偏最小二乘法（PLS）简介
作 者：CIC阅读次数：11268次 发布日期：2004-12-30
简介
偏最小二乘法是一种新型的多元统计数据分析方法，它于1983年由伍德(S.Wold)和阿巴诺(C.Albano)等人首次提出。近几十年来，它在理论、方法和应用方面都得到了迅速的发展。
偏最小二乘法
长期以来，模型式的方法和认识性的方法之间的界限分得十分清楚。而偏最小二乘法则把它们有机的结合起来了，在一个算法下，可以同时实现回归建模(多元线性回归)、数据结构简化(主成分分析)以及两组变量之间的相关性分析(典型相关分析)。这是多元统计数据分析中的一个飞跃。
偏最小二乘法在统计应用中的重要性体现在以下几个方面：
偏最小二乘法是一种多因变量对多自变量的回归建模方法。偏最小二乘法可以较好的解决许多以往用普通多元回归无法解决的问题。
偏最小二乘法之所以被称为第二代回归方法，还由于它可以实现多种数据分析方法的综合应用。
主成分回归的主要目的是要提取隐藏在矩阵X中的相关信息，然后用于预测变量Y的值。这种做法可以保证让我们只使用那些独立变量，噪音将被消除，从而达到改善预测模型质量的目的。但是，主成分回归仍然有一定的缺陷，当一些有用变量的相关性很小时，我们在选取主成分时就很容易把它们漏掉，使得最终的预测模型可靠性下降，如果我们对每一个成分进行挑选，那样又太困难了。
偏最小二乘回归可以解决这个问题。它采用对变量X和Y都进行分解的方法，从变量X和Y中同时提取成分(通常称为因子)，再将因子按照它们之间的相关性从大到小排列。现在，我们要建立一个模型，我们只要决定选择几个因子参与建模就可以了
基本概念
偏最小二乘回归是对多元线性回归模型的一种扩展，在其最简单的形式中，只用一个线性模型来描述独立变量Y与预测变量组X之间的关系:
Y = b0 + b1X1 + b2X2 + ... + bpXp
在方程中，b0是截距，bi的值是数据点1到p的回归系数。
例如，我们可以认为人的体重是他的身高、性别的函数，并且从各自的样本点中估计出回归系数，之后，我们从测得的身高及性别中可以预测出某人的大致体重。对许多的数据分析方法来说，最大的问题莫过于准确的描述观测数据并且对新的观测数据作出合理的预测。
多元线性回归模型为了处理更复杂的数据分析问题，扩展了一些其他算法，象判别式分析，主成分回归，相关性分析等等，都是以多元线性回归模型为基础的多元统计方法。这些多元统计方法有两点重要特点，即对数据的约束性：
变量X和变量Y的因子都必须分别从X'X和Y'Y矩阵中提取，这些因子就无法同时表示变量X和Y的相关性。
预测方程的数量永远不能多于变量Y跟变量X的数量。
偏最小二乘回归从多元线性回归扩展而来时却不需要这些对数据的约束。在偏最小二乘回归中，预测方程将由从矩阵Y'XX'Y中提取出来的因子来描述；为了更具有代表性，提取出来的预测方程的数量可能大于变量X与Y的最大数。
简而言之，偏最小二乘回归可能是所有多元校正方法里对变量约束最少的方法，这种灵活性让它适用于传统的多元校正方法所不适用的许多场合，例如一些观测数据少于预测变量数时。并且，偏最小二乘回归可以作为一种探索性的分析工具，在使用传统的线性回归模型之前，先对所需的合适的变量数进行预测并去除噪音干扰。
因此，偏最小二乘回归被广泛用于许多领域来进行建模，象化学，经济学，医药，心理学和制药科学等等，尤其是它可以根据需要而任意设置变量这个优点更加突出。在化学计量学上，偏最小二乘回归已作为一种标准的多元建模工具。
计算过程
基本模型
作为一个多元线性回归方法，偏最小二乘回归的主要目的是要建立一个线性模型：Y=XB+E，其中Y是具有m个变量、n个样本点的响应矩阵，X是具有p个变量、n个样本点的预测矩阵，B是回归系数矩阵，E为噪音校正模型，与Y具有相同的维数。在通常情况下，变量X和Y被标准化后再用于计算，即减去它们的平均值并除以标准偏差。
偏最小二乘回归和主成分回归一样，都采用得分因子作为原始预测变量线性组合的依据，所以用于建立预测模型的得分因子之间必须线性无关。例如：假如我们现在有一组响应变量Y(矩阵形式)和大量的预测变量X(矩阵形式)，其中有些变量严重线性相关，我们使用提取因子的方法从这组数据中提取因子，用于计算得分因子矩阵：T=XW，最后再求出合适的权重矩阵W，并建立线性回归模型：Y=TQ+E，其中Q是矩阵T的回归系数矩阵，E为误差矩阵。一旦Q计算出来后，前面的方程就等价于Y=XB+E，其中B=WQ，它可直接作为预测回归模型。
偏最小二乘回归与主成分回归的不同之处在于得分因子的提取方法不同，简而言之，主成分回归产生的权重矩阵W反映的是预测变量X之间的协方差，偏最小二乘回归产生的权重矩阵W反映的是预测变量X与响应变量Y之间的协方差。
在建模当中，偏最小二乘回归产生了pxc的权重矩阵W，矩阵W的列向量用于计算变量X的列向量的nxc的得分矩阵T。不断的计算这些权重使得响应与其相应的得分因子之间的协方差达到最大。普通最小二乘回归在计算Y在T上的回归时产生矩阵Q，即矩阵Y的载荷因子(或称权重)，
用于建立回归方程：Y=TQ+E。一旦计算出Q，我们就可以得出方程：Y=XB+E，其中B=WQ，最终的预测模型也就建立起来了。
非线性迭代偏最小二乘法
用于计算偏最小二乘回归的一种标准算法是非线性迭代偏最小二乘法(NIPALS)，在这种算法中有许多变量，有些被规范化了，有些却没有。下面提到的算法被认为是非线性迭代偏最小二乘法中最有效的一种。
对h=1...c，且A0=X'Y, M0=X'X, C0=I，变量c已知。
计算qh，Ah'Ah的主特征向量。
wh=GhAhqh, wh=wh/||wh||，并将wh作为W的列向量。
ph=Mhwh, ch=wh'Mhwh, ph=ph/ch，并将ph作为P的列向量。
qh=Ah'wh/ch，并将qh作为Q的列向量。
Ah+1=Ah - chphqh'，Bh+1=Mh - chphph'
Ch+1=Ch - whph'
得分因子矩阵T可以计算出来：T=XW，偏最小二乘回归系数B也可由公式B=WQ计算出。SIMPLS算法
还有一种对偏最小二乘回归组分的估计方法，被称为SIMPLS算法。
对h=1...c，且A0=X'Y, M0=X'X, C0=I，变量c已知。
计算qh，Ah'Ah的主特征向量。
wh=Ahqh, ch=wh'Mhwh, wh=wh/sqrt(ch)，并将wh作为W的列向量。
ph=Mhwh，并将ph作为P的列向量。
qh=Ah'wh，并将qh作为Q的列向量。
vh=Chph，vh=vh/||vh||
Ch+1=Ch - vhvh'，Mh+1=Mh - phph'
Ah+1=ChAh
与NIPALS相同，SIMPLS的T由公式T=XW计算出，B由公式B=WQ'计算。
相关文献
许禄，《化学计量学方法》，科学出版社，北京，1995。
王惠文，《偏最小二乘回归方法及应用》，国防科技出版社，北京，1996。
Chin, W. W., and Newsted, P. R. (1999). Structural Equation Modeling analysis with Small Samples Using Partial Least Squares. In Rick Hoyle (Ed.), Statistical Strategies for Small Sample Research, Sage Publications.
Chin, W. W. (1998). The partial least squares approach for structural equation modelling. In George A. Marcoulides (Ed.), Modern Methods for Business Research, Lawrence Erlbaum Associates.
Barclay, D., C. Higgins and R. Thompson (1995). The Partial Least Squares (PLS) Approach to Causal Modeling: Personal Computer Adoption and Use as an Illustration. Technology Studies, volume 2, issue 2, 285-309.
Chin, W. W. (1995). Partial Least Squares Is To LISREL As Principal Components Analysis Is To Common Factor Analysis. Technology Studies. volume 2, issue 2, 315-319.
Falk, R. F. and N. Miller (1992). A Primer For Soft Modeling. Akron, Ohio: The University of Akron Press.
Fornell, C. (Ed.) (1982). A Second Generation Of Multivariate Analysis, Volume 1: Methods. New York: Praeger.
描述性统计分析
作 者：清华大学中国企业研究中心 阅读次数：5509次 发布日期：2005-7-4
在数据分析的时候，一般首先要对数据进行描述性统计分析（Descriptive Analysis），以发现其内在的规律，再选择进一步分析的方法。描述性统计分析要对调查总体所有变量的有关数据做统计性描述，主要包括数据的频数分析、数据的集中趋势分析、数据离散程度分析、数据的分布、以及一些基本的统计图形。
（1）数据的频数分析：在数据的预处理部分，我们曾经提到利用频数分析和交叉频数分析来检验异常值。此外，频数分析也可以发现一些统计规律。比如说，收入低的被调查者用户满意度比收入高的被调查者高，或者女性的用户满意度比男性低等。不过这些规律只是表面的特征，在后面的分析中还要经过检验。
（2）数据的集中趋势分析：数据的集中趋势分析是用来反映数据的一般水平，常用的指标有平均值、中位数和众数等。各指标的具体意义如下：
平均值：是衡量数据的中心位置的重要指标，反映了一些数据必然性的特点，包括算术平均值、加权算术平均值、调和平均值和几何平均值。
中位数：是另外一种反映数据的中心位置的指标，其确定方法是将所有数据以由小到大的顺序排列，位于中央的数据值就是中位数。
众数：是指在数据中发生频率最高的数据值。
如果各个数据之间的差异程度较小，用平均值就有较好的代表性；而如果数据之间的差异程度较大，特别是有个别的极端值的情况，用中位数或众数有较好的代表性。
（3）数据的离散程度分析：数据的离散程度分析主要是用来反映数据之间的差异程度，常用的指标有方差和标准差。方差是标准差的平方，根据不同的数据类型有不同的计算方法。
（4）数据的分布：在统计分析中，通常要假设样本的分布属于正态分布，因此需要用偏度和峰度两个指标来检查样本是否符合正态分布。偏度衡量的是样本分布的偏斜方向和程度；而峰度衡量的是样本分布曲线的尖峰程度。一般情况下，如果样本的偏度接近于0，而峰度接近于3，就可以判断总体的分布接近于正态分布。
（5）绘制统计图：用图形的形式来表达数据，比用文字表达更清晰、更简明。在SPSS软件里，可以很容易的绘制各个变量的统计图形，包括条形图、饼图和折线图等。
示例SIM手机描述性统计分析
为简化起见，我们只分析SIM手机用户满意调查中的两个变量：“总体感知质量”和“总体满意度”变量。
（1）数据的频数分析
用SPSS软件的频数分析可以很容易地画出两个变量的频数图：
两个变量的频数图表明：大部分被调查者对SIM手机的质量评价较高，总体感觉比较满意，打分在8－10分之间。
（2）数据的集中趋势分析
利用SPSS的描述性统计分析，计算SIM手机“总体感知质量”和“总体满意度”的平均值、中位数和众数：
总体感知质量总体满意度N 200 200 Mean 7.11 7.43 Median 8 8 Mode 8 8
共有200个（N）被调查者参与了SIM手机调查；总体感知质量均值（Mean）7.11分、中位数（Median）8分、众数（Mode）8分；总体满意度均值7.43分、中位数8分、众数8分，与前面的频数分析结果一致。
（3）数据的离散程度和分布分析：
同样利用SPSS软件的描述性统计分析，可以得出SIM手机的离散程度和分布指标：
总体感知质量总体满意度N 200 200
Std. Deviation 2.36 2.29
Variance 5.56 5.25
Skewness -0.961 -0.988
Kurtosis 0.358 0.437
“总体感知质量”变量的标准差（Std. Deviation） 2.36、方差（Variance） 5.56；“总体满意度”标准差2.29、方差5.25，说明不同样本对两个变
量打分的差异程度不大，或者说不同样本对SIM手机评价的差异不大。“总体感知质量”变量的偏度（Skewness）-0.961、峰度（Kurtosis）0.358；“总体满意度”变量偏度-0.988、峰度0.437，说明数据不符合正态分布
相关分析
作 者：清华大学中国企业研究中心 阅读次数：3727次 发布日期：2005-7-4
在描述性统计方法中，一般来说每个问题只涉及一个变量，反映相应指标的变化情况。而对于两个或两个以上相关现象之间的因果关系，我们将考虑下面的几种分析方法：相关分析、回归分析和方差分析。其中相关分析和回归分析适合于因变量和自变量均为连续变量的情况，如“质量”和“用户满意度”的相关关系；而方差分析则适用于因变量为分类变量、自变量为连续变量的情况，如“收入”对“用户满意度”的影响。下面我们将介绍简单的相关分析。
在所有相关分析中，最简单的是两个因素之间的线性相关，它只涉及一个自变量和一个因变量。而且自变量数值发生变动，因变量的数值也发生大致均等的变动。从平面图上观察各点的分布近似地表现为一条直线，这种相关关系称为直线相关（也叫线性相关），如图所示。
线性相关分析常用相关系数r来表示两个变量间相互的关系，并判断其密切程度。相关系数r没有单位，在-1到+1之间波动，其绝对值越接近1，两个变量之间的相关关系越密切。不同r值的相关关系如图所示：
正相关：Y随X的增加而增加，X亦随Y的增加而增加，0 负相关：Y随X的增加而减少，X亦随Y的增加而减少，-1 无相关：不论X增加或减少，Y的大小不受其影响；反之亦然，r=0。 非线性相关：各点的排列不是直线趋势，呈某种曲线形状，此时求r已经没有多大意义。 示例SIM手机质量和用户满意度相关分析 为分析SIM手机“质量”和“用户满意度”的相关关系，首先需要做两个变量的散点图，利用SPSS的绘图功能，做散点图如下： 散点图趋势表明，SIM手机质量和用户满意度成正相关的关系，即随着SIM手机质量的提高，它的用户满意度也会提高；而如果质量降低，它的用户满意度也会相应地降低。 利用SPSS软件的相关分析，得到两个变量的相关系数r为0.875，接近于1，进一步说明两个变量高度正相关。 回归分析 作 者：清华大学中国企业研究中心 阅读次数：8733次 发布日期：2005-7-4 相关分析研究的是现象之间是否相关、相关的方向和密切程度，一般不区别自变量或因变量。而回归分析则要分析现象之间相关的具体形式， 确定其因果关系，并用数学模型来表现其具体关系。比如说，从相关分析中我们可以得知“质量”和“用户满意度”变量密切相关，但是这两个变量之间到底是哪个变量受哪个变量的影响，影响程度如何，则需要通过回归分析方法来确定。 一般来说，回归分析是通过规定因变量和自变量来确定变量之间的因果关系，建立回归模型，并根据实测数据来求解模型的各个参数，然后评价回归模型是否能够很好的拟合实测数据；如果能够很好的拟合，则可以根据自变量作进一步预测。 例如，如果要研究质量和用户满意度之间的因果关系，从实践意义上讲，产品质量会影响用户的满意情况，因此设用户满意度为因变量，记为Y；质量为自变量，记为X。根据图8－3的散点图，可以建立下面的线性关系： Y=A+BX+§ 式中：A和B为待定参数，A为回归直线的截距；B为回归直线的斜率，表示X变化一个单位时，Y的平均变化情况；§为依赖于用户满意度的随机误差项。 在SPSS软件里可以很容易地实现线性回归，回归方程如下： y=0.857+0.836x 回归直线在y轴上的截距为0.857、斜率0.836，即质量每提高一分，用户满意度平均上升0.836分；或者说质量每提高1分对用户满意度的贡 献是0.836分。 上面所示的例子是简单的一个自变量的线性回归问题，在数据分析的时候，也可以将此推广到多个自变量的多元回归，具体的回归过程和意义请参考相关的统计学书籍。此外，在SPSS的结果输出里，还可以汇报R2，F检验值和T检验值。R2又称为方程的确定性系数（coefficient of determination），表示方程中变量X对Y的解释程度。R2取值在0到1之间，越接近1，表明方程中X对Y的解释能力越强。通常将R2乘以100％来表示回归方程解释Y变化的百分比。F检验是通过方差分析表输出的，通过显著性水平（significant level）检验回归方程的线性关系是否显著。一般来说，显著性水平在0.05以下，均有意义。当F检验通过时，意味着方程中至少有一个回归系数是显著的，但是并不一定所有的回归系数都是显著的，这样就需要通过T检验来验证回归系数的显著性。同样地，T检验可以通过显著性水平或查表来确定。在上面所示的例子中，各参数 的意义如表8－2所示。 表8－2 线性回归方程检验 指标显著性水平意义 R2 0.89 “质量”解释了89％的“用户满意度”的变化程度 F 276.82 0.001 回归方程的线性关系显著 T 16.64 0.001 回归方程的系数显著 示例SIM手机用户满意度与相关变量线性回归分析 我们以SIM手机的用户满意度与相关变量的线性回归分析为例，来进一步说明线性回归的应用。从实践意义讲上，手机的用户满意度应该与产品的质量、价格和形象有关，因此我们以“用户满意度”为因变量，“质量”、“形象”和“价格”为自变量，作线性回归分析。利用SPSS软件的回归分析，得到回归方程如下： 用户满意度＝0.008×形象＋0.645×质量＋0.221×价格 对于SIM手机来说，质量对其用户满意度的贡献比较大，质量每提高1分，用户满意度将提高0.645分；其次是价格，用户对价格的评价每提 高1分，其满意度将提高0.221分；而形象对产品用户满意度的贡献相对较小，形象每提高1分，用户满意度仅提高0.008分。 方程各检验指标及含义如下： 指标显著性水平意义 R2 0.89 “质量”和“形象”解释了89％的“用户满意度”的 变化程度 F 248.53 0.001 回归方程的线性关系显著 T（形象）0.00 1.000 “形象”变量对回归方程几乎没有贡献 T（质量）13.93 0.001 “质量”对回归方程有很大贡献 T（价格） 5.00 0.001 “价格”对回归方程有很大贡献 从方程的检验指标来看，“形象”对整个回归方程的贡献不大，应予以删除。所以重新做“用户满意度”与“质量”、“价格”的回归方程如下： 用户满意度＝0.645×质量＋0.221×价格 对于SIM手机来说，质量对其用户满意度的贡献比较大，质量每提高1分，用户满意度将提高0.645分；用户对价格的评价每提高1分，其满意度将提高0.221分（在本示例中，因为“形象”对方程几乎没有贡献，所以得到的方程与前面的回归方程系数差不多）。 二乘法口诀(一) 第一课时数松果 教学内容 北师大版小学数学二年级(上册)第二单元第30-31页“数松果 ”。 教学目标 1、进一步使学生理解乘法的意义。 2、引导学生借助乘法的意义编制乘法口诀。 3、培养学生的社会入文意识。 教学重点 使学生初步掌握乘法口诀的归纳方法。 教具，学具准备 多媒体课件口诀卡片练习纸 教学设计 谈话引入 师：同学们，你们知道2008年的奥运会在哪里举办吗? 师：为庆祝北京申奥成功，在北京进行了大型的巡游活动，看，他们来了。 申奥成功大巡游--摩托车队巡游。 师：哪位同学能为我们介绍这面旗? (天蓝色代表欧洲，黄色代表亚洲，黑色代表非洲，草绿色代表澳洲，红色代表美洲；连接在一起象征五大洲的团结。) 师：根据学生口述：一面旗有5个环，在表格中板书。 旗的面数1 环的个数5 师：那么两面旗呢? 师：你是怎么算的? （在这个情境中，教师提供了一个情境，活跃了学生的思维，拓宽了学生的知识面，同时也为学生下一步的数学研究奠定基础。使学生获取知识的同时，有了更加深入的情感辱验，体现了学生的主体性。） 学生汇报方法． 师：你们能不能继续将这个表格填完?同桌两个同学互相说一说． (根据学生的回答，教师填表) 师：从这张表格中你们发现了什么? 5的乘法口诀编写 1、师：能把环的个数用乘法算式计算出来吗?根据学生回答板书： 1个5是5，1×5＝5或5×1＝5 2个5是10，2×5＝10或5×2＝10。 2、师：接下去写，你们会吗?请你们在本子上接着往下写。请一位同学在黑板上板演。 对写的快的同学引导他们互相检查。 3、针对学生书写的不同、问题，让学生发表不同的意见。 4、请大家把我们写的算式读一读。 5、师：有谁知道10×4的积是多少呢?试试看，独立计算后小组交流想法。 6、根据这些乘法算式，你还能算哪些乘法题? 7、大家所说的这些算式都是根据黑板上这9个算式推算出来的，让我们再来观察一下这些算式，它们都含有一个乘数5，为了方便我们的应用，前人将这些算式改编出了一句句的口诀，我来说一句：一五得五。 你能试着说下去吗?小组说一说并分组把它写出来。 8、教师强调几个编写要注意的问题。 9、齐读5的乘法口诀。 10、给学生3分钟记忆口诀。 11、师：你是怎样记口诀的?有什么好的方法? （这一部分是本节课的重点，同时也是学生建立乘法口诀编写概念的第一课．所以这部分教师放慢步伐，从以下几个环节实施教学：从学生熟悉的乘法意义入手写乘法算式——了解算式间的递进关系——拓展关系的应用——编写5的乘法口诀——记忆口诀。 这五步的教学引导学生了解了口诀的由来过程，编写方 法，以及如何记忆口诀，为后续学习其他的口诀奠定了基础。） 寻找生活中5的乘法口诀 1、师：生活中和5的乘法口诀有关系的事情还有许多，老师可以把它们编成儿歌，你们想听吗? 一个小组5个人，两个小组10个人，三个小组15个人，四个小组20个人…… 2、师：你还能编出其他的儿歌吗? （数学是生活的数学，它来源于生活，也要应用于生活。通过这一运用，将两者进行了有机结合，既培养了学生发现生活中数学的习惯，又巩固。了所学的知识。在丰富学生数学经验的同时又丰富了学生的生活经验。） 巩固练习 请你用今天所学的口诀，解决问题． 1、5的乘法口算题． （这一环节主要是当堂检测学生对口诀的学习情况，做到及时查漏补缺。） 2、填一填：见书ll页第3题． （指导学生看图，并掌握找规律的方法。） 3、看图列式：见书11页第4题。 （了解学生对乘法意义理解的情况。） 通过今天的学习，大家有什么收获? （及时的反思和总结是学习提高的一种方式。） 教学反思： 大胆放手，让全体学生动口、动手、动脑参与教学的全过程，让学生独立思考、观察规律，再进行合作交流，培养了学生的观察能力、概括能力和自主学习能力。 第二课时课间活动 最小二乘法及其应用 1． 引言 最小二乘法在19世纪初发明后,很快得到欧洲一些国家的天文学家和测地学家的广泛关注。据不完全统计,自1805年至1864年的60年间,有关最小二乘法的研究论文达256篇,一些百科全书包括1837年出版的大不列颠百科全书第7版,亦收入有关方法的介绍。同时,误差的分布是“正态”的,也立刻得到天文学家的关注及大量经验的支持。如贝塞尔( F. W. Bessel, 1784—1846)对几百颗星球作了三组观测,并比较了按照正态规律在给定范围内的理论误差值和实际值,对比表明它们非常接近一致。拉普拉斯在1810年也给出了正态规律的一个新的理论推导并写入其《分析概论》中。正态分布作为一种统计模型,在19世纪极为流行,一些学者甚至把19世纪的数理统计学称为正态分布的统治时代。在其影响下,最小二乘法也脱出测量数据意义之外而发展成为一个包罗极大,应用及其广泛的统计模型。到20世纪正态小样本理论充分发展后,高斯研究成果的影响更加显著。最小二乘法不仅是19世纪最重要的统计方法,而且还可以称为数理统计学之灵魂。相关回归分析、方差分析和线性模型理论等数理统计学的几大分支都以最小二乘法为理论基础。正如美国统计学家斯蒂格勒( S. M. Stigler)所说,“最小二乘法之于数理统计学犹如微积分之于数学”。最小二乘法是参数回归的最基本得方法所以研究最小二乘法原理及其应用对于统计的学习有很重要的意义。 2. 最小二乘法 所谓最小二乘法就是：选择参数10,b b ,使得全部观测的残差平方和最小. 用数学公式表示为： 21022)()(m in i i i i i x b b Y Y Y e --=-=∑∑∑∧ 为了说明这个方法，先解释一下最小二乘原理，以一元线性回归方程为例. i i i x B B Y μ++=10 （一元线性回归方程） 最小二乘参数估计 摘要： 最小二乘的一次性完成辨识算法（也称批处理算法），他的特点是直接利用已经获得的所有（一批）观测数据进行运算处理。这种算法在使用时，占用内存大，离线辨识，观测被辨识对象获得的新数据往往是逐次补充到观测数据集合中去的。在应用一次完成算法时，如果要求在每次新增观测数据后，接着就估计出系统模型的参数，则需要每次新增数据后要重新求解矩阵方程()Z l T l l T l ΦΦΦ-∧=1θ。 最小二乘辩识方法在系统辩识领域中先应用上已相当普及，方法上相当完善，可以有效的用于系统的状态估计，参数估计以及自适应控制及其他方面。 关键词： 最小二乘（Least-squares ），系统辨识（System Identification ） 目录： 1.目的 (1) 2.设备 (1) 3引言 (1) 3.1 课题背景 (1) 4数学模型的结构辨识 (2) 5 程序 (3) 5.1 M 序列子函数 ................................................................................. 错误！未定义书签。 5.2主程序............................................................................................... 错误！未定义书签。 6实验结果： ................................................................................................................................... 3 7参考文献： ................................................................................................. 错误！未定义书签。 1.目的 1.1掌握系统辨识的理论、方法及应用 1.2熟练Matlab 下最小二乘法编程 1.3掌握M 序列产生方法 2.设备 PC 机1台（含Matlab 软件） 3引言 3.1 课题背景 最小二乘理论是有高斯（K.F.Gauss ）在1795年提出：“未知量的最大可能值是这样一个数值，它使各次实际观测值和计算值之间的差值的平方乘以度量其精度的数值以后的和最小。”这就是最小二乘法的最早思想。 最小二乘辨识方法提供一个估算方法，使之能得到一个在最小方差意义上与实验数据最 第一课时 一、看图填空 （1） （）+（）+（）+（）+（）=（）（）个（）是（） （2） ( )+( )+( )=( ) ( )个（）是（） 二、圈一圈，填一填 （1） 4个4是（）个是加法算式：加法算式： 第二课时 一、看图填空 （1） 有（）盘香肠，每盘里面有3根香肠，就是（）个（）（）+（）+（）+（）=（）×（）=（）一共有（）根香肠。 （2） 有（）堆糖果，每堆有（）颗，就是（）个（） （）+（）+（）=（）×（）=（） 一共有（）颗糖果。 （3） 每串有 （）个香蕉，有（）串，一共有（）个香蕉。 表示（）个（） 加法算式： 乘法算式： 二、智慧题 + + =9 =（） 乘法引入 第三课时 （一）圈一圈，填一填 ( )个3 （）个4 3＋3＋3＋3＝（）4＋4＋4＝（） （）×（）＝（）（）×（）＝（）（二） ( )个（）( )个（） （）×（）＝（）（）×（）＝（） （三） 8+8+8=（）5+5+5+5+5+5=( ) 3+3+3+3+3+3+3+3=（）6+6+6+6+6=( ) 3×8 8×3 6×5 5×6 （四）智慧题： 1、加法算式：2+2+2+2+6+2=16 乘法算式：ⅹ =16 2、加法算式：3+3+3+3+3+3+9= 乘法算式：ⅹ = 看图写乘法算式 （1）看图，写两道乘法算式 （2）填空 3×5=（）+（）+（） 5×3=（）+（）+（）+（）+（）3×5 5×3 2×4=( )+( ) 4×2=( )+( )+( ) +( ) 2×4 4×2 (3)智慧题： 3+3+3+1+5+3=（）×（）=（）×（） 1、最小二乘法： 1）（用1 T A A 方法计算逆矩阵） #include double mean,temp=0,variance=0; int i; for(i=0;i 二年级数学上册应用题练习 1 ?列式计算： 3和4相加是多少？ 5 个2相加是多少？ 3 和6相乘，积是多少？ 2. 同学们浇树，每个人浇4棵，3个人一共浇多少棵？ 3. 同学们浇树，一人浇了 6棵，一人浇了 5棵，他们一共浇了多少棵？ 4. 小明买了 3个扣子，每个5角钱，一共用了多少钱？ 5. 小明做数学题，每行有5道，做了 2行，一共做了多少道？ 6. 二年级春游时准备租用6艘船游玩，平均每艘船6名同学，问二年级共有多少名同学？ 7. 家里今天准备来6个人吃饭，每个人需要碗和盘 3个，那么共需要准备碗和盘多少个？ 8. 每个小学有6个年级，第一小学平均为每个年级分配有 4位老师，问全校共有多少位老师？ 9. 舞蹈班在5个年级中挑选团员，每个年级预备挑 5名同学，问舞蹈班共需要挑选多少团员？ 10. 二（2）班平均每个兴趣小组6名同学，有5个兴趣小组，如果每人只能报一个小组，问二（2）班共有多少名同学？ 11. 二年级有3个班参加跳绳比赛每个班选6个人参加一共选多少人 12. 做一件上衣要5个扣子做4件同样的上衣要多少个扣子 13. 有6个同学看卡通漫画每个同学看2本一共看了多少本 14. 小红每天折5只纸鹤折了 5天一共折了多少只纸鹤 15. 同学们去公园划船每条船上坐4人 3条船上坐多少人 16. 一根绳子剪掉32米还剩28米这根绳子长多少米 17. 每个同学种2盆花 5个同学种多少盆花 18. 一只小花猫有4条腿 6只小花猫共有多少条腿 19. 小兰买3块橡皮，每块橡皮3角钱，小兰一共花了多少钱？妈妈给他1元钱 应剩下多少钱？ 20. 小立有3本书，兰兰、明明、亲亲的书都和小立同样多，他们一共有多少本书？ 21. 校园里有3行柿子树，每行6棵，一共有多少棵柿子树？又种了 8棵梨树，一共有多少棵果树？ 22. 妈妈给明明42元钱,爸爸又给明明39元钱，现在明明大约有多少元钱? 23?二⑴班同学做了 80朵小红花，送给二⑵班22朵,又送给二⑶班38朵,现在大约送出多少朵，大约 还有多少朵. 24. 有5个同学在折纸鹤，没人要折6只 (1) 他们一共要折多少只纸鹤？ (2) 每人已经折了 2只，每人还要折多少只？他们一共还要折多少只？ 25. 有6个花瓶，每个花瓶可以插6枝花， (1) 一共可以插多少枝花？ (2) 每个花瓶已经插了 3枝花，每个 花瓶还能插多少枝花？ 一共还能插多 少枝花？ △ △ △△ △ △ △ △△ △ OOOO OOOO OOOO OOOOO 27. 一共有多少个圆? 为明确解释变量和随机误差各产生的效应是多少，统计上把数据点与它在回归直线上相应位置的差异称为残差，把每个残差的平方和称为残差平方和，它表示随机误差的效应。20()n i i S y y == -∑ 设所示直线议程为y ax b =+，最小二乘法就是示使得残差平方和2 1[()]n i i i M y ax b ==-+∑最 小时a 和b 的值。把M 看作a 和b 的函数，通过求多元函数偏导求最小值时的a 和b 。 1(,)2[()]0n a i i i M M a b y ax b a =?==--+=?∑ 1 (,)2[()]0n b i i i M M a b y a x b b =?==--+=?∑ 即：2111n n n i i i i i i i a x b x x y ===+=∑∑∑ 11 n n i i i i a x nb y ==+=∑∑ 化简得：11122 11()n n n i i i i i i i n n i i i i n x y x y a n x x =====-=-∑∑∑∑∑ b y a x =- 求出其取极值时的a 和b 值取可得直线拟合的方程。其C 语言程序如下： #include 二年级数学乘法练习题.(4份) 姓名：_______________ 成绩：______________ 一、计算。 (1)3×5= (2)6×5= (3)2×2= (4)5×2+3 = (5)4×2= (6)4×8= （7)5×3= (8)3×3+2= (9)4×5+4= (10)4×5—5= (11)3×2= （12）1×4= (13)4×4= （14）5×2+2= （15）3×4-2= （16）2×3= 二、把下面的加法算式能改写成乘法算式的改写成乘法算式。 1. 5+5+5+5= ___________________ 2. 1+1+1+1= ___________________ 3. 4+4+4=___________________ 4. 3+3+3= ___________________ 三、(1)3乘5积是( )，再加上17，得( )。 (2)一个因数是4，另一个因数是4，积是( )。 (3)5乘6得( )。 四、判断，对的画“√”，错的画“×”。 (1) 3+3+3+3=4×3 ( ) (2) 5+5+5+4=5×4-1( ) (3) ○○○○○○写成乘法算式2×3或3×2( ) （4）3×2=6 读作：3×2等于6（），还是3乘2等于6（） 五、根据一句口诀写出两道乘法算式。 (1) 三五十五 (2) 四六二十四 (3) 五六三十 _____________ _____________ _____________ _____________ _____________ _____________ （4）一三得三 (5) 二四得八 (6) 一二得二 _____________ ____________ _____________ _____________ _____________ _____________ 六、解决问题。 1.校园里有2排教室，每排6间，一共有多少间教室? = 答：一共有_____间教室。 2.乐乐送给欢欢3盒苹果，每盒9个，共有苹果多少个? = 答：一共有_____个苹果。 3.每个学生宿舍有3张床，5个这样的宿舍有几张床? = 答：5个宿舍有____张床。 4. 二年级有5个班，每个班选出4名三好学生，一共选出多少名? = 答：一共选出____名。 5.小明、小强和小红，各得了3朵小红花，他们共得几朵小红花? = 答：一共____朵小红花。 认识乘 法 教学内容： 义务教育课程标准实验教科书（人教版）数学二年级上册 教材分析： 这部分教材是在学生学习了按群数数、连加等知识的基础上进行教学的，它是学生首次学习乘法概念，是今后学习表内除法和多位数乘、除法的基础。乘法的本质是一种特殊的加法(即“几个相同加数的和的简便运算”)，乘法知识的生长点是“同数相加”，因此，一般教材都是在与加法的比较中引入乘法的。教材中安排直观的主题图（游乐园）和例1的摆小棒活动，让学生感知、理解“同数相加”就用“几个几”表述，由“几个几”引出乘法，认识乘号、了解乘法算式的读法和写法。通过例2和例3，沟通“同数相加”和乘法的关系，让学生认识乘法算式中各部分的名称，并体会“写乘法比较简便”。 通过与旧教材比较发现，实验教材增加了“几个几”的实际含义，简化了乘法算式各部分的名称和读法（比如：不再区分乘数与被乘数，“×”就读作“乘”等），删除了抽象的 概念表述（乘法的定义、“相同加数”“相同加数的个数”等抽象用语）。 教学目标： 1. 在认识“几个几”的基础上学习乘法的含义，知道乘法算式各部分的名称，会读、写 乘法算式。 2.能初步用乘法概念观察现象，在与加法的比较中体会用乘法写比较简便。 3.培养学生的观察推理能力和学习数学的兴趣及合作意识。 教学准备： 教师准备多媒体课件、花片等，生准备20个圆片。 教学过程： 一、情境激趣、引入新课 今天我们一起到数学乐园去看一看（课件演示：游乐园的大门紧闭，上有一些加法算式），这个游乐园的大门怎么样啊？（关着的），原来这里有个机关，也就是几道算式，只要你算对了，也许这个门就会自动打开了，下面请你们选一道题算算，你喜欢那一题就选哪一题。（提问）。同学们都算对了，可是门怎么还没开呀?原来还有一个机关，就是要看看哪个同学的眼力好。请你仔细观察一下，在这些乘法算式中，看看他们这些相加的加数，有哪几道题你觉得它们是同一种类型的，咱就把它放一块去。（提问并引导说出：每道算式中的加数都是一样的）现在这个大门大概要开了（课件演示：开门，出现教材的大主题图）。 二、观察实践、探究新知 1、感知＂几个几＂，领悟乘法的含义 A、观察感知＂几个几＂。（指导观察主题图。） 请同学们观察一下，游乐场里，他们都在玩什么呀？（过山车、小火车、摩天轮等等）看看这些在游玩的人们是怎么坐的？是不是随便坐的乱乱的呀？（引导过山车是2个2个坐的、小火车是3个3个坐的、摩天轮是4个4个座的） ①、现在我们就一起先来看看过山车上坐了多少人（课件演示：出示过山车情境图，这个情境图是从主题图截取的），他们几个人坐一排啊？两个就可以用数字几来表示？那么这过山车上有几个2呢？咱们一起数一数（引导学生数：1个2、2个2……6个2）。6个2是多少个人，谁来列一道算式？（板书：2+2+2+2+2+2=12） ②、我们看着黑板来数一数有几个2相加的（1个2、两个2……6个2），这里我们就说有6 1.1认识乘法 教学内容 教科书第1～3页 教学目标 1、让学生经历几个相同的数相加还可以用乘法计算的学习过程，初步理解乘法的意义，初步体会乘法和加法的联系和区别；能正确地写、读乘法算式，知道算式中各部分的名称；会通过加法算得乘式的积。 2、使学生在简单的实际问题中抽象出求几个相加是多少的数学问题，并根据数学问题列乘法算式的活动中，培养有条理地思考思考的习惯，提高解决问题的能力。 教学重点难点 重点：初步理解乘法的意义。 2、难点：初步体会乘法和加法的联系和区别 教学准备 挂图 教学过程 导入新课 我们已经学习了加法和减法，从今天开始，我们要学习一种新的算法，这就是乘法，这节课我们先来学习乘法的初步认识。 新授 1、教学例1。 （1）出示例1图 （2）提问：图中几处有小白兔？每处有几只？一共有几个2只？求一共有多少只小白兔怎样算？ 板书：2+2+2=6（只） 图中几处有小鸡？每处有几只？一共有几个3只？求一共有多少只小鸡，怎样算？ 板书：3+3+3+3+=12（只） （3）老师指着算式提问： 这两个算式里加数分别都是几？是几个几相加？的多少？ （4）小结：求小白兔一共有多少只？就是求3各只一共是多少，可以永各连加来算。求小鸡一共有多少只，就是4个3只一共是多少，可以用4个3连加来算。 2、教学“试一试” 出示试一试（1） 先让学生看图数一数有几个几，然后摆，边摆边说1个2，2个2……最后填在书上。 第2题 让学生直接摆出3个4根，然后指着小棒4个4个地数一数，最后填一填。 三、认识乘法 1、教学例2 出示例2图 观察图，并说一说：你能求出一共有多少台电脑吗？可以列成怎样的算式？它表示几个几相加？（板书：4个2） （2）、认识乘法 老师说明：像这样几个相同的数相加可以用乘法计算。（板书课题：认识乘法） 4个2相加得8，还可以用乘数计算，写成2×2=8，像2×4=8这样的算式，是乘法算式，这个符号（“指×”）叫乘号（板书：乘号），可以这样写（示范写“×”）。“2×4”和2乘4”。（4）4个2相加得8，不仅可以写成2×4=8，还可以写成4×2=8，谁会读这个算式）； 乘法算式和加法算式一样，各部分都是有名称的，谁先来说说加法算式各部分的名称？ 学生答老师板书：2 + 2 + 2 + 2 = 8 （加数）（加数）（加数）（加数）（和） 老师说明：在乘法算式中，等号前面的数叫乘数，等号后面的数叫积。 板书：4 × 2 = 8 （乘数）（乘数）（积） 同桌同学互说乘法算式中各部分的名称。 谁能说说2×4=8这一道乘法算式各部分的名称？ （5）老师小结：求一共有多少台电脑，就是4个2相加是多少，不仅可以用加法计算，而且可以用乘法计算，可以写成“2×4=8”或“4×2=8”，读作：“2乘4”，4乘2“，等号前面的叫成熟，等号后面的叫积。 2、教学第2页“试一试“ 学生观察图，数一数有几个4，并填一填。 学生独立列式计算解答，老师巡视，了解学生解题情况，辅导有困）难的学生，集体交流。讨论；求4个5的和是多少，哪种写法比较简便？ 完成“想想做做“ 1、完成“想想做做”1 （1）出示第1小题图，提问：1盒有多少枝？有几盒？求一共有多少枝，就是几个几？ 学生填空独立完成 （2）学生独立完成第2题，集体交流时着重提问这道题是求是几个几朵？ 2、完成“想一想做做”2 用圆片摆一摆，每堆摆2个，摆4堆，指名回答，摆了几个几？ 学生独立写出一道加法算式和两道乘法算式，集体交流。 课题八曲线拟合的最小二乘法 实验目标： 在某冶炼过程中，通过实验检测得到含碳量与时间关系的数据如下，试求含碳量y与时间t #include 二年级数学上册《表内乘法》知识点汇总 三、表内乘法 重点、难点 、乘法的初步认识 （1）结合数一数、摆一摆的详尽活动，经历相同加数连加算式的抽象过程，感受这种运算与日常生活的联系，体会学习乘法的必要性。 （2）结合详尽情境，经历把相同加数的连加算式抽象为乘法算式的过程，初步体会乘法运算的意义，体会乘法和加法之间的联系与区别。 （3）会把相同加数的连加算式改写为乘法算式，知道写法、读法，并能应用加法计算简单的乘法算式的结果。 2、乘法的初步认识 （1）能根据加法算式列出乘法算式，知道乘法算式中各部分的名称及含义。 （2）知道用乘法算式表示“相同加数连加算式”比较简易，为进一步学习乘法奠定基础。 （3）能从生活情境中发现并提出可以用乘法解决的问题，初步学会解决简单的乘法问题。 3、的乘法口诀 （1）结合详尽情境，进一步体会乘法的意义，并经历的乘法算式的计算过程和的乘法口诀的编制过程。 （2）能用的乘法口诀进行乘法计算，体验运用乘法口诀的优越性。 （3）能用的乘法运算解决生活中简单的实际问题。 4、2、3、4的乘法口诀 （1）结合详尽情境，经历2、3、4的乘法口诀的编制过程，进一步体会编制乘法口诀的方法。 （2）能够发现每一组乘法口诀的排列规律，培养有条理的思考问题的习惯，逐步的发展数感。 （3）掌握2、3、4的乘法口诀，会用已经学过的口诀进行乘法计算，并能解决简单的实际问题。 、（1）结合详尽情境，掌握乘加、乘减算式的运算顺序，并能正确计算。 （2）能用含有两级运算的算式解决简单的实际问题，培养应用数学的意识和能力。 （3）培养学生从例外的角度观察思考问题的习惯，体现解决问题策略的多样化。 （4）在做一做2题中，应适当拓展，引导学生发现相邻两句口诀之间的关系，帮助学生理解和记忆乘法口诀。 6、6的乘法口诀 （1）经历独立探索、编制6的乘法口诀的过程，体验从已有的知识出发探索新知识的思想和方法。 （2）掌握6的乘法口诀，并能用它解决一些简单的实际问题。 7、7的乘法口诀 （1）结合详尽情境，探索、编制7的乘法口诀，学会从已有的知识出发探索新知识的方法。 （2）掌握7的乘法口诀，并能用它解决一些简单的实际问题，感受数学的趣味性和价值性。 8、“倍”的意义及应用 小学数学新课程标准教材 数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 ) 学校： 年级： 任课教师： 数学教案 / 小学数学 / 小学二年级数学教案 编订：XX文讯教育机构 认识乘法课堂实录 教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于小学二年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。 今天上午在泗洪第一实验学校，也就是教育行者的学校，有幸听到了来自苏州工业园区第二实验学校的特级教师徐斌的数学课，回来后，整理好课堂的整个教学过程，以便以后学习，不过记录的有些凌乱。 认识乘法 教学内容： 义（苏教版）数学二年级上册第一单元第1—3页。 教学目标： 1.在认识几个几的基础上学习乘法的含义，知道乘法算式各部分的名称，会读、写乘法算式。 2.能初步用乘法概念观察现象，在与加法的比较中体会用乘法写比较简便。 3.培养学生的观察推理能力和学习数学的兴趣及合作意识。 教学准备：师准备多媒体课件，生准备小棒。 教学过程： 课前谈话： 1.师：我姓徐，你们叫我什么老师？（生：徐老师） 2.师：在我们县城的旁边有一个湖，叫什么湖？（学生哑然） 3.师：河流你们知道吧，河里有------（学生开始活跃了：虾，鱼，螃蟹），还有青蛙。一只青蛙一张嘴，两只眼睛，四条腿；两只青蛙-----学生接着说。师：越往后说越多越难，不过掌握了规律就可以很快数出。 4.整理文具。 一、引入新课 师：今天我们一起到动物学校去参观。到动物学校可不容易。（大门上写着一些加法算式） 2＋3＋6 5＋5＋5 4＋4＋4＋4 9＋1＋6 3+7+8 2＋2＋2＋2＋2 师：你们会吗？ 生口答 二年级数学思维训练集锦 一、想一想，填一填： 1、5+5+5+5+5+5+5=( )×( ) 4＋4＋4＋3＝( )×( )＋( ) 2＋2＋2＋2－1＝( )×( )＋( ) 2、找规律填数： （1）6 11 16 ( ) 26 ( ) （2）20、16、( )、8、4 （3）2、5、8、11、14、( ) （4）2、3、5、8、12、( ) （5）100，95，90，85，80，( )，70 （6）2，4，6，( )，( ) （7）15，5，12，5，9，5，( )，( )（8）1．3．6．10．15．( )．( ) （9）14．5．12．5．10．5．( )．( )（10）1．11．2．13．3．15．( )．( )。 4、笼子里有3只公鸡，5只白兔，笼子里共有( )个头，( )只脚。 5、☆○☆△△☆○○☆△△△第20个是( )，第30个是( )。 6、如果△＋△＋△＋△=32 △＋△＋○=25 ○＋○＋☆＋☆=26，那么：△＋○＋☆ =( ) 7、小芳今年8岁，他比爸爸小27岁，5年前爸爸比小芳大( )岁。 8、一根电线，对折再对折，最后从中间剪开，剪开的电线一共有( )段。 9、教室里8盏灯，全部亮着，现在关掉了6盏灯，教室里还有( )盏灯。 10、小明做计算题，第一天做了总数的一半，第二天做了剩下的一半，第三天做了5个题，正好全部做完，小明一共做了( )个计算题。 11、下图一共有( )正方形。 12．数一数，下图中有( )个圆？ 二、下面的图形算式中，他们各表示几？ 2、○+○+○=18 △+○=14 ☆+☆+☆+☆=20 ○=( ) △=( ) ☆=( ) 3、16＋16＋16＋8＝( )×( )。 4、已知：○＋□＝15，○－□＝1。那么○＝( ) □＝( )。 ---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 基于最小二乘法的系统辨识的设计与开发（整理版）课程（论文）题目： 基于最小二乘法的系统辨识摘要： 最小二乘法是一种经典的数据处理方法。 最小二乘的一次性完成辨识算法（也称批处理算法），他的特点是直接利用已经获得的所有（一批）观测数据进行运算处理。 在系统辨识领域中, 最小二乘法是一种得到广泛应用的估计方法, 可用于动态系统, 静态系统, 线性系统, 非线性系统。 在随机的环境下，利用最小二乘法时，并不要求观测数据提供其概率统计方面的信息，而其估计结果，却有相当好的统计特性。 关键词： 最小二乘法；系统辨识；参数估计 1 引言最小二乘理论是有高斯（ K.F.Gauss）在 1795 年提出： 未知量的最大可能值是这样一个数值，它使各次实际观测值和计算值之间的差值的平方乘以度量其精度的数值以后的和最小。 这就是最小二乘法的最早思想。 最小二乘辨识方法提供一个估算方法，使之能得到一个在最小方差意义上与实验数据最好拟合的数学模型。 递推最小二乘法是在最小二乘法得到的观测数据的基础上，用新引入的数据对上一次估计的结果进行修正递推出下一个参数估计值，直到估计值达到满意的精确度为止。 1 / 10 对工程实践中测得的数据进行理论分析，用恰当的函数去模拟数据原型是一类十分重要的问题，最常用的逼近原则是让实测数据和估计数据之间的距离平方和最小，这即是最小二乘法。 最小二乘法是一种经典的数据处理方法。 在随机的环境下，利用最小二乘法时，并不要求观测数据提供其概率统计方面的信息，而其估计结果，却有相当好的统计特性。 2 最小二乘法的系统辨识设单输入单输出线性定常系统的差分方程为： 1),()()() 1()(01knkubkubnkxakxakxnn （ 1）上式中： )(ku为输入信号；)(kx为理论上的输出值。 )(kx只有通过观测才能得到，在观测过程中往往附加有随机干扰。 )(kx的观测值)(ky可表示为 （ 2）将式（ 2）代入式（ 1）得 1()()() 1()(101kubkubnkyakyakyn (3) 我们可能不知道)(kn的统计特性，在这种情况下，往往把)(kn看做均值为 0 的白噪声。 设 （ 4）则式（ 3）可以写成 (5) 在测量)(ku时也有测量误差，系统内部也可能有噪声，应当 系统辨识最小二乘法大作业 系统辨识大作业最小二乘法及其相关估值方法应用 学院:自动化学院 专业:信息工程 学号:2007302171 姓名:马志强 日期:2010.11.14 基于最小二乘法的多种系统辨识方法研究 1. 最小二乘法的引出 在系统辨识中用得最广泛的估计方法是最小二乘法(LS)。 设单输入-单输出线性定长系统的差分方程为 (5.1.1) 式中:为随机干扰;为理论上的输出值。只有通过观测才能得到，在观测过程中往往附加有随机干扰。的观测值可表示为 (5.1.2) 式中:为随机干扰。由式(5.1.2)得 (5.1.3) 将式(5.1.3)带入式(5.1.1)得 (5.1.4) 我们可能不知道的统计特性，在这种情况下，往往把看做均值为0的白噪声。 设 (5.1.5) 则式(5.1.4)可写成 (5.1.6) 在观测时也有测量误差，系统内部也可能有噪声，应当考虑它们的影响。因此假定不仅包含了的测量误差，而且包含了的测量误差和系统内部噪声。假定是不相关随机序列(实际上是相关随机序列)。 现分别测出个随机输入值，则可写成个方程，即 上述个方程可写成向量-矩阵形式 (5.1.7) 设 则式(5.1.7)可写为 (5.1.8) 式中:为维输出向量;为维噪声向量;为维参数向量;为测量矩阵。因此式(5.1.8)是一个含有个未知参数，由个方程组成的联立方程组。如果，方程数少于未知数数目，则方程组的解是不定的，不能唯一地确定参数向量。如果，方程组正好与未知数数目相等，当噪声时，就能准确地解出 (5.1.9) 如果噪声，则 (5.1.10) 从上式可以看出噪声对参数估计是有影响的，为了尽量较小噪声对估值的影响。在给定输出向量和测量矩阵的条件下求系统参数的估值，这就是系统辨识问题。可用最小二乘法来求的估值，以下讨论最小二乘法估计。 2. 最小二乘法估计算法 设表示的最优估值，表示的最优估值，则有 (5.1.11) 写出式(5.1.11)的某一行，则有 (5.1.12) 设表示与之差，即 - (5.1.13) 式中 成为残差。把分别代入式(5.1.13)可得残差。设 则有 (5.1.14) 最小二乘估计要求残差的平方和为最小，即按照指数函数 (5.1.15) 为最小来确定估值。求对的偏导数并令其等于0可得 (5.1.16) (5.1.17) 由式(5.1.17)可得的最小二乘估计 (5.1.18) 3.递推最小二乘法 为了实现实时控制，必须采用递推算法，这种辨识方法主要用于在线辨识。 设已获得的观测数据长度为，将式(5.1.8)中的和分别用来代替， 即 (5.3.1) 用的最小二乘估计，则 (5.3.2) 小学二年级上册数学乘法口算题 一、填空 二（）一十（）九六十三七九 （） 四（）二十八（）八三十二二九 （） 三（）十五（）七二十一三六（）五（）四十五（）六十八二八（）六（）四十二（）八四十四九 （） 七（）六十三（）七四十二三（）二十 四 四六（） ( ）二十五（）九四十五 六九（）八（）七十二（）八四十八 三（）二十一（）五三十五四七 （） 五（）四十三九（）四（）三十六 （）六三十三三（）三八 （） 四（）二十（）四得八九九 （） 六（）五十四（）七三十五三六 （） 五（）四十五（）七四十二七九 （） 三（）十二（）七四十九六八 （） 八（）六十四（）八五十六四八 （） 七（）五十六二七（）三（）二十 七 六七（）（）十六三五（） 三四（）四五 （） 二计算并写出口诀 2×3=口诀3×4=口 诀4×3=口诀 5×3=口诀2×5=口 诀5×5=口诀 4×3 =口诀5×5=口 诀3×5=口诀 （）×2=4口诀（）×3=15口诀（）×3=15口诀 6+6+6+6+6=（）×（）口诀 2+2+2+2+2+2=（）×（）口诀 二、按要求画一画，再填一填。 1、画△，每堆画2个，画3堆。 2、画○，每堆画3个，画4堆。 加法算式：加法算 式： 乘法算式：乘法算 式： 口诀：口诀 三、看图写算式 1、△△△△△△□×□=□ 2、△△△△△△△□×□○□=□（个） 3、∕∕∕∕∕∕∕∕∕∕∕一共有多少根∕？□○□○□=□（根） 4、☆☆☆☆☆☆☆乘加算式: 乘减算 式: 5、看图写出两道乘法算式和一句口诀。△△△△△△△△△△△△ 乘法算式：或口 诀： 四、在○里填上“＜”、“＞”或“＝”。w 4×1○53×3○65×5○6×42×1+2○1×3+1 6 +6○6×6 五、在○里填上“+”、“—”或“×” 3○3=64○3=7 2○3=63○1=21○1=15○1=4 六、列乘法算式计算 1、一个乘数是3，一个乘数是6，积是多少？ 2、6个3相加的和是多少？ 3、两个乘数都是4，积是多少？ 七、解决问题 1、李马睿有6个苹果，马羽茜有1个苹果，两人一共有多少个苹果？ 2、何怡萍和夏何伟都浇了5盆花，他们一共浇了多少盆花？二年级数学上册乘法口诀
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