数据的无量纲处理方法及示例
在对实际问题建模过程中，特别是在建立指标评价体系时，常常会面临不同类型的数据处理及融合。而各个指标之间由于计量单位和数量级的不尽相同，从而使得各指标间不具有可比性。在数据分析之前，通常需要先将数据标准化，利用标准化后的数据进行分析。数据标准化处理主要包括同趋化处理和无量纲化处理两个方面。数据的同趋化处理主要解决不同性质的数据问题，对不同性质指标直接累加不能正确反应不同作用力的综合结果，须先考虑改变逆指标数据性质，使所有指标对评价体系的作用力同趋化。数据无量纲化主要解决数据的不可比性，在此处主要介绍几种数据的无量纲化的处理方式。
（1）极值化方法
可以选择如下的三种方式：
（A ）'
max min
i
i
i
x x x R
即每一个变量除以该变量取值的全距，标准化后的每个变量的取值范围限于[-1,1]。 (B) '
min
min
max min
i i
i
x x x R
即每一个变量与变量最小值之差除以该变量取值的全距，标准化后各变量的取值范围限于[0,1]。
(C) '
max
i
i x x ，即每一个变量值除以该变量取值的最大值，标准化后使变量的最大取值为1。
采用极值化方法对变量数据无量纲化是通过变量取值的最大值和最小值将原始数据转换为界于某一特定范围的数据，从而消除量纲和数量级的影响。由于极值化方法对变量无量纲化过程中仅仅对该变量的最大值和最小值这两个极端值有关，而与其他取值无关，这使得该方法在改变各变量权重时过分依赖两个极端取值。
（2）标准化方法 利用'i
i
x x
x 来计算，即每一个变量值与其平均值之差除以该变量的标准差，无量
纲化后各变量的平均值为0，标准差为1，从而消除量纲和数量级的影响。虽然该方法在无量纲化过程中利用了所有的数据信息，但是该方法在无量纲化后不仅使得转换后的各变量均值相同，且标准差也相同，即无量纲化的同时还消除了各变量在变异程度上的差异。
（3）均值化方法 计算公式为：'
i
i i
x x x ，该方法在消除量纲和数量级影响的同时，保留了各变量取值差异程度上的信息。
（4）标准差化方法 计算公式为：'i
i
x x 。该方法是标准化方法的基础上的一种变形，两者的差别仅在无
量纲化后各变量的均值上，标准化方法处理后各变量的均值为0，而标准差化方法处理后各变量均值为原始变量均值与标准差的比值。
综上所述，针对不同类型的数据，可以选择相应的无量纲化方法。如下的示例就是一个典型的评价体系中无量纲化的范例。
示例：近年来我国淡水湖水质富营养化的污染日益严重，如何对湖泊水质的富营养化进行综合评价与治理是摆在我们面前的任务，下面两个表格分别为我国5个湖泊的实测数据和湖泊水质评价标准。
表2-2 全国五个主要湖泊评价参数的实测数据
表2-3 湖泊水质评价标准
要求:（1）试用以上数据，分析总磷，耗氧量，透明度，总氨这4个指标对湖泊水质评价富营养化的作用。
（2）对这5个湖泊的水质综合评价，确定水质等级。
在进行综合评价之前，首先要对评价的指标进行分析。通常评价指标分成效益型，成本型和固定型指标。效益型指标是指那些数值越大影响力越大的统计指标（也称正向型指标）；成本型指标是指数值越小越好的指标（也称逆向型指标）；而固定型指标是指数值越接近于某个常数越好的指标（也称适度型指标）。如果每个评价指标的属性不一样，则在综合评价时就容易发生偏差，必须先对各评价指标统一属性。
建模步骤
（ⅰ）建立无量纲化实测数据矩阵和评价标准矩阵，其中实测数据矩阵和等级标准
矩阵如下，
13010.30.35 2.7610510.70.4 2.0
20 1.4
4.5
0.2230 6.260.25 1.672010.130.50.23
X
，1423110660
0.090.36 1.87.1027.137
12
2.4
0.550.170.020.060.31
1.2
4.6
Y
，
然后建立无量纲化实测数据矩阵A 和无量纲化等级标准矩阵B ，其中
/3max /3
min ij ij
j
ij
ij ij
j
x x j a x x j
/3max /3
min kt kt
k
kt
kt kt
k
y y k b y y k
得到
1.00000.96260.7143 1.00000.8077 1.00000.62500.72460.15380.13080.05560.07970.23080.5850 1.00000.60510.15380.94670.50000.0833
A
， 0.00150.00610.03480.1667 1.00000.00330.01330.06640.2620 1.00000.00460.01420.07080.3091 1.00000.00430.01300.06740.2609 1.0000
B
。
（ⅱ）计算各评价指标的权重
计算矩阵B 的各行向量的均值和标准差，
5
2
5
1
1
()1,,1,2,3,45
4
ij
i
j i
ij i
j b b s i
然后计算变异系数
/
i i i
w s ，
最后对变异系数归一化得到各指标的权重为
0.27670.24440.23470.2442w
（ⅲ）建立各湖泊水质的综合评价模型
通常可以利用向量之间的距离来衡量两个向量之间的接近程度，在Matlab 中，有以下的函数命令来计算向量之间的距离；
dist(,w p ): 计算w 中的每个行向量和p 中每个列向量之间的欧式距离； mandist(,w p ): 绝对值距离。
计算A 中各行向量到B 中各列向量之间的欧氏距离，
4
2
1
()ij
ik
ik k d a
b 若15
min{}ik
ij j d d ，则第i 个湖泊属于第k 级。
1.8472 1.8312 1.7374 1.37690.2881 1.5959 1.5798 1.4859 1.12710.50340.21850.20450.13670.3383 1.79171.3201 1.3038 1.20820.83920.95911.0793 1.0650
0.9867
0.7328
1.3450
d
这说明杭州西湖，武汉东湖都属于极富营养水质，青海湖属于中营养水质，而巢湖和滇池属于富营养水质。
同时也可以计算A 中各行向量到B 中各列向量之间的绝对值距离
4
1
||ij
ik ik i D a b ，
若15
min{}ik
ij j D D ，则第i 个湖泊属于第k 级。
3.6631 3.6303 3.4374 2.67830.3231 3.1436 3.1108 2.9178 2.15870.84270.40620.37340.21100.5787 3.58002.4071 2.3743 2.1814 1.4223 1.5791 1.6701 1.6374
1.4444
1.0660
2.3161
D
其评价结果与利用欧氏距离得到的评价结果完全一样。
所以，从上面的计算可以看出，尽管欧氏距离和绝对值距离的意义完全不一样，但对湖泊水质的评价等级是一样的，这表明了方法的稳定性。
程序：
X=[130 ; 105 2; 20 30 ; 20 ];
Y=[1 4 23 100 660; ; 37 12 ; ];
B1=Y(1,:)./660;
B2=Y(2,:)./;
B3=./Y(3,:);
B4=Y(4,:)./;
B=[B1;B2;B3;B4]; A1=X(:,1)./130;
A2=X(:,1)./;
A3=./X(:,3);
A4=X(:,4)./;
A=[A1 A2 A3 A4];
B=B’;
t=std(b)./mean(b); w=t/sum(t);
jd=dist(A,B);
mjd=mandist(A,B)
数据标准化处理方法 在数据分析之前，我们通常需要先将数据标准化（normalization），利用标准化后的数据进行数据分析。数据标准化也就是统计数据的指数化。数据标准化处理主要包括数据同趋化处理和无量纲化处理两个方面。数据同趋化处理主要解决不同性质数据问题，对不同性质指标直接加总不能正确反映不同作用力的综合结果，须先考虑改变逆指标数据性质，使所有指标对测评方案的作用力同趋化，再加总才能得出正确结果。数据无量纲化处理主要解决数据的可比性。数据标准化的方法有很多种，常用的有“最小—最大标准化”、“Z-score标准化”和“按小数定标标准化”等。经过上述标准化处理，原始数据均转换为无量纲化指标测评值，即各指标值都处于同一个数量级别上，可以进行综合测评分析。 一、Min-max 标准化 min-max标准化方法是对原始数据进行线性变换。设minA和maxA 分别为属性A的最小值和最大值，将A的一个原始值x通过min-max 标准化映射成在区间[0,1]中的值x'，其公式为： 新数据=（原数据-极小值）/（极大值-极小值） 二、z-score 标准化
这种方法基于原始数据的均值（mean）和标准差（standard deviation）进行数据的标准化。将A的原始值x使用z-score标准化到x'。 z-score标准化方法适用于属性A的最大值和最小值未知的情况，或有超出取值范围的离群数据的情况。 新数据=（原数据-均值）/标准差 spss默认的标准化方法就是z-score标准化。 用Excel进行z-score标准化的方法：在Excel中没有现成的函数，需要自己分步计算，其实标准化的公式很简单。 步骤如下： 1.求出各变量（指标）的算术平均值（数学期望）xi和标准差si ； 2.进行标准化处理： zij＝（xij－xi）／si 其中：zij为标准化后的变量值；xij为实际变量值。 3.将逆指标前的正负号对调。 标准化后的变量值围绕0上下波动，大于0说明高于平均水平，小于0说明低于平均水平。 三、Decimal scaling小数定标标准化
数据的无量纲处理方法及示例 在对实际问题建模过程中，特别是在建立指标评价体系时，常常会面临不同类型的数据处理及融合。而各个指标之间由于计量单位和数量级的不尽相同，从而使得各指标间不具有可比性。在数据分析之前，通常需要先将数据规范化，利用规范化后的数据进行分析。数据规范化处理主要包括同趋化处理和无量纲化处理两个方面。数据的同趋化处理主要解决不同性质的数据问题，对不同性质指标直接累加不能正确反应不同作用力的综合结果，须先考虑改变逆指标数据性质，使所有指标对评价体系的作用力同趋化。数据无量纲化主要解决数据的不可比性，在此处主要介绍几种数据的无量纲化的处理方式。 （1）极值化方法 可以选择如下的三种方式： （A ）' max min i i i x x x R = =- 即每一个变量除以该变量取值的全距，规范化后的每个变量的取值范围限于[-1,1]。 (B)' min min max min i i i x x x R --= =- 即每一个变量与变量最小值之差除以该变量取值的全距，规范化后各变量的取值范围限于[0,1]。 (C) ' max i i x x =，即每一个变量值除以该变量取值的最大值，规范化后使变量的最大取值为1。 采用极值化方法对变量数据无量纲化是通过变量取值的最大值和最小值将原始数据转换为界于某一特定范围的数据，从而消除量纲和数量级的影响。由于极值化方法对变量无量纲化过程中仅仅对该变量的最大值和最小值这两个极端值有关，而与其他取值无关，这使得该方法在改变各变量权重时过分依赖两个极端取值。 （2）规范化方法 利用'i i x x x s -= 来计算，即每一个变量值与其平均值之差除以该变量的规范差，无量纲化后各变量的平均值为0，规范差为1，从而消除量纲和数量级的影响。虽然该方法在无量纲化过程中利用了所有的数据信息，但是该方法在无量纲化后不仅使得转换后的各变量均值相同，且规范差也相同，即无量纲化的同时还消除了各变量在变异程度上的差异。 （3）均值化方法 计算公式为：' i i i x x x =，该方法在消除量纲和数量级影响的同时，保留了各变量取值差异程度上的信息。 （4）规范差化方法 计算公式为：'i i x x s = 。该方法是规范化方法的基础上的一种变形，两者的差别仅在无量纲化后各变量的均值上，规范化方法处理后各变量的均值为0，而规范差化方法处理后各
在数据分析之前，我们通常需要先将数据标准化（normalization），利用标准化后的数据进行数据分析。数据标准化也就是统计数据的指数化。数据标准化处理主要包括数据同趋化处理和无量纲化处理两个方面。数据同趋化处理主要解决不同性质数据问题，对不同性质指标直接加总不能正确反映不同作用力的综合结果，须先考虑改变逆指标数据性质，使所有指标对测评方案的作用力同趋化，再加总才能得出正确结果。数据无量纲化处理主要解决数据的可比性。数据标准化的方法有很多种，常用的有“最小—最大标准化”、“Z-score标准化”和“按小数定标标准化”等。经过上述标准化处理，原始数据均转换为无量纲化指标测评值，即各指标值都处于同一个数量级别上，可以进行综合测评分析。 一、Min-max 标准化 min-max标准化方法是对原始数据进行线性变换。设minA和maxA分别为属性A的最小值和最大值，将A的一个原始值x通过min-max标准化映射成在区间[0,1]中的值x'，其公式为： 新数据=（原数据-极小值）/（极大值-极小值） 二、z-score 标准化 这种方法基于原始数据的均值（mean）和标准差（standard deviation）进行数据的标准化。将A的原始值x使用z-score标准化到x'。 z-score标准化方法适用于属性A的最大值和最小值未知的情况，或有超出取值范围的离群数据的情况。 新数据=（原数据-均值）/标准差 spss默认的标准化方法就是z-score标准化。 用Excel进行z-score标准化的方法：在Excel中没有现成的函数，需要自己分步计算，其实标准化的公式很简单。 步骤如下： 1.求出各变量（指标）的算术平均值（数学期望）xi和标准差si ； 2.进行标准化处理： zij＝（xij－xi）／si 其中：zij为标准化后的变量值；xij为实际变量值。 3.将逆指标前的正负号对调。 标准化后的变量值围绕0上下波动，大于0说明高于平均水平，小于0说明低于平均水平。 三、Decimal scaling小数定标标准化 这种方法通过移动数据的小数点位置来进行标准化。小数点移动多少位取决于属性A
数据的标准化 在数据分析之前，我们通常需要先将数据标准化（normalization），利用标准化后的数据进行数据分析。数据标准化也就是统计数据的指数化。数据标准化处理主要包括数据同趋化处理和无量纲化处理两个方面。数据同趋化处理主要解决不同性质数据问题，对不同性质指标直接加总不能正确反映不同作用力的综合结果，须先考虑改变逆指标数据性质，使所有指标对测评方案的作用力同趋化，再加总才能得出正确结果。数据无量纲化处理主要解决数据的可比性。去除数据的单位限制，将其转化为无量纲的纯数值，便于不同单位或量级的指标能够进行比较和加权。数据标准化的方法有很多种，常用的有“最小—最大标准化”、“Z-score标准化”
和“按小数定标标准化”等。经过上述标准化处理，原始数据均转换为无量纲化指标测评值，即各指标值都处于同一个数量级别上，可以进行综合测评分析。 一、Min-max 标准化 min-max标准化方法是对原始数据进行线性变换。设minA和maxA分别为属性A的最小值和最大值，将A的一个原始值x通过min-max标准化映射成在区间[0,1]中的值x'，其公式为： 新数据=（原数据-极小值）/（极大值-极小值） 二、z-score 标准化 这种方法基于原始数据的均值（mean）和标准差（standard deviation）进行数据的标准化。将A的原始值x使用z-score标准化到x'。z-score标准化方法适用于属性A的最大值和最小值未知的情况，或有超出取值范围的离群数据的情况。 新数据=（原数据-均值）/标准差 spss默认的标准化方法就是z-score标准化。用Excel进行z-score标准化的方法：在Excel中没有现成的函数，需要自己分步计算，其实标准化的公式很简单。步骤如下： 求出各变量（指标）的算术平均值（数学期望）xi和标准差si ； .进行标准化处理：zij＝（xij－xi）／si,其中：zij为标准化后的变量值；xij为实际变量值。 将逆指标前的正负号对调。标准化后的变量值围绕0上下波动，
数据得无量纲处理方法及示例 在对实际问题建模过程中，特别就是在建立指标评价体系时，常常会面临不同类型得数据处理及融合。而各个指标之间由于计量单位与数量级得不尽相同,从而使得各指标间不具有可比性。在数据分析之前,通常需要先将数据规范化，利用规范化后得数据进行分析.数据规范化处理主要包括同趋化处理与无量纲化处理两个方面.数据得同趋化处理主要解决不同性质得数据问题，对不同性质指标直接累加不能正确反应不同作用力得综合结果，须先考虑改变逆指标数据性质，使所有指标对评价体系得作用力同趋化。数据无量纲化主要解决数据得不可比性，在此处主要介绍几种数据得无量纲化得处理方式。 （１)极值化方法 可以选择如下得三种方式: (A) 即每一个变量除以该变量取值得全距,规范化后得每个变量得取值范围限于[－1，1］。 (B) 即每一个变量与变量最小值之差除以该变量取值得全距，规范化后各变量得取值范围限于[0，1]。 （C）,即每一个变量值除以该变量取值得最大值，规范化后使变量得最大取值为1。 采用极值化方法对变量数据无量纲化就是通过变量取值得最大值与最小值将原始数据转换为界于某一特定范围得数据，从而消除量纲与数量级得影响。由于极值化方法对变量无量纲化过程中仅仅对该变量得最大值与最小值这两个极端值有关,而与其她取值无关,这使得该方法在改变各变量权重时过分依赖两个极端取值。 (2）规范化方法 利用来计算，即每一个变量值与其平均值之差除以该变量得规范差,无量纲化后各变量得平均值为０，规范差为1，从而消除量纲与数量级得影响.虽然该方法在无量纲化过程中利用了所有得数据信息,但就是该方法在无量纲化后不仅使得转换后得各变量均值相同，且规范差也相同，即无量纲化得同时还消除了各变量在变异程度上得差异. （3)均值化方法 计算公式为：，该方法在消除量纲与数量级影响得同时,保留了各变量取值差异程度上得信息。 （4)规范差化方法 计算公式为：。该方法就是规范化方法得基础上得一种变形，两者得差别仅在无量纲化后各变量得均值上，规范化方法处理后各变量得均值为0，而规范差化方法处理后各变量均值为原始变量均值与规范差得比值。 综上所述，针对不同类型得数据,可以选择相应得无量纲化方法。如下得示例就就是一个典型得评价体系中无量纲化得范例. 示例:近年来我国淡水湖水质富营养化得污染日益严重,如何对湖泊水质得富营养化进行综合评价与治理就是摆在我们面前得任务，下面两个表格分别为我国5个湖泊得实测数据与湖泊水质评价规范。 表2-２全国五个主要湖泊评价参数得实测数据
评价指标的无量纲化处理 在多指标综合评价中涉及到两个基本变量:一是各评价指标的实际值，另一个是各指标的评价值。由于各指标所代表的物理涵义不同，因此存在着量纲上的差异。这种异量纲性是影响对事物整体评价的主要因素。指标的无量纲化处理是解决这一问题的主要手段。无量纲化，也称作数据的标准化、规格化，是一种通过数学变换来消除原始变量量纲影响的方法。 （1）直线型无量纲化方法 基本思想是假定实际指标和评价指标之间存在着线性关系，实际指标的变化将引起评价指标一个相应的比例变化。代表方法有：阈值法、标准化法(Z-score 法)、比重法等等。 a. 阈值法 阈值也称临界值，是衡量事物发展变化的一些特殊指标值，比如极大值、极小值、满意值、不允许值等。阈值法是用指标实际值与阈值相比以得到指标评价值的无量纲化方法。常用算法公式有： n i i i i x x y ≤≤=1max （2.24） n i i i n i i n i i i x x x x y ≤≤≤≤≤≤-+=111max min max （2.25） n i i n i i i n i i i x x x x y ≤≤≤≤≤≤--=111min max max （2.26） n i i n i i n i i i i x x x x y ≤≤≤≤≤≤--=111min max max （2.27） q k x x x x y n i i n i i n i i i i +--=≤≤≤≤≤≤111min max max （2.28） b 标准化法 统计学原理告诉我们，要对多组不同量纲数据进行比较，可以先将它 们标准化转化成无量纲的标准化数据。而综合评价就是要将多组不同的数 据进行综合，因而可以借助于标准化方法来消除数据量纲的影响。标准化 （Z-score ）公式为：
数据标准化的几种方法 在数据分析之前，我们通常需要先将数据标准化（normalization），利用标准化后的数据进行数据分析。数据标准化也就是统计数据的指数化。数据标准化处理主要包括数据同趋化处理和无量纲化处理两个方面。数据同趋化处理主要解决不同性质数据问题，对不同性质指标直接加总不能正确反映不同作用力的综合结果，须先考虑改变逆指标数据性质，使所有指标对测评方案的作用力同趋化，再加总才能得出正确结果。数据无量纲化处理主要解决数据的可比性。数据标准化的方法有很多种，常用的有“最小—最大标准化”、“Z-score标准化”和“按小数定标标准化”等。经过上述标准化处理，原始数据均转换为无量纲化指标测评值，即各指标值都处于同一个数量级别上，可以进行综合测评分析。 一、Min-max 标准化 min-max标准化方法是对原始数据进行线性变换。设minA和maxA分别为属性A的最小值和最大值，将A的一个原始值x通过min-max标准化映射成在区间[0,1]中的值x'，其公式为： 新数据=（原数据-极小值）/（极大值-极小值） 二、z-score 标准化
这种方法基于原始数据的均值（mean）和标准差（standard deviation）进行数据的标准化。将A的原始值x使用z-score标准化到x'。 z-score标准化方法适用于属性A的最大值和最小值未知的情况，或有超出取值范围的离群数据的情况。 新数据=（原数据-均值）/标准差 spss默认的标准化方法就是z-score标准化。在SPSS中依次点击Analyze Descriptive Descriptive 点击Save standardized values as varianles即可。 用Excel进行z-score标准化的方法：在Excel中没有现成的函数，需要自己分步计算，其实标准化的公式很简单。 步骤如下： 1.求出各变量（指标）的算术平均值（数学期望）xi和标准差si ； 2.进行标准化处理： zij＝（xij－xi）／si 其中：zij为标准化后的变量值；xij为实际变量值。 3.将逆指标前的正负号对调。 标准化后的变量值围绕0上下波动，大于0说明高于平均水平，小于0说明低于平均水平。 三、Decimal scaling小数定标标准化
数据标准化处理方法 在数据分析之前，通常需要先将数据标准化（normalization），再利用标准化后的数据进行分析。数据标准化处理主要包括同趋化处理和无量纲化处理两个方面。 同趋化处理主要解决数据不同性质的问题，对不同性质指标直接运算，不能正确反映不同作用的综合结果，须先考虑改变各指标数据性质，使所有指标对测评方案的作用同趋化，再运算，才能得出正确结果。 无量纲化处理主要解决数据可比性的问题，方法有很多种，常用的有“Min-Max标准化”、“z-score标准化”和“小数定标标准化”等三种。原始数据转换为无量纲化指标后，各指标值处于同一个数量级上，方便进行综合测评分析。 一、Min-Max 标准化 Min-Max标准化方法是对原始数据进行线性变换。设Min和Max 分别为指标A的最小值和最大值，将A的一个原始值x通过Min-Max 标准化映射成在区间[0,1]中的值x'，其公式为： x'=（x-Min）/（Max-Min） 即：新数据=（原数据-最小值）/（最大值-最小值） 二、z-score 标准化 z-score标准化方法基于原始数据的均值（mean）和标准差（standard deviation）。 将A的原始值x使用z-score标准化到x'的公式为：
x'=（x-Mean）/Std 即：新数据=（原数据-均值）/标准差 z-score标准化方法适用于指标A的最大值和最小值未知的情况，或有超出取值范围的离群数据的情况。 三、小数定标（Decimal scaling）标准化 Decimal scaling标准化方法通过移动数据的小数点位置来进行标准化。小数点移动多少位取决于指标A的取值中的最大绝对值。将指标A的原始值x使用decimal scaling标准化到x'的计算方法是： x'=x/（10*j） 即：新数据=原数据/（10*j） 其中，j是使x'的绝对值小于1的最小整数，*指幂指数运算。 例如假定A的值由-986到917，A的最大绝对值为986，为使用小数定标标准化，我们用1000（即j=3）除以每个值，这样-986被规范化为-0.986。 最后，标准化会对原始数据做出改变，需要保存所使用标准化方法的参数，以便对后续的数据进行统一的标准化处理。
数据标准化方法 问题1：将一个人的体重和身高相加在一起有无什么意义？ 答：量纲（就是单位）不同的量相加是没有意义的。不加处理就将两个不同量纲的量相加这是数学建模的大忌！ 问题2：如何将一个人的体重G 和身高H 这两个指标综合为一个指标用以评价一个人身材？ 答：通常考虑加法模型和乘法模型。乘法模型在这里不太适合，故考虑加法模型，一般采用加权组合的方式，即12P w G w H =+，这里121w w +=，但是这样就犯了一个严重的错误。 因此需要先对,G H 进行预处理→无量纲化，也就是数据标准化方法。 数据标准化方法主要有以下三种： （1）规范化方法 对序列12,,...,n x x x 进行变换： 111m in{} m ax{}m in{} i j j n i j j j n j n x x y x x ≤≤≤≤≤≤-= - 则新序列12,,...,[0,1]n y y y ∈且无量纲。一般的数据需要时都可以考虑先进行规范化处理。 （2）正规化方法 对序列12,,...,n x x x 进行变换： i i x x y s -= ，这里1 1 n i i x x n == ∑ ，s = 则新序列12,,...,n y y y 的均值为0，而方差为1，且无量纲。 （3）归一化方法 对正项序列12,,...,n x x x 进行变换： 1 i i n i i x y x == ∑ 则新序列12,,...,[0,1]n y y y ∈且无量纲，并且显然有1 1n i i y ==∑。 归一化方法在确定权重时经常用到。 针对实际情况，也可能有其他一些量化方法，或者要综合使用多种方法，总之最后的结果都是无量纲化。
常用的数据无量纲化处理方法，主要包括如下几种： （1）总和标准化。分别求出各聚类要素所对应的数据的总和，以各要素的数据除以该要素的数据的总和，即 ),,2,1;,,2,1(1n j m i x x x m i ij ij ij ==='∑= （2.4.1） 经过总和标准化处理后所得到的新数据ij x '，满足 ∑==='m i ij n j x 1),,2,1(1 （2）标准差标准化，即 ),,2,1;,,2,1(n j m i s x x x j j ij ij ==-=' （2.4.2） 式中： ∑==m i ij j x m x 1 1 ∑=-=m i j ij j x x m s 1 2)(1 经过标准差标准化处理后所得到的新数据ij x '，各要素（指标）的平均值为0， 标准差为1，即有： 011 ='=∑=m i ij j x m x ∑=='-'=m i j ij j x x m s 1 21)(1 （3）极大值标准化，即 ),,2,1;,,2,1(}{m a x n j m i x x x ij i ij ij ===' （2.4.3） 经过极大值标准化处理后所得的新数据ij x '，各要素（指标）的极大值为1，其余各数值小于1。 （4）极差的标准化，即
{} {}{}),,2,1;,,2,1(m i n m a x m i n n j m i x x x x x ij i ij i ij i ij ij ==--= （2.4.4） 经过极差标准化处理后所得的新数据ij x '，各要素（指标）的极大值为1，极小值为0，其余的数值均在0与1之间。
数据标准化的几种方法 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
数据标准化的几种方法 在数据分析之前，我们通常需要先将数据标准化（normalization），利用标准化后的数据进行数据分析。数据标准化也就是统计数据的指数化。数据标准化处理主要包括数据同趋化处理和无量纲化处理两个方面。数据同趋化处理主要解决不同性质数据问题，对不同性质指标直接加总不能正确反映不同作用力的综合结果，须先考虑改变逆指标数据性质，使所有指标对测评方案的作用力同趋化，再加总才能得出正确结果。数据无量纲化处理主要解决数据的可比性。数据标准化的方法有很多种，常用的有“最小—最大标准化”、“Z-score标准化”和“按小数定标标准化”等。经过上述标准化处理，原始数据均转换为无量纲化指标测评值，即各指标值都处于同一个数量级别上，可以进行综合测评分析。 一、Min-max 标准化 min-max标准化方法是对原始数据进行线性变换。设minA和maxA分别为属性A的最小值和最大值，将A的一个原始值x通过min-max标准化映射成在区间[0,1]中的值x'，其公式为： 新数据=（原数据-极小值）/（极大值-极小值） 二、z-score 标准化
这种方法基于原始数据的均值（mean）和标准差（standard deviation）进行数据的标准化。将A的原始值x使用z-score标准化到x'。 z-score标准化方法适用于属性A的最大值和最小值未知的情况，或有超出取值范围的离群数据的情况。 新数据=（原数据-均值）/标准差 spss默认的标准化方法就是z-score标准化。在SPSS中依次点击Analyze Descriptive Descriptive 点击Save standardized values as varianles即可。 用Excel进行z-score标准化的方法：在Excel中没有现成的函数，需要自己分步计算，其实标准化的公式很简单。 步骤如下： 1.求出各变量（指标）的算术平均值（数学期望）xi和标准差si ； 2.进行标准化处理： zij＝（xij－xi）／si 其中：zij为标准化后的变量值；xij为实际变量值。 3.将逆指标前的正负号对调。
数据标准化处理方法 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
数据标准化处理方法 在数据分析之前，我们通常需要先将数据标准化（normalization），利用标准化后的数据进行数据分析。数据标准化也就是统计数据的指数化。数据标准化处理主要包括数据同趋化处理和无量纲化处理两个方面。数据同趋化处理主要解决不同性质数据问题，对不同性质指标直接加总不能正确反映不同作用力的综合结果，须先考虑改变逆指标数据性质，使所有指标对测评方案的作用力同趋化，再加总才能得出正确结果。数据无量纲化处理主要解决数据的可比性。数据标准化的方法有很多种，常用的有“最小—最大标准化”、“Z-score标准化”和“按小数定标标准化”等。经过上述标准化处理，原始数据均转换为无量纲化指标测评值，即各指标值都处于同一个数量级别上，可以进行综合测评分析。 一、Min-max 标准化 min-max标准化方法是对原始数据进行线性变换。设minA和maxA分别为属性A的最小值和最大值，将A的一个原始值x通过min-max标准化映射成在区间[0,1]中的值x'，其公式为： 新数据=（原数据-极小值）/（极大值-极小值） 二、z-score 标准化
这种方法基于原始数据的均值（mean）和标准差（standard deviation）进行数据的标准化。将A的原始值x使用z-score标准化到x'。 z-score标准化方法适用于属性A的最大值和最小值未知的情况，或有超出取值范围的离群数据的情况。 新数据=（原数据-均值）/标准差 spss默认的标准化方法就是z-score标准化。 用Excel进行z-score标准化的方法：在Excel中没有现成的函数，需要自己分步计算，其实标准化的公式很简单。 步骤如下： 1.求出各变量（指标）的算术平均值（数学期望）xi和标准差si ； 2.进行标准化处理： zij＝（xij－xi）／si 其中：zij为标准化后的变量值；xij为实际变量值。 3.将逆指标前的正负号对调。 标准化后的变量值围绕0上下波动，大于0说明高于平均水平，小于0说明低于平均水平。
i i i i i i 数据的无量纲处理方法及示例 在对实际问题建模过程中，特别是在建立指标评价体系时，常常会面临不同类型的数据处理及融合。而各个指标之间由于计量单位和数量级的不尽相同，从而使得各指标间不具有可比性。在数据分析之前，通常需要先将数据标准化，利用标准化后的数据进行分析。数据标准化处理主要包括同趋化处理和无量纲化处理两个方面。数据的同趋化处理主要解决不同性质的数据问题，对不同性质指标直接累加不能正确反应不同作用力的综合结果，须先考虑改变逆指标数据性质，使所有指标对评价体系的作用力同趋化。数据无量纲化主要解决数据的不可比性，在此处主要介绍几种数据的无量纲化的处理方式。 （1） 极值化方法 可以选择如下的三种方式： （A ） x ' = x i max - = x i min R 即每一个变量除以该变量取值的全距，标准化后的每个变量的取值范围限于[-1,1]。 (B) x ' = xi - max - min = min x i - min R 即每一个变量与变量最小值之差除以该变量取值的全距，标准化后各变量的取值范围限于[0,1]。 (C) 值为 1。 x ' = x i max ，即每一个变量值除以该变量取值的最大值，标准化后使变量的最大取 采用极值化方法对变量数据无量纲化是通过变量取值的最大值和最小值将原始数据转换为界于某一特定范围的数据，从而消除量纲和数量级的影响。由于极值化方法对变量无量纲化过程中仅仅对该变量的最大值和最小值这两个极端值有关，而与其他取值无关，这使得该方法在改变各变量权重时过分依赖两个极端取值。 （2） 标准化方法 利用 x ' = x i - s x 来计算，即每一个变量值与其平均值之差除以该变量的标准差，无量 纲化后各变量的平均值为 0，标准差为 1，从而消除量纲和数量级的影响。虽然该方法在无量纲化过程中利用了所有的数据信息，但是该方法在无量纲化后不仅使得转换后的各变量均值相同，且标准差也相同，即无量纲化的同时还消除了各变量在变异程度上的差异。 （3） 均值化方法 计算公式为： x ' = 异程度上的信息。 x i ，该方法在消除量纲和数量级影响的同时，保留了各变量取值差 x i （4） 标准差化方法 计算公式为： x ' = x i 。该方法是标准化方法的基础上的一种变形，两者的差别仅在无 s 量纲化后各变量的均值上，标准化方法处理后各变量的均值为 0，而标准差化方法处理后各
.数据的无量纲化处理及示例
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数据的无量纲处理方法及示例 在对实际问题建模过程中，特别是在建立指标评价体系时，常常会面临不同类型的数据处理及融合。而各个指标之间由于计量单位和数量级的不尽相同，从而使得各指标间不具有可比性。在数据分析之前，通常需要先将数据标准化，利用标准化后的数据进行分析。数据标准化处理主要包括同趋化处理和无量纲化处理两个方面。数据的同趋化处理主要解决不同性质的数据问题，对不同性质指标直接累加不能正确反应不同作用力的综合结果，须先考虑改变逆指标数据性质，使所有指标对评价体系的作用力同趋化。数据无量纲化主要解决数据的不可比性，在此处主要介绍几种数据的无量纲化的处理方式。 （1）极值化方法 可以选择如下的三种方式： （A ）' max min i i i x x x R 即每一个变量除以该变量取值的全距，标准化后的每个变量的取值范围限于[-1,1]。 (B) ' min min max min i i i x x x R 即每一个变量与变量最小值之差除以该变量取值的全距，标准化后各变量的取值范围限于[0,1]。 (C) ' max i i x x ，即每一个变量值除以该变量取值的最大值，标准化后使变量的最大取值为1。 采用极值化方法对变量数据无量纲化是通过变量取值的最大值和最小值将原始数据转换为界于某一特定范围的数据，从而消除量纲和数量级的影响。由于极值化方法对变量无量纲化过程中仅仅对该变量的最大值和最小值这两个极端值有关，而与其他取值无关，这使得该方法在改变各变量权重时过分依赖两个极端取值。 （2）标准化方法 利用'i i x x x 来计算，即每一个变量值与其平均值之差除以该变量的标准差，无量 纲化后各变量的平均值为0，标准差为1，从而消除量纲和数量级的影响。虽然该方法在无量纲化过程中利用了所有的数据信息，但是该方法在无量纲化后不仅使得转换后的各变量均值相同，且标准差也相同，即无量纲化的同时还消除了各变量在变异程度上的差异。 （3）均值化方法 计算公式为：' i i i x x x ，该方法在消除量纲和数量级影响的同时，保留了各变量取值差异程度上的信息。 （4）标准差化方法 计算公式为：'i i x x 。该方法是标准化方法的基础上的一种变形，两者的差别仅在无 量纲化后各变量的均值上，标准化方法处理后各变量的均值为0，而标准差化方法处理后各