【课堂新坐标】高中数学苏教版选修2-2练习：3.3复数的几何意义

高中数学学习材料（灿若寒星 精心整理制作）§3.3 复数的几何意义 课时目标 1.理解复平面及相关概念和复数平面内的点、向量的对应关系.2.掌握复数加减法的几何意义及应用.3.掌握复数模的概念及其几何意义．1．复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x 轴叫做________，y 轴叫做________，实轴上的点都表示________；除________外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．复数的两种几何意义复数z ＝a ＋b i 、复平面内的点Z (a ，b )和平面向量OZ →之间的关系可用下图来表示3．复数的模若z ＝a ＋b i ，则|z |＝__________.4．复数加减法的几何意义 (1)设复数z 1，z 2对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，则复数z 1＋z 2所对应的向量是以OZ 1→、OZ 2→为邻边的平行四边形的__________表示的向量OZ →，z 1－z 2所对应的向量是________．(2)两个复数差的模的几何意义就是复平面内与这两个复数对应的__________的________．一、填空题1．i ＋i 2在复平面内表示的点在第________象限．2．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于第________象限．3．若复数(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 表示的点在虚轴上，则实数m 的值为________．4．已知|log 3m ＋4i|＝5，则实数m ＝________.5．向量OZ 1→对应复数5－4i ，向量OZ 2→对应复数－5＋4i ，则向量OZ 1→＋OZ 2→对应复数________．6．在复平面内，复数1＋i 和1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则|AB→|＝________.7．在复平面上，复数－3－2i ，－4＋5i,2＋i ，z 分别对应点A ，B ，C ，D ，且ABCD 为平行四边形，则z ＝________.8．设复数z 满足条件|z |＝1，那么|z ＋22＋i|的最大值是________．二、解答题9．当实数m 为何值时，复数(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面中的对应点位于第四象限？位于x 轴的负半轴上？10．已知z ，ω为复数，(1＋3i)z 为纯虚数，ω＝z 2＋i，且|ω|＝52，求ω.能力提升11．已知ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，求点D 对应的复数．12．若z ∈C ，且|z |＝1，求|z －i|的最大值．1．复数的几何意义包含两种：复平面内的点和向量与复数的对应关系；两个复数差的模对应两点间的距离．2．利用复数的几何意义可以解决一些距离的范围、轨迹问题．答 案知识梳理1．实轴 虚轴 实数 原点3．a 2＋b 24．(1)对角线 Z 2Z 1→ (2)两点间 距离作业设计1．二2．一3．4解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －4＝0m 2－5m －6≠0， ∴m ＝4.4．27或127 解析 ∵log 23m ＋42＝5，∴log 23m ＝9， ∴log 3m ＝3或log 3m ＝－3，∴m ＝27或m ＝127. 5．0解析 (5－4i)＋(－5＋4i)＝0.6．2解析 AB →＝OB →－OA →＝1＋3i －(1＋i)＝2i ，∴|AB →|＝2.7．3－6i解析 由于AB →＝DC →，∴2＋i －z ＝(－4＋5i)－(－3－2i)，∴z ＝3－6i.8．4解析 复数z 满足条件|z |＝1，z 所对应的点的轨迹是单位圆，而|z ＋22＋i|即表示单位圆上的动点到定点(－22，－1)的距离．从图形上可得|z ＋22＋i|的最大值是4.9．解 当复数(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面上的对应点位于第四象限时， ⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15>0，m 2＋3m －28<0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m <3或m >5，－7<m <4.∴－7<m <3. 当复数(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面上的对应点位于x 轴的负半轴上时， ⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15<0， ①m 2＋3m －28＝0. ② 由②得m ＝－7或m ＝4，∵m ＝－7不适合①，∴m ＝4.10．解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(1＋3i)z ＝a －3b ＋(3a ＋b )i ，由题意，得a ＝3b ≠0.∵|ω|＝|z 2＋i |＝52，∴|z |＝a 2＋b 2＝510， 将a ＝3b 代入上式，得a ＝±15，b ＝±5，故ω＝±15＋5i 2＋i＝±(7－i)． 11．解 方法一 设D 点对应复数为x ＋y i (x ，y ∈R )，则D (x ，y )，又由已知A (1,3)，B (0，－1)，C (2,1)．∴AC 中点为⎝⎛⎭⎫32，2，BD 中点为⎝⎛⎭⎫x 2，y －12.∵平行四边形对角线互相平分，∴⎩⎨⎧ 32＝x 22＝y －12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝5. 即点D 对应的复数为3＋5i.方法二 设D 点对应的复数为x ＋y i (x ，y ∈R )．则AD →对应的复数为(x ＋y i)－(1＋3i)＝(x －1)＋(y －3)i ，又BC →对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i ，由已知AD →＝BC →.∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝2y －3＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3y ＝5. 即点D 对应的复数为3＋5i.12．解 方法一 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z －i|＝a 2＋(b －1)2.∵a 2＋b 2＝1，∴|z －i|＝2－2b .又∵|b |≤1，∴0≤2－2b ≤4，∴当b ＝－1时，|z －i|＝2为最大值．方法二 因为|z |＝1，所以点Z 是单位圆x 2＋y 2＝1上的点，|z －i|＝x 2＋(y －1)2表示点Z 与点(0,1)之间的距离，当点Z 位于(0，－1)时，|z －i|有最大值2.。

3.3 复数的几何意义1.了解复数的几何意义，并能简单应用.(重点)2.理解并会求复数的模，了解复数的模与实数绝对值之间的区别和联系.(易错点)3.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 复数的几何意义阅读教材P 120，完成下列问题.1.复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.2.复数的几何意义复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )――→ 一一对应―→复平面内的点Z (a ，b )――→ 一一对应―→向量OZ →.复数z ＝－1＋i 1＋i－1在复平面内，z 所对应的点在第________象限. 【解析】 z ＝i (i ＋1)1＋i－1＝i －1， ∴复数z 对应的点为(－1,1)在第二象限.【答案】 二教材整理2 复数的模阅读教材P 121“例1”以上部分，完成下列问题.1.定义向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |.2.公式|z |＝a 2＋b 2.3.几何意义复数z 对应点Z 到原点O 的距离.判断正误：(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上.( )(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.( )(3)复数的模一定是正实数.( )【答案】 (1)√ (2)× (3)×教材整理3 复数加减法的几何意义阅读教材P 122图3-3-5以下部分，完成下列问题.1.如图3-3-1所示，设向量OZ 1→，OZ 2→分别与复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 对应，且OZ 1→和OZ 2→不共线.以OZ 1→，OZ 2→为两条邻边画▱OZ 1ZZ 2.则向量OZ →与复数z 1＋z 2相对应；向量Z 2Z 1→与复数z 1－z 2相对应.图3-3-12.|z 1－z 2|＝(a －c )2＋(b －d )2，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA →与OB →，则向量AB →表示的复数是。

第4课时复数的几何意义教学过程一、问题情境实数可以用数轴上的点来表示.实数数轴上的点.类比实数的表示,复数能否也用点来表示?二、数学建构问题1怎样用平面内的点表示复数?怎样理解复平面、实轴、虚轴?解复数z=a+b i(a,b∈R)与有序实数对(a,b)是一一对应关系,而有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点Z(a,b)是一一对应的,复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.复数z=a+b i(a,b∈R)可用点Z(a,b)表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,也叫高斯平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数.因为原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.问题2复数与从原点出发的向量是如何对应的?解复数z=a+b i(a,b∈R)的对应向量是以原点O为起点的,否则就谈不上一一对应.问题3我们知道任何一个实数都有绝对值,它表示数轴上与这个实数对应的点到原点的距离;那么我们可以给出复数的绝对值的概念吗?复数可以用向量表示,任何一个向量都有模(或绝对值),它表示向量的长度,那么复数的模与向量的模有什么联系?复数的模的几何意义是什么?解|z|==||,表示复平面内该点到原点的距离.问题4既然复数可以用向量表示,那么复数的加法有什么几何意义呢?[1]问题5复数减法是复数加法的逆运算,怎样利用向量减法的几何意义来认识复数减法的几何意义?两个复数差的模有什么几何意义?[2]解|z1-z2|表示复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.通过该部分内容的学习,认识到复数加、减法的法则与平面向量加、减法的坐标形式是完全一致的,将数学不同知识之间建立起了联系.三、数学运用【例1】(教材第121页例1)在复平面内,分别用点和向量表示下列复数:4,2+i,-i,-1+3i,3-2i.[3](见学生用书P59)[处理建议]让学生上黑板画图,体会复数z=a+b i(a,b∈R)可用点Z(a,b)表示,也可以用原点O为起点的向量表示.[规范板书]如图,点A,B,C,D,E分别表示复数4,2+i,-i,-1+3i,3-2i.(例1)与之对应的向量可用,,,,来表示.[题后反思]了解复数的两种几何表示,常把复数z=a+b i说成点Z或向量.变式1在复平面内分别用点表示复数2-3i,5i,-3,-5+3i及其共轭复数.[规范板书]解复数2-3i,5i,-3,-5+3i表示的点分别为A,B,C,D,其对应的共轭复数表示的点分别为A',B',C',D'.作图如下:(变式)[题后反思]z,在复平面内对应的点关于x轴对称.变式2已知z=(x+1)+(y-1)i 在复平面所对应的点在第二象限,求x与y的取值范围.[规范板书]解由题得所以【例2】(教材第121页例2)已知复数z1=3+4i,z2=-1+5i,试比较它们模的大小.[4](见学生用书P60)[处理建议]要求学生口答复数模的计算公式.思考:z1,z2不能比较大小,为什么它们的模可以比较大小?[规范板书]解因为|z 1|==5,|z2|==,所以|z1|<|z2|.[题后反思]正确记忆复数模的计算公式,防止出现|z|=a2+b2;任意两个复数,它们的模都可以比较大小,但是两个复数,只要其中有一个不是实数,它们就不能比较大小.从自然数集逐步扩展到实数集,顺序性始终都是保持着的,但是在复数集中这一性质失去了.变式1已知复数z=(x-1)+(2x-1)i的模小于,那么实数x的取值范围是.提示由题意知(x-1)2+(2x-1)2<10,解得-<x<2.变式2已知复数z1=a+b i,z2=1+a i(a,b∈R),若|z1|<z2,则b的取值范围是(-1,1).提示因为|z1|<z2,所以z2为实数,故a=0,所以<1,即|b|<1,-1<b<1,所以b的取值范围是(-1,1).【例3】(教材第121页例3)设z∈C,满足下列条件的点Z的集合是什么图形?[5](1)|z|=2;(2) 2<|z|<3.(见学生用书P60)[处理建议]区分关于复数模的等式与不等式的几何意义.[规范板书](1)因为|z|=2,即||=2,所以满足|z|=2的点Z的集合是以原点为圆心、以2为半径的圆,如图(1).(例3(1))(例3(2))(2)不等式2<|z|<3可化为不等式组,不等式|z|>2的解集是圆|z|=2外部所有点组成的集合,不等式|z|<3的解集是圆|z|=3内部所有点组成的集合,这两个集合的交集就是上述不等式组的解集.因此,满是条件2<|z|<3的点Z的集合是以原点为圆心、分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环,但不包括圆环的边界,如图(2).[题后反思]了解复数模的几何意义,|z|表示复平面内该点到原点的距离.关于复数模的不等式组的几何意义是圆环(要区分是否包括边界).变式已知复数z满足条件z=x+y i,x<0,y>0,且x2+y2<9,求此复数在复平面内表示的图形.[规范板书]解如图所示,所求图形是以原点O为圆心的半径为3个单位长度的扇形OAB的内部,不包括边界和半径OA,OB.(变式)*【例4】设全集U=C,A={z|||z|-1|=1-|z|,z∈C},B={z||z|<1,z∈C},若z∈A∩(∁U B),求复数z在复平面内对应的点的轨迹.[6][处理建议]求复数z在复平面内对应的点的轨迹,由复数模的几何意义可知,只需求出|z|所满足的条件即可.而这由z∈A∩(∁U B)及集合的运算即可得出.[规范板书]解因为z∈C,所以|z|∈R,所以1-|z|∈R,由||z|-1|=1-|z|,得1-|z|≥0,即|z|≤1,所以A={z||z|≤1,z∈C}.又因为B={z||z|<1,z∈C},所以∁U B={z||z|≥1,z∈C}.因为z∈A∩(∁U B)等价于z∈A且z∈∁U B,所以成立,则有|z|=1,由复数模的几何意义知,复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心、以1为半径的圆.[题后反思]对于复数的模,可以从以下两个方面进行理解:一是任何复数的模都表示一个非负的实数;二是复数的模表示该复数在复平面内对应的点到原点的距离.所以复数的模是实数的绝对值概念由一维空间向二维空间的一种推广.四、课堂练习1.下面给出4个不等式,其中正确的是③.(填序号)①3i>2i;②|2+3i|>|1-4i|;③|2-i|>2i4;④i2>-i.提示由两个复数如果不都是实数就不能比较大小可知①④错误.又因为|2+3i|==,|1-4i|==,所以|2+3i|<|1-4i|,故②错误.|2-i|=>2i4=2,故③正确.2.复数z=(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为第四象限.提示因为z===-i,所以复数z对应的点的坐标为,在第四象限.3.若复数3-5i,1-i和-2+a i在复平面上对应的点在同一条直线上,则实数a的值为5.提示复数3-5i,1-i和-2+a i在复平面内对应的点分别为(3,-5),(1,-1),(-2,a),所以由三点共线的条件可得=,解得a=5.4.已知z1,z2为复数,且|z1|=1,若z1+z2=2i,则|z1-z2|的最大值是4.提示由z1+z2=2i得z1=2i-z2,代入|z1|=1得|2i-z2|=1,所以|z2-2i|=1,即z2轨迹是以(0,2)为圆心、以1为半径的圆(如图).又z1轨迹为以原点为圆心、以1为半径的圆,故|z1-z2|为两圆上点的距离,最大值为4.(第4题)五、课堂小结1.复数z=a+b i(a,b∈R)的对应点的坐标为(a,b),而不是(a,b i).2.复数z=a+b i(a,b∈R)的对应向量是以原点O为起点的,否则就谈不上一一对应.3.|z|==||.4.复数z=a+b i、点Z(a,b)和向量之间的关系如下图所示.正因如此,常把复数z=a+b i说成点Z或向量.这种对应关系架起了联系复数与解析几何之间的桥梁,使得复数问题可以用几何方法解决,而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法),这增加了解决复数问题的途径.(图1)。

[基础达标]1．若i(x ＋y i)＝3＋4i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 的模是________．解析：法一：因为i(x ＋y i)＝3＋4i ，所以x ＋y i ＝3＋4i i ＝（3＋4i ）（－i ）i （－i ）＝4－3i ，故|x ＋y i|＝|4－3i|＝42＋（－3）2＝5.法二：因为i(x ＋y i)＝3＋4i ，所以－y ＋x i ＝3＋4i ，所以x ＝4，y ＝－3，故|x ＋y i|＝|4－3i|＝42＋（－3）2＝5.法三：因为i(x ＋y i)＝3＋4i ，所以(－i)i(x ＋y i)＝(－i)·(3＋4i)＝4－3i ，即x ＋y i ＝4－3i ，故|x ＋y i|＝|4－3i|＝42＋（－3）2＝5.答案：52.已知z ＝cos π4＋isin π4，i 为虚数单位，那么平面内到点C (1，2)的距离等于|z |的点的轨迹是______________．解析：∵|z |＝1，∴轨迹是以点C 为圆心，1为半径的圆．答案：以点C 为圆心，1为半径的圆3.复数z ＝2－i 2＋i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为________． 解析：∵z ＝2－i 2＋i ＝（2－i ）2（2＋i ）（2－i ）＝4－4i －15＝35－45i ， ∴复数z 对应的点的坐标为(35，－45)，在第四象限． 答案：第四象限4.已知复数x 2－6x ＋5＋(x －2)i 在复平面内的对应点在第三象限，则实数x 的取值范围是____________．解析：由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x ＋5＜0，x －2＜0，解得1＜x ＜2. 答案：(1，2)5.在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1－2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为________．解析：由题意知A (－1，－2)，则B (2，1)，故向量OB →对应的复数为2＋i.答案：2＋i6.已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A ，B ，C ，若OC →＝xOA→＋yOB →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的值是________．解析：由已知，得OA →＝(－1，2)，OB →＝(1，－1)，OC →＝(3，－2)，∴xOA →＋yOB →＝x (－1，2)＋y (1，－1)＝(－x ＋y ，2x －y )．由OC →＝xOA →＋yOB →，可得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝3，2x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4，∴x ＋y ＝5. 答案：57.实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i ，(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)对应点在x 轴上方；(5)对应点在直线x ＋y ＋5＝0上？解：(1)由m 2－2m －15＝0，得m ＝5或m ＝－3.∴当m ＝5或m ＝－3时，z 为实数．(2)由m 2－2m －15≠0，得m ≠5且m ≠－3.∴当m ≠5且m ≠－3时，z 为虚数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －15≠0，m 2＋5m ＋6＝0，得m ＝－2. ∴当m ＝－2时，z 为纯虚数．(4)由m 2－2m －15＞0，得m ＜－3或m ＞5.∴当m ＜－3或m ＞5时，z 的对应点在x 轴上方．(5)由(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋5＝0，得m ＝－3－414或m ＝－3＋414. ∴当m ＝－3－414或m ＝－3＋414时，z 的对应点在直线x ＋y ＋5＝0上． 8.已知z 1＝x 2＋x 2＋1 i ，z 2＝(x 2＋a )i 对任意的x ∈R 均有|z 1|＞|z 2|成立，试求实数a 的取值范围．解：∵|z 1|＝ x 4＋x 2＋1，|z 2|＝|x 2＋a |，且|z 1|＞|z 2|，∴x 4＋x 2＋1＞|x 2＋a |对x ∈R 恒成立等价于(1－2a )x 2＋(1－a 2)＞0恒成立．不等式等价于①：1－2a ＝0，解得a ＝12， ∴a ＝12时，0·x 2＋⎝⎛⎭⎫1－14＞0恒成立． 或②：⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＞0，Δ＝－4（1－2a ）（1－a 2）＜0. 解得－1＜a ＜12.∴a ∈⎝⎛⎭⎫－1，12. 综上，可得实数a 的取值范围是{a |a ∈R ，且－1＜a ≤12}． [能力提升]1.复平面内长方形ABCD 的四个顶点中，点A ，B ，C 所对应的复数分别是2＋3i ，3＋2i ，－2－3i ，则点D 对应的复数是________．解析：设点D 对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )，由题意知AB →＝DC →，又AB →对应的复数为1－i ，DC →对应的复数为(－2－x )＋(－3－y )i ，所以－2－x ＝1，－3－y ＝－1. 所以x ＝－3，y ＝－2.所以点D 对应的复数为－3－2i.答案：－3－2i2.已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则y x的最大值为________．解析：|z －2|＝ （x －2）2＋y 2＝ 3，∴(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝⎛⎭⎫y x max ＝31＝ 3.答案： 33.已知复数z 1＝－3＋i ，z 2＝－12－32i ， (1)求|z 1|与|z 2|的值，并比较它们的大小．(2)设复平面内，复数z 满足|z 2|≤|z |≤|z 1|，复数z 对应的点Z 的集合是什么？解：(1)|z 1|＝ （－3）2＋12＝2.|z 2|＝ ⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫－322＝1. ∵2＞1，∴|z 1|＞|z 2|.(2)由(1)知|z 2|≤|z |≤|z 1|，则1≤|z |≤2.因为不等式|z |≥1的解集是圆|z |＝1上和该圆外部所有点的集合，不等式|z |≤2的解集是圆|z |＝2上和该圆的内部所有点组成的集合，所以满足条件1≤|z |≤2的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以1和2为半径的两圆及所夹的圆环．4.设z 1＝1＋2a i ，z 2＝a －i(a ∈R )，A ＝{z ||z －z 1|＜2}，B ＝{z ||z －z 2|≤22}，已知A ∩B ＝∅，求a 的取值范围．解：z 1＝1＋2a i ，z 2＝a －i.∵|z －z 1|＜2，∴|z －(1＋2a i)|＜ 2.∵|z －z 2|≤22，∴|z －(a －i)|≤2 2.由复数减法及模的几何意义知，集合A 是以(1，2a )为圆心，2为半径的圆的内部的点所对应的复数，集合B 是以(a ，－1)为圆心，22为半径的圆及其内部的点所对应的复数，若A ∩B ＝∅，则圆心距大于或等于两圆半径的和，即（1－a ）2＋（2a ＋1）2≥32，解得a ≤－2或a ≥85. ∴a 的取值范围为a ≤－2或a ≥85.。

3.3 复数的几何意义1、在复平面内,若()()2146z m i m i =+-+-所对应的点在第二象限,则实数m 的取值范围是( ) A. (0,3)B. (),2-∞-C. ()2,0-D. ()3,42、设复数z 满足关系式2z z i +=+,那么z 等于( ) A. 34i -+ B.34i - C. 34i -- D.34i + 3、复数12z a i =+,22z i =-+,如果12z z <,则实数a 的取值范围是( ) A. 11a -<<B. 1a >C. 0a >D. 1a <-或1a >4、已知i 为虚数单位, a R ∈,若()()()21111a a i a a i -++=-+-是纯虚数,则a 的值为( ) A. 1-或1B. 1C. 3D. 1-5、在复平面内,复数13i -,(1)(2)i i +-对应的点分别为,A B ,则线段AB 的中点C 对应的复数为( ) A. 42i -+ B. 42i -C. 2i -+D. 2i -6、已知复数123iz i+=-,i 是虚数单位,则复数z 的虚部是|( ) A.110i B.110 C. 710 D. 710i7、已知()2f x x =,i 是虚数单位,则在复平面中复数()13f i i++对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 8、若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内z 对应的点的坐标是( ) A.()2,4B.(2,4)-C.()4,2-D.()4,29、实部为-2,虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 10、已知复数z 满足()3425i z +=,则z = ( )A. 34i -B. 34i +C. 34i --D. 34i -+11、已知3z =,且3z i +是纯虚数,则复数z =__________.12、如果一个复数与它的模的和为5+,那么这个复数是 . 13、若1212,22z i z i =-=-+,1z 、2z 在复平面内所对应的点为1Z 、2Z ,则这两点之间的距离为_________.14、复数(),z x yi x y R =+∈满足条件42z i z -=+,则24xy+的最小值为_________.15、已知复数1cos z i θ=-,2sin z i θ=+,求12z z ⋅的最大值和最小值.答案以及解析1答案及解析： 答案：D解析：整理得()()2246z m m m m i =-+--,对应点在第二象限,则2240{60m m m m -<-->,解得34m <<.2答案及解析： 答案：D解析：设(),z x yi x y R =+∈,则2x yi i ++=+,所以2,{1,x y +==解得3,{41.x y ==所以34z i =+.3答案及解析： 答案：A解析：1z =,2z ==<可得11a -<<.4答案及解析： 答案：D解析：因为()()()21111a a i a a i -++=-+-是纯虚数,则210a -=且10a -≠, 所以1a =-, 故选D.5答案及解析： 答案：D解析：∵(1)(2)3i i i +-=+, ∴B 的坐标为(3,1).A 的坐标为(1,3)-,则线段AB 的中点C 的坐标为(2,1)-. ∴线段AB 的中点C 对应的复数为2i -.6答案及解析： 答案：C 解析：7答案及解析： 答案：A解析：因为函数()2f x x =,所以()()211f i i +=+,化简得()12f i i +=,所以()13f i i ++()()()232333i i i i i i -==++-26131310555i i i ++===+.根据复数的几何意义知, ()13f i i ++所对应的点的坐标为13,55⎛⎫⎪⎝⎭,所以其对应的点在第一象限.故应选A.8答案及解析： 答案：C解析：由24iz i =+,得2442iz i i+==-,∴z 对应的点的坐标为()4,2-.故选C.9答案及解析： 答案：B解析：实部为-2,虚部为1的复数在复平面内对应的点的坐标为()2,1-,位于第二象限.10答案及解析： 答案：A 解析：11答案及解析： 答案：3i解析：设()i ,R z a b a b =+∈,因为||3z =,所以229a b +=. 又3i i 3i (3)i z a b a b +=++=++为纯虚数, 所以0,30,a b =⎧⎨+≠⎩即0,3.a b =⎧⎨≠-⎩又229a b +=,所以0,3a b ==,所以3i z =.12答案及解析：答案：115解析：设这个复数为(),z x yi x y R =+∈,则5x yi ++=,∴5,{x y +==解得11,5{x y ==∴115z =+.13答案及解析：答案：2解析：1212532Z Z z z i =-=-+==.14答案及解析：答案：解析：∵(),z x yi x y R =+∈,42z i z -=+, ∴()()42x y i x yi +-=++, ∴()()222242x y x y +-=++, 即23x y +=,∴22422x y x y +=+≥=,当且仅当33,24x y ==时取等号.15答案及解析：答案：由复数的模的性质可得1212z z z z ⋅=⋅===∵sin 2[1,1]θ∈-,∴2192sin 22,44θ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,∴12z z ⋅的最大值为32,解析：。

高中数学学习材料（灿若寒星 精心整理制作）3.3复数的几何意义测试题一、选择题1．已知复数z 满足2230z z --=，则复数z 的对应点的轨迹是（ ） Ａ．一个圆Ｂ．线段我 Ｃ．两个点 Ｄ．两个圆 答案：Ａ 2．对于两个复数13i 22α=-+，13i 22β=--，有下列四个结论： ①1αβ=；②1αβ=；③1αβ=；④331αβ+=． 其中正确结论的个数为（ ） Ａ．1 Ｂ．2Ｃ．3 Ｄ．4 答案：Ｂ二、填空题3．设复数z 满足条件1z =，那么22i z ++的最大值是．答案：4 4．设z ∈C 且i 1z z -=-，则复数z 在复平面上的对应点()Z x y ，的轨迹方程是，i z +的最小值为 ．答案：0x y -=；22三、解答题 5．实数m 取何值时，复数2(1i)(i)z m m =+-+（1）是实数；（2）是纯虚数；（3）对应的点位于复平面的第一象限．解：22()(1)i z m m m =-+-．（1）由210m -=，解得1m =或1-， 1m ∴=或1-时，z 是实数；（2）由22100m m m ⎧-≠⎪⎨-=⎪⎩，，解得101m m ≠±⎧⎨=⎩，或， 即0m =，0m ∴=时，z 是纯虚数；（3）由22010m m m ⎧->⎪⎨->⎪⎩，，解得1011m m m m ><⎧⎨><-⎩或，或， 即1m >或1m <-，1m ∴>或1m <-时，z 对应的点位于复平面的第一象限。

6．在复平面上，正方形ABCD 的两个顶点A B ，对应的复数分别为12i +、35i -．求另外两个顶点C D ，对应的复数．解：设D 的坐标是()x y ，。

i (12i)1(2)i AD x y x y =+-+=-+-(12)x y =--，，(27)AB =-，， AD AB ⊥，∴有2(1)7(2)0x y ---=。

3.3 复数的几何意义1、在复平面内,若()()2146z m i m i =+-+-所对应的点在第二象限,则实数m 的取值范围是( )A. (0,3)B. (),2-∞-C. ()2,0-D. ()3,42、设复数z 满足关系式2z z i +=+,那么z 等于( )A. 34i -+B. 34i -C. 34i --D. 34i + 3、复数12z a i =+,22z i =-+,如果12z z <,则实数a 的取值范围是( )A. 11a -<<B. 1a >C. 0a >D. 1a <-或1a >4、已知i 为虚数单位, a R ∈,若()()()21111a a i a a i -++=-+-是纯虚数,则a 的值为( )A. 1-或1B. 1C. 3D. 1-5、在复平面内,复数13i -,(1)(2)i i +-对应的点分别为,A B ,则线段AB 的中点C 对应的复数为( )A. 42i -+B. 42i -C. 2i -+D. 2i - 6、已知复数123i z i +=-,i 是虚数单位,则复数z 的虚部是|( ) A. 110i B.110 C. 710 D. 710i 7、已知()2f x x =,i 是虚数单位,则在复平面中复数()13f i i++对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8、若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内z 对应的点的坐标是( )A.()2,4B.(2,4)-C.()4,2-D.()4,29、实部为-2,虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10、已知复数z 满足()3425i z +=,则z = ( )A. 34i -B. 34i +C. 34i --D. 34i -+11、已知3z =,且3z i +是纯虚数,则复数z =__________.12、如果一个复数与它的模的和为5+,那么这个复数是 .13、若1212,22z i z i =-=-+,1z 、2z 在复平面内所对应的点为1Z 、2Z ,则这两点之间的距离为_________.14、复数(),z x yi x y R =+∈满足条件42z i z -=+,则24x y +的最小值为_________. 15、已知复数1cos z i θ=-,2sin z i θ=+,求12z z ⋅的最大值和最小值.答案以及解析1答案及解析：答案：D解析：整理得()()2246z m m m m i =-+--,对应点在第二象限,则2240{60m m m m -<-->,解得34m <<.2答案及解析：答案：D解析：设(),z x yi x y R =+∈,则2x yi i ++=+,所以2,{1,x y +==解得3,{41.x y ==所以34z i =+.3答案及解析：答案：A解析：1z =,2z ==<可得11a -<<.4答案及解析：答案：D解析：因为()()()21111a a i a a i -++=-+-是纯虚数, 则210a -=且10a -≠,所以1a =-,故选D.5答案及解析：答案：D解析：∵(1)(2)3i i i +-=+,∴B 的坐标为(3,1).A 的坐标为(1,3)-,则线段AB 的中点C 的坐标为(2,1)-.∴线段AB 的中点C 对应的复数为2i -.6答案及解析：答案：C解析：7答案及解析：答案：A解析：因为函数()2f x x =,所以()()211f i i +=+,化简得()12f i i +=,所以()13f i i ++()()()232333i i i i i i -==++-26131310555i i i ++===+.根据复数的几何意义知, ()13f i i ++所对应的点的坐标为13,55⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以其对应的点在第一象限.故应选A.8答案及解析：答案：C解析：由24iz i =+,得2442i z i i+==-,∴z 对应的点的坐标为()4,2-.故选C.9答案及解析：答案：B解析：实部为-2,虚部为1的复数在复平面内对应的点的坐标为()2,1-,位于第二象限.10答案及解析：答案：A解析：11答案及解析：答案：3i解析：设()i ,R z a b a b =+∈,因为||3z =,所以229a b +=.又3i i 3i (3)i z a b a b +=++=++为纯虚数,所以0,30,a b =⎧⎨+≠⎩即0,3.a b =⎧⎨≠-⎩ 又229a b +=,所以0,3a b ==,所以3i z =.12答案及解析：答案：115解析：设这个复数为(),z x yi x y R =+∈,则5x yi ++=,∴5,{x y +==解得11,5{x y ==∴115z =+. 13答案及解析：答案：2解析：1212532Z Z z z i =-=-+==.14答案及解析：答案：解析：∵(),z x yi x y R =+∈,42z i z -=+,∴()()42x y i x yi +-=++,∴()()222242x y x y +-=++,即23x y +=,∴22422x y x y +=+≥=,当且仅当33,24x y ==时取等号.15答案及解析：答案：由复数的模的性质可得1212z z z z ⋅=⋅===∵sin 2[1,1]θ∈-,∴2192sin 22,44θ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,∴12z z ⋅的最大值为32,解析：由Ruize收集整理。

3.3复数的几何意义一、高考要求1、 了解复数的代数表示法及其几何意义，2、了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.二、基础知识梳理1、 复数的几何表示2、 复数的模3、 复数加法的几何意义4、 复数减法的几何意义5、若z ＝a ＋bi, (a, b ∈R), 则 | z |＝ ； z z ⋅＝ .6、设z 1=a+bi ，z 2=c+di ，则|z 1-z 2|=．三、课前热身 1、数i z i z -=+=1,321，则21z z z ⋅=在复平面内的对应点位于第 象限2、复平面内若复数i i m i m z 6)1()1(2-+-+= 所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是 3、a 为正实数，i 为虚数单位，2a i i +=，则a=4. 若12z i =+，则||z =5、复数ii i )1)(1(+-在复平面内对应点到原点的距离为 ． 典型例题例题1、如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3+2i,-2+4i ， 试求：（1）AO 、BC 所表示的复数；（2）对角线CA 所表示的复数;（3)求B 点对应的复数.例2 、设z ∈C ，求满足z+z1∈R 且|z －2|=2的复数z例3．已知复数z 满足|z – (4 – 5i)| = 1，求|z + i|的最大值与最小值．巩固练习1．已知复数134z i =-和24z i =-在复平面内所对应的向量分别为12,OZ OZ （其中O 为坐标原点），记向量12Z Z 所对应的复数为z ，则z 的共轭复数为_____________．2、 已知复数z 满足11z i --=，则z 的最小值是3、i 为虚数单位，则201111i i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭=4.复数z 1，z 2满足|z 1|=|z 2|=|z 2-z 1|=2，则|z 1+z 2|= ▲ .5、已知复数22(6)(2)()z m m m m i m R =+-++-∈在复平面内所对应的点为A ．（1）若复数4z m +为纯虚数，求实数m 的值；（2）若点A 在第二象限，求实数m 的取值范围；（3）求z 的最小值及此时实数m 的值．6、 已知z 1=x 2+12 x i ，z 2=(x 2+a)i 对于任意x ∈R 均有|z 1|＞|z 2|成立，试求实数a 的取值范围7、已知z ∈C ，2z i 和2z i 都是实数． （１）求复数z ；（２）若复数2()zai 在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围．8．已知虚数z 满足44z z i -=-，且141z z z -+-为实数，求z ．9、已知复数3||,121=-=z i z ，那么||21z z -的最大值是 。

复数的几何意义
一、教材分析
复数的几何意义是学生在学完复数后的一节课，它在复数内容中起着承上启下的关键作用，它是我们研究复数运算的重要根底，故学好本节内容至关重要。

然而，在之前学生已经学过实数的几何意义，实数的绝对值的意义，所以通过类比学生很容易理解复数的几何意义。

二、学情分析
学生已经学过实数的几何意义，实数的绝对值的意义，可以通过类比让学生自主和合作探究复数的几何意义相关知识。

三、教学目标
1知识与技能目标
理解复数的几何意义；根据复数的几何意义，在复平面内能描出复数的点；会运用复数的几何意义判断复数所在的象限及求复数的模
2过程与方法目标
通过类比实数的几何意义学习复数的几何意义，类比向量求模来学习求复数的模，培养学生的逻辑思维能力
3情感与态度价值观目标
通过复数的几何意义的学习，培养学生数形结合的数学思想，从而激发学生学习数学的兴趣
四、重点与难点
重点：复数的几何意义以及复数的模；
难点：复数的几何意义及模的综合应用
五、教法与学法
教法：本节主要让学生类比实数的几何意义和实数的绝对值的几何意义，探究出复数的几何意义；类比求向量的模公式探究出求复数模的公式学法：建议学生通过已学内容大胆探索复数的几何意义、复数的模的定义及公式
六、教学过程
七、作业布置
讲义——复数的几何性质八、板书设计。

复数的几何意义
教学目标
1．了解复数的几何意义．
2．会用复平面内的点和向量来表示复数． 3．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．
教学重点 复数的几何意义．
教学难点
复数与向量的关系,复数模的几何意义．
教学过程
活动一 复习引入
问题1 在数轴上描出以下实数所对应的点： 2,4,1,3--．
问题2 请作出与复数12z i =+所对应的点． 活动二 知识生成
1．复平面
问题 ①是不是任何一个复数都可以和复平面内的一个点相对应？
②是不是复平面内的任何一个点都可以和一个复数相对应？
2．复数的三种表示形式
3． 复数的模
例1 在复平面内，分别用点和向量表示下列复数,并比较这些复数的模的大小．
5,5,34,43,43i i i i -+-+-
活动三 复数的模的几何意义
例2 1满足2z =的复数z 对应的点在复平面上的轨迹是什么图形？
2满足23z <<的复数z 对应的点在复平面上的轨迹是什么图形？
问题 复数
12,z a bi z =+在
复平面上分别与点12,Z Z 相对应．
1．写出与复数12z z +相对应的点Z 的坐标．
2．已知复数12,z a bi z c di =+=+相对应的点12,Z Z ，作出12z z +对应的点Z ．
变式 满足下列条件的复数对应的点的轨迹是什么？
活动四 课堂小结
活动五 课后作业
1． 教材第123页练习4,5,6．
Z 2
Z 1
(1)15;
(2)(12)3z z i -=-+=。

3.3 复数的几何意义1.了解复数的几何意义，并能简单应用.(重点)2.理解并会求复数的模，了解复数的模与实数绝对值之间的区别和联系.(易错点)3.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 复数的几何意义 阅读教材P 120，完成下列问题. 1.复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴. 2.复数的几何意义复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )――→ 一一对应―→复平面内的点Z (a ，b )――→ 一一对应―→向量OZ →.复数z ＝－1＋i1＋i－1在复平面内，z 所对应的点在第________象限. 【解析】 z ＝i (i ＋1)1＋i－1＝i －1， ∴复数z 对应的点为(－1,1)在第二象限. 【答案】 二 教材整理2 复数的模阅读教材P 121“例1”以上部分，完成下列问题.1.定义向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |. 2.公式 |z |＝a 2＋b 2. 3.几何意义复数z 对应点Z 到原点O 的距离.判断正误：(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上.( )(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.( ) (3)复数的模一定是正实数.( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)× 教材整理3 复数加减法的几何意义阅读教材P 122图3-3-5以下部分，完成下列问题.1.如图3-3-1所示，设向量OZ 1→，OZ 2→分别与复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 对应，且OZ 1→和OZ 2→不共线.以OZ 1→，OZ 2→为两条邻边画▱OZ 1ZZ 2.则向量OZ →与复数z 1＋z 2相对应；向量Z 2Z 1→与复数z 1－z 2相对应.图3-3-12.|z 1－z 2|＝(a －c )2＋(b －d )2，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA →与OB →，则向量AB →表示的复数是________.【导学号：01580068】【解析】 因为复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA →与OB →，所以OA →＝(4,3)，OB →＝(－2，－5)，又AB →＝OB →－OA →＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，所以向量AB →表示的复数是－6－8i.【答案】 －6－8i[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_______________________________________________ 解惑：_______________________________________________ 疑问2：_______________________________________________ 解惑：_______________________________________________ 疑问3：_______________________________________________ 解惑：_______________________________________________[小组合作型](1)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的第________象限.(2)设复数z ＝1－2im －i (m ∈R )在复平面内对应的点为Z .①若点Z 在虚轴上，求m 的值；②若点Z 位于第一象限，求m 的取值范围.【自主解答】 (1)实部为－2，虚部为1的复数在复平面内对应的点为(－2,1)，位于第二象限.【答案】 二(2)z ＝1－2i m －i ＝(1－2i )(m ＋i )(m －i )(m ＋i )＝m ＋2m 2＋1＋1－2mm 2＋1i. ①∵点Z 在虚轴上，∴m ＋2m 2＋1＝0，则m ＝－2. ②点Z 位于第一象限，则m ＋2>0且1－2m >0， 解之得－2<m <12.故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12.复数可由复平面内的点或向量进行表示1.复数与复平面内点的对应：复数的实、虚部是该点的横、纵坐标，利用这一点，可把复数问题转化为平面内点的坐标问题.2.复数与复平面内向量的对应：复数实、虚部是对应向量的坐标，利用这一点，可把复数问题转化为向量问题.[再练一题]1.实数x 取什么值时，复平面内表示复数z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 的点Z ： (1)位于第三象限；(2)位于第四象限；(3)位于直线x －y －3＝0上. 【解】 因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数.(1)当实数x 满足⎩⎨⎧ x 2＋x －6＜0，x 2－2x －15＜0，即－3＜x ＜2时，点Z 位于第三象限.(2)当实数x 满足⎩⎨⎧x 2＋x －6＞0，x 2－2x －15＜0，即2＜x ＜5时，点Z 位于第四象限，(3)当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0，即3x ＋6＝0，x ＝－2时，点Z 位于直线x －y －3＝0上.(1)向量OA →对应的复数为1＋4i ，向量OB →对应的复数为－3＋6i ，则向量OA →＋OB →对应的复数为________.(2)若OA →，OB →对应的复数分别是7＋i,3－2i ，则|AB →|＝________. 【精彩点拨】 利用复数加减法的几何意义求解.【解析】 (1)(1＋4i)＋(－3＋6i)＝－2＋10i.即向量OA →＋OB →对应的复数为－2＋10i.(2)AB →对应复数为(3－2i)－(7＋i)＝－4－3i ， ∴|AB →|＝|－4－3i|＝(－4)2＋(－3)2＝5. 【答案】 (1)－2＋10i (2)51.根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算，同样满足三角形和平行四边形法则.2.复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能.[再练一题]2.在复平面内，A 、B 、C 分别对应复数z 1＝1＋i ，z 2＝5＋i ，z 3＝3＋3i ，以AB 、AC 为邻边作一个平行四边形ABDC ，求D 点对应的复数z 4及AD 的长.【解】 由复数加减法几何意义： AC →对应复数z 3－z 1， AB →对应复数z 2－z 1， AD →对应复数z 4－z 1，根据向量的平行四边形法则，得AD →＝AB →＋AC →. ∴z 4－z 1＝(z 2－z 1)＋(z 3－z 1)，∴z 4＝z 2＋z 3－z 1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i ，∴AD 的长为|AD →|＝|z 4－z 1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝2 10.[探究共研型]探究1 【提示】 复平面内的虚轴上的单位长度是1，而不是i.探究2 在复平面内，若复数|z |＝2，则复数z 对应的点的轨迹是什么？ 【提示】 复数z 对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为2的圆.已知复数z 1＝3－i ，z 2＝－12＋32i.(1)求|z 1|及|z 2|的值并比较大小.(2)设z ∈C ，满足|z 2|≤|z |≤|z 1|的点Z 的集合是什么图形？【精彩点拨】 (1)计算复数的模，首先确定复数的实部和虚部，然后代入模的计算公式；(2)根据复数及其模的几何意义，转化为判定复数对应点的坐标满足的条件.【自主解答】 (1)由复数模的定义： |z 1|＝|3－i|＝2，|z 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋32i ＝1.∴|z 1|>|z 2|.(2)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )， 则1≤|z |≤2. ∴1≤x 2＋y 2≤4.因为x 2＋y 2≥1表示圆x 2＋y 2＝1及其外部所有点组成的集合，x 2＋y 2≤4表示圆x 2＋y 2＝4及其内部所有点组成的集合.∴满足条件的点Z (x ，y )的集合是以O 为圆心，以1和2为半径的圆所夹的圆环，如图所示.1.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模即向量OZ →的模，复数的模可以比较大小. 2.复数的模的意义是表示复数对应的点到原点的距离，这可以类比实数的绝对值，也可类比以原点为起点的向量的模来加深理解.[再练一题]3.(1)若复数z 满足z (1＋i)＝2i(i 为虚数单位)，则|z |＝________.(2)若z ＝x ＋y i ，且|z |＝1，则复数Z 在复平面内对应的点P 的轨迹方程为________.【导学号：01580069】【解析】 (1)由z (1＋i)＝2i(i 为虚数单位)知， z ＝2i1＋i ＝2i·(1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i ，则|z |＝ 2. (2)由复数模的几何意知|z |＝1表示点P 到原点的距离为1，即x 2＋y 2＝1.所以点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1.【答案】 (1)2 (2)x 2＋y 2＝1[构建·体系]1.复平面内表示复数i(1－2i)的点位于第________象限. 【解析】 i(1－2i)＝2＋i 对应的点为(2,1)，位于第一象限.【答案】 一2.复数z ＝x －2＋(3－x )i 在复平面内的对应点在第四象限，则实数x 的取值范围是________.【解析】 ∵复数z 在复平面内对应的点在第四象限， ∴⎩⎨⎧x －2＞0，3－x ＜0，解得x ＞3. 【答案】 (3，＋∞)3.已知复数z ＝x －2＋y i(x ，y ∈R )的模是22，则点(x ，y )的轨迹方程是____. 【解析】 ∵|z |＝22， ∴(x －2)2＋y 2＝22， ∴(x －2)2＋y 2＝8. 【答案】 (x －2)2＋y 2＝84.已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则yx 的最大值为________. 【解析】 ∵|z －2| ＝(x －2)2＋y 2＝3， ∴(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 最大值＝31＝ 3.【答案】35.已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z . 【解】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则|z |＝a 2＋b 2，代入方程得，a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ， ∴⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－15，b ＝8，∴z ＝－15＋8i.我还有这些不足：(1)_______________________________________________(2)_______________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_______________________________________________(2)_______________________________________________。

§3．3复数的几何意义教学目标：知识与技能：理解复数与平面坐标系内的点及从原点出发的向量的对应关系；理解复数的模的定义，能利用定义求复数的模；过程与方法：了解复数加减法运算的几何意义；能类比点与向量知识理解模的相关内容；情感、态度与价值观：数与形的关系，看图得结论，不是论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用．教学重点：复数与的几何表示，直角坐标系内的点与从原点出发的向量．教学难点：复数加减法运算的几何意义及模的意义．教学过程：一、问题导引实数与数轴上的点是一一对应的，即实数可以用数轴上的点来表示；类比实数的表示，复数能否也用平面内的点来表示？二、数学建构一复数的点表示1、复数的几何表示：平面内的点指导学生阅读课本然后交流对“复平面〞、“实轴〞、“虚轴〞相关概念的理解．复平面、实轴、虚轴：复数=abia、b∈R与有序实数对a，b是一一对应关系这是因为对于任何一个复数=abia、b∈R，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对a，b惟一确定，如=32i可以由有序实数对3，2确定，又如=－2i可以由有序实数对－2，1来确定；又因为有序实数对a，b与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对3，2它与平面直角坐标系中的点A，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系．点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数=abia、b∈R可用点Za，b表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为0，0，它所确定的复数是=00i=0表示是实数．故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数在复平面内的原点0，0表示实数0，实轴上的点2，0表示实数2，虚轴上的点0，－1表示纯虚数－i，虚轴上的点0，5表示纯虚数5i非纯虚数对应的点在四个象限，例如点－2，3表示的复数是－23i，=－5－3i对应的点－5，－3在第三象限等等．复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应．这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．2、完成概念辨析：以下说法错误的选项是：〔1〕在复平面内，任意一点都对应于唯一复数；〔2〕在复平面内，假设两点关于实轴对称，那么这两点对应的复数共轭；〔3〕在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；〔4〕在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．此题组的目的，加强对复平面、实轴、虚轴的概念的理解，注意虚轴上的点未必都是纯虚数．3、复数在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数的取值范围．三、数学建构二复数的向量表示回忆：在直角坐标系内，点Z与向量是一一对应，那么复数与向量的关系如何？１．复平面内的点平面向量2．复数平面向量3．向量的模，即为复数的模，类比向量模的定义，给出练一练：求以下复数对应的点及它的模：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕思考：〔1〕，与之间有什么关系？〔2〕满足的的值有多少个？这些复数对应的点在复平面上构成怎样的图形？〔3〕那么满足的对应的点在复平面上构成怎样的图形？〔4〕那么满足的对应的点在复平面上构成怎样的图形？四、数学应用：复数加减法的几何意义1．复数的加减法abi±cdi=a±cb±di．与多项式加减法是类似的．就是把复数的实部与实部，虚部与虚局部别相加减．2．复数加法的几何意义：设复数1=abi，2=cdi，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为=a，b，=c，d以、为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，那么对角线OZ对应的向量是，∴= =a，bc，d=ac，bd＝acbdi3．复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设=a－cb－di，所以－1=2，21=，由复数加法几何意义，以为一条对角线，为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ2所表示的向量就与复数－1的差a－cb－di对应由于，所以，两个复数的差－1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应．探究：表示的几何意义是什么？练一练：1．复数对应点A，说明以下各式所表示的几何意义：〔1〕〔2〕〔3〕方程表示〔4〕方程表示〔5〕表示2．复数，假设复数满足等式，那么复数所对应的点的集合是什么图形？继续研究：此题中的最大值与最小值如何求？此类问题与所学的知识中哪局部相类似？五、课堂回忆知识层面方法层面学生层面。

3．3复数的几何意义[对应学生用书P43]复平面的定义问题1：平面向量可以用坐标表示，试想复数能用坐标表示吗？提示：可以．问题2：试说明理由．提示：因复数z＝a＋b i(a，b∈R)与有序实数对(a，b)惟一确定，由(a，b)与平面直角坐标系点一一对应，从而复数集与平面直角坐标系中的点集之间一一对应．建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．问题1：在复平面内作出复数z 所对应的点Z . 提示：如图所示．问题2：向量OZ u u u r和点Z 有何关系？提示：有一一对应关系．问题3：复数z ＝a ＋b i 与OZ u u u r有何关系？提示：也是一一对应．1．复数与点，向量间的对应关系2．复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应的向量为OZ u u u r ，则OZ u u u r的模叫做复数z 的模(或绝对值)，记作|z |，且|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.复数加减法的几何意义如图1OZ u u u r 、2OZ u u u u r分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 对应．问题1：试写出1OZ u u u r 、2OZ u u u u r 及1OZ u u u r ＋2OZ u u u u r 、1OZ u u u r －2OZ u u u u r的坐标． 提示：1OZ u u u r ＝(a ，b )，2OZ u u u u r＝(c ，d )，1OZ u u u r ＋2OZ u u u u r ＝(a ＋c ，b ＋d )，1OZ u u u r －2OZ u u u u r＝(a －c ，b －d )． 问题2：向量1OZ u u u r ＋2OZ u u u u r 及1OZ u u u r －2OZ u u u u r所对应的复数分别是什么？提示：(a ＋c )＋(b ＋d )i 及(a －c )＋(b －d )i.1．复数加法的几何意义设向量1OZ u u u r ，2OZ u u u u r 分别与复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 对应，且1OZ u u u r 和2OZ u u u u r不共线．如图，以1OZ u u u r ，2OZ u u u u r为邻边画平行四边形OZ 1ZZ 2，则其对角线OZ所表示的向量OZ u u u r OZ u u u r就是复数(a ＋c )＋(b ＋d )i 对应的向量．2．复数减法的几何意义复数的减法是加法的逆运算，设1OZ u u u r ，2OZ u u u u r 分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 相对应，且1OZ u u u r，2OZ u u u u r不共线，如图．则这两个复数的差z 1－z 2与向量1OZ u u u r －2OZ u u u u r (等于21Z Z u u u u r)对应，这就是复数减法的几何意义．3．设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则|z 1－z 2|＝(a －c )2＋(b －d )2，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离．1．复平面上点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部．2．表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它们是一一对应的；表示纯虚数的点都在虚轴上，但虚轴上的点不都表示纯虚数，如原点表示实数0.3．在平面向量中，向量的加法、减法的几何解释同复数加法、减法的几何解释是相同的．[对应学生用书P44]复数的几何意义[例1] 实数x 分别取什么值时，复数z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 对应的点Z 在下列位置？(1)第三象限；(2)第四象限；(3)直线x －y －3＝0上？[思路点拨] 利用复数与复平面内点之间的对应关系求解．若已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则当a <0且b <0时，复数z 对应的点在第三象限；当a >0且b <0时，复数z 对应的点在第四象限；当a －b －3＝0时，复数z 对应的点在直线x －y －3＝0上．[精解详析] 因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数． 若已知复数z ＝a ＋b i ，则当a ＜0，且b ＜0时，复数z 对应的点在第三象限； 当a ＞0，且b ＜0时，复数z 对应的点在第四象限； 当a －b －3＝0时，复数z 对应的点在直线x －y －3＝0上．(1)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6＜0，x 2－2x －15＜0，即－3＜x ＜2时，点Z 在第三象限．(2)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6＞0，x 2－2x －15＜0，即2＜x ＜5时，点Z 在第四象限．(3)当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0， 即x ＝－2时，点Z 在直线x －y －3＝0上．[一点通] 按照复数集和复平面内所有的点组成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数的实部、虚部的取值．1．(湖北高考改编)在复平面内，复数 z ＝2i1＋i (i 为虚数单位)的共轭复数对应点位于第________象限．解析：z ＝2i1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝2i (1－i )2＝i ＋1的共轭复数为1－i ，对应的点为(1，－1)在第四象限．答案：四2．求当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点分别满足下列条件：(1)位于第四象限； (2)位于x 轴的负半轴上．解：(1)由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15>0，m 2＋3m －28<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m <3或m >5，－7<m <4.即－7<m <3.故当－7<m <3时，复数z 的对应点位于第四象限．(2)由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15<0 ①m 2＋3m －28＝0 ②由②得m ＝－7或m ＝4. 因m ＝－7不适合不等式①， m ＝4适合不等式①， 所以m ＝4.故当m ＝4时，复数z 的对应点位于x 轴的负半轴上．复数模及其几何意义的应用[例2] 已知复数z 1＝3－i 及z 2＝－12＋32i.(1)求|z 1|及|z 2|的值并比较它们的大小；(2)设z ∈C ，满足|z 2|≤|z |≤|z 1|的点z 的集合是什么图形．[思路点拨] 由复数的模长公式求出|z 1|及|z 2|，然后比较大小；(2)根据点数模的几何意义画出图形．[精解详析] (1)|z 1|＝|3－i|＝(3)2＋(－1)2＝2， |z 2|＝⎪⎪⎪⎪－12＋32i ＝⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫322＝1，所以|z 1|＞|z 2|.(2)由(1)知1≤|z |≤2，因为不等式|z |≥1的解集是圆|z |＝1上和该圆外部所有点组成的集合，不等式|z |≤2的解集是圆|z |＝2上和该圆内部所有点组成的集合，所以满足条件1≤|z |≤2的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示．[一点通] (1)计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．(2)复数的模表示该复数在复平面内对应点到原点的距离．3．(辽宁高考改编)复数z ＝1i －1的模为________． 解析：∵z ＝1－1＋i ＝－1－i (－1＋i )(－1－i )＝－1－i2＝－12－12i ，∴|z |＝ ⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫－122＝22. 答案：224．已知z ＝3＋a i ，且|z －2|＜2，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵z ＝3＋a i ，∴z －2＝1＋a i ， ∴|z －2|＝1＋a 2<2，即1＋a 2<4，∴a 2<3，即－3<a < 3. 答案：(－3，3)5．设z ∈C ，则满足条件|z |＝|3＋4i|的复数z 在复平面上对应的点Z 的集合是什么图形？ 解：法一：由|z |＝|3＋4i|得|z |＝5.这表明向量OZ u u u r的长度等于5，即点Z 到原点的距离等于5.因此满足条件的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以5为半径的圆． 法二：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |2＝x 2＋y 2. ∵|3＋4i|＝5，∴由|z |＝|3＋4i|得x 2＋y 2＝25，∴点Z 的集合是以原点为圆心，以5为半径的圆．[例3] 已知▱OABC 的三个顶点O ，A ，C 对应的复数分别为0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1) AO u u u r 表示的复数；(2) CA u u r表示的复数；(3)点B 对应的复数．[思路点拨] 点O ，A ，C 对应的复数――――――→向量的坐标表示AO u u u r ，CA u u r ，OBu u u r的坐标形式――――――→复数在复平面上与向量一一对应AO u u u r ，CA u u r ，OBu u u r 对应的复数[精解详析] (1)AO u u u r ＝－OA u u r ，故AO u u u r表示的复数为－(3＋2i)，即－3－2i. (2)CA u u r ＝OA u u r －OC u u u r ，故CA u u r表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)OB u u u r ＝OA u u r ＋AB u u u r ＝OA u u r ＋OC u u ur ，故OB u u u r 表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即点B 对应的复数为1＋6i.[一点通] (1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加、减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．(2)复数的加、减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则． (3)复数及其加、减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能．6．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1＋2i 在复平面内对应的点分别为A 、B ，求AB u u u r对应的复数z ，z 在平面内对应的点在第几象限？解：z ＝z 2－z 1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i ， ∵z 的实部－1<0，虚部1>0，∴复数z 在复平面内对应的点在第二象限内．7．在复平面内，点A 、B 、C 分别对应复数z 1＝1＋i ，z 2＝5＋i ，z 3＝3＋3i.以AB 、AC 为邻边作一个平行四边形ABDC ，求D 点对应的复数z 4及AD 的长．解：如图，由复数加减法的几何意义， AD u u u r ＝AB u u u r ＋AC u u ur ，即z 4－z 1＝(z 2－z 1)＋(z 3－z 1)． 所以z 4＝z 2＋z 3－z 1＝7＋3i.|AD |＝|z 4－z 1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝210.1．复数模的几何意义复数模的几何意义架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径． (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应点的坐标为(a ，b )，而不是(a ，b i)；(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应向量OZ u u u r是以原点O 为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ u u u r相等的向量有无数个．2．复数的模(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2；(2)从几何意义上理解，表示点Z 和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z 1－z 2|表示点Z 1和点Z 2之间的距离．[对应学生用书P45]一、填空题1．若OA u u r 、OB u u u r 对应的复数分别是7＋i,3－2i ，则|AB u u u r|＝________.解析：∵OA u u r ＝(7,1)，OB u u u r＝(3，－2)， ∴AB u u u r ＝OB u uu r －OA u u r ＝(－4，－3)，∴|AB u u u r|＝5.答案：52．(重庆高考改编)复平面内表示复数i(1－2i)的点位于第________象限． 解析：i(1－2i)＝2＋i 对应的点为(2,1)，位于第一象限． 答案：一3．若z ＋|z |＝2＋8i ，则z ＝________. 解析：法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则|z |＝a 2＋b 2，代入方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝8，所以z ＝－15＋8i.法二：原式可化为z ＝2－|z |＋8i ， ∵|z |∈R ，∴2－|z |是z 的实部． 于是|z |＝(2－|z |)2＋82，即|z |2＝68－4|z |＋|z |2，∴|z |＝17.代入z ＝2－|z |＋8i ，得z ＝－15＋8i. 答案：－15＋8i4．已知z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R )，若z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a ＝________. 解析：z 1＋z 2＝2＋i ＋3＋a i ＝5＋(a ＋1)i ，由z 1＋z 2所对应的点在实轴上可知a ＋1＝0，即a ＝－1. 答案：－15．(新课标全国卷Ⅰ改编)设z ＝11＋i ＋i ，则|z |＝________.解析：11＋i ＋i ＝1－i(1＋i )·(1－i )＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，则|z |＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫122＝22. 答案：22二、解答题6．若复数z ＝(m 2＋m －2)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R )的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合．解：由题意得z ＝(m 2＋m －2)－(4m 2－8m ＋3)i ，z 对应的点位于第一象限，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －2>0，－(4m 2－8m ＋3)>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2>0，4m 2－8m ＋3<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m <－2或m >1，12<m <32，即1<m <32，故所求m 的集合为⎩⎨⎧m ⎪⎪⎭⎬⎫1<m <32. 7．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i. (1)求AB u u u r ，BC u u ur ，AC u u u r 对应的复数；(2)判断△ABC 的形状；(3)求△ABC 的面积．解：(1)AB u u u r对应的复数为z B －z A ＝(2＋i)－1＝1＋i. BC u u u r对应的复数为z C －z B ＝(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i.AC u u u r对应的复数为z C －z A ＝(－1＋2i)－1＝－2＋2i.(2)由(1)知|AB u u u r|＝|1＋i|＝2，|BC u u u r |＝|－3＋i|＝10，|AC u u u r |＝|－2＋2i|＝22， ∴|AB u u u r|2＋|AC u u u r |2＝|BC u u u r |2.故△ABC 为直角三角形．(3)S △ABC ＝12|AB u uu r |·|AC u u u r |＝12×2×22＝2.8．若z ∈C 且|z ＋2－2i|＝1，求|z －2－2i|的最小值．解：已知|z－(－2＋2i)|＝1中，z的对应点轨迹是以(－2,2)为圆心，1为半径的圆，|z－(2＋2i)|表示圆上的点与点(2,2)之间的距离，最小值为圆心与点(2,2)的距离减去半径，易得值为3.。

明目标、知重点 1.了解复数的几何意义，会用复平面上的点表示复数.2.了解复数的加减运算的几何意义.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法．1．复数的几何意义任何一个复数z ＝a ＋bi 和复平面内Z(a ，b)一一对应，和以原点为起点，以Z(a ，b)为终点的向量OZ →一一对应． 2．复数的模设z ＝a ＋bi ，则|z|＝a 2＋b 2. 3．复平面中两点的距离两个复数差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离．[情境导学]我们知道实数的几何意义，实数与数轴上的点一一对应，实数可用数轴上的点来表示，那么复数的几何意义是什么呢？ 探究点一 复数与复平面内的点思考1 实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？答 任何一个复数z ＝a ＋bi ，都和一个有序实数对(a ，b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一一对应．小结 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 思考2 判断下列命题的真假：①在复平面内，对应于实数的点都在实轴上； ②在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上； ③在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数； ④在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数； ⑤在复平面内，对应于非纯虚数的点都分布在四个象限．答 根据实轴的定义，x 轴叫实轴，实轴上的点都表示实数，反过来，实数对应的点都在实轴上，如实轴上的点(2,0)表示实数2，因此①③是真命题；根据虚轴的定义，y 轴叫虚轴，显然所有纯虚数对应的点都在虚轴上，如纯虚数5i 对应点(0,5)，但虚轴上的点却不都是纯虚数，这是因为原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z ＝0＋0i ＝0表示的是实数，故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，所以②是真命题，④是假命题；对于非纯虚数z ＝a ＋bi ，由于a≠0，所以它对应的点Z(a ，b)不会落在虚轴上，但当b ＝0时，z 所对应的点在实轴上，故⑤是假命题．例 1在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 对应的点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y ＝x 上，分别求实数m 的取值范围．解 复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 的实部为m 2－m －2，虚部为m 2－3m ＋2. (1)由题意得m 2－m －2＝0. 解得m ＝2或m ＝－1.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2<0m 2－3m ＋2>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<m<2m>2或m<1， ∴－1<m<1.(3)由已知得m 2－m －2＝m 2－3m ＋2， 故m ＝2.反思与感悟 按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．跟踪训练1 实数m 取什么值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i (1)对应的点在x 轴上方；(2)对应的点在直线x ＋y ＋4＝0上．解 (1)由m 2－2m －15>0，得m<－3或m>5，所以当m<－3或m>5时，复数z 对应的点在x 轴上方． (2)由(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋4＝0， 得m ＝1或m ＝－52，所以当m ＝1或m ＝－52时，复数z 对应的点在直线x ＋y ＋4＝0上． 探究点二 复数与向量思考1 复数与复平面内的向量怎样建立对应关系？答 当向量的起点在原点时，该向量可由终点唯一确定，从而可与该终点对应的复数建立一一对应关系．思考2 怎样定义复数z 的模？它有什么意义？答 复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)的模就是向量OZ →＝(a ，b)的模，记作|z|或|a ＋bi|. |z|＝|a ＋bi|＝a 2＋b 2可以表示点Z(a ，b)到原点的距离． 例 2已知复数z ＝3＋ai ，且|z|<4，求实数a 的取值范围． 解 方法一 ∵z ＝3＋ai(a ∈R)， ∴|z|＝32＋a 2，由已知得32＋a 2<42，∴a 2<7，∴a ∈(－7，7)．方法二 利用复数的几何意义，由|z|<4知，z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z ＝3＋ai 知z 对应的点在直线x ＝3上， 所以线段AB(除去端点)为动点Z 的集合．由图可知：－7<a<7.反思与感悟 利用模的定义将复数模的条件转化为其实虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想；根据复数模的意义，结合图形，可利用平面几何知识解答本题． 跟踪训练2 求复数z 1＝3＋4i ，z 2＝－12－2i 的模，并比较它们的大小．解 |z 1|＝32＋42＝5，|z 2|＝(－12)2＋(－2)2＝32.∵5>32，∴|z 1|>|z 2|.探究点三 复数加减法的几何意义思考1 复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？答 如图，设OZ 1→，OZ 2→分别与复数a ＋bi ，c ＋di 对应，则有OZ 1→＝(a ，b)，OZ 2→＝(c ，d)，由向量加法的几何意义OZ 1→＋OZ 2→＝(a ＋c ，b ＋d)，所以OZ 1→＋OZ 2→与复数(a ＋c)＋(b ＋d)i 对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行． 思考2 怎样作出与复数z 1－z 2对应的向量？答 z 1－z 2可以看作z 1＋(－z 2)．因为复数的加法可以按照向量的加法来进行．所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z 1－z 2对应的向量(如图)．图中OZ 1→对应复数z 1，OZ 2→对应复数z 2，则Z 2Z 1→对应复数z 1－z 2.例3 如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i.求：(1)AO →表示的复数； (2)对角线CA →表示的复数； (3)对角线OB →表示的复数．解 (1)因为AO →＝－OA →，所以AO →表示的复数为－3－2i.(2)因为CA →＝OA →－OC →，所以对角线CA →表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为对角线OB →＝OA →＋OC →，所以对角线OB →表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i. 反思与感悟 复数的加减法可以转化为向量的加减法，体现了数形结合思想在复数中的运用．跟踪训练 3已知|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，求|z 1＋z 2|. 解 方法一 设z 1＝a ＋bi ， z 2＝c ＋di(a ，b ，c ，d ∈R)， ∵|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1， ∴a 2＋b 2＝c 2＋d 2＝1，① (a －c)2＋(b －d)2＝1.② 由①②得2ac ＋2bd ＝1， ∴|z 1＋z 2|＝(a ＋c)2＋(b ＋d)2 ＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2＋2ac ＋2bd ＝ 3. 方法二 设O 为坐标原点，z 1、z 2、z 1＋z 2对应的复数分别为A 、B 、C. ∵|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，∴△OAB 是边长为1的正三角形，∴四边形OACB 是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z 1＋z 2|是菱形的较长的对角线OC 的长， ∴|z 1＋z 2|＝|OC|＝|OA|2＋|AC|2－2|OA||AC|cos 120°＝ 3. 方法三 ∵|z 1＋z 2|2＋|z 1－z 2|2＝2(|z 1|2＋|z 2|2) ∴|z 1＋z 2|2＝2(|z 1|2＋|z 2|2)－|z 1－z 2|2 ＝2(12＋12)－12＝3. ∴|z 1＋z 2|＝ 3.1．在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋2mi 的点在直线y ＝x 上，则实数m 的值为________． 答案 9解析 ∵z ＝(m －3)＋2mi 表示的点在直线y ＝x 上， ∴m －3＝2m ，解之得m ＝9.2．已知复数(2k 2－3k －2)＋(k 2－k)i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数k 的取值范围是__________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－12，0∪(1,2) 解析 ∵复数对应的点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k 2－3k －2<0，k 2－k>0， 即⎩⎪⎨⎪⎧－12<k<2，k<0或k>1.∴k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，0∪(1,2)． 3．若复数z 1＝－1，z 2＝2＋i 分别对应复平面上的点P 、Q ，则向量PQ →对应的复数是________． 答案 3＋i解析 ∵P(－1,0)，Q(2,1)，∴PQ →＝(3,1)， ∴PQ →对应的复数为3＋i.4．若|z －2|＝|z ＋2|，则|z －1|的最小值是________． 答案 1解析 由|z －2|＝|z ＋2|，知z 对应点的轨迹是到(2,0)与到(－2,0)距离相等的点，即虚轴． |z －1|表示z 对应的点与(1,0)的距离．∴|z －1|min ＝1. [呈重点、现规律]1．复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应．2．研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑.一、基础过关1．复数z ＝3＋i 3对应的点在复平面第________象限． 答案 四解析 z ＝3＋i 3＝3－i ，∴z 对应点Z(3，－1)在第四象限．2．当0<m<1时，z ＝(m ＋1)＋(m －1)i 对应的点位于第________象限． 答案 四解析 ∵0<m<1，∴m ＋1>0，－1<m －1<0， 故对应的点在第四象限内．3．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B.若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是________． 答案 2＋4i解析 A(6,5)，B(－2,3)，∵C 为AB 的中点，∴C(2,4)， ∴点C 对应的复数为2＋4i.4．复数|z －2－i|＝1代表的曲线为________________________________________________． 答案 以(2,1)为圆心，1为半径的圆5．已知复数z ＝a ＋3i 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z ＝__________. 答案 －1＋3i解析 因为z 在复平面内对应的点位于第二象限， 所以a<0，由|z|＝2知，a 2＋(3)2＝2， 解得a ＝±1，故a ＝－1， 所以z ＝－1＋3i.6．若复数(－6＋k 2)－(k 2－4)i(k ∈R)所对应的点在第三象限，则k 的取值范围是________． 答案 2<k<6或－6<k<－2 解析 ∵z 位于第三象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2－6<0，4－k 2<0， ∴2<k<6或－6<k<－2.7．(1)已知向量OZ →与实轴正向的夹角为45°，向量OZ →对应的复数z 的模为1，求z. (2)若z ＋|z|＝2，求复数z. 解 (1)设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)． ∵OZ →与x 轴正向的夹角为45°，|z|＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧b a＝1a 2＋b 2＝1a>0或⎩⎪⎨⎪⎧ba＝－1a 2＋b 2＝1a>0，∴⎩⎨⎧a ＝22b ＝22或⎩⎨⎧a ＝22b ＝－22.∴z ＝22＋22i 或z ＝22－22i. (2)∵z ＋|z|＝2，∴z ＝2－|z|∈R ， ∴当z≥0时，|z|＝z ，∴z ＝1， 当z<0时，无解，∴z ＝1. 二、能力提升8．已知|z 1|＝3，|z 2|＝2，|z 1＋z 2|＝22，则|z 1－z 2|＝________. 答案2解析 ∵|z 1＋z 2|＝22， 即|OZ 1→＋OZ 2→|＝2 2. ∴OZ 1→2＋2OZ 1→·OZ 2→＋OZ →22＝8. ∴2OZ 1→·OZ 2→＝8－3－2＝3.∴|z 1－z 2|2＝OZ 1→2－2OZ 1→·OZ 2→＋OZ 2→2 ＝3－3＋2＝2. ∴|z 1－z 2|＝ 2.9．复数1＋cos α＋isin α(π<α<2π)的模为________． 答案 －2cos α2解析 |1＋cos α＋isin α|＝(1＋cos α)2＋sin 2 α ＝2(1＋cos α)＝4cos 2 α2＝2|cos α2|，∵π<α<2π，∴π2<α2<π，∴cos α2<0，∴|1＋cos α＋isin α|＝－2cos α2.10．已知复数z ＝(x －1)＋(2x －1)i 的模小于10，则实数x 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－45，2 解析 根据模的定义得(x －1)2＋(2x －1)2<10， ∴5x 2－6x －8<0， ∴(5x ＋4)(x －2)<0， ∴－45<x<2.11.实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点： (1)位于第四象限；(2)位于x 轴负半轴上； (3)在上半平面(含实轴)．解 (1)要使点位于第四象限，须⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15>0m 2＋3m －28<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m<3或m>5－7<m<4，∴－7<m<3. (2)要使点位于x 轴负半轴上，须⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－8m ＋15<0m 2＋3m －28＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3<m<5m ＝－7或m ＝4，∴m ＝4.(3)要使点位于上半平面(含实轴)，须m 2＋3m －28≥0， 解得m≥4或m≤－7.12.已知复数z 对应的向量为OZ →(O 为坐标原点)，OZ →与实轴正向的夹角为120°且复数z 的模为2，求复数z.解 根据题意可画图形如图所示： 设点Z 的坐标为(a ，b)， ∵|OZ →|＝|z|＝2，∠xOZ ＝120°， ∴a ＝－1，b ＝3，即点Z 的坐标为(－1，3)， ∴z ＝－1＋3i. 三、探究与拓展13．试研究方程x 2－5|x|＋6＝0在复数集上解的个数． 解 设x ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，则原方程可化为 a 2－b 2－5a 2＋b 2＋6＋2abi ＝0⇒⎩⎨⎧a 2－b 2－5a 2＋b 2＋6＝0，2ab ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝±2，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝±3，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝±1， 即x ＝±2或x ＝±3或x ＝±i. 故方程在复数集上的解共有6个．。

复数的几何意义.了解复数的几何意义，并能简单应用.(重点).理解并会求复数的模，了解复数的模与实数绝对值之间的区别和联系.(易错点) .了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.(重点、难点)[基础·初探]教材整理复数的几何意义阅读教材，完成下列问题..复平面轴叫做复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做实轴.虚轴，轴叫做.复数的几何意义复数＝＋(，∈)一一对应))―→复平面内的点(，)一一对应))―→向量.复数＝－在复平面内，所对应的点在第象限.【解析】＝－＝－，∴复数对应的点为(－)在第二象限.【答案】二教材整理复数的模阅读教材“例”以上部分，完成下列问题..定义向量的模叫做复数＝＋的模，记作..公式＝..几何意义复数对应点到原点的距离.判断正误：()在复平面内，对应于实数的点都在实轴上.( )()在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.( )()复数的模一定是正实数.( )【答案】()√()×()×教材整理复数加减法的几何意义阅读教材图--以下部分，完成下列问题..如图--所示，设向量，分别与复数＝＋，＝＋对应，且和不共线.以，.则向量与复数为两条邻边画▱－＋与复数相对应.向量相对应；图--－＝，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.复数＋与－－分别表示向量与，则向量表示的复数是.【导学号：】【解析】因为复数＋与－－分别表示向量与，所以＝()，＝(－，－)，又＝－＝(－，－)－()＝(－，－)，所以向量表示的复数是－－.【答案】－－[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：解惑：疑问：。