安溪县2019年初中学业质量检查
20．（8分）如图，已知△ABC ，∠C=90°．
（1）请用尺规作图，在BC 边上找一点D ，使DB DA =；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若BC=4，cosB=4
5，求tan ∠CAD 的值．
晋江市 2019 年初中学业质量检查数学试题
13.机器人沿着坡度为 1:7 的斜坡向上走了25米，则机器人在竖直方向上升的高度为
________米.
21.(8 分)在四边形 ABCD 中，CD ∥AB ，AC ⊥BD 于点 O ，AC=CB ，21
=AB CD , 求 sin ∠DBC 的
值.
2019年石狮市初中学业质量检查 8.如图，过∠MAN 的边AM 上的一点B （不与点A 重合）作BC ⊥AN 于点C ，过点C 作CD ⊥AM 于点D ，则下列线段的比等于tan A 的是（ ）
A.
C.
D. 2019 年龙岩市九年级学业质量检查
2019 年福建省泉州市初中学业质量检查
21．(8 分)如图，在□ A BCD 中， AC 与 BD 相交于点O ， AC ⊥ BC ，垂足为C . 将?ABC 沿 AC 翻折得到?AEC ，连接 D E .
若 AC = 4 ， BC = 3 ，求sin ∠ABD 的值．
2019年三明市初中毕业班教学质量检测
6．如图，点A ，B ，C 在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长为1，则tan ∠BAC 的值为
A ．33
B ．3
C ．21
D ．1 2019年厦门市初中毕业班教学质量检测
2.如图1，在△ACB 中，∠C ＝90°，则BC AB 等于
A .sin A
B . sin B
C .tan A
D . tan B
（第6题）
图1 C B
A
20.解：（1）作出AB 的垂直平分线交与D ，则点D 为所求；…………………………3分
中）在（ABC Rt ?2，,900=∠C
，AB BC B =cos 分，即4.5454????????==AB AB 分
5........,.........322=-=∴BC AB AC
.4A ,x DB D x CD -===则设
.24
7tan 7 (8)
7)4(3902
222
220
==∠∴=∴-=+=+=∠?AC CD CAD x x x AD CD AC C ACD Rt 分即中，在 13．21、解：∵CD ∥AB ，∴△OCD ∽△OAB ，
∴＝＝，∴＝＝．
∵AC ＝CB ，∴＝．
∵AC ⊥BD ，∴∠COB ＝90°．
在Rt △COB 中，sin ∠DBC ＝sin ∠OBC ＝＝．
8．C 13．3
22 21、解：方法一、如图1所示，过点A 作AF ⊥BD 于点F ，
∵BE ＝2BC ＝2×3＝6，DE ＝AC ＝4，
∴在Rt △BDE 中，BD ＝＝＝2
， ∵S △BDE ＝×DE ?AD ＝AF ?BD ，∴AF ＝
＝， ∵Rt △ABC 中，AB ＝＝5，∴Rt △ABF 中，
sin ∠ABF ＝sin ∠ABD ＝＝＝．
方法二、如图2所示，过点O 作OF ⊥AB 于点F ，同理可得，OB ＝BD ＝
，
∵S △AOB ＝OF ?AB ＝OA ?BC ，∴OF ＝＝，
∵在Rt△BOF中，sin∠FBO＝＝＝，∴sin∠ABD＝．
{来源}2019年泰州中考数学 {适用范围:3． 九年级} {标题}泰州市二〇一九年初中学业水平考试 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 {题型:1-选择题}一、选择题：本大题共 8小题，每小题 3 分，合计36分． {题目}1．（2019年江苏泰州T1）－1的相反数是 A ．±1 B ．－1 C ．0 D ．1 {答案}A {解析}本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，因此本题选D ． {分值}3 {章节:[1-1-2-3]相反数} {考点:相反数的定义} {类别:常考题} {难度:1-最简单} {题目}2．（2019年江苏泰州T2）下列图形中，是轴对称图形的是 A ． B ． C ． D ． {答案}B {解析}本题考查了轴对称图形的识别，B ．轴对称图形；D ．中心对称图形；A 、C 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，因此本题选B ． {分值}3 {考点:轴对称图形} {章节:[1-13-1-1]轴对称} {类别:常考题} {难度:1-最简单} {题目}3．（2019年江苏泰州T3）方程2x 2＋6x －1=0的两根为x 1、x 2，则12x x +等于（ ） A ．－6 B ．6 C ．－3 D ． 3 {答案}C {解析}本题考查了一元二次方程根与系数的关系，12b x x a +=- 6 32 =-=-因此本题选C ． {分值}3 {章节:[1-21-3] 一元二次方程根与系数的关系} {考点:根与系数关系} {类别:常考题} {难度:1-最简单} {题目}4．（2019年江苏泰州T4）小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如下表
常见的勾股数及公式
常见的勾股数及公式 武安市黄冈实验学校 翟升华搜集整理 我们知道，如果∠C=90°，a 、b 、c 是直角三角形的三边，则由勾股定理，得a 2+b 2=c 2；反之，若三角形的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则该三角形是直角三角形，c 为斜边．与此相类似，如果三个正整数a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则称a 、b 、c 为勾股数，记为（a ，b ，c ）．勾股数有无数多组，下面向同学们介绍几种： 一、三数为连续整数的勾股数 （3，4， 5）是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢 设三数为连续整数的勾股数组为（x －１，x ，x ＋１），则由勾股数的定义，得（x+1）2+x 2=（x+1）2，解得x ＝４或x ＝０（舍去），故三数为连续整数的勾股数只有一组（３，４，５）；类似有3n,4n,5n (n 是正整数)都是勾股数 。 二、后两数为连续整数的勾股数 易知：（５，１２，１３），（９，４０，４１），（１１３，６３３８，６３８５），…，都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢 a=2n+1,b=2n 2+2n,c=2n 2+2n+1（其特点是斜边与其中一股的差为1）. 分别取n ＝１，２，３，…就得勾股数组（３，４，５），（５，１２，１３），（７，２４，２５），… 三、前两数为连续整数的勾股数 你知道（２０，２１，２９），（１１９，１２０，１６９），（４０５９，４０６０，５７４１）…，这些都是前两数为连续整数的勾股数组。其公式为：（x ，x ＋１，1222++x x ）（x 为正整数）。 设前两数为连续整数的勾股数组为（x ，x ＋１，y ），y=1222++x x 则()22 21y x x =++（＊）
安溪县2019年初中学业质量检查 20．（8分）如图，已知△ABC ，∠C=90°． （1）请用尺规作图，在BC 边上找一点D ，使DB DA =；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若BC=4，cosB=4 5，求tan ∠CAD 的值． 晋江市 2019 年初中学业质量检查数学试题 13.机器人沿着坡度为 1:7 的斜坡向上走了25米，则机器人在竖直方向上升的高度为 ________米. 21.(8 分)在四边形 ABCD 中，CD ∥AB ，AC ⊥BD 于点 O ，AC=CB ，21 =AB CD , 求 sin ∠DBC 的 值.
2019年石狮市初中学业质量检查 8.如图，过∠MAN 的边AM 上的一点B （不与点A 重合）作BC ⊥AN 于点C ，过点C 作CD ⊥AM 于点D ，则下列线段的比等于tan A 的是（ ） A. C. D. 2019 年龙岩市九年级学业质量检查 2019 年福建省泉州市初中学业质量检查 21．(8 分)如图，在□ A BCD 中， AC 与 BD 相交于点O ， AC ⊥ BC ，垂足为C . 将?ABC 沿 AC 翻折得到?AEC ，连接 D E . 若 AC = 4 ， BC = 3 ，求sin ∠ABD 的值． 2019年三明市初中毕业班教学质量检测 6．如图，点A ，B ，C 在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长为1，则tan ∠BAC 的值为 A ．33 B ．3 C ．21 D ．1 2019年厦门市初中毕业班教学质量检测 2.如图1，在△ACB 中，∠C ＝90°，则BC AB 等于 A .sin A B . sin B C .tan A D . tan B （第6题） 图1 C B A
阶段质量检测（四） (A 卷 学业水平达标) (时间120分钟，满分150分) 一、选择题(共10小题，每小题6分，共60分) 1．直线l ：y ＝k ????x ＋1 2与圆C ：x 2＋y 2＝1的位置关系为( ) A ．相交或相切 B ．相交或相离 C ．相切 D ．相交 答案：D 2．已知圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＝0的圆心在直线x ＋y ＝1上，则D 与E 的关系是( ) A ．D ＋E ＝2 B ．D ＋E ＝1 C ．D ＋E ＝－1 D ．D ＋E ＝－2 答案：D 3．若圆C ：x 2＋y 2－2(m －1)x ＋2(m －1)y ＋2m 2－6m ＋4＝0过坐标原点，则实数m 的值为( ) A ．2或1 B ．－2或－1 C ．2 D ．1 答案：C 4．以正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱AB ，AD ，AA 1所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC 1中点坐标为( ) A.????1 2，1，1 B.????1，1 2，1 C.????1，1，12 D.??? ?12，1 2，1 答案：C 5．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．外切 D ．内切 答案：B 6．自点A (－1,4)作圆(x －2)2＋(y －3)2＝1的切线，则切线长为( ) A. 5 B ．3 C.10 D ．5 答案：B
7．直线3x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m等于() A.3或－ 3 B．－3或3 3 C．－33或 3 D．－33或3 3 答案：C 8．圆心在x轴上，半径长为2，且过点(－2,1)的圆的方程为() A．(x＋1)2＋y2＝2 B．x2＋(y＋2)2＝2 C．(x＋3)2＋y2＝2 D．(x＋1)2＋y2＝2或(x＋3)2＋y2＝2 答案：D 9．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为() A．6 B．4 C．3 D．2 答案：B 10．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为22，则实数a的值为() A．－1或 3 B．1或3 C．－2或6 D．0或4 答案：D 二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分) 11．在如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知A1(a,0，c)，C(0，b,0)，则点B1的坐标为________． 答案：(a，b，c) 12．(北京高考)直线y＝x被圆x2＋(y－2)2＝4截得的弦长为________． 答案：2 2 13．设点A为圆(x－2)2＋(y－2)2＝1上一动点，则A到直线x－y－5＝0的最大距离为________． 答案：52 2＋1
解直角三角形数学测试题 一、填空题 1、如图：P 是∠α的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3，4）， 则sin （900 - α）＝_____________. 2、3 2 可用锐角的余弦表示成__________. 3、在△ABC 中，∠ACB ＝900，CD ⊥AB 于D ，若AC ＝4，BD ＝7， 则sinA ＝ ， tanB ＝ . 4、若α为锐角，tan α＝ 2 1，则sin α＝ ，cos α＝ . 5、当x ＝ 时，x x x x cos sin cos sin -+无意义.（00＜x ＜900 ） 6、求值：=???45cos 2 260sin 21 . 7、如图：一棵大树的一段BC 被风吹断，顶端着地与地面成 300角，顶端着地处C 与大树底端相距4米，则原来大树高 为_________米. 8、已知直角三角形的两直角边的比为3:7，则最小角的正弦值为_______. 9、如图：有一个直角梯形零件ABCD 、AD ∥BC ，斜腰DC 的长为10cm ，∠D ＝120°，则该零件另一腰AB 的长是__________cm. 10、已知：tanx=2 ，则 sinx+2cosx 2sinx －cosx ＝____________. 二、选择题 1、在Rt △ABC 中，∠C =90°，a ＝1，c ＝4,则sinA 的值是（ ） A. 1515 B. 13 C. 14 D. 154
2、已知△ABC中，∠C=90°，tanA·tan 50°＝1，那么∠A的度数是（） A. 50° B. 40° C. ( 1 50 )° D. ( 1 40 )° 3、已知∠A+∠B=90°,且cosA=1 5 ，则cosB的值为( ) A. 1 5 B. 4 5 C. 26 5 D. 2 5 4、在Rt△ABC中，∠C=90°，已知a和A，则下列关系式中正确的是（） A. c＝α·sinA B. c＝ α sinA C. c＝α·cosB D. c＝ α cosA 5、如果α是锐角，且cosα＝4 5 ，那么sinα的值是（） A. 9 25 B. 4 5 C. 3 5 D. 16 25 6、1米长的标杆直立在水平的地面上，它在阳光下的影长为0.8米；在同一时刻，若某电视塔的影长为100米，则此电视塔的高度应是( ) A．80米 B. 85米 C. 120米 D. 125米 7、化简(1－sin50°)2－(1－tan50°)2的结果为( ) A. tan50°－sin50° B. sin50°－tan50° C. 2－sin50°－tan50° D. －sin50°－tan50° 8、在Rt△ABC中，∠C=90°，tan A=3，AC等于10，则S△ABC等于( )
s§28.2 《解直角三角形2》师生共用讲学稿 班级：_____ 学号： ________ 姓名：___________ 年级：九年级 学科：数学 主备人： 杨璇 主审人： 内容：解直角三角形 第二课时 课型： 新授课 时间： 年 月 日 学习目标 ： 解直角三角形与仰角、俯角等知识相结合，解决实际问题。 自学重点：构建数学模型 自学难点：将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的边角关系。 一.课前训练: 1.如图6-27，在离地面高度5米处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，求拉线AC 的长以及拉线下端点A 与杆底D 的距离AD(精确到0.01米 )． 分析：请审题：因为电线杆与地面应是垂直的，那么图6-27中△ACD 是直角三角形．其中CD=5m ，∠CAD=60°，求AD 、AC 的长． 2.燕尾槽的横断面是等腰梯形，图6-26是一燕尾槽的横断面，其中燕尾角B 是55°，外口宽AD 是180mm ，燕尾槽的深度是70mm ，求它的里口宽BC(精确到1mm)． Sina55°≈0.82,cos55°≈0.57,tan55°≈1.43,cot55°≈0.70. 分析：将上述问题转化为数学问题；等腰梯形ABCD 中，上底AD=180mm ，高AE=70mm ，∠B=55°，求下底BC ． 二．请大家自学教材第92页的例4 1.用解直角三角形的的知识解决实际问题时，要善于将某些实际问题中的数量关 系归结为直角三角形中的边角关系（即构建数学模型：直角三角形） 2．仰角和俯角：如图，在测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫______;从上向下看,视线与水平线的夹角叫____________. 俯角仰角视线水平线 视线 注意：仰角和俯角是相对的，关键是看视线和水平线的位置。 3.解直角三角形的应用的一般步骤:
例1．A B C △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知s in s in 2 A C a b A +=． （1）求B ； （2）若A B C △为锐角三角形，且1c =，求A B C △面积的取值范围． 【答案】（1）π3 B = ；（2）33( , )8 2 ． 【解析】（1）结合三角形内角的关系， 因为πs in s in 2 B a b A -=，结合正弦定理πsin sin sin sin 2 B A B A -=， 得c o s sin 2sin c o s 2 2 2 B B B B ==，即1s in 2 2 B = ， 得到 π2 6 B = ，π3 B = ． （2）由题设及（1）知A B C △的面积34A B C S a = △， 由正弦定理得s in s in (120) 3 1s in s in 2ta n 2 c A C a C C C ?-= = = + ， 由于A B C △为锐角三角形，故090A ?<
【解析】（1）由题得(2sin sin )c o s sin c o s A C B B C -=， ∴2sin co s sin co s sin co s A B C B B C -=， ∴2sin c o s sin c o s sin c o s sin ()sin A B C B B C B C A =+=+=，解得 1c o s 2 B = ， ∵(0,π)B ∈，∴π3 B = ． （2）2b =，由余弦定理得2 2 π42c o s 3 a c a c =+-，整理得224a c a c +-=， 又222a c a c a c a c a c +-≥-=，即4a c ≤， 则A B C △的面积的最大值为113s in 432 2 2 S a c B ==??= ． 1．如图，在A B C △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(sin co s )a c B B =+． （1）求A C B ∠的大小； （2）若∠=∠A C B A B C ，点A 、D 在B C 的异侧，2D B =，1D C =，求平面四边形A B D C 面积的 最大值． 【答案】（1） π4 ；（2） 524 + ． 【解析】（1）因为(sin co s )a c B B =+，且s in s in a c A C = ， 所以sin sin (sin c o s )A C B B =+， 在A B C △中，sin sin ()A B C =+，所以sin ()sin (sin co s )B C C B B +=+，所以 sin co s co s sin sin sin sin co s B C B C C B C B +=+，所以sin co s sin sin B C C B =， 因为在A B C △中，sin 0B ≠，所以co s sin C C =， 模拟精做
A C B 第 8 题 D H P G F E D C B A 三角形 ★★★主要知识点： 1．三角形的分类 三角形按边分类可分为_______和______(等边三角形是等腰三角形的特殊情况)；按角分类可分为______、_______和_______， 2．一般三角形的性质 (1)角与角的关系：三个内角的和等于___°；三个外角的和等于___；一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，并且大于任何—个和它不相邻的内角，____________。 (2)边与边的关系：三角形中任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边。 (3)边与角的大小对应关系：在一个三角形中，__边对等角；等角对等____。\ (4)三角形的主要线段的性质(见下表)： 名称 基本性质 角平分线 三角形三条内角平分线相交于一点（内心） 中线 三角形的三条中线相交于一点(重心) 高 三角形的三条高相交于一点（垂心） 3. 几种特殊三角形的特殊性质 （1）等腰三角形的特殊性质：等腰三角形的两个_____角、两 相等。 （2）等边三角形的特殊性质：等边三角形每个内角都等于___°，三边 。 （3）直角三角形的特殊性质：①直角三角形的两个锐角互为___角； 4. 三角形的面积一般三角形： S △ = 21 a h （ h 是a 边上的高 ） 例1： (基础题) 如图, AC //DF , GH 是截线. ∠CBF =40°, ∠ BHF =80°. 求∠HBF , ∠BFP , ∠BED .∠BEF 例2： (基础题) ①在△ABC 中，已知∠B = 40°，∠C = 80°，则∠A = ° ②如图，△ABC 中，∠A = 60°，∠C = 50°，则外角∠CBD = 。 ③已知，在△ABC 中， ∠A + ∠B = ∠C ，那么△ABC 的形状为（ ） A 、直角三角形 B 、钝角三角形 C 、锐角三角形 D 、以上都不对 ④下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A.3cm ，4cm ，8cm B.5cm ，6cm ，11cm C.5cm ，6cm ，10cm D.3cm ，8cm ，12cm ⑤如果一个三角形的三边长分别为x ，2，3，那么x 的取值范围是 。 ⑥小华要从长度分别为5cm 、6cm 、11cm 、16cm 的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是_ ． ⑦已知等腰三角形的一边长为6，另一边长为10，则它的周长为 ⑧在△ABC 中，AB = AC ，BC=10cm,∠A = 80°，则∠B = °， ∠C = °
教学过程设计
初中数学公式大全
1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12 两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180 ° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 平行四边形判定定理 1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 21 平行四边形判定定理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 22 平行四边形判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 23 平行四边形判定定理 4 一组对边平行相等的四边形是平行四
边形 24 矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直角 25 矩形性质定理 2 矩形的对角线相等 26 矩形判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形 27 矩形判定定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形 28 菱形性质定理 1 菱形的四条边都相等 29 菱形性质定理 2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 30 菱形面积= 对角线乘积的一半，即S= （a×b ）÷2 31 菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形 32 菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 33 正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等 34 正方形性质定理 2 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 35 定理1 关于中心对称的两个图形是全等的 36 定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分 37 逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称 38 等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等
热点专项练(四) 解直角三角形应用 类型一 测宽 1. (2018·青海)如图,同学们利用所学知识去测量三江源某河段某处的宽度.小宇同学在A处观测对岸点C,测得∠CAD=45°,小英同学在距点A处60米远的B点测得∠CBD=30°,请根据这些数据算出河宽(精确到0.01米,2≈1.414,3≈1.732). C作CE⊥AB于E,设CE=x米. Rt△AEC中,∠CAE=45°,AE=CE=x. 在Rt△BEC中,∠CBE=30°,BE=3CE=3x. ∴3x=x+60.解得x=303+30≈81.96米. 答:河宽为81.96米. 类型二 测高 2. (2018·云南昆明)小婷在放学路上,看到隧道上方有一块宣传“中国——南亚博览会”的竖直标语牌CD.她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°,测得隧道底端B处的俯角为30°(B,C,D在同一条直线上),AB=10 m,隧道高6.5 m(即BC=6.5 m),求标语牌CD的长.(结果保留小数点后一位) (参考数据:sin 42°≈0.67,cos 42°≈0.74,tan 42°≈0.90,3≈1.73) ,连接CB,过点A作AE⊥BD于E, 在Rt△AEB中,∵∠EAB=30°,AB=10m,
∴AE=AB cos30°=10× 32=53(m),BE=ABsin 30°=10×1 2=5(m).∵BC=6.5m,∴CE=BC-BE=6.5-5=1.5(m), 在Rt△ADE 中, ∵∠EAD=42°,AE=53, ∴DE=AE ·tan42°=53×0.9≈5×1.73×0.9=7.785(m),∴CD=DE-CE ≈7.785- 1.5=6.285≈6.3(m). 类型三 航行类 3. (2018·四川眉山)知识改变世界,科技改变生活.导航装备的不断更新极大方便了人们的出行.如图,某校组织学生乘车到黑龙滩(用C 表示)开展社会实践活动,车到达A 地后,发现C 地恰好在A 地的正北方向,且距离A 地13千米,导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶至B 地,再沿北偏西37°方向行驶一段距离才能到达C 地,求B 、C 两地的距离.参考数据:sin 53°≈45,cos 53°≈3 5,tan 53°≈43 B 作BD ⊥A C ,垂足为 D , 设AD=x ,在Rt△ABD 中,tan A=BD AD , 即3=BD x ,∴BD=3x. 在Rt△BCD 中,tan ∠CBD=CD BD , 即43=CD 3x ,∴CD=43x 3,43x 3+x=13,
二年级数学下学期期中识点整理复习专项考点练习班级：_____________ 姓名：_____________ 填空题 1. 在横线上填上合适的时间单位。 ①一节课的时间是40______。②看一场电影要2______。 ③小刚跑100米用了19______。④上午在学校的时间是4______。 ⑤爸爸每天休息7______。 2. 用乘法解决问题。 （1） （2） （3）买5只需要多少元？
3. 在横线里填上“﹥”“﹤”或“＝”。 4厘米______4分米 9毫米______3厘米 18毫米______1分米 5厘米______7毫米 4. 按要求填空。 1.小明、小红和小丽比赛跳远，小丽跳了8分米，小红跳了98厘米，小明跳了1米，第一名是______，第二名是______，第三名是______。 2.1千米=______米 1000米=______千米 5. 看一看，填一填。 看下图，小美从家出发，向______方向走可以到学校。 乘除法运算 6. 解决问题，列式计算。 1.学校买回63棵树苗，已经栽了15棵。剩下的每行栽7棵，可以载几行？还剩多少棵树苗？ 2.兔妈妈拔了31个萝卜，自己吃了4个，剩下的想平均分给5只小兔吃，每只小兔最多可以分得几个，还剩几个？
3.学校买回50个篮球，平均分给9个班级，每个班级分得几个，还剩几个？7. 动动脑，填一填。 6÷2=______ 30÷5=______ 20÷5=______ 想：二______得六想：五______三十想：______五二十 2.在（___）里填上合适的数字。 （___）×3=9 6÷（___）=6 16÷（___）=4 （___）÷5=1 8. 想一下，填一填。 有一串珠子，按照下面的顺序依次排列，第十九个珠子是______颜色。 9. 想一下，填一填。 1.每3根小棒摆一个三角形，27根小棒可以摆______个三角形。 算式：____________________。 2.动物园有8只大猴子，小猴子有32只，小猴子的只数是大猴子的______倍。算式：____________________。 3.40是5的______倍，算式：____________________。 10. 用竖式计算。 （1）29÷4= （2）38÷7= （3）47÷8= （4）52÷6=
23.2 解直角三角形及其应用2 教学目标 【知识与技能】在理解解直角三角形的含义、直角三角形五个元素之间关系的基础上,会运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形. 【过程与方法】通过综合运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形,逐步 培养学生分析问题、解决问题的能力. 【情感、态度与价值观】 在探究学习的过程中,培养学生合作交流的意识,使学生认识到数与形相结合的意义与作用,体会到学好数学知识的作用,并提高学生将数学知识应用于实际的意识,从而体验“从实践中来,到实践中去”的辩证唯物主义思想,激发学生学习数学的兴趣.让学生在学习过程中感受到成功的喜悦,产生后继学习激情,增强学好数学的信心. 重点难点 【重点】直角三角形的解法. 【难点】灵活运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形. 、教学过程 一、复习回顾师:你还记得勾股定理的内容吗? 生:记得. 学生叙述勾股定理的内容. 师:直角三角形的两个锐角之间有什么关系呢? 生:两锐角互余. 师:直角三角形中,30 °的角所对的直角边与斜边有什么关系? 生:30 °的角所对的直角边等于斜边的一半. 师:很好! 二、共同探究,获取新知 1. 概念. 师:由sinA=, 你能得到哪些公式? 生甲：a=csinA. 生乙:c=. 师：我们还学习了余弦函数和正切函数,也能得到这些式子的变形.这些公式有一个共同 的特点,就是式子的右端至少有一条边,为什么会是这样的呢? 学生思考. 生：因为左边的也是边,根据右边边与角的关系计算出来的应是长度. 师：对!解三角形就是由已知的一些边或角求另一些边和角,我们现在看看解直角三角形 的概念. 教师板书： 在直角三角形中，由已知的边角关系，求出未知的边与角，叫做解直角三角形 2?练习 教师多媒体课件出示： ⑴如图⑴和(2)，根据图中的数据解直角三角形；
浙教版初中数学试卷 2019-2020年八年级数学上册《特殊三角形》测试卷 学校：__________ 题号一二三总分 得分 评卷人得分 一、选择题 1．(2分)下列图形中，不是轴对称图形的是（） A．线段B．角C．直角三角形D．等腰三角形 2．(2分)如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点0，过点O作EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，△ABC的周长是24cm ，BC=10cm，则△AEF的周长是（） A．10 cm B．12cm C．14 cm D．34 cm 3．(2分)下列判断中，正确的是（） A．顶角相等的两个等腰三角形全等 B．腰相等的两个等腰三角形全等 C．有一边及锐角相等的两个直角三角形全等 D．顶角和底边分别相等的两个等腰三角形全等 4．(2分)已知等腰三角形一腰上的高线等于底边的一半，则这个等腰三角形的顶角等于（） A．120°B．90°C． 60°D．30° 5．(2分)如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D在BC上，AD=BD=2 cm，则CD长为（） A．3 cm B3cm C5D．4 cm
6．(2分)如图，△ABC是等边三角形，CD是∠ACB的平分线，过D作BC的平行线交AC于E．已知 △ABC的边长为 a，则EC的长是（） A．1 2 a B．a C． 3 2 a D．无法确定 7．(2分)下列说法错误的是（） A．三个角都相等的三角形是等边三角形 B．有两个角是60°的三角形是等边三角形 C．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 D．有两个角相等的等腰三角形是等边三角形 8．(2分)已知一个三角形的周长为39 cm，一边长为12 cm，另一边长为l5 cm，则该三角形是（） A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．无法确定 9．(2分)我们知道，等腰三角形是轴对称图形，下列说法中，正确的是（） A．等腰三角形顶角的平分线所在的直线是它的对称轴 B．等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴 C．等腰三角形底边上的高线所在的直线是它的对称轴 D．以上都对 评卷人得分 二、填空题 10．(2分)如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE 分别平分∠BAC 与∠ACB，AD 与 CE 相交于点 F .若∠B =62° , 则∠AFC = .
2019-2020学年人教版四年级（下）期末数学试卷1．直接写出得数． 0÷12＝25﹣25＝320×0＝101÷101＝16÷1＝408÷8＝46+244＝9×9﹣9＝71﹣0＝36×1100+0＝0﹣0÷14＝2．根据加法、减法、乘法和除法各部分的关系，写出另外两个算式．表一： 45+102＝147 375﹣86＝289 表二： 29×85＝2465 1000÷125＝8 3．计算下面各题，怎样简便就怎样计算 123﹣59+23﹣41 25×（4×96） 84×201﹣84 [780÷（128﹣113）]×65． 4．给全班39名同学每人买一套校服，4000元够不够？ 5．如图是用台秤称菠箩时显示的菠萝的质量，在括号里填上合适的数
二、填空题（共6小题，每小题0分，满分0分） 6．3.202是由个一、个十分之一和个千分之一组成． 7．按要求写出近似数． 3.389≈（保留整数） 290450元≈万元（精确到百分位） 8．在横线上填上合适的单位． 4800＝4.8＝0.0048 0.6＝60＝6000． 9．+1.3＝7.5 ﹣3.4＝21 31.1﹣＝0.39 5+＝19.92 10．请给长颈鹿、大象、鸵鸟和羚羊这四种动物的身高数据排排队． ＜＜＜． 11．把1，2，3，4，7五个数字填入下面的横线，使等式成立． ．+．＝ 三、解答题（共13小题，满分0分） 12．用5个大小相等的小正方体搭成下面三个立体图形，从面看这三个立体图形所看到的形状是完全一样的．
13．图中，阴影部分占整个图形的． 14．先补全下面这个轴对称图形，然后画出这个轴对称图形先向左平移12格，再向上平移2格后的图形． 15．画出或指出下面三角形指定底边上的高． 16．把图中的三角形和相应的名称用线连起来． 17．有两根长度分别为5厘米和3厘米的小棒，再添一根小棒（长度为整厘米数）可以搭成一个三角形，这个三角形的周长最长有厘米． 18．学校要购买48个足球．甲、乙两家体育用品商店一种足球的原价都是每个45元，这两家商店的优惠方式如下： 甲店：每个足球优惠8元． 乙店：买10个足球免费赠送2个，不足10个不赠送． 请你帮忙算一算，到哪家商店买更便宜？便宜多少钱？ 19．袁浩和冯哲每人买了一本书，袁浩付了20元，找回10.5元．冯哲买书花了24元．冯
勾股定理的逆定理 学习目标 1. 掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系． 2. 能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形. 3. 能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围. 要点梳理 要点一、勾股定理的逆定理 如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释： （1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1）首先确定最大边（如）. （2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直 角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 要点三、互逆命题 如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题. 要点诠释：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题. 要点梳理 要点四、勾股数
满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助： ①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41…… 如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 要点诠释： （1）（是自然数）是直角三角形的三条边长； （2）（是自然数）是直角三角形的三条边长； （3）（是自然数）是直角三角形的三条边长； 典型例题 类型一、原命题与逆命题 1、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 1．原命题：猫有四只脚． 2．原命题：对顶角相等. 3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端点的距离相等． 4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等． 【变式】下列命题中，其逆命题成立的是______________．（只填写序号） ①同旁内角互补，两直线平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等； ④如果三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形．类型二、勾股定理的逆定理 2、判断由线段组成的三角形是不是直角三角形． （1）＝7，＝24，＝25；
2.4 解直角三角形（2） 舜王初中备课组 学习目标： 1.能够构造直角三角形，利用直角三角形的角与角、边与边、角与边之间的关系解直角三角形. 2.通过解直角三角形提高学生的分析问题和解决问题的能力。感受数形结合在解题中的作用. 重点：解直角三角形. 难点：构造直角三角形 教学过程： 【温故知新】 1.什么叫做解直角三角形？ 2.在Rt △ABC 中，如图，∠C=90°,∠A,∠B ，∠C 的对边分别是a,b,c. （1）角之间的关系： （2）边之间的关系： 。 （3）角与边之间的关系： 【创设情境】 1、利用以上关系，已知直角三角形的两个元素（至少一个是 ），就可以解直角三角形了。 2、利用备好的三角形纸片摆一摆，拼一拼。大家试一试看谁摆的多？ 【探索新知】 活动一：探究例3 如图，在△ABC 中，已知∠A=60°，∠B=45°，AC=20cm,求AB 的长。 合作交流：（△ABC 不是直角三角形，怎么办？你是怎样构造直角三角形的?你构造的直角三角形能解决这个问题吗？试试看） 展示提升： 精讲点拨： 【巩固提升】 A
如图，在△ABC 中，已知∠B=45°，∠C=75°，AC=2cm,求BC 的长。 展示提升： 点评： 活动二：探究例4 已知一个等腰三角形ABC 的两边长分别为4和6，求底角的正切值. 合作交流：(要求底角的正切值，需在直角三角形中才能解答，怎么办呢？) 精讲点拨： 【巩固提升】 若等边三角形的边长为a,求它的面积 【课堂小结】(合作交流) 请你谈谈本节课的收获 （1） 知识上的收获 （2） 数学思想方法的领悟 【达标检测】 当堂检测： 1、在△ABC 中，已知 ∠A=60 °∠B ＝45°，AC ＝20cm ，求AB 的 长 2、如图，在△ABC 中，若∠B=60°，AB=6cm,，BC=8cm, 求（1）AC 的长 （2）△ABC 的面积 【我的反思】 B C B A
第1章解直角三角形同步练习卷B参考答案与试题解析一、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 1．（3分）已知α为锐角，若sinα=，则α=30°；若cosα=，则α=60°；若tanα=1，则α=45°． 考点：特殊角的三角函数值． 分析：根据我们记忆的特殊角的三角函数值，进行填空即可． 解答：解：α为锐角， 若sinα=，则α=30°； 若cosα=，则α=60°； 若tanα=1，则α=45°． 故答案为：30°、60°、45°． 点评：本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是熟练记忆一些特殊角的三角函数值． 2．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=． （1）若AB=10，则BC=6，AC=8，cosA=； （2）若BC=3x，则AB=5x，AC=4x，tanA=，tanB=，sinB=； （3）用计算器可以求得∠A≈36°52′12″，∠B≈53°7′48″（精确到1″）． 考点：解直角三角形；计算器—三角函数． 专题：计算题． 分析：（1）利用∠A正弦计算出BC=6，再利用勾股定理计算出AC=6，然后根据余弦的定义求∠B的余弦； （2）利用∠A正弦得到AB=5x，再利用勾股定理计算出AC=4x，然后根据锐角三角函数的定义求解； （3）用计算器可得到∠A≈36°52′12″，然后利用互余计算∠B． 解答： 解：（1）∵sinA=， ∴BC=10×=6， ∴AC===8， ∴cosA===； （2）∵sinA=， ∴AB==5x， ∴AC==4x，
∴tanA===，tanB===，sinB===； （3）∵sinA=， ∴∠A≈36°52′12″， ∴∠B=90°﹣∠A=53°7′48″． 故答案6，8，；5x，4x，，，；36°52′12″，53°7′48″． 点评：本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质． 3．（3分）（2010?荆州）如图，在△ABC中，∠B=45°，cos∠C=，AC=5a，则△ABC的面积用含a的式子表示是14a2． 考点：解直角三角形． 专题：压轴题． 分析：过A作BC的垂线，在构建的两个直角三角形中，通过解直角三角形求出BC的长以及BC边上的高，从而根据三角形的面积公式求出△ABC的面积表达式． 解答：解：过A作AD⊥BC于D． 在Rt△ACD中，AC=5a，cosC=， ∴CD=AC?cosC=3a，AD==4a． 在Rt△ABD中，AD=4a，∠B=45°， ∴BD=AD=4a． ∴BC=BD+CD=4a+3a=7a． 故S△ABC=BC?AD=×7a×4a=14a2． 点评：本题考查的是解直角三角形的应用，当两个直角三角形拥有公共边时，先求出这条公共边是解答此类题的一般思路．
常见的勾股数及公式 武安市黄冈实验学校 翟升华搜集整理 我们知道，如果∠C=90°，a 、b 、c 是直角三角形的三边，则由勾股定理，得a 2+b 2=c 2；反之，若三角形的三边 a 、 b 、 c 满足a 2+b 2=c 2，则该三角形是直角三角形，c 为斜边．与此相类似，如果三个正整数a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则称a 、b 、c 为勾股数，记为（a ，b ，c ）．勾股数有无数多组，下面向同学们介绍几种： 一、三数为连续整数的勾股数 （3，4， 5）是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢？ 设三数为连续整数的勾股数组为（x －１，x ，x ＋１），则由勾股数的定义，得（x+1）2+x 2=（x+1）2，解得x ＝ ４或x ＝０（舍去），故三数为连续整数的勾股数只有一组（３，４，５）；类似有3n,4n,5n (n 是正整数)都是勾股数 。 二、后两数为连续整数的勾股数 易知：（５，１２，１３），（９，４０，４１），（１１３，６３３８，６３８５），…，都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢？ a=2n+1,b=2n 2+2n,c=2n 2+2n+1（其特点是斜边与其中一股的差为1）. 分别取n ＝１，２，３，…就得勾股数组（３，４，５），（５，１２，１３），（７，２４，２５），… 三、前两数为连续整数的勾股数 你知道（２０，２１，２９），（１１９，１２０，１６９），（４０５９，４０６０，５７４１）…，这些都是前两数为连续整数的勾股数组。其公式为：（x ，x ＋１，1222++x x ）（x 为正整数）。 设前两数为连续整数的勾股数组为（x ，x ＋１，y ），y=1222++x x 则()22 21y x x =++（＊） 整理，得1222++x x ＝2y ，化为()121222-=-+y x ，即()y x 212++() y x 212-+＝－１， 又()()2121-+＝－１，∴()122 1++n ()1221+-n ＝－１（ｎ∈Ｎ）， 故取()y x 212++＝()1221++n ，()y x 212-+＝()1 221+-n ， 解之，得x ＝41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，y ＝42〔()1221++n －()1221+-n 〕， 故前两数为连续整数的勾股数组是（4 1〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕＋１，42〔()1221++n －()1221+-n 〕）． 四、后两数为连续奇数的勾股数 如(8，15，17), (12，35，37) …其公式为：4(n+1),4(n+1)2-1,4(n+1)2+1(n 是正整数) . 五、其它的勾股数组公式： 1.a=2m,b=m 2－1,c=m 2+1（m 大于1的整数）. 2.a=21（m 2－n 2）,b=mn,c= 21（m 2+n 2 ）（其中m>n 且是互质的奇数）. 3.a=2m,b=m 2－n 2,c=m 2+n 2（m>n,互质且一奇一偶的任意正整数）. 下面我们把100以内的勾股数组列出来，供同学们参考： 3 4 5；5 12 13；6 8 10；7 24 25；8 15 17；9 12 15；9 40 41；10 24 26；11 60 61；12 16 20； 12 35 37；13 84 85；14 48 50；15 20 25；15 36 39；15 112 113；16 30 34；16 63 65 17 144 145；18 24 30；18 80 82；19 180 181；20 21 29；20 48 52；20 99 101；21 28 35 21 72 75；21 220 221；22 120 122；23 264 265；24 32 40；24 45 51；24 70 74；24 143 145