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专业题材二-立体几何-线面垂直,面面垂直

专题二：立体几何---线面垂直、面面垂直一、知识点

（1）线面垂直性质定理

（2）线面垂直判定定理

（3）面面垂直性质定理

（2）面面垂直判定定理

线面垂直的证明中的找线技巧

通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直

1．如图1，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1A O ⊥平面MBD ．

证明：连结MO ，1A M ，∵DB ⊥1A A ，DB ⊥AC ，1A A AC A =I ，

∴DB ⊥平面11A ACC ，而1

AO ?平面11A ACC ∴DB ⊥1A O ．设正方体棱长为a ，则22132A O a =

，223

4MO a =．在Rt △11A C M 中，22194

A M a =．∵222

11A O MO A M +=，∴

AO OM ⊥． ∵OM ∩DB =O ，∴ 1A O ⊥平面MBD ．评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明．

利用面面垂直寻求线面垂直

2．如图2，P 是△ABC 所在平面外的一点，且P A ⊥平面ABC ，平面P AC ⊥平面PBC ．求证：BC ⊥平面P AC ．

证明：在平面P AC 内作AD ⊥PC 交PC 于D ．

因为平面P AC ⊥平面PBC ，且两平面交于PC ，

AD ?平面P AC ，

且AD ⊥PC ，由面面垂直的性质，得AD ⊥平面PBC ．又∵BC ?平面PBC ，∴AD ⊥BC ．

∵P A ⊥平面ABC ，BC ?平面ABC ，∴P A ⊥BC ． ∵AD ∩P A =A ，∴BC ⊥平面P AC ．

评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直

线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直?线面垂直?线线垂直．

一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直

???→←???判定性质线面垂直???→←???判定性质

面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．下面举例说明．

3．如图１所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB SC SD

，，于E F G

，，．求证：AE SB

⊥，AG SD

⊥．

证明：∵SA⊥平面ABCD，

∴SA BC

⊥．∵AB BC

⊥，∴BC⊥平面SAB．又∵AE?平面SAB，∴BC AE

⊥．∵SC⊥平面AEFG，∴SC AE

⊥．∴AE⊥平面SBC．∴AE SB

⊥．同理可证AG SD

⊥．评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化．

4．如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，

作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．

证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．

∵AC BC

=，∴CF AB

⊥．

∵AD BD

=，∴DF AB

⊥．

又CF DF F

I，∴AB⊥平面CDF．

∵CD?平面CDF，∴CD AB

⊥．

又CD BE

⊥，BE AB B

I，

∴CD⊥平面ABE，CD AH

⊥．

∵AH CD

⊥，AH BE

⊥，CD BE E

I，

∴AH⊥平面BCD．

评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复，直到证得结论．

5．如图３，AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA⊥平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC．

⊥．

证明：∵AB是圆Ｏ的直径，∴AC BC

∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，

⊥．∴BC⊥平面APC．

∴PA BC

∵BC?平面PBC，

∴平面APC⊥平面PBC．

∵AE⊥PC，平面APC∩平面PBC＝PC，

∴AE⊥平面PBC．

∵AE?平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC．

评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平

面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻

找线线垂直的关系．

10．如图, 在空间四边形SABC中, SA⊥平面ABC, ∠ABC = 90?, AN⊥SB于N, AM⊥SC于M。求证: ①AN⊥BC;②SC⊥平面ANM

分析:

①要证AN⊥BC, 转证, BC⊥平面SAB。

②要证SC⊥平面ANM, 转证, SC垂直于平面ANM内的两条相交直线, 即证SC⊥AM, SC⊥AN。要证SC⊥AN, 转证AN⊥平面SBC, 就可以了。

证明:

①∵SA⊥平面ABC

∴SA⊥BC

又∵BC⊥AB, 且AB SA = A

∴BC⊥平面SAB

∵AN平面SAB

∴AN⊥BC

②∵AN⊥BC, AN⊥SB, 且SB BC = B

∴AN⊥平面SBC

∵SCC平面SBC

∴AN⊥SC

又∵AM⊥SC, 且AM AN = A

∴SC⊥平面ANM

［例2］如图9—40，在三棱锥S —ABC 中，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC ．

图9—40

（1）求证：AB ⊥BC ；（1）【证明】作AH ⊥SB 于H ，∵平面SAB ⊥平面SBC ．平面SAB ∩平面SBC=SB ，∴AH ⊥平面SBC ，

又SA ⊥平面ABC ，∴SA ⊥BC ，而SA 在平面SBC 上的射影为SB ，∴BC ⊥SB ，又SA ∩SB=S ，

∴BC ⊥平面SAB ．∴BC ⊥AB ．

［例3］如图9—41，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，PA=AD=a ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点．

求证：平面MND ⊥平面PCD

【证明】取PD 中点E ，连结EN ，EA ，则EN 21CD

AM ，∴四边形ENMA 是平行四边形，∴EA ∥MN ．

∵AE ⊥PD ，AE ⊥CD ，∴AE ⊥平面PCD ，从而MN ⊥平面PCD ，∵MN 平面MND ，∴平面MND ⊥平面PCD ．

【注】证明面面垂直通常是先证明线面垂直，本题中要证MN ⊥平面PCD 较困难，转化为证明AE ⊥平面PCD 就较简单了．另外，在本题中，当AB 的长度变化时，可求异面直线PC 与AD 所成角的范围．

［例4］如图9—42，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、M 、N 分别是A 1B 1、BC 、C 1D 1、B 1C 1的中点．

图9—42

求证：平面MNF ⊥平面ENF ．

【证明】∵M 、N 、E 是中点，∴M C NC N B EB 1111===∴?=∠=∠45MNC ENB 11 ∴?=∠90MNE 即MN ⊥EN ，又NF ⊥平面A 1C 1，11C A MN 平面?∴MN ⊥NF ，从而MN ⊥平面ENF ．∵MN ?平面MNF ，

∴平面MNF ⊥平面ENF ．

4．如图9—45，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形，PA ⊥底面ABCD ，E 为AB 的中点，且PA=AB ．

图9—45

（1）求证：平面PCE ⊥平面PCD ；（2）求点A 到平面PCE 的距离．（1）【证明】PA ⊥平面ABCD ，AD 是PD 在底面上的射影，

又∵四边形ABCD 为矩形，∴CD ⊥AD ，∴CD ⊥PD ，∵AD ∩PD=D ∴CD ⊥面PAD ，∴∠PDA 为二面角P —CD —B 的平面角，

∵PA=PB=AD ，PA ⊥AD ∴∠PDA=45°，取Rt △PAD 斜边PD 的中点F ，则AF ⊥PD ，∵AF ?面PAD ∴CD ⊥AF ，

又PD ∩CD=D ∴AF ⊥平面PCD ，取PC 的中点G ，连GF 、AG 、EG ，则GF 21CD

又AE

CD ，

∴GF AE ∴四边形AGEF 为平行四边形∴AF ∥EG ，∴EG ⊥平面PDC 又EG ?平面PEC ，

∴平面PEC ⊥平面PCD ．

（2）【解】由（1）知AF ∥平面PEC ，平面PCD ⊥平面PEC ，过F 作FH ⊥PC 于H ，则FH ⊥平面PEC

∴FH 为F 到平面PEC 的距离，即为A 到平面PEC 的距离．在△PFH 与 △PCD 中，∠P 为公共角，

而∠FHP=∠CDP=90°，∴△PFH ∽△PCD ．∴PC PF

FH =

，设AD=2，∴PF=2，PC=32482

=+=+CD PD ，

∴FH=3623

22=

?∴A 到平面PEC 的距离为36．

【拓展练习】一、备选题

1．如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；

（2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．

（1）【证明】∵C 是AB 为直径的圆O 的圆周上一点，AB 是圆O 的直径 ∴BC ⊥AC ；

又PA ⊥平面ABC ，BC ?平面ABC ， ∴BC ⊥PA ，从而BC ⊥平面PAC ． ∵BC ?平面PBC ，

∴平面PAC ⊥平面PBC ．（2）【解】平面PAC ⊥平面ABCD ；平面PAC ⊥平面PBC ；平面PAD ⊥平面PBD ；平面PAB ⊥平面ABCD ；平面PAD ⊥平面ABCD ．

2．ABC —A ′B ′C ′是正三棱柱，底面边长为a ，D ，E 分别是BB ′，CC ′上的一点，

BD ＝21

a ，EC ＝a ．

（1）求证：平面ADE ⊥平面ACC ′A ′；（2）求截面△ADE 的面积．

（1）【证明】分别取A ′C ′、AC 的中点M 、N ，连结MN ，则MN ∥A ′A ∥B ′B ，

∴B ′、M 、N 、B 共面，∵M 为A ′C ′中点，B ′C ′=B ′A ′，∴B ′M ⊥A ′C ′，又B ′M ⊥AA ′且AA ′∩A ′C ′=A ′

∴B ′M ⊥平面A ′ACC ′．设MN 交AE 于P ，

∵CE ＝AC ，∴PN ＝NA ＝2a

．

又DB ＝21

a ，∴PN ＝BD ．

∵PN ∥BD ， ∴PNBD 是矩形，于是PD ∥BN ，BN ∥B ′M ， ∴PD ∥B ′M ．

∵B ′M ⊥平面ACC ′A ′，

∴PD ⊥平面ACC ′A ′，而PD ?平面ADE ， ∴平面ADE ⊥平面ACC ′A ′．（2）【解】∵PD ⊥平面ACC ′A ′，

∴PD ⊥AE ，而PD ＝B ′M ＝23a ，

AE ＝2a ．

∴S △ADE ＝21

×AE ×PD ＝21

×246232a

a a =?．

二、练习题

线面垂直与面面垂直典型例题

线面垂直与面面垂直基础要点 1、若直线αβ所成的角相等，则平面αβ B ） A 、//αβ B 、α不一定平行于β C 、α不平行于β D 、以上结论都不正确 2、在斜三棱柱111ABC A B C -,90BAC ∠=,又1BC AC ⊥,过1C 作1C H ⊥底面ABC ，垂足为H ，则H 一定在（ B ） A 、直线AC 上 B 、直线AB 上 C 、直线BC 上 D 、△ABC 的内部 3、如图示，平面α⊥平面β，,,A B AB αβ∈∈与两平面,αβ所成的角分别为4π和6 π ，过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为,A B ''，则:AB A B ''=（ A ） A 、2:1 B 、3:1 C 、3:2 D 、4:3 4、如图示，直三棱柱11ABB DCC -中，190,4ABB AB ∠==, 12,1BC CC ==DC 上有一动点P ，则△1APC 周长的最小值是 5.已知长方体1111D C B A ABCD -中，21==AB A A , 若棱AB 上存在点P ，使得PC P D ⊥1,则棱AD 长的取值范围是。题型一：直线、平面垂直的应用 1.（2014，江苏卷）如图，在三棱锥P-ABC 中，D ，E ，F 分别为 PC ，AC ，AB 的中点. 已知,685PA AC PA BC DF ⊥===，，. 求证：(1) PA DEF 平面；(2) BDE ABC ⊥平面平面 . 证明： (1) 因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点，所以DE ∥PA. 又因为PA ? 平面DEF ，DE ?平面DEF ，所以直线PA ∥平面DEF. (2) 因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，PA ＝6，BC ＝8，所以DE ∥PA ，DE ＝ 12PA ＝3，EF ＝1 2 BC ＝4. 又因 DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2，所以∠DEF ＝90°，即DE 丄EF. 又PA ⊥AC ，DE ∥PA ，所以DE ⊥AC. 因为AC∩EF ＝E ，AC ?平面ABC ，EF ?平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC. 线面垂直线线垂直面面垂直 B` A` B A α β A B C D 1 B 1 C B 1 1 D A D B A

立体几何题经典例题

D E A F B C O O 1 M D C A S 15．如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，已知AB =1，D 在棱BB 1上，且BD =1，则AD 与平面 AA 1C 1C 所成角的正弦值为 . 6．已知正三棱柱111C B A ABC -的棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点. （1）在直线1CC 上求一点N ，使1AB MN ⊥；（2）当1AB MN ⊥时，求点1A 到平面AMN 的距离. （3）求出1AB 与侧面11A ACC 所成的角θ的正弦值． 7. 如图所示，AF 、DE 分别是1O O ⊙、 ⊙的直径．AD 与两圆所在的平面均垂直，8=AD ．BC 是O ⊙的直径，AD OE AC AB //,6==．（1）求二面角F AD B --的大小；（2）求直线BD 与EF 所成角的余弦值． 8．如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直．点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若 a BN CM ==)20(<

18.（本小题满分12分）已知矩形ABCD 与正三角形AED 所在的平面互相垂直， M 、N 分别为棱BE 、AD 的中点， 1=AB ,2=AD ， (1)证明：直线//AM 平面NEC ； (2)求二面角D CE N --的大小． 19．(本小题满分12分) 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是直角梯形， 2 π = ∠=∠ABC DAB ，且22===AD BC AB ，侧面 ⊥PAB 底面ABCD ，PAB ?是等边三角形． (1)求证：PC BD ⊥； (2)求二面角D PC B --的大小． 15、(北京市东城区2008年高三综合练习一）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =BB 1，直线B 1C 与平面ABC 成30°角. （I ）求证：平面B 1AC ⊥平面ABB 1A 1；（II ）求直线A 1C 与平面B 1AC 所成角的正弦值；（III ）求二面角B —B 1C —A 的大小. 52、(河南省濮阳市2008年高三摸底考试)如图，在多面体ABCDE 中，AE ⊥面ABC ，BD ∥AE ，且AC ＝AB ＝BC ＝BD ＝2，AE ＝1，F 为CD 中点． (1)求证：EF ⊥面BCD ； (2)求面CDE 与面ABDE 所成的二面角的余弦值． A B C D M N 第18题图