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基本初等函数
一．【要点精讲】 1．指数与对数运算 （1）根式的概念：
①定义：若一个数的n 次方等于),1(*
∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。即若
a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且，
1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；
2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作
)0(>±a a n
②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a n
n =；
3）当n 为偶数时，?
??<-≥==)0()
0(||a a a a a a n
。
（2）．幂的有关概念
①规定：1）∈???=n a a a a n (ΛN *
；2）)0(10
≠=a a ；
n 个 3）∈=-p a
a
p p
(1
Q ，4）m a a a n m n m
,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s
r s
r
,0(>=?+、∈s Q ）；
2）r a a
a s
r s
r ,0()(>=?、∈s Q ）；
3）∈>>?=?r b a b a b a r
r
r ,0,0()( Q ）。 （注）上述性质对r 、∈s R 均适用。
（3）．对数的概念
①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b
=，那么数b 称以a 为底N 的
对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数
1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ；
2）以无理数)71828.2(Λ=e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ；
②基本性质：
1）真数N 为正数（负数和零无对数）；2）01log =a ；
3）1log =a a ；4）对数恒等式：N a N
a =log 。
③运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 1）N M MN a a a log log )(log +=； 2）N M N
M
a
a a
log log log -=； 3）∈=n M n M a n
a (log log R ）
④换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=
N m m a a a
N
N m m a
1）1log log =?a b b a ；2）b m
n
b a n a m log log =。 2．指数函数与对数函数 （1）指数函数：
①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x
且称指数函数， 1）函数的定义域为R ；2）函数的值域为),0(+∞；
3）当10<a 时函数为增函数。 ②函数图像：
1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；
2）指数函数都以x 轴为渐近线（当10<a 时，图象向右无限接近x 轴）；
3）对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x
x
a y a y -==与的图象关于y 轴对称
③函数值的变化特征：
10<a
①100<<>y x 时 ， ②10==y x 时 ， ③10> （2）对数函数： ①定义：函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且称对数函数， 1）函数的定义域为),0(+∞；2）函数的值域为R ； 3）当10<a 时函数为增函数； 4）对数函数x y a log =与指数函数)1,0(≠>=a a a y x 且互为反函数 ②函数图像： 1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限； 2）对数函数都以y 轴为渐近线（当10<a 时，图象向下无限接近y 轴）； 4）对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x y x y a a 1log log ==与的图象关于x 轴对称。 ③函数值的变化特征： （3）幂函数 1）掌握5个幂函数的图像特点 2）a>0时，幂函数在第一象限内恒为增函数，a<0时在第一象限恒为减函数 3）过定点（1，1）当幂函数为偶函数过（-1,1）,当幂函数为奇函数时过（-1，-1） 当a>0时过（0，0） 4）幂函数一定不经过第四象限 10<a ①01<>y x 时， ②01==y x 时， ③010>< ②01==y x 时， ③100<< 四．【典例解析】 题型1：指数运算 例1．（1）计算：25.021 21 32 5.032 0625.0])32.0()02.0()008.0()9 45()833[(÷?÷+---； （2）化简： 5332 33 23 23323 134)2(248a a a a a b a a ab b b a a ??? -÷++-- 。 解：（1）原式=4 1 32 21 32 )10000 625(]102450)81000( )949()278[(÷?÷+- 92 2)2917(21]10 24251253794[=?+-=÷??+-=； （2）原式= 5 131212 13231312 313 13 12 31 3 3133131)() (2) 2()2()(])2()[(a a a a a b a b b a a b a a ???-÷ +?+- 23 23 16 1653 13 13 131312)2(a a a a a a b a a b a a =??=? -? -=。 点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；一般的进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。 例2．（1）已知112 2 3x x -+=，求 22332 2 23 x x x x --+-+-的值 解：∵1 12 2 3x x - +=， ∴112 2 2()9x x - +=， ∴1 29x x -++=， ∴1 7x x -+=， ∴12 ()49x x -+=， ∴22 47x x -+=， 又∵331112 2 2 2 ()(1)3(71)18x x x x x x - - -+=+?-+=?-=， ∴ 22332 2 2472 3183 3 x x x x --+--= =-+-。 点评：本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。 题型2：对数运算 （2）.(江苏省南通市2008届高三第二次调研考试)幂函数()y f x =的图象经过点1(2,)8 --，则满足()f x ＝27的x 的值是 . 答案 13 例3．计算 （1）2 (lg 2)lg 2lg 50lg 25+?+；（2）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+?+； （3）1 .0lg 2 1 036.0lg 21600lg )2(lg 8000lg 5lg 23--+? 解：（1）原式2 2 (lg 2)(1lg5)lg 2lg5(lg 2lg51)lg 22lg5=+++=+++ (11)lg 22lg52(lg 2lg5)2=++=+=； （2）原式lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3( )()()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2=+?+=+?+ 3lg 25lg 35 2lg 36lg 24 = ?=； （3）分子=3)2lg 5(lg 2lg 35lg 3)2(lg 3)2lg 33(5lg 2 =++=++； 分母=4100 6 lg 26lg 101100036lg )26(lg =-+=?-+； ∴原式= 4 3 。 点评：这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧 例4．设a 、b 、c 为正数，且满足222 a b c += （1）求证：22log (1)log (1)1b c a c a b +-+ ++=； （2）若4log (1)1b c a ++ =，82 log ()3 a b c +-=，求a 、b 、c 的值。 证明：（1）左边222log log log ()a b c a b c a b c a b c a b a b +++-+++-=+=? 2222222 2222()22log log log log 21a b c a ab b c ab c c ab ab ab +-++-+-=====； 解：（2）由4log (1)1b c a ++ =得14b c a ++=， ∴30a b c -++=……………① 由82 log ()3 a b c +-=得2 384a b c +-==………… ……………② 由①+②得2b a -=……………………………………③ 由①得3c a b =-，代入222a b c +=得2(43)0a a b -=， ∵0a >， ∴430a b -=………………………………④ 由③、④解得6a =，8b =，从而10c =。 点评：对于含对数因式的证明和求值问题，还是以对数运算法则为主，将代数式化简到最见形式再来处理即可。 题型3：指数、对数方程 例5．(江西师大附中2009届高三数学上学期期中) 已知定义域为R 的函数a b x f x x ++-=+122)(是奇函数. （1）求a,b 的值； （2）若对任意的R t ∈，不等式0)2()2(2 2 <-+-k t f t t f 恒成立，求k 的取值范围. 解 （1） 因为)(x f 是R 上的奇函数，所以1,021,0)0(==++-=b a b f 解得即 从而有.212)(1a x f x x ++-=+ 又由a a f f ++--=++---=11 2 141 2)1()1(知，解得2=a （2）解法一：由（1）知,121 212 212)(1 ++-=++-=+x x x x f 由上式易知)(x f 在R 上为减函数，又因)(x f 是奇函数，从而不等式 0)2()2(22<-+-k t f t t f 等价于).2()2()2(222k t f k t f t t f +-=--<- 因)(x f 是R 上的减函数，由上式推得.222 2k t t t +->- 即对一切,0232 >--∈k t t R t 有从而3 1,0124- <<+=?k k 解得 解法二：由（1）知,221 2)(1 ++-=+x x x f 又由题设条件得02 21 2221212212222 22<++-+++-+--+--k t k t t t t t 即0)12)(22()12)(22 (2 2 2 221 221 2<+-+++-+-+--+-k t t t t t k t 整理得12 232>--k t t ，因底数2>1，故0232>--k t t 上式对一切R t ∈均成立，从而判别式.3 1,0124-<<+=?k k 解得 例6．（2008广东 理7） 设a ∈R ，若函数3ax y e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ B ） A ．3a >- B ．3a <- C ．1 3 a >- D ．13 a <- 【解析】'()3ax f x ae =+，若函数在x R ∈上有大于零的极值点，即'()30 ax f x ae =+=有正根。当有'()30ax f x ae =+=成立时,显然有0a <,此时13 ln()x a a = -，由0x >我们马上就能得到参数a 的范围为3a <-. 点评：上面两例是关于含指数式、对数式等式的形式，解题思路是转化为不含指数、对数 因式的普通等式或方程的形式，再来求解。 题型4：指数函数的概念与性质 例7．设12 32,2()((2))log (1) 2. x e x f x f f x x -??=?-≥??＜， 则的值为，（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解：C ；1)12(log )2(2 3=-=f ，e e f f 22))2((10= =-。 点评：利用指数函数、对数函数的概念，求解函数的值 例8．已知 )1,0()(log 1 ≠>+=-a a x x x f a 且试求函数f (x )的单调区间。 解：令 t x a =log ，则x =t a ，t ∈R 。 所以t a a t f -+'=)(即x x a a x f -+=)(，（x ∈R ）。 因为f (－x )=f (x )，所以f (x )为偶函数，故只需讨论f (x )在[0，+∞）上的单调性。 任取1x ，2x ，且使210x x ≤≤，则 )()(12x f x f - )()(1122x x x x a a a a --+-+= 212121) 1)((x x x x x x a a a a ++--= （1）当a >1时，由210x x ≤≤，有210x x a a <<，12 1>+x x a ，所以0)()(12>-x f x f ，即f (x )在[0，+∞]上单调递增。 （2）当0 1<+x x a ，所以0)()(12>-x f x f ， 即f (x )在[0，+∞]上单调递增。 综合所述，[0，+∞]是f (x )的单调增区间，（－∞，0）是f (x )的单调区间。 点评：求解含指数式的函数的定义域、值域，甚至是证明函数的性质都需要借助指数函数 的性质来处理。特别是分10,1<<>a a 两种情况来处理。 题型5：指数函数的图像与应用 例9．若函数m y x +=-|1|)2 1(的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≤－1 B ．－1≤m<0 C ．m ≥1 D ．0 解：?? ???<≥==---) 1(2) 1()21()2 1 (11| 1|x x y x x x Θ， 画图象可知－1≤m<0。 答案为B 。 点评：本题考察了复杂形式的指数函数的图像特征，解题的出发点仍然是1,0,1<>a a 两种情况下函数x a y =的图像特征。 例10．设函数x x f x f x x 22)(,2 )(| 1||1|≥=--+求使的取值范围。 解：由于2x y =是增函数，()22f x ≥等价于3 |1||1|2 x x +--≥ ① 1)当1x ≥时，|1||1|2x x +--=，∴①式恒成立； 2)当11x -<<时，|1||1|2x x x +--=，①式化为322x ≥，即3 14 x ≤<； 3)当1x ≤-时，|1||1|2x x +--=-，①式无解； 综上x 的取值范围是3 ,4??+∞???? 。 点评：处理含有指数式的不等式问题，借助指数函数的性质将含有指数式的不等式转化为普通不等式问题（一元一次、一元二次不等式）来处理 题型6：对数函数的概念与性质 例11．（1）函数2log 2-=x y 的定义域是（ ） A ．),3(+∞ B ．),3[+∞ C ．),4(+∞ D ．),4[+∞ （2）（2006湖北）设f(x)＝x x -+22lg ，则)2 ()2(x f x f +的定义域为（ ） A ．），（），（－4004Y B ．(－4,－1)Y (1，4) C ．(－2,－1)Y (1，2) D ．(－4,－2)Y (2，4) 解：（1）D （2）B 。 点评：求函数定义域就是使得解析是有意义的自变量的取值范围，在对数函数中只有真数大于零时才有意义。对于抽象函数的处理要注意对应法则的对应关系。 例12．（2009广东三校一模）设函数()()()x x x f +-+=1ln 212 . (1)求()x f 的单调区间; (2)若当?? ????--∈1,11e e x 时,(其中Λ718.2=e )不等式()m x f <恒成立,求实数m 的取值范围; (3)试讨论关于x 的方程:()a x x x f ++=2 在区间[]2,0上的根的个数. 解 （1）函数的定义域为(),,1+∞-()()()1 221112++=????? ?+-+='x x x x x x f . 1分 由()0>'x f 得0>x ; 2分 由()0<'x f 得01<<-x , 3分 则增区间为()+∞,0,减区间为()0,1-. 4分 (2)令()(),0122=++='x x x x f 得0=x ,由(1)知()x f 在?? ? ???-0,11e 上递减,在[]1,0-e 上递 增, 6分 由,21 112+=??? ??-e e f ()212-=-e e f ,且21222+>-e e , 8分 ?? ? ???--∈∴1,11e e x 时,()x f 的最大值为22-e ,故22->e m 时,不等式()m x f <恒成 立. 9分 (3)方程(),2 a x x x f ++=即()a x x =+-+1ln 21.记()()x x x g +-+=1ln 21,则 ()1 1 121+-= +- ='x x x x g .由()0>'x g 得1>x ;由()0<'x g 得11<<-x . 所以g(x)在[0,1]上递减，在[1，2]上递增. 而g(0)=1，g(1)=2-2ln2，g(2)=3-2ln3，∴g(0)＞g(2)＞g(1) 10分 所以，当a ＞1时，方程无解； 当3-2ln3＜a ≤1时，方程有一个解， 当2-2ln2＜a ≤a ≤3-2ln3时，方程有两个解； 当a=2-2ln2时，方程有一个解； 当a ＜2-2ln2时，方程无解. 13分 字上所述，a )2ln 22,(),1(--∞+∞∈Y 时，方程无解； ]1,3ln 23(-∈a 或a=2-2ln2时，方程有唯一解； ]3ln 23,2ln 22(--∈a 时，方程有两个不等的解. 14分 例13．当a >1时，函数y =log a x 和y =(1－a )x 的图象只可能是( ) 解：当a>1时，函数y=log a x的图象只能在A和C中选， 又a>1时，y=(1－a)x为减函数。 答案：B 点评：要正确识别函数图像，一是熟悉各种基本函数的图像，二是把握图像的性质，根据图像的性质去判断，如过定点、定义域、值域、单调性、奇偶性 例14．设A、B是函数y= log2x图象上两点, 其横坐标分别为a和a+4, 直线l: x=a+2与函数y= log2x图象交于点C, 与直线AB交于点D。 （1）求点D的坐标； （2）当△ABC的面积大于1时, 求实数a的取值范围 解：（1）易知D为线段AB的中点, 因A(a, log2a ), B(a+4, log2(a+4))， 所以由中点公式得D(a+2, log2)4 (+ a a )。 （2）S△ABC=S梯形AA′CC′+S梯形CC′B′B- S梯形AA′B′B=…= log2 )4 ( )2 (2 + + a a a , 其中A′,B′,C′为A,B,C在x轴上的射影。 由S△ABC= log2 )4 ( )2 (2 + + a a a >1, 得0< a<22－2。 点评：解题过程中用到了对数函数性质，注意底数分类来处理，根据函数的性质来处理复杂问题。 题型8：指数函数、对数函数综合问题 例15．在xOy平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,P n(a n,b n)…，对每个自然数n点P n 位于函数y=2000( 10 a )x(0 (1)求点P n的纵坐标b n的表达式； (2)若对于每个自然数n，以b n,b n+1,b n+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围； (3)设C n=lg(b n)(n∈N*),若a取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列{C n}前多少项的和 最大？试说明理由 解：(1)由题意知：a n=n+ 2 1 ,∴b n=2000( 10 a )2 1 + n 。 (2)∵函数y=2000( 10 a )x(0 ∴对每个自然数n,有b n>b n+1>b n+2。 则以b n,b n+1,b n+2为边长能构成一个三角形的充要条件是b n+2+b n+1>b n， 即( 10 a )2+( 10 a )－1>0， 解得a <－5(1+2)或a >5(5－1)。 ∴5(5－1) ∴b n =2000(10 7)21 + n 。数列{b n }是一个递减的正数数列， 对每个自然数n ≥2,B n =b n B n －1。 于是当b n ≥1时，B n 因此数列{B n }的最大项的项数n 满足不等式b n ≥1且b n +1<1， 由b n =2000(10 7)21 + n ≥1得：n ≤20。 ∴n =20。 点评：本题题设从函数图像入手，体现数形结合的优越性，最终还是根据函数性质结合数列知识，以及三角形的面积解决了实际问题。 例16．已知函数1,0)((log )(≠>-=a a x ax x f a 为常数） （1）求函数f (x )的定义域； （2）若a =2，试根据单调性定义确定函数f (x )的单调性 （3）若函数y =f (x )是增函数，求a 的取值范围。 解：（1）由ax x x ax <>-得0 ∵a ＞0，x ≥0 2 2 2 10a x x a x x > ??? ?<≥∴ ∴f (x )的定义域是),1 ( 2+∞∈a x 。 （2）若a =2，则)2(log )(2x x x f -= 设4 1 21> >x x ， 则 0]1)(2)[()()(2)2()2(212121212211>-+-=---=---x x x x x x x x x x x x )()(21x f x f >∴ 故f (x )为增函数。 （3）设11212 21>>> >x a x a a x x 则 0]1)()[()()()()(212121212211>-+-=---=---∴x x a x x x x x x a x ax x ax 2211x ax x ax ->-∴ ① ∵f (x )是增函数， ∴f (x 1)＞f (x 2) 即)(log )(log 2211x ax x ax a a ->- ② 联立①、②知a ＞1， ∴a ∈(1，+∞)。 点评：该题属于纯粹的研究复合对函数性质的问题，我们抓住对数函数的特点，结合一般函数求定义域、单调性的解题思路，对“路”处理即可 题型9：课标创新题 例17．对于在区间[]n m ,上有意义的两个函数f (x )与g (x )，如果对任意的∈x []n m ,，均有1)()(≤-x g x f ，则称f (x )与g (x )在[]n m ,上是接近的，否则称f (x )与g (x )在[]n m ,上是非接近的，现有两个函数)3(log )(1a x x f a -=与)1,0(1 log )(2≠>-=a a a x x f a ，给定区间[]3,2++a a 。 （1）若)(1x f 与)(2x f 在给定区间[]3,2++a a 上都有意义，求a 的取值范围； （2）讨论)(1x f 与)(2x f 在给定区间[]3,2++a a 上是否是接近的。 解：（1）两个函数)3(log )(1a x x f a -=与)1,0(1 log )(2≠>-=a a a x x f a 在给定区间[]3,2++a a 有意义，因为函数a x y 3-=给定区间[]3,2++a a 上单调递增，函数在 a x y -= 1 给定区间[]3,2++a a 上恒为正数， 故有意义当且仅当1003)2(1 0< ? ??>-+≠>a a a a a ； （2）构造函数)3)((log )()()(21a x a x x f x f x F a --=-=， 对于函数)3)((a x a x t --=来讲， 显然其在]2,(a -∞上单调递减，在),2[+∞a 上单调递增。 且t y a log =在其定义域内一定是减函数 由于10< 所以原函数在区间]3,2[++a a 内单调递减，只需保证 ?? ?≤-=+≤-=+1|)23(3log ||)3(|1 |)1(4log ||)2(|a a F a a F a a ??? ??? ? ≤-≤-≤?a a a a a 1)23(31)1(4 当12 57 90-≤