高一数学函数人教版知识精讲

高一数学函数人教版

【同步教育信息】

一. 本周教学内容：

函数

二. 学习目标：

1. 理解函数的概念。

2. 掌握函数的三种主要表示方法。

3. 会求一些简单函数的定义域、解析式和值域。

三. 知识讲解：

1. 函数的概念

如果A 、B 都是非空的数集，则A 到B 的映射B A f →:称为A 到B 的函数，记作)(x f y =，其中A x ∈，B y ∈，原象集合叫做函数)(x f y =的定义域，象的集合C 叫做函数)(x f y =的值域。有时也记作)(A f C =，B C ⊆。

2. 函数的表示方法

函数常见的表示法有解析法，列表法和图象法三种。

【典型例题】

[例1] 求下列函数的定义域

（1）02

)2(1

4-+--=x x x y 解：依题意，有⎪⎩

⎪⎨⎧≠-≠-≥-0201042x x x 解之，得⎪⎩⎪⎨⎧≠≠≤≤-2122x x x

故原函数定义域为[)()2,11,2⋃-

[例2] 试问当k 为何值时，函数1

212++-=kx kx kx y 的定义域为R 。 解：

（1）当0=k 时，原函数即1-=y ，即x 取何值实数时，y 都有意义，故此时定义域为R 。

（2）当0≠k 时，分母为++kx kx 221，令12)(2

++=kx kx x f ，则)(x f 恒不为0的充要条件为0<∆，即04)2(2

<-k k 。解之得10<

[例3] 已知函数)(x f 的定义域为]2,1[-，求下列函数的定义域。 （1）)()(x f x f -- （2）)()(a x f a x f -++（0>a ）

解：

（1）由⎩⎨⎧≤-≤-≤≤-2121x x ⎩

⎨⎧≤≤-≤≤-⇔1221x x 11≤≤-⇔x ，即定义域为]1,1[- （2）由⎩⎨⎧+≤≤+--≤≤--⇔⎩⎨⎧≤-≤-≤+≤-a

x a a x a a x a x 21212121

① 当a a -<+-21，即2

30<

1=x ③ 当a a ->+-21，即2

3>a 时，φ∈x 综上，当230<

1}；当2

3>

a 时，定义域φ。 [例4] 以下与函数122+=x y 不相同的函数为（ ） A. 122++=x x y

B. 22)12(+=x y

C. 122+=x y

D. 1

)1)(12(2+++=x x x y 解：函数是由定义域和对应法则确定的，因此函数是否相同也就是函数的定义域和对应法则是否相同。

由选择当中D 中函数122

+=x y ，定义域为（∞-，1-）⋃（1-，∞+），而已知函数12+=x y 的定义域为（∞-，∞+），因此尽管两个函数解析式相同，但由于定义域不同，故它们是不同的函数，所以应该选择D 。

[例5] 已知)(x f 是一次函数，且14)]([-=x x f f ，求)(x f 的解析式。

解：对已知类型的函数，在求其解析式时常使用待定系数法。

设b ax x f +=)(，则b x af x f f +=)()]([b b ax a ++=)()(2b ab x a ++= 又由14)(-=x x f ，比较系数，有⎩⎨⎧-=+=142b ab a 解之得⎪⎩

⎪⎨⎧-==312b a 或⎩⎨⎧=-=12b a 所以，得3

12)(-=x x f 或12)(+-=x x f 。

【模拟试题】

1. 设对于一切0>x ，0>y ，函数)()()(y f x f xy f +=，设a f =)2(，b f =)3(，则用a ，b 表示的)72(f 为 。

2. 已知函数32)(+=

x cx x f （2

3-≠x ）满足x x f f =)]([，则c 等于（ ） A. 3 B. 3- C. 3或3- D. 5或3-

3. 已知13)(-=x x f ，32)(+=x x g ，且)()]([x g x h f =，则=)(x h 。

4. 若⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=00001)(x x x x x f π，则=-)]}21([{f f f 。

5. 已知)(x f 的定义域为[1，2]，求F )12()(+=x f x 的定义域 。

6. 函数x x x y -+=0

)1(的定义域是 。

【试题答案】

1. b a 23+

2. B

3. )2(32+x

4. 1+π

5. ]2

1,0[ 6.（∞-，1-）⋃（1-，0）