数学北师大版七年级下册专题复习——与轴对称有关的线段最值问题

第五章ﻩ生活中的轴对称一、轴对称图形１、假如一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重叠，那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴。

2、了解轴对称图形要抓住如下几点：(1）指一个图形;(２)存在一条直线(对称轴)；(3)图形被直线提成的两部分相互重叠；(４)轴对称图形的对称轴有的只有一条，有的则存在多条;（5）线段、角、长方形、正方形、菱形、等腰三角形、圆都是轴对称图形;二、轴对称1、对于两个图形,假如沿一条直线对折后,它们能相互重叠,那么称这两个图形成轴对称,这条直线就是对称轴。

能够说成：这两个图形有关某条直线对称。

2、了解轴对称应注意:(１）有两个图形;（2）沿某一条直线对折后能够完全重叠;（３）轴对称的两个图形一定是全等形,但两个全等的图形不一定是轴对称图形；(4）对称轴是直线而不是线段;轴对称图形轴对称区分是一个图形自身的对称特性是两个图形之间的对称关系对称轴也许不止一条对称轴只有一条共同点沿某条直线对折后都能够相互重叠假如轴对称的两个图形看作一个整体,那么它就是一个轴对称图形;假如把轴对称图形提成两部分(两个图形）,那么这两部分有关这条对称轴成轴对称。

三、角平分线的性质1、角平分线所在的直线是该角的对称轴。

2、性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

四、线段的垂直平分线1、垂直于一条线段并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫线段的中垂线。

2、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。

五、等腰三角形1、有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；２、相等的两条边叫做腰;另一边叫做底边；3、两腰的夹角叫做顶角,腰与底边的夹角叫做底角；4、三条边都相等的三角形也是等腰三角形。

5、等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴（等边三角形除外），其底边上的高或顶角的平分线,或底边上的中线所在的直线都是它的对称轴。

６、等腰三角形的三条重要线段不是它的对称轴，它们所在的直线才是等腰三角形的对称轴。

七年级数学(下)复㊀习㊀课㊀开心预习梳理,轻松搞定基础.㊀重难疑点,一网打尽.１．把一个图形沿一条直线翻折过去,如果㊀㊀㊀㊀㊀㊀,那么这两个图形关于这条直线成轴对称．２．如果一个图形沿一条直线对折,直线㊀㊀㊀㊀的部分能够㊀㊀㊀㊀,那么这个图形叫做轴对称图形．３．线段是㊀㊀㊀㊀图形,它有㊀㊀㊀㊀条对称轴,线段的垂直平分线是它的一条㊀㊀㊀㊀,线段的垂直平分线上的点到㊀㊀㊀㊀的距离相等．４．角是㊀㊀㊀㊀图形,对称轴是㊀㊀㊀㊀,角平分线上的点到㊀㊀㊀㊀的距离相等．５．等腰三角形是㊀㊀㊀㊀图形,有㊀㊀㊀㊀条对称轴,是㊀㊀㊀㊀,其主要性质有(１)㊀㊀㊀㊀;(２)㊀㊀㊀㊀;(３)㊀㊀㊀㊀．６．等边三角形有㊀㊀㊀㊀条对称轴,是㊀㊀㊀㊀．其主要性质有㊀㊀㊀㊀．７．如图,把一个长方形纸片沿E F 折叠后,点D ㊁C 分别落在D ᶄ㊁C ᶄ的位置．若øE F B ＝６５ʎ,则øA E D ᶄ等于(㊀㊀)．A．７０ʎB ．６５ʎC ．５０ʎD．２５ʎ(第７题)㊀㊀㊀㊀(第８题)圆是轴对称图形．㊀㊀８．如图,三角形纸片A B C ,A B ＝１０c m ,B C ＝７c m ,A C ＝６c m ,沿过点B 的直线折叠三角形,使顶点C 落在边A B 上的点E 处,折痕为B D ,则әA E D 的周长为㊀㊀㊀㊀cm ．９．如图,等边әA B C 的边长为１c m ,D ㊁E 分别是A B ㊁A C 上的点,将әA D E 沿直线D E 折叠,点A 落在点A ᶄ处,且点A ᶄ在әA B C 外部,则阴影部分的周长为㊀㊀㊀㊀c m ．(第９题)㊀㊀㊀㊀(第１０题)１０．如图,将矩形A B C D 沿B E 折叠,若øC B A ᶄ＝３０ʎ,则øB E A ᶄ＝㊀㊀㊀㊀．１１．如图,әA B C 是等腰三角形,øB A C ＝９０ʎ,B E 是øA B C 的平分线,D E ʅB C ,垂足为D ．(１)请写出图中所有的等腰三角形;(２)请你判断A D 与B E 是否垂直,并说明理由;(３)如果B C ＝１０,求A B ＋A E 的长．(第１１题)１２．已知P ㊁Q 是әA B C 的边A B ㊁A C 上的点,你能在B C 上确定一点R ,使әP Q R 的周长最短吗?(第１２题)１３．如图,C D E F 是一个矩形的台球面,有黑白两球分别位于点A ㊁B 两点,试问怎样撞击黑球A ,使A 先碰到台边F C 反弹后再击中白球B ?(第１３题)七年级数学(下)㊀源于教材,宽于教材,举一反三显身手.１４．如图,一个算式在镜中所成的像构成的算式是正确的,但是在实际中是正确的吗?实际中这个算式是什么?(写出即可)(第１４题)１５．如图,在等边三角形A B C中,øB㊁øC的平分线相交于点O,作B O㊁C O的垂直平分线分别交B C于点E㊁F．小明说: E㊁F是边B C的三等分点． 你同意他的说法吗?请说明理由．(第１５题)１６．如图,A D为әA B C的高,øB＝２øC,用轴对称图形说明:C D＝A B＋B D．(第１６题)复㊀习㊀课１．和另一个图形完全重合２．两旁㊀互相重合３．轴对称㊀２㊀对称轴㊀线段两端点４．轴对称㊀角平分线所在的直线㊀角两边５．轴对称㊀１㊀顶角平分线所在的直线(或底边上的高线所在的直线,或底边上的中线所在的直线)(１)三线合一㊀(２)两个底角相等(３)如果一个三角形有两个角相等,那么它们所对的边也相等．３㊀三边的垂直平分线㊀三个角都相等且等于６０ʎ．C㊀８．９㊀９．３㊀１０．６０ʎ１．(１)әA B C,әA B D,әA D E,әE D C．(２)A D与B E垂直．理由:因为B E是øA B C的平分线, E AʅB A,D EʅB C,所以E A＝E D,所以әA B E和әD B E关于B E对称,从而B A＝B D,即әB A D为等腰三角形,所以B EʅA D．(３)因为A E＝D E＝D C,A B＝B D,所以A B＋A E＝B D＋C D＝B C＝１０．２．作点Q关于B C的对称点D,连接P D交B C于R,连接P Q㊁P R㊁Q R,则点R就是B C上的一点使得әP Q R的周长最短．(第１２题)３．作点B关于F C的对称点G,连接A G交F C于P,则击打A球至点P就能击中B球．(第１３题)４．正确,１５１＋２５＋１２＝１８８．５．同意．理由如下:连接O E㊁O F．由题意可知B E＝O E,C F＝O F,øO B C＝øO C B＝３０ʎ,ʑ㊀øB O E＝øO B C,øC O F＝øO C B,øB O C＝１２０ʎ．ʑ㊀øE O F＝６０ʎ,øO E F＝６０ʎ,øO F E＝６０ʎ．是等边三角形ʑ㊀O E＝O F＝E F＝B E＝C F．ʑ㊀E㊁F是B C的三等分点．６．在C D上取一点E使D E＝B D,连接A E．则A D是әA B E的对称轴,ʑ㊀B D＝D E,A B＝A E．ȵ㊀øB＝２øC,ʑ㊀øB＝øA E D＝øC＋øE A C＝２øC．ʑ㊀øE A C＝øC．(第１６题)ʑ㊀A E＝E C．ʑ㊀C D＝D E＋E C＝A B＋B D．。

PADCM A 专题复习 线段最值问题（1）——与轴对称有关的最小值问题成都市人民北路中学 2017级数学组 薛强【学习目标】1、掌握“将军饮马”问题的数学模型。

2、利用“将军饮马”问题的数学模型解决与轴对称有关的最值问题。

3、感受数学建模思想、转化思想的同时，培养层层推衍的学习思维和不断挑战的创造力。

【学习重点】利用“将军饮马”问题的数学模型解决与轴对称有关的最值问题。

【学习难点】根据题意准确作出对称点，构建特殊三角形计算最值。

【学习过程】 一、原生问题 【将军饮马】一位将军从A 地出发到小河MN 边饮马，然后再前往B 地，怎样走才能使PA+PB 最小？二、衍生问题问题1 如图Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝4，D 为BC 的中点，E 为AC 边上一动点， 连结ED 、EB ，则△BDE 周长的最小值为______.问题2 如图所示，已知点C(1，0)，直线7y x =-+与两坐标轴分别交于 A ，B 两点，D ，E 分别是AB ，OA 上的动点，则△CDE 周长的最小值 是______．练习：如图，已知正方形ABCD 边长为3，点E 在AB 边上且BE=1，点P ，Q 分别是边BC ，CD 的动点（均不与顶点重合），则四边形AEPQ 的周长的最小 值为__________.BABA ABF问题3 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD 是∠BAC 的平分线。

若P 、Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC+PQ 的最小值为 ____________.三、探究结果1、学科知识2、学科技能3、思想方法四、分层检测1．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，E 是AB 边上的一点，且AE =3， 点Q 为对角线AC 上的动点，则△BEQ 周长的最小值为________．2．如图，AB 是⊙O 的直径，AB=8，点M 在⊙O 上，∠MAB=20°， N 是MB 的中点，P 是直径AB 上的一动点．若MN=1，则△PMN 周长的最小值为___________.★3. 如图，直线y =+x 轴、y 轴分别交于点A 点C 、D 分别为线段AB 、OB 上的动点，点P 坐标为（-2,0）PCD ∆的周长最小值为____________.五、拓展延伸如图，点O 是边长为2的正方形ABCD 的对角线交点，正方形 OEFG 的面积为8 . 正方形ABCD 固定，把正方形OEFG 绕点O 逆时针旋转一周. 点M 为A G 的中点，在旋转过程中，线段 MF 的长度最大值为______________，最小值为___________.A BNT 1.（2014成都第24题）如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°，M 是AD 边的中点， N 是AB 边上的一动点，将△ AMN 沿MN 所在直线翻折得到△ A′MN ， 连接A′C ，则A′C 长度的最小值是 ．2.（2011成都第24题）在三角形纸片ABC 中，已知∠ABC=90°，AB=6，BC=8。

可以通过轴对称来确定，即作 出其中一点关于直线l 的对称点， A 对称点与另一点的连线与直线l 的交点就是所要找的点P
理论依据：两点之间，线段最短 基本解法：利用对称性将“折”拉“直”
B P l
B′
模型2：一定点，两定直线,两动点：
如图，点P是∠MON内的一定点，分别在OM， ON上作点A，B，使△PAB的周长最小。 可以分别作点P关于OM、ON的对称点P1， P2，连接P1P2，P1P2长即为所求△PAB的周 P2 长最小值． M
模型3：两条定直线，两定点，两动点。如图，点
P，Q为∠MON内的两定点，分别在OM、ON上 作点A、B，使四边形PABQ的周长最小，.
先作出点p关于直线OM的对 称点P然后再作 Q关于ON的 对称点Q′连接P′Q′交OM， ON于点A，B，当四点共线时, 四边形PABQ的周长最小。 O
• 理论依据：两点之间，线段最短 • 基本解法：利用对称性将“折”拉“直”
理论依据:两点之间，线段最短 基本解法:利用对称性将“折” 拉“直”
A
P O B P1 N
练习:如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一 点，OP=10，Q、R分别是OB、OA上的动 点，则△PQR周长的最小值（C ） A.10 B. 8 C. 10 2 D. 10 2 10
P1
B
Q
P
O
R
A
P2
A
l
P
A`
P`
• 练习：如图，A、B是半圆O上的两点，MN 是直径，OB⊥MN，AB=4，OB=5，P是 MN上一个动点，则PA+PB的最小值为( D ) 。 A.6 B. 8 C.4 D. 2 21
A
M B
P
O