专题1.4 勾股定理中的最短路径问题
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1、熟练掌握勾股定理的最短路径问题（主要包含：长方体、圆柱、圆锥、将军饮马等）。
2、解决实际问题时，要善于构造直角三角形，把实际问题抽象成几何问题.
知识精讲
知识点01 最短路径问题
平面展开图-最短路径问题
几何体中最短路径基本模型如下：
基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解。
【知识拓展1】圆柱有关的最短路径问题
【微点拨】计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周长的一半进行计算。
要点总结：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算；
2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。
例1．（2022·山东青岛·八年级期末）如图，一个圆桶，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫从下底点A处爬到上底B处再回到A处，则小虫所爬的最短路径长是（）（ 取3）
A．60cm B．40cm C．30cm D．20cm
【答案】A
【分析】先将圆柱的侧面展开为一矩形，而矩形的长就是底面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股定理就可以求出其值．
【详解】解：展开圆柱的侧面如图，
根据两点之间线段最短就可以得知AB最短．
由题意，得AC=3×16÷2=24，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
2222
241830
AB AC BC
=+=+=cm．
∵一只小虫从下底点A处爬到上底B处再回到A处，
∴最短路径长为60cm.故选：A．
【点睛】本题考查了圆柱侧面展开图的运用，两点之间线段最短的运用，勾股定理的运用．在解答时将圆柱的侧面展开是关键．
【即学即练】
1．（2022·吉林长春·八年级期末）如图，有一个圆柱，底面圆的直径AB＝24
π
cm，高BC＝10cm，在BC的
中点P处有一块蜂蜜，聪明的蚂蚁能够找到距离食物的最短路径，则蚂蚁从点A爬到点P的最短路程为_____cm．
【答案】13
【分析】化“曲”为“平”，在平面内，得到两点的位置，再根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可．【详解】将圆柱体的侧面展开，如图所示：
AB＝1
2底面周长＝1
2
×π×
24
π
＝12（cm），BP＝1
2
BC＝5（cm），
所以AP＝22
125=13
+（cm），
故蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为13cm，故答案为：13．
【点睛】本题考查最短距离问题，化“曲”为“平”，在平面内，利用两点之间线段最短和勾股定理是常用求解方法．
2．（2022·浙江金华初三月考）如图，圆柱底面半径为4
π
cm，高为18cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周
上的点，且A、B在同一母线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（）
A．24cm B．30cm C．21D．97cm
【答案】B
【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【解析】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：
AC→CD→DB；即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对
角线运动到B的路线最短；∵圆柱底面半径为4
π
cm，∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长：2π×
4
π
＝8cm；
又∵圆柱高为18cm，∴小长方形的一条边长是6cm；
根据勾股定理求得AC＝CD＝DB＝10cm；∴AC+CD+DB＝30cm；故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆柱的计算、平面展开−−路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
【知识拓展2】长方体有关的最短路径问题想
【微点拨】计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论。
要点总结：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三种情况进行讨论；
2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同。
例2．（2021·陕西八年级期末）如图，长方体的棱AB 长为4，棱BC 长为3，棱BF 长为2，P 为HG 的中
点，一只蚂蚁从点A 出发，沿长方体的表面爬行到点P 处吃食物，那么它爬行的最短路程是___________．
【答案】5
【分析】利用平面展开图有3种情况，画出图形利用勾股定理求出MN 的长即可．
【详解】解：分三种情况：如图1，()22223229AP =++=,
如图2，()2
2222325AP =++=，∴AP=5，
如图3，()222234285AP =+++=， 252985<<，∴ 它爬行的最短路程为5，故答案为：5．
,
【点睛】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有3种情况分析得出是解题关键．
【即学即练】
1.（2022·重庆八年级期中）如图，长方体的底面边长是1cm和3cm，高是6cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么用细线最短需要（）
A．12cm B．10cm C．13cm D．11cm
【答案】B
【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”，利用勾股定理求出所需结果．
【详解】解：如图，将长方体展开，连接A、B′，则AA′＝1＋3＋1＋3＝8（cm），A′B′＝6cm，
根据两点之间线段最短，由勾股定理得：AB′2＝AA′2+A′B′2＝82＋62＝102cm，所以AB′＝10 cm．故选：B．【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，本题的关键是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，构造直角三角形运用勾股定理解决．
2.（2022·陕西咸阳·八年级期末）如图，在长方体的顶点G处有一滴糖浆，棱AE上的P处的蚂蚁想沿长方体表面爬到容器G处吃糖浆，已知容器长AB＝5cm，宽AD＝4cm，高AE＝4cm，AP＝1cm，那么蚂蚁需爬
行的最短距离是______cm．（结果保留根号）
【答案】74
【分析】求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
【详解】解：∵AE＝4cm，AP＝1cm，∴PE＝3cm，如图1，
∴PH＝3+4＝7（cm），∴PG2222
7574
++cm）；
PH HG
如图2，∴PG2222
PF FG
+++=cm）；
(35)480
如图3∴PG22
++cm），
(54)497
74cm74．
【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．
【知识拓展3】将军饮马与最短路径问题
【微点拨】解决线段之和最小值问题：对称+连线，根据两点之间线段最短解决。
要点总结：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解。
例3.（2022·重庆初二月考）圆柱形杯子的高为18cm，底面周长为24cm，已知蚂蚁在外壁A处（距杯子上
沿2cm ）发现一滴蜂蜜在杯子内（距杯子下沿4cm ），则蚂蚁从A 处爬到B 处的最短距离为（ ）
A ．813
B ．28
C ．20
D ．122
【答案】C 分析：将杯子侧面展开，建立A 关于EF 的对称点A ′，根据两点之间线段最短可知A ′B 的长度即为所求.
【解析】如图所示，将杯子侧面展开,作A 关于EF 的对称点A ′，
连接A ′B ,则A ′B 即为最短距离，A ′B =2222=1216=20A D BD '++ (cm )故选C.
点睛：本题考查了勾股定理、最短路径等知识.将圆柱侧面展开，化曲面为平面并作出A 关于EF 的对称点A ′是解题的关键.
【即学即练】
1．（2021·陕西长安·八年级期中）有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，高60cm AB =，水深40cm AE =，在水面线EF 上紧贴内壁G 处有一粒食物，且60cm EG =，一只小虫想从水缸外的A 处沿水缸壁爬到水缸内的G 处吃掉食物．
（1）你认为小虫应该沿怎样的路线爬行才能使爬行的路线最短，请你画出它爬行的最短路线，并用箭头标注．（2）求小虫爬行的最短路线长（不计缸壁厚度）．
【答案】（1）见解析；（2）100cm
【分析】(1)做出A 关于BC 的对称点A’，连接A’G ，与BC 交于点Q ，由两点之间线段最短，此时A’G 最短，即AQ +QG 最短；(2)A’G 为直角△A’EG 的斜边，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：(1)如下图所示，
作点A 关于BC 所在直线的对称点'A ，连接'A G ，'A G 与BC 交于点Q ，
由两点之间线段最短，此时A’G 最短，则AQ QG +为最短路线．
(2)∵40cm AE =，∴'2120cm AA AB ==，∴'80cm A E =．
在'Rt A EG ∆中，60cm EG =，'80cm A E =，∴22''100cm A G A E EG =+=．
由对称性可知'AQ A Q =，∴''100cm AQ QG A Q QG A G +=+==．故小虫爬行的最短路线长为100cm ．
【点睛】本题考查的是利用勾股定理求最短路径问题，本题的关键是根据对称性作出A 的对称点A’，再根据两点之间线段最短，从而可找到路径求出解．
2.（2021·山东菏泽·八年级阶段练习）如图是一个供滑板爱好者使用的U 型池，该U 型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5m 的半圆，其边缘20m ==AB CD ．小明要在AB 上选取一点E ，能够使他从点D 滑到点E 再滑到点C 的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（ ）m ．（π取3）
A ．30
B ．28
C ．25
D ．22
【答案】C 【分析】根据题意画出侧面展开图，作点C 关于AB 的对称点F ，连接DF ，根据半圆的周长求得BC ，根据
对称求得2CF BC =，在R t △CDF 中，勾股定理求得DF ．
【详解】其侧面展开图如图：作点C 关于AB 的对称点F ，连接DF ，
∵中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5cm 的半圆，
∴BC =πR =2.5π=7.5cm ，AB =CD =20cm ，∴CF =2BC =15cm ，
在R t △CDF 中，DF =2222152025CF CD +=+=cm ，故他滑行的最短距离约为25cm ．故选C ．
【点睛】本题考查了勾股定理最短路径问题，作出侧面展开图是解题的关键．
【知识拓展4】其他最短路径问题
【微点拨】根据两点之间线段之和最小进行解决。
要点总结：展开—定点—连线—勾股定理
例4．（2021·重庆七年级期末）如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm 、3dm 、2dm ，A 和B 是这个台阶上两个相对的端点，点A 处有一只蚂蚁，想到点B 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B 的最短路程为______dm ．
【答案】17
【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm ，宽为()233dm +⨯，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为xdm ，
由勾股定理得：()22228[233]17x =++⨯=，解得17x =．故答案为：17．
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
【即学即练】
1．（2021·山西八年级期末）如图所示，ABCD 是长方形地面，长20AB =，宽10AD =，中间整有一堵砖墙高2MN =，一只蚂蚁从A 点爬到C 点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（ ）
A ．20
B ．24
C ．25
D ．26
【答案】D 【分析】将题中图案展开后，连接AC ，利用勾股定理可得AC 长，将中间的墙展开在平面上，则原矩形长度增加宽度不变，求出新矩形的对角线长即为所求．
【详解】解：展开如图得新矩形，连接AC ，则其长度至少增加2MN ，宽度不变，
由此可得：20424AB =+=，10AD = 根据勾股定理有：2222241067626AC AB BC =+=+==故选D ．
【点睛】本题考查平面展开图形最短路线问题以及勾股定理得应用；解题关键在于根据题意画出正确的平面展开图．
2．（2022·河南·郑州市第八中学八年级期末）在一个长11cm，宽5cm的长方形纸片上，如图放置一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且大于纸片的宽AD，它的底面边长为1cm的等边三角形，一只蚂蚁从点A处到点C处的最短路程是________cm．
【答案】13
【分析】将木块展开看作平面后，由两点之间线段最短知蚂蚁的最短距离为线段AC，由勾股定理计算即可．【详解】将长方形纸片与木块展开后如图所示
由两点之间线段最短可知蚂蚁的最短距离为线段AC
此时AB长度为11-1+2=12 由勾股定理有22
+
AC AB BC
即22
AC+==故答案为：13．
12516913
【点睛】本题考查了图形的展开以及勾股定理，将正三棱柱的木块展开看作平面是解题的关键．
题组A 基础过关练
1．（2021·江苏八年级月考）将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度hcm ，则h 的取值范围是（ ）
A ．h 17cm ≤
B ．h 8cm ≥
C ．1516cm h cm <≤
D ．7cm h 16cm ≤≤
【答案】D 【分析】观察图形，找出图中的直角三角形，利用勾股定理解答即可．
【详解】首先根据圆柱的高，知筷子在杯内的最小长度是8cm ，则在杯外的最大长度是24-8=16cm ； 再根据勾股定理求得筷子在杯内的最大长度是AC=22AB BC + =22158+=17，则在杯外的最小长度是 24-17=7cm ，所以h 的取值范围是7cm≤h≤16cm ，故选D ．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，注意此题要求的是筷子露在杯外的取值范围．主要是根据勾股定理求出筷子在杯内的最大长度．
2．（2022·泰兴市八年级期中）如图，底面周长为12，高为8的圆柱体上有一只小蚂蚁要从点A 爬到点B ，则蚂蚁爬行的最短距离是（ ）
A ．13
B ．8
C ．10
D ．12
【答案】C 【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方体，再然后利用两点之间线段最短，利用勾股定理从而可得答案．
【详解】解：如图所示： 由于圆柱体的底面周长为12cm ， 则BC=112=62
⨯cm ． 分层提分
又因为AC=8cm，所以：22
=+=．
6810
AB cm
故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是10cm．故选：C．
【点睛】本题考查的是勾股定理的实际应用，两点之间线段最短，将圆柱的侧面展开，构造出直角三角形利用勾股定理是解题的关键．
3．（2022·全国·八年级）如图，已知圆柱底面的周长为12cm，圆柱高为8cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）
A．10cm B．20cm C．208cm D．100cm
【答案】B
【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．
∵圆柱底面的周长为12 cm，圆柱高为8cm，
∴AB=8dm，BC=BC′=6cm，
∴AC2=62+82=100，
∴AC=10，
∴这圈金属丝的周长最小为2AC=20（cm），
故选：B．
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”是解题的关键．
4．（2022·河南八年级月考）如图所示，有一根高为2.1m的木柱，它的底面周长为40cm，在准备元旦联欢晚会时，为了营造喜庆的气氛，老师要求小明将一根彩带从底柱向柱顶均匀地缠绕7圈，一直缠到起点的正上方为止，小明需要准备的这根彩带的长至少为（）．
A．70457cm B．350cm C．2803cm D．300cm
【答案】B
【分析】将圆柱沿母线剪开并展开，则这根彩带的长应为7个圆柱侧面展开图并排后的长方形的对角线，利用勾股定理求值即可．
【详解】解：将圆柱沿母线剪开并展开，则这根彩带的长最少应为7个圆柱侧面展开图并排后的长方形的对角线，如图所示，AC即为所求，其中AB=40×7=280cm，BC=2.1m=210cm
根据勾股定理可得22
故选B．
AB BC
【点睛】此题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理和两点之间线段最短是解题关键．5．（2021·河南八年级期末）如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽40cm，长50cm．一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是____________．
【答案】130cm
【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】解：如图所示，∵楼梯的每一级的高宽长分别为20cm ，宽40cm ，长50cm ，
∴()2
25022040130AB =++=⎡⎤⎣⎦(cm)
即蚂蚁从点A 沿着台阶面爬行到点B 的最短路程是130cm ．故答案为：130cm ．
【点睛】本题考查的是平面展开-最短路线问题，根据题意画出台阶的平面展开图是解答此题的关键． 6．（2021·成都市八年级专题练习）如图，一个长方体盒子紧贴地面，一只蚂蚁由A 出发，在盒子表面上爬到点G ，已知6AB =，5BC =，3CG =，这只蚂蚁爬行的最短路程是________．
【答案】10
【分析】将长方体盒子按不同方式展开，得到不同的长方形，求出不同长方形的对角线，最短者即为正确答案．
【详解】解：由题意，如图1所示，得()22653130AG =++
如图2所示，得22
AG=++=，
6(53)10
如图3所示，()22
365106
AG=++=，∴蚂蚁爬行的最短路程是10．故答案为：10.
【解答】本题考查了勾股定理的应用，根据题意将长方体盒子展开为平面图形，根据勾股定理求出最短路程进行比较是解题关键．
题组B 能力提升练
1．（2021·河南八年级期末）如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A处的最短距离是（）
A73B．10厘米C．82D．8厘米
【答案】B
【分析】把圆柱沿着点A所在母线展开，把圆柱上最短距离转化为将军饮马河型最短问题求解即可.
【详解】把圆柱沿着点A所在母线展开，如图所示，
作点A的对称点B，连接PB，则PB为所求，
根据题意，得PC=8，BC=6，根据勾股定理，得PB=10，故选B.
【点睛】本题考查了圆柱上的最短问题，利用圆柱展开，把问题转化为将军饮马河问题，灵活使用勾股定理是解题的关键.
2．（2021·山东菏泽·八年级阶段练习）如图是一个供滑板爱好者使用的U 型池，该U 型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5m 的半圆，其边缘
20m ==AB CD ．小明要在AB 上选取一点E ，能够使他从点D 滑到点E 再滑到点C 的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（ ）m ．（π取3）
A ．30
B ．28
C ．25
D ．22
【答案】C 【分析】根据题意画出侧面展开图，作点C 关于AB 的对称点F ，连接DF ，根据半圆的周长求得BC ，根据对称求得2CF BC =，在R t △CDF 中，勾股定理求得DF ．
【详解】其侧面展开图如图：作点C 关于AB 的对称点F ，连接DF ，
∵中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5cm 的半圆，
∴BC =πR =2.5π=7.5cm ，AB =CD =20cm ，∴CF =2BC =15cm ，
在R t △CDF 中，DF 2222152025CF CD ++=cm ，
故他滑行的最短距离约为25cm．故选C．
【点睛】本题考查了勾股定理最短路径问题，作出侧面展开图是解题的关键．
3．（2022·广东·八年级期中）如图，一个三棱柱盒子底面三边长分别为3cm，4cm，5cm，盒子高为9cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒子的表面爬行一周到盒顶的点B，蚂蚁要爬行的最短路程是_______cm．
【答案】15
【分析】将三棱柱侧面展开得出矩形，求出矩形对角线的长度即可．
【详解】解：如图，右侧为三棱柱的侧面展开图，AA′＝3+4+5＝12cm，A′B＝9cm，∠AA′B＝90°，
∴AB＝'2'222
+=+＝15cm，故答案为：15．
129
AA AB
【点睛】本题考查了三棱柱的侧面展开图，两点之间线段最短，勾股定理，画出三棱柱的侧面展开图，运用勾股定理是解题关键．
4．（2022·山东烟台·七年级期末）如图，在一个长AB为18m，宽AD为7m的长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块，已知木块的较长边与AD平行，横截是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是 ________ 米．
533
【分析】解答此题要将木块表面展开，再构建直角三角形，然后根据两点之间线段最短，再利用勾股定理进行解答．
【详解】解：如图，由题意可知，将木块展开，展开图的长相当于是AB+2个正方形的宽，
∴长为18+2×2=22米；宽为7米．于是最短路径为：22
227533（米）．故答案为：533．
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，两点之间线段最短的性质，勾股定理的应用，有一定的难度，要注意培养空间想象能力．
5．（2022·贵州·贵阳市第十六中学八年级阶段练习）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．小明认为蚂蚁能够最快到达目的地的路径AC1，小王认为蚂蚁能够最快到达目的地的路径AC1′．已知AB=4，BC=4，CC1=5时，请你帮忙他们求出蚂蚁爬过的最短路径长．
89
【分析】根据题意，先将长方体展开，再根据两点之间线段最短．
【详解】解：蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1'，爬过的路径的长是AC1′22
++
4(45)97
蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C1，爬过的路径的长是AC122
=++
(44)589
因为：AC1′＞AC189
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，本题是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．
6．（2021·无锡市八年级期中）（1）如图1，长方体的底面边长分别为3m 和2m ，高为1m ，在盒子里，可以放入最长为_______m 的木棒；（2）如图2，在与（1）相同的长方体中，如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点C ，那么所用细线最短需要______m ；（3）如图3，长方体的棱长分别为AB=BC=6cm ，114,AA cm =假设昆虫甲从盒内顶点1C 以2厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱1C C 向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A 以相同的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉昆虫甲
【答案】（1）14；（2）101；（3）昆虫乙至少需要8514
秒钟才能捕捉到昆虫甲 【分析】（1）利用勾股定理求出斜对角线的长即可；（2）利用勾股定理求解即可；
（3）由题意的最短路径相等，设昆虫甲从顶点 沿棱 向顶点C 爬行的同时，昆虫乙从顶点A 按路径A→E→F ，爬行捕捉到昆虫甲需x 秒钟，列出方程求解即可．
【详解】（1）最长的为斜对角线：22232+1+=14；
（2）这根细线的长为：()2213+3+2+2+=101；
（3）设昆虫甲从顶点1C 沿棱1C C 向顶点C 爬行的同时，昆虫乙从顶点A 按路径A→E→F ，爬行捕捉到昆虫甲需x 秒钟，如图1在Rt △ACF 中，222(2)12(142)x x =+- ∵x>0，解得：85.14
x =
答：昆虫乙至少需要8514秒钟才能捕捉到昆虫甲．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，把立体图形转化为平面图形是解题的关键．
3、如图，长方体的长为 15cm ，宽为10cm ，高为20cm ，点B 到点C 的距离为5cm ，一只 蚂蚁如果要沿着长方体的表面从 A 点爬到 B 点，需要爬行的最短距离是多少？ 勾股定理解决最短路径问题及折叠问题 1、如图，长方体的长为 15,宽为10,高为20,点B 离点 C 的距离为 沿着长方体的表面从点 A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是多少？ 5，—只蚂蚁如果要 2、如图，长方体的底面边长分别为 1cm 和3cm ，高为6cm .如果用一根细线从点 A 开始 经过4个侧面缠绕一圈到达点 B ,那么所用细线最短需要 ____________ cm ；如果从点 A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点 B ,那么所用细线最短需要 I"
4、如图所示，正方形ABCD 的面积为12, △ ABE 是等边三角形，点E 在正方形 ABCD 内，在 对角线 AC 上有一点P ，使PD PE 的和最小，求这个最小值 5、恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世 ?著名的恩施大峡谷 (A )和世界级自然保护区星斗山( B )位于笔直的沪渝高速公路 X 同侧，AB = 50km , A 、 B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区 P,向A 、B 两景区运送游客?小民设计了两种方案，图 1是方案一的示意图(AP 与直线X 垂直，垂足 为P ), P 到A 、B 的距离之和Si = PA+PB,图2是方案二的示意图(点 A 关于直线X 的对 称点是A',连接BA'交直线X 于点P ), P 到A 、B 的距离之和 ◎= PA+PB. (1 )求S 、S 2,并比较它们的大小； (2 )请你说明PA+PB 的值为最小； (3 )拟建的恩施到张家界高速公路 Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图 3所示的直角 C
蚂蚁爬行的最短路径 正方体 4.如图，一只蚂蚁从正方体的底面 A 点处沿着表面爬行到点上面的 B 点处，它爬行的最短 路线是（ ） 解：根据两点之间线段最短可知选 A . 故选A . 2.如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点 A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点 B 的 最短距离是 _____________ . 解：如图将正方体展开，根据 两点之间，线段最短”知，线段AB 即为最短路线. 8.正方体盒子的棱长为 2, BC 的中点为 M , —只蚂蚁从 A 点爬行到 M 点的最短距离 为 _________ . 甘—Si — 第7题 解：将正方体展开，连接 M 、D1 , 根据两点之间线段最短， MD=MC+CD=1+2=3 , B . A? Q? B C . A? R? B D . A? S? B A . A? P? B
5.如图，点A 的正方体左侧面的中心，点 B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为 蚂蚁从点A 沿其表面爬到点 解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短 的路线. 所以最短路径长为 5cm ，用时最少：5吃=2.5秒. 长方体 10. (2009?恩施州)如图，长方体的长为 15,宽为10,高为20,点B 离点C 的距离为5, 一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B ，需要爬行的最短距离是 解：将长方体展开，连接 A 、B ，根据两点之间线段最短, B 的最短路程是 ( 2 2 12 710 .故选 C . 9.如图所示一棱长为 3cm 的正方体，把所有的面均分成 3 X3个小正方形.其边长都为 1cm , 假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm ，则它从下底面点 A 沿表面爬行至侧面的 B 点，最少要用 2.5 2, 一 (1)展开前面右面由勾股定理得 AB= 讥 2+3)2+⑵ 2 =V29 cm ; (2)展开底面右面由勾股定理得 AB=阿+(屮F =5cm ; 15 20 解：如图，AB=
勾股定理最短路径 引言 勾股定理是初中数学中的重要定理之一，它描述了直角三角形中三条边之间的关系。而最短路径是图论中的一个经典问题，它涉及寻找两个顶点之间最短的路径。本文将探讨如何利用勾股定理来解决最短路径问题。 最短路径问题 最短路径问题是在一个图中寻找两个顶点之间的最短路径。在图论中，图由一组顶点和一组边组成，边连接两个顶点并表示它们之间的关系。最短路径问题有着广泛的应用，例如在网络路由、物流规划和导航系统中都需要找到最短路径。 勾股定理 勾股定理是由古希腊数学家毕达哥拉斯提出的。它表述为：直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方和。即a2+b2=c2，其中c为斜边的长度，a和b为两个 直角边的长度。 最短路径算法 解决最短路径问题的算法有很多种，其中最著名的一种是迪杰斯特拉算法。该算法通过动态规划的思想，逐步更新起始点到其他所有点的最短路径。具体步骤如下： 1.创建一个集合S，用于存放已经找到最短路径的顶点。 2.初始化起始点到其他所有点的距离为无穷大，起始点到自身的距离为0。 3.选择一个距离最小的顶点v，将其加入集合S。 4.更新起始点到v的邻接点的距离，如果经过v的路径比当前路径短，则更新 距离。 5.重复步骤3和4，直到集合S包含了所有顶点。 6.最终得到起始点到其他所有点的最短路径。
勾股定理最短路径算法 在某些特殊情况下，我们可以利用勾股定理来求解最短路径问题。假设我们有一个平面上的图，其中每个顶点表示一个点的坐标，边表示两个点之间的距离。如果我们要求解从起始点到目标点的最短路径，并且只能沿着直角边移动，那么我们可以利用勾股定理来解决这个问题。 具体步骤如下： 1.将平面上的点表示为二维坐标(x,y)，其中x和y分别表示点在x轴和y轴上 的坐标。 2.计算起始点到所有其他点的直线距离，并将其作为初始最短路径。 3.对于每个顶点，计算其到目标点的直线距离，并利用勾股定理计算出最短路 径。 4.选择最短路径最小的顶点作为下一个移动的目标点。 5.重复步骤3和4，直到到达目标点。 6.最终得到起始点到目标点的最短路径。 示例 假设我们有一个平面上的图，其中起始点为A(0, 0)，目标点为B(3, 4)。我们可以根据勾股定理来求解从A到B的最短路径。 1.计算起始点到所有其他点的直线距离： –A到B的直线距离为5。 –A到其他点的直线距离为无穷大。 2.对于每个顶点，计算其到目标点的直线距离，并利用勾股定理计算出最短路 径： –对于点C(1, 0)，C到B的直线距离为4，根据勾股定理，A到C的最短路径为1。 –对于点D(0, 1)，D到B的直线距离为3，根据勾股定理，A到D的最短路径为1。 –对于点E(2, 0)，E到B的直线距离为3，根据勾股定理，A到E的最短路径为2。 –对于点F(0, 2)，F到B的直线距离为2，根据勾股定理，A到F的最短路径为2。 3.选择最短路径最小的顶点作为下一个移动的目标点： –A到C的最短路径为1，选择C作为下一个目标点。 4.重复步骤3和4，直到到达目标点：
勾股定理在最短路径问题中的应用 标题：勾股定理的在最短路径问题中的应用 导言： 最短路径问题是一类在图论中广泛应用的数学问题，它关注着在给定的网络中寻找两个节点之间最短路径所需经过的边或弧的集合。数学家们在求解最短路径问题的过程中，经过了数不清的探索和尝试。本文将介绍勾股定理在最短路径问题中的应用，通过深入讨论和具体案例分析，旨在帮助读者更加深入、全面地理解这一主题。 一、勾股定理概述 1.1 勾股定理定义 勾股定理，也称毕达哥拉斯定理，是三角学中一个经典的定理。它表明，在一个直角三角形中，设直角边的长度分别为a和b，斜边长度为c，则有a² + b² = c²。 二、最短路径问题介绍 2.1 最短路径问题的定义 最短路径问题是一个经典的图论问题，它要求在给定的加权有向图或无向图中，求解两个顶点之间的最短路径。这种路径可能经过一些中间节点，但其总权值和需要最小。
三、勾股定理在最短路径问题中的应用 3.1 最短路径问题的建模 在最短路径问题中，我们需要将问题建模为一个加权有向图或无向图。对于一个直角三角形，我们可以将直角边的长度作为边的权值，斜边 的长度作为两个节点之间的距离。 3.2 以勾股定理为基础的最短路径算法 基于勾股定理的最短路径算法利用了直角三角形的特性，将直角边长 度作为边的权值，通过计算两个节点之间的距离来求解最短路径。 3.3 实例分析：勾股定理在最短路径问题中的具体应用 通过一个具体的实例，我们可以更好地理解勾股定理在最短路径问题 中的应用。假设我们有一个城市地图，有一辆车位于城市的某个节点 A上，我们需要找到车从节点A到达另一个节点B的最短路径。 4. 总结与回顾 通过本文的讨论，我们了解了勾股定理在最短路径问题中的应用。勾 股定理提供了一种有效的方法来计算两个节点之间的距离，从而为最 短路径问题的求解提供了便利。通过建立一个适当的数学模型，我们 可以利用勾股定理来解决各种实际应用中的最短路径问题。 个人观点与理解：
专题1.4 勾股定理中的最短路径问题 目标导航 1、熟练掌握勾股定理的最短路径问题（主要包含：长方体、圆柱、圆锥、将军饮马等）。 2、解决实际问题时，要善于构造直角三角形，把实际问题抽象成几何问题. 知识精讲 知识点01 最短路径问题 平面展开图-最短路径问题 几何体中最短路径基本模型如下： 基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解。 【知识拓展1】圆柱有关的最短路径问题 【微点拨】计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周长的一半进行计算。 要点总结：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； 2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。 例1．（2022·山东青岛·八年级期末）如图，一个圆桶，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫从下底点A处爬到上底B处再回到A处，则小虫所爬的最短路径长是（）（ 取3）
A．60cm B．40cm C．30cm D．20cm 【答案】A 【分析】先将圆柱的侧面展开为一矩形，而矩形的长就是底面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股定理就可以求出其值． 【详解】解：展开圆柱的侧面如图， 根据两点之间线段最短就可以得知AB最短． 由题意，得AC=3×16÷2=24， 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 2222 241830 AB AC BC =+=+=cm． ∵一只小虫从下底点A处爬到上底B处再回到A处， ∴最短路径长为60cm.故选：A． 【点睛】本题考查了圆柱侧面展开图的运用，两点之间线段最短的运用，勾股定理的运用．在解答时将圆柱的侧面展开是关键． 【即学即练】 1．（2022·吉林长春·八年级期末）如图，有一个圆柱，底面圆的直径AB＝24 π cm，高BC＝10cm，在BC的 中点P处有一块蜂蜜，聪明的蚂蚁能够找到距离食物的最短路径，则蚂蚁从点A爬到点P的最短路程为_____cm． 【答案】13
勾股定理是数学中的经典定理，被广泛应用于解决直角三角形中的各种问题。其中，勾股定理最短路径问题是一个常见而又有一定挑战性的问题，需要我们对勾股定理的应用进行深入理解和掌握。下面，我将共享一些在做勾股定理最短路径问题时的一些技巧和注意事项，希望能对大家有所帮助。 1. 确定直角三角形 在解决勾股定理最短路径问题时，首先需要确定问题中是否存在直角三角形。通常情况下，我们可以通过问题描述中给出的线段长度或角度信息来判断是否为直角三角形。一旦确定存在直角三角形，我们便可以应用勾股定理来解决最短路径问题。 2. 确认最短路径 在确定了直角三角形后，接下来我们需要确认问题中所要求的最短路径。这个最短路径可能是直角三角形中的某条边，也可能是直角三角形内部的某一段路径。在实际问题中，我们经常需要根据具体情况来判断最短路径的具体位置。 3. 应用勾股定理 一旦确定了直角三角形和最短路径，我们就可以开始应用勾股定理来求解问题了。勾股定理的表达式为a^2 + b^2 = c^2，其中a、b分别为直角三角形的两条直角边，c为斜边。我们可以根据勾股定理的这一表达式来进行问题的推理和计算，从而得出最终的最短路径结果。
4. 注意特殊情况 在应用勾股定理解决最短路径问题时，我们还需要特别注意一些特殊情况。当直角三角形的两条直角边长度相等时，斜边也将会最短，这种情况下我们可以直接应用勾股定理来得出结果。另外，当直角三角形的两条直角边长度有一个为0时，斜边也将为另一条直角边，这时最短路径也就不言而喻了。 5. 结合实际问题 当我们应用勾股定理解决最短路径问题时，需要将数学知识与实际问题相结合，确保解答的合理性和可行性。我们可以通过画图、列方程等方法来辅助求解，从而得出准确的最短路径结果。 在解决勾股定理最短路径问题时，我们需要确保对勾股定理的基本原理有充分的理解，同时要灵活运用对问题进行分析和求解。希望以上共享的技巧和注意事项能够帮助大家在做题时更加得心应手，解决问题时得心应手。经过以上的介绍，我们已经对勾股定理最短路径问题有了一定的了解，接下来，我们将继续探讨一些具体的例题，并结合实际情境来应用所学的技巧和注意事项。 例题一：田地中的最短路径 假设有一块矩形的田地，田地的一边长为20米，另一边长为15米。现在农夫需要从田地的一角走到对角的另一角，问农夫走的最短路径
『勾股定理在最短路径问题中的应用』 一、引言 在数学和实际生活中，勾股定理是一个被广泛应用的基本定理，它不仅仅是一个几何定理，还在诸多领域中有着重要的应用，其中就包括最短路径问题。本文将探讨勾股定理在最短路径问题中的应用，从而帮助我们更深入地理解这一数学原理在实际生活中的作用。 二、最短路径问题概述 最短路径问题是指在图中找到两个顶点之间的最短路径，通常以距离或权重来衡量路径的长度。这个问题在现实生活中有着广泛的应用，比如在网络传输中寻找最短路径可以提高传输效率，在交通规划中寻找最短路径可以节省时间和成本等等。寻找最短路径是一个被广泛关注的问题。 三、勾股定理在最短路径问题中的应用 1. 从原理上来看，勾股定理可以帮助我们计算两点之间的直线距离，这在寻找最短路径时是至关重要的。通过勾股定理，我们可以准确地计算出两点之间的距离，从而找到最短路径。 2. 勾股定理还可以帮助我们理解和推导其他寻找最短路径的算法，比如迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。这些算法都是建立在对距离的准确计算基础上的，而勾股定理为我们提供了这样的基础知识。 3. 在实际的地图导航中，勾股定理也被广泛应用。通过勾股定理，地
图导航可以准确计算出最短路径，并为我们提供最优的导航方案，从 而节省时间和成本。 四、结论和回顾 通过本文的探讨，我们更加深入地了解了勾股定理在最短路径问题中 的重要应用。勾股定理不仅仅是一个单纯的数学定理，它还在实际生 活中发挥着重要作用，特别是在寻找最短路径这样的实际问题中。我 们应该重视和深入理解勾股定理这一基础数学原理，从而更好地应用 它解决现实生活中的问题。 五、个人观点 在我看来，数学定理和实际问题之间的联系总是让人感到惊讶和敬畏。勾股定理作为一个古老的数学定理，竟然在现代的最短路径问题中发 挥着如此重要的作用，这让我对数学的普适性有了更深刻的理解。我 相信，随着数学和现实生活的更加深入的结合，我们将能够更好地解 决各种实际问题，提高生活质量和效率。 在本文中，我重点从原理、应用和实际意义三个方面来探讨勾股定理 在最短路径问题中的应用，通过多次提及勾股定理，以及总结性的结语，旨在帮助读者更好地理解和接受这一数学原理在实际生活中的价值。 我鼓励读者对于数学定理和实际问题之间的联系保持好奇心和探索精
专题(三)利用勾股定理及其逆定理解决最短路径问题 平面(或曲面)上的最短路线问题是数学中常见的一种最值问题,勾股定理及其逆定理是解决这类问题的一大利器.求最短路线问题,首先要把实际问题转化成含有直角三角形的数学模型,再根据“两点之间,线段最短”的数学事实通过勾股定理(或逆定理)得出最短路线.如果求曲面上的最短路线,还要通过转化的方法先将曲面展开得到一个熟悉的平面图形,然后再通过平面图形来解决. 类型1平面上的最短路径问题 1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点M在AC边上,且AM=1,MC=4,动点P在AB边上,连接PC,PM,则PC+PM的最小值是(C) A.√17 B.6 C.√26 D.7 2.如图,在△ACB中,有一点P在AC上移动,若AB=AC=5,BC=6,则AP+BP+CP的最小值为(D) A.4.8 B.8 C.8.8 D.9.8
3.如图,C为线段BD上一动点,分别过点B,D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接 AC,EC,AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x. (1)直接写出AC+CE的值;(用含x的代数式表示) (2)求AC+CE的最小值. 解:(1)AC+CE=√AA2+AA2+√AA2+AA2=√25+(8−A)2+√1+A2. (2)如图,连接AE交BD于点C1,此时AC+CE有最小值.平移DE至BF. 则BF=DE=1,EF=BD=8,AF=AB+BF=5+1=6, AC+CE的最小值AE=√AA2+AA2=√62+82=10. 4.如图,A,B两个村子在河CD的同侧,A,B两村到河的距离分别为AC=1 km,BD=3 km,CD=3 km.现在河边CD上建一水厂向A,B两村输送自来水,铺设水管的费用为20000元/km. (1)请你在河CD边上作出水厂的位置O,使铺设水管的费用最省; (2)求出铺设水管的总费用. 答案图 解:(1)O点如图所示.
利用勾股定理确定最短路径问题 我们知道，两点之间线段最短，但这两点之间的距离往往要通过适当的知识求出其大小，现介绍一种方法，用勾股定理确定最短问题. 例1如图1，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（） 分析根据“两点之间，线段最短”和“勾股定理”，蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，较短爬行路线有如图2所示的4条粗线段表示的距离.可以通过计算得知最短的是第2条. 说明在立体图形上找最短距离，通常要把立体图形转化为平面图形，即转化为表面展开图来解答，但是不同的展开图会有不同的答案，所以要分情况讨论. 例2如图1，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要＿＿＿cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要＿＿＿cm.
分析要求最短细线的长，得先能确定最短线路，于是，可画出长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短，结合勾股定理求得.若从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，即相当于长方体的侧面展开图的一边长由3+1+3+1变成n(3+1+3+1)，同样可以用勾股定理求解. 说明对于从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B的最短细线不能理解为就是n个底面周长. （3）若一辆大货车在限速路上由C处向西行驶，一辆小汽车在高等级公路上由A处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少?
例4恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB＝50km，A、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客.小民设计了两种方案，图1是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1＝PA+PB，图2是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A′，连接BA′交直线X 于点P），P到A、B的距离之和S2＝PA+PB. （1）求S1、S2，并比较它们的大小； （2）请你说明S2＝PA+PB的值为最小； （3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图3所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.
专题17.4 勾股定理中最短路径问题专项训练（30道） 【人教版】 1．如图，在长为3，宽为2，高为1的长方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着长方体的表面爬行到顶点B，那么它爬行的最短路程是（） A．√14B．√18C．√20D．√26 2．如图，已知圆柱底面的周长为12cm，圆柱高为8cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（） A．10cm B．20cm C．√208cm D．100cm 3．如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，点B离点C的距离为1，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是（） A．√21B．5C．√29D．√37 4．如图，在长方体透明容器（无盖）内的点B处有一滴糖浆，容器外A点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为5cm，宽为3cm，高为4cm，点A距底部1cm，请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）（）
A．3√17cm B．10cm C．5√5cm D．√113cm 5．如图，一圆柱体的底面圆周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程是（） A．2√29B．4 π √π2+25C．2√25π2+4D．14 6．如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A 处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A处的最短距离是（） A．√73厘米B．10厘米C．8√2厘米D．8厘米 7．国庆节期间，重庆南开中学用彩灯带装饰了艺术楼大厅的所有圆柱形柱子．为了美观，每根柱子的彩灯带需要从A点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的B点，如图所示，若每根柱子的底面周长均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为（）
数学难点【勾股定理最短路径问题】，经典例题答案解析 勾股定理最短路径问题 例题1：如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？ 分析：通过图可以发现，是一个点到它相对的另外一个点的情形。先确定长方体的长宽高，分别为5、10、20。 这类问题相对来说比较简单，这样解题本质上还是展开图的三种情形。 2.长方体中爬行，不是到达相对的另外一个点 如果在长方体中爬行，不是到达相对的另外一个点，那就只有通过展开图来解决问题。 例题2：如图，长方体的底面边长为4cm和宽为2cm，高为
5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，求蚂蚁爬行的最短路径长为多少厘米？ 分析：要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短来求解。本题蚂蚁爬行了四个面，那就需要将四个面都展开来进行计算。 3.在圆柱体中爬行半圈或一圈 在圆柱体中爬行，要分两种情况，圆柱的侧面展开图是长方形，可能爬行了长方形的一半，也有可能爬行了整个长方形。 例题3：如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为9cm，BC 是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 变式：一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点B，则蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？
4.正方体表面爬行 蚂蚁在正方体表面爬行时，一般就一种情形，可通过画图解决。 例题4：如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是多少？
17.1(11)勾股定理--与最短路径问题 一．【知识要点】 1.两点之间线段最短：⑴将军饮马型；⑵几何体上两点最短型 2.垂线段最短型 3.造桥选址型 二．【经典例题】 1．如图一个圆柱，底圆周长10cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm . 2．如图一个圆柱，底圆周长10cm ，高4cm ，点B 距离上边缘1cm,一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm . 3．如图，圆柱形容器中，高为0.4m ，底面周长为1m ，在容器内壁．． 离容器底部0.3m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁．．，与蚊子相对．． 的点A 处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离（容器厚度忽略不计）. 4.编制一个底面半径为6 cm 、高为16cm 的圆柱形花柱架,需用沿圆柱表面绕织一周的竹条若干根,如图中的111AC B ,222, A C B ,则每一根这样的竹条的长度最少是__________．
5. 如图，圆柱底面半径为cm ，高为9cm ，点A 、B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A 、B 在同一高上，用一根棉线从A 点顺着圆柱侧面绕3圈到B 点，则这根棉线的长度最短为______. 6.一只蚂蚁从长为4cm,宽为3 cm ，高是5 cm 的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是____________cm 。 7.已知 A （1，1）、B （4，2）．P 为 x 轴上一动点，求 PA+PB 的最小值. 8．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20 dm,3 dm,2 dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是__________dm. 2 A B
勾股定理的之长方体上的最短路径问题【知识点】 求长方体(如图1)上A、B 两点之间的距离，将长方体相邻两个面展开有三种方式(如图2) (1)右侧面向前展开，如图①，此时AB2＝(a＋b)2＋c2＝a2＋b2＋c2＋2ab (2)上底面向前展开，如图②，此时AB2＝(c＋b)2＋a2＝a2＋b2＋c2＋2bc (3)上底面向左展开，如图③，此时AB2＝(a＋c)2＋b2＝a2＋b2＋c2＋2ac 通过对三种展开方式的分析，我们得到： ①当c最大时，图①中AB最短 ②当a最大时，图②中AB最短 ③当b最大时，图③中AB最短 【练习题】 1.如图，长方体的高为3 cm，底面是正方形，其边长为 2 cm．现有一只蚂蚁从A处出发，沿长方体表面到达 C处，则蚂蚁爬行的最短路线的长为
2.如图，有一个长、宽各为2 m、高为3 m且封闭的长方体纸盒，一只昆虫要从 顶点A爬到顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路程为 3.如图，一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50 cm、30 cm、10 cm， A和B是这个台阶的两个相对的点，A点处有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶爬到B点，至少需爬cm 4.如图，已知长方体的长AC＝2 cm，宽BC＝1 cm，高AA′＝4 cm．如果一只 蚂蚁沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么最短路程是多少？
5.如图，长方体的底面相邻两边的长分别为1 cm和3 cm，高为6 cm，如果用一 根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多长？如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短时，其长度的平方是多少？ 6.如图，圆柱形玻璃容器高10 cm，底面周长为30 cm，在外侧距下底1 cm的点 S处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1 cm的点F 处有食物，求蚂蚁要吃到食物所走最短路线的长度
专题01 勾股定理中的最短路径问题与翻折问题（五大题型） 【题型1 与长方形有关的最短路径问题】 【题型2 与圆柱有关的最短路径问题】 【题型3 与台阶有关的最短路径问题】 【题型4将军饮马与最短路径问题】 【题型5几何图形中翻折、旋转问题】 【方法技巧】长方体最短路径基本模型如下： 几何体中最短路径基本模型如下： 基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解 【题型1 与长方体有关的最短路径问题】 【典例1】（2023•丹江口市模拟）如图，地面上有一个长方体盒子，一只蚂蚁在这个长方体盒子的顶点A处，盒子的顶点C′处有一小块糖粒，蚂蚁要沿着这个盒子的表面A处爬到C′处吃这块糖粒，已知盒子的长和宽为均为20cm，高为30cm，则蚂蚁爬行的最短距离为（）cm．
A．10B．50C．10D．70 【变式1-1】（2022秋•新都区期末）一个长方体盒子的长、宽、高分别为15cm，10cm，20cm，点B离点C的距离是5cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到点B，蚂蚁爬行的最短路程是（） A．10cm B．25cm C．5cm D．5cm 【变式1-2】（2023春•光泽县期中）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（） A．5B．25C．D．35 【变式1-3】（2023春•灵丘县月考）如图，正方体的棱长为3cm，已知点B与点C之间的距离为1cm，一只蚂蚁沿着正方体的表面从点A爬到点C，需要爬行的最短距离为（）