎨⎧5＝12k ＋b ，0＝k ＋b ，∴k ＝－10，b ＝10.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x ， 0≤x ≤12，－10x ＋10， 12＜x ≤1.∴y ＝xf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 2， 0≤x ≤12，－10x 2＋10x ， 12＜x ≤1.答案 54三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．若f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，求⎠⎛12f (x )x d x的值．解 ∵f (x )是一次函数，∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)．由⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax 2＋bx |10＝12a ＋b ＝5.① 由⎠⎛01xf (x )d x ＝176，得⎠⎛01(ax 2＋bx )d x ＝176.即⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12bx 2|10＝176. ∴13a ＋12b ＝176.②解①②，得a ＝4，b ＝3.∴f (x )＝4x ＋3. 于是⎠⎛12f (x )x d x ＝⎠⎛124x ＋3x d x ＝⎠⎛12(4＋3x )d x＝(4x ＋3ln x )|21＝8＋3ln2－4 ＝4＋3ln2.11．(2013·日照调研)如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标x 1＝0，x 2＝1， 所以抛物线与x 轴所围图形的面积 S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x 33|10＝12－13＝16. 又可得抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x ′1＝0，x ′2＝1－k ，所以S 2＝∫1－k0(x －x 2－kx )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－x 33|1－k0 ＝16(1－k )3.又知S ＝16，所以(1－k )3＝12. 于是k ＝1－ 312＝1－342.12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 在点x ＝1处有极值－2. (1)求常数a ，b 的值；(2)求曲线y ＝f (x )与x 轴所围成的图形的面积．解 (1)由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f (1)＝－2，且f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＋b ＝－2，3＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－3.(2)由(1)可知，f (x )＝x 3－3x .作出曲线y＝x3－3x的草图如图，所求面积为阴影部分的面积，由x3－3x＝0得曲线y＝x3－3x与x 轴的交点坐标是(－3，0)，(0,0)和(3，0)，而y＝x3－3x是R上的奇函数，所以函数图象关于原点成中心对称．所以所求图形的面积为。

定积分与微积分基本定理【考点导读】1． 了解定积分的实际背景，初步掌握定积分的相关概念，体会定积分的基本方法。

2． 了解微积分基本定理的含义，能利用微积分基本定理计算简单的定积分，解决一些简单的几何和物理问题。

【基础练习】1．下列等于1的积分是 （3） 。

（1）dx x ⎰10 （2）dx x ⎰+10)1( （3）dx ⎰101 （4）dx ⎰10212.曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴围成的面积是 52。

3．已知自由落体运动的速率v gt =，则落体运动从0t =到0t t =所走的路程为 220gt。

4．如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6cm ，则力所做的功为 0.18J 。

5．220(3)10,x k dx k +==⎰则1 , 8-=⎰__454 。

【范例导析】例1．计算下列定积分的值： （1）⎰--312)4(dx x x ；（2）⎰-215)1(dx x ；（3）dx x x ⎰+20)sin (π；（4）dx x ⎰-222cos ππ；分析：求函数()f x 在某一区间上的定积分，常用的方法有两种：一是利用定积分的几何意义，转化为曲边梯形的面积来处理；二是应用微积分基本定理，关键在于找到()F x ，使()()F x f x '=。

解：（1）3223311120(4)(2)|33x x dx x x ---=-=⎰ （2）因为56)1(])1(61[-='-x x ，所以61|)1(61)1(216215=-=-⎰x dx x ；（3）222200(sin )(cos )|128x x x dx x πππ+=-=+⎰ （4）22222221cos 2sin 2cos |2242x x x xdx dx πππππππ---+==+=⎰⎰dx x ⎰-222cos ππ点评：除了题目有明确要求之外，在求定积分的两种方法中我们基本上选用微积分基本定理解决问题，避免每次都要进行“分割、以直代曲、作和、逼近”的操作，不过有时候我们不容易找到比较()F x ，这时候用定义或者其几何意义就显得方便了。