基本初等函数
一．【要点精讲】 1．指数与对数运算 （1）根式的概念：
①定义：若一个数的n 次方等于),1(*
∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。即若
a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且，
1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；
2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作
)0(>±a a n
②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a n
n =；
3）当n 为偶数时，???<-≥==)
0()
0(||a a a a a a n 。
（2）．幂的有关概念
①规定：1）∈???=n a a a a n
(ΛN *
；2）)0(10
≠=a a ；
n 个 3）∈=-p a
a p p
(1
Q ，4）m a a a n m n m
,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s
r s
r
,0(>=?+、∈s Q ）；
2）r a a
a s
r s
r ,0()(>=?、∈s Q ）；
3）∈>>?=?r b a b a b a r
r
r ,0,0()( Q ）。 （注）上述性质对r 、∈s R 均适用。
（3）．对数的概念
①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数
1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ；
2）以无理数)71828.2(Λ=e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ； ②基本性质：
1）真数N 为正数（负数和零无对数）；2）01log =a ；
3）1
log=
a
a
；4）对数恒等式：N
a N a=
log。
③运算性质：如果,0
,0
,0
,0>
>
≠
>N
M
a
a则
1）N
M
MN
a
a
a
log
log
)
(
log+
=；
2）N
M
N
M
a
a
a
log
log
log-
=；
3）∈
=n
M
n
M
a
n
a
(
log
log R）
④换底公式：),
,1
,0
,0
,0
(
log
log
log>
≠
>
≠
>
=N
m
m
a
a
a
N
N
m
m
a
1）1
log
log=
?a
b
b
a
；2）b
m
n
b
a
n
a m
log
log=。
2．指数函数与对数函数
（1）指数函数：
①定义：函数)1
,0
(≠
>
=a
a
a
y x且称指数函数，
1）函数的定义域为R；2）函数的值域为)
,0(+∞；
3）当1
0<
> a时函数为增函数。 ②函数图像： 1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限； 2）指数函数都以x轴为渐近线（当1 0< > a时，图象向右无限接近x轴）； 3）对于相同的)1 ,0 (≠ >a a a且，函数x x a y a y- = =与的图象关于y轴对称 ③函数值的变化特征： 1 0< > a ① 1 0< < >y x时 ， ② 1 0= =y x时 ， ③ 1 0> x时 ① 1 0> >y x时 ， ② 1 0= =y x时 ， ③ 1 0< < x时 ， （2）对数函数： ①定义：函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且称对数函数， 1）函数的定义域为),0(+∞；2）函数的值域为R ； 3）当10<a 时函数为增函数； 4）对数函数x y a log =与指数函数)1,0(≠>=a a a y x 且互为反函数 ②函数图像： 1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限； 2）对数函数都以y 轴为渐近线（当10<a 时，图象向下无限接近y 轴）； 4）对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x y x y a a 1log log ==与的图象关于x 轴对称。 ③函数值的变化特征： （3）幂函数 1）掌握5个幂函数的图像特点 2）a>0时，幂函数在第一象限内恒为增函数，a<0时在第一象限恒为减函数 3）过定点（1，1）当幂函数为偶函数过（-1,1）,当幂函数为奇函数时过（-1，-1） 当a>0时过（0，0） 4）幂函数一定不经过第四象限 10<a ①01<>y x 时， ②01==y x 时， ③010>< ②01==y x 时， ③100<< 四．【典例解析】 题型1：指数运算 例1．（1）计算：25.021 21 32 5.032 0625.0])32.0()02.0()008.0()9 45()833[(÷?÷+---； （2）化简： 5332 33 23 23323 134)2(248a a a a a b a a ab b b a a ??? -÷++-- 。 解：（1）原式=4 1 32 21 32 )10000 625(]102450)81000( )949()278[(÷?÷+- 92 2)2917(21]10 24251253794[=?+-=÷??+-=； （2）原式= 5 131212 13231312 313 13 12 31 3 3133131)() (2) 2()2()(])2()[(a a a a a b a b b a a b a a ???-÷ +?+- 23 23 16 1653 13 13 131312)2(a a a a a a b a a b a a =??=? -? -=。 点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；一般的进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。 例2．（1）已知112 2 3x x -+=，求 22332 2 23 x x x x --+-+-的值 解：∵1 12 2 3x x - +=， ∴112 2 2()9x x - +=， ∴129x x -++=， ∴1 7x x -+=， ∴12 ()49x x -+=， ∴22 47x x -+=， 又∵331112 2 2 2 ()(1)3(71)18x x x x x x - - -+=+?-+=?-=， ∴ 22332 2 2472 3183 3 x x x x --+--= =-+-。 点评：本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。 题型2：对数运算 （2）.(江苏省南通市2008届高三第二次调研考试)幂函数()y f x =的图象经过点1(2,)8 --，则满足()f x ＝27的x 的值是 . 答案 13 例3．计算 （1）2 (lg 2)lg 2lg 50lg 25+?+；（2）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+?+； （3）1 .0lg 2 1 036.0lg 21600lg )2(lg 8000lg 5lg 23--+? 解：（1）原式2 2 (lg 2)(1lg5)lg 2lg5(lg 2lg51)lg 22lg5=+++=+++ (11)lg 22lg52(lg 2lg5)2=++=+=； （2）原式lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3( )()()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2=+?+=+?+ 3lg 25lg 35 2lg 36lg 24 = ?=； （3）分子=3)2lg 5(lg 2lg 35lg 3)2(lg 3)2lg 33(5lg 2 =++=++； 分母=4100 6 lg 26lg 101100036lg )26(lg =-+=?-+； ∴原式= 4 3 。 点评：这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧 例4．设a 、b 、c 为正数，且满足222 a b c += （1）求证：22log (1)log (1)1b c a c a b +-+ ++=； （2）若4log (1)1b c a ++=，82 log ()3 a b c +-=，求a 、b 、c 的值。 证明：（1）左边2 22log log log ()a b c a b c a b c a b c a b a b +++-+++-=+=? 2222222 2222()22log log log log 21a b c a ab b c ab c c ab ab ab +-++-+-=====； 解：（2）由4log (1)1b c a ++ =得14b c a ++=， ∴30a b c -++=……………① 由82 log ()3 a b c +-=得2 384a b c +-==………… ……………② 由①+②得2b a -=……………………………………③ 由①得3c a b =-，代入222a b c +=得2(43)0a a b -=， ∵0a >， ∴430a b -=………………………………④ 由③、④解得6a =，8b =，从而10c =。 点评：对于含对数因式的证明和求值问题，还是以对数运算法则为主，将代数式化简到最见形式再来处理即可。 题型3：指数、对数方程 例5．(江西师大附中2009届高三数学上学期期中) 已知定义域为R 的函数a b x f x x ++-=+122)(是奇函数. （1）求a,b 的值； （2）若对任意的R t ∈，不等式0)2()2(2 2 <-+-k t f t t f 恒成立，求k 的取值范围. 解 （1） 因为)(x f 是R 上的奇函数，所以1,021,0)0(==++-=b a b f 解得即 从而有.212)(1a x f x x ++-=+ 又由a a f f ++--=++---=112 141 2)1()1(知，解得2=a （2）解法一：由（1）知,121 212 212)(1 ++-=++-=+x x x x f 由上式易知)(x f 在R 上为减函数，又因)(x f 是奇函数，从而不等式 0)2()2(22<-+-k t f t t f 等价于).2()2()2(222k t f k t f t t f +-=--<- 因)(x f 是R 上的减函数，由上式推得.2222k t t t +->- 即对一切,0232 >--∈k t t R t 有从而3 1,0124- <<+=?k k 解得 解法二：由（1）知,221 2)(1 ++-=+x x x f 又由题设条件得02 21 2221212212222 22<++-+++-+--+--k t k t t t t t 即0)12)(22()12)(22 (2 2 2 221 221 2<+-+++-+-+--+-k t t t t t k t 整理得12 232>--k t t ，因底数2>1，故0232>--k t t 上式对一切R t ∈均成立，从而判别式.3 1 ,0124-<<+=?k k 解得 例6．（2008广东 理7） 设a ∈R ，若函数3ax y e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ B ） A ．3a >- B ．3a <- C ．13 a >- D ．13 a <- 【解析】'()3ax f x ae =+，若函数在x R ∈上有大于零的极值点，即'()30 ax f x ae =+=有正根。当有'()30ax f x ae =+=成立时,显然有0a <,此时13 ln()x a a = -，由0x >我们马上就能得到参数a 的范围为3a <-. 点评：上面两例是关于含指数式、对数式等式的形式，解题思路是转化为不含指数、对数 因式的普通等式或方程的形式，再来求解。 题型4：指数函数的概念与性质 例7．设12 32,2()((2))log (1) 2. x e x f x f f x x -??=?-≥??＜， 则的值为，（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解：C ；1)12(log )2(2 3=-=f ，e e f f 22))2((10= =-。 点评：利用指数函数、对数函数的概念，求解函数的值 例8．已知 )1,0()(log 1 ≠>+=-a a x x x f a 且试求函数f (x )的单调区间。 解：令 t x a =log ，则x =t a ，t ∈R 。 所以t a a t f -+'=)(即x x a a x f -+=)(，（x ∈R ）。 因为f (－x )=f (x )，所以f (x )为偶函数，故只需讨论f (x )在[0，+∞）上的单调性。 任取1x ，2x ，且使210x x ≤≤，则 )()(12x f x f - )()(1122x x x x a a a a --+-+= 212121) 1)((x x x x x x a a a a ++--= （1）当a >1时，由210x x ≤≤，有210x x a a <<，12 1>+x x a ，所以0)()(12>-x f x f ，即f (x )在[0，+∞]上单调递增。 （2）当0 1<+x x a ，所以0)()(12>-x f x f ， 即f (x )在[0，+∞]上单调递增。 综合所述，[0，+∞]是f (x )的单调增区间，（－∞，0）是f (x )的单调区间。 点评：求解含指数式的函数的定义域、值域，甚至是证明函数的性质都需要借助指数函数的性质来处理。特别是分10,1<<>a a 两种情况来处理。 题型5：指数函数的图像与应用 例9．若函数m y x +=-|1|)2 1(的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≤－1 B ．－1≤m<0 C ．m ≥1 D ．0 解：?? ???<≥==---) 1(2) 1()21()2 1 (11| 1|x x y x x x Θ， 画图象可知－1≤m<0。 答案为B 。 点评：本题考察了复杂形式的指数函数的图像特征，解题的出发点仍然是1,0,1<>a a 两种情况下函数x a y =的图像特征。 例10．设函数x x f x f x x 22)(,2 )(| 1||1|≥=--+求使的取值范围。 解：由于2x y =是增函数，()22f x ≥等价于3 |1||1|2 x x +--≥ ① 1)当1x ≥时，|1||1|2x x +--=，∴①式恒成立； 2)当11x -<<时，|1||1|2x x x +--=，①式化为322x ≥，即3 14 x ≤<； 3)当1x ≤-时，|1||1|2x x +--=-，①式无解； 综上x 的取值范围是3 ,4??+∞???? 。 点评：处理含有指数式的不等式问题，借助指数函数的性质将含有指数式的不等式转化为普通不等式问题（一元一次、一元二次不等式）来处理 题型6：对数函数的概念与性质 例11．（1）函数2log 2-=x y 的定义域是（ ） A ．),3(+∞ B ．),3[+∞ C ．),4(+∞ D ．),4[+∞ （2）（2006湖北）设f(x)＝x x -+22lg ，则)2 ()2(x f x f +的定义域为（ ） A ．），（），（－4004Y B ．(－4,－1)Y (1，4) C ．(－2,－1)Y (1，2) D ．(－4,－2)Y (2，4) 解：（1）D （2）B 。 点评：求函数定义域就是使得解析是有意义的自变量的取值范围，在对数函数中只有真数大于零时才有意义。对于抽象函数的处理要注意对应法则的对应关系。 例12．（2009广东三校一模）设函数()()()x x x f +-+=1ln 212 . (1)求()x f 的单调区间; (2)若当?? ????--∈1,11e e x 时,(其中Λ718.2=e )不等式()m x f <恒成立,求实数m 的取值范围; (3)试讨论关于x 的方程:()a x x x f ++=2 在区间[]2,0上的根的个数. 解 （1）函数的定义域为(),,1+∞-()()()1 221112++=????? ?+-+='x x x x x x f . 1分 由()0>'x f 得0>x ; 2分 由()0<'x f 得01<<-x , 3分 则增区间为()+∞,0,减区间为()0,1-. 4分 (2)令()(),0122=++='x x x x f 得0=x ,由(1)知()x f 在?? ? ???-0,11e 上递减,在[]1,0-e 上递 增, 6分 由,21 112+=??? ??-e e f ()212-=-e e f ,且21222+>-e e , 8分 ?? ? ???--∈∴1,11e e x 时,()x f 的最大值为22-e ,故22->e m 时,不等式()m x f <恒成 立. 9分 (3)方程(),2 a x x x f ++=即()a x x =+-+1ln 21.记()()x x x g +-+=1ln 21,则 ()1 1 121+-= +- ='x x x x g .由()0>'x g 得1>x ;由()0<'x g 得11<<-x . 所以g(x)在[0,1]上递减，在[1，2]上递增. 而g(0)=1，g(1)=2-2ln2，g(2)=3-2ln3，∴g(0)＞g(2)＞g(1) 10分 所以，当a ＞1时，方程无解； 当3-2ln3＜a ≤1时，方程有一个解， 当2-2ln2＜a ≤a ≤3-2ln3时，方程有两个解； 当a=2-2ln2时，方程有一个解； 当a ＜2-2ln2时，方程无解. 13分 字上所述，a )2ln 22,(),1(--∞+∞∈Y 时，方程无解； ]1,3ln 23(-∈a 或a=2-2ln2时，方程有唯一解； ]3ln 23,2ln 22(--∈a 时，方程有两个不等的解. 14分 例13．当a >1时，函数y =log a x 和y =(1－a )x 的图象只可能是( ) 解：当a>1时，函数y=log a x的图象只能在A和C中选， 又a>1时，y=(1－a)x为减函数。 答案：B 点评：要正确识别函数图像，一是熟悉各种基本函数的图像，二是把握图像的性质，根据图像的性质去判断，如过定点、定义域、值域、单调性、奇偶性 例14．设A、B是函数y= log2x图象上两点, 其横坐标分别为a和a+4, 直线l: x=a+2与函数y= log2x图象交于点C, 与直线AB交于点D。 （1）求点D的坐标； （2）当△ABC的面积大于1时, 求实数a的取值范围 解：（1）易知D为线段AB的中点, 因A(a, log2a ), B(a+4, log2(a+4))， 所以由中点公式得D(a+2, log2)4 (+ a a )。 （2）S△ABC=S梯形AA′CC′+S梯形CC′B′B- S梯形AA′B′B=…= log2 )4 ( )2 (2 + + a a a , 其中A′,B′,C′为A,B,C在x轴上的射影。 由S△ABC= log2 )4 ( )2 (2 + + a a a >1, 得0< a<22－2。 点评：解题过程中用到了对数函数性质，注意底数分类来处理，根据函数的性质来处理复杂问题。 题型8：指数函数、对数函数综合问题 例15．在xOy平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,P n(a n,b n)…，对每个自然数n点P n 位于函数y=2000( 10 a )x(0 (1)求点P n的纵坐标b n的表达式； (2)若对于每个自然数n，以b n,b n+1,b n+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围； (3)设C n=lg(b n)(n∈N*),若a取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列{C n}前多少项的和 最大？试说明理由 解：(1)由题意知：a n=n+ 2 1 ,∴b n=2000( 10 a )2 1 + n 。 (2)∵函数y=2000( 10 a )x(0 ∴对每个自然数n,有b n>b n+1>b n+2。 则以b n,b n+1,b n+2为边长能构成一个三角形的充要条件是b n+2+b n+1>b n， 即( 10 a )2+( 10 a )－1>0， 解得a <－5(1+2)或a >5(5－1)。 ∴5(5－1) ∴b n =2000(10 7)21 + n 。数列{b n }是一个递减的正数数列， 对每个自然数n ≥2,B n =b n B n －1。 于是当b n ≥1时，B n 因此数列{B n }的最大项的项数n 满足不等式b n ≥1且b n +1<1， 由b n =2000(10 7)21 + n ≥1得：n ≤20。 ∴n =20。 点评：本题题设从函数图像入手，体现数形结合的优越性，最终还是根据函数性质结合数列知识，以及三角形的面积解决了实际问题。 例16．已知函数1,0)((log )(≠>-=a a x ax x f a 为常数） （1）求函数f (x )的定义域； （2）若a =2，试根据单调性定义确定函数f (x )的单调性 （3）若函数y =f (x )是增函数，求a 的取值范围。 解：（1）由ax x x ax <>-得0 ∵a ＞0，x ≥0 2 2 2 10a x x a x x > ??? ?<≥∴ ∴f (x )的定义域是),1 ( 2+∞∈a x 。 （2）若a =2，则)2(log )(2x x x f -= 设4 1 21> >x x ， 则 0]1)(2)[()()(2)2()2(212121212211>-+-=---=---x x x x x x x x x x x x )()(21x f x f >∴ 故f (x )为增函数。 （3）设11212 21>>> >x a x a a x x 则 0]1)()[()()()()(212121212211>-+-=---=---∴x x a x x x x x x a x ax x ax 2211x ax x ax ->-∴ ① ∵f (x )是增函数， ∴f (x 1)＞f (x 2) 即)(log )(log 2211x ax x ax a a ->- ② 联立①、②知a ＞1， ∴a ∈(1，+∞)。 点评：该题属于纯粹的研究复合对函数性质的问题，我们抓住对数函数的特点，结合一般函数求定义域、单调性的解题思路，对“路”处理即可 题型9：课标创新题 例17．对于在区间[]n m ,上有意义的两个函数f (x )与g (x )，如果对任意的∈x []n m ,，均有1)()(≤-x g x f ，则称f (x )与g (x )在[]n m ,上是接近的，否则称f (x )与g (x )在[]n m ,上是非接近的，现有两个函数)3(log )(1a x x f a -=与)1,0(1 log )(2≠>-=a a a x x f a ，给定区间[]3,2++a a 。 （1）若)(1x f 与)(2x f 在给定区间[]3,2++a a 上都有意义，求a 的取值范围； （2）讨论)(1x f 与)(2x f 在给定区间[]3,2++a a 上是否是接近的。 解：（1）两个函数)3(log )(1a x x f a -=与)1,0(1 log )(2≠>-=a a a x x f a 在给定区间[]3,2++a a 有意义，因为函数a x y 3-=给定区间[]3,2++a a 上单调递增，函数在 a x y -= 1 给定区间[]3,2++a a 上恒为正数， 故有意义当且仅当1003)2(1 0< ? ??>-+≠>a a a a a ； （2）构造函数)3)((log )()()(21a x a x x f x f x F a --=-=， 对于函数)3)((a x a x t --=来讲， 显然其在]2,(a -∞上单调递减，在),2[+∞a 上单调递增。 且t y a log =在其定义域内一定是减函数 由于10< 所以原函数在区间]3,2[++a a 内单调递减，只需保证 ?? ?≤-=+≤-=+1|)23(3log ||)3(|1 |)1(4log ||)2(|a a F a a F a a ??? ??? ? ≤-≤-≤?a a a a a 1)23(31)1(4 当12 57 90-≤ 579-> a 时，)(1x f 与)(2x f 在区间[]3,2++a a 上是非接近的 点评：该题属于信息给予的题目，考生首先理解“接近”与“非接近”的含义，再对含有对数式的函数的是否“接近”进行研究，转化成含有对数因式的不等式问题，解不等式即可。 例18．设1x >，1y >，且2log 2log 30x y y x -+=，求22 4T x y =-的最小值。 解：令 log x t y =， ∵1x >，1y >，∴0t >。 由2log 2log 30x y y x -+=得2 230t t - +=，∴22320t t +-=， ∴(21)(2)0t t -+=，∵0t >，∴12t =，即1 log 2 x y =，∴1 2y x =， ∴2 2 2 2 44(2)4T x y x x x =-=-=--， ∵1x >，∴当2x =时，min 4T =-。 点评：对数函数结合不等式知识处理最值问题，这是出题的一个亮点。同时考察了学生的 变形能力。 例19.（2009陕西卷文）设曲线1 *()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的 横坐标为n x ,则12n x x x ???L 的值为 A. 1n B.11n + C. 1 n n + D.1 答案 B 解析 对1 *'()(1)n n y x n N y n x +=∈=+求导得,令1x =得在点（1，1）处的切线的斜率 1k n =+,在点 （1，1）处的切线方程为1(1)(1)(1)n n y k x n x -=-=+-,不妨设 0y =, 1n n n x +=则1212311 (23411) n n n x x x n n n -???=?????= ++L , 故选 B. 五．【思维总结】 1．b N N a a N a b n ===log ,,（其中1,0,0≠>>a a N ）是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同应化为同底； 2．要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训练逐渐积累经验； 3．解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识； 4．指数、对数函数值的变化特点（上面知识结构表中的12个小点）是解决含指数、对数式的问题时使用频繁的关键知识，要达到滚瓜烂熟，运用自如的水平，在使用时常常还要结合指数、对数的特殊值共同分析； 5．含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题的最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类； 6．在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现，如与其它函数（特别是二次函数）形成的复合函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要努力提高综合能力 高一函数复习 一、函数的概念与表示 1、映射 映射：设A 、B 是两个集合，如果按照某种映射法则f ，对于集合A 中的任一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A 、B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到集合B 的映射，记作f ：A →B 。 注意点：（1）对映射定义的理解； （2）判断一个对应是映射的关键：A 中任意，B 中唯一；对应法则f . 给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象． 注意：(1)A 中的每一个元素都有象，且唯一； (2)B 中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一； (3)a 的象记为f (a ). 【例题1】设集合A ＝｛x ｜0 ≤ x ≤ 6｝，B ＝｛y ｜0 ≤ y ≤ 2｝，从A 到B 的对应法则f 不是映射的是 （ ）. A . f ：x →y ＝ 12x B . f ：x →y ＝1 3 x C . f ：x →y ＝14x D . f ：x →y ＝16x 【变式练习1】若:f A B →能构成映射，下列说法正确的有 （ ） （1）A 中的任一元素在B 中必须有像且唯一； （2）A 中的多个元素可以在B 中有相同的像； （3）B 中的多个元素可以在A 中有相同的原像； （4）像的集合就是集合B . A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 2、函数 构成函数概念的三要素：①定义域；②对应法则；③值域 两个函数是同一个函数的条件：当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时. 【例题1】下列各对函数中，相同的是（ ） A 、x x g x x f lg 2)(,lg )(2== B 、)1lg()1lg()(,1 1 lg )(--+=-+=x x x g x x x f C 、 v v v g u u u f -+= -+= 11)(,11)( D 、f （x ）=x ，2)(x x f = 【例题2】}30|{},20|{≤≤=≤≤=y y N x x M 给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集 合N 的函数关系的有 （ ） A 、 0个 B 、 1个 C 、 2个 D 、3个 【变式练习】 1．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A . 1,x y y x == B . 211,1y x x y x =-+=- C . 33,y x y x == D . 2||,()y x y x == 2．集合{}22M x x =-≤≤，{}02N y y =≤≤，给出下列四个图形，其中能表示以M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ ） 3．下列四个图象中，不是函数图象的是（ ） 【巩固练习】 x x x x 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 y y y y 3 O O O O 稷王中学高一年级第一次月考数学试题 2014-9-26 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．） 1. 集合{1,3,5,7}用描述法表示出来应为 ( ) A.{x|x 是不大于7的非负奇数} B.{x|1≤x ≤7} C.{x|x ∈N 且x≤7} D.{x|x ∈Z 且1≤x ≤7} 2. 设集合{}|43A x x =-<<，{}|2B x x =≤，则A B = （ ） A ．(4,3)- B ．(4,2]- C ．(,2]-∞ D ．(,3)-∞ 3. 设集合A={x |－5≤x<1},B={x|x ≤2}，则A ∪B= ( ) A.{x |－5≤x<1} B.{x|x ≤2} C.{x|x<1} D.{x |－5≤x ≤2} 4. 已知集合A={x|x 2+x －2=0},若B={x|x ≤a},且A ?≠B,则a 的取值范围是 ( ) A.a>1 B.a ≥1 C.a≥-2 D.a≤-2 5. A={1,2},则满足A ∪B ={1，2，3}的集合B 的个数为, （ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 8 6. 已知全集,U R =集合{}{} 1,1.M x R y x N y R y x =∈=-=∈=+则 M C N U =( ） A ．? B.{}01x x ≤< C.{}01x x ≤≤ D. {} 11x x -≤< 7． 设集合{}22≤≤-=x x M ，{} 20≤≤=y y N ，给出下列四个图形，其中能表 示以集合M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ ） 8. 已知A={1，2，3}，B={2，4}，定义集合A 、B 间的运算A ＊B={x ∣x ∈A 且x ?B}， 则集合A ＊B 等于（ ） A. {1，2，3} B. {2，4} C. {1，3} D. {2} 9．与||y x =为同一函数的是（ ）。 函数解析式的表示形式及五种确定方式 函数的解析式是函数的最常用的一种表示方法，本文重点研究函数的解析式的表达形式与解析式的求法。 一、解析式的表达形式 解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。 1、一般式是大部分函数的表达形式，例 一次函数：b kx y += )0(≠k 二次函数：c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数：x k y = )0(≠k 正比例函数：kx y = )0(≠k 2、分段式 若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用n 个式子来表示函数，这种形式的函数叫做分段函数。 例1、设函数(]() ???+∞∈∞-∈=-,1,log 1,,2)(81x x x x f x ，则满足41)(=x f 的x 的值为 。 解：当(]1,∞-∈x 时，由4 12= -x 得，2=x ，与1≤x 矛盾； 当()+∞∈,1x 时，由4 1log 81=x 得，3=x 。 ∴ 3=x 3、复合式 若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==，那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。 例2、已知3)(,12)(2 +=+=x x g x x f ，则[]=)(x g f ，[]=)(x f g 。 解：[]721)3(21)(2)(2 2+=++=+=x x x g x g f [][]4443)12(3)()(222 ++=++=+=x x x x f x f g 二、解析式的求法 根据已知条件求函数的解析式，常用待定系数法、换元法、配凑法、赋值（式）法、方程法等。 1待定系数法 若已知函数为某种基本函数，可设出解析式的表达形式的一般式，再利用已知条件求出系数。 人教版数学必修I 测试题（含答案） 一、选择题 １、设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,5U A B ===,则()U A C B =（ ) A 、{}2 B 、{}2,3 C 、{}3 D 、{}1,3 2、已知集合{}{}0,1,2,2,M N x x a a M ===∈,则集合 M N （ ) A 、{}0 B 、{}0,1 C 、{}1,2 D 、{}0,2 3、函数()21log ,4y x x =+≥的值域是 （ ) A 、[)2,+∞ B 、()3,+∞ C 、[)3,+∞ D 、(),-∞+∞ 4、关于A 到B 的一一映射,下列叙述正确的是 ( ) ① 一一映射又叫一一对应 ② A 中不同元素的像不同 ③ B 中每个元素都有原像 ④ 像的集合就是集合Ｂ A 、①② B 、①②③ C 、②③④ D 、①②③④ 5、在221 ,2,,y y x y x x y x ===+=,幂函数有 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 6、已知函数()213f x x x +=-+,那么()1f x -的表达式是 ( ) A 、259x x -+ B 、23x x -- C 、259x x +- D 、21x x -+ 7、若方程0x a x a --=有两个解，则a 的取值范围是 ( ） A 、()0,+∞ B 、()1,+∞ C 、()0,1 D 、? 8、若21025x =，则10x -等于 ( ) A 、15- B 、15 C 、150 D 、 1 625 ９、若()2log 1log 20a a a a +<<，则a 的取值范围是 ( ) O O O O （1） （2） （3） （4） 时间 时间 时间 时间 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 人教版高一数学函数及其性质知识点归纳与习题 第一部分 函数及其表示 知识点一：函数的基本概念 1、函数的概念： 一般地，设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数。记作： A x x f y ∈=，)(。 x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域，y 叫函数值，y 的取值范围叫函数的值域。 说明：①函数首先是两个非空数集之间建立的对应关系 ②对于x 的每一个值，按照某种确定的对应关系f ，都有唯一的y 值与它对应，这种对应应为数与数之间的“一对一”或“多对一”。 ③认真理解)(x f y =的含义：)(x f y =是一个整体，)(x f 并不表示f 与x 的乘积，它是一种符号，可以是解析式，也可以是图象，还可以是表格； 2、函数的三要素：定义域，值域和对应法则 3、区间的概念：三种区间：闭区间、开区间、半开半闭区间 4、两个函数相等：同时满足（1）定义域相同；（2）对应法则相同的两个函数才相等 5、分段函数： 说明：①在求分段函数的函数值时，首先要确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应关系求值。 ②分段函数是一种重要的函数，它不是几个函数，而是同一个函数在不同范围内的表示方法不同。 6、函数图像 练习 1.下列图象中表示函数图象的是 （ ） （A ） (B) (C ) (D) 2．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．x x y y ==,1 B ．1,112 -=+?-=x y x x y C ．3 3 ,x y x y = = D ． 2 )(|,|x y x y == 3.下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为 （ ） （1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； （2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。 A 、（1）（2）（4） B 、（4）（2）（3） C 、（4）（1）（3） D 、（4）（1）（2） 4.下列对应关系：（ ） ①{1,4,9},{3,2,1,1,2,3},A B ==---f ：x x →的平方根 ②,,A R B R ==f ：x x →的倒数 ③,,A R B R ==f ：2 2x x →- ④{}{}1,0,1,1,0,1,A B f =-=-：A 中的数平方 其中是A 到B 的映射的是 A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．②③ 5.在国内投寄平信，每封信不超过20克重付邮资80分，超过20克重而不超过40克重付邮资160分，将每封信的应付邮资(分)表示为信重()040x x <≤克的函数，其表达式为()f x ＝____ ____ 6.设函数? ??<+≥-=10110 2)(2x x x x x f ，则)9(f = ，)15(f = 7.设函数?? ?<-≥-=5 35 2)(2 x x x x x f ，若)(x f =13，则x= 。 8.函数()1,3,x f x x +?=?-+? 1, 1,x x ≤>则()()4f f = ． 9.下列各组函数是同一函数的有 ①3()2f x x =-与()2g x x x =-；②()f x x =与2()g x x =； ③0 ()f x x =与0 1()g x x = ；④2()21f x x x =--与2 ()21g t t t =--。 10.作出函数(]6,3,762 ∈+-=x x x y 的图象 x y 0 x y 0 x y 0 x y 0 高中数学必修 2 知识点总结 第一章空间几何体 1.1柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这 些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱ABCDE - A'B'C'D'E'或用对角线的端点字母，如五棱柱AD' 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥P - A'B'C'D'E' 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 （3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台P - A'B'C'D'E' 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全 等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。 （5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一 点到球心的距离等于半径。 1.2空间几何体的三视图和直观图 （1）定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、 俯视图（从上向下） 注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。 （2）画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 （3）直观图：斜二测画法 （4）斜二测画法的步骤： （1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变； （3）.画法要写好。 （5）用斜二测画法画岀长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图 1.3空间几何体的表面积与体积 （1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 I （2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，h为斜高，|为母线） 3）柱体、锥体、台体的体积公式 求函数解析式的六种常用方法 一、换元法 已知复合函数f [g （x ）]的解析式，求原函数f （x ）的解析式.令g （x ）= t ，求f （t ）的解析式，再把t 换为x 即可. 例1 已知f （x x 1+）= x x x 1122++，求f （x ）的解析式. 解： 设x x 1+= t ，则 x= 1 1-t （t ≠1）， ∴f （t ）= 1 11)11(1)11(22-+-+-t t t = 1+2)1(-t +（t －1）= t 2－t+1 故 f （x ）=x 2－x+1 （x ≠1）. 评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域. 二、配凑法 例2 已知f （x +1）= x+2 x ，求f （x ）的解析式. 解： f （x +1）= 2)(x +2 x +1－1=2)1(+x －1， ∴ f （x +1）= 2)1(+x －1 （x +1≥1），将x +1视为自变量x ， 则有 f （x ）= x 2－1 （x ≥1）. 评注: 使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错. 三、待定系数法 例3 已知二次函数f （x ）满足f （0）=0，f （x+1）= f （x ）+2x+8，求f （x ）的解析式. 解：设二次函数f （x ）= ax 2+bx+c ，则 f （0）= c= 0 ① f （x+1）= a 2)1(+x +b （x+1）= ax 2+（2a+b ）x+a+b ② 由f （x+1）= f （x ）+2x+8 与①、② 得 ???=++=+822b a b b a 解得 ???==. 7,1b a 故f （x ）= x 2+7x. 评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式. 新人教版高一数学函数与方程知识要点 新人教版高一数学函数与方程知识要点 一、方程的根与函数的零点 教材内容分析新课程标准的要求是,结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的联系。 1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。 2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即： 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点. 3、函数零点的求法： 求函数的零点： 1(代数法)求方程的实数根; 2(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点： 1)△>0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点. 2)△=0，方程有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点. 3)△<0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点. 二、用二分法求方程的近似解 用二分法求方程的近似解的方法,二分法,又称分半法,是一种方程式根的近似值求法。 1.二分法的概念 对于在区间[a，b]上连续不断且____________的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__________，使区间的两个端点______________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求 ___________________________________________________________ _____________. 2.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤： (1)确定区间[a，b]，验证____________，给定精确度ε; (2)求区间(a，b)的中点____; (3)计算f(c); ①若f(c)=0，则________________; ②若f(a)·f(c)<0，则令b=c(此时零点x0∈________); ③若f(c)·f(b)<0，则令a=c(此时零点x0∈________). (4)判断是否达到精确度ε：即若|a-b|<ε，则得到零点近似值a(或b);否则重复(2)～(4). 高一数学必修1第一章知识点总结 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性, (2)元素的互异性, (3)元素的无序性, 3.集合的表示：{ …} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印 度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是注意：B 同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?/B或B?/A 2．“相等”关系：A=B(5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记 作A B(或B A) ③如果A?B, B?C ,那么A?C ④如果A?B 同时B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集 运算 类型 交集并集补集 定义由所有属于A且属 于B的元素所组成 的集合,叫做A,B的 交集．记作A B （读作‘A交B’）， 即A B=｛x|x∈A， 且x∈B｝． 由所有属于集合A或 属于集合B的元素所 组成的集合，叫做A,B 的并集．记作：A B （读作‘A并B’）， 即A B ={x|x∈A， 或x∈B})． 设S是一个集合，A是 S的一个子集，由S中 所有不属于A的元素 组成的集合，叫做S中 子集A的补集（或余 集） 记作A C S ，即 C S A=} , |{A x S x x? ∈且 韦恩图示A B 图1 A B 图2 S A 2020年人教版高中数学必修一全套精品教 案（完整版） 第一章集合与函数 §1.1.1集合的含义与表示 一. 教学目标： l.知识与技能 (1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； (2)知道常用数集及其专用记号； (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性； (4)会用集合语言表示有关数学对象； (5)培养学生抽象概括的能力. 2. 过程与方法 (1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义. (2)让学生归纳整理本节所学知识. 3. 情感.态度与价值观 使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性. 二. 教学重点.难点 重点：集合的含义与表示方法. 难点：表示法的恰当选择. 三. 学法与教学用具 1. 学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标. 2. 教学用具：投影仪. 四. 教学思路 (一)创设情景，揭示课题 1．教师首先提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗? 引导学生回忆.举例和互相交流. 与此同时，教师对学生的活动给予评价. 2.接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容. （二）研探新知 1．教师利用多媒体设备向学生投影出下面9个实例： (1)1—20以内的所有质数； (2)我国古代的四大发明； (3)所有的安理会常任理事国； (4)所有的正方形； (5)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥； (6)到一个角的两边距离相等的所有的点； (7)方程2560 -+=的所有实数根； x x (8)不等式30 x->的所有解； (9)国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体. 2．教师组织学生分组讨论：这9个实例的共同特征是什么? 3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出9个实例的特征，并给出集合的含义. 一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的 每个对象叫作这个集合的元素. 4.教师指出：集合常用大写字母A，B，C，D，…表示，元素常 用小写字母,,, a b c d…表示. (三)质疑答辩，排难解惑，发展思维 1．教师引导学生阅读教材中的相关内容，思考：集合中元素有 什么特点?并注意个别辅导，解答学生疑难.使学生明确集合元素的 三大特性，即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是 一样的,我们就称这两个集合相等. 2．教师组织引导学生思考以下问题： 判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： (1)大于3小于11的偶数； （数学1必修）函数及其表示 一、选择题 1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ） ⑴3 ) 5)(3(1+-+= x x x y ，52-=x y ； ⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(，2)(x x g =； ⑷()f x ()F x = ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 。 A ．⑴、⑵ B ．⑵、⑶ C ．⑷ D ．⑶、⑸ 2．函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是（ ） A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或2 3．已知集合{}{} 421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且* ,,a N x A y B ∈∈∈ 使B 中元素31y x =+和A 中的元素x 对应，则,a k 的值分别为（ ） A ．2,3 B ．3,4 C ．3,5 D ．2,5 4．已知2 2(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-??=-< 高中数学必修4知识点总结 第一章 三角函数（初等函数二） ?? ?? ?正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<， 则sin y r α= ，cos x r α= ，()tan 0y x x α= ≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：sin α=M P ，cos α=O M ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：()2 2 1sin cos 1αα+= 《第一次测试：函数》 1 下列函数与x y =有相同图象的一个函数是（ ） A 2x y = B x x y 2 = C )10(log ≠>=a a a y x a 且 D x a a y log = 2．函数c bx x y ++=2))1,((-∞∈x 是单调函数时，b 的取值范围 （ ） A ．2-≥b B ．2-≤b C ．2->b D ． 2-k B ．21 - 人教版高一数学必修的 目录 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 人教版高一数学必修1-5的目录 必修1 第一章集合与函数概念? 1．1 集合? 1．2 函数及其表示? 1．3 函数的基本性质? 实习作业? 小结? 复习参考题 第二章基本初等函数（Ⅰ）? 2．1 指数函数? 2．2 对数函数? 2．3 幂函数? 小结? 复习参考题 第三章函数的应用? 3．1 函数与方程? 3．2 函数模型及其应用? 实习作业? 小结? 复习参考题 必修2 第一章空间几何体? 1．1 空间几何体的结构? 1．2 空间几何体的三视图和直观图? 1．3 空间几何体的表面积与体积? 实习作业? 小结? 复习参考题 第二章点、直线、平面之间的位置关系? 2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系? 2．2 直线、平面平行的判定及其性质? 2．3 直线、平面垂直的判定及其性质? 小结? 复习参考题 第三章直线与方程? 3．1 直线的倾斜角与斜率? 3．2 直线的方程? 3．3 直线的交点坐标与距离公式? 小结? 复习参考题 必修3 第一章算法初步? 1．1 算法与程序框图? 1．2 基本算法语句? 1．3 算法案例? 阅读与思考割圆术? 小结? 复习参考题 第二章统计? 2．1 随机抽样? 阅读与思考一个着名的案例? 阅读与思考广告中数据的可靠性? 阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应? 2．2 用样本估计总体? 阅读与思考生产过程中的质量控制图? 2．3 变量间的相关关系? 阅读与思考相关关系的强与弱? 实习作业? 小结? 复习参考题 第三章概率? 3．1 随机事件的概率? 阅读与思考天气变化的认识过程? 3．2 古典概型? 3．3 几何概型? 阅读与思考概率与密码? 小结? 复习参考题 必修4 第一章三角函数? 1．1 任意角和弧度制? 1．2 任意角的三角函数? 1．3 三角函数的诱导公式? 1．4 三角函数的图象与性质? 1．5 函数y=Asin（ωx+ψ）? 1．6 三角函数模型的简单应用? 小结? 复习参考题 第二章平面向量? 2．1 平面向量的实际背景及基本概念? 2．2 平面向量的线性运算? 2．3 平面向量的基本定理及坐标表示? 2．4 平面向量的数量积? 2．5 平面向量应用举例? 高一数学必修1（人教版A）基本知识点回顾 一、集合 1．集合的概念描述：集合的元素具有______性、______性和______性．如果a是集合A的元素，记作________． 2．常用数集的符号：自然数集______；正整数集______；整数集______；有理数集______；实数集______． 3．表示集合有两种方法：______法和______法．______法就是把集合的所有元素一一列举出来，并用_____号“_____”起来；______法是用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，具体的方法是：在______号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条______，在此后面写出这个集合中元素所具有的_____性质．4．集合间的关系：A?B?对任意的x∈A有______，此时我们称A是B的______；如果_______，且_______，则称A是B的真子集，记作______；如果______ ，且______，则称集合A与集合B相等，记作_______；空集是指____________的集合，记作_____．5．集合的基本运算：集合{ x | x∈A且x∈B }叫做A与B的______ ，记作_______；集合{ x | x∈A或x∈B }叫做A与B的______，记作_______；集合{ x | x?A且x∈U }叫做A 的_____ ，记作____；其中集合U称为_____．6．性质：①A ?A，??A； ②若A ?B，B ?C，则A ?C； ③A∩A＝A∪A＝A； ④ A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A； ⑤A∩?＝?；A∪?＝A； ⑥A∩B＝A?A∪B＝B ?A ?B； ⑦A∩C U A＝?；A∪C U A＝U； ⑧C U (C U A)＝A；⑨C U (A∪B)＝C U A∩C U B． 7．集合的图示法：用韦恩图分析集合的关系、运算比较直观，对区间的交并、补、可用于画数轴分析的方法． 8．补充常用结论：①若集合A中有n (n∈N)个元素，则集合A的所有不同的子集个数为2n（包括A与?）；②对于任意两个有限集合，其并集中的元素个数可用“容斥原理”计算： card(A∪B)＝card A + card B - card(A∩B) 9．易错点提醒：①注意不要用错符号“∈”与“?”；②当A ?B时，不要忘了A ＝?的情况讨论； 二、函数及其表示法 1．函数的定义：设A，B是非空数集，如果按照某种确定的_________ f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有____________的数f ( x ) 和它对应，则称f为从集合A到集合B的函数，记作_________．函数的三要素是指函数的_____________、_____________和______________． 2．函数的表示法：_____________法、____________法和____________法． 3．解有关函数定义域、值域的问题，关键是把握自变量与函数值之间的对应关系，函数图象是把握这种对应关系的重要工具．当只给出函数的解析式时，我们约定函数的定义域是使函数解析式_____________的全体实数． 4．求函数解析式的常用方法：①待定系数法，②换元法，③赋值法（特殊值法），等（试各举一例）． 5．函数图象的变换：根据函数图象的变换规律，可以由基本初等函数的图象为基础画出更多更复杂的函数图象，以便利用函 基本初等函数 一．【要点精讲】 1．指数与对数运算 （1）根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。即若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n ②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，???<-≥==) 0() 0(||a a a a a a n 。 （2）．幂的有关概念 ①规定：1）∈???=n a a a a n (ΛN * ；2）)0(10 ≠=a a ； n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）； 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）； 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）。 （注）上述性质对r 、∈s R 均适用。 （3）．对数的概念 ①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数 1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ； 2）以无理数)71828.2(Λ=e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ； ②基本性质： 1）真数N 为正数（负数和零无对数）；2）01log =a ； 高一数学必修1基础试题 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.已知全集I ＝{0，1，2}，且满足C I (A ∪B )＝{2}的A 、B 共有组数 A.5 B.7 C.9 D.11 2.如果集合A ＝{x |x ＝2k π+π，k ∈Z}，B ＝{x |x ＝4k π+π，k ∈Z}，则 A.A B B.B A C.A =B D.A ∩B =? 3.设A ＝{x ∈Z||x |≤2}，B ＝{y |y ＝x 2 ＋1，x ∈A }，则B 的元素个数是 A.5 B.4 C.3 D.2 4.若集合P ＝{x |3 修一（高一） 第一章集合与函数概念 一总体设计 二教科书分析 1．1 集合 1．2 函数及其表示 1．3 函数的基本性质 实习作业 三自我检测题 四拓展资源 第二章基本初等函数（Ⅰ） 一总体设计 二教科书分析 2．1 指数函数 2．2 对数函数 2．3 幂函数 三自我检测题 四拓展资源 第三章函数的应用 一总体设计 二教科书分析 3．1 函数与方程 3．2 函数模型及其应用 三自我检测题 四拓展资源 必修二（高二） 第一章空间几何体 一总体设计 二教科书分析 1．1 空间几何体的结构 1．2 空间几何体的三视图和直观图 1．3 空间几何体的表面积与体积 三自我检测题 四拓展资源 第二章点、直线、平面之间的位置关系 一总体设计 二教科书分析 2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2．2 直线、平面平行的判定及其性质 2．3 直线、平面垂直的判定及其性质 三自我检测题 第三章直线与方程 一总体设计 二教科书分析 3．1 直线的倾斜角与斜率 3．2 直线的方程 3．3 直线的交点坐标与距离公式 三自我检测题 四拓展资源 第四章圆与方程 一总体设计 二教科书分析 4．1 圆的方程 4．2 直线、圆的位置关系 4．3 空间直角坐标系 三自我检测题 四拓展资源 必修三（高一） 第一章算法初步 一总体设计 二教科书分析 1．1 算法与程序框图 1．2 基本算法语句 1．3 算法案例 三自我检测题 四拓展资源 第二章统计 一总体设计 二教科书分析 2．1 随机抽样 2．2 用样本估计总体 2．3 变量间的相关关系 三自我检测题 四拓展资源 第三章概率 一总体设计 二教科书分析 3．1 随机事件的概率 3．2 古典概型 3．3 几何概型 三自我检测题 四拓展资源 必修四（高一） 第一章三角函数 一总体设计 二教科书分析 1．1 任意角和弧度制 1．2 任意角的三角函数 1．3 三角函数的诱导公式 1．4 三角函数的图象和性质 1．5 函数的图象 1．6 三角函数模型的简单应用 三自我检测题 四拓展资源 第二章平面向量人教版高一数学《函数》复习教案(有答案)
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