蚂蚁爬行的最短路径
正方体
4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着外表爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是〔 〕
A ．A ⇒P ⇒
B B ．A ⇒Q ⇒B
C ．A ⇒R ⇒B
D ．A ⇒S ⇒ B
解：根据两点之间线段最短可知选A ． 应选A ．
2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外外表爬到顶点B 的最短距离是 .
解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短〞知，线段AB 即为最短路线． AB=
51222=+．
8. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 .
解：将正方体展开，连接M 、D1， 根据两点之间线段最短， MD=MC+CD=1+2=3，
第6题
第7题
A
B
12
1MD 1=
1323222
12=+=+DD MD ．
5．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其外表爬到点B 的最短路程是〔 〕
解：如图，AB= ()101212
2=++．应选C ．
9．如下图一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，那么它从下底面点A 沿外表爬行至侧面的B 点，最少要用 2.5秒钟．
解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比拟，再从各个路线中确定最短的路线．
〔1〕展开前面右面由勾股定理得AB= = cm ；
〔2〕展开底面右面由勾股定理得AB=
=5cm ；
所以最短路径长为5cm ，用时最少：5÷2=2.5秒．
长方体
10．〔2021•恩施州〕如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的外表从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是 。
解：将长方体展开，连接A 、B ，根据两点之间线段最短，AB=
=25．
A B A 1B 1D C
D 1C 12
1
4
11. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的外表爬到对角顶点C 1处〔三条棱长如下图〕，问怎样走路线最短？最短路线长为 .
解：正面和上面沿A 1B 1展开如图，连接AC 1，△ABC 1是直角三角形， ∴AC 1=()534214222
22
12=+=++=+BC AB
18．〔2021•荆州〕如图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm ．假设一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，那么蚂奴爬行的最短路径长为 cm ．
解：
∵PA=2×〔4+2〕=12，QA=5 ∴PQ=13．
故答案为：13．
19．如图，一块长方体砖宽AN=5cm ，长ND=10cm ，CD 上的点B 距地面的高BD=8cm ，地面上A 处的一只蚂蚁到B 处吃食，需要爬行的最短路径是多少？
解：如图1，在砖的侧面展开图2上，连接AB ， 那么AB 的长即为A 处到B 处的最短路程．
解：在Rt △ABD 中，
因为AD=AN+ND=5+10=15，BD=8， 所以AB 2=AD 2+BD 2=152+82=289=172． 所以AB=17cm ．
故蚂蚁爬行的最短路径为17cm ．
49、如图，长方体盒子〔无盖〕的长、宽、高分别12cm ,8cm,30cm.
(1)在AB 中点C 处有一滴蜜糖，一只小虫从D 处爬到C 处去吃，有无数种走法，那么最短路程是多少？
(2)此长方体盒子(有盖)能放入木棒的最大长度是多少?
12．如下图：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A 点爬到B 点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为 米。
解：由题意得， 路径一：AB= = ；
路径二：AB= =5； 路径三：AB=
=
； ∵ ＞5，
∴5米为最短路径．
13．如图，直四棱柱侧棱长为4cm ，底面是长为5cm 宽为3cm 的长方形．一只蚂蚁从顶点A 出发沿棱柱的外表爬到顶点B ．求： 〔1〕蚂蚁经过的最短路程；
〔2〕蚂蚁沿着棱爬行〔不能重复爬行同一条棱〕的最长路程．
A
B
C D
.
128
30
解：〔1〕AB的长就为最短路线．
然后根据假设蚂蚁沿侧面爬行，那么经过的路程为〔cm〕；
假设蚂蚁沿侧面和底面爬行，那么经过的路程为〔cm〕，
或〔cm〕所以蚂蚁经过的最短路程是cm．
〔2〕5cm+4cm+5cm+4cm+3cm+4cm+5cm=30cm，最长路程是30cm．
15．如图，长方体的长、宽、高分别为6cm，8cm，4cm．一只蚂蚁沿着长方体的外表从点A爬到点B．那么蚂蚁爬行的最短路径的长是。
解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，
那么这个长方形的长和宽分别是12cm和6cm，
那么所走的最短线段是=6 cm；
第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，
那么这个长方形的长和宽分别是10cm和8cm，
所以走的最短线段是= cm；
第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，
那么这个长方形的长和宽分别是14cm和4cm，
所以走的最短线段是=2 cm；
三种情况比拟而言，第二种情况最短．
51．圆柱形坡璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度。
16．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20cm 、3cm 、2cm ．A 和B 是这个台阶上两个相对的端点，点A 处有一只蚂蚁，想到点B 处去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶面爬行到点B 的最短路程为 cm
解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20cm ，宽为〔2+3〕×3cm ， 那么蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为xcm ， 由勾股定理得：x 2=202+[〔2+3〕×3]2=252， 解得x=25． 故答案为25．
17．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm ，3cm 和1cm ，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是 cm 。
解：将台阶展开，如下列图， 因为AC=3×3+1×3=12，BC=5，
所以AB 2=AC 2+BC 2=169， 所以AB=13〔cm 〕，
所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm ． 答：蚂蚁爬行的最短线路为13cm ．
圆柱
21．有一圆柱体如图，高4cm ，底面半径5cm ，A 处有一蚂蚁，假设蚂蚁欲爬行到C 处，求蚂蚁爬行的最短距离 .
解：AC 的长就是蚂蚁爬行的最短距离．C ，D 分别是BE ，AF 的中点． AF=2π•5=10π．AD=5π． AC=
22CD AD ≈16cm ．
故答案为：16cm ．
第2题
A B
5
12
22．有一圆形油罐底面圆的周长为24m ，高为6m ，一只老鼠从距底面1m 的A 处爬行到对角B 处吃食物，它爬行的最短路线长为 .
解：AB=1312522=+m
23．如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA 1的端点A 到达A 1，假设圆柱底面半径为
π
6
，高为5，那么蚂蚁爬行的最短距离为 ．
解：因为圆柱底面圆的周长为2π×
π
6
=12，高为5， 所以将侧面展开为一长为12，宽为5的矩形， 根据勾股定理，对角线长为 =13．
故蚂蚁爬行的最短距离为13．
24．如图，一圆柱体的底面周长为24cm ，高AB 为9cm ，BC 是上底面的直径．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C ，那么蚂蚁爬行的最短路程是
解：如下图：
由于圆柱体的底面周长为24cm ，那么AD=24×2
1=12cm ．
第3题
又因为CD=AB=9cm，所以AC= =15cm．
故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的外表爬行到点C的最短路程是15cm．
故答案为：15．
25．〔2006•荆州〕有一圆柱体高为10cm，底面圆的半径为4cm，AA1，BB1为相对的两条母线．在AA1上有一个蜘蛛Q，QA=3cm；在BB1上有一只苍蝇P，PB1=2cm，蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P点吃苍蝇，最短的路径是cm．〔结果用带π和根号的式子表示〕
解：QA=3，PB1=2，
即可把PQ放到一个直角边是4π和5的直角三角形中，
根据勾股定理得：
QP=
最短路线问题通常是以“平面内连结两点的线中,线段最短〞为原那么引申出来的.人们在生产、生活实践中,常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题.下面简单谈一下初中数学中遇到的最短路线问题。对于数学中的最短路线问题可以分为两大类：第一类为在同一平面内；第二类为空间几何体中的最短路线问题，对于平面内的最短路线问题可先画出方案图，然后确定最短距离及路径图。
Ⅰ.求三点距离相等时，一点到两点的距离最短设计方案
例1．为改善白银市民吃水质量，市政府决定从新建的A水厂向B、C供水站供水。A、B、C之间的距离相等，为了节约本钱降低造价，请你设计一种最优方案，使铺设的输水管道最短，在图中用实线画出你所设计方案的线路图。
解析：可根据三点所构成的三角形形状及三线合一的性质，可求最短路线及设计图。
〔1〕可设计AB+AC路径；
〔2〕可设计AD+BD+CD路径；
〔3〕可设计AE+EB+EC路径。
通过计算比拟验证等确定最优化的设计方案为〔3〕
Ⅱ。求一点，使它与其余两点之和最小的方案设计
例2．为了改善农民生活水平，提高生产，如图，A、B是两个农场，直线m是一条小河，现准备在河岸某处修建一提灌点，准备给两农场浇水，如何修建，使得提灌点与两农场的距离之和最小，请你在图中画出设计方案图。
解析：两点之间线段最短，可利用轴对称性质，从而可将求两条线段之和的最小值问题转化为求一条线段长的问题。
应用：三角形ABC中，∠A＝20度，AB＝AC＝20cm，M、N分别为AB、AC上两点，
求BN＋MN＋MC的最小值。
Ⅲ。求圆上点，使这点与圆外点的距离最小的方案设计
例3．圆形花坛以及花坛外一居民区，要在花坛与居民区之间修建一条小道在圆形花坛上选择一点，使其与居民区之间的距离最小。
解析：在此问题中可根据圆上最远点与最近点和点的关系可得最优设计方案。
应用:一点到圆上的点的最大距离为9，最短距离为1，那么圆的半径为多少？
关于立体图形外表的最短路径问题,又称“绕线问题〞是几何中很富趣味性的一类向题.它牵涉的知识面广,沟通了平面几何、立体几何以及平面三角的联系,能训练学生的空间想象能力。而且,也很富有技巧性.在此讨论几个问题,仅供参考。
Ⅰ。在圆柱中，可将其侧面展开求出最短路程
Ⅱ。在长方体〔正方体〕中，求最短路程
例5．在长方体盒子的A点有一昆虫，在B点有它最喜欢吃的食物，沿盒子外表爬行，如何爬行使得所爬路程最短，如果长方体的长、宽、高分别为a、b、c.那么最短路程为多少.
解析：将其中含有一点的面展开，与含另一点的面在同一平面内即可，主要可以分为三种情形：
〔1〕将右侧面展开与下底面在同一平面内，可得其路程为：s1=
〔2〕将前外表展开与上外表在同一平面内，可得其路程为：s2=
〔3〕将上外表展开与左侧面在同一平面内，可得其路程为：s3=
然后比拟s1、s2、s3的大小，即可得到最短路程.
应用：一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体和蜘蛛相对的顶点C1处。蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着长方体的外表向上爬，它要从A点爬到C1点，它应沿着怎样的路线爬行，才能在最短的时间内捉住苍蝇？
Ⅲ。在圆锥中，求最短路径问题
例6．在某杂技表演中，有一形似圆锥的道具，杂技演员从A点出发，在其外表绕一周又回到A点，如果绕行所走的路程最短，画出设计方案图。
解析：将圆锥侧面展开，根据同一平面内的问题可求出最优设计方案
应用：如图，一直圆锥的母线长为QA=8，底面圆的半径r=2，假设一只小蚂蚁从A点出发，
绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，那么蚂蚁爬行的最短路线长是______〔结果保存根式〕
路程最短问题在中学教学中是个难点，本文结合中学数学中常见的几类最短路程问题，用实例从知识的趣味性、实际生活中的应用等方面探讨了最短路线的简单应用。从中望能给学生培养空间想象能力及动手动脑探究数学问题的思想。学会“转化的思想〞的解决问题的方法，今后我们在数学教学与解决数学问题时，也应从这些方面去考虑，找出问题的实质，到达解决问题的目的。充分去体会数学中的有趣知识，从兴趣出发学到有用的数学。
勾股定理--最短距离问题 蚂蚁爬行的最短路径 正方体 4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A点处沿着表面爬行到点上面的B点处，它爬行的最短路线是（） A．APBB．AQBC．ARBD．ASB 解：根据两点之间线段最短可知选A．故选A． 2.如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是. 第6题 解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB 即为最短路线．AB= 22125． 8.正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M 点的最短距离为. 第7题 解：将正方体展开，连接M、D1，根据两点之间线段最短， MD=MC+CD=1+2=3， 第1页共10页 MD1=
MD2DD1322213． 25．如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点， 正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是（）11A 解：如图，AB= 2B1221210．故选C． 9．如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3某3个小 正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点 A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用2.5秒钟． 解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再 从各个路线中确定最短的路线． （1）展开前面右面由勾股定理得AB=（2）展开底面右面由勾股定理 得AB= 所以最短路径长为5cm，用时最少：5÷2=2.5秒． ==5cm； cm； 长方体 10．（2022恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点 B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 解：将长方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，AB=
蚂蚁爬行的最短路径 正方体 4.如图，一只蚂蚁从正方体的底面 A 点处沿着表面爬行到点上面的 B 点处，它爬行的最短 路线是（ ） 解：根据两点之间线段最短可知选 A . 故选A . 2.如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点 A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点 B 的 最短距离是 _____________ . 解：如图将正方体展开，根据 两点之间，线段最短”知，线段AB 即为最短路线. 8.正方体盒子的棱长为 2, BC 的中点为 M , —只蚂蚁从 A 点爬行到 M 点的最短距离 为 _________ . 甘—Si — 第7题 解：将正方体展开，连接 M 、D1 , 根据两点之间线段最短， MD=MC+CD=1+2=3 , B . A? Q? B C . A? R? B D . A? S? B A . A? P? B
5.如图，点A 的正方体左侧面的中心，点 B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为 蚂蚁从点A 沿其表面爬到点 解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短 的路线. 所以最短路径长为 5cm ，用时最少：5吃=2.5秒. 长方体 10. (2009?恩施州)如图，长方体的长为 15,宽为10,高为20,点B 离点C 的距离为5, 一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B ，需要爬行的最短距离是 解：将长方体展开，连接 A 、B ，根据两点之间线段最短, B 的最短路程是 ( 2 2 12 710 .故选 C . 9.如图所示一棱长为 3cm 的正方体，把所有的面均分成 3 X3个小正方形.其边长都为 1cm , 假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm ，则它从下底面点 A 沿表面爬行至侧面的 B 点，最少要用 2.5 2, 一 (1)展开前面右面由勾股定理得 AB= 讥 2+3)2+⑵ 2 =V29 cm ; (2)展开底面右面由勾股定理得 AB=阿+(屮F =5cm ; 15 20 解：如图，AB=
最短距离公式 最短距离公式是数学中的一个重要概念，它可以用来计算两个点之间的最短距离。在实际生活中，最短距离公式被广泛应用于地图导航、工程设计、运输物流等领域。本文将对最短距离公式的原理、应用和优化进行详细介绍。 一、最短距离公式的原理 最短距离公式是基于勾股定理的推导而来的。勾股定理指的是：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。根据勾股定理，我们可以得出最短距离公式的基本形式： d = √((x2-x1) + (y2-y1)) 其中，d表示两点之间的最短距离，x1和y1分别表示第一个点的横纵坐标，x2和y2分别表示第二个点的横纵坐标。最短距离公式的原理就是通过勾股定理计算出两点之间的距离。 二、最短距离公式的应用 1.地图导航 地图导航是最短距离公式的常见应用之一。在地图上，我们可以将地点的坐标表示为经纬度或平面直角坐标系中的坐标，通过最短距离公式计算两个地点之间的距离，从而确定最短路径。地图导航软件如高德地图、百度地图等都是基于最短距离公式实现的。 2.工程设计 在工程设计中，最短距离公式可以用来计算两个点之间的距离，从而确定物体的大小、位置、形状等参数。例如，在建筑设计中，可
以利用最短距离公式计算出建筑物的高度、宽度、长度等参数；在机械设计中，可以利用最短距离公式计算出机械零件之间的距离，从而确定机械的尺寸和形状。 3.运输物流 在运输物流中，最短距离公式可以用来计算货物的运输距离、时间和成本。例如，在物流配送中，可以利用最短距离公式计算出配送点之间的距离，从而确定最短路径和最优配送方案；在货物运输中，可以利用最短距离公式计算出货物的运输距离和时间，从而确定运输成本和时间。 三、最短距离公式的优化 最短距离公式的计算量较大，特别是在大规模数据的情况下。为了提高计算效率，可以采用以下优化技术： 1.分段计算 将距离的计算分成多个步骤，每次计算两个点之间的距离，然后将这些距离相加得到总距离。这种方法可以避免单次计算量过大，提高计算效率。 2.空间索引 利用空间索引技术，将地图上的点分成多个区域，每个区域内的点都有一个索引值。在计算距离时，只需要计算相邻区域内的点之间的距离，从而减少计算量。 3.并行计算 利用多线程或分布式计算技术，将距离的计算任务分发到多个处
1A B A 1B 1D C D 1C 124勾股定理--最短距离问题蚂蚁爬行的最短路径 正方体 1．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是 A ．A ⇒P ⇒ B B ．A ⇒Q ⇒B C ．A ⇒R ⇒B D ．A ⇒S ⇒B 2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离 是 . 3. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 . 4．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其 10．（2009•恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是 。 10题 11 12 13 11. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处（三条棱长如图所示）， 蚂蚁到B 处吃食，需要爬行的最短路径是多少？ 14、如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别 12cm ,8cm,30cm. (1) 在AB 中点C 处有一滴蜜糖，一只小虫从D 处爬到C 处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？ (2)此长方体盒子(有盖)能放入木棒的最大长度是多少? 15．如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A 点爬到B 点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为 米。 15 14 16 17 第2题 第3题 A B C D .128 30
16．如图，直四棱柱侧棱长为4cm ，底面是长为5cm 宽为3cm 的长方形．一只蚂蚁从顶点A 出发沿棱柱的表面爬到顶点B ．求： （1）蚂蚁经过的最短路程； （2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程． 17．如图，长方体的长、宽、高分别为6cm ，8cm ，4cm ．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A 爬到点B ．则蚂蚁爬行的最短路径的长是 。 18．圆柱形坡璃容器，高18cm ，底面周长为60cm ，在外侧距下底1cm 点S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm 的点F 处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度。 19 18 20 19．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20cm 、3cm 、2cm ．A 和B 是这个台阶上两个相 对的端点，点A 处有一只蚂蚁，想到点B 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B 的最短路程为 cm 20．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm ，3cm 和1cm ，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是 cm 。 圆柱 2．有一圆柱体如图，高4cm ，底面半径5cm ，A 处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C 处，求蚂蚁爬行的最短距离 . 3．有一圆形油罐底面圆的周长为24m ，高为6m ，一只老鼠从距底面1m 的A 处爬行到对角B 处吃食物，它 ． 24．如图，一圆柱体的底面周长为24cm ，高AB 为9cm ，BC 是上底面的直径．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C ，则蚂蚁爬行的最短路程是 25．（2006•荆州）有一圆柱体高为10cm ，底面圆的半径为4cm ，AA 1，BB 1为相对的两条母线．在AA 1上有一个蜘蛛Q ，QA=3cm ；在BB 1上有一只苍蝇P ，PB 1=2cm ，蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P 点吃苍蝇，最短的路径是 cm ．（结果用带π和根号的式子表示） 第2题 第3题
专题：勾股定理与立体图形两点间距离问题1 问题1、一只壁虎处在正方体的一顶点A 处，它想爬到到B 点处寻找食物，若正方体边长为2m 则它所爬行的最短路线为多少？ 2、若问题1中的几何体为一个长方体，它的长、宽、高分别6m 、4m 、3m ，则它所爬行的最短路线为多少？ 3、若问题1中的几何体为一个圆柱体，已知底面半径为2m ，高为4m, 则它所爬行的最短路线为多少？ 综合练习： 1、如图桌子上有一圆柱形玻璃杯，高12cm ，底面周长18cm ，在杯口外壁离杯口3cm 的A 处有一滴蜜糖，一只小虫从桌子上爬至杯子外壁，当它爬至蜜糖相对方向离桌面3cm 的B 处时发现蜜糖，问小虫怎样爬最近？他至少爬多少路才能到达蜜糖所在位置？ 2、若上题中的蜜糖位于 杯口内壁离杯口3cm 的A 处, 问小虫怎样爬最近？他至少爬多少路才能到达蜜糖所在位置？ 3、一个四级台阶，它的每一级的长宽高分别为20dm 、3dm 、2dm ，A 、B 分别是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁想去B 点去吃食物, 则蚂蚁沿着台阶爬到B 点的最短路程是 dm 专题：勾股定理与立体图形两点间距离问题2 问题1.一个长方形的盒子长宽高分别为5cm 、3cm 、1cm ，一只长为6cm 的木棒能否 放进这个盒子?如果不能，则求会露出多长？ 问题2、一个圆柱形的竹筒底面半径5cm ，一支筷子放在竹筒里最长露出6cm ，最短 露出2cm ，求筷子的长度和竹筒的高？ 综合练习: 1、如图，某种饮料的包装盒规格为5×6×10（单位：cm ） 在上盖开有一个便于插吸管的小孔，吸管长13cm ，小孔 到边的距离AB 为1cm 到上盖与AB 相邻两边距离相等， 设吸管插入后露在外边的管长为hcm ，则h 的最小值大 约为 cm 2、如图将一根长24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是为h cm ， 则h 的取值范围是 。 A A A B _ A _A _A
勾股定理的应用之最短距离问题 个棱长为8cm 的正方体盒子，在顶点A 处有一只蚂蚁，它想沿正 2.如图，一圆柱高8cm,底面圆周长为12cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食, 4 .如图，有一棱长为2dm 的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点 方体表面爬行到达顶点C 处，则蚂蚁爬行的最短路程是 cm. cm. 3.如图，圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底5cm 的 点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 的点A 处，则蚂蚁从外壁A 处到内壁B 处的最短距离为 3cm 与蜂蜜相对 cm （杯壁厚 A 到点 D 拉一条捆绑线纯，使线缆经过 ABFE BCGF EFGH CDHG 四个面，则所需 捆绑线缆的长至少为 度不计）. P 琏蜜 H G 3
5.如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2, A和B是这个台阶两个 相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是 6.有一个如图所示的凹槽，各部分长度如图中所标.一只蜗牛从A点经过凹槽内壁爬到B点取食，最短的路径长是m. 7.如图，一长方体底面宽AN=5cm,长BN=10cm,高BC=16cm D为BC的中点, 一动点P从A点出发，在长方体表面移动到D点的最短距离是. A J V 8.如图，已知圆柱的底面直径BC聿，高AB=3,小虫在圆柱表面爬行，从点C J U 爬到点A,然后在沿另一面爬回点C,则小虫爬行的最短路程为 . 9.我国古代有这样一道数学问题：枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤
自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把 枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3 尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处.则问题中葛藤的最短长度是多少尺？ 10.如图是一个长、宽、高分别为12cm, 4cm, 3cm的木箱，在它里面放入一根细木条（木 条的粗细忽略不计），要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是多少？
蚂蚁爬行的最短途径 正方体 1．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短线路是（ ） A ．A ⇒P ⇒ B B ．A ⇒Q ⇒B C ．A ⇒R ⇒B D ．A ⇒S ⇒ B 解：依照两点之间线段最短可知选A ． 故选A ． 2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从极点A 动身沿着正方体的外表面爬到极点B 的最短距离是 . 解：如图将正方体展开，依照“两点之间，线段最短”知，线段AB 即为最短线路． AB= 51222=+． 3. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 . 解：将正方体展开，连接M 、D1， 依照两点之间线段最短， MD=MC+CD=1+2=3， 第6题 第7题
A B 12 1MD 1= 1323222 12=+=+DD MD ． 4．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个极点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是（ ） 解：如图，AB= ()101212 2=++．应选C ． 5．如下图一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，那么它从下底面点A 沿表面爬行至侧面的B 点，最少要用 秒钟． 解：因为爬行途径不唯一，故分情形别离计算，进行大、小比较，再从各个线路中确信最短的线路． （1）展开前面右面由勾股定理得AB= = cm ； （2）展开底面右面由勾股定理得AB= =5cm ； 所以最短路径长为5cm ，用时最少：5÷2=秒． 长方体 6．（2020•恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁若是要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是 。 解：将长方体展开，连接A 、B ，依照两点之间线段最短，AB= =25．
《勾股定理》的应用专题之一一最短距离问题姓名: 一、课前热身 1•如图，一条河同一侧的两村庄A、B,其中A、B 到河岸最短距离分别为AC=1km BD=2km, CD=4cm现欲在河岸上建一个水泵站向A、B 两村送水，当建在河岸上何处时，使到A、B两村铺设水管总长度最短，并求出最短距离。 2.三角形ABC中,AB=10,AC=17,B边上的高线AD=8求BC. 二、典型例题 例1 :如图，C为线段BD上一动点，分别过点 B D作AB丄BD，ED± BD,连结AC、EC,已知AB=5, DE=1, BD=8,设CD=x. (1)用含x的代数式表示AC十CE的长； 』 (2)试求AC十CE的最小值;
例2: 一只蚂蚁从长为4cm、宽为3 cm，高是5 cm的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是多少？
例3:如图所示，无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60 cm，在外侧距下底1 cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对 的容器的上口外侧距开口 1 cm的F处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度 三、巩固练习 1.（青岛市）如图1，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为 一圈到达点B,那么所用细线最短需要________________ c m ； 图1 3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A B点最短路程是dm 3..如图，长方体的长、宽、高分别为4，2，1, 一只蚂蚁从实心长方体的顶点 C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？ D1C1 4 B 6cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕 2•如图3,是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为点有一只 蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到 20dm、 A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点
17.1(11)勾股定理--与最短路径问题 一．【知识要点】 1.两点之间线段最短：⑴将军饮马型；⑵几何体上两点最短型 2.垂线段最短型 3.造桥选址型 二．【经典例题】 1．如图一个圆柱，底圆周长10cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm . 2．如图一个圆柱，底圆周长10cm ，高4cm ，点B 距离上边缘1cm,一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm . 3．如图，圆柱形容器中，高为0.4m ，底面周长为1m ，在容器内壁．． 离容器底部0.3m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁．．，与蚊子相对．． 的点A 处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离（容器厚度忽略不计）. 4.编制一个底面半径为6 cm 、高为16cm 的圆柱形花柱架,需用沿圆柱表面绕织一周的竹条若干根,如图中的111AC B ,222, A C B ,则每一根这样的竹条的长度最少是__________．
5. 如图，圆柱底面半径为cm ，高为9cm ，点A 、B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A 、B 在同一高上，用一根棉线从A 点顺着圆柱侧面绕3圈到B 点，则这根棉线的长度最短为______. 6.一只蚂蚁从长为4cm,宽为3 cm ，高是5 cm 的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是____________cm 。 7.已知 A （1，1）、B （4，2）．P 为 x 轴上一动点，求 PA+PB 的最小值. 8．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20 dm,3 dm,2 dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是__________dm. 2 A B