高考数学一轮复习 单调性运用知识梳理 苏教版

函数部分考情分析及学法指导
函数与导数结合，考查综合能力。

函数问题更多的与导数相结合，应用导数研究函数的性质，应用函数的单调性证明不等式，是近几年全国各省高考数学的一个最大的特点。

函数问题的另一个特点就是和思想方法的紧密结合，对数形结合思想、分类讨论思想、有限与无限等思想都进行了深入的考查，江苏尤其把分类讨论的思想作为重点考查。

估计今年把函数问题仍然作为重点来考查，分类讨论还要考，但会难度降低，并且结合其它的数学思想一起考查
答题时，应当注意高考答题“踩点得分”原则，将解题策略转化为得分点，防止“跳步”、“以图代证”等；“要防止一味求“快”，导致“快一点，错一片”。

课时 9 函数的单调性【考纲要求】 等级 B1.理解函数的单调性及几何意义，会判断一些简单函数的单调性2.会用定义法证明一些函数的单调性，并加以应用【基础过关】一、单调性定义1．定义：2．判断单调性的方法：图像法、定义法、复合函数法、导数法定义法，其步骤为：① ；② ；③ ；④ .二、单调性的有关结论1．若f (x ), g (x )均为增(减)函数，则f (x )＋g (x ) 函数；2．若f (x )为增(减)函数，则－f (x )为 ；3．复合函数y ＝f [g(x )]是定义在M 上的函数，若f (x )与g(x )的单调相同，则f [g(x )]为 ，若f (x ), g(x )的单调性相反，则f [g(x )]为 .4．奇函数图像关于 对称，偶函数图像关于 对称奇函数在其对称区间上的单调性 ，偶函数在其对称区间上的单调性 .【基础导练】1.指出下列函数的单调区间（1）13y x =- （2） 21y x =+ （3）11y x=+ （4）22log (45)y x x =-- 2. 定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-.则(2),(1),(3)f f f -的大小关系为 3.若函数()y f x =是[1,1]-上的偶函数，且在[0,1]上是增函数，(3)(1)f a f a ≤+，则实数a 的取值范围是4.已知log 1()(31)41a x x f x a x a x >⎧=⎨-+≤⎩是R 上的减函数，那么a 的取值范围是5.对于下列四种说法：（1）若定义在R 上函数()f x 满足(2)(1)f f >，则函数()f x 是R 上的增函数（2）若定义在R 上函数()f x 满足(2)(1)f f >，则函数()f x 不是R 上的减函数（3）若定义在R 上函数()f x 在区间(,0]-∞上是增函数，在[0,)+∞上是增函数，则()f x 在R 上是增函数（4）若定义在R 上函数()f x 在区间(,0]-∞上是增函数，在(0,)+∞上是增函数，则()f x 在R 上是增函数【典型例题】例1. 证明函数2()1x f x x -=+在(1,)-+∞上为增函数拓展：讨论并归纳函数()x b f x x a +=+的单调性例2.讨论函数()(0)a f x x a x =+>的单调性.变式（1）当0a <时，讨论()a f x x x =+的单调性变式（2）讨论221()f x x x =+的单调性例3．已知定义在区间（0，+∞）上的函数()f x 满足1122()()()x f f x f x x =-，且当1x >时，()0f x <. （1）求(1)f 的值；（2）判断()f x 的单调性；（3）若(3)1f =-,解不等式(||)2f x <-变式训练：函数()f x 对任意的,a b R ∈,都有()()()1f a b f a f b +=+-,并且当0x >时，()1f x >.（1）求证：()f x 是R 上的增函数；（2）若(4)5f =,解不等式2(32)3f m m --<.【小结归纳】1．证明一个函数在区间D 上是增(减)函数的方法： 定义法.其过程是：取值--作差——定号——下结论，而最常用的变形是将和、差形式的结构变为积或商的形式结构；2．确定函数单调区间的常用方法有：(1) 图象法；(2) 定义法；(3)复合函数法；(4)求导法.注意：单调区间一定要在定义域内.3．含有参量的函数的单调性问题，可分为两类：一类是由参数的范围判定其单调性；一类是给定单调性求参数范围，其解法是由定义或导数法得到恒成立的不等式，结合定义域求出参数的取值范围.【课后作业】1.在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()f x (2)f x =-.若()f x 在区间[1,2]上是减函数，则()f x 在区间[2,1]--上是 函数，在区间[3,4]上是 函数2.已知()f x 为R 上的减函数，则满足1(||)(1)f f x<的实数x 的取值范围是 3. 函数212log (56)y x x =-+的单调增区间为4.已知定义在R 上的偶函数()y f x =的一个递增区间为(2,6)，试判断(4,8)是(2)y f x =-的 区间5如果二次函数()()215f x x a x =--+在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，求()2f 的取值范围．6已知函数2()(0,)a f x x x a R x=+≠∈， （1）判断函数()f x 的奇偶性（2）若函数()f x 在区间[2,)+∞是增函数，求实数a 的取值范围。

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4.[考点一]已知函数 f(x)＝ln x－ax(a∈R)，讨论函数 f(x)的单调性． 解：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a(x＞0)， ①当 a≤0 时，f′(x)＝1x－a＞0， 即函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
②当 a＞0 时，令 f′(x)＝1x－a＝0，可得 x＝1a， 当 0＜x＜1a时，f′(x)＝1－xax＞0；当 x＞1a时，f′(x)＝1－xax＜0，
课时(kèshí)达标检测
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01 突破点（一） 利用导数讨论(tǎolùn)函 数的单调 性或求函数的单调区间
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基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．函数的单调性与导数的关系 函数 y＝f(x)在某个区间内可导： (1)若 f′(x)＞0，则 f(x)为这个区间上的 增函数 ； (2)若 f′(x)＜0，则 f(x)为这个区间上的 减函数 ； (3)若 f′(x)＝0，则 f(x)在这个区间上是 常数函数 ．
(k∈Z )；
对于②，f′(x)＝ex(x＋1)，当 x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0， ∴函数 f(x)＝xex 在(0，＋∞)上为增函数； 对于③，f′(x)＝3x2－1，令 f′(x)＞0，得 x＞ 33或 x＜－ 33， ∴函数 f(x)＝x3－x 在－∞，－ 33和 33，＋∞上单调递增； 对于④，f′(x)＝－1＋1x＝－x－x 1，令 f′(x)＞0，得 0＜x＜1， ∴函数 f(x)＝－x＋ln x 在区间(0,1)上单调递增．答案：②
根，把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标 和实根按从大到小的顺序排列起来，把定义域分成 若干个小区间，确定f′(x)在各个区间内的符号，从

１．函数的单调性（１）单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f（x）的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D 上的任意两个自变量的值x１，x２当x１＜x２时，都有f（x１）＜f（x２），那么就说函数f（x）在区间D上是单调增函数当x１＜x２时，都有f（x１）＞f（x２），那么就说函数f（x）在区间D上是单调减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的如果函数y＝f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做函数y＝f（x）的单调区间．２．函数的最值前提设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足条件１对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；２存在x∈I，使得f（x）＝M１对于任意x∈I，都有f（x）≥M；２存在x∈I，使得f（x）＝M结论M为函数y＝f（x）的最大值M为函数y＝f（x）的最小值[小题体验]１．（２0１9·常州一中月考）f（x）＝|x＋２|的单调递增区间为________．答案：[—２，＋∞）２．若函数f（x）＝错误!在区间[２，a]上的最大值与最小值的和为错误!，则a＝________.解析：由f（x）＝错误!的图象知，f（x）＝错误!在（0，＋∞）上是减函数，因为[２，a]⊆（0，＋∞），所以f（x）＝错误!在[２，a]上也是减函数，所以f（x）max＝f（２）＝错误!，f（x）min＝f（a）＝错误!，所以错误!＋错误!＝错误!，所以a＝４．答案：４３．函数f（x）是在区间（—２,３）上的增函数，则y＝f（x＋５）的一个递增区间是________．解析：由—２＜x＋５＜３，得—7＜x＜—２，故y＝f（x＋５）的递增区间为（—7，—２）．答案：（—7，—２）１．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．２．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函数f （x）在区间（—１,0）上是减函数，在（0,１）上是减函数，但在（—１,0）∪（0,１）上却不一定是减函数，如函数f（x）＝错误!.３．两函数f（x），g（x）在x∈（a，b）上都是增（减）函数，则f（x）＋g（x）也为增（减）函数，但f（x）·g（x），错误!等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．[小题纠偏]１．（２0１9·海安期中）函数f（x）＝错误!的单调递减区间为________．答案：错误!和错误!２．已知函数f（x）＝log５（x２—３x—４），则该函数的单调递增区间为________．解析：由题意知x２—３x—４＞0，则x＞４或x＜—１，令y＝x２—３x—４，则其图象的对称轴为x＝错误!，所以y＝x２—３x—４的单调递增区间为（４，＋∞）．单调递减区间为（—∞，—１），由复合函数的单调性知f（x）的单调递增区间为（４，＋∞）．答案：（４，＋∞）错误!错误![题组练透]１．讨论函数f（x）＝错误!在x∈（—１,１）上的单调性．解：设—１＜x１＜x２＜１，则f（x１）—f（x２）＝错误!—错误!＝错误!.因为—１＜x１＜x２＜１，所以x２—x１＞0，x１x２＋１＞0，（x错误!—１）（x错误!—１）＞0，所以f（x１）—f（x２）＞0，即f（x１）＞f（x２），故函数f（x）在（—１,１）上为减函数．２．已知函数f（x）＝a＋错误!（a∈R），判断函数f（x）的单调性，并用单调性的定义证明．解：f（x）在（—∞，0），（0，＋∞）上均为减函数，证明如下：函数f（x）的定义域为（—∞，0）∪（0，＋∞），在定义域内任取x１，x２，使0＜x１＜x２，则f（x２）—f（x１）＝错误!—错误!＝错误!.因为0＜x１＜x２，所以２x１＜２x２，２x２＞１,２x１＞１，所以２x１—２x２＜0,２x１—１＞0,２x２—１＞0，从而f（x２）—f（x１）＜0，即f（x２）＜f（x１），所以f（x）在（0，＋∞）上为减函数，同理可证f（x）在（—∞，0）上为减函数．[谨记通法]１．定义法判断函数单调性的步骤取值错误!错误!错误!２．导数法判断函数单调性的步骤错误!错误!错误!错误!错误![典例引领]求下列函数的单调区间：（１）y＝—x２＋２|x|＋１；（２）y＝log错误!（x２—３x＋２）．解：（１）由于y＝错误!即y＝错误!画出函数图象如图所示，单调递增区间为（—∞，—１]和[0,１]，单调递减区间为[—１,0]和[１，＋∞）．（２）令u＝x２—３x＋２，则原函数可以看作y＝log错误!u与u＝x２—３x＋２的复合函数．令u＝x２—３x＋２＞0，则x＜１或x＞２．所以函数y＝log错误!（x２—３x＋２）的定义域为（—∞，１）∪（２，＋∞）．又u＝x２—３x＋２的对称轴x＝错误!，且开口向上．所以u＝x２—３x＋２在（—∞，１）上是单调减函数，在（２，＋∞）上是单调增函数．而y＝log错误!u在（0，＋∞）上是单调减函数，所以y＝log错误!（x２—３x＋２）的单调递减区间为（２，＋∞），单调递增区间为（—∞，１）．[由题悟法]确定函数的单调区间的３种方法[提醒] 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．[即时应用]１．函数f（x）＝log２（x２—４）的单调递增区间为________．解析：令t＝x２—４＞0，解得x＜—２或x＞２，故函数f（x）的定义域为{x|x＜—２或x＞２}，且f（x）＝log２t.利用二次函数的性质可得，t ＝x ２—４在定义域{x |x ＜—２或x ＞２}内的单调递增区间为（２，＋∞），所以函数f （x ）的单调递增区间为（２，＋∞）．答案：（２，＋∞） ２．函数y ＝错误!2231x x －＋的单调递增区间为________．解析：令u ＝２x ２—３x ＋１＝２错误!２—错误!.因为u ＝２错误!２—错误!在错误!上单调递减，函数y ＝错误!u 在R 上单调递减． 所以y ＝错误!2231x x －＋在错误!上单调递增．答案：错误! 错误! 错误![锁定考向]高考对函数单调性的考查多以填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中． 常见的命题角度有： （１）求函数的值域或最值； （２）比较数值的大小； （３）利用单调性解函数不等式；（４）利用单调性求参数的取值范围或值．[题点全练]角度一：求函数的值域或最值１．（２0１9·启东中学检测）设m ∈R ，若函数f （x ）＝|x ３—３x —２m |＋m 在x ∈[0,２]上的最大值与最小值之差为３，则m ＝________.解析：令y ＝x ３—３x ，x ∈[0,２]，则y ′＝３x ２—３． 由y ′＞0，得１＜x ＜２；由y ′＜0，得0＜x ＜１，所以y ＝x ３—３x 在（0,１）上单调递减，在（１,２）上单调递增，所以当x ∈[0,２]时，y ＝x ３—３x 的值域为[—２,２]，y ＝x ３—３x —２m 的值域为[—２—２m,２—２m ]．１当m ＝0时，f （x ）max ＝２，f （x ）min ＝0，不符合题意；２当m ≥１时，f （x ）max ＝f （—２）＝２＋３m ，f （x ）min ＝f （２）＝３m —２，f （x ）max —f （x ）＝４，不符合题意；min３当0＜m＜１时，f（x）max＝f（—２）＝２＋３m，f（x）min＝m，f（x）max—f（x）min＝２＋２m＝３，解得m＝错误!，符合题意；４当—１＜m＜0时，f（x）max＝f（２）＝２—m，f（x）min＝m，f（x）max—f（x）min＝２—２m＝３，解得m＝—错误!，符合题意；５当m≤—１时，f（x）max＝２—m，f（x）min＝—２—m，f（x）max—f（x）min＝４，不符合题意．综上可得，m＝±错误!.答案：±错误!角度二：比较数值的大小２．设函数f（x）定义在实数集R上，它的图象关于直线x＝１对称，且当x≥１时，f（x）＝３x—１，则f错误!，f错误!，f错误!的大小关系为________________（用“＜”号表示）．解析：由题设知，f（x）的图象关于直线x＝１对称，当x＜１时，f（x）单调递减，当x≥１时，f（x）单调递增，所以f错误!＝f错误!＝f错误!＝f错误!，又错误!＜错误!＜错误!＜１，所以f错误!＞f错误!＞f 错误!，即f错误!＞f错误!＞f错误!.答案：f错误!＜f错误!＜f错误!角度三：利用单调性解函数不等式３．设函数f（x）＝错误!若f（a＋１）≥f（２a—１），则实数a的取值范围是________．解析：易知函数f（x）在定义域（—∞，＋∞）上是增函数，∵f（a＋１）≥f（２a—１），∴a＋１≥２a—１，解得a≤２．故实数a的取值范围是（—∞，２]．答案：（—∞，２]x）＞0４．定义在R上的奇函数y＝f（x）在（0，＋∞）上递增，且f 错误!＝0，求不等式f（log19的解集．解：∵y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且y＝f（x）在（0，＋∞）上递增．∴y＝f（x）在（—∞，0）上也是增函数，又f 错误!＝0，知f 错误!＝—f 错误!＝0．故原不等式f（log19x）＞0可化为f（log19x）＞f错误!或f错误!＜f（log19x）＜f错误!，∴log19x＞错误!或—错误!＜log19x＜0，解得0＜x＜错误!或１＜x＜３．∴原不等式的解集为错误!.角度四：利用单调性求参数的取值范围或值５．（２0１9·南通调研）已知函数f（x）＝错误!（a＞0，且a≠１）满足对任意x１≠x２，都有错误!＜0成立，则实数a的取值范围是________．解析：由题意知f（x）为减函数，所以错误!解得0＜a≤错误!.答案：错误![通法在握]函数单调性应用问题的常见类型及解题策略（１）求函数最值（五种常用方法）（２）比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于填空题能数形结合的尽量用图象法求解．（３）解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．（４）利用单调性求参数的范围（或值）的方法１视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；２需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．[提醒] １若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；２分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．[演练冲关]１．（２0１9·连云港调研）若函数f（x）＝错误!是在R上的减函数，则a的取值范围是________．解析：由题意得错误!解得—6≤a＜１．答案：[—6,１）２．函数f（x）＝—错误!＋b（a＞0）在错误!上的值域为错误!，则a＝________，b＝________.解析：因为f（x）＝—错误!＋b（a＞0）在错误!上是增函数，所以f错误!＝错误!，f（２）＝２．即错误!解得a＝１，b＝错误!.答案：１错误!３．已知函数f（x）＝ln（２＋|x|）—错误!，则使得f（x＋２）＞f（２x—１）成立的x的取值范围是________．解析：由f（—x）＝f（x）可得函数f（x）是定义域R上的偶函数，且x＞0时函数f（x）单调递增，则不等式等价于f（|x＋２|）＞f（|２x—１|），即|x＋２|＞|２x—１|，两边平方化简得３x２—8x—３＜0，解得—错误!＜x＜３．答案：错误!一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．（２0１9·如皋中学月考）函数f（x）＝|x２—２x＋２|的增区间是________．解析：因为函数f（x）＝|x２—２x＋２|＝|（x—１）２＋１|＝（x—１）２＋１，所以函数f（x）＝|x２—２x＋２|的增区间是[１，＋∞）．答案：[１，＋∞）２．函数y＝错误!—x（x≥0）的最大值为________．解析：令t＝错误!，则t≥0，所以y＝t—t２＝—错误!２＋错误!，结合图象知，当t＝错误!，即x＝错误!时，y max＝错误!.答案：错误!３．（２0１8·徐州质检）函数f（x）＝错误!x—log２（x＋２）在区间[—１,１]上的最大值为________．解析：因为y＝错误!x和y＝—log２（x＋２）都是[—１,１]上的减函数，所以y＝错误!x—log２（x ＋２）是在区间[—１,１]上的减函数，所以最大值为f（—１）＝３．答案：３４．已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递减，则满足f（２x—１）＜f（５）的x的取值范围是________．解析：因为偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递减，且f（２x—１）＜f（５），所以|２x—１|＞５，即x＜—２或x＞３．答案：（—∞，—２）∪（３，＋∞）５．若函数f（x）＝—x２＋２ax与g（x）＝（a＋１）１—x在区间[１,２]上都是减函数，则a的取值范围是________．解析：因为f（x）＝—x２＋２ax＝—（x—a）２＋a２在[１,２]上是减函数，所以a≤１．又g（x）＝（a＋１）１—x在[１,２]上是减函数．所以a＋１＞１，所以a＞0．综上可知0＜a≤１．答案：（0,１]6．（２0１9·海门中学高三检测）已知函数f（x）＝错误!满足对任意x１＜x２，都有f（x１）＜f（x２）成立，那么实数a的取值范围是________．解析：∵函数f（x）满足对任意x１＜x２，都有f（x１）＜f（x２）成立，∴函数f（x）在定义域上是增函数，则满足错误!即错误!解得错误!≤a＜２．答案：错误!二保高考，全练题型做到高考达标１．设函数f（x）＝错误!在区间（—２，＋∞）上是增函数，则a的取值范围是________．解析：f（x）＝错误!＝a—错误!，因为函数f（x）在区间（—２，＋∞）上是增函数．所以错误!解得a≥１．答案：[１，＋∞）２．（２0１9·江阴高三检测）设a＞0且a≠１，函数f（x）＝log a|ax２—x|在[３,５]上是单调增函数，则实数a的取值范围为______________．解析：∵a＞0且a≠１，函数f（x）＝log a|ax２—x|＝log a|x·（ax—１）|在[３,５]上是单调增函数，∴当a＞１时，y＝x·（ax—１）在[３,５]上是单调增函数，且y＞0，满足f（x）是增函数；当0＜a＜１时，要使f（x）在[３,５]上是单调增函数，只需错误!解得错误!≤a＜错误!.综上可得，a＞１或错误!≤a＜错误!.答案：错误!∪（１，＋∞）３．对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝错误!设函数f（x）＝—x＋３，g（x）＝log２x，则函数h（x）＝min{f（x），g（x）}的最大值是________．解析：依题意，h（x）＝错误!当0＜x≤２时，h（x）＝log２x是增函数，当x＞２时，h（x）＝—x ＋３是减函数，所以h（x）在x＝２时，取得最大值h（２）＝１．答案：１４．（２0１8·徐州一模）已知函数y＝f（x）和y＝g（x）的图象关于y轴对称，当函数y＝f（x）和y＝g（x）在区间[a，b]上同时递增或者同时递减时，把区间[a，b]叫做函数y＝f（x）的“不动区间”，若区间[１,２]为函数f（x）＝|２x—t|的“不动区间”，则实数t的取值范围是________．解析：因为函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象关于y轴对称，所以g（x）＝f（—x）＝|２—x—t|.因为区间[１,２]为函数f（x）＝|２x—t|的“不动区间”，所以函数f（x）＝|２x—t|和函数g（x）＝|２—x—t|在[１,２]上单调性相同，因为y＝２x—t和函数y＝２—x—t的单调性相反，所以（２x—t）（２—x—t）≤0在[１,２]上恒成立，即２—x≤t≤２x在[１,２]上恒成立，解得错误!≤t≤２．答案：错误!５．（２0１8·金陵中学月考）定义在[—２,２]上的函数f（x）满足（x１—x２）[f（x１）—f（x２）]＞0，x１≠x２，且f（a２—a）＞f（２a—２），则实数a的取值范围为________．解析：函数f（x）满足（x１—x２）[f（x１）—f（x２）]＞0，x１≠x２，所以函数在[—２,２]上单调递增，所以错误!所以错误!所以0≤a＜１．答案：[0,１）6．设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，＋∞）时，f（x）是增函数，则f（—２），f（π），f （—３）的大小关系为____________（用“＜”表示）．解析：因为f（x）是偶函数，所以f（—３）＝f（３），f（—２）＝f（２）．又因为函数f（x）在[0，＋∞）上是增函数，所以f（π）＞f（３）＞f（２），所以f（—２）＜f（—３）＜f（π）．答案：f（—２）＜f（—３）＜f（π）7．（２0１8·苏州高三暑假测试）已知函数f（x）＝x＋错误!（a＞0），当x∈[１,３]时，函数f（x）的值域为A，若A⊆[8,１6]，则a的值等于________．解析：因为A⊆[8,１6]，所以8≤f（x）≤１6对任意的x∈[１,３]恒成立，所以错误!对任意的x∈[１,３]恒成立，当x∈[１,３]时，函数y＝１6x—x２在[１,３]上单调递增，所以１6x—x２∈[１５,３9]，函数y＝8x—x２在[１,３]上也单调递增，所以8x—x２∈[7,１５]，所以错误!即a的值等于１５．答案：１５8．若函数f（x）＝a x（a＞0，a≠１）在[—１,２]上的最大值为４，最小值为m，且函数g（x）＝（１—４m）错误!在[0，＋∞）上是增函数，则a＝________.解析：函数g（x）在[0，＋∞）上为增函数，则１—４m＞0，即m＜错误!.若a＞１，则函数f（x）在[—１,２]上的最小值为错误!＝m，最大值为a２＝４，解得a＝２，错误!＝m，与m＜错误!矛盾；当0＜a＜１时，函数f（x）在[—１,２]上的最小值为a２＝m，最大值为a—１＝４，解得a＝错误!，m＝错误!.所以a＝错误!.答案：错误!9．已知函数f（x）＝a—错误!.（１）求证：函数y＝f（x）在（0，＋∞）上是增函数；（２）若f（x）＜２x在（１，＋∞）上恒成立，求实数a的取值范围．解：（１）证明：当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝a—错误!，设0＜x１＜x２，则x１x２＞0，x２—x１＞0，f（x２）—f（x１）＝错误!—错误!＝错误!—错误!＝错误!＞0，所以f（x）在（0，＋∞）上是增函数．（２）由题意a—错误!＜２x在（１，＋∞）上恒成立，设h（x）＝２x＋错误!，则a＜h（x）在（１，＋∞）上恒成立．任取x１，x２∈（１，＋∞）且x１＜x２，h（x１）—h（x２）＝（x１—x２）错误!.因为１＜x１＜x２，所以x１—x２＜0，x１x２＞１，所以２—错误!＞0，所以h（x１）＜h（x２），所以h（x）在（１，＋∞）上单调递增．故a≤h（１），即a≤３，所以实数a的取值范围是（—∞，３]．１0．（２0１9·江阴期中）设函数f（x）＝错误!是定义在（—１,１）上的奇函数，且f错误!＝错误!.（１）求函数f（x）的解析式；（２）用单调性定义证明f（x）在（—１,１）上是增函数；（３）解不等式f（|t|—１）＋f（t２）＜f（0）．解：（１）因为f（x）＝错误!是定义在（—１,１）上的奇函数，所以f（0）＝b＝0，所以f（x）＝错误!，而f错误!＝错误!＝错误!，解得a＝１，所以f（x）＝错误!，x∈（—１,１）．（２）证明：任取x１，x２∈（—１,１）且x１＜x２，则f（x１）—f（x２）＝错误!—错误!＝错误!.因为x１＜x２，所以x１—x２＜0，又因为x１，x２∈（—１,１），所以１—x１x２＞0，所以f（x１）—f（x２）＜0，即f（x１）＜f（x２），所以函数f（x）在（—１,１）上是增函数．（３）由题意，不等式f（|t|—１）＋f（t２）＜f（0）可化为f（|t|—１）＋f（t２）＜0，即f（t２）＜—f（|t|—１），因为f（x）是定义在（—１,１）上的奇函数，所以f（t２）＜f（１—|t|），所以错误!解得错误!＜t＜错误!且t≠0，所以该不等式的解集为错误!∪错误!.三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f（xy）＝f（x）＋f（y），f（３）＝１，当f （x）＋f（x—8）≤２时，x的取值范围是____________．解析：因为f（9）＝f（３）＋f（３）＝２，所以由f（x）＋f（x—8）≤２，可得f[x（x—8）]≤f （9），因为f（x）是定义在（0，＋∞）上的增函数，所以有错误!解得8＜x≤9．答案：（8,9]２．已知定义在区间（0，＋∞）上的函数f（x）满足f错误!＝f（x１）—f（x２），且当x＞１时，f （x）＜0．（１）证明：f（x）为单调递减函数；（２）若f（３）＝—１，求f（x）在[２,9]上的最小值．解：（１）证明：任取x１，x２∈（0，＋∞），且x１＞x２，则错误!＞１，由于当x＞１时，f（x）＜0，所以f错误!＜0，即f（x１）—f（x２）＜0，因此f（x１）＜f（x２），所以函数f（x）在区间（0，＋∞）上是单调递减函数．（２）因为f（x）在（0，＋∞）上是单调递减函数，所以f（x）在[２,9]上的最小值为f（9）．由f错误!＝f（x１）—f（x２）得，f错误!＝f（9）—f（３），而f（３）＝—１，所以f（9）＝—２．所以f（x）在[２,9]上的最小值为—２．。

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第5讲 函数的单调性
双
向
2．函数 f(x)在区间[a，b]上单调递增与函数 f(x)的单调
固 基
递增区间为[a，b]的含义相同．(
)
础
[答案] ×
[解析] 因为 f(x)在区间[a，b]上单调递增并不能排除 f(x) 在其他区间单调递增，而 f(x)的单调递增区间为[a，b]意味着 f(x)在其他区间不可能单调递增，所以含义不同．
数．( )
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第5讲 函数的单调性
双
向
固
[答案] (1)× (2)√ (3)×
基
础
[解析] (1)函数的单调区间是函数定义域的子集，定义域 不一定是函数的单调区间．
(2)y＝f(x)－g(x)＝ x＋2x 是定义域[0，＋∞)上的增函 数．
(3)举反例：设 f(x)＝x，g(x)＝x－2 都是定义域 R 上的 增函数，但是 f(x)g(x)＝x2－2x 不是增函数．
自左向右看图像
_____逐__渐__下__降________
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双
向
(2)单调性定义的等价形式：设 x1，x2∈[a，b]，x1≠x2，
固
基 础
那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔f（x1）x1－－xf（2 x2）>0⇔f(x)在闭区
间[a，b]上是_增__函__数___；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔
f（x1）x1－－xf（2 x2）<0⇔f(x)在闭区间[a，b]上是_减__函__数___．
(3)单调区间的定义：若函数 f(x)在区间 D 上是_增__函__数___
或_减__函__数___，则称函数 f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，

核心考点·精准研析考点一 不含参数的函数的单调性1.函数y=xln x 的单调递减区间是 ( ) A.(-∞,e -1) B.(e -1,+∞) C.(e,+∞) D.(0,e -1)2.函数f(x)=(x+2)e xx的单调递增区间为________.3.(2021·浙江高考改编)函数f(x)=-34ln x+√x +1的单调递减区间为________.4.(2021·天津高考改编)函数f(x)=e x cos x 的单调递增区间为_______. 【解析】1.选D.函数y=xln x 的定义域为(0,+∞), 因为y=xln x,所以y ′=ln x+1,令y ′<0得0<x<e -1,所以减区间为(0,e -1). 2.因为f(x)=(x+2)e x x,所以f ′(x)=(x 2+2x -2)e xx 2,由f ′(x)>0,解得x<-1-√3或x>-1+√3.所以f(x)的递增区间为(-∞,-1-√3)和(-1+√3,+∞). 答案:(-∞,-1-√3)和(-1+√3,+∞) (x)=-34ln x+√1+x 的定义域为(0,+∞).f ′(x)=-34x +2√1+x=(√1+x -2)(2√1+x+1)4x √1+x,由x>0知√1+x >0,2√1+x +1>0, 所以由f ′(x)<0得√1+x -2<0,解得0<x<3,所以函数f(x)的单调递减区间为(0,3). 答案:(0,3)4.由已知,有f ′(x)=e x (cos x-sin x). 因此,当x ∈(2kπ-3π4,2kπ+π4)(k ∈Z)时,有sin x<cos x,得f ′(x)>0,则f(x)单调递增. 所以f(x)的单调递增区间为[2kπ-3π4,2kπ+π4](k ∈Z).答案:[2kπ-3π4,2kπ+π4](k ∈Z)题2中,若将“f(x)=(x+2)e xx”改为“f(x)=x 2e x ”,则函数f(x)的单调递减区间是________. 【解析】因为f(x)=x 2e x ,所以f ′(x)=2xe x +x 2e x =(x 2+2x)e x . 由f ′(x)<0,解得-2<x<0,所以函数f(x)=x 2e x 的单调递减区间是(-2,0). 答案:(-2,0)确定函数单调区间的步骤(1)确定函数y=f(x)的定义域. (2)求f ′(x).(3)解不等式f ′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间. (4)解不等式f ′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间. 【秒杀绝招】排除法解T1,根据函数的定义域排除A,已知当x ∈(1,+∞)时,y=x 和y=ln x 都是增函数且为正数,所以y=xln x 也是增函数,从而排除B,C.考点二 含参数的函数的单调性【典例】已知函数f(x)=ln x+ax 2-(2a+1)x.若a>0,试讨论函数f(x)的单调性. 【解题导思】 序号题目拆解(1)求f ′(x),解方程 f ′(x)=0求f(x)的定义域,求f ′(x)并进行恰当的因式分解,求出方程f ′(x)=0的根(2)由f ′(x)的符号确定f(x)的单调性用导数为零的实数分割定义域,逐个区间分析导数的符号,确定单调性【解析】因为f(x)=ln x+ax 2-(2a+1)x, 所以f ′(x)=2ax 2-(2a+1)x+1x=(2ax -1)(x -1)x,由题意知函数f(x)的定义域为(0,+∞), 令f ′(x)=0得x=1或x=12a,(1)若12a<1,即a>12,由f ′(x)>0得x>1或0<x<12a,由f ′(x)<0得12a<x<1,即函数f(x)在(0,12a),(1,+∞)上单调递增,在(12a,1)上单调递减;(2)若12a>1,即0<a<12, 由f ′(x)>0得x>12a或0<x<1,由f ′(x)<0得1<x<12a, 即函数f(x)在(0,1),(12a,+∞)上单调递增, 在(1,12a)上单调递减;(3)若12a=1,即a=12,则在(0,+∞)上恒有f ′(x)≥0,即函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.综上可得:当0<a<12时,函数f(x)在(0,1)上单调递增, 在(1,12a)上单调递减,在(12a,+∞)上单调递增;当a=12时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当a>12时,函数f(x)在(0,12a)上单调递增, 在(12a,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.解决含参数的函数的单调性问题应注意两点(1)研究含参数的函数的单调性问题,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为0的点和函数的间断点.已知函数f(x)=(x-3)e x +a(x-2)2,其中e 为自然对数的底数,a ∈R.讨论f(x)的单调性.【解析】f′(x)=e x +(x-3)e x +2a(x-2)=(x-2)(e x +2a).(1)当a ≥0时,令f ′(x)>0,得x>2,令f ′(x)<0,得x<2,所以f(x)在(2,+∞)上单调递增,在(-∞,2)上单调递减.(2)当a<0时,由f ′(x)=0得x=2或x=ln(-2a), ①当ln(-2a)<2,即a>-e 22时,当x ∈(-∞,ln(-2a))时,f ′(x)>0, 当x ∈(ln(-2a),2)时,f ′(x)<0, 当x ∈(2,+∞)时,f ′(x)>0.所以f(x)在(-∞,ln(-2a))和(2,+∞)上单调递增,在(ln(-2a),2)上单调递减.②当ln(-2a)=2即a=-e22时,f′(x)≥0恒成立,f(x)在R上单调递增.③当ln(-2a)>2即a<-e22时,当x∈(-∞,2)时,f′(x)>0,当x∈(2,ln(-2a))时,f′(x)<0,当x∈(ln(-2a),+∞)时,f′(x)>0.所以f(x)在(-∞,2)和(ln(-2a),+∞)上单调递增,在(2,ln(-2a))上单调递减. 考点三利用导数解决函数单调性的应用问题命题精解读考什么:(1)考查函数图象的识别、比较大小或解不等式、根据函数的单调性求参数等问题.(2)考查直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养及数形结合、转化与化归的思想方法.怎么考:与基本初等函数、不等式等综合考查函数的图象及函数的单调性的应用等问题.新趋势:以导数法研究函数单调性为基础,综合考查利用单调性比较大小、解不等式及知单调性求参数的范围.学霸好方法由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)可导函数在区间D上单调,实际上就是在该区间上f ′ (x)≥0(或f ′ (x)≤0)恒成立,从而构建不等式, 求出参数的取值范围,要注意“=”是否可以取到.(2)可导函数在区间D 上存在单调区间,实际上就是f ′(x)>0(或f ′(x)<0)在该区间上存在解集,即f ′(x)max>0(或f ′(x)min<0)在该区间上有解,从而转化为不等式问题,求出参数的取值范围.(3)若已知f (x)在区间D 上的单调性,区间D 上含有参数时,可先求出f(x)的单调区间,令D 是其单调区间的子集,从而求出参数的取值范围.函数图象的识别【典例】函数f(x)=x 2+xsin x 的图象大致为 ( )【解析】选A.因为f(-x)=x 2-xsin(-x)=x 2+xsin x=f(x),所以f(x)为偶函数,B 不符合题意, f(x)=x 2+xsin x=x(x+sin x),令g(x)=x+sin x,则g ′(x)=1+cos x ≥0恒成立,所以g(x)是单调递增函数,则当x>0时,g(x)>g(0)=0,故x>0时, f(x)=xg(x),f ′(x)=g(x)+xg ′(x)>0,即f(x)在(0,+∞)上单调递增,故只有A 符合题意.辨别函数的图象主要从哪几个角度分析提示:从函数奇偶性、单调性、最值及函数图象所过的特殊点等角度分析.比较大小或解不等式【典例】(2021·兰州模拟)函数f(x)在定义域R 内可导,f(x)=f(4-x),且(x-2)f ′(x)>0.若a=f(0),b=f (12),c=f(3),则a,b,c 的大小关系是( )>b>a >a>b>b>c >a>c【解析】选C.由f(x)=f(4-x)可知,f(x)的图象关于直线x=2对称,根据题意知,当x∈(-∞,2)时,f′(x)<0,f(x)为减函数;当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数.所以f(3)=f(1)<f(12)<f(0),即c<b<a.单调性比较大小或解不等式,实际上是自变量的大小与相应函数值的大小关系的互推,比较大小时对自变量的取值范围有什么要求提示:必须在同一个单调区间内.根据函数的单调性求参数【典例】(2021·北京高考)设函数f(x)=e x+ae-x(a为常数).若f(x)为奇函数,则a=________;若f(x)是R上的增函数,则a的取值范围是________.【解析】①显然f(0)有意义,又f(x)为奇函数,所以f(0)=0,得a=-1.②因为f(x)是R上的增函数,所以f′(x)=e x-ae-x=(e x)2-ae x≥0恒成立,即g(x)=(e x)2≥a恒成立,又因为g(x)>0,且当x趋向于-∞时,g(x)趋向于0,所以0≥a,即a的取值范围是(-∞,0].答案:-1 (-∞,0]函数f(x)在某区间上是增函数,推出f ′(x)>0还是f ′(x)≥0 提示:推出f′(x)≥0.1.设函数y=f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f ′(x)可能为 ( )【解析】选D.由题意得,当x<0时,函数y=f(x)单调递增,故f ′(x)>0;当x>0时,函数y=f(x)先增再减然后再增,故导函数的符号为先正再负然后再正.结合所给选项可得D 符合题意.2.已知函数f ′(x)是函数f(x)的导函数,f(1)=1e ,对任意实数都有f(x)-f ′(x)>0,设F(x)=f (x )e x,则不等式F(x)<1e2的解集为 ( )A.(-∞,1)B.(1,+∞)C.(1,e)D.(e,+∞) 【解析】选B.根据题意,F(x)=f (x )e x, 其导数F ′(x)=f '(x )·e x -f (x )·(e x )'e 2x=f '(x )-f (x )e x,又由f(x)-f ′(x)>0,则有F ′(x) <0, 即函数F(x)在R 上为减函数, 又由f(1)=1e ,则F(1)=f (1)e=1e 2,不等式F(x)<1e2等价于F(x)<F(1), 则有x>1,则不等式的解集为(1,+∞).3.若f(x)=2x 3-3x 2-12x+3在区间[m,m+4]上是单调函数,则实数m 的取值范围是________.【解析】因为f(x)=2x 3-3x 2-12x+3, 所以f ′(x)=6x 2-6x-12=6(x+1)(x-2), 令f ′(x)>0,得x<-1或x>2; 令f ′(x)<0,得-1<x<2,f(x)在(-∞,-1]和[2,+∞)上单调递增, 在(-1,2)上单调递减.若f(x)在区间[m,m+4]上是单调函数,则m+4≤-1或{m ≥-1,m +4≤2或m ≥2.所以m ≤-5或m ≥2,则m 的取值范围是(-∞,-5]∪[2,+∞). 答案:(-∞,-5]∪[2,+∞)(2021·内江模拟)若函数f(x)=12ax 2+xln x-x 存在单调递增区间,则a 的取值范围是 ( )A.(-1e,1) B.(-1e,+∞)C.(-1,+∞)D.(-∞,1e)【解析】选B.因为f(x)=12ax 2+xln x-x 存在单调递增区间,则f ′(x)=ax+lnx ≥0在(0,+∞)上有解, 即a ≥-lnx x在(0,+∞)上有解,令g(x)=-lnx x,x>0,则g ′(x)=lnx -1x 2,当x>e 时,g ′(x)>0,g(x)单调递增, 当0<x<e 时,g ′(x)<0,g(x)单调递减,又x →0,g(x)→+∞,x →+∞,g(x)<0且g(x)→0, 因为g(e)=-1e,所以a ≥-1e,当a=-1e时,f ′(x)=-1ex+ln x,令h(x)=-1ex+ln x, 则h ′(x)=1x -1e ,当x>e 时,h ′(x)<0,函数单调递减, 当0<x<e 时,h ′(x)>0,函数单调递增, h(x)≤h(e)=0, 即f ′(x)≤0恒成立,此时不满足题意,所以a 的取值范围是(-1e ,+∞).。

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】专题2.4 函数单调性【考纲解读】内 容要 求备注A B C 函数概念与基本初等函数Ⅰ函数的基本性质√1．理解函数的单调性及其几何意义．2．会运用函数图像理解和研究函数的性质．3．会求简单函数的值域，理解最大(小)值及几何意义． 【直击考点】题组一 常识题1．[教材改编] 函数f (x )＝(a －1)x ＋a 是R 上的增函数，则a 的取值范围是________． 【答案】a >1【解析】a －1>0即a >1时，f (x )＝(a －1)x ＋a 是R 上的增函数．2．[教材改编] 函数f (x )＝－(x ＋2)2＋1(x ∈[－3，0])的单调递增区间是________；单调递减区间是________．【答案】[－3，－2] (－2，0]【解析】易知函数f (x )＝－(x ＋2)2＋1(x ∈[－3，0])的单调递增区间是[－3，2]，单调递减区间是(－2，0]． 3．[教材改编] 函数f (x )＝2x －3(x ∈[4，5])的最大值与最小值分别是________． 【答案】2，1 【解析】函数f (x )＝2x －3在[4，5]上是减函数，所以最大值为f (4)＝2，最小值为f (5)＝1. 题组二 常错题4．在下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是________．(填序号)①f (x )＝1x；②f (x )＝(x －1)2；③f (x )＝e x；④f (x )＝ln(x ＋1)．【答案】①【解析】由题意知f (x )在(0，＋∞)上是减函数．①中，f (x )＝1x满足要求；②中，f (x )＝(x －1)2在[0，1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数； ③中，f (x )＝e x是增函数； ④中，f (x )＝ln(x ＋1)是增函数．5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x <2满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围为____________． 【答案】⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1386．函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是________．【答案】⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4【解析】函数f (x )的定义域是(－1，4)，又－x 2＋3x ＋4＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋254，e>1，∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4.7．函数y ＝f (x )是定义在[－2，2]上的减函数，且f (a ＋1)<f (2a )，则实数a 的取值范围是________． 【答案】[－1，1)【解析】由条件得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ＋1≤2，－2≤2a ≤2，a ＋1>2a ， 解得－1≤a <1.题组三 常考题8．下列函数中，在区间(－1，2)上为增函数的是________．(填序号) (1)y ＝e －x，(2)y ＝x 3，(3)y ＝ln x ，(4)y ＝|x |，(5)y ＝(x ＋2)2－1. 【答案】(2)(5)【解析】根据各函数的定义域和图像，可以判断符合题意的函数是(2)(5)．9．已知a ＝243，b ＝323，c ＝4－23，则a ，b ，c 的大小关系是________．【答案】a >b >c【解析】因为函数y ＝x 23在(0，＋∞)上为增函数，且a ＝243＝423，b ＝323，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1423，所以a >b >c .10． 函数f (x )＝xx －2(x ≥3)的最大值为________．【答案】3 【解析】f (x )＝xx －2＝1＋2x －2在区间[3，＋∞)上是减函数，所以f (x )max ＝f (3)＝3. 【知识清单】 1 函数单调性的判断函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间要分开写，即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示. 2 函数单调性的应用单调性的应用主要体现在利用单调性求最值，进行大小比较，解抽象函数不等式，解题时要注意：一是函数定义域的限制；二是函数单调性的判定；三是等价转化思想与数形结合思想的运用．【考点深度剖析】函数的单调性是函数的一个重要性质，几乎是每年必考的内容，例如判断和证明单调性、求单调区间、利用单调性比较大小、求值域、最值或解不等式． 【重点难点突破】 考点1 函数单调性的判断【1-1】“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的__________条件.【答案】充分必要当a>0时，结合函数f (x )＝|(ax －1)x |＝|ax 2－x |的图象知函数在(0，＋∞)上先增后减再增，不符合条件，如图(2)所示．所以，要使函数f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)上单调递增只需a≤0.即“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)上单调递增”的充要条件．【1-2】函数y＝log (2x2－3x＋1)的单调减区间为________．【答案】(1，＋∞)【1-3】讨论函数f(x)＝axx2－1(a>0)在x∈(－1,1)上的单调性．【答案】f(x)在(－1,1)上为减函数【解析】设－1<x1<x2<1，则f(x1)－f(x2)＝ax1x21－1－ax2 x22－1＝ax1x22－ax1－ax2x21＋ax2x21－1x22－1＝a x2－x1x1x2＋1x21－1x22－1.∵－1<x1<x2<1，∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，(x21－1)(x22－1)>0.又∵a>0，∴f(x1)－f(x2)>0，∴函数f(x)在(－1,1)上为减函数【1-4】函数f(x)对任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0时，恒有f(x)>1. 求证：f(x)在R上是增函数；【答案】详见解析【解析】证明 设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，∴x 2－x 1>0， ∵当x >0时，f (x )>1，∴f (x 2－x 1)>1.f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1，∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0⇒f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在R 上为增函数．【思想方法】判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数； (3)图像法：如果f (x )是以图像形式给出的，或者f (x )的图像易作出，可由图像的直观性判断函数单调性．(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性．【温馨提醒】在研究函数的单调性时，应注意以下两方面的问题：一是必须在定义域的范围内研究单调性，超出了定义域范围的单调区间是没有意义的，二是单调区间的表述要正确．如函数f (x )＝1x的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)[或(－∞，0)，(0，＋∞)]，而不能表述为(－∞，0)∪(0，＋∞)． 考点2 函数单调性的应用【2-1】如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是_______． 【答案】－14≤a ≤0【2-2】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，则不等式f (a 2－4)>f (3a )的解集为________．【答案】(－1,4)【解析】作出函数f (x )的图像，如图所示，则函数f (x )在R 上是单调递减的．由f (a 2－4)>f (3a )，可得a 2－4<3a ，整理得a 2－3a －4<0，即(a ＋1)(a －4)<0，解得－1<a <4，所以不等式的解集为(－1,4)．【2-3】已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x x >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2 x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为________． 【答案】[4,8)【思想方法】1.含“f ”不等式的解法：首先根据函数的性质把不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g (x )与h (x )的取值应在外层函数的定义域内．2.当要比较的函数值不在对称轴的同一侧，即不在同一单调区间上时，可通过比较相应自变量值与对称轴的距离的大小进行判断．【温馨提醒】分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．【易错试题常警惕】分段函数的单调性问题，一定要保证各段上同增（减）和上、下段间端点值间的大小关系．如：(),142,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是_______．【分析】因为()f x 是R 上的单调递增函数，所以1402422a aa a ⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得48a ≤<，所以实数a 的取值范围是[)4,8．【易错点】忽视在定义域两段区间分界点上的函数值的大小而致误． 【练一练】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －3）x ＋5，x ≤1，2a x ，x ＞1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是________. 【答案】 (0，2]【解析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －3＜0，a ＞0，a －3＋5≥2a ，解得0＜a ≤2.高中数学知识点三角函数 1、 以角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点 P 到原点的距离记为，则 sin=， cos = ， tg = ， ctg = ， sec = ， csc = 。

高考数学一轮复习 导数概念知识梳理1 苏教版知识点反思梳理：Ⅰ.为了研究函数值的“增减变化”情况（也就是函数的单调性）发明了用来判断单调性的“方法工具”……“单调性定义” 【只要[]1212,,,x x a b x x ∀∈<都有()12()f x f x <则函数()f x 就在区间[],a b 上单调递．．．增．】 Ⅱ.观察下列函数图象不难发现：虽然函数都是递增（递减）函数，可是增减的快慢（陡峭程度）却各不相同。

究竟怎样刻画、区别函数的陡峭程度呢？比如“越陡值就越大…….’那么又是为了研究什么发明的“平均变化率”、“瞬时变化率“、”导数”呢？？ Ⅲ.发明一个什么样的“数学工具模型”才能“刻画变量变化的快与慢？”数缺形时少直观，形缺数时难入微。

如何量化曲线的陡峭程度？Ⅳ.平均变化率 ：一般地,函数f(x)在区间[x 1，x 2]上的平均变化率2121()()f x f x x x --。

简记为.y x∆∆Ⅴ. 平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．Ⅵ. 平均变化率量化一段曲线的“陡峭程度、快慢程度”是“粗糙不精确的”， Ⅶ.但应注意当21x x -很小时，这种量化便由“粗糙”逼近“精确”。

Ⅷ.【导数产生的背景：】1. 如图，设曲线c 是函数()y f x =的图象，点00(,)P x y 是曲线 c 上一点PQ当点Q 沿着曲线c 无限地趋近于点P ，割线PQ 无限地趋近于某一位置PT 我们就把该位置上的直线PT ，叫做曲线c 在点P 处的切线割线斜率PQ k =00()()f x x f x x+∆-∆→切线斜率PT k 也叫是函数在P 点的瞬时变化率.y=f(x)β∆x∆yQ MPxOy2..函数在该点处的这个具有预测、导性的数，数学上也常把它叫做“导数’3.分别说出下列符号语言的含义：①)(x f y =； ②0()f x ； ③)('0x f ； .④'x xy =.4.导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值它们之间的关系是函数)(x f y =在点0x 处的导数就是导函数)(/x f 在点0x 的函数值5．0()f x '与0(())f x '的区别：在对导数的概念进行理解时，特别要注意0()f x '与0(())f x '是不一样的，0()f x '代表函数()f x 在0x x =处的导数值，不一定为0；而0(())f x '是函数值0()f x 的导数，而函数值0()f x 是一个常量，其导数一定为0，即0(())f x '=0。

第2讲函数的单调性与最值一、知识梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是增加的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递增的当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是减少的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递减的①如果y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．②如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．(3)单调函数如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(2)存在x ∈I ，使得f (x )＝M(2)存在x ∈I ，使得f (x )＝M结论 M 为最大值M 为最小值1．函数单调性的两种等价形式 设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，(1)f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．(2)(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．2．五条常用结论(1)对勾函数y ＝x ＋ax (a ＞0)的增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)，减区间为[－a ，0)和(0，a ]．(2)在区间D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数． (3)函数f (g (x ))的单调性与函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的单调性的关系是“同增异减”． (4)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．(5)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值． 二、教材衍化1．函数f (x )＝x 2－2x 的递增区间是________． 答案：[1，＋∞)(或(1，＋∞))2．若函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值范围是________． 解析：因为函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，所以2k ＋1＜0，即k ＜－12.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－12 3．已知函数f (x )＝2x －1，x ∈[2，6]，则f (x )的最大值为________，最小值为__________．解析：可判断函数f (x )＝2x －1在[2，6]上为减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25. 答案：2 25一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．( ) (2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数f (x )的递增区间是[1，＋∞)．( ) (3)函数y ＝1x 的递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(4)所有的单调函数都有最值．( )(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．( )(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点处取到． ( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ 二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)求单调区间忘记定义域导致出错； (2)对于分段函数，一般不能整体单调，只能分段单调； (3)利用单调性解不等式忘记在单调区间内求解； (4)混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念． 1．函数y ＝log 12(x 2－4)的递减区间为________．答案：(2，＋∞)2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）x ，x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <2是定义在R 上的减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，2（a －2）≤⎝⎛⎭⎫122－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a <2，a ≤138，即a ≤138.答案：⎝⎛⎦⎤－∞，138 3．函数y ＝f (x )是定义在[－2，2]上的减函数，且f (a ＋1)<f (2a )，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ＋1≤2，－2≤2a ≤2，a ＋1>2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ≤1，－1≤a ≤1，a <1.所以－1≤a <1. 答案：[－1，1)4．(1)若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a 的取值范围是________；(2)若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2的递减区间为(－∞，4]，则a 的值为________． 答案：(1)a ≤－3 (2)－3确定函数的单调性(区间)(多维探究) 角度一 给出具体解析式的函数的单调性(1)函数f (x )＝|x 2－3x ＋2|的递增区间是( )A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B ．⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞) C ．(－∞，1]和⎣⎡⎦⎤32，2D ．⎝⎛⎦⎤－∞，32和[2，＋∞) (2)函数y ＝x 2＋x －6的递增区间为________，递减区间为________．【解析】 (1)y ＝|x 2－3x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2，x ≤1或x ≥2，－（x 2－3x ＋2），1＜x ＜2. 如图所示，函数的递增区间是⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞)；递减区间是(－∞，1)和⎝⎛⎭⎫32，2.故选B.(2)令u ＝x 2＋x －6，则y ＝x 2＋x －6可以看作是由y ＝u 与u ＝x 2＋x －6复合而成的函数． 令u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.易知u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在[0，＋∞)上是增函数，所以y ＝x 2＋x －6的递减区间为(－∞，－3]，递增区间为[2，＋∞)． 【答案】 (1)B (2)[2，＋∞) (－∞，－3] 角度二 含参函数的单调性(一题多解)判断并证明函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1，1)上的单调性．【解】 法一：设－1＜x 1＜x 2＜1， f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1 ＝a （x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1），由于－1＜x 1＜x 2＜1，所以x 2－x 1＞0，x 1－1＜0，x 2－1＜0， 故当a ＞0时，f (x 1)－f (x 2)＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上是减少的；当a ＜0时，f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 函数f (x )在(－1，1)上是增加的． 法二：f ′(x )＝a （x －1）－ax （x －1）2＝－a（x －1）2，所以当a >0时，f ′(x )<0，当a <0时，f ′(x )>0， 即当a >0时，f (x )在(－1，1)上为减函数， 当a <0时，f (x )在(－1，1)上为增函数．确定函数单调性的4种方法(1)定义法．利用定义判断．(2)导数法．适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．(3)图象法．由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．(4)性质法．利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．[提醒] 求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间．1．函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的递减区间是________． 解析：由题意知，当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当x ＜0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，二次函数的图象如图，由图象可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的递减区间为[－1，0]，[1，＋∞)．答案：[－1，0]，[1，＋∞)2．判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1＜a ＜3)在x ∈[1，2]上的单调性．解：设1≤x 1＜x 2≤2，则 f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－⎝⎛⎭⎫ax 21＋1x 1 ＝(x 2－x 1)⎣⎡⎦⎤a （x 1＋x 2）－1x 1x 2， 由1≤x 1＜x 2≤2，得x 2－x 1＞0，2＜x 1＋x 2＜4， 1＜x 1x 2＜4，－1＜－1x 1x 2＜－14.又1＜a ＜3，所以2＜a (x 1＋x 2)＜12，得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2＞0，从而f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x 2)＞f (x 1)，故当a ∈(1，3)时，f (x )在[1，2]上是增加的．求函数的最值(师生共研)(1)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________． (2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1，x ＋6x－6，x >1，则f (x )的最小值是________．【解析】 (1)由于y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上递增，所以f (x )在[－1，1]上递减，故f (x )在[－1，1]上的最大值为f (－1)＝3.(2)当x ≤1时，f (x )min ＝0，当x >1时，f (x )min ＝26－6，当且仅当x ＝6时取到最小值，又26－6<0，所以f (x )min ＝26－6.【答案】 (1)3 (2)26－6求函数最值的5种常用方法及其思路1．函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________．解析：易知f (x )在[a ，b ]上为减函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝1，f （b ）＝13，即⎩⎨⎧1a －1＝1，1b －1＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4. 所以a ＋b ＝6. 答案：62．(一题多解)对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．解析：法一：在同一直角坐标系中， 作出函数f (x )，g (x )的图象， 依题意，h (x )的图象如图所示． 易知点A (2，1)为图象的最高点， 因此h (x )的最大值为h (2)＝1.法二：依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0＜x ≤2，－x ＋3，x ＞2.当0＜x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数， 当x ＞2时，h (x )＝3－x 是减函数， 所以h (x )在x ＝2处取得最大值h (2)＝1.答案：1函数单调性的应用(多维探究) 角度一 比较大小已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >bD ．b >a >c【解析】 因为f (x )的图象关于直线x ＝1对称． 所以f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.当x 2>x 1>1时， [f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减．因为1<2<52<e ，所以f (2)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (e)，所以b >a >c . 【答案】 D角度二 解函数不等式已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln （x ＋1），x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1，2)D ．(－2，1)【解析】 因为当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，所以函数f (x )的图象是一条连续的曲线．因为当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数， 当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数， 所以函数f (x )是定义在R 上的增函数． 因此，不等式f (2－x 2)>f (x )等价于2－x 2>x ， 即x 2＋x －2<0，解得－2<x <1. 【答案】 D角度三 根据函数的单调性求参数(1)(2020·南阳调研)已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上是增加的，则实数a的取值范围是________．【解析】 (1)法一：设1<x 1<x 2，所以x 1x 2>1. 因为函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数， 所以f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a2－⎝⎛⎭⎫x 2－a x 2＋a 2 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1＋a x 1x 2<0.因为x 1－x 2<0，所以1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2.因为1<x 1<x 2，x 1x 2>1，所以－x 1x 2<－1，所以a ≥－1. 所以a 的取值范围是[－1，＋∞)． 法二：由f (x )＝x －a x ＋a 2得f ′(x )＝1＋ax 2，由题意得1＋ax2≥0(x ＞1)，可得a ≥－x 2，当x ∈(1，＋∞)时，－x 2＜－1. 所以a 的取值范围是[－1，＋∞)．(2)作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上是增加的，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.【答案】 (1)[－1，＋∞) (2)(－∞，1]∪[4，＋∞)函数单调性应用问题的3种常见类型及解题策略(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．[提醒] ①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．1．(2020·武汉模拟)若函数f (x )＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]解析：选B.因为函数f (x )＝2|x －a |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2a ＋3，x ≥a －2x ＋2a ＋3，x ＜a ， 因为函数f (x )＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞)上不单调， 所以a ＞1.所以a 的取值范围是(1，＋∞)．故选B.2．定义在[－2，2]上的函数f (x )满足(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )＞f (2a －2)，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1，2)B ．[0，2)C ．[0，1)D ．[－1，1)解析：选C.因为函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2， 所以函数f (x )在[－2，2]上是增加的，所以－2≤2a －2＜a 2－a ≤2，解得0≤a ＜1，故选C.[基础题组练]1．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C.当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数； 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数， 当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．2．函数y ＝|x |(1－x )在区间A 上是增函数，那么区间A 是( )A ．(－∞，0)B ．⎣⎡⎦⎤0，12C ．[0，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析：选B.y ＝|x |(1－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），x ≥0，－x （1－x ），x ＜0＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≥0，x 2－x ，x ＜0函数y 的草图如图所示．由图易知原函数在⎣⎡⎦⎤0，12上递增．故选B. 3．若函数f (x )＝x 2＋a |x |＋2，x ∈R 在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－113，－3 B ．[－6，－4] C ．[－3，－22]D ．[－4，－3]解析：选B.由于f (x )为R 上的偶函数，因此只需考虑函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性即可．由题意知函数f (x )在[3，＋∞)上为增函数，在[1，2]上为减函数，故－a2∈[2，3]，即a ∈[－6，－4]．4．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23 B ．⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23D ．⎣⎡⎭⎫12，23解析：选D.因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13. 所以0≤2x －1<13，解得12≤x <23.5．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C.由题意知当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，又f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在相应的定义域内都为增函数，且f (1)＝－1，f (2)＝6，所以f (x )的最大值为6.6．函数f (x )＝4－x －x ＋2的值域为________．解析：因为⎩⎪⎨⎪⎧4－x ≥0，x ＋2≥0，所以－2≤x ≤4，所以函数f (x )的定义域为[－2，4]．又y 1＝4－x ，y 2＝－x ＋2在区间[－2，4]上均为减函数， 所以f (x )＝4－x －x ＋2在[－2，4]上为减函数， 所以f (4)≤f (x )≤f (－2)． 即－6≤f (x )≤ 6. 答案：[－6，6]7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．解析：由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.函数图象如图所示，其递减区间是[0，1)．答案：[0，1)8．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（3a －1）x ＋4a ，x <1，－ax ，x ≥1是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围是________．解析：由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<0，（3a －1）×1＋4a ≥－a ，a >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a <13，a ≥18，a >0，所以a ∈⎣⎡⎭⎫18，13. 答案：⎣⎡⎭⎫18，139．已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值．解：(1)证明：任取x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，因为x 1>x 2>0，所以x 1－x 2>0，x 1x 2>0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)由(1)可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上为增函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12， f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25.10．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上是增加的；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上是减少的，求a 的取值范围． 解：(1)证明：设x 1＜x 2＜－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2）. 因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 所以f (x )在(－∞，－2)上是增加的． (2)设1＜x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a （x 2－x 1）（x 1－a ）（x 2－a ）. 因为a ＞0，x 2－x 1＞0，所以要使f (x 1)－f (x 2)＞0， 只需(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立， 所以a ≤1.综上所述，0＜a ≤1.[综合题组练]1．若f (x )＝－x 2＋4mx 与g (x )＝2mx ＋1在区间[2，4]上都是减函数，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(0，1]B ．(－1，0)∪(0，1]C ．(0，＋∞)D ．(0，1]解析：选D.函数f (x )＝－x 2＋4mx 的图象开口向下，且以直线x ＝2m 为对称轴，若在区间[2，4]上是减函数，则2m ≤2，解得m ≤1；g (x )＝2m x ＋1的图象由y ＝2mx 的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间[2，4]上是减函数，则2m >0，解得m >0.综上可得，m 的取值范围是(0，1]．2．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1，2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析：选B.因为函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，所以当x 1∈(1，2)时，f (x 1)<f (2)＝0；当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0， 即f (x 1)<0，f (x 2)>0.故选B.3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x ＞0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为________．解析：因为当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，f (0)是f (x )的最小值，所以a ≥0.当x ＞0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2，所以a 的取值范围是0≤a ≤2. 答案：[0，2]4．如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f （x ）x 在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数f (x )＝12x 2－x＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为________． 解析：因为函数f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f （x ）x ＝12x －1＋32x ，令g (x )＝12x －1＋32x (x ≥1)，则g ′(x )＝12－32x 2＝x 2－32x 2， 由g ′(x )≤0得1≤x ≤3，即函数f （x ）x ＝12x －1＋32x 在区间[1， 3 ]上递减，故“缓增区间”I 为[1， 3 ]．答案：[1， 3 ]5．已知函数f (x )＝x 2＋a |x －2|－4.(1)当a ＝2时，求f (x )在[0，3]上的最大值和最小值；(2)若f (x )在区间[－1，＋∞)上是增加的，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋2|x －2|－4＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －8，x ≥2x 2－2x ，x ＜2＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2－9，x ≥2（x －1）2－1，x ＜2， 当x ∈[0，2)时，－1≤f (x )<0，当x ∈[2，3]时，0≤f (x )≤7， 所以f (x )在[0，3]上的最大值为7，最小值为－1.(2)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax －2a －4，x ＞2x 2－ax ＋2a －4，x ≤2，又f (x )在区间[－1，＋∞)上是增加的，所以当x ＞2时，f (x ) 是增加的，则－a2≤2，即a ≥－4.当－1＜x ≤2时，f (x ) 是增加的，则a2≤－1.即a ≤－2，且4＋2a －2a －4≥4－2a ＋2a －4恒成立， 故a 的取值范围为[－4，－2]．6．已知定义在R 上的函数f (x )满足：①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1，②当x >0时，f (x )>－1. (1)求f (0)的值，并证明f (x )在R 上是增函数； (2)若f (1)＝1，解关于x 的不等式f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4. 解：(1)令x ＝y ＝0，得f (0)＝－1.在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0，f (x 1－x 2)>－1.又f (x 1)＝f [(x 1－x 2)＋x 2]＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)＋1>f (x 2)，所以函数f (x )在R 上是增函数． (2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5.由f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4得f (x 2＋x ＋1)>f (3)， 又函数f (x )在R 上是增函数，故x 2＋x ＋1>3， 解得x <－2或x >1，故原不等式的解集为{x |x <－2或x >1}．。

单调性与最大（小）值： ：【学习目标】1.理解函数的单调性定义；2.会判断函数的单调区间、证明函数在给定区间上的单调性．【要点梳理】要点一、函数的单调性1．增函数、减函数的概念一般地，设函数f(x)的定义域为A ，区间D A ⊆：如果对于D 内的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是增函数；如果对于D 内的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)>f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是减函数.要点诠释：(1)属于定义域A 内某个区间上；(2)任意两个自变量12,x x 且12x x <；(3)都有1212()()(()())f x f x f x f x <>或；(4)图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的.2．单调性与单调区间（1）单调区间的定义如果函数f(x)在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间D 上具有单调性，D 称为函数f(x)的单调区间.函数的单调性是函数在某个区间上的性质.要点诠释：①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集；②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；③不能随意合并两个单调区间；④有的函数不具有单调性.(2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？3．函数的最大（小）值一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤（或()f x M ≥）；②存在0x I ∈，使得0()f x M =，那么，我们称M 是函数()y f x =的最大值（或最小值）. 要点诠释：①最值首先是一个函数值，即存在一个自变量0x ，使0()f x 等于最值；②对于定义域内的任意元素x ，都有0()()f x f x ≤（或0()()f x f x ≥），“任意”两字不可省； ③使函数()f x 取得最值的自变量的值有时可能不止一个；④函数()f x 在其定义域（某个区间）内的最大值的几何意义是图象上最高点的纵坐标；最小值的几何意义是图象上最低点的纵坐标.4.证明函数单调性的步骤(1)取值.设12x x ，是()f x 定义域内一个区间上的任意两个量，且12x x <；(2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；(3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系；(4)得出结论.5.函数单调性的判断方法(1)定义法；(2)图象法；(3)对于复合函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦，若()t g x =在区间()a b ，上是单调函数，则()y f t =在区间()()()g a g b ，或者()()()g b g a ，上是单调函数；若()t g x =与()y f t =单调性相同（同时为增或同时为减），则()y f g x =⎡⎤⎣⎦为增函数；若()t g x =与()y f t =单调性相反，则()y f g x =⎡⎤⎣⎦为减函数. 要点二、基本初等函数的单调性1．正比例函数(0)y kx k =≠当k>0时，函数y kx =在定义域R 是增函数；当k<0时，函数y kx =在定义域R 是减函数.2．一次函数(0)y kx b k =+≠当k>0时，函数y kx b =+在定义域R 是增函数；当k<0时，函数y kx b =+在定义域R 是减函数.3．反比例函数(0)k y k x=≠ 当0k >时，函数k y x=的单调递减区间是()(),0,0,-∞+∞，不存在单调增区间； 当0k <时，函数k y x =的单调递增区间是()(),0,0,-∞+∞，不存在单调减区间. 4．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠ 若a>0，在区间(]2b a -∞-，，函数是减函数；在区间[)2b a-∞，+，函数是增函数； 若a<0，在区间(]2b a -∞-，，函数是增函数；在区间[)2b a -∞，+，函数是减函数．要点三、一些常见结论(1)若()f x 是增函数，则()f x -为减函数；若()f x 是减函数，则()f x -为增函数；(2)若()f x 和()g x 均为增（或减）函数，则在()f x 和()g x 的公共定义域上()()f x g x +为增（或减)函数；(3)若()0f x >且()f x 为增函数，为增函数，1()f x 为减函数； 若()0f x >且()f x 为1()f x 为增函数. 【典型例题】类型一、函数的单调性的证明【函数的单调性 356705 例1】例1．已知：函数1()f x x x=+ （1）讨论()f x 的单调性.（2）试作出()f x 的图像.【思路点拨】本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径.【解析】（1）设x 1，x 2是定义域上的任意实数，且x 1<x 2，则12121211f (x )f (x )x (x )x x -=+-+ 121211(x x )()x x =-+- 211212x x (x x )x x -=-+ 12121212121(x x )(1)x x x x 1(x x )()x x =---=-①当121x x <<-时，x 1-x 2<0，1<x 1x 21212x x 10x x -∴>，故121212x x (x x )()0x x -1-⋅<，即f(x 1)-f(x 2)<0 ∴x 1<x 2时有f(x 1)<f(x 2)()1f (x)x x∴=+∞在区间-,-1上是增函数. ②当-1<x 1<x 2<0 ∴x 1-x 2<0，0<x 1x 2<1∵0<x 1x 2<1 1212x x 10x x -∴<故121212x x (x x )()0x x -1-⋅>，即f(x 1)-f(x 2)>0 ∴x 1<x 2时有f(x 1)>f(x 2)()1f (x)x x∴=+在区间-1,0上是减函数. 同理：函数()1f (x)x x =+在区间0,1是减函数, 函数()1f (x)x x=+∞在区间1,+是增函数. （2）函数1()f x x x=+的图象如下【总结升华】（1）证明函数单调性要求使用定义；（2）如何比较两个量的大小？(作差)（3）如何判断一个式子的符号？(对差适当变形)■举一反三：【变式1】讨论函数()(0)a f x x a x=+>的单调性，并证明你的结论.【解析】设120x x <<≤120x x -<，1212120,0,0x x x x a x x a ><<∴-<.121212121212()()()()0x x x x a a a f x f x x x x x x x --∴-=+--=>，即12()()f x f x >. ()f x ∴在(上单调递减.同理可得()f x在)+∞上单调递增；在(,-∞上单调递增；在)⎡⎣上单调递减. 故函数()f x在(,-∞和)+∞上单调递增；在)⎡⎣和(上单调递减. 类型二、求函数的单调区间例2. 判断下列函数的单调区间；(1)y=x 2-3|x|+2；(2)|1|y x =- 【思路点拨】 对x 进行讨论，把绝对值和根号去掉，画出函数图象。

—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————专题2.2 函数单调性与值域【考纲解读】【直击教材】1．y ＝x 2－6x ＋5的单调减区间为________． 【答案】(－∞，3]【解析】y ＝x 2－6x ＋5＝(x －3)2－4，表示开口向上，对称轴为x ＝3的抛物线，其单调减区间为(－∞，3]． 2．若函数f (x )＝1x 在区间[2，a ]上的最大值与最小值的和为34，则a ＝________.【答案】43．函数f (x )是在区间(－2,3)上的增函数，则y ＝f (x ＋5)的一个递增区间是________． 【答案】(－7，－2)【解析】由－2＜x ＋5＜3，得－7＜x ＜－2，故y ＝f (x ＋5)的递增区间为(－7，－2)．【知识清单】1．函数的单调性(1)单调函数的定义(2)如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间． 2 函数的值域 函数值域的求法:(1)利用函数的单调性:若y=f(x)是[a,b]上的单调增(减)函数,则f(a),f(b)分别是f(x)在区间[a,b]上取得最小(大)值,最大(小)值.(2)利用配方法:形如2(0)y ax bx c a =++≠型,用此种方法,注意自变量x 的范围. (3)利用三角函数的有界性,如sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-.(4)利用“分离常数”法:形如y=ax bcx d++ 或2ax bx e y cx d ++=+ (a,c 至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法.(5)利用换元法:形如y ax b =+±,可用此法求其值域. (6)利用基本不等式:(7)导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域【考点深度剖析】定义域是函数的灵魂，高考中考查的定义域多以填空形式出现，难度不大；有时也在解答题的某一小问当中进行考查；值域是定义域与对应法则的必然产物，值域的考查往往与最值联系在一起，难度中等．【重点难点突破】考点1 函数的单调性 考点一 函数单调性的判断 1．讨论函数f (x )＝xx 2－1在x ∈(－1,1)上的单调性．2．试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．解：法一(定义法)： 设－1<x 1<x 2<1，f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝a x 2－x 1x 1－x 2－，由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0， 故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递增． 法二(导数法)：f ′(x )＝axx －－ax x －x －2＝a x －－ax x －2＝－ax －2.当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1,1)上递减； 当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1,1)上递增． [谨记通法]判断或证明函数的单调性的2种重要方法及其步骤(1)定义法，其基本步骤： 取值作差商变形确定符号与1的大小得出结论(2)导数法，其基本步骤： 求导函数确定符号得出结论考点二 求函数的单调区间 求下列函数的单调区间： (1)y ＝－x 2＋2|x |＋1； (2)y ＝log 12(x 2－3x ＋2)．[由题悟法]确定函数的单调区间的3种方法[提醒] 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． [即时应用]1．函数y ＝|x |(1－x )的单调递增区间为________．【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，122．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132x 2－3x ＋1的单调递增区间为________．【答案】⎝⎛⎦⎥⎤－∞，34 【解析】令u ＝2x 2－3x ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342－18.因为u ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342－18在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34上单调递减，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u在R 上单调递减．所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132x 2－3x ＋1在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34上单调递增． 考点三 函数单调性的应用 角度一：求函数的值域或最值1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．【答案】2【解析】当x ≥1时，函数f (x )＝1x为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2. 故函数f (x )的最大值为2.角度二：比较两个函数值或两个自变量的大小2．已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为 ________(用“>”表示)．【答案】b >a >c角度三：解函数不等式3．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x<f (1)的实数x 的取值范围是________． 【答案】(－1,0)∪(0,1)【解析】由f (x )为R 上的减函数且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x >1，x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧|x |<1，x ≠0.所以－1<x <0或0<x <1.角度四：利用单调性求参数的取值范围或值4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x －1，x ≤1，log a x ，x >1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________． 【答案】(2,3]【解析】要使函数f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a －2>0，f，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a >2，a －2－1≤0，解得2<a ≤3，即实数a 的取值范围是(2,3]． [通法在握]函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)求函数最值(五种常用方法)(2)比较大小比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (3)解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． (4)利用单调性求参数视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数． [提醒] ①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值． [演练冲关]1．已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是________． 【答案】(－∞，1]【解析】因为函数f (x )在(－∞，－a )上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，x ＋，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是________．【答案】(－2,1)3．函数f (x )＝－a x ＋b (a >0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，则a ＝________，b ＝________. 【答案】1 52【解析】因为f (x )＝－a x ＋b (a >0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是增函数， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (2)＝2.即⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝12，－a2＋b ＝2，解得a ＝1，b ＝52.考点2 函数的值域【2-1】求函数y ＝x ＋4x(x <0)的值域． 【答案】(－∞，－4]．【2-2】 求函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的值域． 【答案】[0,15]． 【解析】(配方法)y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，∵y ＝(x ＋1)2－1在[0,3]上为增函数， ∴0≤y ≤15，即函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的值域为[0,15]． 【2-3】 求函数y ＝1－x21＋x 2的值域．【答案】(－1,1]．【解析】y ＝1－x 21＋x 2＝21＋x2－1，∵1＋x 2≥1， ∴0<21＋x2≤2.∴－1<21＋x 2－1≤1.即y ∈(－1,1]．∴ 函数的值域为(－1,1]．【2-4】 求函数f (x )＝x －1－2x .的值域．【答案】1(,]2-∞.【2-5】 求函数y ＝x 2－xx 2－x ＋1的值域．【答案】1[,1)3-【解析】(判别式法)由y ＝x 2－xx 2－x ＋1，x ∈R，得(y －1)x 2＋(1－y )x ＋y ＝0. ∵y ＝1时，x ∈∅，∴y ≠1.又∵x ∈R，∴Δ＝(1－y )2－4y (y －1)≥0， ∴－13≤y <1.∴函数的值域为1[,1)3-【思想方法】求函数值域常用的方法(1)配方法，多适用于二次型或可转化为二次型的函数． (2)换元法．(3)基本不等式法． (4)单调性法． (5)分离常数法．【温馨提醒】求函数值域的方法多样化，需结合函数解析式的特点选用恰当的方法【易错试题常警惕】1．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．2．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函数f (x )在区间(－1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(－1,0)∪(0,1)上却不一定是减函数，如函数f (x )＝1x.3．两函数f (x )，g (x )在x ∈(a ，b )上都是增(减)函数，则f (x )＋g (x )也为增(减)函数，但f (x )·g (x )，1f x等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．4.分段函数的参数求值问题，一定要注意自变量的限制条件． 如：已知实数0a ≠，函数()2,12,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩，若()()11f a f a -=+，则a 的值为_______．【分析】当0a >时，11a -<，11a +>，由()()11f a f a -=+得2212a a a a -+=---， 解得32a =-，不合题意；当0a <时，11a ->，11a +<，由()()11f a f a -=+得 1222a a a a -+-=++，解得34a =-．所以a 的值为34-．【易错点】没有对a 进行讨论，以为11a -<，11a +>直接代入求解而致误；求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求而致误． 【练一练】函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2 x ，x >0，4x ，x ≤0，则f (f (－1))的值为________.【答案】－2桑水。

（2）f（x）为增函数的充要条件是对任意的 x∈（a，b）都有 f′ （x）≥0 且在（a，b）内的任一非空子区间上，f′（x）不恒为零， 应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.
（3）函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.
1 已知函数f（x）＝ln x，g（x）＝2ax2＋2x（a≠0）. （1）若函数h（x）＝f（x）－g（x）存在单调递减区间，求a 的取值范围； （2）若函数h（x）＝f（x）－g（x）在［1,4］上单调递减，求 a的取值范围.
［解］ （1）h（x）＝ln x－12ax2－2x，x∈（0，＋∞），
所以h′（x）＝
1 x
－ax－2，由于h（x）在（0，＋∞）上存在单
调递减区间，
所以当x∈（0，＋∞）时，1x－ax－2＜0有解，
即a＞x12－2x有解.
设G（x）＝x12－2x， 所以只要a＞G（x）min即可. 而G（x）＝1x－12－1， 所以G（x）min＝－1. 所以a＞－1且a≠0，即a的取值范围是（－1,0）∪（0，＋∞）.
②当0＜a＜1时， 由f′（x）＞0，得（1－a）（ex＋1）＞1， 即ex＞－1＋1－1 a，解得x＞ln 1－a a， 由f′（x）＜0，得（1－a）（ex＋1）＜1， 即ex＜－1＋1－1 a，解得x＜ln 1－a a. ∴当a∈（0,1）时，
函数y＝f（x）在ln1－a a，＋∞上单调递增，
3.（变条件）若函数 h（x）＝f（x）－g（x）在［1,4］上不单调， 求 a 的取值范围.
［解］ 因为h（x）在［1,4］上不单调， 所以h′（x）＝0在（1,4）上有解， 即a＝x12－2x有解， 令m（x）＝x12－2x，x∈（1,4）， 则－1＜m（x）＜－176， 所以实数a的取值范围为－1，－176.

1.3 导数在研究函数中的应用1.3.1 单调性知识梳理1.如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)____________，这一区间叫做y=f(x)的____________，在____________上增函数的图象是____________，减函数的图象是下降的.2.设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果____________，那么f(x)为增函数；如果____________，那么f(x)为减函数；如果在某个区间内恒有f′(x)=0，则f(x)为____________. 知识导学要学好本节内容，重要的是要掌握好怎样利用导数研究函数的单调性，一般应先确定函数的定义域，再求导数f′(x)，通过判断函数的定义域被导数为零的点所划分的各区间内f′(x)的符号来确定函数f(x)在该区间上的单调性.疑难突破1.本节内容的重点是利用函数的导数来判断函数的单调性，难点在于如何把握导数的符号与函数单调性之间的关系.若y=f(x)在(a,b)内对任何x,都有f′(x)＞0，则f(x)在(a,b)内为增函数对吗？反之成立吗？剖析:对,反之不成立.例如y=x 3在x ∈R 上恒为增函数,但f′(x)=3x 2≥0.2.判断函数y=f(x)在某一区间内有f′(x)＞0〔或f′(x)＜0〕是函数y=f(x)在该区间上为增(或减)函数的什么条件？剖析：在某一区间内f′(x)＞0〔或f′(x)＜0〕是函数y=f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分条件.典题精讲【例1】 讨论下列函数的单调性.(1)f(x)=a x -a -x (a ＞0且a≠1); (2)f(x)=12-x bx (-1＜x ＜1,b≠0). 思路分析：利用导数研究函数单调性，一般应先确定函数的定义域，再求导数f′(x)，由函数定义域中导数为零的点所划分的各区间内f′(x)的符号来确定f(x)在该区间的单调性，当给定函数含有字母参数时，要运用分类讨论的思想方法.解：(1)函数定义域为R .f′(x)=a x lna-a -x ·lna·(-x)′=lna(a x +a -x ).当a ＞1时,lna ＞0,a x +a -x ＞0,∴f′(x)＞0.∴函数f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数；当0＜a ＜1时，lna ＜0,a x +a -x ＞0,∴f′(x)＜0.∴函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.(2)函数f(x)是奇函数，只需讨论函数在(0，1)上的单调性.当0＜x ＜1时，f′(x)=b·2222222)1()1()1()'1()1('-+-=--•--•x x b x x x x x . 若b ＞0，则f′(x)＜0,函数f(x)在(0，1)上是减函数；若b ＜0，则f′(x)＞0,函数f(x)在(0，1)上是增函数.又函数f(x)是奇函数，而奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，所以当b ＞0时，函数f(x)在(-1，1)上是减函数；当b ＜0时，函数f(x)在(-1，1)上是增函数.绿色通道：在判断含参数函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f′(x)的符号，否则会产生错误判断.明确利用导数判断函数单调性的基本步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0;(4)确定f(x)的单调区间.变式训练：求下列函数的单调区间，并指出其单调性.(1)y=2x-lnx; (2)y=2x +cosx; (3)y=x 3-x.思路分析：按判断函数单调性的方法解之即可.解：(1)函数的定义域为(0，+∞)，其导数f′(x)=x 12-. 令x 12-＞0,解得x ＞21;令x 12-＜0,得0＜x ＜21. 因此，(21，+∞)为该函数的单调增区间，(0，21)为该函数的单调减区间. (2)函数的定义域为R ，f′(x)=21-sinx. 令21-sinx ＜0，解得2k π+6π＜x ＜2k π+65π(k ∈Z )； 令21-sinx ＞0，解得2k π-67π＜x ＜2k π+6π(k ∈Z ). 因此f(x)在(2k π+6π,2k π+65π)(k ∈Z )上为减函数,在(2k π-67π,2k π+6π)(k ∈Z )上为增函数.(3)函数的定义域为R ，令y′=3x 2-1＞0，得x ＜3333>-x 或. 令y′=3x 2-1＜0，得3333<<-x ,∴y=x 3-x 有三个单调区间. 其中在(-∞,33-)和(33,+∞)上是增函数，在(33-,33)上为减函数. 【例2】 已知x ∈R ,求证：e x ≥x+1.思路分析：首先需构造函数，对函数进行求导并判断函数的单调性.证明：令f(x)=e x -x-1,∴f′(x)=e x -1.∵x ∈R ,∴e x -1≥0恒成立，即f′(x)≥0.∴f(x)在x ∈R 上为增函数.又∵f(0)=0,∴当x ∈R 时,f(x)≥f(0)，即e x -x-1≥0.∴e x ≥x+1.绿色通道：这是一类构造函数再求导的题目，这种方法常用来证明不等式的成立. 变式训练：证明不等式ln(1+x)＞x-21x 2(x ＞0). 证明：令f(x)=ln(1+x)-x+21x 2, 则f′(x)=xx x x +=+-+11112. 当x ＞-1时,f′(x)＞0，因此f(x)在(-1,+∞)内为增函数.于是当x ＞0时，f(x)＞f(0)=0.∴当x ＞0时，ln(1+x)＞x-21x 2. 【例3】 已知f(x)=x 2+c,且f ［f(x)］=f(x 2+1).(1)设g(x)=f ［f(x)］,求g(x)的解析式；(2)设φ(x)=g(x)-λf(x),试问:是否存在实数λ,使φ(x)在(-∞,-1)内为减函数，且在(-1，0)内是增函数.思路分析：根据题设条件可以求出φ(x)的表达式，对于探索性问题，一般先对结论作肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，由推证结果是否出现矛盾来作出判断.解题的过程实质是一种转化的过程,由于函数φ(x)是可导函数,因此选择好解题的突破口,要充分利用函数的单调性构造等价的不等式,确定适合条件的参数λ的取值范围,使问题获解.解:(1)由题意得f ［f(x)］=f(x 2+c)=(x 2+c)2+c,f(x 2+1)=(x 2+1)2+c,∵f ［f(x)］=f(x 2+1),∴(x 2+c)2+c=(x 2+1)2+c.∴x 2+c=x 2+1.∴c=1.∴f(x)=x 2+1,g(x)=f ［f(x)］=f(x 2+1)=(x 2+1)2+1.(2)φ(x)=g(x)-λf(x)=x 4+(2-λ)x 2+(2-λ).若满足条件的λ存在,则φ′(x)=4x 3+2(2-λ)x.∵函数φ(x)在(-∞,-1)上是减函数,∴当x ＜-1时,φ′(x)＜0,即4x 3+2(2-λ)x ＜0对于x ∈(-∞,-1)恒成立.∴2(2-λ)＞-4x 2.∵x ＜-1,∴-4x 2＜-4.∴2(2-λ)≥-4.解得λ≤4.又函数φ(x)在(-1,0)上是增函数,∴当-1＜x ＜0时,φ′(x)＞0,即4x 2+2(2-λ) x ＞0对x ∈(-1,0)恒成立.∴2(2-λ)＜-4x 2.∵-1＜x ＜0.∴-4＜4x 2＜0.2(2-λ)≤-4,解得λ≥4,故当λ=4时,φ(x)在(-∞,-1)上是减函数,在(-1,0)上是增函数,即满足条件的λ存在.绿色通道：函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式,它包含着运动、变化，也就存在着量与量之间的相互依赖、相互制约的关系,因此挖掘题目中隐含条件则是打开解题思路的重要钥匙.具体到解题的过程,学生最大思维障碍是迷失方向,不知从何处入手去沟通已知与未知的关系,使分散的条件相对集中，促成问题的解决,不善于应用f(x)＜a 恒成立［f(x)max ］＜a 和f(x)＞a 恒成立［f(x)min ］＞a.变式训练：当x ＞0时,证明不等式e x ＞1+x+21x 2成立.证明:设f(x)=e x -1-x-21x 2 则f′(x)=e x -1-x.下面证明g(x)=e x -1-x 在x ＞0时恒为正.∵g′(x)=e x -1,当x ＞0时,g′(x)=e x -1＞0,∴g(x)在(0,+∞)上为增函数.当x ＞0时,g(x)＞g(0)=0,即f′(x)在(0,+∞)上恒为正.∴f(x)在(0,+∞)上为增函数.又f(0)=e 0-1-0-0=0,∴x ＞0时,f(x)＞f(0)=0.∴e x -1-x-21x 2＞0, 即x ＞0时,e x ＞1+x+21x 2成立. 问题探究问题：研究函数单调性的必要条件是什么？导思：此问题主要考查学生逆向思维能力，考虑问题要全方位进行，有利于培养数学思维能力.探究：设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果y=f(x)在该区间上单调递增(或递减)，则在该区间内f′(x)＞0〔或f′(x)＜0〕，但当f′(x)在某个区间内个别点处为零，在其余点处均为正(或负)时，f(x)在该区间上仍旧是单调递增(或递减)的.例如在x ∈(-∞,+∞)上，f(x)=x 3：当x=0时，f′(x)=0;当x≠0时，f′(x)＞0.而f(x)=x 3,显然在(-∞, +∞)上是单调增函数.。