28．2．1 解直角三角形 1．理解解直角三角形的意义和条件；(重点) 2．根据元素间的关系，选择适当的关系式，求出所有未知元素．(难点) 一、情境导入 世界遗产意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜．设塔顶中心点为B, 塔身中心线与垂直中心线夹角为∠A ，过点B 向垂直中心线引垂线，垂足为点C .在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5.2m ，AB ＝54.5m ，求∠A 的度数． 在上述的Rt △ABC 中，你还能求其他未知的边和角吗？ 二、合作探究 探究点一：解直角三角形 【类型一】 利用解直角三角形求边或角 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、 ∠B 、∠C 的对边分别为a ，b ，c ，按下列条件解直角三角形． (1)若a ＝36，∠B ＝30°，求∠A 的度数和边b 、c 的长； (2)若a ＝62，b ＝66，求∠A 、∠B 的度数和边c 的长． 解析：(1)已知直角边和一个锐角，解直角三角形；(2)已知两条直角边，解直角三角形． 解：(1)在Rt △ABC 中，∵∠B ＝30°，a ＝36，∴∠A ＝90°－∠B ＝60°，∵cos B ＝a c ，即c ＝a cosB ＝363 2 ＝243，∴b ＝sin B ·c ＝12×243＝123； (2)在Rt △ABC 中，∵a ＝62，b ＝66，∴tan A ＝a b ＝ 33，∴∠A ＝30°，∴∠B ＝60°，∴c ＝2a ＝122. 方法总结：解直角三角形时应求出所有未知元素，解题时尽可能地选择包含所求元素与两个已知元素的关系式求解． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第4题 【类型二】 构造直角三角形解决长度问题
安溪县2019年初中学业质量检查 20．（8分）如图，已知△ABC ，∠C=90°． （1）请用尺规作图，在BC 边上找一点D ，使DB DA =；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若BC=4，cosB=4 5，求tan ∠CAD 的值． 晋江市 2019 年初中学业质量检查数学试题 13.机器人沿着坡度为 1:7 的斜坡向上走了25米，则机器人在竖直方向上升的高度为 ________米. 21.(8 分)在四边形 ABCD 中，CD ∥AB ，AC ⊥BD 于点 O ，AC=CB ，21 =AB CD , 求 sin ∠DBC 的 值.
2019年石狮市初中学业质量检查 8.如图，过∠MAN 的边AM 上的一点B （不与点A 重合）作BC ⊥AN 于点C ，过点C 作CD ⊥AM 于点D ，则下列线段的比等于tan A 的是（ ） A. C. D. 2019 年龙岩市九年级学业质量检查 2019 年福建省泉州市初中学业质量检查 21．(8 分)如图，在□ A BCD 中， AC 与 BD 相交于点O ， AC ⊥ BC ，垂足为C . 将?ABC 沿 AC 翻折得到?AEC ，连接 D E . 若 AC = 4 ， BC = 3 ，求sin ∠ABD 的值． 2019年三明市初中毕业班教学质量检测 6．如图，点A ，B ，C 在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长为1，则tan ∠BAC 的值为 A ．33 B ．3 C ．21 D ．1 2019年厦门市初中毕业班教学质量检测 2.如图1，在△ACB 中，∠C ＝90°，则BC AB 等于 A .sin A B . sin B C .tan A D . tan B （第6题） 图1 C B A
热点专项练(四) 解直角三角形应用 类型一 测宽 1. (2018·青海)如图,同学们利用所学知识去测量三江源某河段某处的宽度.小宇同学在A处观测对岸点C,测得∠CAD=45°,小英同学在距点A处60米远的B点测得∠CBD=30°,请根据这些数据算出河宽(精确到0.01米,2≈1.414,3≈1.732). C作CE⊥AB于E,设CE=x米. Rt△AEC中,∠CAE=45°,AE=CE=x. 在Rt△BEC中,∠CBE=30°,BE=3CE=3x. ∴3x=x+60.解得x=303+30≈81.96米. 答:河宽为81.96米. 类型二 测高 2. (2018·云南昆明)小婷在放学路上,看到隧道上方有一块宣传“中国——南亚博览会”的竖直标语牌CD.她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°,测得隧道底端B处的俯角为30°(B,C,D在同一条直线上),AB=10 m,隧道高6.5 m(即BC=6.5 m),求标语牌CD的长.(结果保留小数点后一位) (参考数据:sin 42°≈0.67,cos 42°≈0.74,tan 42°≈0.90,3≈1.73) ,连接CB,过点A作AE⊥BD于E, 在Rt△AEB中,∵∠EAB=30°,AB=10m,
∴AE=AB cos30°=10× 32=53(m),BE=ABsin 30°=10×1 2=5(m).∵BC=6.5m,∴CE=BC-BE=6.5-5=1.5(m), 在Rt△ADE 中, ∵∠EAD=42°,AE=53, ∴DE=AE ·tan42°=53×0.9≈5×1.73×0.9=7.785(m),∴CD=DE-CE ≈7.785- 1.5=6.285≈6.3(m). 类型三 航行类 3. (2018·四川眉山)知识改变世界,科技改变生活.导航装备的不断更新极大方便了人们的出行.如图,某校组织学生乘车到黑龙滩(用C 表示)开展社会实践活动,车到达A 地后,发现C 地恰好在A 地的正北方向,且距离A 地13千米,导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶至B 地,再沿北偏西37°方向行驶一段距离才能到达C 地,求B 、C 两地的距离.参考数据:sin 53°≈45,cos 53°≈3 5,tan 53°≈43 B 作BD ⊥A C ,垂足为 D , 设AD=x ,在Rt△ABD 中,tan A=BD AD , 即3=BD x ,∴BD=3x. 在Rt△BCD 中,tan ∠CBD=CD BD , 即43=CD 3x ,∴CD=43x 3,43x 3+x=13,
28.2 解直角三角形（二） 一、课前预习 (5分钟训练) 1.在△ABC 中，已知∠C=90°，BC=3，tanB=2，那么AC 为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 2.如图28－2－2－1，在△ABC 中,∠C=90°,点D 在BC 上，CD=3，AD=BC,且cos ∠ADC= 5 3 ，则BD 的长是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 图28－2－2－1 图28－2－2－２ 3.如图28－2－2－２，在离地面高度5 m 处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，则AC=______，AD=__________.（用根号表示） 二、课中强化(10分钟训练) 1.等腰三角形的两条边长分别是4 cm 、9 cm ，则等腰三角形的底角的余弦值是( ) A. 94 B.45.4 C.92 D.9 3 2.如果由点A 测得点B 在北偏东15°方向，那么点B 测得点A 的方向为___________. 3.如图28－2－2－3，已知在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝6，∠ABC ＝45°，求BC 长及tanC. 图28－2－2－3
4.如图28－2－2－４，初三年级某同学要测量校园内的旗杆AB的高度.在地面上C点用测角仪测得旗杆顶A点的仰角为∠AFE=60°，再沿着直线BC后退8米到D，在D点又测得旗杆顶A的仰角∠AGE=45°.已知测角仪的高度为1.6米，求旗杆AB的高度.（3的近似值取1.7，结果保留1位小数） 图28－2－2－４ 5.如图28－2－2－５，在比水面高2 m的A地，观测河对岸有一直立树BC的顶部B的仰角为30°，它在水中的倒影B′C顶部B′的俯角是45°，求树高BC.（结果保留根号） 图28－2－2－５ 三、课后巩固(30分钟训练) 1.如图28－2－2－6，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C 点的俯角为β，则较低建筑物CD的高度为( ) A.a B.atanα C.a(sinα－cosα) D.a(tanβ－tanα) 图28－2－2－6 图28－2－2－7
解直角三角形应用练习题 1 .如图，从山顶A望地面上C D两点，测得它们的俯角分别为45°和30°, 已知CD=10（米，点C位于BD上，则山高AB等于 第3题 4. （莆田市? 2000）有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底为6m下 底长为10m高为 2 3m ，那么此拦水坝斜坡的坡度和坡角分别为 （） A. 100米 C . 50 2 米 D. 50( .3 1)米 第1题 2. 一块四边形土地如图所示，其中/ ABD=120，AB丄AC，BD丄CD测得AB = 30 . 3m, CD = 50 3m 则这块土地的面积是 A. 2400 m2 B. ( ) 4800 .. 3m2 C. 2400 \ 3m22350：3m2 3.（黄冈市? 且它们的交角为 1 A. sin : 2000）如图，两条宽度都为1的纸条， a，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为 （ 交叉重叠放在一起, 第2题 ) B . sin a
5. （宁夏回族自治区?2000）某人沿着倾角为a 斜坡前进cm,那么他上升 的高度是 （ ） A. c ? sin a m B. c ? tan a m C. c ? cos a m D . a ? co t a m 6. （吉林省? 1999）如图，为测一河两岸相对两电线杆 A 、B 间的距离，在 距A 点15米的C 处（ACL AB ）测得/ ACB=50，贝U A B 间的距离应为 （ ） A. 15sin50。米 B . 15cos50° 米 C . 15tan50。米 D. 15cot50 米。 第6题 7. 如图，一渔船上的 渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东60°方向，这艘渔船 以28海里/时的速度向正东航行，半小时到达B 处，在B 处看见灯塔M 在北偏东 15°方向，此时灯塔M 与渔船的距离是 （ ） A. 7.2海里 B. 14 2海里 C . 7海里 D. 14海里 8. 已知有长为100米的斜坡AB,它的坡角是45°,现把它改成坡角是30° 的斜坡AD 贝U DB 的长是 __________ 。 9 .如图，线段AB CD 分别表示甲、乙两楼，AB 丄BD, CD L BD ，从甲楼顶部 A 处测得乙楼顶部C 的仰角为a =30。，测得乙楼底部D 的俯角 B =60。，已知甲 楼高AB=24米，则乙楼高CD= _________ 米。 — ,60° A. 3 C . 73,30° D. 3 北 北M \B
九年级下册数学解直角三角形同步 练习4 1·测得某坡面垂直高度为2m,水平宽度为4m,则坡度为 [ ] 2·在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,b=310,则a= ,c= ； 3·已知在直角梯形ABCD 中,上底CD=4,下底AB=10,非直角腰BC=34,则底角∠B= ； 4．如图：铁路的路基的横截面是等腰梯形,斜坡AB 的坡度为1∶3,BE 为33米,基面AD 宽2米,求路基的高AE,基底的宽BEC 及坡角B 的度数.（答案可带根号） 5．水坝横断面为等腰梯形,尺寸如图,（单位：米）坡度I= DE AE =1,求坡面倾斜角（坡角）,并计算修建长1000米的水坝约需要多少土方？ 6．如图,上午9时,一条船从A 处出发,以20节的速度向正北航行,11时到达B 处,从A ,B 望灯塔C ,测得∠NAC ＝36°,∠NBC ＝72°,那么从B 处到灯塔C 的距离是多少海里？ 7．如图,王聪同学拿一把∠ACB ＝30°的小型直角三角尺ABC 目测河流在市区河段的宽度．他先在岸边的点A 顺着30°角的邻边AC 的方向确定河对岸岸边的一棵树M ．然后,沿30°角的对边AB 的方向前进到点B ′,顺着斜边C B ''的方向看见M ,并测得B A '＝100 m,那么他目测的宽大约为多少？(结果精确到 1m)
8．海中有一个小岛A ,它的周围8海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在B 点测得小岛A 在北偏东60°,航行12海里到达D 点,这时测得小岛A 在北偏东30°．如果渔船不改变航向,继续向东捕捞,有没有触礁的危险？ 思考·探索·交流 1．如图,MN 表示某引水工程的一段设计路线,从M 到N 的走向为南偏东30°,在M 的南偏东60°的方向上有一点 A ,以 A 为圆心·500 m 为半径的圆形区域为居民区．取MN 上另一点B ,测得BA 的方向为南偏东 75°．已知MB ＝400 m,通过计算回答,如果不改变方向,输水路线是否会穿过居民区？ 答案：1·D 2·10,20 3·30° 4．解：∵3133 AE ∴AE=3（米） BC=（2+63）（米） ∠B=30°
4 解直角三角形 知识能力全练 知识点一解直角三角形 在ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，90C ∠=?，a =2，b =1，则cos A =______， tan B =______． （2017广东广州中考）如图2-4-1，Rt ABC ?中，90C ∠=?，BC =15，15tan 8 A =，则A B =______． 在Rt ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，90,C a b ∠=?==个直角三角形． 在Rt ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，90,36C B ∠=?∠=?，a =4，解这个直角三角形．（线段的长度精确到0.1） （2016内蒙古呼伦贝尔中考）如图2-4-2，ABC ?中，AD BC ⊥，垂足是D ，若BC =14，AD =12，3tan 4 BAD ∠=，求sin C 的值． （2016浙江丽水中考）数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°角的三角板的斜边与含30°角的三角板的长直角边相等．于是，小陆同学提出了一个问题：如图2-4-3，将一副三角板直角顶点重合拼在一起，点B ，C ，E 在同一直线上．若BC =2，求AF 的长． 请你运用所学的数学知识解决这个问题．
知识点二解非直角三角形 如图2-4-4，在ABC ?中，30,45,A B AC ∠=?∠=?=AB 的长为______． 在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A ，B 两个凉亭之间的距离，如图2-4-5所示，现测得AC =30m ，BC =70m ，120CAB ∠=?，请计算A ，B 两个凉亭之间的距离． 某片绿地的形状如图2-4-6所示，其中60,A AB BC ∠=?⊥于B ， AD CD ⊥于D ，AB =200m ，CD =100m ，求AD ，BC 的长．（精确到1m 1.732≈） 将一副三角板按图2-4-7①的方式摆放在一起，连接AD ，其示意图如图2-4-7①所示，试式BAD ∠的正切值． 一副直角三角板如图2-4-8所示放置，点C 在FD 的延长线上，//,90,45,60AB CF F ACB E A ∠=∠=?∠=?∠=?，AC =10，试求CD 的长． 三年模拟全练
24.4 解直角三角形 ◆随堂检测 1、在△ABC 中，∠C=90°，sinB=2 ，a 等于（ ）． A ．1 C ．2 D ．3 2、在Rt△ABC 中，∠C=90°，则下列关系中错误的是（ ）． A ．c=bsin B B ．a=btanA C ．b=csinB D ．b=acotA 3、在Rt△ABC 中，∠C=90°，两直角边之和等于12，tanB=2，则AB=______． 4、如图，是引位线固定电线杆的示意图．已知：CD ⊥AB，， ∠CAD=∠CBD=60°，则拉线AC 的长度是_______m ． 5、在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，a+b=4，求c ． ◆典例分析 根据下列条件解直角三角形，其中∠C=90°． （1）Rt△ABC 中，∠A=30°，c=6； （2）Rt△ABC 中，a=24， 解：（1）在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，c=6， ∴sin30°=a c =12 又∵∠A+∠B=90°，∴∠B=60°． （2）∵a=24， 根据勾股定理有b 2=c 2-a 2 ，∴b=24， ∴∠A=∠B=45°． 点评：解直角三角形时，如果给出的是一个锐角角和斜边，那么利用正弦和余弦求另外两条 边，利用直角三角形两个锐角互余求出另一个锐角；给出的条件是两边是利用勾股定理求出 第三边，再根据正切或余切求出锐角. ◆课下作业
C B A ●拓展提高 1、已知Rt△ABC 中，∠A=30°，a+b=1，则斜边c 为（ ）． A 2、一直角三角形的周长是 2，则这个三角形的面积是（ ）． A ．2 C ．1 D ．（ 3、如图，在△ABC 中，∠A=30°， AB 的长是（ ）． A ． ． ．5 D ． 92 4、在△ABC 中，∠A=60，AC=1， 为（ ）． A ．60° B．60°或120° C．30°或150° D．30° 5、菱形周长是24cm ，两相邻内角的比为1：2，试求菱形的面积． 6、如图，在一长方体盒内，长、宽、高分别是30cm ，40cm ，50cm ，盒内可放入的棍子最长 有多长？ 7、如图，已知从A 地经过B 地到达C 地，总行程为17km ，其中∠ABC=90°，?且∠BAC 的正切值为512 ，那么由A 地直接到C 地的最短距离是多少千米？