【北师大版初三数学】第1讲：三角形的证明-教案

*4.5 相似三角形判定定理的证明1.会证明相似三角形判定定理；（重点）2.运用相似三角形的判定定理解决相关问题.（难点）一、情景导入相似三角形的判定方法有哪些？答：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似.怎样证明这些结论呢？二、合作探究探究点：相似三角形的判定定理【类型一】根据条件判定三角形相似如图所示，给出以下条件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③ACCD ＝ABBC；④AC2＝AD·AB.其中能单独判定△ABC∽△ACD的个数为（）A.1B.2C.3D.4解析：在图中已知两个三角形有一对公共角，只要再找一对角相等，或夹公共角的两组对应边成比例即可判定两个三角形相似.题中有三个条件可以单独判定△ABC∽△ACD，分别是①②④.①②是根据有两组角分别对应相等的两个三角形相似来判定的；④是根据两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似来判定；③虽然两边对应成比例，但不能得到其夹角相等，所以不能判定两个三角形相似.故选C.方法总结：利用两边分别对应成比例且夹角相等的方法判定两个三角形相似时，一定要注意必须是对应成比例的两边的夹角相等，若不是夹角相等，则不能判定这两个三角形相似.【类型二】 探索三角形相似的条件如图，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD . （1）若AB ＝9，CD ＝4，BD ＝10，请问在BD 上是否存在点P ，使以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP 的长；若不存在，请说明理由；（2）若AB ＝9，CD ＝4，BD ＝12，请问在BD 上存在多少个点P ，使以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似？并求BP 的长；（3）若AB ＝9，CD ＝4，BD ＝15，请问在BD 上存在多少个点P ，使以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似？并求BP 的长；（4）若AB ＝m ，CD ＝n ，BD ＝l ，请问在m 、n 、l 满足什么关系时，存在以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似的一个点P ？两个点P ？三个点P ？解：（1）设BP ＝x ，则DP ＝10－x .若△ABP ∽△CDP ，则AB CD ＝BP DP ，即94＝x 10－x，解得x ＝9013；若△ABP ∽△PDC ，则AB PD ＝BP CD ，即910－x＝x 4，此时方程无解.综上，存在这样的点P ，此时BP＝9013； （2）设BP ＝x ，则DP ＝12－x .若△ABP ∽△CDP ，则AB CD ＝BP DP ，即94＝x 12－x，解得x ＝10813；若△ABP ∽△PDC ，则AB PD ＝BP CD ，即912－x ＝x 4，解得x ＝6.综上所述，存在两个这样的点P ，此时BP ＝6或10813； （3）设BP ＝x ，则DP ＝15－x . 若△ABP ∽△CDP ，则AB CD ＝BP DP ，即94＝x 15－x，解得x ＝13513；若△ABP∽△PDC，则ABPD＝BPCD，即915－x＝x4，解得x＝3或12.综上所述，存在三个这样的点，此时BP＝13513，3或12；（4）设BP＝x，则DP＝l－x.若△ABP∽△CDP，则ABCD＝BPDP，即mn＝xl－x，解得x＝mlm＋n；若△ABP∽△PDC，则ABPD＝BPCD，即ml－x＝xn，得方程x2－lx＋mn＝0，Δ＝l2－4mn.当Δ＝l2－4mn＜0时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个点P；当Δ＝l2－4mn＝0时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的两个点P；当Δ＝l2－4mn＞0时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的三个点P.方法总结：由于相似情况不明确，因此要分两种情况讨论，注意要找准对应边.三、板书设计相似三角形判定定理的证明⎩⎨⎧判定定理1判定定理2判定定理3本课主要是证明相似三角形判定定理，以学生的自主探究为主，鼓励学生独立思考，多角度分析解决问题，总结常见的辅助线添加方法，使学生的推理能力和几何思维都获得提高，培养学生的探索精神和合作意识.。

九年级数学教案主备人：雷志学§1、2直角三角形（2）教学目标：1、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。

2、能够证明直角三角形全等的“HL ”判定定理既解决实际问题。

重点：能够证明直角三角形全等的“HL ”判定定理。

并且用纸解决问题。

难点：证明“HL ”定理的思路的探究和分析。

-教学过程：一、 复习提问1判断两个三角形全等的方法有哪几种？2、有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一个角是直角呢？请证明你的结论。

（思考交流引导学生分析证明思路，写出证明过程）二、 阅读课本23页学习目标：能够证明直角三角形全等的“HL ”判定定理。

问题1，此定理适用于什么样的三角形？（适用于直角三角形）2、判定直角三角形的方法有哪些，分别说出？（HL,SAS,ASA,AAS,SSS.先考虑HL,在考虑另外四种方法。

） 三、 做一做如图利用刻度尺和三角板，能否做出这个角的角平分线？并证明。

（设计做一做的目的为了让学生体会数学结论在实际中的应用，教学中就要求学生能用数学的语言清楚地表达自己的想法，并能按要求将推理证明过程写出来。

）AO B四、练习 随堂练习P24--11、 锐角对应相等的两个直角三角形全等。

2、 斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等。

3、 两条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

4、 一条直角边和另一条直角边上的中线队以相等的两个直角三角形全等。

五、议一议如图：已知∠ACB=∠BDA=90。

要使 ⊿ACB ≌⊿BDA ，还需要什么条件？把他们写出来，并说明理由。

（教学中给予学生时间和空间，鼓励学生积极思考，并在独立思考的基础上， 通过交流，获得不同的答案，并将一种方法写出证明过程。

）六、 小结：1、本节课学习了哪些知识？2、还有那一些方面的收获？七、作业：1、基础作业：P23页习题1.5 1、2。

2、拓展作业：《目标检测》3、预习作业： 预习：线段的垂直平分线。

第一章证明（二）复习（一）一、复习目标回顾本章的主要内容，特殊三角形的判定和性质，命题的逆命题及其真假，线段的垂直平分线、角平分线的尺规作图及性质，理顺这些重要知识点。

二、知识回顾提问：（1）与等腰三角形、等边三角形的有关结论。

答：①定理：等腰三角形的两个底角相等；②推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；③定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）；④定理：有一个角等于60的等腰三角形是等边三等边；⑤推论：三个角都相等的三角形是等边三角形。

（2）与直角三角形有关的结论答：定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半；推论：在直角三角形中，如果一个直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30。

（3）判定两个三角形全等的方法答：ASA AAS SAS SSS HL（在直角三角形中）（4）与线段的垂直平分线有关的结论答：定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等；（5）与角平分线有关的结论答：定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上；定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且边一点到三条边的距离相等。

三、例题讲解例1 已知点D、E、F分别是中AB、AC、BC上的点，且DE∥BC,EF∥AB,求证:∠B=∠DEF例2,已知△ABC中,AB=AC,BE与CD相交于点O,OB=OC.求证: (1)OD=OE;(2)AD=AE例3如图,D、E是△ABC中BC边上两点,(1)若已知AD=AE，要得到△ABE≌△ACD还补充一个条件(写出各种补充的情况);(2)若已知AB=AC,AD=AE,可证得哪几对三角形全等例4已知△ABC中,AB=AC，AB垂直平分线交AC于点E，已知△BCE的周长是16，AC －BC=4，求△ABC的周长。

第一章证明（二）（课时安排）1．你能证明它们吗？3课时2．直角三角形2课时3．线段的垂直平分线2课时4．角平分线1课时1.你能证明它们吗?（一）教学目标：知识与技能目标：1．了解作为证明基础的几条公理的内容。

2．掌握证明的基本步骤和书写格式．过程与方法1．经历“探索——发现——猜想——证明”的过程。

2．能够用综合法证明等区三角形的有关性质定理。

情感态度与价值观1．启发、引导学生体会探索结论和证明结论，即合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系．2．培养学生合作交流、独立思考的良好学习习惯．重点、难点、关键1．重点：探索证明的思路与方法。

能运用综合法证明问题．2．难点：探究问题的证明思路及方法．3．关键：结合实际事例，采用综合分析的方法寻找证明的思路．教学过程：一、议一议：1．还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？2．你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗？给出公理和定理：1．等腰三角形两腰相等，两个底角相等。

60延伸．2．等边三角形三边相等，三个角都相等，并且每个角都等于二、回忆上学期学过的公理1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;3.两边夹角对应相等的两个三角形全等;（SAS）4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;（ASA）5.三边对应相等的两个三角形全等;（SSS）6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.三、推论 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（AAS ）证明过程：已知：∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF 求证：△ABC ≌△DEF证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°）∴∠C=180°-(∠A+∠B) ∠F=180°-(∠D+∠E)又∵∠A=∠D,∠B=∠E （已知） ∴∠C=∠F又∵BC=EF （已知）∴△ABC ≌△DEF （ASA ）推论 等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

直角三角形（第一课时）教学目标：1、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。

2、了解勾股定理及其逆定理的证明方未能，能够证明直角三角形全等的“HL”判定定理。

3、结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。

教学过程：引入：我们曾经利用数方格和割补图形的方未能得到了勾股定理。

实际上，利用公理及其推导出的定理，我们能够证明勾股定理。

定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，延长CB 至点D ，使BD=b ，作∠EBD=∠A ，并取BE=c ，连接ED 、AE ，则△ABC ≌△BED 。

∴∠BDE=90°，ED=a （全等三角形的对应角相等，对应边相等）。

∴四边形ACDE 是直角梯形。

∴S 梯形ACDE =12 (a+b)(a-b)= 12(a+b)2 ∴∠ABE=180°-∠ABC-∠EBD=180°- 90°=90°AB=BE∴S △ABC = 12c 2 ∵S 梯形ACDE = S △ABE +S △ABC + S △BED ,∴12 (a+b)2=12 c 2+12 ab+12ab 即12 a 2+ab+12 b 2=12 c 2+12 ab+12 ab ∴a 2+b 2=c 2反过来，在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论，你能证明这个结论吗？已知：如图，在△ABC ，AB 2+AC 2=BC 2，求证：△ABC 是直角三角形。

证明：作出Rt △A ’B ’C ’，使∠A=90°，A ’B ’=AB ，A ’C ’=AC ，则A ’B ’2+A ’C ’2=B ’C ’2 （勾股定理）∵AB 2+AC 2=BC 2 ，A ’B ’=AB ，A ’C ’=AC ，∴BC 2= B ’C ’2∴BC=B ’C ’∴△ABC ≌△A ’B ’C ’ (SSS)∴∠A=∠A ’=90°(全等三角形的对应角相等)因此，△ABC 是直角三角形。

新北师大版八下数学第一章三角形的证明教案教学目标：1.理解三角形的定义，掌握三角形分类的方法。

2.掌握使用三角形的基本性质进行三角形的证明。

3.培养学生的逻辑思维和推理能力。

教学重点：1.理解三角形的定义，掌握三角形分类的方法。

2.使用三角形的基本性质进行三角形的证明。

教学难点：使用三角形的基本性质进行三角形的证明。

教学过程：一、导入（10分钟）1.师生互动：提问学生对三角形的定义和分类的了解。

2.引入新知：向学生介绍本课的学习内容，即三角形的证明。

二、讲解与示范（20分钟）1.讲解三角形的定义和分类的方法，并通过图示进行解释。

2.讲解三角形的基本性质（如角的度数和等于180度等）。

3.示范使用三角形的基本性质进行三角形的证明。

三、练习与训练（30分钟）1.学生个别或分组完成教材上的练习题，巩固理论知识。

2.学生在小组内互相出题，进行三角形证明的练习。

四、展示与评价（15分钟）1.学生展示自己的练习成果，分享自己的解题思路。

2.教师评价学生的表现，指出不足之处并给予指导。

五、拓展与应用（15分钟）1.针对一些高阶问题进行拓展，引导学生思考和推理。

2.学生在小组内或以个体形式，解答拓展问题。

六、总结与归纳（10分钟）1.学生和教师一起总结本节课所学的内容，梳理知识点。

2.教师对本节课的教学进行总结，并提醒学生下节课的学习安排。

教学资源：1.新北师大版八年级数学教材。

2.黑板、彩色粉笔、投影仪等教学工具。

教学延伸：本节课主要讲解了三角形的定义和分类，并引导学生使用三角形的基本性质进行三角形的证明。

在教学过程中，教师可以使用多媒体教学、思维导图等方式，增加学生的参与度和理解能力。

同时，教师还可以设计一些趣味性的活动，激发学生的学习兴趣和求知欲。

九年级数学教案主备人：雷志学§1．2 直角三角形教学目标：1、了解勾股定理逆定理的证明方法教学重点、难点：进一步掌握演绎推理的方法。

教学过程：一、温故知新二、新你记得勾股定理的内容吗？你曾经用什么方法得到了勾股定理？（由学生回顾得出勾股定理的内容。

）定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

二问题情境：在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论，你能证明这个结论吗？阅读课本16，17，18学习目标1了解勾股定理逆定理的证明方法已知：在ΔABC中，AB2+AC2=BC2求证：ΔABC是直角三角形a)（！）（2）A B C A1B2 C1（讲解证明思路及证明过程，引导学生领会证明思路及证明过程，得出结论。

）结论：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

2、议一议：如果两个角是对顶角，那么它们相等。

如果两个角相等，那么它们是对顶角。

如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧。

如果小明发烧，那么他一定患了肺炎。

三角形中相等的边所对的角相等。

三角形中相等的角所对的边相等。

4、练习：（1）试着举出一些其它的例子。

（2）随堂练习 15、读一读“勾股定理的证明”的阅读材料。

6、课堂小结：本节课你都掌握了哪些内容？（引导学生归纳总结，互逆定理的定义及相互间的关系。

）1、作业1、基础作业：P20页习题1.4 1、2、3。

2、拓展作业：《目标检测》3、预习作业：P21-22页做一做板书设计：教后记：。

第一章三角形的证明 §1.1等腰三角形一、学习目标：1．经历探索等腰三角形性质的过程． 2．等腰三角形的“三线合一”3． 会利用等腰三角形的“三线合一”进行相关的线段相等和角相等。

二、学习重点：等腰三角形的“三线合一”。

三、学习难点“三线合一”的应用。

四、教具：多媒体课件、小黑板、彩粉笔、三角板等 五、预习作业（1）回忆前面研究过的全等三角形的判定．（SSS ASA AAS SAS ） （2）预习课本P.1-6。

六、学习新知识[例1]如图，1、如图，△ABC 中 AB=AC ， D 为BC 中点求证：①△ABD ≌△ACD ． ②∠BAD=∠CAD③AD ⊥BC证明：变式训练：如图，已知AC=FE 、BC=DE ，点A 、D 、B 、F 在一条直线上，AD=FB ．要用“边边边”证明△ABC ≌△FDE ，除了已知中的AC=FE ，BC=DE 以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？例2、如图，已知AB=CD ，AC=BD ，求证：∠A=∠D七、拓展延伸1、如图，AC 与BD 交于点O ，AD=CB ，E 、F 是BD 上两点，且AE=CF ，DE=BF.F DCBEA请推导下列结论：（1）∠D=∠B ；（2）AE ∥CF ．2、已知如图，A 、E 、F 、C 四点共线，BF=DE ，AB=CD.⑴请你添加一个条件，使△DEC ≌△BFA ； ⑵在⑴的基础上，求证：DE ∥BF.3、 已知：AB =AC, D 为△ABC 内部一点， 且BD = CD, 连接AD 并延长，交BC 于点E. 试找出图中的一对全等的三角形，并证明你的结论。

八、小结：1、证明三角形全等的一般步骤：①把非直接条件（公共边、公共角、对顶角，平行线，平行四边形等图形中的隐含条件）转化为直接条件（三角形中的对应相等的边或角）②在△与△中 ∵⎩⎨⎧∴△≌△2、证明不在同一个三角形中的边与角相等时，不要忘记证它们所在的三角形全等 九、作业布置：1、预习定理：“有两个班角相等的三角形是等腰三角形”。

北师大版九年级数学上册《相似三角形判定定理的证明》说课稿一、教学目标本节课的主要教学目标如下：1.了解相似三角形的定义和性质；2.理解相似三角形判定定理的证明过程；3.熟练运用相似三角形判定定理进行问题求解。

二、教学重点•掌握相似三角形判定定理的证明过程；•提高运用相似三角形判定定理解决问题的能力。

三、教学内容1. 相似三角形的定义和性质复习在开始证明相似三角形判定定理之前，首先进行相似三角形的定义和性质的复习。

教师可以通过提问的方式，引导学生回顾相似三角形的性质，如边比例相等、对应角相等等。

2. 相似三角形判定定理的引入将学生回顾的相似三角形的性质与相似三角形判定定理进行对比，引导学生思考判定相似三角形的依据。

3. 相似三角形判定定理的证明过程步骤一：构造引导学生通过观察图形，找到两个相似的三角形，并用点线表示出来。

步骤二：假设假设两个三角形为△ABC和△DEF，且满足相似的条件。

步骤三：证明3.1 首先，通过观察，发现△ABC与△DEF的一个角相等，假设为∠A = ∠D。

3.2 其次，再观察，发现△ABC与△DEF的另外两个角也相等，假设为∠B = ∠E和∠C = ∠F。

3.3 接着，根据相似三角形的定义，我们知道相似三角形的对应边的比例应该相等。

所以我们需要比较△ABC与△DEF 的对应边的比例是否相等。

3.3.1 比较△ABC中的边与△DEF中的边的比例：•比较边AB与边DE的比例，假设为AB/DE = m；•比较边AC与边DF的比例，假设为AC/DF = n。

3.3.2 根据对应边比例相等的定义，我们可以得到以下等式：•AB/DE = AC/DF = m/n。

3.4 根据前面的步骤，我们已经得出了三个角相等和对应边比例相等的结论，根据相似三角形的定义，△ABC与△DEF 是相似的。

步骤四：证明结束通过以上的证明过程，我们可以得出相似三角形判定定理的结论。

4. 相似三角形判定定理的应用通过解决实际问题的例子，引导学生灵活运用相似三角形判定定理解决问题。

3.5相似三角形判定定理的证明（1）制作人：陈欣班级姓名2015年10月日教学目标①了解相似三角形判定定理，②会证明相似三角形判定定理。

重点三角形判定定理的证明，难点证明过程中辅助线的添加，一.复习提问相似三角形的判定方法有哪些？（1），两三角形相似.（2）,两三角形相似.（3）,两三角形相似.二.探究学习，得出新知探究1已知：如图，在△ABC和△A’B’C’中，∠A=∠A’，∠B=∠B’。

求证: △ABC∽△A’B’C’。

探究2已知：如图，在△ABC和△A1B1C1中，∠A=∠A1，求证：△ABC∽△A1B1C1.1111CAAC BAAB探究3已知：如图，在△ABC和△A1B1C1中，求证：△ABC∽△A1B1C1三巩固提高例1.判断题：1.所有的等边三角形都相似。

（）2.所有的直角三角形都相似。

（）3.所有的等腰三角形都相似。

（）4.所有的等腰直三角形都相似。

（）例2如图，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是.（填一个即可）例3.在△ABC中，AB=6，AC=8，在△DEF中，DE=4，DF=3，要使△ABC与△DEF相似，需添加的一个条件是．（写出一种情况即可）例4已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD= 7.5 ，求AD的长.四作业一本通红本Ｐ31五小结（教学反思）.111111CAACCBBCBAAB==。

相似三角形判定定理的证明教学目标1．理解相似三角形三个判定定理的证明过程，加深对相似三角形的理解与认识2．应用相似三角形判定定理的证明解决有关问题重点理解相似三角形三个判定定理的证明过程，加深对相似三角形的理解与认识．难点应用相似三角形判定定理的证明解决有关问题．教学用具教学环节说明二次备课复习新课导入阅读教材P99～102，自学三个例题，完成下列内容：1．两角分别相等的两个三角形相似．2．两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．3．三边成比例的两个三角形相似．课程讲授(一)知识探究(二)自学反馈下列图形中不一定相似的是( )A．各有一个角是45°的两个等腰三角形B．各有一个角是60°的两个等腰三角形C．各有一个角是110°的两个等腰三角形D．两个等腰直角三角形活动1 小组讨论例已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′.求证：△ABC∽△A′B′C′.证明：在△ABC的边AB(或它的延长线)上截取AD＝A′B′，过点D作BC的平行线，交AC于点E，则∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，ADAB＝AEAC(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例)．过点D作AC的平行线，交BC于点F，则ADAB＝CFCB(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例)．∴AE AC ＝CFCB .∵DE ∥BC ，DF ∥AC ，∴四边形DFCE 是平行四边形．∴DE ＝CF.∴AE AC ＝DECB .∴AD AB ＝AE AC ＝DEBC .而∠ADE ＝∠B ，∠DAE ＝∠BAC ，∠AED ＝∠C ，∴△ADE ∽△ABC.∵∠A ＝∠A ′，∠ADE ＝∠B ＝∠B ′，AD ＝A ′B ′，∴△A DE ≌△A ′B ′C ′.∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.根据例题中的证明思路，思考：“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”和“三边成比例的两个三角形相似”该如何证明，三条定理的证明思路有相似之处，定理3的证明过程中，证明两三角形相似时要运用比例变换和等量代换，恒等变形的难度有所增加．活动2 跟踪训练1．在矩形ABCD 中，E 、F 分别是CD 、BC 上的点，若∠AEF ＝90°，则一定有( )A ．△ADE ∽△AEFB ．△ECF ∽△AEFC ．△ADE ∽△ECFD ．△AEF ∽△ABF2．如图，已知△ABC 中，P 为AB 上一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B ；②∠APC ＝∠ACB ；③AC 2＝AP ·AB ；④AB ·CP ＝AP ·CB.能满足△APC ∽△ACB 的条件是( )A ．①②④B ．①③④C ．②③④D ．①②③小结 1．相似三角形判定定理的证明(1)两角对应相等，两三角形相似．(2)三边对应成比例，两三角形相似．(3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 2．相似三角形判定定理的应用中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．在如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象应为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先求出一次函数的关系式，再根据函数图象与坐标轴的交点及函数图象的性质解答即可．【详解】由题意知，函数关系为一次函数y=-1x+4，由k=-1＜0可知，y随x的增大而减小，且当x=0时，y=4，当y=0时，x=1．故选D．【点睛】本题考查学生对计算程序及函数性质的理解．根据计算程序可知此计算程序所反映的函数关系为一次函数y=-1x+4，然后根据一次函数的图象的性质求解．2．如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“我”字的一面相对面上的字是（）A．国B．厉C．害D．了【答案】A【解析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【详解】∴有“我”字一面的相对面上的字是国.故答案选A.【点睛】本题考查的知识点是专题：正方体相对两个面上的文字，解题的关键是熟练的掌握正方体相对两个面上的文字.3．将一副三角板按如图方式摆放，∠1与∠2不一定互补的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】A选项：∠1+∠2=360°－90°×2=180°；B选项：∵∠2+∠3=90°，∠3+∠4=90°，∴∠2=∠4，∵∠1+∠4=180°，∴∠1+∠2=180°；C选项：∵∠ABC=∠DEC=90°，∴AB∥DE，∴∠2=∠EFC，∵∠1+∠EFC=180°，∴∠1+∠2=180°；D选项：∠1和∠2不一定互补.故选D.点睛：本题主要掌握平行线的性质与判定定理，关键在于通过角度之间的转化得出∠1和∠2的互补关系.4．如图，O为原点，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4），⊙D过A、B、O三点，点C为AB 上一点（不与O、A两点重合），则cosC的值为（）A．34B．35C．43D．45【答案】D【解析】如图，连接AB，由圆周角定理，得∠C=∠ABO，在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，由勾股定理，得AB=5，∴4 cos cos5OBC ABOAB=∠==．故选D．5．如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是( )A．CB＝CD B．∠BCA＝∠DCAC．∠BAC＝∠DAC D．∠B＝∠D＝90°【答案】B【解析】由图形可知AC＝AC，结合全等三角形的判定方法逐项判断即可.【详解】解：在△ABC和△ADC中∵AB＝AD，AC＝AC，∴当CB＝CD时，满足SSS，可证明△ABC≌△ACD，故A可以；当∠BCA＝∠DCA时，满足SSA，不能证明△ABC≌△ACD，故B不可以；当∠BAC＝∠DAC时，满足SAS，可证明△ABC≌△ACD，故C可以；当∠B＝∠D＝90°时，满足HL，可证明△ABC≌△ACD，故D可以；故选：B.【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，熟练掌握判定定理是解题关键.6．某商店有两个进价不同的计算器都卖了80元，其中一个赢利60%，另一个亏本20%，在这次买卖中，这家商店（）A．赚了10元B．赔了10元C．赚了50元D．不赔不赚【答案】A【解析】试题分析：第一个的进价为：80÷(1+60%)=50元，第二个的进价为：80÷(1－20%)=100元，则80×2－(50+100)=10元，即盈利10元.考点：一元一次方程的应用7．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF 的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1【答案】B【解析】可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC=3：1，∴DE：DC=3：4，∴DE：AB=3：4，∴S△DFE：S△BFA=9：1．故选B．8．如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1=35°，则∠2的度数为（）A．10°B．20°C．25°D．30°【答案】C【解析】分析：如图，延长AB交CF于E，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°．∵∠1=35°，∴∠AEC=∠ABC﹣∠1=25°．∵GH∥EF，∴∠2=∠AEC=25°．故选C．9．若x＝－2 是关于x的一元二次方程x2－52ax＋a2＝0的一个根，则a的值为()A．1或4 B．－1或－4 C．－1或4 D．1或－4 【答案】B【解析】试题分析：把x=﹣2代入关于x的一元二次方程x2﹣52ax+a2=0即：4+5a+a2=0解得：a=-1或-4，故答案选B．考点：一元二次方程的解；一元二次方程的解法．10．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB，BD于M，N两点．若AM＝2，则线段ON的长为( )A．22B．32C．1 D．62【答案】C【解析】作MH⊥AC于H，如图，根据正方形的性质得∠MAH=45°，则△AMH为等腰直角三角形，所以AH=MH=22AM=2，再根据角平分线性质得BM=MH=2，则AB=2+2，于是利用正方形的性质得到AC=2AB=22+2，OC=12AC=2+1，所以CH=AC-AH=2+2，然后证明△CON∽△CHM，再利用相似比可计算出ON的长．【详解】试题分析：作MH⊥AC于H，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴∠MAH=45°，∴△AMH为等腰直角三角形，∴222∵CM平分∠ACB，∴2∴2∴2222，∴OC=122，CH=AC﹣222∵BD⊥AC，∴ON ∥MH ，∴△CON ∽△CHM ， ∴ON OC MH CH =，即21222ON +=+， ∴ON=1．故选C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和正方形的性质．二、填空题（本题包括8个小题）11．图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 度．【答案】360°．【解析】根据多边形的外角和等于360°解答即可．【详解】由多边形的外角和等于360°可知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，故答案为360°．【点睛】本题考查的是多边形的内角和外角，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．12．某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是 ．【答案】10%．【解析】设平均每次降价的百分率为x ，那么第一次降价后的售价是原来的()1x -，那么第二次降价后的售价是原来的()21x -，根据题意列方程解答即可.【详解】设平均每次降价的百分率为x ，根据题意列方程得， ()2100181x ⨯-=，解得10.110%x ==，2 1.9x =（不符合题意，舍去），答：这个百分率是10%.故答案为10%.【点睛】本题考查一元二次方程的应用，要掌握求平均变化率的方法.若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为()21a x b ±=.13．我国明代数学家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚一人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有，人，则可以列方程组__________. 【答案】 【解析】根据100个和尚分100个馒头，正好分完．大和尚一人分3个，小和尚3人分一个得到等量关系为：大和尚的人数+小和尚的人数=100，大和尚分得的馒头数+小和尚分得的馒头数=100，依此列出方程组即可．【详解】设大和尚x 人，小和尚y 人，由题意可得． 故答案为．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键以和尚数和馒头数作为等量关系列出方程组． 14．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝3， BC ＝2，tanA ＝43，则CD ＝_____．【答案】65【解析】延长AD 和BC 交于点E ，在直角△ABE 中利用三角函数求得BE 的长，则EC 的长即可求得，然后在直角△CDE 中利用三角函数的定义求解．【详解】如图，延长AD 、BC 相交于点E ，∵∠B=90°， ∴4tan 3BE A AB ==， ∴BE=443AB ⋅=， ∴CE=BE-BC=2，225AB BE +=， ∴3sin 5AB E AE ==， 又∵∠CDE=∠CDA=90°，∴在Rt △CDE 中，sin CD E CE=， ∴CD=36sin 255CE E ⋅=⨯=. 15．如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是__________.【答案】k ＞－14且k≠1 【解析】由题意知，k≠1，方程有两个不相等的实数根，所以△＞1，△=b 2-4ac=（2k+1）2-4k 2=4k+1＞1．又∵方程是一元二次方程，∴k≠1，∴k ＞-1/4 且k≠1．16．观察以下一列数：3，54，79，916，1125，…则第20个数是_____．【答案】41400【解析】观察已知数列得到一般性规律，写出第20个数即可． 【详解】解：观察数列得：第n 个数为221n n +，则第20个数是41400． 故答案为41400． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解答本题的关键．17．一个不透明的盒子里有n 个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球.每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30％，那么估计盒子中小球的个数是_______．【答案】1【解析】根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为1%，然后根据概率公式计算n 的值． 【详解】解：根据题意得9n＝1%， 解得n ＝1，所以这个不透明的盒子里大约有1个除颜色外其他完全相同的小球．故答案为1．【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 18．不等式组34012412x x +≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩的所有整数解的积为__________． 【答案】1 【解析】解：34012412x x +≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩①②， 解不等式①得：43x ≥-， 解不等式②得：50x ≤，∴不等式组的整数解为﹣1，1，1…51，所以所有整数解的积为1，故答案为1．【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，准确计算是关键，难度不大．三、解答题（本题包括8个小题）19．某校计划购买篮球、排球共20个．购买2个篮球，3个排球，共需花费190元；购买3个篮球的费用与购买5个排球的费用相同．篮球和排球的单价各是多少元？若购买篮球不少于8个，所需费用总额不超过800元．请你求出满足要求的所有购买方案，并直接写出其中最省钱的购买方案．【答案】（1）篮球每个50元，排球每个30元. （2）满足题意的方案有三种：①购买篮球8个，排球12个；②购买篮球9，排球11个；③购买篮球2个，排球2个；方案①最省钱【解析】试题分析：（1）设篮球每个x 元，排球每个y 元，根据费用可得等量关系为：购买2个篮球，3个排球，共需花费190元；购买3个篮球的费用与购买5个排球的费用相同，列方程求解即可；（2）不等关系为：购买足球和篮球的总费用不超过1元，列式求得解集后得到相应整数解，从而求解． 试题解析：解：（1）设篮球每个x 元，排球每个y 元，依题意，得：2319035x y x y +=⎧⎨=⎩解得5030x y =⎧⎨=⎩：． 答：篮球每个50元，排球每个30元．（2）设购买篮球m 个，则购买排球（20-m ）个，依题意，得：50m+30（20-m ）≤1．解得：m≤2．又∵m≥8，∴8≤m≤2．∵篮球的个数必须为整数，∴m 只能取8、9、2．∴满足题意的方案有三种：①购买篮球8个，排球12个，费用为760元；②购买篮球9，排球11个，费用为780元；③购买篮球2个，排球2个，费用为1元．以上三个方案中，方案①最省钱．点睛：本题主要考查了二元一次方程组及一元一次不等式的应用；得到相应总费用的关系式是解答本题的关键．20．如图：求作一点P ，使PM PN =，并且使点P 到AOB ∠的两边的距离相等．【答案】见解析【解析】利用角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法分别得出进而求出其交点即可．【详解】如图所示：P点即为所求．【点睛】本题主要考查了复杂作图，熟练掌握角平分线以及线段垂直平分线的作法是解题的关键．21．在“传箴言”活动中，某班团支部对该班全体团员在一个月内所发箴言条数的情况进行了统计，并制成了如图所示的两幅不完整的统计图：求该班团员在这一个月内所发箴言的平均条数是多少？并将该条形统计图补充完整；如果发了3条箴言的同学中有两位男同学，发了4条箴言的同学中有三位女同学.现要从发了3条箴言和4条箴言的同学中分别选出一位参加该校团委组织的“箴言”活动总结会，请你用列表法或树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率.【答案】（1）3，补图详见解析；（2）7 12【解析】(1)总人数=3÷它所占全体团员的百分比;发4条的人数=总人数-其余人数(2)列举出所有情况,看恰好是一位男同学和一位女同学占总情况的多少即可【详解】由扇形图可以看到发箴言三条的有3名学生且占25%，故该班团员人数为：325%12÷=（人），则发4条箴言的人数为：1222314----=（人），所以本月该班团员所发的箴言共212233441536⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（条），则平均所发箴言的条数是：36123÷=（条）.（2）画树形图如下：由树形图可得，所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率为712 P=.【点睛】此题考查扇形统计图，条形统计图，列表法与树状图法和扇形统计图，看懂图中数据是解题关键22．已知：二次函数C1：y1＝ax2+2ax+a﹣1(a≠0)把二次函数C1的表达式化成y＝a(x﹣h)2+b(a≠0)的形式，并写出顶点坐标；已知二次函数C1的图象经过点A(﹣3，1)．①求a的值；②点B在二次函数C1的图象上，点A，B关于对称轴对称，连接AB．二次函数C2：y2＝kx2+kx(k≠0)的图象，与线段AB只有一个交点，求k的取值范围．【答案】(1)y1＝a(x+1)2﹣1，顶点为(﹣1，﹣1)；(2)①12；②k的取值范围是16≤k≤12或k＝﹣1．【解析】(1)化成顶点式即可求得；(2)①把点A(﹣3，1)代入二次函数C1：y1＝ax2+2ax+a﹣1即可求得a的值；②根据对称的性质得出B的坐标，然后分两种情况讨论即可求得；【详解】(1)y1＝ax2+2ax+a﹣1＝a(x+1)2﹣1，∴顶点为(﹣1，﹣1)；(2)①∵二次函数C1的图象经过点A(﹣3，1)，∴a(﹣3+1)2﹣1＝1，∴a＝12；②∵A(﹣3，1)，对称轴为直线x＝﹣1，∴B(1，1)，当k＞0时，二次函数C2：y2＝kx2+kx(k≠0)的图象经过A(﹣3，1)时，1＝9k﹣3k，解得k＝16，二次函数C2：y2＝kx2+kx(k≠0)的图象经过B(1，1)时，1＝k+k，解得k＝12，∴16≤k≤12，当k＜0时，∵二次函数C2：y2＝kx2+kx＝k(x+12)2﹣14k，∴﹣14k＝1，∴k＝﹣1，综上，二次函数C2：y2＝kx2+kx(k≠0)的图象，与线段AB只有一个交点，k的取值范围是16≤k≤12或k＝﹣1．【点睛】本题考查了二次函数和系数的关系，二次函数的最值问题，轴对称的性质等，分类讨论是解题的关键． 23．如图，一次函数4y x =-+的图象与反比例函数k y x=（k 为常数，且0k ≠）的图象交于A （1，a ）、B 两点． 求反比例函数的表达式及点B 的坐标；在x 轴上找一点P ，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P 的坐标及△PAB 的面积．【答案】（1）3y x =，()3,1B ；（2）P 5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，32PAB S ∆=． 【解析】试题分析：（1）由点A 在一次函数图象上，结合一次函数解析式可求出点A 的坐标，再由点A 的坐标利用待定系数法即可求出反比例函数解析式，联立两函数解析式成方程组，解方程组即可求出点B 坐标；（2）作点B 作关于x 轴的对称点D ，交x 轴于点C ，连接AD ，交x 轴于点P ，连接PB ．由点B 、D 的对称性结合点B 的坐标找出点D 的坐标，设直线AD 的解析式为y=mx+n ，结合点A 、D 的坐标利用待定系数法求出直线AD 的解析式，令直线AD 的解析式中y=0求出点P 的坐标，再通过分割图形结合三角形的面积公式即可得出结论．试题解析：（1）把点A （1，a ）代入一次函数y=-x+4，得：a=-1+4，解得：a=3，∴点A 的坐标为（1，3）．把点A （1，3）代入反比例函数y=k x ， 得：3=k ，∴反比例函数的表达式y=3x， 联立两个函数关系式成方程组得：4{3y x y x=-+=，解得：13xy，或31xy=⎧⎨=⎩，∴点B的坐标为（3，1）．（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，连接PB，如图所示．∵点B、D关于x轴对称，点B的坐标为（3，1），∴点D的坐标为（3，- 1）．设直线AD的解析式为y=mx+n，把A，D两点代入得：3{31 m nm n+=+=-，解得：2 {5mn=-=，∴直线AD的解析式为y=-2x+1．令y=-2x+1中y=0，则-2x+1=0，解得：x=52，∴点P的坐标为（52，0）．S△PAB=S△ABD-S△PBD=12BD•（x B-x A）-12BD•（x B-x P）=12×[1-（-1）]×（3-1）-12×[1-（-1）]×（3-52）=32．考点：1.反比例函数与一次函数的交点问题；2.待定系数法求一次函数解析式；3.轴对称-最短路线问题．24．从一幢建筑大楼的两个观察点A，B观察地面的花坛（点C），测得俯角分别为15°和60°，如图，直线AB与地面垂直，AB＝50米，试求出点B到点C的距离．（结果保留根号）【答案】(5005003)+ 【解析】试题分析：根据题意构建图形，结合图形，根据直角三角形的性质可求解.试题解析：作AD ⊥BC 于点D ，∵∠MBC=60°，∴∠ABC=30°，∵AB ⊥AN ，∴∠BAN=90°，∴∠BAC=105°，则∠ACB=45°，在Rt △ADB 中，AB=1000，则AD=500，BD=5003，在Rt △ADC 中，AD=500，CD=500， 则BC=5005003+．答：观察点B 到花坛C 的距离为(5005003)+米．考点：解直角三角形25．如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，过点C 的直线MN ∥AB ，D 为AB 边上一点，过点D 作DE ⊥BC ，交直线MN 于E ，垂足为F ，连接CD 、BE.求证：CE=AD ；当D 在AB 中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形？说明理由；若D 为AB 中点，则当A ∠=______时，四边形BECD 是正方形.【答案】（1）详见解析；(2)菱形；（3）当∠A=45°，四边形BECD 是正方形．【解析】(1)先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；(2)求出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD，根据菱形的判定推出即可；(3)求出∠CDB=90°，再根据正方形的判定推出即可．【详解】(1)∵DE⊥BC，∴∠DFP=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DFB=∠ACB，∴DE//AC，∵MN//AB，∴四边形ADEC为平行四边形，∴CE=AD；(2)菱形，理由如下：在直角三角形ABC中，∵D为AB中点，∴BD=AD，∵CE=AD，∴BD=CE，∴MN//AB，∴BECD是平行四边形，∵∠ACB=90°，D是AB中点，∴BD=CD，（斜边中线等于斜边一半）∴四边形BECD是菱形；(3)若D为AB中点，则当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由：∵∠A=45°，∠ACB=90°，∴∠ABC=45°，∵四边形BECD是菱形，∴DC=DB，∴∠DBC=∠DCB=45°，∴∠CDB=90°，∵四边形BECD是菱形，∴四边形BECD是正方形，故答案为45°.【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定、正方形的判定，直角三角形斜边中线的性质等，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.26．如图，已知▱ABCD．作∠B的平分线交AD于E点。