1．设离散型 R..V .X 的分布律为
X
-1
1
2
P
求： E(X),E(X 2),E( X 2
2),D(X) .
2．设 R..V .X 的密度函数为 f ( x)
3x 2 0 x A
,已知 E( X )
3
，求常数 A ,
A 3
其它
2
并求 D(X).
3．设 R..V .X 与 Y 相互独立 ,其概率密度分别为
2x 当0 x 1
e ( y 5)
当
y 5 . f Y (x)
f X ( x)
其它 ,
其它
求 E(XY) .
4．设二维随机变量 ( X , Y) 的分布律为
Y
1
2
X
1
且已知 E(Y ) 1，试求：（1）常数 ， ； （2） E(XY) ；
（3） E(X ) ．
5．设随机变量 ( X ,Y) 的联合分布率为
(X,Y)
(1 ,0)
(1 ,1)
(2 ,0) (2 ,1)
P
a
b
若 E( XY ) 0.8 ，求 cov( X ,Y) .
6．设 ( X ,Y) 服从在区域 D 上的均匀分布，其中 D 为 x 轴、 y 轴及 x
y 1 所围成，
求 X 与 Y 的协方差 cov( X , Y)
离散型随机变量均值与方差专题练习 一、单选题（共16题；共32分） 1.将三颗骰子各掷一次，记事件A=“三个点数都不同”，B=“至少出现一个6点”，则条件概率P（A|B），P （B|A）分别是（） A. ， B. ， C. ， D. ， 2.已知随机变量ξ服从正态分布N（1，1），若P（ξ＜3）=0.977，则P（﹣1＜ξ＜3）=（） A. 0.683 B. 0.853 C. 0.954 D. 0.977 3.随机变量X的取值为0，1，2，若P（X=0）= ，E（X）=1，则D（X）=（） A. B. C. D. 4.已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（X≥4）=0.1587，则P（2＜X＜4）=（） A. 0.6826 B. 0.3413 C. 0.4603 D. 0.9207 5.甲乙等人参加米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是（） A. B. C. D. 6.不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球，现从中逐个不放回地摸出小球，直到取出所有红球为止，则摸取次数的数学期望是（） A. B. C. D. 7.下面说法中正确的是（） A. 离散型随机变量ξ的均值E（ξ）反映了ξ取值的概率的平均值 B. 离散型随机变量ξ的方差D（ξ）反映了ξ取值的平均水平 C. 离散型随机变量ξ的均值E（ξ）反映了ξ取值的平均水平 D. 离散型随机变量ξ的方差D（ξ）反映了ξ取值的概率的平均值 8.每次试验的成功率为，重复进行10次试验，其中前7次都未成功，后3次都成功的概率为（） A. B. C. D. 9.已知随机变量，则（） A. B. C. D. 10.设随机变量的分布列为，，则等于（） A. B. C. D. 11.现在有张奖券，张元的，张元的，某人从中随机无放回地抽取张奖券，则此人得奖金额的数学期望为（）
第9讲随机变量的数学期望与方差 教学目的：1.掌握随机变量的数学期望及方差的定义。 2.熟练能计算随机变量的数学期望与方差。 教学重点： 1．随机变量的数学期望 For personal use only in study and research; not for commercial use 2．随机变量函数的数学期望 3．数学期望的性质 4．方差的定义 For personal use only in study and research; not for commercial use 5．方差的性质 教学难点：数学期望与方差的统计意义。 教学学时：2学时。 For personal use only in study and research; not for commercial use 教学过程： 第三章随机变量的数字特征 §3.1 数学期望 For personal use only in study and research; not for commercial use 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了。然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的，而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了。因此，在对随机变量的研究中，确定其某些数字特征是重要的，而在这些数字特征中，最常用的是随机变量的数学期望和方差。
1．离散随机变量的数学期望 我们来看一个问题： 某车间对工人的生产情况进行考察。车工小张每天生产的废品数X 是一个随机变 量，如何定义X 取值的平均值呢？ 若统计100天，32天没有出废品，30天每天出一件废品，17天每天出两件废品， 21天每天出三件废品。这样可以得到这100天中每天的平均废品数为 27.1100 213100172100301100320=?+?+?+? 这个数能作为X 取值的平均值吗？ 可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的 天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是 1.27。 对于一个随机变量X ，若它全部可能取的值是 ,,21x x ， 相应的概率为 ,,21P P ， 则对X 作一系列观察(试验)所得X 的试验值的平均值是随机的。但是，如果试验次数 很大，出现k x 的频率会接近于K P ，于是试验值的平均值应接近 ∑∞=1k k k p x 由此引入离散随机变量数学期望的定义。 定义1 设X 是离散随机变量，它的概率函数是 ,2 ,1,)()(====k P x X P x p K K k 如果 ∑∞ =1||k k k p x 收敛，定义X 的数学期望为 ∑∞ ==1)(k k k p x X E 也就是说,离散随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和。 例1 某人的一串钥匙上有n 把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地 试用这串钥匙中的某一把去开门。若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数 的数学期望。
概率论《数学期望与方差》 习题参考解答 1. 如果ξ服从0-1分布, 又知ξ取1的概率为它取0的概率的两倍, 求ξ的期望值 解：由习题二第2题算出ξ的分布率为 ξ 0 1 P 1/3 2/3 因此有E ξ=0×P (ξ=0)+1×P (ξ=1)=2/3 2. 矩形土地的长与宽为随机变量ξ和η, 周长ζ=2ξ+2η, ξ与η的分布律如下表所示: 而求出的周长ζ的分布律如下表所示: 长的分布计算. 解: 由长和宽的分布率可以算得 E ξ=29×P (ξ=29)+30×P (ξ=30)+31×P (ξ=31) =29×0.3+30×0.5+31×0.2=29.9 E η=19×P (η=19)+20×P (η=20)+21×P (η=21) =19×0.3+20×0.4+21×0.3=20 由期望的性质可得 E ζ=2(E ξ+E η)=2×(29.9+20)=99.8 而如果按ζ的分布律计算它的期望值, 也可以得 E ζ=96×0.09+98×0.27+100×0.35+102×0.23+104×0.06=99.8 验证了期望的性质. 4. 连续型随机变量ξ的概率密度为 ?? ?><<=其它 )0,(10)(a k x kx x a ? 又知E ξ=0.75, 求k 和a 的值。 解: 由性质?+∞ ∞ -=1)(dx x ? 得11 1 )(| 10 1 1 =+= += =++∞ ∞ -??a k x a k dx kx dx x a a ?
即k =a +1 (1) 又知 75.02 2 )(| 10 2 1 1 =+= += = = +++∞ ∞ -?? a k x a k dx kx dx x x E a a ?ξ 得k =0.75a +1.5 (2) 由(1)与(2)解得 0.25a =0.5, 即a =2, k =3 6. 下表是某公共汽车公司的188辆汽车行驶到发生一次引擎故障的里程数的分布数列.若表中各以组中值为代表. 从188辆汽车中, 任意抽选15辆, 得出下列数字: 90, 50, 150, 110, 90, 90, 110, 90, 50, 110, 90, 70, 50, 70, 150. (1)求这15个数字的平均数; (2) 计算表3-9中的期望并与(1)相比较. 解 (90+50+150+110+90+90+110+90+50+110+90+70+50+70+150)/15 = 91.33 (2) 按上表计算期望值为 (10×5+30×11+50×16+70×25+90×34+110×46+130×33+150×16+170×2)/188 =96.17 7. 两种种子各播种300公顷地, 调查其收获量, 如下表所示, 分别求出它们产量的平均值(计算时以组中值为代表). E ξ=(4500×12+4800×38+5100×40+5400×10)/100=4944 E η=(4500×23+4800×24+5100×30+5400×23)/100=4959 8. 一个螺丝钉的重量是随机变量, 期望值为10g , 标准差为1g . 100个一盒的同型号螺丝钉重量的期望值和标准差各为多少?(假设各个螺丝钉的重量相互之间独立) 解: 假设这100个螺丝钉的重量分别为ξ1, ξ2,…, ξ100, 因此有 E ξi =10, D ξi =102=12=1, (i =1,2,…,100), 设ξ为这100个螺丝钉的总重量，因此 ∑== 100 1 i i ξ ξ，则ξ的数学期望和标准差为
概率统计（理）典型例题选讲 (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P (A )＝) ()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤： ① 计算一次试验的基本事件总数n ; ② 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; ③ 依公式()m P A n =求值; ④ 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ); 特例：对立事件的概率：P (A )＋P (A )＝P (A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P (A ·B )＝P (A )·P (B ); 特例：独立重复试验的概率：P n (k )＝k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： ① 求概率的步骤是： 第一步，确定事件性质???? ???等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步，判断事件的运算?? ?和事件积事件 即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件. 第三步，运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复. 典型例题分析 1.有10张卡片，其中8张标有数字2，有2张标有数字5.从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片上的数字和为ξ，求Eξ与Dξ.
概率与统计 知识点一：常见的概率类型与概率计算公式； 类型一：古典概型； 1、 古典概型的基本特点： （1） 基本事件数有限多个； （2） 每个基本事件之间互斥且等可能； 2、 概率计算公式： A 事件发生的概率()A P A = 事件所包含的基本事件数 总的基本事件数 ; 类型二：几何概型； 1、 几何概型的基本特点： （1） 基本事件数有无限多个； （2） 每个基本事件之间互斥且等可能； 2、 概率计算公式： A 事件发生的概率()A P A = 构成事件的区域长度（或面积或体积或角度） 总的区域长度（或面积或体积或角度） ； 注意： （1） 究竟是长度比还是面积比还是体积比，关键是看表达该概率问题需要几个变量，如 果需要一个变量，则应该是长度比或者角度比；若需要两个变量则应该是面积比；当然如果是必须要三个变量则必为体积比； （2） 如果是用一个变量，到底是角度问题还是长度问题，关键是看谁是变化的主体，哪 一个是等可能的； 例如：等腰ABC ?中，角C= 23 π ，则： （1） 若点M 是线段AB 上一点，求使得AM AC ≤的概率； （2） 若射线CA 绕着点C 向射线CB 旋转，且射线CA 与线段AB 始终相交且交点是M ，求 使得AM AC ≤的概率； 解析：第一问中明确M 为AB 上动点，即点M 是在AB 上均匀分布，所以这一问应该是长度 之比，所求概率： 13P =; 而第二问中真正变化的主体是射线的转动，所以角度的变化是均匀的，所以这一问应该是角度之比的问题，所以所求的概率：2755 = =1208 P ?； 知识点二：常见的概率计算性质； 类型一：事件间的关系与运算； A+B （和事件）：表示A 、B 两个事件至少有一个发生； A B ?（积事件） ：表示A 、B 两个事件同时发生； A （对立事件） ：表示事件A 的对立事件；
1．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和3 5，现安排甲 组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立． (1)求至少有一种新产品研发成功的概率； (2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．阿 解：记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}． 由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35，P (F )＝2 5. 且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立． (1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H ＝E F ，于是 P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝2 15 ， 故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝13 15 . (2)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0,100,120,220. P (X ＝0)＝P (E F )＝13×25＝2 15， P (X ＝100)＝P (E F )＝13×35＝3 15， P (X ＝120)＝P (E F )＝23×25＝4 15， P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝6 15. 故所求的X 分布列为 数学期望为E (X )＝0×215＋100×315＋120×415＋220×615＝300＋480＋1 32015＝2 100 15＝ 140. 2．现有一游戏装置如图，小球从最上方入口处投入，每次遇到黑色障碍物等可能地向左、右两边落下．游戏规则为：若小球最终落入A 槽，得10张奖票；若落入B 槽，得5张奖票；若落入C 槽，得重投一次的机会，但投球的总次数不超过3次． (1)求投球一次，小球落入B 槽的概率； (2)设玩一次游戏能获得的奖票数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望．
数学期望与方差 1．设)10(~...-X V R 分布，则=) ()(X E X D _______． 2．设)(~...λP X V R ,且)3()2(===X P X P ,则=)(X E ______，=)(X D __. 3．设)2,1(~2N X ,)1(~πY ,则=+-)12(Y X E _____． 4．设X 是...V R ,1)(=X E ,4))1((=-X X E ,则=)(2X E _____． 5．设X V R ...与Y 相互独立,且2)(=X D ,3)(=Y D ,=-)43(Y X D _． 6．设)2,1(~2N X ,则)(X E 与)(X D 分别为_______． A ．1, 2; B.2, 1; C.1, 4; D.4, 1. 7．设)5,1(~2N X ，且)()(C X P C X P >=<,则常数=C _______． 8．若X V R ...的方差3)(=X D ,则=-)52(X D _______． A ． 6; B.7; C. 12; D. 17. 9．已知随机变量X 和Y 相互独立，且它们分别在区间]3,1[ -和]4,2[ 上服从均匀分布，则=)(XY E ____． 10．随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则=)(2X E . 11．随机变量X 的概率密度为+∞<<-∞=-x e x f x ,21 )(22 π，则=+)1(X E ． 12．随机变量X 、Y 都服从区间]1 ,0[ 上的均匀分布，则=+)(Y X E ． A ．61B ．2 1C ．1D ．2 13.X 为随机变量，其方差存在，c 为任意非零常数，则下列等式中正确的是． A ．)()(X D c X D =+ B ．c X D c X D +=+)()( C ．c X D c X D -=-)()(D ．)()(X cD cX D = 14．设随机变量X 与Y 相互独立，且2)(=X D ，1)(=Y D ，则=+-)32(Y X D ． 15．设随机变量)2,0(~ U X ，又设X e Y 2-=，则=)(Y E ．
期望与方差的相关公式 -、数学期望的来由 早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目，题目是这样的：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。当比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？ 用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为1/2+(1/2)*(1/2)=3/4，或者分析乙获胜的概率为(1/2)*(1/2)＝1/4。因此由此引出了甲的期望所得值为 100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。 这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。 定义1 若离散型随机变量ξ可能取值为i a （i =1，2，3 ，…），其分布列为i p （i =1，2，3， …），则当i i i p a ∑∞=1<∞时，则称ξ存在数学期望，并且数学期望为E ξ=∑∞ =1i i i p a ，如果i i i p a ∑∞ =1=∞，则数学期望不存在。[]1 定义2 期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=x i 的概率为P （ξ=x i ）=P i （i =1， 2，…，n ，…），则称E ξ=∑x i p i 为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值. 期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.E ξ由ξ的分布列唯一确定. 二、数学期望的性质 （1）设C 是常数，则E(C )=C 。 （2）若k 是常数，则E (kX )=kE (X )。 （3）)E(X )E(X )X E(X 2121+=+。 三、 方差的定义 前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，
期望与方差例题选讲含 详解 This model paper was revised by LINDA on December 15, 2012.
概率统计（理）典型例题选讲 (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P (A )＝) ()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤： ① 计算一次试验的基本事件总数n ; ② 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; ③ 依公式()m P A n =求值; ④ 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ); 特例：对立事件的概率：P (A )＋P (A )＝P (A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P (A ·B )＝P (A )·P (B ); 特例：独立重复试验的概率：P n (k )＝k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： ① 求概率的步骤是： 第一步，确定事件性质???? ???等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种.
第二步，判断事件的运算?? ?和事件积事件 即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件. 第三步，运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复. 典型例题分析 1.有10张卡片，其中8张标有数字2，有2张标有数字5.从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片上的数字和为ξ，求E ξ与D ξ. 解：这3张卡片上的数字和ξ这一随机变量的可能取值为6，9，12，且“ξ=6”表示取 出的3张卡上都标有2，则P （ξ=6)=.“ξ=9”表示取出的3张卡片上两张为 2，一张为5，则P (ξ=9)= . “ξ=12”表示取出的3张卡片上两张为5，一张为2，则P (ξ=12)=. 则期望E ξ=6×+9×+12×=, 方差D ξ= 2 + 2 + 2 =. 2.（2010江西）某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此
一、基本知识概要： 1、 期望的定义： 一般地，若离散型随机变量ξ的分布列为 ξ x 1 x 2 x 3 … x n … P P 1 P 2 P 3 … P n … 则称E ξ=x 1P 1+x 2P 2+x 3P 3+…+x n P n +…为ξ的数学期望或平均数、均值，简称期望。 它反映了:离散型随机变量取值的平均水平。 若η=a ξ+b(a 、b 为常数)，则η也是随机变量，且E η=aE ξ+b 。 E(c)= c 特别地，若ξ～B(n ，P )，则E ξ=n P 2、 方差、标准差定义： D ξ=(x 1- E ξ)2·P 1+(x 2-E ξ)2·P 2+…+(x n -E ξ)2·P n +…称为随机变量ξ的方差。 D ξ的算术平方根ξD =δξ叫做随机变量的标准差。 随机变量的方差与标准差都反映了:随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。 且有D(a ξ+b)=a 2D ξ,可以证明D ξ=E ξ2- (E ξ)2。 若ξ～B(n ，p)，则D ξ=npq ，其中q=1-p. 3、特别注意：在计算离散型随机变量的期望和方差时，首先要搞清其分布特征及分布列，然后要准确应用公式，特别是充分利用性质解题，能避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确度。 考点一 期望与方差 例1：设随机变量ξ具有分布P (ξ＝k )＝15 ，k ＝1,2,3,4,5，求E (ξ＋2)2 ，(21)D ξ-， (1)σξ-． 例2：有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负责， 政府到两建材厂抽样检查，他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指数如下： ξ 110 120 125 130 135 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 其中ξ和η分别表示甲、乙两建材厂材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120的条件下，比较甲、乙两建材厂材料哪一种稳定性较好． ηη 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
第三章 多维随机变量及其分布 一、问答题 1、 事件},{y Y x X ≤≤表示事件}{x X ≤与}{y Y ≤的积事件，为什么 },{y Y x X P ≤≤不一定等于}{}{y Y P x X P ≤?≤？ 2、二维随机变量（X ，Y ）的联合分布、边缘分布及条件分布之间存在什么样的关系？ 3、多维随机变量的边缘分布与一维随机变量的分布之间有什么联系与区别？ 4、两个随机变量相互独立的概念与两个事件相互独立是否相同？为什么？ 5、两个相互独立的服从正态分布的随机变量1X 与2X 之和仍是正态随机变量， 那么它们的线性组合21bX aX ±呢？ 1、答：如同仅当事件A 、B 相互独立时，才有)()()(B P A P AB P ?=一样，这里 } ,{y Y x X P ≤≤ 依乘法原理有 }|{}{},{x X y Y P x X P y Y x X P ≤≤?≤=≤≤，只有事件}{x X ≤与} {y Y ≤相互独立时，才有}{}{},{y Y P x X P y Y x X P ≤?≤=≤≤ 2、答：由边缘分布与条件分布的定义与公式知，联合分布唯一确定边缘分布， 因而也唯一确定条件分布。反之，边缘分布与条件分布都不能唯一确定联合分布。但由)|()(),(|x y f x f y x f X Y X ?=知，一个条件分布和它对应的边缘分布，能唯一确定联合分布。但是，如果X ，Y 相互独立，则 }{}{},{y Y P x X P y Y x X P ≤?≤=≤≤，即)()(),(y F x F y x F Y X ?=。说明当 X ，Y 相互独立时，边缘分布也唯一确定联合分布，从而条件分布也唯一确定联合分布。 3、答：从某种意义上讲，可以说多维随机变量的边缘分布是一维随机变量的分 布。如二维正态分布),,,,(~),(2 2 2121ρσσμμN Y X 的边缘分布),(~211σμN X ，),(~2 22σμN Y 也具有一维分布的性质。但是从严格的整 体意义上讲，多维随机变量的边缘分布是定义在多维空间上的，而一维分布是定义在平面域上的。例如二维随机变量（X ，Y ）关于X 的边缘分布函数)(x F X 表示（X ，Y ）落在区域},{+∞<<-∞≤<-∞Y x X 上的概率，而一维随机变量X 的分布函数)(x F 表示X 落在区间],(x -∞上的概率，两者是有区别的。 4、答：两个随机变量X 与Y 相互独立，是指组成二维随机变量（X ，Y ）的两个 分量X ，Y 中一个分量的取值不受另一个分量取值的影响，满足