动能定理和圆周运动相结合[专题]

引入 回忆动能定理的应用
解:设物体阻力所做的功为W，对物体由A运动到B用动能定理 得：
1 2 mgh W mvB 0 2
W 32 J
即阻力所做的功为-32J。
水平圆周运动
【例2】如图2所示：质量为m的小球用细绳经过光滑小孔牵 引在光滑水平面上做圆周运动，当拉力为F时，小球的转动半径 为R，当拉力增大到6F时，物体以转动半径R/2做圆周运动。则 小球的转动半径从R到R/2过程中，拉力对小球做的功为（ ）: A、0 B、FR C、2.5FR D、5FR
2 mv A mg R 2 mvB mg N r
（2）
小球在半径为r的圆周运动中，由牛顿第二定律可得： （3）
联立(1)(2)(3)式可得： mg 9 W ( r 5R) 2 2
竖直圆周运动
所以，小球克服轨道阻力所做的功为：
mg 9 W克 = - W (5 R r ) 2 2
2 mv 2 6F R 2
mv F R
2 1


引入 水平圆周运动
解:小球的转动半径从R到R/2过程中，由动能定理可得：
1 1 2 2 W mv 2 mv1 (1) 2 2 半径为R的圆周运动中，由牛顿第二定律可得： 2 mv1 (2) F R 半径为R/2的圆周运动中，由牛顿第二定律可得： 2 mv 2 6F (3) R 2
跟踪演练
【跟踪演练】质量为m的小球被系在轻绳的一端，在 竖直平面内做半径为R的圆周运动，如图4所示，运动过 程中小球受到空气阻力的作用，设某一时刻小球通过轨 道的最低点，此时绳子的张力为7mg，此后小球继续做 圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程 中小球克服空气阻力所做的功为( ) A.mgR/4 B.mgR/3 C.mgR/2 D．mgR

动能定理与圆周运动一、动能的表达式1.定义：物体由于运动而具有的能量。

2.表达式：E=mv*v/23.单位：与功的单位相同，国际单位为焦耳。

1J=lkgm/s*s4.物理量特点(1)具有瞬时性，是状态量。

(2)具有相对性，选取不同的参考系，同一物体的动能一般不同，通常是指物体相对于地面的动能。

(3)是标量，没有方向，≥0。

5.对动能的理解(1)动能是标量，没有负值，与物体的速度方向无关。

(2)动能是状态量，具有瞬时性，与物体的运动状态（或某一时刻的速度）相对应。

(3)动能具有相对性，选取不同的参考系，物体的速度不同，动能也不同，一般以地面为参考系。

6.动能变化量物体动能的变化量是末动能与初动能之差。

二、动能定理1.动能定理的内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。

2.动能定理的表达式（1）W=Ek1-Ek2说明：式中W为合外力做的功，它等于各力做功的代数和。

（物理意义：动能定理指出了合外力对物体所做的总功与物体动能变化之间的关系即若合外力做正功，物体的动能增加，若合外力做负功，物体的动能减小，做了多少功，动能就变化多少。

）（2）实质：动能定理从能量变化的角度反映了力改变运动的状态时，在空间上的累积效果。

3.动能定理的适用范围：不仅适用于恒力做功和直线运动，也适用于变力做功和曲线运动情况。

三、圆周运动1.圆周运动圆周运动是曲线运动的一种，也是我们高中阶段的一种重要的运动，圆周运动就是轨迹为圆的一种运动，那么这就意味着对于一个圆周运动来说，它的速度是不断地变化的，不管它的大小有没有发生改变，只要是方向发生改变，它的速度就发生了改变，因为速度是一个矢量。

这个点以后再说，圆周运动分为两种匀速圆周运动，和变速圆周运动，其中匀速圆周运动的意思是圆周运动的速率没有发生改变，并不是速度没有发生改变，所以匀速圆周运动的全称是匀速率圆周运动。

2.向心力在匀速圆周运动的实践和探索中，人们发现了一点，就是做匀速圆周运动的物体会受到一个始终和速度方向垂直的力。

动能定理与竖直面内的圆周运动在高中物理中，竖直面内的圆周运动问题较为常见。

相关内容是学生普遍感觉比较难以理解、难以处理的。

竖直面内的圆周运动（不含带电粒子在匀强磁场中的运动问题）运动过程看似复杂，运动速度大小和方向随时随刻在发生变化，但是在高中物理中通常只研究两个特殊位置——最高点和最低点．．．．．．．。

对于最高点的考查，我们暂且把竖直面内的圆周运动归纳为两类模型——有支撑模型和无支撑模型。

有支撑（球与轻杆连接、球在圆形管道内运动等） 无支撑（球与轻绳连接、球在圆形轨道内运动等）模型图过最高点的临界条件恰好能通过最高点时，小球只受重力作用，即重力充当向心力：Rvm mg 20=解得：所以临界条件为：gR v ≥注：、“安全通过最高点”等。

【例1】如图是某游乐园过山车轨道的一部分，其中圆形轨道的半径为R ，其中B 点为圆形轨道的最高点，那么其通过B 点的速度不得少于多少？（已知重力加速度为g ）【解】假设过山车恰好能通过B 点，且过山车的质量为m.那么：解得：而对于最低点．．．的考查，一般将弹力与速度结合考查，分为两种情况： 情况一：已知弹力求速度。

情况二：已知速度求弹力。

【例2】如图所示，半径为R 的半圆形轨道竖直放置，左右两端高度相同，质量为m 的小球从端点A 由静止开始运动，通过最低点B 时对轨道压力为2mg ，求小球经过B 点时速度的大小。

【解】对于最低点受力分析结合牛顿第二定律得：代入数据解得：那么，我们有没有办法知道竖直面内最高点或最低点中其中一个点的运动或受力情况，求另外一个点运动或受B A轻杆 轻绳C≥v gRv =0Rvm mg 2=gRv =0R v m mg F B N 2-=gRv B =力情况呢？下面我们就来看这样的一个例子：【例3】如图所示，半径为R 的光滑圆形过得竖直放置，小球m 在圆形轨道内侧做圆周运动，对于圆形轨道，小球通过最高点是恰好对轨道没有相互作用力，不考虑空气阻力的影响，则小球通过最低点时对轨道的作用力是多少？【分析】本题中小球从最高点运动到最低点的过程中，由于忽略空气阻力的影响，则小球除最高点外受到了竖直向下的重力、轨道对它的随时与轨道切向方向垂直支持力的作用，所以小球从最高点到最低的过程中，只有重力做功，因此我们就知道该过程中的总功就等于重力所做的功，所以本题可以通过动能定理求出到达最低点的速度，然后再根据圆周运动与牛顿运动定律求出作用力。

动能定理和圆周运动相结合（专题） 例题1如图所示，小球用不可伸长的长为L 的轻绳悬于O 点,小球在最低点的速度必需为多大时,才能在竖直平面内做完整个圆周运动? 变式训练1-1如图所示，质量为m 的小球用不可伸长的细线悬于O 点，细线长为L ，在O 点正下方P 处有一钉子，将小球拉至与悬点等高的位置无初速释放，小球刚好绕P 处的钉子作圆周运动。

那么钉子到悬点的距离OP 等于多少？例题2如图所示，小球自斜面顶端A 由静止滑下，在斜面底端B 进入半径为R 的圆形轨道，小球刚好能通过圆形轨道的最高点C ，已知A 、B 两点间高度差为3R ，试求整个过程中摩擦力对小球所做的功。

例题3如图所示，竖直平面内的3/4圆弧形光滑轨道半径为R ，A 端与圆心O 等高，AD 为水平面，B 点在O 的正上方，一个小球在A 点正上方由静止释放，自由下落至A 点进入圆轨道并恰能到达B 点。

求：⑴释放点距A 点的竖直高度；⑵落点C与A 点的水平距离。

变式训练3-1半径R=1m 的1/4圆弧轨道下端与一水平轨道连接，水平轨道离地面高度h=1m ，如图所示，有一质量m=1.0kg 的小滑块自圆轨道最高点A 由静止开始滑下，经过水平轨迹末端B 时速度为4m/s ，滑块最终落在地面上，试求:(1)不计空气阻力，滑块落在地面上时速度多大？(2)滑块在轨道上滑行时克服摩擦力做功多少？例题4如图，光滑的水平面AB 与光滑的半圆形轨道相接触，直径BC 竖直，圆轨道半径为R 一个质量为m 的物体放在A 处，AB=2R ，物体在水平恒力F 的作用下由静止开始运动，当物体运动到B 点时撤去水平外力之后，物体恰好从圆轨道的顶点C 水平抛出，求水平力变式训练4-1如果在上题中，物体不是恰好过C 点，而是在C 点平抛，落地点D 点距B 点的水平位移为4R ，求水平力。

变式训练4-2如图，滑块在恒定外力作用下从水平轨道上的A 点由静止出发到B 点时撤去外力，又沿竖直面内的光滑半圆形轨道运动，且恰好通过轨道最高点C ，滑块脱离半圆形轨道后又刚好落到原出发点A ，试求滑块在AB 段运动过程中的加速度。

高考物理《圆周运动与动能定理的综合考查》专题训练1.(2015·全国卷Ⅰ，17)如图，一半径为R 、粗糙程度处处相同的半圆形轨道竖直固定放置，直径POQ 水平。

一质量为m 的质点自P 点上方高度R 处由静止开始下落，恰好从P 点进入轨道。

质点滑到轨道最低点N 时，对轨道的压力为4mg ，g 为重力加速度的大小。

用W 表示质点从P 点运动到N 点的过程中克服摩擦力所做的功。

则( )A ．W ＝12mgR ，质点恰好可以到达Q 点B ．W ＞12mgR ，质点不能到达Q 点C ．W ＝12mgR ，质点到达Q 点后，继续上升一段距离D ．W ＜12mgR ，质点到达Q 点后，继续上升一段距离【答案】：C【解析】：根据动能定理得P 点动能E k P ＝mgR ，经过N 点时，由牛顿第二定律和向心力公式可得4mg －mg ＝m v 2R ，所以N 点动能为E k N ＝3mgR 2，从P 点到N 点根据动能定理可得mgR －W ＝3mgR 2－mgR ，即克服摩擦力做功W ＝mgR2。

质点运动过程，半径方向的合力提供向心力即F N －mg cos θ＝ma ＝m v 2R ，根据左右对称，在同一高度处，由于摩擦力做功导致在右边圆形轨道中的速度变小，轨道弹力变小，滑动摩擦力F f ＝μF N 变小，所以摩擦力做功变小，那么从N 到Q ，根据动能定理，Q 点动能E k Q ＝3mgR 2－mgR －W ′＝12mgR －W ′，由于W ′＜mgR 2，所以Q 点速度仍然没有减小到0，会继续向上运动一段距离，对照选项，C 正确。

2.如图，一半径为R 的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高，质量为m 的质点自轨道端点P 由静止开始滑下，滑到最低点Q 时，对轨道的正压力为2mg ，重力加速度大小为g 。

质点自P 滑到Q 的过程中，克服摩擦力所做的功为( )A.14mgR B.13mgR C.12mgR D.π4mgR 【答案】 C【解析】 在Q 点质点受到竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两力的合力充当向心力，所以有FN －mg ＝m v2R ，FN ＝2mg ，联立解得v ＝gR ，下滑过程中，根据动能定理可得mgR －Wf ＝12mv2，解得Wf ＝12mgR ，所以克服摩擦力做功12mgR ，C 正确。

道BD平滑连接，A与圆心O的连线与竖直方向成37°角.MN是一段粗糙的 水平轨道，滑冰运动员与MN间的动摩擦因数μ＝0.08，水平轨道其他部 分光滑.最右侧是一个半径为r＝2 m的半圆弧光滑轨道，C点是半圆弧光 滑轨道的最高点，半圆弧光滑轨道与水平轨道BD在D点平滑连接.取重 力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.整个运动过程中将运 动员简化为一个质点.
答案 0.15 m
设木块沿弧形槽上升的最大高度为h，木块在最高点时的速度为零. 从木块开始运动到沿弧形槽上升到最大高度处，由动能定理得： FL－fL－mgh＝0 其中f＝μFN＝μmg＝0.2×0.5×10 N＝1.0 N
FL－fL 1.5－1.0×1.5 所以 h＝ mg ＝ 0.5×10 m＝0.15 m
√A.小球通过圆轨道最高点时的速度大小为 2gR
B.小球在轨道最低点的动能为2D.小球在轨道最低点对轨道压力的大小为6mg
123456789
小球经过圆轨道最高点时，由牛顿第三定律知轨 道对小球的支持力为 mg，根据牛顿第二定律有 mg＋mg＝mvR2，解得 v＝ 2gR，故 A 正确； 小球自弧形轨道下滑至圆轨道最高点的过程，根据动能定理有 mg(h －2R)＝12mv2，解得 h＝3R，故 C 正确.
答案 3 m/s
在A点，由平抛运动规律得： vA＝cosv053°＝53v0 小球由桌面到A点的过程中，由动能定理得 mg(R＋Rcos θ)＝12mvA2－12mv02 联立解得：v0＝3 m/s；
(2)若小球恰好能通过最高点C，求在圆弧轨道 上摩擦力对小球做的功. 答案 －4 J
若小球恰好能通过最高点 C，在最高点 C 处有 mg＝mRvC2， 小球从桌面运动到 C 点的过程中，由动能定理得 Wf＝12mvC2－12mv02 代入数据解得Wf＝－4 J.

学习目标
理解动能定理的基本 原理。
能够运用动能定理解 决实际问题，提高分 析和解决问题的能力。
掌握动能定理在圆周 运动中的具体应用。
02
动能定理基础
动能定理的公式和定义
公式
E_k = 1/2mv^2 （其中E_k表示动能，m表示质量，v表示速 度）
定义
动能定理描述了物体运动过程中动能的变化与其所受合外力 做功之间的关系。
动能定理适用于直线运动和曲线运动，包括圆周运动。
03
动能定理在圆周运动中的 应用
圆周运动的定义和特性
定义
圆周运动是指物体绕着某一点做圆周轨迹的旋转运动。
特性
具有周期性、方向性、速度和加速度不断变化等特性。
动能定理在圆周运动中的具体应用
01
02
03
动能定理的表述
动能定理指出，合外力对 物体所做的功等于物体动 能的变化量。
动能定理的理解和解释
动能定理表明，一个物体所受合 外力对其做的功等于其动能的变
化量。
动能定理适用于任何形式的力， 包括重力、弹力、摩擦力等。
动能定理是联系力与运动的重要 桥梁，是解决动力学问题的重要
工具。
动能定理的适用范围
动能定理适用于宏观低速的物体运动，即速度远小于光速的情况。 动能定理不适用于微观粒子（如电子、光子）的运动，因为需要考虑量子效应。
向心力和离心力在生活中的应用
车辆转弯时，路面侧向会给车轮施加 向心力，使车辆顺利转弯。
洗衣机脱水时，离心力使水分被甩出， 达到脱水效果。
旋转木马、摩天轮等游乐设施利用离 心力使乘客获得刺激体验。
05
动能定理在圆周运动中的 深入理解
动能定理与向心力和离心力的关系

高考物理《圆周运动与动能定理的综合考查》专题训练1.(2015·全国卷Ⅰ，17)如图，一半径为R 、粗糙程度处处相同的半圆形轨道竖直固定放置，直径POQ 水平。

一质量为m 的质点自P 点上方高度R 处由静止开始下落，恰好从P 点进入轨道。

质点滑到轨道最低点N 时，对轨道的压力为4mg ，g 为重力加速度的大小。

用W 表示质点从P 点运动到N 点的过程中克服摩擦力所做的功。

则( )A ．W ＝12mgR ，质点恰好可以到达Q 点B ．W ＞12mgR ，质点不能到达Q 点C ．W ＝12mgR ，质点到达Q 点后，继续上升一段距离D ．W ＜12mgR ，质点到达Q 点后，继续上升一段距离【答案】：C【解析】：根据动能定理得P 点动能E k P ＝mgR ，经过N 点时，由牛顿第二定律和向心力公式可得4mg －mg ＝m v 2R ，所以N 点动能为E k N ＝3mgR 2，从P 点到N 点根据动能定理可得mgR －W ＝3mgR 2－mgR ，即克服摩擦力做功W ＝mgR2。

质点运动过程，半径方向的合力提供向心力即F N －mg cos θ＝ma ＝m v 2R ，根据左右对称，在同一高度处，由于摩擦力做功导致在右边圆形轨道中的速度变小，轨道弹力变小，滑动摩擦力F f ＝μF N 变小，所以摩擦力做功变小，那么从N 到Q ，根据动能定理，Q 点动能E k Q ＝3mgR 2－mgR －W ′＝12mgR －W ′，由于W ′＜mgR 2，所以Q 点速度仍然没有减小到0，会继续向上运动一段距离，对照选项，C 正确。

2.如图，一半径为R 的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高，质量为m 的质点自轨道端点P 由静止开始滑下，滑到最低点Q 时，对轨道的正压力为2mg ，重力加速度大小为g 。

质点自P 滑到Q 的过程中，克服摩擦力所做的功为( )A.14mgR B.13mgR C.12mgR D.π4mgR 【答案】 C【解析】 在Q 点质点受到竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两力的合力充当向心力，所以有FN －mg ＝m v2R ，FN ＝2mg ，联立解得v ＝gR ，下滑过程中，根据动能定理可得mgR －Wf ＝12mv2，解得Wf ＝12mgR ，所以克服摩擦力做功12mgR ，C 正确。

动能定理应用—竖直面圆周运动问题1.如图所示，长为L的细绳一端与一质量为m的小球（可看成质点）相连，可绕过O点的水平转轴在竖直面内做圆周运动。

在最低点a处给一个初速度，使小球能通过最高点做完整的圆周运动，不记空气阻力，小球通过最低点时与通过最低点时绳拉力的差为：A.2mgB.3mgC.5mgD.6mg2．如图3所示，倾斜轨道AC与圆轨道CD相切于C，圆轨道半径为R，两轨道在同一竖直平面内，D是圆轨道的最高点，B点是圆周上的一点，DB所对的圆心角为90°.将一小球从斜轨道上的某处由静止释放，它下滑到C点后便进入圆轨道，要想使它上升到D点后再落到轨道上，不计摩擦，下列说法正确的是()A．释放点须与D点等高B．释放点须比D点高R/4C．释放点至少比D点高R/2D．小球从D点经过B点落到轨道AC上是不可能的3.如图所示,质量为m的小球被系在轻绳的一端,以O为圆心在竖直平面内做半径为R的圆周运动.运动过程中,小球受到空气阻力的作用.设某时刻小球通过圆周的最低点A,此时绳子的张力为7mg,此后小球继续做圆周运动,经过半个圆周恰能通过最高点B,则在此过程中小球克服空气阻力所做的功是 :A．8mgR B．6mgR C．2mgR D．mgR4.如图所示，小铁球A、B分别固定在长度均为L的轻线、轻杆的下端，线、杆的上端分别固定于O点，且均能绕O点无摩擦、无空气阻力地转动．要求小球能绕过最高点，求小球在最低点的最小速度、各为多大？5.质量为 的物体由1/4圆弧轨道顶端从静止开始释放，如图所示， B 为轨道最低点，B 与圆心O 在同一竖直线上，已知圆弧轨道半径为R ，运动到A 点时，物体对轨道的压力大小为2.5mg ，求此过程中物体克服摩擦力做的功。

6.如图所示，长为L 的细绳一端与一质量为m 的小球（可看成质点）相连，可绕过O 点的水平转轴在竖直面内无摩擦、无空气阻力地转动。

在最低点a 处给一个初速度，使小球恰好能通过最高点完成完整的圆周运动，求：（1）小球过b 点时的速度大小；（2）初速度v 0的大小；（3）最低点处绳中的拉力大小。

动能定理的综合应用：动能定理与平抛和圆周运动的综合问题【例1】下面关于运动物体所受合外力、合外力做功和动能变化的说法，正确的是( )A．如果物体所受合外力为零，那么物体的动能一定不变B．如果合外力对物体做的功为零，那么合外力一定为零C．物体在合外力作用下做变速运动，物体的动能一定变化D．物体的动能保待不变，该物体所受合外力不一定为零【例2】关于做功和物体动能变化的关系，不正确的是( )A．只有动力对物体做功，物体动能增加B．只有物体克服阻力做功，它的动能减少C．外力对物体做功的代数和等于物体的末动能与初动能之差D．动力和阻力都对物体做功，物体的动能一定变化【例3】质量为m的物体，静止于倾角为α的光滑斜面底端，用平行于斜面方向的恒力F作用于物体上使之沿斜面向上运动。

当物体运动到斜面中点时撤去外力，物体刚好能滑行到斜面顶端，则恒力F的大小为( ) A．2mg(1－sinα) B．2mgsinαC．2mgcosα D．2mg(1＋sinα)【例4】如图所示，质量为m的物体被用细绳经过光滑小孔而牵引在光滑的水平面上做匀速圆周运动，拉力为某个值F时转动半径为R，当外力逐渐增大到6F时，物体仍做匀速圆周运动，半径为R/2。

则外力对物体所做的功为( )A．0 B．FR C．3FR D．5/2FR【例5】运动员用200N 的力，把一个静止的质量为1kg 的球以10m/s 的速度踢出，球在水平面上运动60m 后停止，则运动员对球所做的功为( ) A ．50J B ．200J C ．12000J D ．2000J【例6】质量为m 的跳水运动员，从离地面高h 的跳台上以速度v 1斜向上跳起，跳起高度离跳台为H ，最后以速度v 2进入水中，不计空气阻力，则运动员起跳时所做的功( )A ．2112mv B ．mgH C ．+mgH mgh D ．2112+mv mgh E ．2212-mv mgh【例7】一质量m ＝0.5kg 的物体，以v 0＝4m/s 的初速度沿水平桌面上滑过x ＝0.7m 的路程后落到地面，已知桌面高h ＝0.8m ，着地点距桌沿的水平距离x 1＝1.2m ，求物体与桌面间的摩擦系数是多少？(g 取10m/s 2)【例8】如图所示，质量为2kg 的物体从A 点沿半径为R 的粗糙半球内表面以10m/s 的速度开始下滑，到达B 点时的速度变为2m/s ，求物体从A 运动到B 的过程中，摩擦力所做的功是多少？【例9】物体从高出地面H 处由静止自由落下，不考虑空气阻力，落至沙坑表面进入沙坑深h 处停止。

动能定理和圆周运动相结合临界例题1如图所示，小球用不可伸长的长为L的轻绳悬于O点,小球在最低点的速度必需为多大时,才能在竖直平面内做完整个圆周运动? （2）若所给的速度逐渐增大时，绳子在最高点时拉力变化？（3）最低点和最高点的拉力变化多少？拓展：若绳子改为杆的圆形轨道，小球RB进入半径为变式训练1-1如图所示，小球自斜面顶端A由静止滑下，在斜面底端试求整个过程中摩擦力对小球所做的功。

3R，A、B两点间高度差为已知刚好能通过圆形轨道的最高点C，的竖直，圆轨道半径为R一个质量为m例题2如图，光滑的水平面AB与光滑的半圆形轨道相接触，直径BC点时撤去水平外力之F的作用下由静止开始运动，当物体运动到BA物体放在处，AB=2R，物体在水平恒力后，物体恰好从圆轨道的顶点C水平抛出，求水平力点的水平位移为BD点距点平抛，落地点如果在上题中，物体不是恰好过变式训练2-1C点，而是在C 4R，求水平力。

点时撤去外力，又变式训练2-2如图上题，滑块在恒定外力作用下从水平轨道上的AB点由静止出发到滑块脱离半圆形轨道后又刚好落到原出发C，且恰好通过轨道最高点沿竖直面内的光滑半圆形轨道运动，点A段运动过程中的加速度。

，试求滑块在AB1BRAOAD点端与圆心为水平面，例题3如图所示，竖直平面内的3/4圆弧形光滑轨道半径为等高，，BOAA点进入圆轨道并恰能到达点正上方由静止释放，自由下落至在点。

求：的正上方，一个小球在A点的竖直高度；⑴释放点距AC落点点的水平距离。

与⑵BO DC ADBRO是圆管例题4如图上题图所示，四分之三周长圆管的半径=0.4m，管口在同一水平面上，和圆心EDBEBCCE段光滑；直径稍小于圆管内径、段存在摩擦，段动摩擦因数相同，和的最高点，其中半圆周CHAmB，=2.5m处的的小球从距时的速率为正上方高处自由下落，到达圆管最低点质量6m/s=0.5kg D飞出，恰能再次进入圆管，假定小球再次进入圆管时不计碰撞能量损失，并继续运动直到圆管的最高点2g取重力加速度，求=10m/s A D点时的速度小球飞离（1）DB（2）小球从点过程中克服摩擦所做的功点到C）（3小球再次进入圆管后，能否越过点？请分析说明理由H DB O ERC处，在O点正下方Pm变式训练4-1如图所示，质量为的小球用不可伸长的细线悬于O点，细线长为L那么钉子到悬处的钉子作圆周运动。

动能定理圆轨道拼接引言动能定理是物理学中一个重要的定理，描述了物体的动能与力的关系。

在圆轨道拼接中，我们将探讨在圆形轨道上的运动，并使用动能定理来分析运动过程。

圆轨道运动圆轨道运动是指物体沿着一个固定半径的圆形路径做匀速运动。

在这种情况下，物体受到向心力的作用，保持在圆周上运动。

向心力向心力是使物体保持在圆周上运动的力。

它的大小与物体质量和速度的平方成正比，与半径成反比。

向心力可以通过以下公式计算：F c=mv2 r其中，F c表示向心力，m表示物体的质量，v表示物体沿圆周运动的速度，r表示圆周半径。

动能定理动能定理描述了物体在外力作用下发生速度变化时，其动能的变化量等于外力对物体所做功的大小。

对于一个沿着圆轨道做匀速运动的物体而言，其初速度和末速度相等，因此只需考虑外力对物体所做的功。

动能定理的数学表达式如下：ΔKE=W其中，ΔKE表示动能的变化量，W表示外力对物体所做的功。

圆轨道拼接圆轨道拼接是指将两个或多个圆形轨道连接在一起，使物体可以在这些轨道上连续运动。

在拼接处，物体会受到一个额外的力，这个力被称为拼接力。

拼接力的方向与物体在拼接处的运动方向相反，其大小与物体质量、速度以及圆周半径有关。

当物体从一个圆形轨道进入另一个圆形轨道时，它会受到一个向心力和一个拼接力的共同作用。

圆轨道拼接过程分析为了更好地理解圆轨道拼接过程中动能定理的应用，我们将分析一个具体的例子：一个小球从半径为r1的圆形轨道进入半径为r2的另一个圆形轨道。

情景设定假设小球质量为m，初始速度为v1，进入第二个轨道后速度变为v2。

我们希望计算小球在拼接过程中动能的变化量。

动能定理的应用根据动能定理，我们可以计算出小球在拼接过程中动能的变化量。

我们需要计算小球在第一个轨道上受到的向心力F c1：F c1=mv12 r1我们计算小球在第二个轨道上受到的向心力F c2：F c2=mv22 r2我们还需要考虑拼接力F p对小球所做的功。

动能定理在往复运动、平抛、圆周运动中的应用[学习目标] 1.会灵活选取研究过程，应用动能定理解决往复运动问题.2.会用动能定理解决平抛运动问题.3.结合圆周运动的知识，会应用动能定理计算圆周运动问题．一、利用动能定理分析往复运动问题1．在有摩擦力做功的往复运动过程中，注意两种力做功的区别： (1)重力做功只与初、末位置有关，而与路径无关；(2)滑动摩擦力做功与路径有关，克服摩擦力做的功W ＝fs (s 为路程)．2．由于动能定理解题的优越性，求多过程往复运动问题中的路程时，一般应用动能定理． 例1 (2022·平潭翰英中学高一阶段练习)如图所示，一个小球的质量m ＝2 kg ，能沿倾角θ＝37°的斜面由顶端B 从静止开始下滑，小球滑到底端时与A 处的挡板碰触后反弹(小球与挡板碰撞过程中无能量损失)，若小球每次反弹后都能回到原来的23处，已知A 、B 间距离为s 0＝2 m ，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取g ＝10 m/s 2，求：(1)若斜面光滑，小球到达A 点的速度v A 的大小．(2)以A 点所在水平面为零势能面，小球第一次反弹后的最大势能E p ； (3)小球由开始下滑到最终静止的过程中所通过的总路程和克服摩擦力做的功． 答案 (1)2 6 m/s (2)16 J (3)10 m 24 J解析 (1)若斜面光滑，在沿斜面方向上由牛顿第二定律得mg sin θ＝ma 解得a ＝6 m/s 2，根据运动学公式v A 2＝2as 0， 解得v A ＝2 6 m/s.(2)以A 点所在水平面为零势能面，小球第一次反弹后的最大势能E p ＝2mgs 0sin θ3＝16 J.(3)设小球与斜面间的动摩擦因数为μ，小球第一次由静止从B 点下滑到碰撞后上升到速度为零的过程中，由动能定理得mg ⎝⎛⎭⎫s 0－23s 0sin θ－μmg ⎝⎛⎭⎫s 0＋23s 0cos θ＝0， 小球最终一定会停在A 处，全过程由动能定理得mgs 0sin θ－μmgs cos θ＝0， 联立解得小球通过的总路程为s ＝10 m ， 所以小球克服摩擦力做的功为 W 克f ＝μmgs cos θ＝24 J.例2 如图所示，ABCD 为一竖直平面内的轨道，其中BC 水平，A 点比BC 高出10 m ，BC 长1 m ，AB 和CD 轨道光滑，曲、直轨道平滑连接．一质量为1 kg 的物体，从A 点以4 m/s 的速度沿轨道开始运动，经过BC 后滑到高出C 点10.3 m 的D 点时速度为0.g 取10 m/s 2，求：(1)物体与BC 轨道间的动摩擦因数；(2)物体第5次经过B 点时的速度大小(结果可用根式表示)； (3)物体最后停止的位置(距B 点多少米)． 答案 (1)0.5 (2)411 m/s (3)距B 点0.4 m 解析 (1)由A 到D ，由动能定理得 －mg (h －H )－μmgs BC ＝0－12m v 12解得μ＝0.5(2)物体第5次经过B 点时，物体在BC 上滑动了4次，由动能定理得 mgH －μmg ·4s BC ＝12m v 22－12m v 12，解得v 2＝411 m/s(3)分析整个过程，由动能定理得 mgH －μmgs ＝0－12m v 12解得s ＝21.6 m所以物体在轨道上来回运动了10次后，还有1.6 m ，故最后停止的位置与B 点的距离为2 m －1.6 m ＝0.4 m.二、动能定理在平抛、圆周运动中的应用动能定理常与平抛运动、圆周运动相结合，解决这类问题要特别注意：(1)与平抛运动相结合时，要注意应用运动的合成与分解的方法，如分解位移或分解速度求平抛运动的有关物理量．(2)与竖直面内的圆周运动相结合时，应特别注意隐藏的临界条件：①可提供支撑效果的竖直面内的圆周运动，物体能通过最高点的临界条件为v min ＝0. ②不可提供支撑效果的竖直面内的圆周运动，物体能通过最高点的临界条件为只有重力提供向心力，mg ＝m v min 2R，v min ＝gR .例3 (2022·济宁市兖州区教研室高一期中)如图所示，光滑圆轨道固定在竖直面内，一质量为m 的小球沿轨道做完整的圆周运动．已知小球在最低点时对轨道的压力大小为N 1，在最高点时对轨道的压力大小为N 2.重力加速度大小为g ，则N 1－N 2的值为( )A ．6mgB ．5mgC ．4mgD ．3mg答案 A解析 设轨道半径为R ，小球在最低点时受到竖直向上的支持力N 1′和竖直向下的重力mg ，由牛顿第二定律有N 1′－mg ＝m v 12R ，由牛顿第三定律可知N 1＝N 1′，小球在最高点时受到竖直向下的弹力N 2′和竖直向下的重力mg ， 由牛顿第二定律有N 2′＋mg ＝m v 22R ，由牛顿第三定律可得N 2＝N 2′，小球由最低点到最高点过程，由动能定理有 －mg ·2R ＝12m v 22－12m v 12，联立解得N 1－N 2＝6mg ， 所以A 正确，B 、C 、D 错误．例4 如图所示，一可以看成质点的质量m ＝2 kg 的小球以初速度v 0沿光滑的水平桌面飞出后，恰好从A 点沿切线方向进入固定圆弧轨道，BC 为圆弧的竖直直径，其中B 为轨道的最低点，C 为最高点且与水平桌面等高，圆弧AB 对应的圆心角θ＝53°，轨道半径R ＝0.5 m ．已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，不计空气阻力，g 取10 m/s 2.(1)求小球的初速度v 0的大小；(2)若小球恰好能通过最高点C ，求在圆弧轨道上摩擦力对小球做的功． 答案 (1)3 m/s (2)－4 J解析 (1)在A 点，由平抛运动规律得： v A ＝v 0cos 53°＝53v 0小球由桌面到A 点的过程中，由动能定理得 mg (R ＋R cos θ)＝12m v A 2－12m v 02联立得：v 0＝3 m/s ；(2)若小球恰好能通过最高点C ，在最高点C 处有mg ＝m v C 2R ，小球从桌面运动到C 点的过程中，由动能定理得W f ＝12m v C 2－12m v 02代入数据解得W f ＝－4 J.训练11．如图所示，质量为0.1 kg 的小物块在粗糙水平桌面上以初速度v 0滑行4 m 后以3.0 m/s 的速度飞离桌面，最终落在水平地面上，已知小物块与桌面间的动摩擦因数为0.5，桌面高 0.45 m ，若不计空气阻力，取g ＝10 m/s 2，则( )A ．小物块的初速度是5 m/sB ．小物块的射程为1.2 mC ．小物块在桌面上克服摩擦力做8 J 的功D ．小物块落地时的动能为0.9 J 答案 D解析 小物块在粗糙水平桌面上滑行时，由动能定理得：－μmgs ＝12m v 2－12m v 02解得：v 0＝7 m/s ，W 克f ＝μmgs ＝2 J ，A 、C 错误；小物块飞离桌面后做平抛运动，由h ＝12gt 2，x ＝v t 得x ＝0.9 m ，B 错误；由mgh ＝E k －12m v 2得，小物块落地时E k ＝0.9 J ，D 正确．2.(2022·全国甲卷)北京2022年冬奥会首钢滑雪大跳台局部示意图如图所示．运动员从a 处由静止自由滑下，到b 处起跳，c 点为a 、b 之间的最低点，a 、c 两处的高度差为h .要求运动员经过c 点时对滑雪板的压力不大于自身所受重力的k 倍，运动过程中将运动员视为质点并忽略所有阻力，则c 点处这一段圆弧雪道的半径不应小于( )A.h k ＋1B.h kC.2h kD.2hk －1答案 D解析 运动员从a 到c 根据动能定理有mgh ＝12m v c 2，在c 点有N c －mg ＝m v 2R c ，N c ≤ kmg ，联立有R c ≥2hk －1，故选D.3.如图所示，ABCD 是一个盆式容器，盆内侧壁与盆底BC 的连接处都是一段与BC 相切的圆弧，BC 水平，B 、C 间距离d ＝0.50 m ，盆边缘的高度h ＝0.30 m ．在A 处放一个质量为m 的小物块并让其从静止下滑．已知盆内侧壁是光滑的，而盆底BC 与小物块间的动摩擦因数μ＝0.10.小物块在盆内来回滑动，最后停下来，则停止位置到B 的距离为( )A ．0.50 mB ．0.25 mC ．0.10 mD ．0 答案 D解析 设小物块在BC 面上运动的总路程为s ，物块在BC 面上所受的滑动摩擦力大小始终为f ＝μmg ，对小物块从开始运动到停止的整个过程，由动能定理得mgh －μmgs ＝0，得s ＝hμ＝0.300.10m ＝3 m ，d ＝0.50 m ，则s ＝6d ，所以小物块最后停在B 点，故选D. 4.如图所示，一木块沿竖直放置的粗糙曲面从高处滑下，当它滑过A 点的速度大小为5 m/s 时，滑到B 点的速度大小也为5 m/s.若使它滑过A 点的速度大小变为7 m/s ，则它滑到B 点的速度大小( )A ．大于7 m/sB ．等于7 m/sC ．小于7 m/sD ．无法确定答案 C解析 第一次从A 点到B 点的过程中： mgh －W f1＝ΔE k ＝0，W f1＝mgh第二次速度增大，木块对曲面的压力增大，W f2>W f1，故mgh －W f2<0，木块滑到B 点时的动能小于在A 点的动能，故木块滑到B 点的速度大小小于7 m/s ，C 正确．5.(2022·温州市高一期中)如图所示，有一根管道ABCD 平放并固定在水平桌面上，AB 部分为长L ＝1 m ，动摩擦因数μ＝0.35的水平直管道，BCD 部分为光滑半圆形管道，其半径R ＝ 0.5 m ，两部分在B 处无缝连接，现让一个直径略小于管内径、质量m ＝2 kg 的小球，从A 处以初速度v 0＝4 m/s 进入管道，π≈3，g 取10 m/s 2.求：(1)小球运动到B 处时速度的大小； (2)小球在管道内运动的时间；(3)小球运动到C 处时，管道对小球作用力的大小(结果可以用根式表示) 答案 (1)3 m/s (2)1114 s (3)4106 N解析 (1)小球从A 到B 由动能定理得 －μmgL ＝12m v B 2－12m v 02解得v B ＝3 m/s.(2)小球在AB 段匀减速运动的时间 t 1＝L v 0＋v B 2＝27 s ，小球在BD 段匀速运动的时间t 2＝πR v B ＝12 s ，小球在管道内运动的时间t ＝t 1＋t 2＝1114 s.(3)小球运动到C 时，水平方向F ＝m v B 2R ，竖直方向N ＝mg ，则管道对小球作用力F ＝N 2＋F 2＝4106 N.6．如图所示，光滑固定斜面AB 的倾角θ＝53°，BC 为水平面，BC 长度l BC ＝1.1 m ，CD 为光滑的14圆弧，半径R ＝0.6 m ．一个质量m ＝2 kg 的物体，从斜面上A 点由静止开始下滑，物体与水平面BC 间的动摩擦因数μ＝0.2，轨道在B 、C 两点平滑连接．当物体到达D 点时，继续竖直向上运动，最高点距离D 点的高度h ＝0.2 m ．不计空气阻力，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，g 取10 m/s 2.求：(1)物体运动到C 点时的速度大小v C ； (2)A 点距离水平面的高度H ；(3)物体最终停止的位置到C 点的距离s . 答案 (1)4 m/s (2)1.02 m (3)0.4 m解析 (1)物体由C 点运动到最高点，根据动能定理得：－mg (h ＋R )＝0－12m v C 2代入数据解得：v C ＝4 m/s(2)物体由A 点运动到C 点，根据动能定理得： mgH －μmgl BC ＝12m v C 2－0代入数据解得：H ＝1.02 m(3)从物体开始下滑到最终停止，根据动能定理得：mgH －μmgs 1＝0，代入数据，解得s 1＝ 5.1 m由于s 1＝4l BC ＋0.7 m ，所以物体最终停止的位置到C 点的距离为：s ＝0.4 m.训练21.(2022·大庆铁人中学高一阶段练习)如图所示，竖直面内光滑圆轨道半径R ＝0.4 m ，从最低点A 有一质量为m ＝1 kg 的小球开始运动，初速度v 0＝5 m/s 方向水平向右，重力加速度g 取10 m/s 2，下列说法正确的是( )A ．在A 点时，小球对轨道的压力为62.5 NB ．小球可能脱离圆轨道C ．在B 点时，小球重力的瞬时功率为30 WD ．小球在B 点的速率为3 m/s 答案 D解析 在A 点时，设轨道对小球的支持力大小为F A ，根据牛顿第二定律有F A －mg ＝m v 02R ，解得F A ＝72.5 N ，根据牛顿第三定律可知此时小球对轨道的压力大小为F ＝F A ＝72.5 N ，故A 错误；在B 点时，小球的速度方向与重力方向垂直，根据功率的定义可知，小球重力的瞬时功率为零，故C 错误；对小球从A 到B 过程，根据动能定理有－2mgR ＝12m v B 2－12m v 02，解得v B ＝3 m/s ，设小球在B 点受轨道向下的压力为F B ，则由牛顿第二定律F B ＋mg ＝m v B 2R ，解得F B ＝12.5 N ，说明小球在B 点不会脱轨，故B 错误，D 正确．2．某游乐场的滑梯可以简化为如图所示竖直面内的ABCD 轨道，AB 为长L ＝6 m 、倾角α＝37°的斜轨道，BC 为水平轨道，CD 为半径R ＝15 m 、圆心角β＝37°的圆弧轨道，轨道AB 段粗糙，其余各段均光滑．一小孩(可视为质点)从A 点以初速度v 0＝2 3 m/s 下滑，沿轨道运动到D 点时的速度恰好为零(不计经过B 点时的能量损失)．已知该小孩的质量m ＝30 kg ，取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g ＝10 m/s 2，不计空气阻力，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求：(1)该小孩第一次经过圆弧轨道C 点时，对圆弧轨道的压力； (2)该小孩与AB 段间的动摩擦因数； (3)该小孩在轨道AB 上运动的总路程s . 答案 (1)420 N ，方向向下 (2)0.25 (3)21 m解析 (1)小孩由C 运动到D 的过程，由动能定理可得－mg (R －R cos β)＝0－12m v C 2，解得v C ＝215 m/s在C 点，由牛顿第二定律得N －mg ＝m v C 2R，解得N ＝420 N ，根据牛顿第三定律，小孩对轨道的压力为420 N ，方向向下． (2)小孩从A 运动到C 的过程中，由动能定理得：mgL sin α－μmgL cos α＝12m v C 2－12m v 02解得：μ＝0.25(3)在AB 斜轨道上，μmg cos α<mg sin α，小孩不能静止在斜轨道上，则小孩从A 点以初速度v 0滑下，最后静止在BC 轨道B 处．由动能定理得： mgL sin α－μmgs cos α＝0－12m v 02，解得s ＝21 m.3．(2022·宁波市北仓中学高一期中)如图所示，竖直面内有一光滑圆弧轨道，其半径为R ＝0.5 m ，平台与轨道的最高点等高．一质量m ＝0.8 kg 的小球从平台边缘的A 处以v 0＝3 m/s 的水平速度射出，恰能沿圆弧轨道上P 点的切线方向进入轨道内侧，轨道半径OP 与竖直线的夹角为53°，已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6：(1)求小球到达P 点时的速度v P 的大小；(2)求小球到达圆轨轨道最低点时的速度大小以及对轨道的压力．(3)小球沿轨道通过圆弧的最高点Q 时对轨道的内壁还是外壁有弹力，并求出弹力的大小． 答案 (1)5 m/s (2)29 m/s 54.4 N ，方向竖直向下 (3)对外壁弹力为6.4 N 解析 (1)在P 点，对v P 进行分解，如图所示，由平抛运动规律得 v P ＝v 0cos 53°＝30.6m/s ＝5 m/s(2)从抛出到圆弧轨道最低点，根据动能定理 mg ·2R ＝12m v 12－12m v 02解得v 1＝29 m/s根据牛顿第二定律和向心力公式N －mg ＝m v 12R ，解得N ＝54.4 N ，根据牛顿第三定律F 压＝N＝54.4 N ，方向竖直向下．(3)平台与轨道的最高点等高，根据动能定理可知v Q ＝v 0＝3 m/s ，设小球受到向下的弹力F 1，根据牛顿第二定律和向心力公式F 1＋mg ＝m v Q 2R ，解得F 1＝6.4 N>0，根据牛顿第三定律，小球对外壁有弹力，大小为6.4 N.4．(2022·湖南高一期中)科技助力北京冬奥：我国自主研发的“人体高速弹射装置”几秒钟就能将一名滑冰运动员从静止状态加速到指定速度，辅助滑冰运动员训练各种滑行技术．如图所示，某次训练，弹射装置在加速阶段将质量m ＝60 kg 的滑冰运动员加速到速度v 0＝8 m/s 后水平向右抛出，运动员恰好从A 点沿着圆弧的切线方向进入光滑圆弧轨道AB .AB 圆弧轨道的半径为R ＝5 m ，B 点是圆弧轨道的最低点，圆弧轨道与水平轨道BD 平滑连接，A 与圆心O 的连线与竖直方向成37°角．MN 是一段粗糙的水平轨道，滑冰运动员与MN 间的动摩擦因数μ＝0.08，水平轨道其他部分光滑．最右侧是一个半径为r ＝2 m 的半圆弧光滑轨道，C 点是半圆弧光滑轨道的最高点，半圆弧光滑轨道与水平轨道BD 在D 点平滑连接．取重力加速度g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.整个运动过程中将运动员简化为一个质点．(1)求运动员水平抛出点距A 点的高度；(2)求运动员经过B 点时对轨道的压力大小；(3)若运动员恰好能通过C 点，求MN 的长度L .答案 (1)1.8 m (2)2 040 N (3)12.5 m解析 (1)根据运动的合成与分解可得运动员经过A 点时的速度大小为v A ＝v 0cos 37°＝10 m/s ① 设运动员水平抛出点距A 点的高度为h ，对运动员从抛出点到A 点的过程，由动能定理有mgh ＝12m v A 2－12m v 02② 联立①②解得h ＝1.8 m ③(2)设运动员经过B 点时的速度大小为v B ，对运动员从A 点到B 点的过程，根据动能定理有mg (R －R cos 37°)＝12m v B 2－12m v A 2④ 设运动员经过B 点时所受轨道支持力大小为N ，根据牛顿第二定律及向心力公式有N －mg ＝m v B 2R⑤ 联立①④⑤解得N ＝2 040 N ⑥根据牛顿第三定律可知，运动员经过B 点时对轨道的压力大小为2 040 N ；(3)设运动员刚好通过C 点时的速度大小为v C ，根据牛顿第二定律及向心力公式有mg ＝m v C 2r ⑦ 对运动员从B 点到C 点的过程，根据动能定理有－μmgL －2mgr ＝12m v C 2－12m v B 2⑧ 联立④⑦⑧解得L ＝12.5 m ．⑨5．(2022·重庆市第七中学校高一期中)如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量均为m的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为R A＝r，R B＝2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，求：(1)细线刚要产生拉力时的角速度ω1；(2)当圆盘转速加快到两物体刚好要发生滑动时的角速度ω2和此时细线的拉力大小F；(3)当圆盘从静止加速到两物体刚好要发生滑动时对两物体做的总功W.答案(1)μg2r(2)2μgr3μmg(3)5μmgr解析(1)由于B物体的向心力较大，细线刚要产生拉力时，B物体的静摩擦力达到最大，依题意对B，最大静摩擦力提供向心力有μmg＝mω12·2r，解得ω1＝μg2r(2)当圆盘转速加快到两物体刚好要发生滑动时，设此时的角速度为ω2和此时细线的拉力为F 对A有：F－μmg＝mω22·r对B有：F＋μmg＝mω22·2r解得ω2＝2μgr，F＝3μmg.(3)根据动能定理有，两物体的动能增加量即为外力对其所做的总功，即W＝12m(ω2r)2＋12m(ω2·2r)2＝5μmgr.。

动能定理在平抛、圆周运动中的综合应用动能定理常与平抛运动、圆周运动相结合，解决这类问题要特别注意：(1)与平抛运动相结合时，要注意应用运动的合成与分解的方法，如分解位移或分解速度求平抛运动的有关物理量.(2)与竖直平面内的圆周运动相结合时，应特别注意隐藏的临界条件：①有支撑效果的竖直平面内的圆周运动，物体能通过最高点的临界条件为v min＝0.①没有支撑效果的竖直平面内的圆周运动，物体能通过最高点的临界条件为v min＝gR.【题型1】如图所示，质量m＝0.1 kg的金属小球从距水平面高h＝2.0 m的光滑斜面上由静止开始释放，运动到A点时无能量损耗，水平面AB是长2.0 m的粗糙平面，与半径为R＝0.4 m的光滑的半圆形轨道BCD相切于B点，其中圆轨道在竖直平面内，D为轨道的最高点，小球恰能通过最高点D，求：(g＝10 m/s2)(1)小球运动到A点时的速度大小；(2)小球从A运动到B时摩擦阻力所做的功；(3)小球从D点飞出后落点E与A的距离.【题型2】如图所示，一可以看成质点的质量为m＝2 kg的小球以初速度v0沿光滑的水平桌面飞出后，恰好从A点沿切线方向进入圆弧轨道，其中B为轨道的最低点，C为最高点且与水平桌面等高，圆弧AB对应的圆心角θ＝53°，轨道半径R＝0.5 m.已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，不计空气阻力，g取10 m/s2.(1)求小球的初速度v0的大小；(2)若小球恰好能通过最高点C，求在圆弧轨道上摩擦力对小球做的功.【题型3】如图所示是一种常见的圆桌，桌面中间嵌一半径为r＝1.5 m、可绕中心轴转动的圆盘，桌面与圆盘面在同一水平面内且两者间缝隙可不考虑.已知桌面离地高度为h＝0.8 m，将一可视为质点的小碟子放置在圆盘边缘，若缓慢增大圆盘的角速度，碟子将从圆盘上甩出并滑上桌面，再从桌面飞出，落地点与桌面飞出点的水平距离是0.4 m.已知碟子质量m＝0.1 kg，碟子与圆盘间的最大静摩擦力F fmax＝0.6 N，g取10 m/s2，求：(不计空气阻力)(1)碟子从桌面飞出时的速度大小；(2)碟子在桌面上运动时，桌面摩擦力对它做的功；(3)若碟子与桌面间的动摩擦因数为μ＝0.225，要使碟子不滑出桌面，则桌面半径至少是多少？【题型4】如图所示，一质量为M＝5.0 kg的平板车静止在光滑水平地面上，平板车的上表面距离地面高h＝0.8 m，其右侧足够远处有一固定障碍物A.一质量为m＝2.0 kg的滑块(可视为质点)以v0＝8 m/s的水平初速度从左端滑上平板车，同时对平板车施加一水平向右、大小为5 N的恒力F.当滑块运动到平板车的最右端时，两者恰好相对静止．此时撤去恒力F.此后当平板车碰到障碍物A时立即停止运动，滑块水平飞离平板车后，恰能无碰撞地沿圆弧切线从B点进入光滑竖直圆弧轨道，并沿轨道下滑．已知滑块与平板车间的动摩擦因数μ＝0.5，圆弧半径为R＝1.0 m，圆弧所对的圆心角θ＝106°，g取10 m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，不计空气阻力，求：(1)平板车的长度；(2)障碍物A与圆弧左端B的水平距离；(3)滑块运动到圆弧轨道最低点C时对轨道压力的大小．针对训练1.如图所示，水平长直轨道AB 与半径为R ＝0.8 m 的光滑14竖直圆轨道BC 相切于B ，轨道BC 与半径为r ＝0.4 m 的光滑14竖直圆轨道CD 相切于C ，质量m ＝1 kg 的小球静止在A 点，现用F ＝18 N 的水平恒力向右拉小球，在到达AB 中点时撤去拉力，小球恰能通过D 点.已知小球与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2，取g ＝10 m/s 2.求： (1)小球在D 点的速度v D 大小；(2)小球在B 点对圆轨道的压力F N B 大小； (3)A 、B 两点间的距离x .2.如图所示，一长L ＝0.45 m 、不可伸长的轻绳上端悬挂于M 点，下端系一质量m ＝1.0 kg 的小球，CDE 是一竖直固定的圆弧形轨道，半径R ＝0.50 m ，OC 与竖直方向的夹角θ＝60°，现将小球拉到A 点(保持绳绷直且水平)由静止释放，当它经过B 点时绳恰好被拉断，小球平抛后，从圆弧轨道的C 点沿切线方向进入轨道，刚好能到达圆弧轨道的最高点E ，重力加速度g 取10 m/s 2，求：(1)小球到B 点时的速度大小； (2)轻绳所受的最大拉力大小；(3)小球在圆弧轨道上运动时克服阻力做的功.3.在游乐节目中，选手需借助悬挂在高处的绳飞越到水面的浮台上，如图所示。

物理圆周运动与动能定理相结合咱们今天聊聊物理里的圆周运动和动能定理，光听这俩词儿就让人有点头大对吧？别着急，咱一步一步来，保证你能轻松搞明白。

咱先不谈什么高深的公式啥的，咱就从最简单的地方开始，保证听完你也能笑着走出教室，自己都能讲给别人听。

先说说圆周运动。

想象一下你在玩秋千，或者骑在过山车上，那时候你是不是感觉自己像是一个在圆圈里转的“飞行员”？不管你怎么摇晃，那种让你感觉像是被什么东西“拉”住的感觉，就是典型的圆周运动。

就是你绕着一个固定的点转，转着转着你突然发现自己好像被某种“看不见的绳子”牵着，怎么都转不开，怪不怪？其实这就是圆周运动的本质，绕着圆心转，始终在一条固定的轨道上打转。

要是你玩秋千，秋千的绳子就是那个“看不见的牵引力”，让你转来转去。

不过，光是转着不行吧？咱得看看你转得有多快，多猛！这就是“动能”的部分了。

动能，这词儿听上去有点专业，其实就是描述你“转得有多带劲”的东西。

你在秋千上如果使劲蹬脚，秋千摇得更高，你的速度越来越快，这时候，你的动能就上来了。

动能就是跟你速度的平方有关系的，越快，动能越大，就好像你往前冲得越猛，刹车的刹车点也更远。

动能定理简单来说就是这么个意思，动能是你物体的“劲儿”大小，劲儿越大，运动得也越“带劲儿”。

想象你现在正在过山车上，坐在最顶端，准备冲下去，心里是不是有点小激动？这时候，咱们就得用动能定理来解释一下这个“激动”的原因了。

你在过山车最高点停下来的一瞬间，速度几乎是零，对吧？但是只要一开始下坡，那种让你心脏狂跳的感觉就会变成飞速的“动能”了。

你从上面冲下来，动能就像是突然被注入了一股“加速器”，就能让你越下越快，心跳也随之加速。

这个过程的关键点就是你从高处到低处，重力把你“拉”下来，能量从“位置能”变成了“动能”，让你一下子感觉自己飙起来了。

你想想看，要是没有那股“动能”，你压根儿就不能体验到那种飞速下冲的刺激感。

再讲一个更生活化的例子，你去打篮球，准备投篮前是不是会起跳？那时候，你的双腿蹬地、身体升起，那一刻，身体的“势能”增加了。

动能定理在圆周运动中的应用学习目标：1、回顾圆周运动的处理方法2、圆周运动中典型物理模型及处理方法的回顾3、用动能定理处理圆周运动中的问题知识回顾：△圆周运动的处理方法：具体处理公式：△圆周运动中的典型模型：试一试1：如图所示，长为l的轻质细线一端固定，另一端栓一个质量为m的小球，从图示位置A释放，问：（1）到最低处时小球的速度？（2）最低处时绳中的张力？思考：1、从图示位置A松手，小球在竖直平面内做圆周运动能到达的最大高度在何处？2、要使小球从A处开始做圆周运动，能运动的更高，该怎么办？练一练1：如图所示，长为l的轻质细线一端固定，另一端栓一个质量为m的小球，某人在A处给小球一个初速度，使小球恰好在竖直平面内做完整圆周运动。

问：（1）小球在最高处的速度和绳中张力分别为多少？（2）小球在A处的初速度多少？（3）人对小球做了多少功？试一试2：如图半径为R的光滑轨道置于竖直平面内，某人在A处给小球一初速度，使其在竖直平面内做完整圆周运动，问：（1）人至少对小球做了多少功？（2）小球能否再次回到轨道内做圆周运动？练一练2：如图在竖直平面内有一个半径为R的圆弧轨道，一个质量为m的小球自A的正上方P处由静止开始下落，小球沿轨道到达最高处B时恰好对轨道没有压力，问：（1）P距A处的高度？（2）若轨道粗糙，P距A处的高度为2R，其与条件不变，则小球从P处运动的B的过程中，克服阻力做的功是多少？练习：1、如图所示，O点离地面的高度为H，以O点为圆心制作一个四分之一光滑轨道，小球从与O点等高的A处静止下滑，问（1）小球落地点到O处的水平距离？（2）要使这一距离最大，R应该满足什么条件？最大距离多少？2、如图所示，半径R=0.4m的光滑半圆环轨道处于竖直平面内，半圆环与粗糙的水平地面相切于圆环的端点A.一质量m=0.1kg的小球，以初速度v0=7m/s在水平地面上向左作匀减速直线运动，运动5m后，冲上竖直半圆环，恰好经过轨道最高处B，最后小球落在C点。

V2 V1
半径为R的圆周运动中， 由牛顿第二定律可得:
F mv12 R
半径为R/2的圆周运动中， 由牛顿第二定律可得:
6F
mv
2
2
R
2
水引平入 圆周运动
解:小球的转动半径从R到R/2过程中，由动能定理可得:
WHale Waihona Puke 1 2mv2
2
1 2
mv12
(1)
半径为R的圆周运动中，由牛顿第二定律可得:
F mv12
(2)
R
半径为R/2的圆周运动中，由牛顿第二定律可得:
6F
mv
2
2
R
2
(3)
联立(1)(2)(3)式可得: W=FR。
竖引直入 圆周运动
【例3】如图3所示：由细管弯成的竖直放置的轨道，其圆 形部分的半径为R和r，质量为m的小球从水平轨道出发，先 后经过两圆形轨道最后又进入水平轨道，已知小球在A处刚 好对管壁无压力，在B处对管的内壁的压力为0.5mg，则小 球由A至B的运动过程中克服轨道阻力所做的功是多少？ （细管的内径及球的大小不计）
动能定理解题步骤
【应用动能定理解题的一般步骤】 1.确定研究对象，明确它的运动过程； 2.分析物体在运动过程中的受力情况，明确各个 力是否做功，是正功还是负功，并求出合力所 做的功； 3.明确起始（初）状态和终了（末）状态的动能 （可分段、亦可对整个运动过程）
4.根据动能定理布列方程: W Ek Ek2 Ek1
小球恰能通过最高点，由牛顿第二定律可得:
mg mv22
（3）
R
联立(1)(2)(3)式可得: W mgR 2
跟踪演练
所以，小球克服空气阻力所做的功为: