2014新初一暑期开课（曾孟君）
一、上课情况说明
⒈课程容量：例题+作业+笔记+错题整理
⒉学习反馈：小印章+作业反馈（每天公布）+考试
⒊劳逸结合：表演节目木
⒋课堂要求：检查笔记、不迟到、严格要去
二、上课时间情况说明
① 8.9----8.13连续5天上课
⒈暑假② 8.14 休息
③ 8.15----8.19连续5天上课
④ 8.22上午考试10:30----12:00
⒉秋季：每周六下午18:00----21:00
三、初中生活介绍
⒈量很大
⒉细心的人更有优势: a.100%利用上课时间
b.五步学习法：预习+上课（听讲、记笔记）+复习+作业+错题整理
⒊学习要积极主动（主动的学生战友极大优势）
⒋不留死角
第一讲 有理数的六大基本概念
课堂内容：
一、正负数；二、有理数；三、数轴；四、相对数；五、绝对值；六、倒数（负倒数）
一、正负数
温度 12月 （海南 25℃ 、济南0℃ 、东北-30℃） ⒈定义： 正数：大于0的数 像+2、250、
3
7
、π、3.2叫做正数，“+”读作正号，可省略
负数：小于0的数 像-2、-3.1414、-7
22
、-853叫做负数，“-”读作负号，不可省略
【注意】： 0既不是正数，也不是负数
⒉为了表示相对意义的量 如果向南100米写作+100m ，那么向北50米则可写为-50m 【注意】： ①相对意义：向南和向北
②必须有量，但可以不同
③须指同一事物 （如：海拔上升100m 与水位下降50m 不是同一事物）
拓展：收入和支出300元、600±20代表什么含义？
二、有理数 rational number
理 译 成比例 日本 有道理 有理数 ⒈定义： 成比例的数，能写成
m
n
形式的数（m 、n 为整数，m ≠0） 例如：分数
83 整数 2
40
小数 0.25 0.38247 【注意】： ①有理数包括整数和分数
2
40
=20 ②能化成分数形式的小数属于分数 ③整数都不是分数
⒉有理数的分类
正整数正整数整数 0 正有理数有理数负整数有理数正分数（按性质分）（按符号分） 0
正分数负整数
分数负有理数
负分数负分数
⒊数的分类
整数（正整数、负整数）
有理数分数形式
分数有限小数 1.35 1
100
35
实数无限循环小数 0.。
5=
9
5
0.
。
2。5=
99
25
数π
无理数无限不循环小数 0.12112111211112…
根数2、3（初二下）虚数
⒋“四非”有非必有0
非负数：正数和0
非正数：负数和0
非负整数：正整数和0 （非帅男生）
非正整数：负整数和0
【注意】：判断题：有理数不是整数就是分数（√）
三、数轴
⒈数轴的定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线
①三要素：原点、正方向、单位长度 【注意】： ②长度单位 vs 单位长度
③同一数轴上，单位长度要统一
例题： ① -2 -1 0 1 2 （X 没有方向）
②（X 没有原点）
③（√ 最简单数轴）
④（X 单位长度不统一）
⑤（√ 最简单数轴）
⒉数轴的作用：
① 表示数 （与实数一一对应，包括有理数和无理数） ② 可用于比较大小 右边大于左边 ③ 污损问题 ④ 点的运动问题
四、相对数
3.5、-3.5、72、-7
2
、5.。8、-5.。
8
⒈定义：只有符号不同的两个数互为相反数
①代数的意义：a+b=0
⒉意义
②几何意义：位于原点的两侧，到原点的距离相等
⒊求相反数
例如 3 -3；2.5 -2.5；0 0
①正数的相反数是负数
性质② 0的相反数是它自身，还是0
③负数的相反数是正数
【注意】： a -a (“-a”一定是负数吗？)
当有偶数个负号时，可以为正
当有奇数个负号时，可以为负
⒋多重符号化简
奇负偶正（指的是负号的个数）
例如： - +[-(-3)] =-3
⒌求代数和的相反数
a -a a-
b -(a-b)=-a+b=b-a -a+b-
c -(-a+b-c)=a-b+c
例题：如果a＜0, 则 -(+a)为正数、-(-a)为负数、
-[+(-a)]为负数、-[-(-a)]为正数【注意】：①7是-7的相反数
②所有的有理数都有相反数
③6是-6的绝对值
五、绝对值
⒈定义：数轴上表示点a的数到原点的距离，叫做a的绝对值
⒉记作a读作a的绝对值； a =2 a=±2
正数的绝对值正数（本身） a ≥0
⒊性质 0的绝对值 0（本身） a + b =0 则a=0, b=0
负数的绝对值正数（相反数） a ≥0【注意】：一个数的绝对值是它本身，则该数是正数吗？（正数或0）
a-2 + y+3 =0 则a-2=0 a=2
y+3=0y=-3
⒋比较大小
比较 -10 -5的大小应该是-5大
【注意】：负数比较大小时，绝对值大的数反而小
⒌去绝对值
a a≥0 a a＞0
a a
-a a＜0 -a a≤0 绝对值不大于3（也就是≤3）的整数有：0、±1、±2、±3例题：
【注意】：①绝对值不可能是负数，但0的绝对值是0
②两个绝对值相等，且有一个绝对值前有负号，则各数分别等于0
六、倒数、负倒数 ⒈倒数
①定义：乘积为1的两个数，互为倒数，如ab=1 ②注意 0没有倒数
倒数等于它本身的数是±1 ③求倒数：分子分母颠倒位置 ⒉负倒数
-1的两个数，互为负倒数，如ab=-1 没有负倒数
负倒数等于它本身的数是没有的
③求负倒数：符号相反，分子分母颠倒位置 如
72×（-27）= -1；（-53）×3
5
= -1 例题：-3.5的倒数是（-72）；-3.5的负倒数是（7
2
）
小专题一) 有理数的混合运算 1．计算： (1)(－8)－(＋3)＋(－6)－(－17)； 解：原式＝－8－3－6＋17 ＝0. (2)－1.3＋4.5－5.7＋3.5； 解：原式＝(－1.3－5.7)＋(4.5＋3.5) ＝1. (3)－9＋6－(＋11)－(－15)； 解：原式＝－9＋6－11＋15 ＝(－9－11)＋(6＋15) ＝－20＋21 ＝1. (4)34－72＋(－16)－(－23 )－1； 解：原式＝34－72－16＋23 －1 ＝－134 . (5)113＋(－25)＋415＋(－43)＋(－15 )． 解：原式＝[113＋(－43)]＋[(－25)＋(－15)]＋415 ＝0＋(－35)＋415 ＝－13 . 2．计算：
(1)23÷12×4； 解：原式＝23×2×4 ＝184. (2)(－12)3×82； 解：原式＝－18×64 ＝－8. (3)(－3)×(－56)÷(－114)； 解：原式＝－3×56÷54 ＝－3×56×45 ＝－2. (4)18－6÷(－2)×(－13); 解：原式＝18－6×(－12)×??? ?－13 ＝18－1 ＝17. (5)2－(－4)＋8÷(－2)＋(－3)． 解：原式＝2＋4－4－3 ＝－1. 3．计算： (1)－14－2×(－3)2÷(－16)； 解：原式＝－1＋2×9×6 ＝－1＋108
＝107. (2)(－2)2×7－(－3)×6－|－5|； 解：原式＝4×7＋18－5 ＝28＋18－5 ＝41. (3)8－23÷(－4)×(－7＋5)； 解：原式＝8－8÷4×2 ＝8－4 ＝4. (4)－32＋5×(－85 )－(－4)2÷(－8)； 解：原式＝－9－8＋2 ＝－17＋2 ＝－15. (5)(－43)÷29 －16÷[(－2)3＋4]； 解：原式＝－43×92 －16÷(－4) ＝－6＋4 ＝－2. (6)(－1)3×(－12)÷[(－4)2＋2×(－5)]． 解：原式＝12÷(16－10) ＝12÷6 ＝2. 4．计算： (1)(－4)2×(－2)÷[(－2)3－(－4)]；
第一讲 有理数的定义 【知识网络】 ?? ??? 有理数的定义与分类有理数的定义数轴与相反数绝对值 模块一：有理数的定义与分类 【引例】 1. 小明的姐姐在银行工作，她把存入3万元记作+3万元，那么支取2万元应记作_______, -4万元表示________________． 2. 向东行进-50m表示的意义是……………………………………………………〖 〗 A．向东行进50m B．向南行进50m C ．向北行进50m D．向西行进50m 3. 任意写出5个正数：____________________；任意写出5个负数：_____________________． 【知识导航】 1. 正、负数的概念 （1） 正数： 的数叫做正数。 小学算术中学过的数（除了0）都是正数。 如：3，0.78，611 ，200％（也可写作+3，+0.78，61 1 +）等是正数。它们都比0大。 （2） 负数：在正数前面加上“－”（读作“负”）号的数，叫做负数。 如：－33，－3.141592，45 - 等是负数。它们都比0 。 2. 有理数的分类 正整数、零和负整数统称 ，正分数和负分数统称 。整数和分数统称 。 （数学上，有理数是两个整数的比，通常写作b a ，这里 b 不为零。分数是有理数的通常表达方法，而整数 是分母为1的分数，当然亦是有理数。） （1）按整数分数关系分类 （2）按正数、负数与0的关系分类
3. 生活中的有理数 具有相反意义的两个量规定其中一个用正数表示，另一个量就用负数来表示，到底用正数，还是用负数来表示其中的一个量，只是我们的一种规定，但也常遵守人们的习惯。比如人们习惯用正数表示零上温度，用正数表示收入等。 1）如果汽车向西行驶150m ，记做+150m ，那么向东行驶55m ，就记做 m 。 2）零度以上的气温用 表示，零度以下的气温用 表示。 3）水面比警戒线高4m ，记做+4m ，比警戒线低4m ，记做 m 。河流沿岸人们关注水位的升降，当水位为一个很大的正数，就要防洪；水位为一个很小的负数，就要抗旱。 【典型例题】 例1.(1) 下列说法正确的是（ ） A. 整数，分数和负数称为有理数 B. 有理数分为正有理数和负有理数 C. 正整数都是整数，整数都是正整数 D. 0是整数，也是自然数 (2)给出下列各数：-3，0，+5，213-，+3.1，2 1 -，2004，+2008．其中是负数的有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 例2.下列说法是否正确？正确的打“√”，错误的打“×”，并说明理由。 （1）前进2km 记作+2km ，那么－5km 就表示后退－5km 。（ ） （2）有理数中不是正数的数就是负数。（ ） （3）有一种记法，80分以上如88分记为+8，某学生得分为74分，应记为－6分。（ ） （4）负整数和非负整数统称为整数。（ ） 例3.下列结论中正确的是（ ） A. 0既是正数，又是负数。 B. 0是最小的正数。 C. 0是最大的负数。 D. 0既不是正数，也不是负数。 例4.数学考试成绩85分以上为优秀，以85分为标准，老师将某一小组五名同学的成绩简记为：+9，－
有理数的概念 知识点一、有理数的概念及分类 1、正数与负数： 正数：像1，1.1，517，2009 等大于0 的数，叫做正数； 负数：像-1，-1.1，-517，-2009 等在正数前面加上“-”负号的数，叫做负数。 正数都大于零，负数都小于零，即正数>0>负数。 “0”既不是正数，也不是负数。 在实际生活中，用正数、负数表示相反意义的量： 向东走100 米记作－100 米，则向西走五十米记作+50 米。 盈利100 元记作+100 元，则亏损100 元记作什么？ 水位升高1.2 米，下降0.7 米，如何用有理数表示？ 2、有理数：整数与分数统称为有理数 注：（1）任意有限小数和无限循环小数都是分数； （2）无限不循环小数不是有理数，如π ； （3）正数和零统称为非负数；
注意：0 既不是正数，也不是负 数，是唯一的中性数 （4）0 是正数和负数的分界点，但不是最小的有理数。 3、数集：把一些具备同一特征的数放在一起，就组成数的集合，简称数集。 例如：所有的有理数组成的数集叫有理数集；所有的整数组成的数集叫整数集。 4、有理数“0”的作用： 随堂练习 1、气温下降2度记?2°C，那么上升3度表示为°C . 2、用+20米表示前进20米，那么?15米表示. 3、如果向北走10 m记作+10 m，那么?6 m表示（）. A 、向东走6 m B、向西走6 m C、向南走6 m D、向北走6 m 4、有理数包括（）. A 、整数、分数和零 B 、正有理数、负有理数和零 C 、正数和负数D、正数和分数 5、下列说法中，正确的是（）. A 、在有理数中，零的意义表示没有 B 、一个数不是正数就是负数
第一讲有理数的巧算 有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性． 1．括号的使用 在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单． 例1计算： 分析中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化．
注意在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算． 例2计算下式的值： 211×555+445×789+555×789+211×445． 分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算． 解原式＝(211×555+211×445)+(445×789+555×789) ＝211×(555+445)+(445+555)×789 ＝211×1000+1000×789 ＝1000×(211+789) ＝1 000 000． 说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧． 例3计算：S＝1-2+3-4+…+(-1)n+1·n． 分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法． 解 S＝(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n． 下面需对n的奇偶性进行讨论： 当n为偶数时，上式是n／2个(-1)的和，所以有 当n为奇数时，上式是(n-1)／2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n＝n，所以有 例4在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？ 分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1． 现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然
有理数练习题 1 1、有理数的分类： （1）按定义分类： （2）按性质符号分类： ???????????? ?????负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0 ???????????? ??? 负分数 负整数 负有理数正分数 正整数 正有理数 有理数0 2、把下列各数分别填在相应的表示集合的圈里． 一、选择题 1、下面说法中正确的是（ ） A 、在有理数中，0没有意义 B 、正有理数和负有理数组成全体有理数 C 、0.3既不是整数，也不是分数，因此它不是有理数 D 、0既不是正数，也不是负数 2、下列各数： 中（ ） A 、只有1，–7，+101，–9是整数 B 、其中有三个数是正整数 C 、非负数有1，8.6，+101，0， D 、只有是负分数 3、下列说法正确的是（ ） A 、3.14不是分数 B 、正整数和负整数统称为整数 C 、正数和负数统称为有理数 D 、正数和分数统称为有理数 4、下列四种说法，正确的是（ ） A 、所有的正数都是整数 B 、不是正数的数一定是负数 C 、正有理数包括整数和分数 D 、0不是最小的有理数 5、0是（ ） A. 正数 B. 负数 C. 整数 D. 正有理数 9,05.0,101,32 4,650,76.8,1,54--+---，，
2 .0,722,1,213,27,6.5,618.0,7----6、 下列说法中正确的是（ ） A. 整数又叫自然数 B. 0是整数 C. 一个数不是正数就是负数 D. 0不是自然数 二、填空题 1、最小的自然数是 ，最大的负整数是 ， 最小的非负整数是 。 2、把下列各数填入相应的集合中： 正有理数集合：； 负有理数集合：； 整数集合：； 自然数集合：； 分数集合：； 非负整数集合： 非正数集合： 3、如果“–2”表示比95小2的数，那么“+1”表示的数是_____;" –5"表示的数是______. 4、有理数中，最小的正整数是______;最大的负整数是______. 5、有理数中．是正数而不是正数的数是______;是整数向不是负数的数是______. 6、如果a 表示正数，那么–a 表示什么数？如果a 表示负数，那么–a 表示什么数？ 字母a 除了可以表示正数和负数外，还可以表示哪些有理数？ 7、观察下面的每列数，按某种规律在横线上填上适当的数，并说明你的理. （1）–1，2，–3，4， _______, ________; （2）, 161,81,41,21 _______, ________; （3）–11，–7，–3，1，_______, _________; }{...}{... }{... }{ ...}{ ... }{...}{...
初一奥数数学竞赛第一讲有理数的巧算 1．括号的使用 在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单． 例1计算： 分析中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化． 注意在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算． 例2计算下式的值： 211×555+445×789+555×789+211×445． 分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算． 解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789) =211×(555+445)+(445+555)×789
=211×1000+1000×789 =1000×(211+789) =1 000 000． 说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧． 例3计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n． 分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法． 解S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n． 下面需对n的奇偶性进行讨论： 当n为偶数时，上式是n／2个(-1)的和，所以有 当n为奇数时，上式是(n-1)／2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n=n，所以有 例4在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？ 分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1． 现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然 n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0． 这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即
第一讲 有理数的概念一、正数和负数 在数学发展历史上，从发现自然数开始，随着人类文明进步，我们又逐渐定义了分数和小数等.在生活和学习中，我们会需要记录一些具有相反意义的量，比如：零下4?C 和零上6?C ，收入20元和支出30元，向东30米和向西100米等等．这些数据不仅意义相反，而且表示一定的量，为了表示它们，我们定义了正负数： 1．用正负数表示相反意义的量： 我们把一种意义的量规定为正的，把另一种与它具有相反意义的量规定为负的，分别用正数和负数表示，给数字前面加上正号表示正数，加上负号表示负数． 【例】以上几个例子分别记为：4-?C 和6+?C ，20+元和20-元，30+米和100-米. 2．正数：像30、+6、1 2 、π这样的数叫做正数，正数都大于零； 3．负数：在正数前面加上“-”号的数叫做负数，比如：20-、3.14-、0.001-、17 2 -． 【注】①表示正数时，“+”号可以省略，但表示负数时，“-”号一定不能省略； ②数0既不是正数也不是负数． 二、有理数的概念及分类 1．有理数：整数与分数统称为有理数． 2．有理数的分类： （1）有理数按性质分类： ??????????? ??? ???? ??正整数自然数整数零有理数负整数 正分数 分数负分数 （2）有理数按符号分类 ??? ??? ? ?? ???????? 正整数正有理数正分数有理数零（既不是正数，也不是负数）负整数负有理数负分数 （3）小数的分类 【注】注意以下几个概念的区分： 非负数：正数和零；非正数：负数和零； 非负整数：正整数和零；非正整数：负整数和零； 非负有理数：正有理数和零；非正有理数：负有理数和零． ????????有限小数小数无限循环小数无限小数无限不循环小数——不可化成分数，是无理数 ——可化成分数，是有理数
最后一条是区分实数和有理数的关键。例如所有平方小于 2 的有理数的集合存在有理数上界，如 1.5；但是不存在实数上界（因为 不是有理数）。 实数通过上述性质唯一确定。更准确的说，给定任意两个有序域 R1 和 R2，存在从 R1 到 R2 的唯一的域同构，即代数学上两者可看作是相同的。 5相关性质 基本运算 实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘方等，对非负数（即正数和0）还可以进行开方运算。实数加、减、乘、除（除数不为零）、平方后结果还是实数。任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数，只有非负实数，才能开偶次方其结果还是实数。 4 图册 四则运算封闭性 实数集R对加、减、乘、除（除数不为零）四则运算具有封闭性，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是实数。 有序性 实数集是有序的，即任意两个实数a、b必定满足下列三个关系之一： a
阿基米德性 实数具有阿基米德（Archimedes）性，即对任何a，b ∈R，若b>a>0,则存在正整数n，使得na>b. 稠密性 实数集R具有稠密性，即两个不相等的实数之间必有另一个实数，既有有理数，也有无理数. 唯一性 如果在一条直线（通常为水平直线）上确定O作为原点，指定一个方向为正方向（通常把指向右的方向规定为正方向），并规定一个单位长度，则称此直线为数轴。任一实数都对应与数轴上的唯一一个点；反之，数轴上的每一个点也都唯一的表示一个实数。于是，实数集R与数轴上的点有着一一对应的关系。 完备性 作为度量空间或一致空间，实数集合是个完备空间，它有以下性质： 一.所有实数的柯西序列都有一个实数极限。 有理数集合就不是完备空间。例如，(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) 是有理数的柯西序列，但没有有理数极限。实际上，它有个实数极限√2。实数是有理数的完备化——这亦是构造实数集合的一种方法。 极限的存在是微积分的基础。实数的完备性等价于欧几里德几何的直线没有“空隙”。 二.“完备的有序域” 实数集合通常被描述为“完备的有序域”，这可以几种解释。 首先，有序域可以是完备格。然而，很容易发现没有有序域会是完备格。这是由于有序域没有最大元素（对任意元素 z，z + 1 将更大）。所以，这里的“完备”不是完备格的意思。 另外，有序域满足戴德金完备性，这在上述公理中已经定义。上述的唯一性也说明了这里的“完备”是指戴德金完备性的意思。这个完备性的意思非常接近采用戴德金分割来构造实数的方法，即从（有理数）有序域出发，通过标准的方法建立戴德金完备性。 这两个完备性的概念都忽略了域的结构。然而，有序群（域是种特殊的群）可以定义一致空间，而一致空间又有完备空间的概念。上述完备性中所述的只是一个特例。（这里采用一致空间中的完备性概念，而不是相关的人们熟知的度量空间的完备性，这是由于度量空间的定义依赖于实数的性质。）当然，R 并不是唯一的一致完备的有序域，但它是唯一的一致完备的阿基米德域。实际上，“完备的
第一讲有理数的巧算 【学习导航】 有理数的运算是中学数学中一切运算的基础。它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算。不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性。 1．括号的使用 在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单． 例1计算下式的值： 211×555+445×789+555×789+211×445． 试一试 (1)-1+3-5+7-9+11-…-2009+2011；(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100； 例2在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？ 2．用字母表示数 我们先来计算(100+2)×(100-2)的值： 这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=___________ 于是我们得到了一个重要的计算公式____________________________ 这个公式叫――___________公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算． 例3计算3001×2999的值．
试一试 （1）103×97×10009 （2） （3）(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1) （4） 3．观察算式找规律 例4某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88． 例5 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值． 例6计算 1+5+52+53+…+599+5100的值． 例7 计算：