复变函数与积分变换第五版答案 目录 练 习 一...............................1 练 习 二...............................3 练 习 三...............................5 练 习 四...............................8 练 习 五..............................13 练 习 六..............................16 练 习 七..............................18 练 习 八..............................21 练 习 九 (24) 练 习 一 1．求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。 （1）i i i i 524321-- --； 解：i i i i 524321---- = i 2582516+ z k k Argz z z z ∈+== = = π22 1 arctan 25 5825 8Im 25 16 Re （2）3 ) 231(i + 解： 3) 231(i + z k k Argz z z z e i i ∈+===-=-==+=π ππ π π 210Im 1Re 1 ][)3 sin 3(cos 333 2．将下列复数写成三角表示式。 1）i 31- 解：i 31-
)35sin 35(cos 2ππi += （2）i i +12 解：i i +12 )4 sin 4(cos 21π π i i +=+= 3．利用复数的三角表示计算下列各式。 （1）i i 2332++- 解：i i 2332++- 2sin 2 cos π π i i +== （2）4 22i +- 解：4 22i +-4 1 )]43sin 43(cos 22[ππi += 3,2,1,0] 1683sin 1683[cos 2]424/3sin ]424/3[cos 283 8 3 =+++=+++=k k i k k i k ππππππ 4．.设 321,,z z z 三点适合条件：321z z z ++=0，,1321===z z z 321,,z z z 是内接于单位 圆z =1的一个正三角形的项点。 证：因,1321===z z z 所以321,,z z z 都在圆周 32z z ++=0 则, 321z z z -=+1321=-=+z z z ，所以21z z +也在圆周1=z 上，又 ,12121==-+z z z z 所以以0，211,z z z +为顶点的三角形是正三角形，所以向量
第十五章 积分变换法求解定解问题 １5.１ 傅里叶变换法解数学物理定解问题 用分离变量法求解有限空间的定解问题时，所得到的本征值谱是分立的，所求的解可表为对分立本征值求和的傅里叶级数．对于无限空间，用分离变量法求解定解问题时，所得到的本征值谱一般是连续的，所求的解可表为对连续本征值求积分的傅里叶积分．因此，对于无限空间的定解问题，傅里叶变换是一种很适用的求解方法．本节将通过几个例子说明运用傅里叶变换求解无界空间（含一维半无界空间）的定界问题的基本方法，并给出几个重要的解的公式．下面的讨论我们假设待求解的函数u 及其一阶导数是有限的． 15.1.1 弦振动问题 例15.1.1 求解无限长弦的自由振动定解问题 （假定：函数u 及其一阶导数是有限的，以后不再特别指出．这一定解问题在行波法中已经介绍，读者可以比较行波解法和傅氏解法） 2000,()|() |()t t x x t t t u a u x u x u x ?ψ==?-=-∞<<∞?=??=? 【解】 应用傅里叶变换，即用i x e ω-遍乘定解问题中的各式，并对空间变量x 积分（这里把时间变量看成参数），按照傅里叶变换的定义，我们采用如下的傅氏变换对： i i (,)(,)d 1(,)(,)d 2πx x U t u x t e x u x t U t e ωωωωω∞ --∞∞-∞==?? 简化表示为 [(,)](,)u x t U t ω=F 对其它函数也作傅氏变换，即为 ()() [][(])()x x ?ωψω==ΦψF F 于是原定解问题变换为下列常微分方程的定解问题 222200((,)0(,)|(,))(|)t t t U a U t t U t U t ωωωωωω==Φψ??+=????=??=? 上述常微分方程的通解为 i i (,)()()at at U t A e B e ωωωωω-=+ 代入初始条件可以定出 111()()()22i 111()()()22i A a B a ωωωω ωωωω=Φ+ψ=Φ-ψ 这样 i i i i 1111(,)()()()()22i 22i () ()cos()sin()at at at at U t e e e e a a at at a ωωωωωωωωωωωωωωωω--=Φ+ψ+Φ-ψ=Φ+ψ 最后，上式乘以1 2π并作逆傅氏变换．应用延迟定理和积分定理得到 11(,)[()()]()d 22x at x at u x t x at x at a ??ψξξ+-=++-+?
第六章 共形映射 一、选择题： 1．若函数z z w 22+=构成的映射将z 平面上区域G 缩小，那么该区域G 是 ( ) （A ）21< z （B ）211<+z （C ）21>z （D ）2 11>+z 2．映射i z i z w +-= 3在i z 20=处的旋转角为( ) （A ）0 （B ） 2 π （C ）π （D ）2 π - 3．映射2 iz e w =在点i z =0处的伸缩率为( ) （A ）1 （B ）2 (C)1-e （D ）e 4．在映射i e iz w 4 π +=下，区域0)Im(
（A ）i +6 （B ）i +4 （C ）i +-2 （D ）i 7．函数i z i z w +-=33将角形域3arg 0π< 复变函数复习重点 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示 1）模：22 z x y =+； 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+?? 第一章 复数与复变函数 本章知识点和基本要求 掌握复数的概念和它的各种表示方法及运算； 熟悉复平面、模与辐角的概念； 熟练掌握乘积与商的模、隶莫弗公式、方根运算公式； 了解区域的概念；理解复变函数的概念； 理解复变函数的极限和连续的概念。 一、填空题 1、若等式))(()75(i y i x i i -+=-成立，则=x ______, =y _______. 2、设(12)(35)13i x i y i ++-=-，则x = ，y = 3、若1231i z i i +=--，则z = 4、若(3)(25) 2i i z i +-= ，则Re z = 5、若4 21i z i i +=- +，则z = 6、设(2)(2)z i i =+-+，则arg z = 7复数1z i =-的三角表示式为 ，指数表示式为 。 8、复数i z 212--=的三角表示式为 _________________，指数表示式为 _________________. 9、设i z 21=,i z -=12，则)(21z z Arg = _ _____. 10、设4 i e 2z π=,则Rez=____________. Im()z = 。z = 11、.方程0273=+z 的根为_________________________________. 12、一曲线的复数方程是2z i -=，则此曲线的直角坐标方程 为 。 13、方程3)Im(=-z i 表示的曲线是__________________________. 14、复变函数1 2 +-= z z w 的实部=),(y x u _________,虚部=),(y x v _________. 15、不等式114z z -++<所表示的区域是曲线 的内部。 16 二、判断题（正确打√，错误打?） 1、复数7613i i +>+. ( ) 2、若z 为纯虚数，则z z ≠. ( ) 3、若 a 为实常数，则a a = （ ） 4、复数0的辐角为0. 5、()f z u iv =+在000iy x z +=点连续的充分必要条件是(,),(,)u x y v x y 在 00(,)x y 点连续。 （ ） 6、设21,z z 为复数，则2121z z z z ?=。 （ ） 7、1212z z z z +=+ （ ） 8、参数方程2 z t ti =+ （t 为实参数）所表示的曲线是抛物线2y x =. ( ) 三、单项选择题 1、下列等式中，对任意复数z 都成立的等式是 （ ） A.z·z =Re(z·z ) B. z·z =Im(z·z ) C. z·z =arg (z·z ) D. z·z =|z| 2、方程3z =8 的复根的个数为 （ ） A. 3个 B. 1个 C. 2个 D. 0个 3、当11i z i +=-时，1007550z z z ++的值等于 （ ） A i B i - C 1 D 1- 4、方程23z i +-= （ ） A 中心为23i -的圆周 浅谈积分变换的应用 学院：机械与汽车工程学院 专业：机械工程及自动化 年级：12级 姓名：郑伟锋 学号：201230110266 成绩： 2014年1月 目录 1.积分变换的简介 (3) 1.1积分变换的分类 (3) 1.2傅立叶变换 (3) 1.2拉普拉斯变换 (4) 1.3梅林变换和哈尔克变换 (5) 1.3.1梅林变换 (5) 1.3.2汉克尔变换 (6) 2.各类积分变换的应用 (6) 2.1总述 (6) 2.2傅立叶变换的应用 (6) 2.2.1傅立叶变换在图像处理中的应用 (6) 2.2.2傅立叶变换在信号处理中的应用 (7) 2.3拉普拉斯变换的应用 (8) 2.3.1总述 (8) 2.3.2 运用拉普拉斯变换分析高阶动态电路 (8) 参考文献 (9) 1.积分变换的简介 1.1积分变换的分类 通过参变量积分将一个已知函数变为另一个函数。已知?(x)，如果 存在（α、b可为无穷）,则称F(s)为?(x)以K(s,x)为核的积分变换。 积分变换无论在数学理论或其应用中都是一种非常有用的工具。最重要的积分变换有傅里叶变换、拉普拉斯变换。由于不同应用的需要，还有其他一些积分变换，其中应用较为广泛的有梅林变换和汉克尔变换，它们都可通过傅里叶变换或拉普拉斯变换转化而来。 1.2傅立叶变换 傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。其定义如下 f(t）是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个周期内具有有限个间断点，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t）的傅里叶变换， ②式的积分运算叫做F（ω）的傅里叶逆变换。F（ω）叫做f(t）的像函数，f(t）叫做 F（ω）的像原函数。F（ω）是f(t）的像。f(t）是F（ω）原像。 ①傅里叶变换 ②傅里叶逆变换 习题二 1. 求映射 1 w z z =+ 下圆周||2z =的像. 解：设i ,i z x y w u v =+=+则 2222 221i i i i i()i x y x y u v x y x y x y x y x y x y x y -+=++ =++=++-++++ 因为22 4x y +=,所以 53i 44u iv x y += + 所以 54u x =,34v y =+ 53 4 4 ,u v x y == 所以( ) ()2 25344 2 u v + =即( ) ()2 2 225322 1 u v + =，表示椭圆. 2. 在映射2 w z =下，下列z 平面上的图形映射为w 平面上的什么图形，设e i w ? ρ=或 i w u v =+. 解：设222 i ()2i w u v x iy x y xy =+=+=-+ 所以22 ,2.u x y v xy =-= (1) 记e i w ? ρ=，则 π 02,4r θ<<= 映射成w 平面内虚轴上从O 到4i 的一段，即 π 04,. 2ρ?<<= (2) 记e i w ? ρ=，则π0,024r θ<<<<映成了w 平面上扇形域，即 π 04,0.2ρ?<<<< (3) 记w u iv =+，则将直线x=a 映成了22,2.u a y v ay =-=即 222 4().v a a u =-是以原点为焦点，张口向左的抛物线将y=b 映成了22 ,2.u x b v xb =-= 即222 4()v b b u =+是以原点为焦点，张口向右抛物线如图所示 . 3. 求下列极限. 解：令 1z t = ,则,0z t →∞→. 于是2 22 01lim lim 011z t t z t →∞→==++. (2) 0Re()lim z z z →; 解：设z=x+yi ，则Re()i z x z x y = +有 000 Re()1 lim lim i 1i z x y kx z x z x kx k →→=→== ++ 显然当取不同的值时f(z)的极限不同 所以极限不存在. （3） 2lim (1)z i z i z z →-+； 解： 2lim (1)z i z i z z →-+=11lim lim ()()() 2z i z i z i z i z z i z i z →→-==- +-+. 11 2 7、 第二章 解析函数 习题详解 1、(1) f 1(z )= z 4在定义域(- ,+) 内连续； 2) f 2(z ) =4z +5在定义域(-,+)内连续； 1 在定义域 -, 3 , 3 , + 内连续。 - 4, v = 16u + 64, 为一抛物线。 4、(1)w = z 3，则w = (2i )3= -8i , w =( 2+2i )3=2 2+12i -12 2-8i =-10 2+4i ； 5、 f (z )=Re z =x ，当 y →0时， f (z )→1；当x →0时， f (z )→0，因为极限不等， z x + iy 所以当z →0时， f (z )极限不存在。 1 在原点处不连续，故 w =i arg z +1 在负实轴上与原点 zz 3) f 3 (z )= 2 2、w = z 2 u =x 2-y 2 v = 2 xy u =x 2 -4 ，把直线C :y =2映射成 : u =x -4 v = 4 x v x = ，代入第一个式子， 4 u = 3、 1z w = = = z zz x - iy 22 , x + y v = x 22 x + y -y 22 x + y 把直线C :x =1映射成， : v u = v = 1 1+y 2 -y 1+y 2 1-u u 2 u = (1- u ) u v 2 + u 2 2)w = z 3， 像域为0arg w 2 6、i arg z 在负实轴上与原点处不连续， 处不连续。 f (z +z )- f (z ) z →0 z = lim z →0 (z +z )2 z y 2 = 1 -1 = u 为一个圆周。 u 积分变换第一章练习题（100分） 一、填空题（每空4分，共60分） 1.()sin t tdt δ+∞ -∞?= . 2.设[()]()F f t F w =，则()F w 与 ()f t 有 （相同，不同） 的奇偶性. 3.[sin2]F t = . 4.[(3)]F u t = . 5.函数0()sin3()f t t t t =δ-的傅立叶变换 6．傅立叶积分公式的三角形式为： 00()()cos ()sin f t a td b td +∞+∞=ωωω+ωωω?? 这里=)(ωa ；=)(ωb 7.函数0()()j t f t e t u t ω=??的傅立叶变换 。 8.已知函数()f t 的傅立叶变换为()F ω，则函数()f at b + 的傅立叶变换为 。 9.0[()]t t δ-=F [1]=F 0[]jw t e =F 0[()sin ]u t w t =F [(23)()]t f t -=F 10.设 50,0(),0 t t f t e t - 二、综合题（每题10分，共40分） 1.若10,0()1,010,1t f t t t t ? ，20,0()1,020,2t f t t t ?， 求： 12()*()f t f t （10分） 2.求函数()sin cos f t t t =的傅立叶变换)(ωF 。 （10分） 3.证明在傅氏变换下 123123f f f f f f **=**????????成立。（10分） 4.求余弦函数 0()cos f t t =ω的傅氏变换。 （10分） 习题五答案 1. 求下列函数的留数． (1)()5e 1 z f z z -=在z =0处． 解：5e 1 z z -在0<|z |<+∞的罗朗展开式为 234 5 43211 11111112!3!4!2!3!4!z z z z z z z z z +++++-=+?+?+?+L L ∴5e 111 Res ,014!24 z z ??-=?=???? (2)()11 e z f z -=在z =1处． 解：11 e z -在0<1z -| <+∞的罗朗展开式为 ()()()1 1 23 1111111e 112!3!!111z n z n z z z -=+ +?+?++?+----L L ∴11Res e ,11z -?? =??． 2. 利用各种方法计算f (z )在有限孤立奇点处的留数． (1)()()232 2 z f z z z +=+ 解：()()232 2z f z z z +=+的有限孤立奇点处有z =0，z =-2．其中z =0为二级极点z =-2为一级极 点． ∴()[]()()1 20013232324Res ,0lim lim 11!24 2z z z z z f z z z →→++--?? =?=== ? ?+?+ ()[]2232 Res ,2lim 1z z f z z →-+-==- 3. 利用罗朗展开式求函数()2 11sin z z +?在∞处的留数． 解：()()()2 2235111sin 21sin 11111 213!5!z z z z z z z z z z +?=++??? =++?-?+?+ ??? L ∴()[]1 Res ,013!f z =- 从而()[]1 Res ,13! f z ∞=-+ 5. 计算下列积分． (1)c tan πd z z ??，n 为正整数，c 为|z |=n 取正向． 《积分变换》试题2答案 一．1（2）；2（2）；3（1）；4（3）；5（4）。 二．1．);0(f '-2。1；3。F [])(t jtf -；4。 )0)(Re(,) (22 2 2 >+s k s ks ；5。 ω j 2。 三．解：L []? ∞+-+= ?? += 2 2 2 2 ) 4(42sin ) 4(42sin s s dt e t t s s t t st 令s=3,有169 122sin 0 3= ?? ∞+-dt e t t t 四．解：两边取Laplace 变换，有+)(s Y L []s s t y e t 32)(2 - = * 3 2 3 2 253) 1)(32()(32)(1 1)(s s s s s s s Y s s s Y s s Y - +-=--= ?- = ?-+ 所以：253)(t t t y -+-= 五．解：=-?-= '--= ')() 1(2)1( 11)(2 2 2 22 t tf s s s s s s s F L ?? ????--s s )1(2 21 而L t t s st s st s st e e s s e s s e s e s s ++-=++ -+ -=??????--=-==-2)1(2)1(21 2)1(21 1 22 1 所以：)cosh 1(2)2(1 )(t t e e t t f t t -= ++--=- 六．解：L []) 1(111111)(2 bs b st sb b st sb e s b s bs tde s e dt te e t f ------- += -? -= -= ? ? 七．证明：F [])()()()(2121ωωωF F j t f t f dt d ?=? ?? ?? ?* F ?=??????*)()()(121ωF t f dt d t f F )()()()()(21212ωωωωωωF F j F j F t f dt d ?=?=??? ? ?? 所以原式成立 习题 七 1.证明：如果f (t )满足傅里叶变换的条件，当f (t )为奇函数时，则有 ? +∞ ?= d sin )()(ωωωt b t f 其中()?+∞ ?=0 tdt sin π2 )(ωωt f b 当f (t )为偶函数时，则有 ? +∞ ?= cos )()(ωωtd w a t f 其中? +∞ ?=0 2 tdt c f(t))(ωωπ os a 证明： 因为ωωωd G t f t i ? +∞ ∞ -= e )(π 21 )(其中)(ωG 为f (t ) 的傅里叶变换 ()()()(cos sin )i t G f t e dt f t t i t dt ωωωω+∞+∞--∞-∞ = = ?-? ? ()cos ()sin f t t dt i f t t dt ωω+∞+∞-∞ -∞ = ?-??? 当f (t )为奇函数时，t cos f(t)ω?为奇函数，从而 ? +∞ ∞ -=?0tdt cos f(t)ω t sin f(t)ω?为偶函数，从而 ? ? +∞ ∞ -+∞ ?=?0 .sin f(t)2tdt sin f(t)tdt ωω 故.sin f(t)2)(0 tdt i G ωω?-=? +∞ 有 )()(ωωG G -=-为奇数。 ω ωωωπ ωωπ ωd t i t G d e G t f t i )sin (cos )(21)(21)(+?= ?= ? ? +∞ ∞ -+∞ ∞ - = 01()sin d ()sin d 2π π i G i t G t ωωωωωω+∞+∞ -∞ ?= ?? ? 所以，当f(t)为奇函数时，有 2()b()sin d .b()= ()sin dt. π f t t f t t ωωωωω+∞+∞= ??? ? 其中同理，当f(t)为偶函数时，有 0 ()()cos d f t a t ωωω+∞ = ?? .其中 2()()cos π a f t tdt ωω+∞= ?? 2.在上一题中，设()f t =21, 0, 1 t t t ? <<复变函数与积分变换>>结业论文 复变函数与积分变换 在电路中的应用 系别：电气与电子工程系专业：自动化 姓名： 444444444 学号： 555555555555555 指导教师：秦志新 摘要：众所周知，复变函数在众多专业课程中都有着非常重要的作用，就如在正弦稳态电流分析中，将复杂的三角函数方程利用欧拉公式转化为复平面内求解（相量法）或利用运算法（拉斯变换），从而把正弦稳态问题归结为以相量或象函数为变量的线性代数方程。 关键词：相量法，拉斯变换，正弦稳态，电路分析，复变函数，运算法。 相量法是分析研究正线电流稳定状态的一种简单易行的方法，它是在数学理论和电路理论的基础上建立的一种系统的方法。根据电路的基本定律VCR 、KCL 和KVL ，编写含有储能原件的线性非时变电路的电路方程时，将获得一组常微（积）分方程.现以如图一所示电路RLC 为例 例1 已知：R =15Ω, L =12mH, C =5μF, )u t s =， 求电路中的电流i 和各元件的电压相量，以及电路的等效导纳和并联等效电路。 解；求出相关变 01000u s ?=∠ 60z j l j l ω==-Ω 140z j j c c ω=-=-Ω 15604015202553.13z z z z j j j eq r l c =++=+-=+=∠Ω 1000453.132553.13 u s A I z eq ??∠===∠-∠ 53.13)i t A =- 15453.136053.13U R V I R ??==?∠-=∠- 14090453.13160143.13U j V I C c ω??=-=∠-?∠-=∠- 6090453.1324036.87U j C V I L ω??==∠?∠-=∠ 11153.13(0.0240.032)252553.13 Y S j S eq z eq ===∠-=-∠复变函数与积分变换复习重点
(完整版)《复变函数与积分变换》习题册(2)
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