幂级数的展开及其应用
梁慧
(杭州师范大学理学院数学与应用数学数学053，浙江杭州310000)
【摘要】通过学习幂级数的一些基本知识，得出常用初等函数幂级数的展开式．并且探讨函数幂级数在初等函数的应用。
【关键词】幂级数；马克劳林公式；泰勒公式；初等函数
幂级数是数学分析中的—个非常重要的内容，而且幂级数的应用也非常广泛，可以借助幂级数的展开形式，很容易的解决一些较为复杂的问题，本文旨在研究幂级数的展开形式及其在初等函数的应用。
一、 马克劳林(Maclaurin)公式
幂级数实际上可以视为多项式的延伸，因此在考虑函数()f x 能否展开成幂级数时，可以从函数()f x 与多项式的关系入手来解决这个问题．为此，这里不加证明地给出如下的公式．
泰勒(Taylor)公式 如果函数()f x 在0x x =的某一邻域内，有直到1n +阶的导数，则在这个邻域内有如下公式：
()2
0000000()()()()()()()()()2!!
n n n f x f x f x f x f x x x x x x x r x n '''=+-+-++-+…,(9
51)
其中
(1)10()
()()(1)!
n n n f r x x x n ξ++=-+．
称()n r x 为拉格朗日型余项．称(95
1)式为泰勒公式．
如果令00x =，就得到
2()(0)()n n f x f x x x r x =+++++…， (9
52)
此时，
(1)(1)11
1()()()(1)!(1)!
n n n n n f f x r x x x n n ξθ+++++==++, (01θ<<)．
称(9
5
2)式为马克劳林公式．
公式说明，任一函数()f x 只要有直到1n +阶导数，就可等于某个n 次多项式与一个余项的和．
我们称下列幂级数
()2(0)(0)()(0)(0)2!!
n n
f f f x f f x x x n '''=+++++…… (9
53)
为马克劳林级数．那么，它是否以()f x 为和函数呢?若令马克劳林级数(95
3)的前1
n +项和为1()n S x +，即
()21(0)(0)()(0)(0)2!!
n n
n f f S x f f x x x n +'''=++++…，
那么，级数(9
5
3)收敛于函数()f x 的条件为
1lim ()()n n s x f x +→∞
=．
注意到马克劳林公式(952)与马克劳林级数(953)的关系，可知
1()()()n n f x S x r x +=+．
于是，当
()0n r x =
时，有
1()()n f x S x +=．
反之亦然．即若
1lim ()()n n s x f x +→∞
=
则必有
()0n r x =．
这表明，马克劳林级数(9
5
3)以()f x 为和函数?马克劳林公式(9
5
2)中
的余项()0n r x → (当n →∞时)．
这样，我们就得到了函数()f x 的幂级数展开式：
()()20
(0)(0)(0)()(0)(0)!2!!
n n n n
n f f f f x x f f x x x n n ∞
='''==+++++∑
(954)
它就是函数()f x 的幂级数表达式，也就是说，函数的幂级数展开式是唯一的．事实上，假设函数()f x 可以表示为幂级数
20120
()n n n n n f x a x a a x a x a x ∞
===+++++∑……， (9
55)
那么，根据幂级数在收敛域内可逐项求导的性质，再令0x =(幂级数显然在0x =点收
敛)，就容易得到
()2012(0)(0)(0),(0),,,,,2!!
n n n f f a f a f x a x a x n '''====……．
将它们代入(9
5
5)式，所得与()f x 的马克劳林展开式(9
5
4)完全相同．
综上所述，如果函数()f x 在包含零的某区间内有任意阶导数，且在此区间内的马克劳林公式中的余项以零为极限(当n →∞时)，那么，函数()f x 就可展开成形如(95
4)
式的幂级数．
幂级数
()00000()()
()()()()1!!
n n f x f x f x f x x x x x n '=+-++-……,
称为泰勒级数．
二、 初等函数的幂级数展开式
利用马克劳林公式将函数()f x 展开成幂级数的方法，称为直接展开法． 例1 试将函数()x
f x e =展开成x 的幂级数． 解 因为
()()n x f x e =, (1,2,3,)n =…
所以
()(0)(0)(0)(0)1n f f f f '''====…，
于是我们得到幂级数
211
12!!
n x x x n ++
+++……， (956)
显然，(9
5
6)式的收敛区间为(,)-∞+∞，至于(9
5
6)式是否以()x
f x e =为
和函数，即它是否收敛于()x
f x e =，还要考察余项()n r x ．
因为
1e ()(1)!
x
n n r x x n θ+=+ (01θ<<)， 且x x x θθ≤≤，
所以
11
e e ()(1)!(1)!
x
x n n n r x x x n n θ++=<++．
注意到对任一确定的x 值，x
e 是一个确定的常数，而级数(956)是绝对收敛的，
因此其一般项当n →∞时，
1
0(1)!
n x
n +→+，所以当n →∞时，有
1
0(1)!
n x
x
e
n +→+，
由此可知
lim ()0n n r x →∞
=．
这表明级数(95
6)确实收敛于()x
f x e =，因此有
211
12!!
x n e x x x n =++
+++…… (x -∞<<+∞)．
这种运用马克劳林公式将函数展开成幂级数的方法，虽然程序明确，但是运算往往过于繁琐，因此人们普遍采用下面的比较简便的幂级数展开法．
在此之前，我们已经得到了函数
x
-11，x
e 及sin x 的幂级数展开式，运用这几个已知的展开式，通过幂级数的运算，可以求得许多函数的幂级数展开式．这种求函数的幂级数展开式的方法称为间接展开法．
例2 试求函数()cos f x x =在0x =处的幂级数展开式． 解 因为
(sin )cos x x '=，
而
3521111sin (1)3!5!(21)!
n n x x x x x n +=-
+-+-++……,
（x -∞<<+∞），
所以根据幂级数可逐项求导的法则，可得
342111cos 1(1)2!4!(2)!
n n x x x x n =-
+-+-+……,（x -∞<<+∞）．
三、 函数幂级数展开的应用举例
幂级数展开式的应用很广泛，例如可利用它来对某些数值或定积分值等进行近似计算． 例3 利用arctan x 的展开式估计π的值． 解 由于πarctan14
=， 又因
357
arctan 357
x x x x x =-+-+…， (11x -≤≤)，
所以有
1114arctan14(1)357
π==-+-+…．
可用右端级数的前n 项之和作为π的近似值．但由于级数收敛的速度非常慢，要取足够多的项才能得到π的较精确的估计值．
参考文献
[1] 陈传璋，欧阳光中．数学分析(下册)[M]．北京：高等教育出版税社，1983：18O-192
[2] 史济怀．母函数[M]．上海：上海教育出版社，1980
[3] 钟玉泉．复变函数论[M]．北京：高等教育出版社，1988:14l 一162
第3章 最小均方算法 3．1 引言 最小均方(LMS ,least-mean-square)算法是一种搜索算法，它通过对目标函数进行适当的调整[1]—[2],简化了对梯度向量的计算。由于其计算简单性，LMS 算法和其他与之相关的算法已经广泛应用于白适应滤波的各种应用中[3]-[7]。为了确定保证稳定性的收敛因子范围，本章考察了LMS 算法的收敛特征。研究表明，LMS 算法的收敛速度依赖于输入信号相关矩阵的特征值扩展[2]—[6]。在本章中，讨论了LMS 算法的几个特性，包括在乎稳和非平稳环境下的失调[2]—[9]和跟踪性能[10]-[12]。本章通过大量仿真举例对分析结果进行了证实。在附录B 的B ．1节中，通过对LMS 算法中的有限字长效应进行分析，对本章内容做了补充。 LMS 算法是自适应滤波理论中应用最广泛的算法，这有多方面的原因。LMS 算法的 主要特征包括低计算复杂度、在乎稳环境中的收敛性、其均值无俯地收敛到维纳解以及利用有限精度算法实现时的稳定特性等。 3．2 LMS 算法 在第2章中，我们利用线性组合器实现自适应滤波器，并导出了其参数的最优解，这对应于多个输入信号的情形。该解导致在估计参考信号以d()k 时的最小均方误差。最优(维纳)解由下式给出： 1 0w R p -= (3.1) 其中，R=E[()x ()]T x k k 且p=E[d()x()] k k ，假设d()k 和x()k 联合广义平稳过程。 如果可以得到矩阵R 和向量p 的较好估计，分别记为()R k ∧和()p k ∧ ，则可以利用如下最陡下降算法搜索式(3．1)的维纳解： w(+1)=w()-g ()w k k k μ∧ w()(()()w())k p k R k k μ∧∧ =-＋２ (3.2) 其中，k ＝0，1，2，…,g ()w k ∧ 表示目标函数相对于滤波器系数的梯度向量估计值。
第3章最小均方算法 3．1 引言 最小均方(LMS,least-mean-square)算法是一种搜索算法，它通过对目标函数进行适当的调整[1]—[2],简化了对梯度向量的计算。由于其计算简单性，LMS算法和其他与之相关的算法已经广泛应用于白适应滤波的各种应用中[3]-[7]。为了确定保证稳定性的收敛因子范围，本章考察了LMS算法的收敛特征。研究表明，LMS算法的收敛速度依赖于输入信号相关矩阵的特征值扩展[2]—[6]。在本章中，讨论了LMS算法的几个特性，包括在乎稳和非平稳环境下的失调[2]—[9]和跟踪性能[10]-[12]。本章通过大量仿真举例对分析结果进行了证实。在附录B的B．1节中，通过对LMS算法中的有限字长效应进行分析，对本章内容做了补充。 LMS算法是自适应滤波理论中应用最广泛的算法，这有多方面的原因。LMS算法的主要特征包括低计算复杂度、在乎稳环境中的收敛性、其均值无俯地收敛到维纳解以及利用有限精度算法实现时的稳定特性等。 3．2 LMS算法 1 / 29
2 / 29 在第2章中，我们利用线性组合器实现自适应滤波器，并导出了其参数的最优解，这对应于多个输入信号的情形。该解导致在估计参考信号以d()k 时的最小均方误差。最优(维纳)解由下式给出： 1 0w R p -=(3.1) 其中，R=E[()x ()]T x k k 且p=E[d()x()] k k ，假设d()k 和x()k 联合广义平稳过程。 如果可以得到矩阵R 和向量p 的较好估计，分别记为()R k ∧ 和 ()p k ∧ ，则可以利用如下最陡下降算法搜索式(3．1)的维纳解： w(+1)=w()-g ()w k k k μ∧ w()(()()w())k p k R k k μ∧∧ =-＋２(3.2) 其中，k ＝0，1，2，…,g ()w k ∧ 表示目标函数相对于滤波器系数的梯度向量估计值。 一种可能的解是通过利用R 和p 的瞬时估计值来估计梯度向量，即 ()x()x ()T R k k k ∧ = ()()x()p k d k k ∧=(3.3) 得到的梯度估计值为
Assume that you have a guess U(n) of the solution. If U(n) is close enough to the exact solution, an improved approximation U(n + 1) is obtained by solving the linearized problem where have a solution.has. In this case, the Gauss-Newton iteration tends to be the minimizer of the residual, i.e., the solution of minU It is well known that for sufficiently small And is called a descent direction for , where | is the l2-norm. The iteration is where is chosen as large as possible such that the step has a reasonable descent.The Gauss-Newton method is local, and convergence is assured only when U(0)is close enough to the solution. In general, the first guess may be outside thergion of convergence. To improve convergence from bad initial guesses, a damping strategy is implemented for choosing , the Armijo-Goldstein line search. It chooses the largest inequality holds: | which guarantees a reduction of the residual norm by at least Note that each step of the line-search algorithm requires an evaluation of the residual An important point of this strategy is that when U(n) approaches the solution, then and thus the convergence rate increases. If there is a solution to the scheme ultimately recovers the quadratic convergence rate of the standard Newton iteration. Closely related to the above problem is the choice of the initial guess U(0). By default, the solver sets U(0) and then assembles the FEM matrices K and F and computes
外文文献 EXTREME VALUES OF FUNCTIONS OF SEVERAL REAL VARIABLES 1. Stationary Points Definition 1.1 Let n R D ? and R D f →:. The point a D a ∈ is said to be: (1) a local maximum if )()(a f x f ≤for all points x sufficiently close to a ; (2) a local minimum if )()(a f x f ≥for all points x sufficiently close to a ; (3) a global (or absolute) maximum if )()(a f x f ≤for all points D x ∈; (4) a global (or absolute) minimum if )()(a f x f ≥for all points D x ∈;; (5) a local or global extremum if it is a local or global maximum or minimum. Definition 1.2 Let n R D ? and R D f →:. The point a D a ∈ is said to be critical or stationary point if 0)(=?a f and a singular point if f ? does not exist at a . Fact 1.3 Let n R D ? and R D f →:.If f has a local or global extremum at the point D a ∈, then a must be either: (1) a critical point of f , or (2) a singular point of f , or (3) a boundary point of D . Fact 1.4 If f is a continuous function on a closed bounded set then f is bounded and attains its bounds. Definition 1.5 A critical point a which is neither a local maximum nor minimum is called a saddle point. Fact 1.6 A critical point a is a saddle point if and only if there are arbitrarily small values of h for which )()(a f h a f -+ takes both positive and negative values.
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毕业论文（设计）英文文献翻译 外文文献 The development of probability theory Summary This paper consist therefore of two parts: The first is concerned with the development of the calyculus of chance before Bernoulli in order to provide a background for the achievement of Ja kob Bernoulli and will emphasize especially the role of Leibniz. The second part deals with the relationship between Leibniz add Bernoulli an d with Bernoulli himself, particularly with the question how it came about that he introduced probability into mathematics. First some preliminary remarks: Ja kob Bernoulli is of special interest to me, because he is the founder of a mathematical theory of probability. That is to say that it is mainly due to him that a concept of probability was introduced into a field of mathematics. Text Mathematics could call the calculus of games of chance before Bernoulli. This has another consequence that makes up for a whole programme: The mathematical tools of this calculus should be applied in the whole realm of areas which used a concept of probability. In other words，the Bernoullian probability theory should be applied not only to
勾股定理 （外文翻译从原文第一段开始翻译，翻译了约2000字） 勾股定理是已知最早的古代文明定理之一。这个著名的定理被命名为希腊的数学家和哲学家毕达哥拉斯。毕达哥拉斯在意大利南部的科托纳创立了毕达哥拉斯学派。他在数学上有许多贡献，虽然其中一些可能实际上一直是他学生的工作。毕达哥拉斯定理是毕达哥拉斯最著名的数学贡献。据传说，毕达哥拉斯在得出此定理很高兴，曾宰杀了牛来祭神，以酬谢神灵的启示。后来又发现2的平方根是不合理的，因为它不能表示为两个整数比，极大地困扰毕达哥拉斯和他的追随者。他们在自己的认知中，二是一些单位长度整数倍的长度。因此2的平方根被认为是不合理的，他们就尝试了知识压制。它甚至说，谁泄露了这个秘密在海上被淹死。 毕达哥拉斯定理是关于包含一个直角三角形的发言。毕达哥拉斯定理指出， 对一个直角三角形斜边为边长的正方形面积，等于剩余两直角为边长正方形面积的总和 图1 根据勾股定理，在两个红色正方形的面积之和A和B，等于蓝色的正方形面积，正方形三区
因此，毕达哥拉斯定理指出的代数式是： 对于一个直角三角形的边长a，b和c，其中c是斜边长度。 虽然记入史册的是著名的毕达哥拉斯定理，但是巴比伦人知道某些特定三角形的结果比毕达哥拉斯早一千年。现在还不知道希腊人最初如何体现了勾股定理的证明。如果用欧几里德的算法使用，很可能这是一个证明解剖类型类似于以下内容： “一个大广场边a+ b是分成两个较小的正方形的边a和b分别与两个矩形A和B，这两个矩形各可分为两个相等的直角三角形，有相同的矩形对角线c。四个三角形可安排在另一侧广场a+b中的数字显示。 在广场的地方就可以表现在两个不同的方式： 1。由于两个长方形和正方形面积的总和： 2。作为一个正方形的面积之和四个三角形：
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2 Area Square B =b Area Square C = / 的数字显示。 在广场的地方就可以表现在两个不同的方式: 1。由于两个长方形和正方形面积的总和: 2。作为一个正方形的面积之和四个三角形: 2 2 /ab\ 2 (a +b) = c 1= c + 2ab 因此，毕达哥拉斯定理指出的代数式是: 2 2 2 a +b = c 对于一个直角三角形的边长 a ，b 和c . 其中c 是斜边长度。 虽然记入史册的是著名的毕达哥拉斯定理, 但是巴比伦人知道某些特定三角形的结果比毕达哥拉 斯早一千年。现在还不知道希腊人最初如何体现了勾股定理的证明。 如果用欧几里德的算法使用, 很可能这是一个证明解剖类型类似于以下内容: "一个大广场边a+ b 是分成两个较小的正方形的边 a 和 b 分别与两个矩形 A 和B ,这两个矩形各 可分为两个相等的直角三角形，有相同的矩形对角线 c 。四个三角形可安排在另一侧广场 a+b 中
2013届数学与应用数学专业毕业设计（论文）英文文献翻译 第 1 页 共 25页 Chapter 3 Interpolation Interpolation is the process of defining a function that takes on specified values at specified points. This chapter concentrates on two closely related interpolants, the piecewise cubic spline and the shape-preserving piecewise cu bic named “pchip”. 3.1 The Interpolating Polynomial We all know that two points determine a straight line. More precisely, any two points in the plane, ),(11y x and ),(11y x , with )(21x x ≠ , determine a unique first degree polynomial in x whose graph passes through the two points. There are many different formulas for the polynomial, but they all lead to the same straight line graph. This generalizes to more than two points. Given n points in the plane, ),(k k y x ，n k ,,2,1 =, with distinct k x ’s, there is a unique polynomial in x of degree less than n whose graph passes through the points. It is easiest to remember that n , the number of data points, is also the number of coefficients, although some of the leading coefficients might be zero, so the degree might actually be less than 1-n . Again, there are many different formulas for the polynomial, but they all define the same function. This polynomial is called the interpolating polynomial because it exactly
重庆理工大学数学专业英语 学院 学号 姓名 年月 2012年12月17日
CONTROLLABILITY OF NEUTRAL FUNCTIONAL DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH INFINITE DELA Y 可控的无穷时滞中立型泛函微分方程 In this article, we establish a result about controllability to the following class of partial neutral functional di ?erential equations with in?nite delay: 0,),()(0≥?? ? ??∈=++=??t x xt t F t Cu ADxt Dxt t βφ (1) 在这篇文章中，我们建立一个关于可控的结果偏中性与无限时滞泛函微分方程的下面 的类： 0,) ,()(0≥?? ???∈=++=??t x xt t F t Cu ADxt Dxt t βφ (1) where the state variable (.)x takes values in a Banach space ).,(E and the control (.)u is given in []0),,,0(2 >T U T L ,the Banach space of admissible control functions with U a Banach space. C is a bounded linear operator from U into E, A : D(A) ? E → E is a linear operator on E, B is the phase space of functions mapping (?∞, 0] into E, which will be speci?ed later, D is a bounded linear operator from B into E de?ned by B D D ∈-=????,)0(0 状态变量(.)x 在).,(E 空间值和控制用(.)u 受理控制范围[]0),,,0(2>T U T L 的Banach 空间，Banach 空间。 C 是一个有界的线性算子从U 到E ，A ：A : D(A) ? E → E 上的线性算子， B 是函数的映射相空间（ - ∞，0]在E ，将在后面D 是有界的线性算子从B 到E 为 B D D ∈-=????,)0(0 0D is a bounded linear operator from B into E and for each x : (?∞, T ] → E, T > 0, and t ∈ [0, T ], xt represents, as usual, the mapping from (?∞, 0] into E de?ned by ]0,(),()(-∞∈+=θθθt x xt F is an E-valued nonlinear continuous mapping on B ??+. 0D 是从B 到E 的线性算子有界，每个x : (?∞, T ] → E, T > 0,，和t ∈[0，T]，xt 表示为像往常一样， 从（映射 - ∞，0]到由E 定义为 ]0,(),()(-∞∈+=θθθt x xt F 是一个E 值非线性连续映射在B ??+。 The probl em of controllability of linear and nonlinear systems represented by ODE in ?nit dimensional space was extensively studied. Many authors extended the controllability concept to in?nite dimensional systems in Banach space with unbounded operators. Up to now, there are a lot of works on this topic, see, for example, [4, 7, 10, 21]. There are many systems that can be written as abstract neutral evolution equations with in?nite delay to study [23]. In recent years, the theory of neutral functional di ?erential e quations with in?nite delay in in?nite
（外文翻译从原文第一段开始翻译，翻译了约2000字） 勾股定理是已知最早的古代文明定理之一。这个著名的定理被命名为希腊的数学家和哲学家 毕达哥拉斯。毕达哥拉斯在意大利南部的科托纳创立了毕达哥拉斯学派。他在数学上有许多贡献，虽然其中一些可能实际上一直是他学生的工作。毕达哥拉斯定理是毕达哥拉斯最著名的数学贡献。据传说，毕达哥拉斯在得出此定理很高兴，曾宰杀了牛来祭神，以酬谢神灵的启示。后来又发现 2的平方根是不合理的，因为它不能表示为两个整数比，极大地困扰毕达哥拉斯和他的追随者。他们在自己的认知中，二是一些单位长度整数倍的长度。因此2的平方根被认为是不合理的， 他们就尝试了知识压制。它甚至说，谁泄露了这个秘密在海上被淹死。 毕达哥拉斯定理是关于包含一个直角三角形的发言。毕达哥拉斯定理指出， 对一个直角三角形斜边为边长的正方形面积，等于剩余两直角为边长正方形面积的总和 图1 根据勾股定理，在两个红色正方形的面积之和A和B，等于蓝色的正方形面积，正方形三区 因此，毕达哥拉斯定理指出的代数式是： 对于一个直角三角形的边长a，b和c，其中c是斜边长度。 虽然记入史册的是著名的毕达哥拉斯定理，但是巴比伦人知道某些特定三角形的结果比毕达哥拉斯早一千年。现在还不知道希腊人最初如何体现了勾股定理的证明。如果用欧几里德的算法使用，很可能这是一个证明解剖类型类似于以下内容：六^维-论~文.网https://www.doczj.com/doc/fc1921741.html, “一个大广场边a+ b是分成两个较小的正方形的边a和b分别与两个矩形A和B，这两个矩形各可分为两个相等的直角三角形，有相同的矩形对角线c。四个三角形可安排在另一侧广场a+b 中的数字显示。 在广场的地方就可以表现在两个不同的方式： 1。由于两个长方形和正方形面积的总和： 2。作为一个正方形的面积之和四个三角形： 现在，建立上面2个方程，求解得 因此，对c的平方等于a和b的平方和（伯顿1991） 有许多的勾股定理其他证明方法。一位来自当代中国人在中国现存最古老的含正式数学理论能找到对Gnoman和天坛圆路径算法的经典文本。 这勾股定理证明是一个鼓舞人心的数字证明，被列入书Vijaganita，（根计算），由印度数学家卜哈斯卡瑞。卜哈斯卡瑞的唯一解释是他的证明，简单地说，“看”。 这些发现证明和周围的几何定理的毕达哥拉斯是导致在作为Pythgorean数论问题的最早的问题之一。 毕达哥拉斯问题： 找到所有的边的长度为直角三角形边长的组成，从而找到在毕达哥拉斯方程的正整数所有的解决方案： 有三个整数（x，y，z）满足这个方程，则称为勾股数。 部分勾股数： x y z 3 4 5 5 12 13 7 24 25 9 40 41 11 60 61 该公式将产生所有勾股数最早出现在书欧几里德的元素x：1794
幂级数的展开及其应用 梁慧 (杭州师范大学理学院数学与应用数学数学053，浙江杭州310000) 【摘要】通过学习幂级数的一些基本知识，得出常用初等函数幂级数的展开式．并且探讨函数幂级数在初等函数的应用。 【关键词】幂级数；马克劳林公式；泰勒公式；初等函数 幂级数是数学分析中的—个非常重要的内容，而且幂级数的应用也非常广泛，可以借助幂级数的展开形式，很容易的解决一些较为复杂的问题，本文旨在研究幂级数的展开形式及其在初等函数的应用。 一、 马克劳林(Maclaurin)公式 幂级数实际上可以视为多项式的延伸，因此在考虑函数()f x 能否展开成幂级数时，可以从函数()f x 与多项式的关系入手来解决这个问题．为此，这里不加证明地给出如下的公式． 泰勒(Taylor)公式 如果函数()f x 在0x x =的某一邻域内，有直到1n +阶的导数，则在这个邻域内有如下公式： ()2 0000000()()()()()()()()()2!! n n n f x f x f x f x f x x x x x x x r x n '''=+-+-++-+…,(9 51) 其中 (1)10() ()()(1)! n n n f r x x x n ξ++=-+． 称()n r x 为拉格朗日型余项．称(951)式为泰勒公式． 如果令00x =，就得到 2()(0)()n n f x f x x x r x =+++++…， (952) 此时， (1)(1)11 1()()()(1)!(1)! n n n n n f f x r x x x n n ξθ+++++==++, (01θ<<)．
数学与应用数学专业论文英文文献翻译
Chapter 3 Interpolation Interpolation is the process of defining a function that takes on specified values at specified points. This chapter concentrates on two closely related interpolants, the piecewise cubic spline and the shape-preserving piecewise cubic named “pchip”. 3.1 The Interpolating Polynomial We all know that two points determine a straight line. More precisely, any two points in the plane, ),(11y x and ),(11y x , with )(21x x ≠ , determine a unique first degree polynomial in x whose graph passes through the two points. There are many different formulas for the polynomial, but they all lead to the same straight line graph. This generalizes to more than two points. Given n points in the plane, ),(k k y x ，n k ,,2,1 =, with distinct k x ’s, there is a unique polynomial in x of degree less than n whose graph passes through the points. It is easiest to remember that n , the number of data points, is also the number of coefficients, although some of the leading coefficients might be zero, so the degree might actually be less than 1-n . Again, there are many different formulas for the polynomial, but they all define the same function.
五分钟搞定5000字－外文文献翻译 工具大全 建议收藏 在科研过程中阅读翻译外文文献是一个非常重要的环节，许多领域高水平的文献都是外文文献，借鉴一些外文文献翻译的经验是非常必要的。由于特殊原因我翻译外文文献的机会比较多，慢慢地就发现了外文文献翻译过程中的三大利器：Google“翻译”频道、金山词霸（完整版本）和CNKI“翻译助手"。 具体操作过程如下： 1.先打开金山词霸自动取词功能，然后阅读文献； 2.遇到无法理解的长句时，可以交给Google处理，处理后的结果猛一看，不堪入目，可是经过大脑的再处理后句子的意思基本就明了了； 3.如果通过Google仍然无法理解，感觉就是不同，那肯定是对其中某个“常用单词”理解有误，因为某些单词看似很简单，但是在文献中有特殊的意思，这时就可以通过CNKI的“翻译助手”来查询相关单词的意思，由于CNKI的单词意思都是来源与大量的文献，所以它的吻合率很高。 另外，在翻译过程中最好以“段落”或者“长句”作为翻译的基本单位，这样才不会造成“只见树木，不见森林”的误导。 注： 1、Google翻译： google，众所周知，谷歌里面的英文文献和资料还算是比较详实的。我利用它是这样的。一方面可以用它查询英文论文，当然这方面的帖子很多，大家可以搜索，在此不赘述。回到我自己说的翻译上来。下面给大家举个例子来说明如何用吧比如说“电磁感应透明效应”这个词汇你不知道他怎么翻译， 首先你可以在CNKI里查中文的，根据它们的关键词中英文对照来做，一般比较准确。 在此主要是说在google里怎么知道这个翻译意思。大家应该都有词典吧，按中国人的办法，把一个一个词分着查出来，敲到google里，你的这种翻译一般不太准，当然你需要验证是否准确了，这下看着吧，把你的那支离破碎的翻译在google里搜索，你能看到许多相关的文献或资料，大家都不是笨蛋，看看，也就能找到最精确的翻译了，纯西式的！我就是这么用的。 2、CNKI翻译： CNKI翻译助手，这个网站不需要介绍太多，可能有些人也知道的。主要说说它的有点，你进去看看就能发现：搜索的肯定是专业词汇，而且它翻译结果下面有文章与之对应（因为它是CNKI检索提供的，它的翻译是从文献里抽出来的），很实用的一个网站。估计别的写文章的人不是傻子吧，它们的东西我们可以直接拿来用，当然省事了。网址告诉大家，有兴趣的进去看看，你们就会发现其乐无穷！还是很值得用的。 3、网路版金山词霸（不到1M）：
本科毕业论文外文翻译 外文译文题目（中 文）：具体数学：汉诺塔问题 学院: 专业: 学号: 学生姓名: 指导教师: 日期: 二○一二年六月
1 Recurrent Problems THIS CHAPTER EXPLORES three sample problems that give a feel for what’s to c ome. They have two traits in common: They’ve all been investigated repeatedly by mathe maticians; and their solutions all use the idea of recurrence, in which the solution to eac h problem depends on the solutions to smaller instances of the same problem. 1.1 THE TOWER OF HANOI Let’s look first at a neat little puzzle called the Tower of Hanoi,invented by the Fr ench mathematician Edouard Lucas in 1883. We are given a tower of eight disks, initiall y stacked in decreasing size on one of three pegs: The objective is to transfer the entire tower to one of the other pegs, moving only one disk at a time and never moving a larger one onto a smaller. Lucas furnished his toy with a romantic legend about a much larger Tower of Brah ma, which supposedly has 64 disks of pure gold resting on three diamond needles. At th e beginning of time, he said, God placed these golden disks on the first needle and orda ined that a group of priests should transfer them to the third, according to the rules abov e. The priests reportedly work day and night at their task. When they finish, the Tower will crumble and the world will end. It's not immediately obvious that the puzzle has a solution, but a little thought (or h aving seen the problem before) convinces us that it does. Now the question arises：What'
Power Series Expansion and Its Applications In the previous section, we discuss the convergence of power series, in its convergence region, the power series always converges to a function. For the simple power series, but also with itemized derivative, or quadrature methods, find this and function. This section will discuss another issue, for an arbitrary function ()f x , can be expanded in a power series, and launched into. Whether the power series ()f x as and function? The following discussion will address this issue. 1 Maclaurin (Maclaurin) formula Polynomial power series can be seen as an extension of reality, so consider the function ()f x can expand into power series, you can from the function ()f x and polynomials start to solve this problem. To this end, to give here without proof the following formula. Taylor (Taylor) formula, if the function ()f x at 0x x = in a neighborhood that until the derivative of order 1n +, then in the neighborhood of the following formula : 200 0()()()()()() n n f x f x x x x x x x r x = + - +- + +-+… (9-5-1) Among 1 0()() n n r x x x +=- That ()n r x for the Lagrangian remainder. That (9-5-1)-type formula for the Taylor. If so 00x =, get 2 ()(0)()n n f x f x x x r x = +++ ++…, (9-5-2) At this point, (1) (1) 1 1 1() () ()(1)! (1)! n n n n n f f x r x x x n n ξθ+++++= = ++ (01θ<<). That (9-5-2) type formula for the Maclaurin. Formula shows that any function ()f x as long as until the 1n +derivative, n can be equal to a polynomial and a remainder. We call the following power series () 2 (0)(0) ()(0)(0)2! ! n n f f f x f f x x x n '''=++ ++ +…… (9-5-3) For the Maclaurin series. So, is it to ()f x for the Sum functions? If the order Maclaurin series (9-5-3) the first 1n + items
外文原文 EXTREME VALUES OF FUNCTIONS OF SEVERAL REAL VARIABLES 1. Stationary Points Definition 1.1 Let n R D ? and R D f →:. The point a D a ∈ is said to be: (1) a local maximum if )()(a f x f ≤for all points x sufficiently close to a ; (2) a local minimum if )()(a f x f ≥for all points x sufficiently close to a ; (3) a global (or absolute) maximum if )()(a f x f ≤for all points D x ∈; (4) a global (or absolute) minimum if )()(a f x f ≥for all points D x ∈;; (5) a local or global extremum if it is a local or global maximum or minimum. Definition 1.2 Let n R D ? and R D f →:. The point a D a ∈ is said to be critical or stationary point if 0)(=?a f and a singular point if f ? does not exist at a . Fact 1.3 Let n R D ? and R D f →:.If f has a local or global extremum at the point D a ∈, then a must be either: (1) a critical point of f , or (2) a singular point of f , or (3) a boundary point of D . Fact 1.4 If f is a continuous function on a closed bounded set then f is bounded and attains its bounds. Definition 1.5 A critical point a which is neither a local maximum nor minimum is called a saddle point. Fact 1.6 A critical point a is a saddle point if and only if there are arbitrarily small values of h for which )()(a f h a f -+ takes both positive and negative values.