关于一般总体数学期望的假设检验

第四节 关于一般总体数学期望的假设检验

在前两节中，我们讨论了正态总体的假设检验问题. 本节我们讨论一般总体的假设检验问题，此类问题可借助一些统计量的极限分布近似地进行假设检验，属于大样本统计范畴. 其理论依据是中心极限定理.

内容分布图示

★ 一个一般总体均值的大样本假设检验

★ 例1 ★ 例2

★ 两个一般总体均值的大样本假设检验

★ 例3

★ 一个)10(-分布总体参数的大样本假设检验

★ 例4 ★ 例5

★ 两个)10(-分布总体参数的大样本假设检验

★ 例6

★ 内容小结 ★ 课堂练习

★ 习题7-4 ★ 返回

内容要点：

一、一般总体数学期望的假设检验

1．一个总体均值的大样本假设检验

设非正态总体X 的均值为μ，方差为2σ，n X X X ,,,21 为总体X 的一个样本，样本的均值为X ，样本的方差为2S ，则当n 充分大时，由中心极限定理知，n

X U σμ-=近似地服从).1,0(N 所以对μ的假设检验可以用前面讲过的u 检验法. 这时所不同的是拒绝域是近似的，这是关于一般总体数学期望的假设检验的简单有效的方法。

对于双侧检验：,00:μμ=H ,:01μμ≠H 可得近似的拒绝域为

=W ,,2/2/???

? ???+?-n u X n u X σσαα 对于右侧检验：,00:μμ≤H ,:01μμ>H 可得近似的拒绝域为

=W ,,???

? ??+∞?+n u X σα 对于左侧假检验：,00:μμ≥H ,:01μμ

=W ,,???? ?

??-∞-n u X σα 注 若标准差σ未知，可以用样本标准差S 来代替. 即当n 充分大时，由中心极限定理知，

).1,0(/0N n

S X T n 近似地服从μ-=

只需将上述的σ用S 代替，U 用n T 代替，可得到类似的结论.

2．两个总体均值的大样本假设检验

设有两个独立的总体Y X ,, 其均值分别为,,21μμ方差分别为22

21,σσ,均值与方差均未知,现从两个总体中分别抽取样本容量21,n n （21,n n 均大于100）的大样本1,,,21n X X X 与

2,,,21n Y Y Y ,X 与Y 及21S 与22

S 分别为这两个样本的样本均值及样本方差,记2w S 是21S 与22S

的加权平均

.2

)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S w 检验假设 .:,:)1(211210μμμμ≠=H H

.

:,:)3(,:,:)2(211210211210μμμμμμμμ<≥>≤H H H H 若22

21σσ≠,可采用以下检验统计量及其近似分布)(21μμ= ),1,0(//222121N n S n S Y

X U 近似地服从+-=

若22

21σσ=,可采用以下检验统计量及其近似分布)(21μμ= ),1,0(/1/1)(2

1N n n S Y X U w 近似地服从+-= 对于给定的显著性水平α,有

1) 对假设(1) αα≈≥}|{|2/u U P ，此时拒绝域为

2/||αu U ≥；

2) 对假设(2) αα≈>}{u U P ，此时拒绝域为αu U >；

3) 对假设(3) αα≈-<}{u U P ，此时拒绝域为αu U -<.

二、（0-1）分布总体数学期望的假设检验

在实际问题中, 常常需要对一个事件A 发生的概率p 进行假设检验. 从而可以设总体是服从两点分布的情况.

1．一个0-1 分布总体参数的检验

设总体n X X X p b X ,,,),,1(~21 是取自X 的一个样本，p 为未知参数。关于参数p 的检验问题有三种类型:

检验假设.:,:)1(0100p p H p p H ≠=

.

:,:)3(:,:)2(01000100p p H p p H p p H p p H <≥>≤ 因对于这种类型的假设检验无现成的统计量可利用,一般借助于中心极限定理对这类假设进行检验. 因

,/)1()(,)(n p p X D p X E -==

由中心极限定理,当n 充分大（30≥n ）时,有

)1,0(/)1(N n

p p p X 近似地服从--, 其中n

X n

μ=，n μ是n 次独立重复试验中事件A 发生)1(=X 即的次数。 若0H 为真, 则

)1,0(/)1(000N n p p p X U 近似地服从--= 对于给定的显著性水平α,有

1）对假设(1) αα≈≥}|{|2/u U P ，此时拒绝域为2/||αu U ≥；

2）对假设(2) αα≈>}{u U P ，此时拒绝域为αu U >；

3）对假设(3) αα≈-<}{u U P ，此时拒绝域为αu U -<.

2．两个0-1 分布总体参数的检验

对两个独立0-1总体Y X 与，我们要检验的是两个总体参数21,p p 差异性.故给出 检验假设 ,:,:)1(211210p p H p p H ≠=

.

:,:)3(,:,:)2(211210211210p p H p p H p p H p p H <≥>≤ 由中心极限定理,当0H 为真且21,n n 充分大（100,21均大于n n ）时，有

)1,0()/1/1)(1(212

1N n n P P P P U 近似地服从+--=,

其中,),/()(,/,/2122112121n n P n P n P n n n n ++===μμμμ 1n μ是1n 次独立重复试验中事件A 发生)1(=X 即的次数, 2n μ是2n 次独立重复试验中事件B 发生)1(=Y 即的次.

对于给定的显著性水平α,有

1) 对假设(1) 由αα≈≥}|{|2/u U p ，可得拒绝域为2/||αu U >；

2) 对假设(2) 由αμα≈>}{U p ，可得拒绝域为αu U ≥；

3) 对假设(3) 由αα≈-<}{u U p ，可得拒绝域为αu U -<.

例题选讲：

一般总体数学期望的假设检验

1．一个总体均值的大样本假设检验

例1 (讲义例1) 某厂的生产管理员认为该厂第一道工序加工完的产品送到第二道工序进行加工之前的平均等待时间超过90min. 现对100件产品的随机抽样结果是平均等待时间为96min, 样本标准差为30min. 问抽样的结果是否支持该管理员的看法(05.0=α)?

例2 (讲义例2) 在可靠性理论与应用中, 常根据设备或部件不同的失效性质, 以指数分布,韦布尔(Weibull)分布, 伽马分布, 对数正态分布等多种寿命分布类来描述设备或部件的使用寿命. 某厂新研究并开发了某类设备所需的关键部件，由于尚缺乏足够的经验数据, 还无法判定此部件的使用寿命所服从的分布类型. 现通过加速失效试验法, 测得了100个新生产部件的使用寿命, 并算出了它们样本均值的观测值为84.17=x (kh), 样本标准差的观测值为25.1=s (kh), 试问: 由这些数据能否判定此部件的连续使用寿命至少为2年?(给定显著性水平01.0=α).

2．两个总体均值的大样本假设检验

例3 (讲义例3) 为比较两种小麦植株的高度(单位:cm), 在相同条件下进行高度测定, 算得样本均值与样本方差分别如下:

甲小麦: 8.35,28,100211===s x n

乙小麦: .3.32,26,100222===s y n

在显著性水平05.0=α下,这两种小麦株高之间有无显著差异(假设两个总体方差相等)?

（0-1）分布总体数学期望的假设检验

1．一个0-1 分布总体参数的检验

例4 (讲义例4) 一项调查结果声称, 某市老年人口的比重为15.2%. 该市老年人口研究会为了检验该项调查结果是否可靠, 随机抽选了400名居民, 发现其中有62位老年人. 问调查结果是否支持该市老年人口比重为15.2%的看法(01.0=α)?

例5 (讲义例5) 某地区主管工业的负责人收到一份报告, 该报告中说他主管的工厂中执行环境保护条例的厂家不足60%, 这位负责人认为应不低于60%, 于是他在该地区众多的工厂中随机抽查了60个厂家, 结果发现有33家执行了环境条例, 那么由他本人的调查结果能否证明那份报告中的说法有问题(05.0=α)?

2．两个0-1 分布总体参数的检验

例6 (讲义例6) 在A 县调查15001=n 个农户, 其中有中小型农业机械的农户3001=n μ户; 在B 县调查18002=n 户, 其中有中小型农业机械的农户3202=n μ户. 试在显著性水平

05.0=α下检验两个县有中小型农户的比率有无差异?

课堂练习

1.丽华厂有批产品10000件，按规定的标准，出厂时的次品率不得超过3%，质量检验员从中任意抽取100件，发现其中有5件次品，问这批产品能否出厂？（)05.0=α

高中数学离散型随机变量的期望与方差练习(含答案)

离散型随机变量均值与方差专题练习 一、单选题（共16题；共32分） 1.将三颗骰子各掷一次，记事件A=“三个点数都不同”，B=“至少出现一个6点”，则条件概率P（A|B），P （B|A）分别是（） A. ， B. ， C. ， D. ， 2.已知随机变量ξ服从正态分布N（1，1），若P（ξ＜3）=0.977，则P（﹣1＜ξ＜3）=（） A. 0.683 B. 0.853 C. 0.954 D. 0.977 3.随机变量X的取值为0，1，2，若P（X=0）= ，E（X）=1，则D（X）=（） A. B. C. D. 4.已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（X≥4）=0.1587，则P（2＜X＜4）=（） A. 0.6826 B. 0.3413 C. 0.4603 D. 0.9207 5.甲乙等人参加米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是（） A. B. C. D. 6.不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球，现从中逐个不放回地摸出小球，直到取出所有红球为止，则摸取次数的数学期望是（） A. B. C. D. 7.下面说法中正确的是（） A. 离散型随机变量ξ的均值E（ξ）反映了ξ取值的概率的平均值 B. 离散型随机变量ξ的方差D（ξ）反映了ξ取值的平均水平 C. 离散型随机变量ξ的均值E（ξ）反映了ξ取值的平均水平 D. 离散型随机变量ξ的方差D（ξ）反映了ξ取值的概率的平均值 8.每次试验的成功率为，重复进行10次试验，其中前7次都未成功，后3次都成功的概率为（） A. B. C. D. 9.已知随机变量，则（） A. B. C. D. 10.设随机变量的分布列为，，则等于（） A. B. C. D. 11.现在有张奖券，张元的，张元的，某人从中随机无放回地抽取张奖券，则此人得奖金额的数学期望为（）

高中数学典型例题详解和练习- 求分段函数的导数

求分段函数的导数 例 求函数?????=≠=0 ,00 ,1sin )(2 x x x x x f 的导数 分析：当0=x 时因为)0(f '存在，所以应当用导数定义求)0(f '，当 0≠x 时，)(x f 的关系式是初等函数x x 1 sin 2，可以按各种求导法同求它的导数． 解：当0=x 时，01sin lim 1 sin lim ) 0()(lim )0(0200 ===-='→?→?→?x x x x x x f x f f x x x 当 ≠x 时， x x x x x x x x x x x x x x x f 1 cos 1sin 2)1cos 1(1sin 2)1(sin 1sin )()1sin ()(22222-=-+='+'='=' 说明：如果一个函数)(x g 在点0x 连续，则有)(lim )(0 0x g x g x x →=，但如 果我们不能断定)(x f 的导数)(x f '是否在点00=x 连续，不能认为 )(lim )0(0 x f f x →='． 指出函数的复合关系 例 指出下列函数的复合关系． 1．m n bx a y )(+=；2．32ln +=x e y ； 3．)32(log 322+-=x x y ；4．)1sin(x x y +=。 分析：由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解决这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外及里，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常

见的基本函数，逐步确定复合过程． 解：函数的复合关系分别是 1．n m bx a u u y +==,； 2．2,3,ln +===x e v v u u y ； 3．32,log ,322+-===x x v v u y u ； 4．.1,sin ,3x x v v u u y +=== 说明：分不清复合函数的复合关系，忽视最外层和中间变量都是基本函数的结构形式，而最内层可以是关于自变量x 的基本函数，也可以是关于自变量的基本函数经过有限次的四则运算而得到的函数，导致陷入解题误区，达不到预期的效果． 求函数的导数 例 求下列函数的导数． 1．43)12(x x x y +-=；2．2 211x y -= ； 3．)3 2(sin 2π +=x y ；4．21x x y +=。 分析：选择中间变量是复合函数求导的关键．必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系．要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中特别要注意中间变量的系数．求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数．

随机变量的数学期望与方差

第9讲随机变量的数学期望与方差 教学目的：1.掌握随机变量的数学期望及方差的定义。 2.熟练能计算随机变量的数学期望与方差。 教学重点： 1．随机变量的数学期望 For personal use only in study and research; not for commercial use 2．随机变量函数的数学期望 3．数学期望的性质 4．方差的定义 For personal use only in study and research; not for commercial use 5．方差的性质 教学难点：数学期望与方差的统计意义。 教学学时：2学时。 For personal use only in study and research; not for commercial use 教学过程： 第三章随机变量的数字特征 §3.1 数学期望 For personal use only in study and research; not for commercial use 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了。然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的，而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了。因此，在对随机变量的研究中，确定其某些数字特征是重要的，而在这些数字特征中，最常用的是随机变量的数学期望和方差。

1．离散随机变量的数学期望 我们来看一个问题： 某车间对工人的生产情况进行考察。车工小张每天生产的废品数X 是一个随机变 量，如何定义X 取值的平均值呢？ 若统计100天，32天没有出废品，30天每天出一件废品，17天每天出两件废品， 21天每天出三件废品。这样可以得到这100天中每天的平均废品数为 27.1100 213100172100301100320=?+?+?+? 这个数能作为X 取值的平均值吗？ 可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的 天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是 1.27。 对于一个随机变量X ，若它全部可能取的值是 ,,21x x ， 相应的概率为 ,,21P P ， 则对X 作一系列观察(试验)所得X 的试验值的平均值是随机的。但是，如果试验次数 很大，出现k x 的频率会接近于K P ，于是试验值的平均值应接近 ∑∞=1k k k p x 由此引入离散随机变量数学期望的定义。 定义1 设X 是离散随机变量，它的概率函数是 ,2 ,1,)()(====k P x X P x p K K k 如果 ∑∞ =1||k k k p x 收敛，定义X 的数学期望为 ∑∞ ==1)(k k k p x X E 也就是说,离散随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和。 例1 某人的一串钥匙上有n 把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地 试用这串钥匙中的某一把去开门。若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数 的数学期望。

高考纠错专题29离散型随机变量的分布列、期望与方差(解析版)

专题29 离散型随机变量的分布列、期望与方差（解析版） 易错点1：二项式展开式的通项公式、n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的概率与二项分布的分布列三者易记混； 通项公式：1r n r r r n T C a b -+= （它是第ｒ＋１项而不是第ｒ项）； 事件A 发生k 次的概率：()(1)k k n k n n P k C p p -=-； ()=,0,1,2,3,01,1k k n k n p k C p q k n p p q 且ξ-==<<+=； 易错点2：混淆二项分布和超几何分布的期望和方差； 题组一 1．(2018全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，(4)(6)P X P X =<=，则p = A ．0．7 B ．0．6 C ．0．4 D ．0．3 【解析】由题意，X~B(10,p),所以DX=10×p×(1-p)=2.4,p=0.4或0.6，又(4)(6)P X P X =<=，即()()644466101011C p p C p p -<-，得1,0.62 p p >=所以 2.（2017新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，表示抽到的二等品件数，则DX = ． 【解析】由题意，X~B(100,0.02),所以DX=100×0.02×(1-0.02)=1.96 题组二 3．（2019全国I 理21）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ． （1）求X 的分布列；

《数学期望与方差》习题解答

概率论《数学期望与方差》 习题参考解答 1. 如果ξ服从0-1分布, 又知ξ取1的概率为它取0的概率的两倍, 求ξ的期望值 解：由习题二第2题算出ξ的分布率为 ξ 0 1 P 1/3 2/3 因此有E ξ=0×P (ξ=0)+1×P (ξ=1)=2/3 2. 矩形土地的长与宽为随机变量ξ和η, 周长ζ=2ξ+2η, ξ与η的分布律如下表所示: 而求出的周长ζ的分布律如下表所示: 长的分布计算. 解: 由长和宽的分布率可以算得 E ξ=29×P (ξ=29)+30×P (ξ=30)+31×P (ξ=31) =29×0.3+30×0.5+31×0.2=29.9 E η=19×P (η=19)+20×P (η=20)+21×P (η=21) =19×0.3+20×0.4+21×0.3=20 由期望的性质可得 E ζ=2(E ξ+E η)=2×(29.9+20)=99.8 而如果按ζ的分布律计算它的期望值, 也可以得 E ζ=96×0.09+98×0.27+100×0.35+102×0.23+104×0.06=99.8 验证了期望的性质. 4. 连续型随机变量ξ的概率密度为 ?? ?><<=其它 )0,(10)(a k x kx x a ? 又知E ξ=0.75, 求k 和a 的值。 解: 由性质?+∞ ∞ -=1)(dx x ? 得11 1 )(| 10 1 1 =+= += =++∞ ∞ -??a k x a k dx kx dx x a a ?

即k =a +1 (1) 又知 75.02 2 )(| 10 2 1 1 =+= += = = +++∞ ∞ -?? a k x a k dx kx dx x x E a a ?ξ 得k =0.75a +1.5 (2) 由(1)与(2)解得 0.25a =0.5, 即a =2, k =3 6. 下表是某公共汽车公司的188辆汽车行驶到发生一次引擎故障的里程数的分布数列.若表中各以组中值为代表. 从188辆汽车中, 任意抽选15辆, 得出下列数字: 90, 50, 150, 110, 90, 90, 110, 90, 50, 110, 90, 70, 50, 70, 150. (1)求这15个数字的平均数; (2) 计算表3-9中的期望并与(1)相比较. 解 (90+50+150+110+90+90+110+90+50+110+90+70+50+70+150)/15 = 91.33 (2) 按上表计算期望值为 (10×5+30×11+50×16+70×25+90×34+110×46+130×33+150×16+170×2)/188 =96.17 7. 两种种子各播种300公顷地, 调查其收获量, 如下表所示, 分别求出它们产量的平均值(计算时以组中值为代表). E ξ=(4500×12+4800×38+5100×40+5400×10)/100=4944 E η=(4500×23+4800×24+5100×30+5400×23)/100=4959 8. 一个螺丝钉的重量是随机变量, 期望值为10g , 标准差为1g . 100个一盒的同型号螺丝钉重量的期望值和标准差各为多少?(假设各个螺丝钉的重量相互之间独立) 解: 假设这100个螺丝钉的重量分别为ξ1, ξ2,…, ξ100, 因此有 E ξi =10, D ξi =102=12=1, (i =1,2,…,100), 设ξ为这100个螺丝钉的总重量，因此 ∑== 100 1 i i ξ ξ，则ξ的数学期望和标准差为

高考中的分布列、期望、方差问题

几种常见题型的解法 一、从分类问题角度求概率 例2（日本高考题）袋内有9个白球和3个红球，从袋中任意地顺次取出三个球（取出的球不再放回），求第三次取出的球是白球的概率。 二、从不等式大小比较的角度看概率 例3 “幸运52”知识竞猜电视节目，为每位选手准备5道试题，每道题设“Yes ”与“No ”两个选项，其中只有一个是正确的，选手每答对一题，获得一个商标，假设甲、乙两位选手仅凭猜测独立答题，是否有99%的把握断定甲、乙两位选手中至少有一位获得1个或1个以上的商标？ 三、从“至多”、“至少”的角度看概率. 例4、有三种产品，合格率分别是0.90、0.95和0.95，各取一件进行检验。（I ）求恰有一件不合格的概率；（II ）求至少有两件不合格的概率（精确到0.001）。 四、从“或”、“且”的角度看概率 例5甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或被乙解出的概率为0.92。 （1）求该题被乙独立解出的概率； （2）求解出该题的人数 的数学期望和方差。 相关练习 1.（山东卷7）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为 （A ） 51 1 （B ） 681（C ）3061 （D ）408 1 2.（福建卷5)某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为4 5,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是 A. 16 625 B. 96625 C. 192 625 D. 256 625 3.（辽宁卷7）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ） A ． 13 B ． 12 C ． 23 D ． 34 4.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为 2 1 与p ，且乙投球2

期望与方差例题选讲有详解

概率统计（理）典型例题选讲 (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P (A )＝) ()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤： ① 计算一次试验的基本事件总数n ; ② 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; ③ 依公式()m P A n =求值; ④ 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ); 特例：对立事件的概率：P (A )＋P (A )＝P (A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P (A ·B )＝P (A )·P (B ); 特例：独立重复试验的概率：P n (k )＝k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： ① 求概率的步骤是： 第一步，确定事件性质???? ???等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步，判断事件的运算?? ?和事件积事件 即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件. 第三步，运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复. 典型例题分析 1.有10张卡片，其中8张标有数字2，有2张标有数字5.从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片上的数字和为ξ，求Eξ与Dξ.

正态分布的数学期望与方差

正态分布的数学期望与方差 正态分布： 密度函数为：分布函数为 的分布称为正态分布，记为N(a, σ2). 密度函数为： 或者 称为n元正态分布。其中B是n阶正定对称矩阵，a是任意实值行向量。 称N(0,1)的正态分布为标准正态分布。 （1）验证是概率函数（正值且积分为1） （2）基本性质： （3）二元正态分布： 其中， 二元正态分布的边际分布仍是正态分布： 二元正态分布的条件分布仍是正态分布：

即（其均值是x的线性函数） 其中r可证明是二元正态分布的相关系数。 （4）矩，对标准正态随机变量，有 （5）正态分布的特征函数 多元正态分布 （1）验证其符合概率函数要求（应用B为正定矩阵，L为非奇异阵，然后进行向量线性变换） （2）n元正态分布结论 a) 其特征函数为： b) 的任一子向量,m≤n 也服从正态分布，分布为其中，为保留B 的第，…行及列所得的m阶矩阵。 表明：多元正态分布的边际分布还是正态分布 c) a,B分别是随机向量的数学期望及协方差矩阵，即 表明：n元正态分布由它的前面二阶矩完全确定 d) 相互独立的充要条件是它们两两不相关 e) 若，为的子向量，其中是，的协方差矩阵，则是，相应分量的协方差构成的相互协方差矩阵。则相互独立的充要条件为＝0 f) 服从n元正态分布N(a,b)的充要条件是它的任何一个线性组合服

从一元正态分布 表明：可以通过一元分布来研究多元正态分布 g) 服从n元正态分布N(a,b),C为任意的m×n阶矩阵，则服从m元正态分布 表明：正态变量在线性变换下还是正态变量，这个性质简称正态变量的线性变换不变性 推论：服从n元正态分布N(a,b)，则存在一个正交变化U，使得是一个具有独立正态分布分量的随机向量，他的数学期望为Ua，而他的方差分量是B的特征值。 条件分布 若服从n元正态分布N(a,b)，，则在给定下，的分布还是正态分布，其条件数学期望： (称为关于的回归) 其条件方差为： （与无关）

新课标高考期望与方差经典高考题

期望与方差 1.某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数ξ的分布列． 2.某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为 4 3 ，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数ξ的分布列． 3.一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量ξ 的分布列． 4.一批零件中有9个合格品与3个不合格品．安装机器时，从这批零件中任取一个．如果每次取出的不合格品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列．

5.（2012年高考（安徽理））某单位招聘面试,每次从试题库随机调用一道试题,若调用的是A 类型试题,则使用后该试题回库,并增补一道A 类试题和一道B 类型试题入库,此次调题工作结束;若调用的是B 类型试题,则使用后该试题回库,此次调题工作结束.试题库中现共有n m +道 试题,其中有n 道A 类型试题和m 道B 类型试题,以X 表示两次调题工作完成后,试题库中A 类试题的数量. (Ⅰ)求2X n =+的概率; (Ⅱ)设m n =,求X 的分布列和均值(数学期望). 6.（2012年高考（天津理））现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏. (Ⅰ)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率: (Ⅱ)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率: (Ⅲ)用,X Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记=||X Y ξ-,求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ.

k52006年高考第一轮复习数学：12.2 离散型随机变量的期望值和方差

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12.2
离散型随机变量的期望值和方差
●知识梳理 1.期望：若离散型随机变量ξ ，当ξ =xi 的概率为 P（ξ =xi）=Pi（i=1，2，…，n，…） ， 则称 Eξ =∑xi pi 为ξ 的数学期望，反映了ξ 的平均值. 2.方差：称 Dξ =∑（xi－Eξ ）2pi 为随机变量ξ 的均方差，简称方差. D? 叫标准差， 反映了ξ 的离散程度. 3.性质： （1）E（aξ +b）=aEξ +b，D（aξ +b）=a2Dξ （a、b 为常数）. （2）若ξ ～B（n，p） ，则 Eξ =np，Dξ =npq（q=1－p）. ●点击双基 1.设投掷 1 颗骰子的点数为ξ ，则 A.Eξ =3.5，Dξ =3.52 C.Eξ =3.5，Dξ =3.5 解析：ξ 可以取 1，2，3，4，5，6. P（ξ =1）=P（ξ =2）=P（ξ =3）=P（ξ =4）=P（ξ =5）=P（ξ =6）= ∴Eξ =1× B.Eξ =3.5，Dξ = D.Eξ =3.5，Dξ =
35 12 35 16
1 ， 6
1 1 1 1 1 1 +2× +3× +4× +5× +6× =3.5， 6 6 6 6 6 6 2 2 2 Dξ =［ （1－3.5） +（2－3.5） +（3－3.5） +（4－3.5）2+（5－3.5）2+（6－3.5）2］ 1 17.5 35 = = . 6 6 12 答案：B 2.设导弹发射的事故率为 0.01，若发射 10 次，其出事故的次数为ξ ，则下列结论正确 的是 A.Eξ =0.1 B.Dξ =0.1
× C.P（ξ =k）=0.01k·0.9910
－k
k D.P（ξ =k）=C 10 ·0.99k·0.0110
－k
解析：ξ ～B（n，p） ，Eξ =10×0.01=0.1. 答案：A 3.已知ξ ～B（n，p） ，且 Eξ =7，Dξ =6，则 p 等于 A.
1 7
B.
1 6
C.
1 5 1 . 7
D.
1 4
解析：Eξ =np=7，Dξ =np（1－p）=6，所以 p=
答案：A 4.一牧场有 10 头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为 0.02.设发 病的牛的头数为ξ ，则 Dξ 等于 A.0.2 B.0.8 C.0.196 D.0.804

十年高考理科数学真题 专题十一 概率与统计 三十五离散型随机变量的分布列、期望与方差及答案

专题十一 概率与统计 第三十五讲离散型随机变量的分布列、期望与方差 2019年 1.（2019天津理16）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立. （Ⅰ）用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望； （Ⅱ）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率. 2．（2019全国I 理21）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ． （1）求X 的分布列； （2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i =L 表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =L ，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=． (i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =L 为等比数列； (ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性． 3.（2019北京理17） 改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变。近年来，移动支付已成为主要支付方式之一。为了解某校学生上个月A ,B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机

数学期望(均值)、方差和协方差的定义与性质

均值、方差和协方差的定义和基本性质 1 数学期望（均值）的定义和性质 定义：设离散型随机变量X 的分布律为 {}, 1,2,k k P X x p k === 若级数 1k k k x p ∞=∑ 绝对收敛，则称级数1k k k x p ∞=∑的和为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。即 ()1k k k E X x p ∞==∑。 设连续型随机变量X 的概率密度为()f x ，若积分 ()xf x dx ∞?∞? 绝对收敛，则称积分 ()xf x dx ∞?∞?的值为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。即 ()()E X xf x dx ∞ ?∞=? 数学期望简称期望，又称为均值。 性质：下面给出数学期望的几个重要的性质 （1）设C 是常数，则有()E C C =； （2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有()()E CX CE X =； （3）设X 和Y 是两个随机变量，则有()()()E X Y E X E Y +=+，这一性质可以推 广至任意有限个随机变量之和的情况； （4）设X 和Y 是相互独立的随机变量，则有()()()E XY E X E Y =。 2 方差的定义和性质 定义：设X 是一个随机变量，若(){}2E X E X ?????存在，则称(){}2E X E X ?????为X

的方差，记为()D X 或()Var X ，即 性质：下面给出方差的几个重要性质 （1）设C 是常数，则有()0D C =； （2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有 ()()2D CX C D X =，()()D X C D X +=； （3）设X 和Y 是两个随机变量，则有 ()()()()()()(){}2D X Y D X D Y E X E X Y E Y +=++?? 特别地，若X 和Y 相互独立，则有()()()D X Y D X D Y +=+ （4）()0D X =的充分必要条件是以概率1取常数()E X ，即(){}1P X E X ==。 3 协方差的定义和性质 定义：量()(){} E X E X Y E Y ??????????称为随机变量X 与Y 的协方差。记为(),Cov X Y ，即 ()()(){},Cov X Y E X E X Y E Y =?????????? 性质：下面给出协方差的几个重要性质 （1）()(),,Cov X Y Cov Y X = （2）()(),Cov X X D X = （3）()()()(),Cov X Y E XY E X E Y =? （4）()(),,,,Cov aX bY abCov X Y a b =是常数 （5）()()()1212,,,Cov X X Y Cov X Y Cov X Y +=+ 参考文献 [1]概率论与数理统计（第四版），浙江大学

离散型随机变量的期望值和方差

12.2
离散型随机变量的期望值和方差
一、知识梳理 1.期望：若离散型随机变量ξ ，当ξ =xi 的概率为 P（ξ =xi）=Pi（i=1，2，…，n，…） ， 则称 Eξ =∑xi pi 为ξ 的数学期望，反映了ξ 的平均值. 期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.Eξ 由ξ 的分布列唯一确定. 2.方差：称 Dξ =∑（xi－Eξ ）2pi 为随机变量ξ 的均方差，简称方差.
D?
叫标准差，反
映了ξ 的离散程度. 3.性质： （1）E（aξ +b）=aEξ +b，D（aξ +b）=a2Dξ （a、b 为常数）. （2）二项分布的期望与方差：若ξ ～B（n，p） ，则 Eξ =np，Dξ =npq（q=1－p）. Dξ 表示ξ 对 Eξ 的平均偏离程度，Dξ 越大表示平均偏离程度越大，说明ξ 的取值越分 散. 二、例题剖析 【例 1】 设ξ 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求 Eξ 、Dξ .
ξ P －1
1 2
0 1－2q
1 q2
拓展提高
既要会由分布列求 Eξ 、Dξ ，也要会由 Eξ 、Dξ 求分布列，进行逆向思维.如：若ξ 是 离散型随机变量，P（ξ =x1）=
3 5 2 5 7 5
，P（ξ =x2）=
，且 x1，Dξ =
6 25
.求ξ
的分布列. 解：依题意ξ 只取 2 个值 x1 与 x2，于是有 Eξ = Dξ =
3 5 3 5
x1+
2 5
x2=
2 5
7 5
，
6 25
x12+
x22－Eξ 2=
.
从而得方程组 ?
?3 x1 ? 2 x 2 ? 7 , ? ?3 x1 ?
2
? 2x2
2
? 11 .
【例 2】 人寿保险中（某一年龄段） 在一年的保险期内， ， 每个被保险人需交纳保费 a 元， 被保险人意外死亡则保险公司赔付 3 万元，出现非意外死亡则赔付 1 万元.经统计此年龄段一 年内意外死亡的概率是 p1，非意外死亡的概率为 p2，则 a 需满足什么条件，保险公司才可能 盈利? 【例 3】 把 4 个球随机地投入 4 个盒子中去，设ξ 表示空盒子的个数，求 Eξ 、Dξ .
特别提示
求投球的方法数时，要把每个球看成不一样的.ξ =2 时，此时有两种情况：①有 2 个空盒 子，每个盒子投 2 个球；②1 个盒子投 3 个球，另 1 个盒子投 1 个球. 【例 4】 若随机变量 A 在一次试验中发生的概率为 p（02D? ? 1 E?
的最大值.
【例 5】 袋中装有一些大小相同的球，其中有号数为 1 的球 1 个，号数为 2 的球 2 个， 号数为 3 的球 3 个，…，号数为 n 的球 n 个.从袋中任取一球，其号数作为随机变量ξ ，求ξ
1

数学期望和方差的应用

２ＱＱ２±：箜！塑工 －学术－理论现代衾案一 数学期望和方差的应用 陈奕宏张鑫 （武警广州指挥学院广东广州５１０４４０） 摘要：本文主要讨论随机变量的数学期望和方差的性质，利用随机变量的对称性可简化求数学期望和方差的计算过程： 关键词：对称性数学期望方差 在教学过程中，由于很多同学对概牢论巾的定义和性质认识不深刻，冈此对概率论巾的问题存在许多认识误区，进一步影响了计算、证明能力。 性质ｌ对随机变量ｘ和ｙ，则有Ｅ（ｎｎ簟Ⅸ＋Ｅｙ①性质２设随机变量ｘ和ｙ相互独立，贝咿育层陇ｎ＝Ｅｘ?Ｅｙ②定义ｌ设Ｘ是一个随机变量，若ＥＩ肛删Ｉｚ存在，则称其为Ｘ的方差，记为Ｄｘ。即 Ｄｘ＝坦Ｉｘ—Ｅｘ】２③显然可得：们，－ＥｌＸ一以】２ ＝Ｅ瞄２—２ｘＥＸ＋（踊２］ ＝麟ｚ一（删）：④性质３设随机变量ｘ和ｙ相互独立，则有层孵ｙ：净Ｅ孵?Ｅｙ２⑤证明：设随机变量Ｘ和ｙ的联合分布密度为ｍ砂），｜ｊｌ《为ｘ和ｙ相互独立，有 “ｒ，ｙ）＝＾（掌）。，ｒ（ｙ） ．’．Ｅ（ｘ２ｙ２）＝Ｊ一。Ｊ一。工２ｙ２“ｒ，ｊ，）ｄ膏咖 ＝ｅｅｘ２ｙ２以（ｒ）厂ｒ（ｙ）如咖 ＝Ｃｘ２＾（工）如Ｃｙ２加）咖 ：Ｅｘ２Ｅ】，２⑥性质４设随机变量ｘ和ｌ，，ｎ和西为常数，则有Ｅ（口Ｘ２＋６ｙ２）＝ｎ露ｘ２＋６曰ｙ２（Ｄ证明：设随机变量ｘ和ｌ，的联合分布密度为厂（ｘ，ｊ，），则有 Ｅ似ｘ２＋６ｙ２）＝Ｊ＋。Ｊ一。（口工２＋６ｊ，２）“ｒ，ｊ，）ｄ＿咖 ＝ｅ仁ｎｘ２ｆｌｘ，，Ｍｘｄｙ＋ｅ仁ｂ矿ｆＩｘ，ｙⅪｘｄｙ ，＋∞，＋∞ｒ十ｏ，＋∞ ＝ｎ＼一。＼一亭２ｆＩｘ，如ｄｘｄ，＋ｂ１．。１一。旷ｆＩｘ，，Ⅺｘｄｙ ＝口ｆ）２【ｅ№ｊ，）ｄｙ】ｄｒ拍ｅｊ，２【Ｃ“础）ｄｘ协 ＝口仁量２【ｅ，（Ⅵ）ｄｙＪｄｘ柏ｅｊ，２【Ｃ，（础）ｄｘ坳 ＝ｎ尽２以（ｒ）ｄｙ拍Ｄ２加）ｄｙ ＝口ＥＸ２＋西Ｅｙ２ 掣狮，＝∥茗引ｍ，＝驴㈣’翟引 求Ｅ伍２＋ｙ２）。 解：Ｅ（ｘ２＋ｙ２）＝Ｅｘ２＋Ｅｙｚ（南公式⑦） ＝Ｉ：一４ｒ３出＋炒．１２ｙ２（１＋ｙ）咖《 性质５设随机变量ｘ和ｙ卡Ｈ互独立，则有 Ｄ（ｘ的＝Ｄｘ?Ｄｙ＋（Ｅ幻２?Ｄｌ，＋（层ｙ）２?Ｄｘ⑧ 证明：ＯＤⅨｙ）＝层（ｘｙ）２一ＩＥ（ｘｙ）Ｊ２ ＝Ｅ（Ｘ２ｙ２）一（ＥＸ）２（Ｅ】，）２ 南公式⑤，所以 Ｄ（Ｘｎ＝ＥＸ２Ｅｙ２一（ＥＸ）２（Ｅ”２ ＝曰ｘ２Ｅｌ，２一（Ｅ的２ＥＰ＋（Ｅ的２（Ｅｌ，）２一（Ｅ抑２僻ｙ）２ ＝【层ｘ２一（ＥＸ）２】ＥＰ＋（Ｅｘ）２【（Ｅ】，）２一（日ｙ）２】 矗剪陋妒＋（雕净汗钮曙（联）辚苦帮 ＝ｎ碰Ｉｙ＋（ＥＹ）２Ｄｙ＋（Ｅｙ）２蹦 显然，若随机变量ｘ和ｙ独立，则可得Ｄ（ｘｎ＞Ｄｘ?Ｄｙ⑨例设随机变量ｘ和ｌ，相互独立，均服从Ⅳ（Ｏ，１）分布，ｆ＝ｘ—ｙ，叩＝ｘｙ，试求１）Ｄ叩；２）ｐ￡。。 解：１）方法一 ＯＸ和ｙ相互独立 ．‘．Ｄ即＝Ｄ（ｘｙ）＝Ｅ（ｘｌ，）２一【层（ｘ聊】２ ＝Ｅ（ｒ—ｌ，）２一（以Ｅ的２ ＝Ｅ舻ＥＰ（由公式⑤） ＝【脚“（Ｅ的２】【Ｄｙ；（Ｅ玢２】＝１ 方法二 ０Ｘ和ｙ相互独立 ．?．Ｄｑ＝Ｄ（ｘ】，）＝似Ｄｙ＋（Ｅ柳２Ｄｙ＋（目】，）２Ｄｘ＝ｌ（由公式⑧）２）ｏｐ。：』业 ｑ厩丽 又ＯｃｏＶ（ｆ，＇７）＝层【（ｆ—Ｅｆ）（＇７一露７７）ｊ ＝层（ｘ２ｙ）一Ｅ（ｘＰ）（把ｆ＝ｘ—ｙ，’７＝ｘｙ代人） 曲（南ｘ与ｒ鹃对称性）综上所述，本文主要讨论连续型随机变量的数字特征的性质，结合对随机变量的对称性可解决存概率论巾一些常见的求数［字特征的问题。 参考文献： …盛骤等编概率论与数理统计高等教育出版社２００１．１２口 现代企业教育ＭＯＤＥＲＮＥＮＴＥＲＰＲＩＳＥＥＤＵＣＡＴＩＯＮ１１７　万方数据

高考复习数学期望试题及详解.docx

高考复习考点自测含答案 1．(2017·山东)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( )． A. 65 B.6 5 C. 2 D ．2 解析 由题意知a ＋0＋1＋2＋3＝5×1，解得，a ＝－1. s 2 ＝－1－12＋0－12＋1－12＋2－12＋3－12 5 ＝2. 答案 D 2．已知X 的分布列为 X －1 0 1 P 12 13 16 设Y ＝2X ＋3，则E (Y )的值为( )． A.7 3 B ．4 C ．－1 D ．1 解析 E (X )＝－12＋16＝－1 3 ， E (Y )＝E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝－23＋3＝7 3 . 答案 A 3．(2017·湖北)ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知ξ的期望E (ξ)＝8.9，则y A ．0.4 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.9 解析 x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，即x ＋y ＝0.6.① 又7x ＋0.8＋2.7＋10y ＝8.9，化简得7x ＋10y ＝5.4.② 由①②联立解得x ＝0.2，y ＝0.4. 答案 A 4．设随机变量X ～B (n ，p )，且E (X )＝1.6，D (X )＝1.28，则( )． A ．n ＝8，p ＝0.2 B ．n ＝4，p ＝0.4 C ．n ＝5，p ＝0.32 D ．n ＝7，p ＝0.45 解析 ∵X ～B (n ，p )，∴E (X )＝np ＝1.6， D (X )＝np (1－p )＝1.28，∴??? n ＝8， p ＝0.2. 答案 A 5．(2017·上海)随机变量ξξ 7 8 9 10 P 0.3 0.35 0.2 0.15 该随机变量ξ的均值是解析 由分布列可知E (ξ)＝7×0.3＋8×0.35＋9×0.2＋10×0.15＝8.2. 答案 8.2 6．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中任取3件，若ξ表示取到次品的个数，则E (ξ)＝________. 解析 ξ的取值为0,1,2,3，则 P (ξ＝0)＝C 312C 316＝1128；P (ξ＝1)＝C 212C 14C 316＝33 70； P (ξ＝2)＝C 112C 24C 316＝970；P (ξ＝3)＝C 34C 316＝1 140 .

期望-方差公式

期望与方差的相关公式 -、数学期望的来由 早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目，题目是这样的：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。当比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？ 用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为1/2+(1/2)*(1/2)=3/4，或者分析乙获胜的概率为(1/2)*(1/2)＝1/4。因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。 这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。 定义1 若离散型随机变量ξ可能取值为i a （i =1，2，3 ，…），其分布列为i p （i =1，2，3， …），则当i i i p a ∑∞ =1 <∞时，则称ξ存在数学期望，并且数学期望为E ξ=∑∞ =1 i i i p a ， 如果i i i p a ∑∞ =1 =∞，则数学期望不存在。[]1 定义2 期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=x i 的概率为P （ξ=x i ）=P i （i =1，2，…，n ，…），则称E ξ=∑x i p i 为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值. 期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.E ξ由ξ的分布列唯一确定. 二、数学期望的性质 （1）设C 是常数，则E(C )=C 。 （2）若k 是常数，则E (kX )=kE (X )。 （3）)E(X )E(X )X E(X 2121+=+。 三、 方差的定义 前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，

高考数学离散型随机变量的期望与方差题型归纳

高考数学离散型随机变量的期望与方差解答题 考点预测和题型解析 在高考中，离散型随机变量的期望与方差试题的出题背景大多数源于课本上，有时也依赖于历年的高考真题、资料中的典型题例为背景，涉及主要问题有：产品检验问题、射击、投篮问题选题、选课，做题，考试问题、试验，游戏，竞赛，研究性问题、旅游，交通问题、摸球球问题、取卡片，数字和入座问题、信息，投资，路线等问题。属于基础题或中档题的层面。高考中一定要尽量拿满分。 ● 考题预测 离散型随机变量的期望与方差涉及到的试题背景有：产品检验问题、射击、投篮问题选题、选课，做题，考试问题、试验，游戏，竞赛，研究性问题、旅游，交通问题、摸球球问题、取卡片，数字和入座问题、信息，投资，路线等问题。 从近几年高考试题看，离散型随机变量的期望与方差问题还综合函数、方程、数列、不等式、导数、线性规划等知识主要考查能力。 ● 知识点回顾 1．离散型随机变量的期望： （1）若离散型随机变量ξ的概率分布为 则称 ++++=n n p x p x p x E 2211ξ为ξ的数学期望（平均值、均值） 简称为期望。 ① 期望反映了离散型随机变量的平均水平。 ② ξE 是一个实数，由ξ的分布列唯一确定。 ③ 随机变量ξ是可变的，可取不同值。 ④ ξE 是不变的，它描述ξ取值的平均状态。 （2）期望的性质： ① C C E =)(为常数）C ( ② b aE b a E +=+ξξ)( 为常数）b a ,( ③ 若),(~p n B ξ，则np E =ξ （二项分布）

2．离散型随机变量的方差 （1）离散型随机变量的方差：设离散型随机变量ξ可能取的值为,,,,,21 n x x x 且这些值的概率分别为 ,,,,,321n p p p p 则称 +-+-=222121)()(p E x p E x D εεε…+-+n n p E x 2)(ε…；为ξ 的方差。 ① 反映随机变量取值的稳定与波动。 ② 反映随机变量取值的集中与离散的程度。 ③ ξD 是一个实数，由ξ的分布列唯一确定。 ④ ξD 越小，ξ取值越集中，ξD 越大，ξ取值越分散。 ⑤ ξD 的算术平均数ξD 叫做随机变量ξ的标准差， 记作σξ。 注：在实际中经常用期望来比较两个类似事件的水平，当水平相近时，再 用方差比较两个类似事件的稳定程度。 （2）方差的性质： ① 0)(=C D 为常数）C ( ② ξξD a b a D 2)(=+ 为常数）b a ,( ③ 若),(~p n B ξ，则npq D =ξ p q -=1其中 （二项分布） ⑤ 22)(ξξξE E D -= 考点预测 根据离散型随机变量的试题背景进行考题类型预测： 考点1：产品检验问题 【例1】已知：甲盒子内有3个正品元件和4个次品元件，乙盒子内有5个正品元件和4个次品元件，现从两个盒子内各取出2个元件，试求 （Ⅰ）取得的4个元件均为正品的概率； （Ⅱ）取得正品元件个数ε的数学期望. 【例2】 某车间在三天内，每天生产10件某产品，其中第一天，第二天分别生产出了1件、2件次品，而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，