全称量词与存在量词
【学习目标】
1．了解量词在日常生活中和数学命题中的应用，正确理解全称量词和存在量词的意义，并能使用两类量词叙述数学内容；
2．能判断全称命题和特称命题，并能判断其真假掌； 3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
【要点梳理】
要点一：全称量词与全称命题 全称量词
全称量词的概念：在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词． 常见的全称量词：“所有”、“任意一个”、“每一个”、“任何”、“一切”等． 全称量词的表示：通常用符号“?”表示，读作“对任意”． 全称命题
全称命题的概念：含有全称量词的命题，叫做全称命题．
全称命题的形式：对M 中任意一个x ，有()p x 成立．记作：x M ?∈，()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）．
要点诠释：有些全称命题在文字叙述上可能会省略了全称量词，例如：（1）“末位是0的整数，可以被5整除”；（2）“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；（3）“负数的平方是正数”；都是全称命题．
要点二：存在量词与特称命题 存在量词
存在量词的概念：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词．
常见的存在量词：“有些”、“至少有一个”、 “有一个”、“存在”等． 存在量词的表示：通常用符号“?”表示，读作“存在”． 特称命题
特称命题的概念：含有存在量词的命题，叫做特称命题．
特称命题的形式：存在M 中一个元素0x ，有0()p x 成立．记作：0x M ?∈，0()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）．
要点诠释：
（1）全称命题表示整体或全部的含义，而特称命题反映对个体或整体一部分的判断. （2）一个特称命题中也可以包含多个变量，例如：存在,αβ∈∈R R 使sin()sin sin αβαβ+=+．
（2）有些特称命题也可能省略了存在量词．例如：“正方形是矩形”，“球面是曲面等等”.
（3）同一个全称命题或特称命题，可以有不同的表述.
要点三： 全称命题与特称命题的否定 对含有一个量词的全称命题的否定
要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例就可以了．实际上要说明这个全称命题的否定是正确的．不难发现，全称命题的否定是特称命题．
全称命题p ：x M ?∈，()p x ；
p 的否定p ?：0x M ?∈，0()p x ?．
对含有一个量词的特称命题的否定
要说明一个特称命题是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质．实际上是要说明这个特称命题的否定是正确的．不难发现，特称命题的否定是全称命题．
特称命题p ：0x M ?∈，0()p x ；
p 的否定p ?：x M ?∈，()p x ?．
要点诠释：
(1) 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题； (2) 命题的否定与命题的否命题是不同的； (3) 一些常见量词的否定如下表所示：
要点四：全称命题和特称命题的真假判断
① 要判定全称命题“x M ?∈，()p x ”是真命题，必须对集合M 中的每一个元素x ，证明()p x 成立；
要判定全称命题“x M ?∈，()p x ”是假命题，只需找出一个反例即可，即在集合M 中找到一个元素0x ，使得0()p x 不成立．
② 要判定特称命题“0x M ?∈，0()p x ”是真命题，只需在集合M 中找到一个元素0x ，使得0()p x 成立即可；
要判定特称命题“0x M ?∈，0()p x ”是假命题，必须证明在集合M 中，使 ()p x 成立得元素不存在．
【典型例题】
类型一：全称量词与存在量词、全称命题与特称命题的辨析
例1．指出下列两个含有量词的命题中使用了什么量词及量词的作用范围，并把量词用相应的数学符号表示．
（1）对任意正实数2,20a a a -->；
（2）对某个大于10的正整数n ，1024n =． 【思路点拨】根据全称量词和存在量词的概念进行判断． 【解析】
（1）该命题中有量词“任意”，这是一个全称量词，它的作用范围是正实数集合．该命题可写成“20,20a a a ?>-->”．
（2）该命题中有量词“某个”，这是一个存在量词，它的作用范围是大于10的正整数
集合．该命题可写成“*10,1024n n n N ?>∈=．
【总结升华】 判断一个命题是否含有全称量词和存在量词，关键是看命题中是否有“所有”、“任意”、“任何”、“存在”、“有的”、“至少”、“有”等词语，或隐含有这些词语的意思． 举一反三：
【变式1】判断下列命题是全称命题还是特称命题：
（1）任何一个实数除以1仍等于这个数； （2）等边三角形的三边相等； （3）存在实数0x ，使2030x ->； （4）有一个实数，不能作除数； （5）棱柱是多面体；
（6）有些四边形的四个边都相等．
【答案】（1）全称命题，（2）全称命题，（3）特称命题；（4）特称命题；（5）全称命题；（6）特称命题.
【高清课堂：全称量词与存在量词395491例1】 【变式2】判断下列命题是全称命题还是特称命题．
（1）?x ∈R ，211x +≥； （2）所有素数都是奇数；
（3）存在两个相交平面垂直于同一条直线； （4）有些整数只有两个正因数． 【答案】
（1）有全称量词“任意”，是全称命题； （2）有全称量词“所有”，是全称命题； （3）有存在量词“存在”，是特称命题； （4）有存在量词“有些”；是特称命题．
类型二：判断全称命题、特称命题的真假 例2．判断下列命题的真假：
（1）4,12x x ?∈+≥N ；
（2）3
00,1x x ?∈ 【思路点拨】（1）对412x +≥进行等价变形，可化为41x ≥，x 取自然数0，1，2，… 代入验证；（2）中0x 取整数0，123±±±，，，…代入3 01x <，验证不等式是否成立. 【答案】（1）假命题；（2）真命题. 【解析】 （1）由于0∈Ν，当0x =时，412x +≥不成立，故(1)为假命题； （2）由于1-∈Z ，当1x =-时能使31x <，所以（2）为真命题． 【总结升华】 （1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，验证()p x 成立；要判断全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个0x x =，使0()p x 不成立即可； （2）要判断一个特称命题的真假，依据：只要在限定集合M 中，至少能找到一个0x x =，使0()p x 成立，则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题． 举一反三： 【变式1】试判断下列命题的真假： （1）2,10x x ?∈+>R ； （2）2,1x x ?∈≥N ； （3）3,3x x ?∈=Z ； （4）2,320x x x ?∈-+=R ； （5）2,10x x ?∈+=R . 【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题；（4）假命题；（5）假命题. 【变式2】在下列特称命题中假命题的个数是（ ） ①有的实数是无限不循环小数； ②有些三角形不是等腰三角形； ③有的菱形是正方形； A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】A 类型三：含有一个量词的全称命题与特称命题的否定 例3．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假；写出这些命题的否定并判断 真假． （1）三角形的内角和为180°； （2）每个二次函数的图象都开口向下； （3）存在一个四边形不是平行四边形； （4）2,20x R x ?∈+>； （5）200,10x R x ?∈+=． 【解析】 （1）是全称命题且为真命题． 命题的否定：三角形的内角和不全为180°， 即存在一个三角形，它的内角和不等于180°，为假命题． （2）是全称命题且为假命题． 命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下，为真命题． （3）是特称命题且为真命题． 命题的否定：所有的四边形都是平行四边形，为假命题． （4）是全称命题且为真命题． 由于x R ?∈都有20x ≥，故2220x +≥>，p 为真命题； p ?：2 00 ,20x R x ?∈+≤，p ?为假命题 （5）是特称命题且为假命题． 因为不存在一个实数x ，使210x +=成立，p 为假命题； p ?：2,10x R x ?∈+≠，p ?为真命题． 【总结升华】命题的否定要与否命题区别开来，全称命题的否定是特称命题，而特称命题的否定是全称命题． 举一反三： 【变式1】写出下列命题的否定，并判断真假． （1）2,440x R x x ?∈-+≥； （2）所有的正方形都是矩形； （3）2 00 0,10x R x x ?∈++≤； （4）至少有一个实数x 0，使得2 20x +=． 【答案】 （1）p ?：2 000,440x R x x ?∈-+<（假命题）； （2）p ?：至少存在一个正方形不是矩形（真命题）； （3）p ?：2,10x R x x ?∈++>（真命题）； （4）p ?：2,20x R x ?∈+≠（真命题）． 【高清课堂：全称量词与存在量词395491 例5】 【变式2】“a 和b 都不是偶数””的否定形式是（ ） A ．a 和b 至少有一个是偶数 B ．a 和b 至多有一个是偶数 C ．a 是偶数，b 不是偶数 D ．a 和b 都是偶数 ．【答案】A 类型四：含有量词的命题的应用 例4．已知1 :|1|23 x p -- ≤，22:210(0)q x x m m -+-≤>，若p ?是q ?的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 【思路点拨】本题是不等式与逻辑关系的综合性题目，应逐个突破，再完美衔接： 第一步：解p 与q 中的不等式； 第二步：理解“p ?是q ?的必要不充分条件”的具体含义：“q ?∣p ?”≡“p ∣q ”； 第三步：问题转化为“对任意p 的x ，q 恒成立”. 【答案】[)9,+∞ 【解析】 111 :|1|221213210333 x x x p x ---- ≤?-≤-≤?-≤≤?-≤≤ ()()22:210110q x x m ?x m x m -+-≤---+≤???????? 又∵m >0 ∴不等式的解为1-m ≤x ≤1+m ． ∵“p ?是q ?的必要而不充分条件”的等价命题即逆否命题为“p 是q 的充分不必要条件””， ∴不等式1 |1|23 x -- ≤的解集是()222100x x m m -+-≤>的解集的子集． 123 ,91109m m m m m -≤-≥??∴?∴≥? ?+≥≥?? ∴实数m 的取值范围是[)9,+∞． 【总结升华】本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了要点的灵活性，使用的技巧与方法是利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找 解集间的包含关系，进而使问题解决． 举一反三： 【变式1】若命题“?x∈R，使得2(1)10 x+a x+ －＜”是真命题，则实数a的取值范围是． 【答案】(－∞，－1)∪(3，＋∞) 【解析】∵“?x∈R，使得2(1)10 x+a x+ －＜”是真命题， ∴(a－1)2－4＞0，即(a－1)2＞4， ∴a－1＞2或a－1＜－2， ∴a＞3或a＜－1． 【变式2】已知c＞0，设命题p：函数y＝c x为减函数．命题q：当 1 ,2 2 x ?? ∈?? ?? 时，函 数 11 () f x x x c =+>恒成立．如果p或q为真命题，p且q为假命题．求c的取值范围．【答案】 1 {|0c1} 2 c c <≤≥ 或 【解析】由命题p知：0＜c＜1． 由命题q知： 15 2 2 x x ≤+≤， 要使此式恒成立，则 1 2> c ，即 1 2 c>． 又由p或q为真，p且q为假知， p、q必有一真一假， 当p为真，q为假时，c的取值范围为 1 2 c <≤． 当p为假，q为真时，c≥1． 综上，c的取值范围为 1 {|0c1} 2 c c <≤≥ 或． 组长评价： 教师评价： §1.4全称量词与存在量词 编者：史亚军 学习目标 1. 认识常见的全称量词和存在量词；并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性；掌握含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律． 2. 使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力． 3. 激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养积极进取的精神． 重点：理解全称量词与存在量词的意义． 难点：全称命题和特称命题真假的判定和含一个量词的否定． 学习过程 使用说明： （1）预习教材P 2 ~ P 8，用红色笔画出疑惑之处，并尝试完成下列问题，总结规律方法； （2）用严谨认真的态度完成导学案中要求的内容； （3）不做标记的为C 级，标记★为B 级，标记★★为A 级。 预习案（20分钟） 一．知识链接 下列语句是命题吗？假如是命题你能判断它的真假吗？ （1）是整数； （2）； （3）如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等； （4）平行于同一条直线的两条直线互相平行； （5）任丘一中今年所有高中一年级的学生数学课本都是人民教育出版社A 版的教科书； （6）所有有中国国籍的人都是黄种人； （7）对所有的； （8）对任意一个是整数。 二．新知导学 问题1：什么是全称量词？什么是存在量词？它们如何表示？ 问题2：我们如何对含有全称量词和存在量词的命题进行否定呢？它们的否定形式有何规律？ 问题3：请把下列日常用语，哪些表示全称量词，哪些表示存在量词？ “凡”、“所有”、“有一个”、“一切”、 “ 至多有一个”、“任意一个”、“存在一个”、“有些”、“至少有一个”。 其中： 全称量词的有： 存在量词的有： 问题4：辨别下列命题格式？并给出相应的否定形式？ （1） （2） 探究案（30分钟） 三．新知探究 【知识点一】含有全称量词和存在量词的命题结构与否定 例1：用符号“”与“”表示下列含有量词的命题？并给出相应的否定形式？ 全称量词与存在量词-量词 教学目标：了解量词在日常生活中和数学命题中的作用，正确区分全称量词和存在量词的概念，并能准确使用和理解两类量词。 教学重点：理解全称量词、存在量词的概念区别； 教学难点：正确使用全称命题、存在性命题； 课型：新授课 教学手段：多媒体 教学过程： 一、创设情境 在前面的学习过程中，我们曾经遇到过一类重要的问题：给含有“至多、至少、有一个┅┅”等量词的命题进行否定，确定它们的非命题。大家都曾感到困惑和无助，今天我们将专门学习和讨论这类问题，以解心中的郁结。 问题1：请你给下列划横线的地方填上适当的词 ①一纸；②一牛；③一狗；④一马；⑤一人家；⑥一小船 ①张②头③条④匹⑤户⑥叶 什么是量词？这些表示人、事物或动作的单位的词称为量词。汉语的物量词纷繁复杂，又有兼表形象特征的作用，选用时主要应该讲求形象性，同时要遵从习惯性，并注意灵活性。不遵守量词使用的这些原则，就会闹出“一匹牛”“一头狗”“一只鱼”的笑话来。 二、活动尝试 所有已知人类语言都使用量化，即使是那些没有完整的数字系统的语言，量词是人们相互交往的重要词语。我们今天研究的量词不是究其语境和使用习惯问题，而是更多的给予它数学的意境。 问题2：下列命题中含有哪些量词？ （1）对所有的实数x，都有x2≥0； （2）存在实数x，满足x2≥0； （3）至少有一个实数x，使得x2－2＝0成立； （4）存在有理数x，使得x2－2＝0成立； （5）对于任何自然数n，有一个自然数s 使得s = n × n； （6）有一个自然数s 使得对于所有自然数n，有s = n × n； 上述命题中含有：“所有的”、“存在”、“至少”、“任何”等表示全体和部分的量词。 三、师生探究 命题中除了主词、谓词、联词以外，还有量词。命题的量词，表示的是主词数量的概念。在谓词逻辑中，量词被分为两类：一类是全称量词，另一类是存在量词。 全称量词：如“所有”、“任何”、“一切”等。其表达的逻辑为：“对宇宙间的所有事物x来说，x都是F。”例句：“所有的鱼都会游泳。” 存在量词：如“有”、“有的”、“有些”等。其表达的逻辑为：“宇宙间至少有一个事物x，x是F。”例句：“有的工程师是工人出身。” 含有量词的命题通常包括单称命题、特称命题和全称命题三种。 单称命题：其公式为“（这个）S是P”。例句：“这件事是我经办的。”单称命题表示个体，一般不需要量词标志，有时会用“这个”“某个”等。在三段论中是作为全称命题来处理的。全称命题：其公式为“所有S是P”。例句：“所有产品都是一等品”。全称命题，可以用全称量词，也可以用“都”等副词、“人人”等主语重复的形式来表达，甚至有时可以没有任何的量词标志，如“人类是有智慧的。” 姓 名 年级 性 别 学 校 学 科 教师 上课日期 上课时间 课题 9.1 全称量词与存在量词 知识点一、全称量词与全称命题 1．短语“所有的”，“任意一个”在逻辑中通常叫做______________，并用符号“_______”表示． 2．含有_____________的命题叫做全称命题，用符号表示为：“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”，记为________________. 知识点二、存在量词与特称命题 1．短语“存在一个”，“至少有一个”在逻辑中叫做____________，用符号“_______”表示． 2．含有_______________的命题，叫做特称命题，用符号表示：“存在M 中的元素x 0，使p (x 0)成立，记为：________________”. 知识点三、含有一个量词的命题的否定 类型一 全称命题和特称命题的概念及真假判断 例1 、指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假． (1)?x ∈N,2x ＋1是奇数；(2)存在一个x 0∈R ，使1 x 0－1 ＝0； (3)对任意向量a ，|a|＞0；(4)有一个角α，使sin α＞1. 【自主解答】 (1)是全称命题，因为?x ∈N,2x ＋1都是奇数，所以该命题是真命题． (2)是特称命题．因为不存在x 0∈R ，使1 x 0－1＝0成立，所以该命题是假命题． (3)是全称命题．因为|0|＝0，∴|a |＞0不都成立，因此，该命题是假命题． (4)是特称命题，因为?α∈R ，sin α∈[－1,1]，所以该命题是假命题． 变式：判断下列命题的真假： (1)?x ∈R ，x 2＋2x ＋1＞0；(2)?x ∈(0，π 2 )，cos x ＜1； (3)?x 0∈Z ，使3x 0＋4＝0；(4)至少有一组正整数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2≤3. 【解】 (1)∵当x ＝－1时，x 2＋2x ＋1＝0，∴原命题是假命题． (2)由y ＝cos x 在(0，π2)的单调性．∴?x ∈(0，π 2)，cos x ＜1为真命题． (3)由于3x ＋4＝5成立时，x ＝1 3 ?Z ，因而不存在x ∈Z ，使3x ＋4＝5. 所以特称命题“?x 0∈Z ，使3x 0＋4＝5”是假命题． (4)由于取a ＝1，b ＝1，c ＝1时，a 2＋b 2＋c 2≤3是成立的，所以特称命题“至少有一组正整数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2≤3”是真命题. 类型二 含有一个量词的命题的否定 例2、写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)p ：不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根；(2)q: 存在一个实数x 0使得x 20＋x 0＋1≤0； 1．4全称量词与存在量词 (一)教学目标 1.知识与技能目标 （1）通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词． （2）了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性． 2.过程与方法目标 使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力． 3.情感态度价值观 通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育． (二)教学重点与难点 重点:理解全称量词与存在量词的意义 难点: 全称命题和特称命题真假的判定. (三)教学过程 1．思考、分析 下列语句是命题吗？假如是命题你能判断它的真假吗？ （1）2x＋１是整数； (2) x＞３； (3) 如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等； （4）平行于同一条直线的两条直线互相平行； （5）海师附中今年所有高中一年级的学生数学课本都是采用人民教育出版社A版的教科书； （6）所有有中国国籍的人都是黄种人； （7）对所有的x∈Ｒ, x＞３； （8）对任意一个x∈Ｚ，2x＋１是整数。 1．推理、判断 （让学生自己表述） （1）、（2）不能判断真假，不是命题。 （3）、(4)是命题且是真命题。 （5）－（8）如果是假，我们只要举出一个反例就行。 注：对于（5）－（8）最好是引导学生将反例用命题的形式写出来。因为这些命题的反例涉及到“存在量词”“特称命题”“全称命题的否定”这些后续内容。 （5）的真假就看命题：海师附中今年存在个别（部分）高一学生数学课本不是采用人民教育出版社A版的教科书；这个命题的真假，该命题为真，所以命题（5）为假； 命题（6）是假命题．事实上，存在一个（个别、部分）有中国国籍的人不是黄种人．命题（7）是假命题．事实上，存在一个（个别、某些）实数（如x＝2）， x＜３．（至少有一个x∈Ｒ, x≤３） 命题（8）是真命题。事实上不存在某个x∈Ｚ，使2x＋１不是整数。也可以说命题：存在某个x∈Ｚ使2x＋１不是整数，是假命题． 3．发现、归纳 命题（5）－（8）跟命题（3）、（4）有些不同，它们用到“所有的”“任意一个”这 《全称量词与存在量词》教案 1.4.1全称量词1.4.2存在量词 (一)教学目标 1.知识与技能目标 （1）通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词． （2）了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性． 2.过程与方法目标使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力． 3.情感态度价值观 通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育． (二)教学重点与难点 重点:理解全称量词与存在量词的意义难点: 全称命题和特称命题真假的判定. 教具准备：与教材内容相关的资料。 教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神． （三）教学过程 学生探究过程：1．思考、分析 下列语句是命题吗？假如是命题你能判断它的真假吗？ （1）2x＋１是整数； (2) x＞３； (3) 如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等； （4）平行于同一条直线的两条直线互相平行； （5）海师附中今年所有高中一年级的学生数学课本都是采用人民教育出版社A版的教科书； （6）所有有中国国籍的人都是黄种人； （7）对所有的x∈Ｒ, x＞３； （8）对任意一个x∈Ｚ，2x＋１是整数。 1．推理、判断 （让学生自己表述） （1）、（2）不能判断真假，不是命题。 （3）、(4)是命题且是真命题。 （5）－（8）如果是假，我们只要举出一个反例就行。 注：对于（5）－（8）最好是引导学生将反例用命题的形式写出来。因为这些命题的反例涉及到“存在量词”“特称命题”“全称命题的否定”这些后续内容。 （5）的真假就看命题：海师附中今年存在个别（部分）高一学生数学课本不是采用人民教育出版社A版的教科书；这个命题的真假，该命题为真，所以命题（5）为假； 命题（6）是假命题．事实上，存在一个（个别、部分）有中国国籍的人不是黄种人．命题（7）是假命题．事实上，存在一个（个别、某些）实数（如x＝2）， x＜３． （至少有一个x∈Ｒ, x≤３） 命题（8）是真命题。事实上不存在某个x∈Ｚ，使2x＋１不是整数。也可以说命题：存在某个x∈Ｚ使2x＋１不是整数，是假命题． 全称量词与存在量词练习题 一、选择题 1．下列全称命题中真命题的个数是（） ①末位是0的整数，可以被2整除； ②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； ③正四面体中两侧面的夹角相等； A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列存在性命题中假命题的个数是（） ①有的实数是无限不循环小数； ②有些三角形不是等腰三角形； ③有的菱形是正方形； A．0 B．1 C．2 D．3 3．下列命题为存在性命题的是（） A．偶函数的图象关于y轴对称 B．正四棱柱都是平行六面体 C．不相交的两条直线是平行直线 D．有很多实数不小于3 4．命题“所有自然数的平方都是正数”的否定为（） A. 所有自然数的平方都不是正数 B. 有的自然数的平方是正数 C. 至少有一个自然数的平方是正数 D. 至少有一个自然数的平方不是正数 5．命题“存在一个三角形，内角和不等于1800”的否定为（） A．存在一个三角形，内角和等于1800 B．所有三角形，内角和都等于1800 C．所有三角形，内角和都不等于1800 D．很多三角形，内角和不等于1800 6. 命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则“非p”形式的命题是（）A．存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0无实根； B．不存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根； C．对任意的实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根； D．至多有一个实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根； 二、填空题 7．命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是___________________ ； 8．命题“?x∈R，x2－x+3>0”的否定是______________；\ 9．“末位数字是0或5的整数能被5整除”的否定形式是；否命题是； 三、解答题 10．用符号“?”与“?”表示含有量词的命题 （1）实数的平方大于等于0 （2）存在一对实数，使2x＋3y＋3>0成立 11．写出下列命题的否定： （1）存在实数x是方程5x-12＝0的根； （2）对于任意实数x，存在实数y，使x＋y>0； 12. 用全称量词和存在量词符号“?”、“?”翻译下列命题，并写出它们的否定： （1）若2x>4，则x>2； （2）若m≥0，则x2＋x－m＝0有实数根； 课题：全称量词与存在量词（授课人：） 一、教学目标 1、知识与技能通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词和存在量词的意义；掌握全称 命题和特称命题的概念及判断它们真假的一般方法． 2、过程与方法培养学生分析问题，总结问题的能力. 3、情感、态度、价值观在数学中运用好有关的量词进而用符号熟练表达数学思想. 二、教学重点、难点 1、重点通过生活和数学中的丰富实例，理解全称命题和特称命题的概念及判断它们真假的 一般方法． 2、难点全称命题和特称命题的真假判定。 三、教学过程 一）新课学习 （一）、全称量词 由课本21页思考（幻灯片上思考1）引出问题，即由： （1）x>3; （2）2x+1是整数. （3）对于所有的x∈R,x>3; （4）对任意一个x∈Z，2x+1是整数. 由上面例子引出： 短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词（universal quantifier）,并用符号 “?”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题. 注：1、常见的全称量有:“一切”,“每一个”, “任给”,“所有的”等; 2、组织列举其他数学例子,加深对全称量词的理解 总结全称命题的符号语言： 通常，将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x),…表示，变量x的取值范围用M来表示.那么，全程命题“对于M中任意一个x,有p(x)成立”可以用符号简记为 ), x(p, M x∈ ?读作“对任意x属于M，有p(x)成立”. 例1：判断下列全称命题的真假： （1）所有的素数是奇数 （2） 2 ,11; x R x ?∈+≥ 例后小结：1、引导学生体会符号语言表达数学内容的准确性、简洁性，从而提倡学生在今后的数学学习中，自觉地运用符号语言表达一些数学内容 2、判断全称命题真假的一般方法：举反例法. 例后练习：课本23页1题。 （二）、存在量词 由课本22页思考（幻灯片上思考2）引出问题，即由： （1）2x+1=3 (2) x能被2和3整除； 课题：全称量词与存在量词 前置学案： 问题1：在日常生活和学习中，我们经常遇到这样的命题： （1）所有中国公民的合法权益都受到中华人民共和国宪法的保护； （2）对任意实数x，都有x2≥0； （3）存在有理数x，使220 x-=． 上述命题有何不同？ 问题2： （1）所有的人都喝水； （2）存在有理数x，使220 x-=； （3）对所有的实数a，都有||0 a≥． 尝试对上述命题进行否定，你发现有什么规律？ 一、数学建构（知识梳理） 1．全称量词与全称命题： （1）全称量词： 用符号“?x”表示“对任意x”． （2）全称命题：． 一般形式：． 2．存在量词和存在性命题： （1）存在量词：． 用符号“x?”表示“存在x”． （2）存在性命题：． 一般形式：． 3．全称命题的否定：一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，全称命题p：?x∈M，p(x)它的否定?p：． 4．存在性命题的否定：一般地，对于含有一个量词的存在性命题的否定，存在性命题p：?x ∈M，p(x)它的否定┐p：． 二、例题选讲 例1．判断下列命题的真假： （1）?x ∈R ，x 2＞x ； （2）?x ∈R ，x 2＞x ； （3）?x ∈Q ，x 2-8=0； （4）?x ∈R ，x 2+2＞0． 例2．写出下列命题的否定： （1）所有人都晨练； （2）01,2 >++∈?x x R x ； （3）平行四边形的对边相等； （4）01,2 =+-∈?x x R x 例3．（1）已知命题“()01,,02 >+-+∞∈?ax x x ”为真命题， 则实数a 的取值范围 ． （2）已知命题“()01,,02 <+-+∞∈?ax x x ”为真命题， 则实数a 的取值范围 ． （二）变式训练 变式 （1）已知命题“01,2 >+-∈?ax ax R x ” 为假命题，则实数a 的取值范围是_______ ． （2）命题“?x ∈R ，2x 2－3ax ＋9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围为 ． （三）小结提炼 四、课堂总结 1．4全称量词与存在量词 1.4.1全称量词1.4.2存在量词 (一)教学目标 1.知识与技能目标 （1）通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词． （2）了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性． 2.过程与方法目标 使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力． 3.情感态度价值观 通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育． (二)教学重点与难点 重点:理解全称量词与存在量词的意义 难点: 全称命题和特称命题真假的判定. (三)教学过程 1．思考、分析 下列语句是命题吗？假如是命题你能判断它的真假吗？ （1）2x＋１是整数； (2) x＞３； (3) 如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等； （4）平行于同一条直线的两条直线互相平行； （5）海师附中今年所有高中一年级的学生数学课本都是采用人民教育出版社A版的教科书； （6）所有有中国国籍的人都是黄种人； （7）对所有的x∈Ｒ, x＞３； （8）对任意一个x∈Ｚ，2x＋１是整数。 1．推理、判断 （让学生自己表述） （1）、（2）不能判断真假，不是命题。 （3）、(4)是命题且是真命题。 （5）－（8）如果是假，我们只要举出一个反例就行。 注：对于（5）－（8）最好是引导学生将反例用命题的形式写出来。因为这些命题的反例涉及到“存在量词”“特称命题”“全称命题的否定”这些后续内容。 （5）的真假就看命题：海师附中今年存在个别（部分）高一学生数学课本不是采用人民教育出版社A版的教科书；这个命题的真假，该命题为真，所以命题（5）为假； 命题（6）是假命题．事实上，存在一个（个别、部分）有中国国籍的人不是黄种人．命题（7）是假命题．事实上，存在一个（个别、某些）实数（如x＝2）， x＜３．（至少有一个x∈Ｒ, x≤３） 命题（8）是真命题。事实上不存在某个x∈Ｚ，使2x＋１不是整数。也可以说命题：存在某个x∈Ｚ使2x＋１不是整数，是假命题． 全称量词和存在量词 教学目标 1．通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义； 2．能准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容，并判断全称命题和特称命题的真假 教学重点及难点 理解全称量词与存在量词的意义，并判断全称命题和特称命题的真假 教学类型：新授课 教学过程 一．引入 下列语句是命题吗？ ⑴3 x>； ⑵21 x+是整数； ⑶对所有的x∈R，3 x>； ⑷对任意一个x∈Z，21 x+是整数。 ⑴与⑶、⑵与⑷之间有什么关系？ 结论：由命题的定义出发，（1）（2）不是命题，（3）（4）是命题。分析（3）（4）分别用短语“对所有的”“对任意一个”对变量x 进行限定，从而使（3）（4）称为可以判断真假的语句。 二．教授新课： ①.概念： 短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“?”表示。 含有全称量词的命题，叫做全称命题。 例如： ⑴对任意n∈N，21 n+是奇数； ⑵所有的正方形都是矩形。 常见的全称量词还有： “一切”、“每一个”、“任给”、“所有的”等。 通常，将含有变量x的语句用() r x表示，变量x的取 q x、() p x、() 值范围用M表示。 全称命题“对M中任意一个x，有() p x p x成立”。简记为：x M ?∈，()读作：任意x属于M，有() p x成立。 ②.例1：判断下列全称命题的真假： ⑴所有的素数都是奇数； ⑵x?∈R，211 x+≥； ⑶对每一个无理数x，2x也是无理数。 （学生练习——个别回答——教师点评并板书） 点评：要判定全称命题的真假，需要对取值范围M内的每个元素x，证明p（x）是否成立，若成立，则全称命题是真命题，否则为假。 全称量词与存在量词 编稿：张希勇 审稿：李霞 【学习目标】 1．理解全称量词、存在量词和全称命题、特称命题的概念； 2．能准确地使用全称量词和存在量词符号“?” “? ”来表述相关的教学内容； 3．掌握判断全称命题和特称命题的真假的基本原则和方法； 4.能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 【要点梳理】 要点一、全称量词与全称命题 全称量词 全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词. 常见全称量词：“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等.通常用符号“?” 表示，读作“对任意”. 全称命题 全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题. 一般形式：“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”， 记作：x M ?∈，()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）. 要点诠释：有些全称命题在文字叙述上可能会省略了全称量词，例如：（1）“末位是0 的整数，可以被5整除”；（2）“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”； （3）“负数的平方是正数”；都是全称命题. 要点二、存在量词与特称命题 存在量词 定义：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词. 常见存在量词：“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有的”,“有些”等.通常用符号“? ” 表示，读作“存在 ”. 特称命题 特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题. 一般形式：“存在M 中一个元素0x ，有0()p x 成立”， 记作：0x M ?∈，0()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）. 要点诠释： （1）一个特称命题中也可以包含多个变量，例如：存在,R R αβ∈∈使高中数学选修2-1 1.4全称量词与存在量词
高中数学全称量词与存在量词-量词
全称量词与存在量词(有答案)
高中数学全称量词与存在量词教案1 新人教A版选修2-1
《全称量词与存在量词》教案全面版
全称量词与存在量词练习题
《全称量词与存在量词》教学设计
全称量词与存在量词(学生版)
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