知识要点
1. 抽屉原理的一般表述 （1） 假设有3个苹果放入2个抽屉中，必然有一个抽屉中至少有
2个苹果。它的一般表述为：
第一抽屉原理：（mn + 1）个物体放入n 个抽屉，其中必有一个抽屉中至少有 （m + 1）个物体。
（2） 若把3个苹果放入4个抽屉中，则必然有一个抽屉空着。它的一般表述为：
第二抽屉原理：（mn — 1）个物体放入n 个抽屉，其中必有一个抽屉中至多有 （m — 1）个物体。
2. 构造抽屉的方法
常见的构造抽屉的方法有：数的分组、染色分类、图形的分割、剩余类等等。
例1自制的一副玩具牌共计 52张（含四种牌：红桃、红方、黑桃、黑梅，每种牌都有 1点，2点，” 13
点牌各一张），洗好后背面朝上放。一次至少抽取 _______ 张牌，才能保证其中必定有 2张牌的点数和颜色都
相同。如果要求一次抽出的牌中必定有
3张牌的点数是相邻的（不计颜色），那么至少要取 __________ 张牌。
点拨 对于第一问，最不利的情况是两种颜色都取了
1?13点各一张，此时再抽一张，这张牌必与已抽取
的某张牌的颜色与点数都相同。
点拨 对于第二问，最不利的情况是：先抽取了
1 , 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11 , 13各4张，此时再取一张，
这张牌的点数是3, 6, 9, 12中的一张，在已抽取的牌中必有
3张的点数相邻。
解 （1）13 X 2+ 1 = 27（张）
（2）9 X 4+ 1= 37（张）
例2证明：37人中，（1）至少有4人属相相同；（2）要保证有5人属相相同，但不保证有 6人属相相同， 那么人的总数应在什么范围内？ 点拨 可以把12个属相看做12个抽屉，根据第一抽屉原理即可解决。 解（1）因为37- 12= 3,,
1，所以，根据第一抽屉原理，至少有
3 + 1 = 4（人）属相相同。
（2）要保证有5人的属相相同的最少人数为 4X 12+ 1 = 49（人） 不保证有6人属相相同的最多人数为
5X 12= 60（人）所以，总人数应在 49人到60人的范围内。
例3有一副扑克牌共 54张，问：至少摸出多少张才能保证：（1）其中有4张花色相同？ （2）四种花色都有？ 点拨 首先我们要弄清楚一副扑克牌有
2张王牌，四种花色，每种有 13张。（1）按最不利原则先取出
2张 为王牌，再取4张均不同花色，再连续取两次
4张也均不同花色，这时必能保证每一花色都有
3张,
再取1张即可达到要求。（2）仍需按最不利原则去取牌，先是 2张王牌，接着依次把三种花色的牌全
部取出13X 3,这时假设仍是没有四种花色，再取
1张即可。
解（1）2 + 4X 3+ 1= 15（张）（2）2 + 13X 3+ 1 = 42（张）
例4学校买来红、黄、蓝三种颜色的球，规定每位学生最多可以借两种不同颜色的球。那么至少要来几 名学生借球，就能保证必有两名学生借的球的颜色完全相同？ 点拨根据题中“最多可借两种不同颜色的球” 解借球有6种情况，看做6个抽屉，
所以至少要来7名学生借球，才能保证。
例5从前面30个自然数中最少要取出几个数，才能保证取出的数中能找到两个数，其中较大的数是较小 数的倍数？
抽屉原理
可知最多有以下
6种情况:
点拨把 1 ?30 这30 个自然数分成下面15 组：{1 , 2, 4, 8, 16}, {3 , 6, 12, 24}, {5 , 10, 20},
{7 , 14, 28} , {9 , 18} , {11 , 22} , {13 , 26} , {15 , 30} , {1 7} , {19} , {21} , {23} , {25) , {27},
{29},在这15组中，每组中的任意两个数都存在倍数关系，故可把这15组看做15个抽屉，至少要
取出16个数才能达到题目的要求。
例6边长为1的正方形中，任意给定13个点，其中任意三点都不共线。试说明其中至少有4个点，以此
4点为顶点的四边形面积不超过四分之一。
解：把正方形平均分成四个相同的小正方形，每个正方形的面积为四分之一。
13=4X 3+1 , 13个点至少有4个点在同一个小正方形，以此4点为顶点的
四边形的面积不超过小正方形的面积，即不超过原正方形面积的四分之一。
例7平面上给定六个点，没有三点共线。每两点用一条红线段或黄线段连接起来，试说明由这些线段围成的三角形
中，至少有一个三角形，它的三条边同色解因为有六个点，每个点都要引出五条线段，据抽屉原理，任意一点引五
条线段中至少有三条线段同色,
不妨设是红色（如图红色线段为实线，蓝色线段为虚线）,这时三角形a2a3a4会出现两种颜色情况
（1）若a2a3, a3a4, a2a4中有任意一条线段为红的，那么这条红线段与它的两个
端点与a1引出的两条线段组成一个红三角形。
⑵若a2a3, a3a4, a2a4中没有一条线段是红色的，则a2a3a4为一个
蓝色三角形。综上所述，无论（1）还是（2），题目结论都成立。
说明：若把两种颜色连线换成人与人之间的相识或不相识关系，就可以解决实际问
题：结果可证明6人之间至少有3人互相认识或不认识。
1.要在30米长的水泥台上放16盆花，不管怎么放，至少有几盆之间的距离不超过2米?
解：两盆30十2=15段，30米中每两米为一段的有15段，16盆花至少有两盆花在一段，至少两盆之间的距离不超过2米。
3. 在一个边长为1的正三角形内随意放置10个点，试说
明其中至少有两个点之间的距离不超过
解：把边长为一的正三角形平分成9粉，由每个三角的边长为1/3 ,
必有两点在一个三角形内，则两点的距离小于1/3。
4. 用黑、红两种颜色将一个长9、宽3的矩形中的边长为1的小正方形随意涂色，试证必有两列涂色情况
一样。
因为涂色出现八种情况：（红红红），（蓝，蓝，蓝），（红，红，蓝），（红，蓝，红），（蓝，红，
红），（蓝，蓝，红），（蓝，红，蓝），（红，蓝，蓝），所以九列中一定有两列是相同的。
5. 从整数1, 2, 3, ,, , 199, 200中任选101个数，求证在选出的这些自然数中至少有两个数，其中的
一个是另一个的倍数。
分数组{1,2,4,8 , 16, , , 128} , {3,6,12,24,48X92} , {5,10,20,40^200} , {7,14,28,56,112} ,
{9,18,36,72,144} , {11,22,44,88,176} , {13,26,52,104} , {15,30,60,120,} ,, {99,198} , {101},
{103} , ,, {199}共100个抽屉，任选101个数必有两个数在一个抽屉里，即其中的一个是另一个的倍数。
6. 在10X 10方格纸的每个方格中，任意填入1、2、3、4四个数之一。然后分别对每个2X2方格中的四个数求和。在这些和数中，至少有多少个和相同？
1、2、3、4填入后，四个数的和最小为4,最大为16。4-16之间有13个不同的和，2X 2的方格在
10X 10的方格中可推出81个和，81 - 13=6A3，故至少有6+1=7个和。
7. 从八个连续自然数中任意选出五个，其中必有两个数的差等于4，试分析之。
这八个连续自然数为a, a+1, a+2, a+3, a+4, a+5, a+6, a+7,分为四组{ a+4 , a}, {a+5 , a+1},
{a+6 , a+2}, {a+7 , a+3}，取五个数必有两个数在一个抽屉中，即差为4
8. 任意给定七个自然数，说明其中必有四个数，它们的和为4的倍数。
七个数中必有三对奇偶性相同，即满足a1+a2=2k1,a3+a4=2k2, a5+a6=2k3。在k1, k2, k2三个数中又至少有两个奇偶性相同，不妨设k1, k2奇偶性相同，所以k什k2=2m即a1+a2+a3+a4=4m, 2k什2k2=4m,所以其中必有四个数，它们的和是4的倍数。
9. 从3, 6, 9,, 81, 84这些数中，任意选出16个数，其中至少有两个数的和等于90,试说明之。
分数组{6,84} , {9,81} , {12,78} , ,, {42,48} , {3} , {45}，共15个抽屉，故取16个数必有两个数
在一个抽屉中，即和为90。
10. 任意给定七个不同的自然数，其中必有两个数的和或差是10的倍数，试说明之。
按余数是2或5或两个余数和为10来构造6个抽屉：{0} , {5} , {1,9} , {2,8} , {3,7} , {4,6}这样7
个数必有两个数在一个抽屉里，它们的余数之和是10或余数相同，从而他们本身的和或差为10的倍数。
11. 能否在10行10列的方格中的每个空格处分别填上 1 , 2, 3这三个数，使大正方形的每行、每列及两
条对角线的各个数字和互不相同？
10个数的和最小为10,最大为30,10-30中有21个数。10行10列加上两条对角线共22个和，则必有两条线上的和相同。所以不能。
12. 能否把1?7这七个数排成一圈，使任意两个相邻数的差等于2或3?
在这7个数中，1,2,6,7都不能相邻，要把它们隔开需要4个数，而现在只剩下3,4,5三个数，所以不能。
13. 平面上给定六个点，没有三个点在一条直线上，每两点用一条红色线段或蓝色线段连接起来。试说明这些线段围成的三角形中，至少有两个同色三角形。
14. 库房里有一批篮球、排球、足球和手球，每人任意搬运两个，至少有多少人搬运才能保证有5人搬运
的球完全一样？
每人搬得可能是两篮、两排、两足、两手、篮排、篮足、篮手、排足、排手、足手10种情况。
4 X 10+仁41 人
15. 在一个3X4平方米的长方形盘子中，任意撒入5个豆，5个豆中距离最小的两个豆的最大距离是几米?
（这时盘子的对角线长为5米）Array将长方形分成四份，如放5豆，必有2个豆在一个小长方形内，一个小正方形
内最大的距离是2.5米（如AE,故距离最小的两个点的距离最大值是 2.5米。
16. 一个3行7列的21个小方格的长方形，每个小方格用红或黄中的一种颜色涂色。
证明：不论如何涂色，
一定能找到一个由小方格组成的长方形，它的四个角上的小方格具有相同的颜色。
第一行有7个方格，因为涂两种颜色，根据抽屉原理二，必有一种颜色涂了4个或4个以上的方格。
设第一行有四个红方格，第二行是在第一行四个红方格下面的四个方格中，如果有两个红色，那么结
论已成立，否则必有三个黄方格。第三行是在第二行3个黄方格下面的3个方格中，至少有两个方格
涂一种颜色。如涂红色就与第一行组成符合条件的长方形，如涂黄色就与第二行组成符合条件的长方形。
2 3
17. 在{1，2，,,，n}中，任意取10个数，使得其中有两个数的比值不小于一，且不大于-。求n的最
3 2
大值。
由于任取10个数中有两个数在同一个抽屉里，显然最多构造9个抽屉.这9个抽屉中的每一个抽屉
都含有1, 2, 3,, n中的一些数，而且这些数必须满足每两个数的比值都在和之间，这9个抽屉，是：
{1} ；{2 , 3} ; {4 , 5, 6} ; {7 , 8, 9, 10} ; {11 , 12,, 16} ; {17 , 18,, 24, 25} ; {26 , 27,, 38, 39} ;
{40 , 41,, 59, 60} ; {61 , 62,, 90, 91}. 因此，n 的最大值是91.
18. 从1, 2, 3, , , 1988, 1989这些自然数中，最多可取多少个数，其中每两个数的差不等于4?
把1,2, ,, ,1989这些数分成四组公差是4的等差的数列；1,5,9, ”,1989共498个数；
2,6,10, ,, 1986 共497 个数；3,7,11 ,, 1987 共497 个数；4,8,12 ,, 1988 共497 个数；
我们发现：1.四行中每一行中任意相邻两数相差为4,不相邻两数相差不可能是4;
2. 而分属不同两行的任意两个数相差不可能为4,因为如果相差为4的话，两数将被归为一
行，这显然与事实矛盾；故选符合规定的数只要在每组里每隔一个数选一个，每行最多可
选249个数；最终249 X 4=996 （个）
19. 四个人聚会，每人各带了两件礼品，分赠给其余三个人中的两人。试证明：四个人中至少有两对，每对是互赠过礼品的。
将这四个人用4个点表示，如果两个人之间送过礼品，就在两点之间连一条线。由于每人送出2件礼品，共有4 X 2=8条线，由于每人礼品都分赠给2个人，所以每两点之间至多有 1 + 1=2条线。四点间，每两点连一条线，一共6条线，现在有8条线，说明必有两点之间连了2条线，还有另外两点（有一点可以与前面的点相同）之间也连了2条线。即为所证结论。
20. 一排长椅共有90个座位，其中一些座位已经有人就座了。这时，又来了一个人要坐在这排长椅上，有
趣的是，他无论坐在哪个座位上都与已经就座的某个人相邻。原来至少有几人已经就座？
由于,他无论坐在哪个座位上都与已经就座的某个人相邻，求至少有多少人，则有人的位置如图
所示,（“?”表示已经就座的人，“ ？”表示空位）:? ? ?? ? ?? ? ?,.即有人的位置占全部人数的1/3 , 90- 3=30人。即原来至少有30人已经就座。
21. 把1, 2, 3, ,, , 8, 9, 10任意摆放在一个圆圈上，每相邻的三个数组成一个和数。试说明其中至
少有一个和数不小于17。
（反证）假设任意三个相邻的数之和都小于17即小于等于16。则10组之和应小于等于16X 10=160 ;
10 组之和即把10个数分别加了3次，又因为：3 （1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）=165>160
所以矛盾；故假设不成立，所以其中至少有一个和不小于17。
22. 某人步行10小时，走了45千米。已知他第一小时走了5千米，最后一小时走了3千米，其余每小时都走了整数千米。证明在中间8小时当中，一定存在连续的两小时，这人至少要走10千米。
这个人在中间的8小时内走了45-5-3=37(km)假设在中间的8个小时内他相邻2个小时内都走9km, 8个小时内一共有7组相邻，其中除去这8个小时内的前后两个小时，其他6个小时都有2次相邻，
这8个小时内的路程可得：7X 9-6 - 2 x 9=36km<37km一定存在连续的两小时，这人至少走了10千米。
23. 在1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12这12个自然数中，任意选取8个不同的数，其中必有两
对数，每对数的差是1。
构造6个抽屉{1,2}{3,4}{5,6}{7,8}{9,10}{11,12} 将八个不同的数放入六个抽屉，必有两对数，每
对的差是1。
24. 有红、黄、蓝、绿四色的小球各10个，混合放在一个布袋里。一次摸出8个小球，其中至少有几个小
球的颜色是相同的。
把红黄蓝绿四个小球看成四个抽屉，一次摸出八个小球放在抽屉里，8十4=2，其中至少有2个小球颜色相同。
25. 数学奥林匹克竞赛，全世界52个国家的308名选手参加了竞赛。按组委会规定，每个国家的选手不得
超过6名，至少有几个国家派6名选手参赛。
每个国家最多派出的运动员不超过6人，假设52个国家每个国家都派了5名，则剩下
308-52 X 5=48 (名)运动员。因为每个国家派出的运动员不超过6名，所以只好把48名运动员平均分到48个国家中去，也就是说，至少有48个国家派满了6名运动员。
26. 某中学有十位老师，每位至少与另外九位中的七位认识，我们必可从中找出几位，他们彼此认识。
用a(1),a(2),…,a(10) 表示10个人；a(1)不认识的至多2人，认识的人不少于7个，不妨假定a(1)
认识a(2) ; a(1)、a(2)中至少有一个人不认识的人至多4人，不妨假定a(1)、a(2)都认识a(3);
a(1)、a(2)、a(3)至少有一个人不认识人的至多6人，不妨假定a(1)、a(2)、a(3)都认识a(4);
则a(1)、a(2)、a(3)、a(4)互相认识；我们必可从中找出4位，他们彼此认识。
27. 袋子里有4种不同颜色的小球，每次摸出2个。要保证有10次所摸出的结果是一样的，至少要摸几次。
把1种不同的结果看成1个抽屉，至少要摸出9X 10+1=91 (次)
28. 某班有27名同学排成三路纵队外出参观，同学们都戴着红色或白色的太阳帽。在9个横排中，至多有几排同学所戴的帽子的颜色顺序不同。
每排三人，每排戴帽子的可能有8种，所以27人排成九个横排，必有两个横排所戴帽子顺序相同，
帽子颜色顺序不同的有:9-2=7排
180
29. 在平面内有1994条互不平行的直线。求证：一定有两条直线它们的夹角不大于度。
1994 如果平面内有3条互不平行的线，那么，要将最小的两条线的夹角为最大，就必须先让两条互相垂直，
夹角为90 °,然后再让另外一条线过交点，平分夹角，角度为45 ° , 45° <180度，
30
180 所以我们就说：平面里有3条互不平行的直线,求证一定有两条直线的夹角不大于-80度，
30
180 同理，可得平面里有1994条互不平行的直线，求证一定有两条直线的夹角不大于度。
1994
30. 设自然数n具有以下性质：从前n个自然数中任取21个，其中必有两个数的差是5。这样的n中最大是几？
设计20 个抽屉，且抽屉中两个数字之差为5：{1,6}{2,7}{3,8} ,, {35,40} ，n 的最大值为40。
小学六年级奥数题集锦 及答案
小学六年级奥数题集锦及答案 工程问题？ 1．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？ 2．修一条水渠，单独修，甲队需要20天完成，乙队需要30天完成。如果两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。现在计划16天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？ 3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。现在先请甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时？ 4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需17天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？ 5．师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了1/2时，徒弟完成了120个。当师傅完成了任务时，徒弟完成了4/5这批零件共有多少个？ 6．一批树苗，如果分给男女生栽，平均每人栽6棵；如果单份给女生栽，平均每人栽10棵。单份给男生栽，平均每人栽几棵？ 7．一个池上装有3根水管。甲管为进水管，乙管为出水管，20分钟可将满池水放完，丙管也是出水管，30分钟可将满池水放完。现在先打开甲管，当水池水刚溢出时，打开乙,丙两管用了18分钟放完，当打开甲管注满水是，再打开乙管，而不开丙管，多少分钟将水放完？ 8．某工程队需要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，问规定日期为几天？
小学六年级奥数专项练习 专题29 抽屉原理（一）
【理论基础】 如果给你5盒饼干，让你把它们放到4个抽屉里，那么可以肯定有一个抽屉里至少有2盒饼干。如果把4封信投到3个邮箱中，那么可以肯定有一个邮箱中至少有2封信。如果把3本联练习册分给两位同学，那么可以肯定其中有一位同学至少分到2本练习册。这些简单内的例子就是数学中的“抽屉原理”。 基本的抽屉原理有两条：（1）如果把x+k（k≥1）个元素放到x 个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有2个或2个以上的元素。（2）如果把m×x×k（x＞k≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有m+1个或更多个元素。 利用抽屉原理解题时要注意区分哪些是“抽屉”？哪些是“元素”？然后按以下步骤解答：a、构造抽屉，指出元素。b、把元素放入（或取出）抽屉。C、说明理由，得出结论。 本周我们先来学习第（1）条原理及其应用。 例题1 某校六年级有学生367人，请问有没有两个学生的生日是同一天？为什么？ 把一年中的天数看成是抽屉，把学生人数看成是元素。把367个元素放到366个抽屉中，至少有一个抽屉中有2个元素，即至少有两
个学生的生日是同一天。 平年一年有365天，闰年一年有366天。把天数看做抽屉，共366个抽屉。把367个人分别放入366个抽屉中，至少在一个抽屉里有两个人，因此，肯定有两个学生的生日是同一天。 练习1 1、某校有370名1992年出生的学生，其中至少有2个学生的生日是同一天，为什么？ 2、某校有30名学生是2月份出生的，能否至少有两个学生生日是在同一天？ 3、15个小朋友中，至少有几个小朋友在同一个月出生？ 例题2 某班学生去买语文书、数学书、外语书。买书的情况是：有买一本的、二本的、也有三本的，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每种书最多买一本）？ 首先考虑买书的几种可能性，买一本、二半、三本共有7种类型，把7种类型看成7个抽屉，去的人数看成元素。要保证至少有一个抽屉里有2人，那么去的人数应大于抽屉数。所以至少要去7+1=8（个）学生才能保证一定有两位同学买到相同的书。 买书的类型有：
六年级奥数专题找规律 关键词：四边三角内角规律四边形奥数等于 同学们从三年级开始，就陆续接触过许多“找规律”的题目，例如发现图形、数字或数表的变化规律，发现数列的变化规律，发现周期变化规律等等.这一讲的内容是通过发现某一问题的规律，推导出该问题的计算公式. 例1 求99边形的内角和. 分析与解：三角形的内角和等于180°，可是99边形的内角和怎样求呢？我们把问题简化一下，先求四边形、五边形、六边形……的内角和，找一找其中的规律. 如上图所示，将四边形ABCD分成两个三角形，每个三角形的内角和等于180°，所以四边形的内角和等于180°×2= 360°；同理，将五边形ABCDE分成三个三角形，得到五边形的内角和等于180°×3＝540°；将六边形ABCDEF分成四个三角形，得到六边形的内角和等于180°×4＝720°. 通过上面的图形及分析可以发现，多边形被分成的三角形数，等于边数减2.由此得到多边形的内角和公式： n边形的内角和=180°×（n-2）（n≥3）. 有了这个公式，再求99边形的内角和就太容易了.
99边形的内角和=180°×（99-2）＝17460°. 例2 四边形内有10个点，以四边形的4个顶点和这10个点为三角形的顶点，最多能剪出多少个小三角形？ 分析与解：在10个点中任取一点A，连结A与四边形的四个顶点，构成4个三角形.再在剩下的9个点中任取一点B.如果B在某个三角形中，那么连结B与B所在的三角形的三个顶点，此时三角形总数增加2个（见左下图）.如果B在某两个三角形的公共边上，那么连结B与B所在边相对的顶点，此时三角形总数也是增加2个（见右下图）. 类似地，每增加一个点增加2个三角形. 所以，共可剪出三角形 4＋ 2× 9= 22（个）. 如果将例2的“10个点”改为n个点，其它条件不变，那么由以上的分析可知，最多能剪出三角形4＋2×（n-1）=2n＋2=2×（n＋1）（个）. 同学们都知道圆柱体，如果将圆柱体的底面换成三角形，那么便得到了三棱柱（左下图）；同理可以得到四棱柱（下中图），五棱柱（右下图）. 如果底面是正三角形、正四边形、正五边形……那么相应的柱体就是正三棱柱、正四棱柱、正五棱柱……
第五讲抽屉原理二 本讲知识点汇总： 一、最不利原则：为了保．证．能完成一件事情，需要考虑在最倒霉（最不利）的情况下，如何能 达到目标． 二、抽屉原理： 形式1：把n 1个苹果放到n个抽屉中，一定有2个苹果放在一个抽屉里； 形式2：把m n 1个苹果放到n 个抽屉中，一定有m 1个苹果放在一个抽屉里． 例1．中国奥运代表团的173 名运动员到超市买饮料，已知超市有可乐、雪碧、芬达、橙汁、味全和矿泉水 6 种饮料，每人各买两种不同的饮料，那么至少多少人买的饮料完全相同？「分析」本题的“抽屉”是饮料的选法，“苹果”是 1 73名运动员． 练习1、中国奥运代表团的83 名运动员到超市买饮料．超市有可乐、雪碧、芬达和橙汁，每人各买两种不同的饮料，那么至少多少人买的饮料完全相同？ 例2．国庆嘉年华共有5项游艺活动，每个学生至多参加2项，至少参加1项．那么至少有多少个学生，才能保证至少有 4 个人参加的活动完全相同？「分析」本题的“抽屉”是参加活动的方法． 练习2、高思运动会共有 4 个项目，每个学生至多参加3项，至少参加 1 项．那么至少有多少个学生，才能保证至少有 5 个人参加的活动完全相同？
例3．从1到50这50个自然数中，至少选出多少个数，才能保证其中一定有两个数的和是50？ 「分析」思考一下：哪两个数的和是50？ 练习3、从1到35这35 个自然数中，至少选出多少个数才能保证其中一定有两个数的和为34？ 例4．从1到100这100个自然数中，至少选出多少个数才能保证其中一定有两个数的和是7的倍数？如果要保证是 6 的倍数呢？「分析」两个数的和是7 的倍数，这两个数除以7 的余数要符合什么条件哪？ 练习4、从1至99这99 个自然数中任意取出一些数，要保证其中一定有两个数的和是 5 的倍数，至少要取多少个？ 例5．至少取出多少个正整数，才能保证其中一定有两个整数的和或差是100 的倍数？ 「分析」从余数角度思考一下：什么样的两个数的和或差是100？ 例6．在边长为 2 的正六边形中，放入50 个点，任意三点不共线，请证明：一定能从中选出三个点，以它们为顶点的三角形面积不大于 「分析」通过把正六边形均分，来构造“抽屉” 1．
知识导航： 把数列的第1项记为1a ，第2项记为2a ，……第n 项记为n a ，相邻两项的差（常数）记为d ，则有d a a +=12；d a d a a 2123+=+=；d a d a d a a 321234+=+=+=；……d n a a n )1(1-+= 2)1(2)(11321÷-?+?=÷+?=+???+++=d n n a n a a n a a a a s n n n 1、在???、、、、、14 5114835221这一列数中的第8个数是 2、观察规律填写第五、第六个数：1、4、7、10、 、 。 3、在8与36之间插入6个数，使它们同这两个数成等差数列。 4、已知一个等差数列的首项为5，公差是2，那么它的第10项、第15项各是多少？ 5、梯子的最高一级宽32cm ，最低一级宽110cm ，中间还有9级，各级的宽度成等差数列，计算当中一级的宽。
知识导航： 把数列的第1项记为1a ，第2项记为2a ，……第n 项记为n a ，相邻两项的比记为q ，则有q a a 12=；2123q a q a a ==；3134q a q a a ==；……11-=n n q a a q q a q a q a a a a a s n n n n --=-?-=+???+++=1)1(111321 1、根据规律填空：3、5、9、17、 、65。 2、观察算式，填入括号内 19=1×9+（1+9）；29=2×9+（2+9）；39=3×9+（3+9）； 那么1289= =N ×9+（N+9） 3、在一列数2，2，4，8，2，…中，从第3个数开始，每个数都是它前面两个数的乘积的个位数字。按这个规律，这列数中的第2004个数是 。 4、根据下列数字排列规律写出第6个数：2，3，29，4 27，…。 找规律填数
学习好资料欢迎下载 十八抽屉原理(1) 年级班姓名得分 一、填空题 1.一个联欢会有 100 人参加 , 每个人在这个会上至少有一个朋友 . 那么这 100 人中至少有个人的朋友数目相同 . 2.在明年 ( 即 1999 年 ) 出生的 1000 个孩子中 , 请你预测 : (1) 同在某月某日生的孩子至少有个 . (2) 至少有个孩子将来不单独过生日 . 3.一个口袋里有四种不同颜色的小球 . 每次摸出 2 个 , 要保证有 10 次所摸的 结果是一样的 , 至少要摸次. 4.有红、黄、蓝三种颜色的小珠子各 4 颗混放在口袋里 , 为了保证一次能取 到 2 颗颜色相同的珠子 , 一次至少要取颗 . 2 颗, 那么一定至少要取出 如果要保证一次取到两种不同颜色的珠子各 颗 . 5.从 1,2,3 ,12 这十二个数字中 , 任意取出 7 个数 , 其中两个数之差是 6 的 至少有对. 6.某省有 4 千万人口 , 每个人的头发根数不超过 15 万根 , 那么该省中至少有人 的头发根数一样多 . 7.在一行九个方格的图中 , 把每个小方格涂上黑、白两种颜色中的一种 , 那么 涂色相同的小方格至少有个. 8. 一付扑克牌共有54 张 ( 包括大王、小王 ), 至少从中取张牌,才能保证其中必有 3 种花色 . 9.五个同学在一起练习投蓝 , 共投进了 41 个球 , 那么至少有一个人投进了 个球 . 10.某班有 37 名小学生 , 他们都订阅了《小朋友》、《儿童时代》、《少年报》中的一种或几种 , 那么其中至少有名学生订的报刊种类完全相同. 二、解答题 11. 任给 7 个不同的整数 , 求证其中必有两个整数 , 它们的和或差是10 的倍数 . 12.在边长为 1 的正方形内任取 51 个点 , 求证 : 一定可以从中找出 3 点, 以它们为顶点的三角形的面积不大于 1/50. 13.某幼儿园有 50 个小朋友 , 现在拿出 420 本连环画分给他们 , 试证明 : 至少有4 个小朋友分到连环画一样多 ( 每个小朋友都要分到连环画 ). 2, 或 3, 要使每 14. 能否在 8 8 的棋盘上的每一个空格中分别填入数字1, 或 行、每列及两条对角线上的各个数字之和互不相同?请说明理由 .
六年级奥数专题：找规律 同学们从三年级开始，就陆续接触过许多“找规律”的题目，例如发现图形、数字或数表的变化规律，发现数列的变化规律，发现周期变化规律等等。这一讲的内容是通过发现某一问题的规律，推导出该问题的计算公式。 例1 求99边形的内角和。 分析与解：三角形的内角和等于180°，可是99边形的内角和怎样求呢？我们把问题简化一下，先求四边形、五边形、六边形……的内角和，找一找其中的规律。 如上图所示，将四边形ABCD分成两个三角形，每个三角形的内角和等于180°，所以四边形的内角和等于180°×2= 360°；同理，将五边形ABCDE分成三个三角形，得到五边形的内角和等于180°×3＝540°；将六边形ABCDEF分成四个三角形，得到六边形的内角和等于180°×4＝720°。 通过上面的图形及分析可以发现，多边形被分成的三角形数，等于边数减2。由此得到多边形的内角和公式： n边形的内角和=180°×（n-2）（n≥3）。 有了这个公式，再求99边形的内角和就太容易了。 99边形的内角和=180°×（99-2）＝17460°。 例2 四边形内有10个点，以四边形的4个顶点和这10个点为三角形的顶点，最多能剪出多少个小三角形？ 分析与解：在10个点中任取一点A，连结A与四边形的四个顶点，构成4个三角形。再在剩下的9个点中任取一点B。如果B在某个三角形中，那么连结B与B所在的三角形的三个顶点，此时三角形总数增加2个（见左下图）。如果B在某两个三角形的公共边上，那么连结B与B所在边相对的顶点，此时三角形总数也是增加2个（见右下图）。 类似地，每增加一个点增加2个三角形。 所以，共可剪出三角形 4＋2× 9= 22（个）。 如果将例2的“10个点”改为n个点，其它条件不变，那么由以上的分析可知，最多能剪出三角形 4＋2×（n-1）=2n＋2=2×（n＋1）（个）。 同学们都知道圆柱体，如果将圆柱体的底面换成三角形，那么便得到了三棱柱（左下图）；同理可以得到四棱柱（下中图），五棱柱（右下图）。 如果底面是正三角形、正四边形、正五边形……那么相应的柱体就是正三棱柱、正四棱
小学六年级数学抽屉原理练习题 1．木箱里装有红色球３个、黄色球５个、蓝色球７个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？ 解：把３种颜色看作３个抽屉，若要符合题意，则小球的数目必须大于３，故至少取出４个小球才能符合要求. 2．一幅扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数？ 解：点数为1(A)、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11(J)、12(Q)、13(K)的牌各取1张，再取大王、小王各1张，一共15张，这15张牌中，没有两张的点数相同.这样，如果任意再取1张的话，它的点数必为1～13中的一个，于是有2张点数相 同. 3．11名学生到老师家借书，老师是书房中有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本.试证明：必有两个学生所借的书的类型相同. 证明：若学生只借一本书，则不同的类型有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四种，若学生借两本不同类型的书，则不同的类型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六种.共有10种类型，把这10种类型看作10个“抽屉”，把11个学生看作11个“苹果”.如果谁借哪种类型的书，就进入哪个抽屉，由抽屉原理，至少有两个学生，他们所借的书的类型相 同. 4．有50名运动员进行某个项目的单循环赛，如果没有平局，也没有全胜，试证明：一定有两个运动员积分相同. 证明：设每胜一局得一分，由于没有平局，也没有全胜，则得分情况只有1、2、3……49，只有49种可能，以这49种可能得分的情况为49个抽屉，现有50名运动员得分，则一定有两名运动员得分相同. 5．体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班50名同学来仓库拿球，规定每个人至少拿１个球，至多拿２个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致 的？ 解题关键：利用抽屉原理２. 解：根据规定，多有同学拿球的配组方式共有以下９种：﹛足﹜﹛排﹜﹛蓝﹜﹛足足﹜﹛排排﹜﹛蓝蓝﹜﹛足排﹜﹛足蓝﹜﹛排蓝﹜.以这９种配组方式制造９个抽屉，将这50个同学看作苹果50÷9 ＝5 (5) 由抽屉原理２k＝［m/n ］＋１可得，至少有６人，他们所拿的球类是完全一致的. 6．某校有55个同学参加数学竞赛，已知将参赛人任意分成四组，则必有一组的女生多于2人，又知参赛者中任何10人中必有男生，则参赛男生的人生为 __________人. 解：因为任意分成四组，必有一组的女生多于2人，所以女生至少有4×2＋1＝9（人）；因为任意10人中必有男生，所以女生人数至多有9人.所以女生有9人，男生有55－9＝46（人）
一．知识的回顾 1.工厂原有职工128人，男工人数占总数的1 4 ，后来又调入男职工若干人，调入后男工人数占总人数的 2 5 ，这时工厂共有职工 人． 【解析】 在调入的前后，女职工人数保持不变．在调入前，女职工人数为1 128(1)964 ?-=人， 调入后女职工占总人数的23155-=，所以现在工厂共有职工3 961605 ÷=人． 2.有甲、乙两桶油，甲桶油的质量是乙桶的5 2 倍，从甲桶中倒出5千克油给乙桶后，甲桶油的质量是乙桶的 4 3 倍，乙桶中原有油 千克． 【解析】 原来甲桶油的质量是两桶油总质量的55 527 =+，甲桶中倒出5千克后剩下的油的 质量是两桶油总质量的44 437 =+，由于总质量不变，所以两桶油的总质量为 545()3577÷-=千克，乙桶中原有油2 35107 ?=千克． 【例 2】 （1）某工厂二月份比元月份增产10％，三月份比二月份减产10％．问三月份比 元月份增产了还是减产了？（2）一件商品先涨价15％，然后再降价15％，问现在的价格和原价格比较升高、降低还是不变？ 【解析】 （1）设二月份产量是1，所以元月份产量为： ()10 11+10%= 11 ÷，三月份产量为：110%=0.9-，因为 10 11 ＞0.9，所以三月份比元月份减产了 （2）设商品的原价是1，涨价后为1+15%=1.15，降价15%为： ()1.15115%=0.9775?-，现价和原价比较为：0.9775＜1，所以价格比较后是价 降低了。
【巩固】 把100个人分成四队，一队人数是二队人数的1 13倍，一队人数是三队人数的11 4 倍，那么四队有多少个人? 【解析】 方法一：设一队的人数是“1”，那么二队人数是：1 3 113 4 ÷= ，三队的人数是：141145÷=，345114520++= ，因此，一、二、三队之和是：一队人数51 20 ?，因为人数是整数，一队人数一定是20的整数倍，而三个队的人数之和是51?(某一整 数)， 因为这是100以内的数，这个整数只能是1．所以三个队共有51人，其中一、二、三队各有20，15，16人．而四队有：1005149-=(人)． 方法二：设二队有3份，则一队有4份；设三队有4份，则一队有5份.为统一一队所以设一队有[4,5]20=份，则二队有15份，三队有16份，所以三个队之和为 15162051++=份，而四个队的份数之和必须是100的因数，因此四个队份数之和是100份，恰是一份一人，所以四队有1005149-=人(人). 【例 3】 新光小学有音乐、美术和体育三个特长班，音乐班人数相当于另外两个班人数的 25，美术班人数相当于另外两个班人数的3 7，体育班有58人，音乐班和美术班各有多少人？ 【解析】 条件可以化为：音乐班的人数是所有班人数的22 527 =+，美术班的学生人数是所 有班人数的33 7310 =+，所以体育班的人数是所有班人数的2329171070--=，所以所 有班的人数为295814070 ÷=人，其中音乐班有2 140407?=人，美术班有 3 1404210 ?=人.
抽屉原理 知识要点 1.抽屉原理的一般表述 (1)假设有3个苹果放入2个抽屉中，必然有一个抽屉中至少有2个苹果。它的一般表述为： 第一抽屉原理：(mn＋1)个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至少有(m＋1)个物体。 (2)若把3个苹果放入4个抽屉中，则必然有一个抽屉空着。它的一般表述为： 第二抽屉原理：(mn－1)个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至多有(m－1)个物体。 2.构造抽屉的方法 常见的构造抽屉的方法有：数的分组、染色分类、图形的分割、剩余类等等。 例1自制的一副玩具牌共计52张(含四种牌：红桃、红方、黑桃、黑梅，每种牌都有1点，2点， (13) 点牌各一张)，洗好后背面朝上放。一次至少抽取张牌，才能保证其中必定有2张牌的点数和颜色都相同。如果要求一次抽出的牌中必定有3张牌的点数是相邻的(不计颜色)，那么至少要取张牌。 点拨对于第一问，最不利的情况是两种颜色都取了1～13点各一张，此时再抽一张，这张牌必与已抽取的某张牌的颜色与点数都相同。 点拨对于第二问，最不利的情况是：先抽取了1，2，4，5，7，8，10，11，13各4张，此时再取一张，这张牌的点数是3，6，9，12中的一张，在已抽取的牌中必有3张的点数相邻。 解(1)13×2＋1＝27(张)(2)9×4＋1＝37(张) 例2 证明：37人中，(1)至少有4人属相相同；(2)要保证有5人属相相同，但不保证有6人属相相同，那么人的总数应在什么范围内？ 点拨可以把12个属相看做12个抽屉，根据第一抽屉原理即可解决。 解 (1)因为37÷12＝3……1，所以，根据第一抽屉原理，至少有3＋1＝4(人)属相相同。 (2)要保证有5人的属相相同的最少人数为4×12＋1＝49(人) 不保证有6人属相相同的最多人数为5×12＝60(人)所以，总人数应在49人到60人的范围内。例3有一副扑克牌共54张，问：至少摸出多少张才能保证：(1)其中有4张花色相同？(2)四种花色都有？点拨首先我们要弄清楚一副扑克牌有2张王牌，四种花色，每种有13张。(1)按最不利原则先取出2张为王牌，再取4张均不同花色，再连续取两次4张也均不同花色，这时必能保证每一花色都有3张，再取1张即可达到要求。(2)仍需按最不利原则去取牌，先是2张王牌，接着依次把三种花色的牌全部取出13×3，这时假设仍是没有四种花色，再取1张即可。 解 (1)2＋4×3＋1＝15(张) (2)2＋13×3＋1＝42(张) 例 4 学校买来红、黄、蓝三种颜色的球，规定每位学生最多可以借两种不同颜色的球。那么至少要来几名学生借球，就能保证必有两名学生借的球的颜色完全相同？ 点拨根据题中“最多可借两种不同颜色的球”，可知最多有以下6种情况： 解借球有6种情况，看做6个抽屉， 所以至少要来7名学生借球，才能保证。 例5 从前面30个自然数中最少要取出几个数，才能保证取出的数中能找到两个数，其中较大的数是较小
小学六年级奥数 简便运算专题（一） 一、考点、热点回顾 根据算式的结构和特征，灵活运用运算法则、定律、性质和某些公式，可以把比较复杂的四则混合运算化繁为简，化难为易。 四则混合运算法则：先算括号，再乘除后加减，同级间依次计算 加法交换律：a b b a +=+ 加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ 乘法交换律：ba ab = 乘法结合律：)()(bc a c ab = 乘法分配律：bc ab c b a +=+)( 乘法结合律:)(c b a bc ab +=+ 除法分配律：c b c a c b a ÷+÷=÷+)( c b a c b c a ÷+=÷+÷)( ※没有)(c b a +÷=c a b a ÷+÷和c a b a ÷+÷=)(c b a +÷ 减法性质：从一个数里连续减去两个数，可以减去这两个数的和，也可以先减去第二个数，再减去第一个数。 b c a c b a c b a --=+-=--)( 二、典型例题 例1：计算)37.125.8(63.975.4-+- )38.648.2(17.348.7--+ 练习1：计算511)9518.3(957 -+- 例2：计算4 1666617907921333387?+?
练习2 计算 7.21111.07.09999.0?+? 例3：计算3.672.109.136?+? 练习3：计算8.562.108.148?+? 例4：计算 5 269.37522553 3?+? 练习4：计算2.33.198.168.6?+? 例5：计算5.186.678.515.818.155.81?+?+?
六年级奥数举一反三第30周抽 屉原理 专题简析； 在抽屉原理的第【2】条原则中，抽屉中的元素个数随着元素总数的增加而增加，当元素总数达到抽屉数的若干倍后，可用抽屉数除元素总数，写成下面的等式； 元素总数=商×抽屉数+余数 如果余数不是0，则最小数=商+1；如果余数正好是0，则最小数=商。 例题1； 幼儿园里有120个小朋友，各种玩具有364件。把这些玩具分给小朋友，是否有人会得到4件或4件以上的玩具？ 把120个小朋友看做是120个抽屉，把玩具件数看做是元素。则364=120×3+4，4＜120。根据抽屉原理的第【2】条规则；如果把m×x×k【x＞k≥1】个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有m+1个或更多个元素。可知至少有一个抽屉里有3+1=4个元素，即有人会得到4件或4件以上的玩具。 练习1； 1·一个幼儿园大班有40个小朋友，班里有各种玩具125件。把这些玩具分给小朋友，是否有人会得到4件或4件以上的玩具？ 2·把16枝铅笔放入三个笔盒里，至少有一个笔盒里的笔不少于6枝。这是为什么？ 3·把25个球最多放在几个盒子里，才能至少有一个盒子里有7个球？ 例题2； 布袋里有4种不同颜色的球，每种都有10个。最少取出多少个球，才能保证其中一定有3个球的颜色一样？ 把4种不同颜色看做4个抽屉，把布袋中的球看做元素。根据抽屉原理第【2】条，要使其中一个抽屉里至少有3个颜色一样的球，那么取出的球的个数应比抽屉个数的2倍多1。即2×4+1=9【个】球。列算式为 【3—1】×4+1=9【个】 练习2； 1·布袋里有组都多的5种不同颜色的球。最少取出多少个球才能保证其中一定有3个颜色一样的球？ 2·一个容器里放有10块红木块·10块白木块·10块蓝木块，它们的形状·大小都一样。当你被蒙上眼睛去容器中取出木块时，为确保取出的木块中至少有4块颜色相同，应至少取出多少块木块？ 3·一副扑克牌共54张，其中1—13点各有4张，还有两张王的扑克牌。至少要取出几张牌，才能保证其中必有4张牌的点数相同？ 例题3； 某班共有46名学生，他们都参加了课外兴趣小组。活动内容有数学·美术·书法和英
抽屉原理 专题简析： 如果给你5盒饼干，让你把它们放到4个抽屉里，那么可以肯定有一个抽屉里至少有2盒饼干。如果把4封信投到3个邮箱中，那么可以肯定有一个邮箱中至少有2封信。如果把3本联练习册分给两位同学，那么可以肯定其中有一位同学至少分到2本练习册。这些简单内的例子就是数学中的“抽屉原理”。 基本的抽屉原理有两条：（1）如果把x+k（k≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有2个或2个以上的元素。（2）如果把m×x×k（x＞k≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有m+1个或更多个元素。 利用抽屉原理解题时要注意区分哪些是“抽屉”？哪些是“元素”？然后按以下步骤解答：a、构造抽屉，指出元素。b、把元素放入（或取出）抽屉。C、说明理由，得出结论。 例题1： 某校六年级有学生367人，请问有没有两个学生的生日是同一天？为什么？ 练习1： 1、某校有370名1992年出生的学生，其中至少有2个学生的生日是同一天，
为什么？ 2、某校有30名学生是2月份出生的，能否至少有两个学生生日是在同一天？ 3、15个小朋友中，至少有几个小朋友在同一个月出生？ 例题2： 某班学生去买语文书、数学书、外语书。买书的情况是：有买一本的、二本的、也有三本的，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每种书最多买一本）？ 练习2：
1、某班学生去买语文书、数学书、外语书、美术书、自然书。买书的情况是：有买一本的、二本的、三本或四本的。，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每种书最多买一本）？ 2、学校图书室有历史、文艺、科普三种图书。每个学生从中任意借两本，那么至少要几个同学才能保证一定有两人所借的图书属于同一种？ 3、一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的玻璃珠子，颜色有绿、红、黄三种，问最少要取出多少个珠子才能保证有两个同色的？ 例题3： 一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种。问最少要摸出多少只手套才能保证有3副同色的？
六年级奥数专题十六：找规律 关键词：四边三角五边形内角规律六边形四边形奥数三角形等于 同学们从三年级开始，就陆续接触过许多“找规律”的题目，例如发现图形、数字或数表的 变化规律，发现数列的变化规律，发现周期变化规律等等。这一讲的内容是通过发现某一问题的规律，推导出该问题的计算公式。 例1求99边形的内角和。 分析与解：三角形的内角和等于180°,可是99边形的内角和怎样求呢我们把问题简 化一下，先求四边形、五边形、六边形的内角和，找一找其中的规律。 如上图所示，将四边形ABCD分成两个三角形，每个三角形的内角和等于180°,所以 四边形的内角和等于180°X 2= 360°;同理，将五边形ABCDE分成三个三角形，得到五边形的内角和等于180°X 3= 540 °;将六边形ABCDE分成四个三角形，得到六边形的内角和等于180°X 4= 720°。 通过上面的图形及分析可以发现，多边形被分成的三角形数，等于边数减2。由此得到 多边形的内角和公式： n边形的内角和=180°x( n-2 )(n》3)。
有了这个公式，再求99边形的内角和就太容易了。 99 边形的内角和=180°X（99-2 ）= 17460°。 例2四边形内有10个点，以四边形的4个顶点和这10个点为三角形的顶点，最多能剪出多少个小三角形 分析与解：在10个点中任取一点A,连结A与四边形的四个顶点，构成4个三角形。再在剩下的9个点中任取一点Bo如果B在某个三角形中，那么连结B与B所在的三角形的三个顶点，此时三角形总数增加2个（见左下图）。如果B在某两个三角形的公共边上，那 么连结B与B所在边相对的顶点，此时三角形总数也是增加2个（见右下图）。 类似地，每增加一个点增加2个三角形。 所以，共可剪出三角形4 + 2 X 9= 22 （个）。 如果将例2的“10个点”改为n个点，其它条件不变，那么由以上的分析可知，最多 能剪出三角形 4+ 2X（n-1 ）=2n+ 2=2X（n+ 1）（个）。 同学们都知道圆柱体，如果将圆柱体的底面换成三角形，那么便得到了三棱柱（左下图）； 同理可以得到四棱柱（下中图），五棱柱（右下图）。
六年级奥数举一反三第29周抽屉原理 专题简析; 如果给你5盒饼干，让你把它们放到4个抽屉里，那么可以肯定有一个抽屉里至少有2盒饼干。如果把4封信投到3个邮箱中，那么可以肯定有一个邮箱中至少有2封信。如果把3本联练习册分给两位同学，那么可以肯定其中有一位同学至少分到2本练习册。这些简单内的例子就是数学中的“抽屉原理”。 基本的抽屉原理有两条;（1）如果把x+k（k≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有2个或2个以上的元素。（2）如果把m×x×k（x＞k≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有m+1个或更多个元素。 利用抽屉原理解题时要注意区分哪些是“抽屉”？哪些是“元素”？然后按以下步骤解答;a·构造抽屉，指出元素。b·把元素放入（或取出）抽屉。C·说明理由，得出结论。 本周我们先来学习第（1）条原理及其应用。 例题1; 某校六年级有学生367人，请问有没有两个学生的生日是同一天？为什么？ 把一年中的天数看成是抽屉，把学生人数看成是元素。把367个元素放到366个抽屉中，至少有一个抽屉中有2个元素，即至少有两个学生的生日是同一天。 平年一年有365天，闰年一年有366天。把天数看做抽屉，共366个抽屉。把367个人分别放入366个抽屉中，至少在一个抽屉里有两个人，因此，肯定有两个学生的生日是同一天。 练习1; 1·某校有370名1992年出生的学生，其中至少有2个学生的生日是同一天，为什么？ 2·某校有30名学生是2月份出生的，能否至少有两个学生生日是在同一天？ 3·15个小朋友中，至少有几个小朋友在同一个月出生？ 例题2; 某班学生去买语文书·数学书·外语书。买书的情况是;有买一本的·二本的·也有三本的，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每种书最多买一本）？ 首先考虑买书的几种可能性，买一本·二半·三本共有7种类型，把7种类型看成7个抽屉，去的人数看成元素。要保证至少有一个抽屉里有2人，那么去的人数应大于抽屉数。所以至少要去7+1=8（个）学生才能保证一定有两位同学买到相同的书。 买书的类型有; 买一本的;有语文·数学·外语3种。 买二本的;有语文和数学·语文和外语·数学和外语3种。 买三本的;有语文·数学和外语1种。 3+3+1=7（种）把7种类型看做7个抽屉，要保证一定有两位同学买到相同的书，至少要去8位学生。 练习2;
6 45 3 5 7 28 7 2 4 3 6 第四章 找 规 律 姓名（ ） 找规律是解决问题的一种重要的手段，找规律需要有敏锐的观察力、严密的逻辑推理能力。找规律一般分为图形找规律和数之间找规律，观察图形中的变化规律，可以从图形的形状、位置、方向、颜色、数量、大小等方面入手，从中找出规律。观察数字的规律从数的组成、数列关系等方面着手。 例1、下面一组图形的阴影变化是有规律的,请根据这个规律把第四幅图的阴影部分画出来. 例2：观察右图，并按规律填出空白处的图形。 例3：根据下面的图和字母的关系，将ad 的图补上。 例4：根据规律填数。 例5、下图所示的两组图形中的数字都有各自的规律，先把规律找出来，再把空缺的数字填上： （1） ab cd bc ad 36 25 543 71 68 857 45 38 824 32 19
（2） 例6：仔细观察下图，根据规律填出所缺的数。 例7：下面三块正方体的六个面，都是按相同的规律涂有红、黄、蓝、白、黑、绿六种颜色。那么请你根据这一规律，白色的对面是什么颜色？红色的对面是什么颜色？黄色的对面是什么颜色？ （1） （2） （3） 练习： 1、下面括号里两个数按一定规律组合，在（ ）里填上适当的数。 （1）、（8，7）、（6，9）（10、5）、（ 、13 ）。 （2）、（2，3）、（5，9）、（7、13）、（ 、23 ）。 （3）、（18，10）、（10，6）、（20、11）、（ 、4 （4）、 1、 2、 3、 6、 11、 20、（ ） 2、仔细观察一右图，并按它的变化规律， 在“？”处填上适当的图。 3、在右图空格里填数 白 黑 黄 绿 白 红 黄 蓝 红 ？ 3 12 6 4 16 8 5 20 6 12
一、 知识点介绍 抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决． 二、 抽屉原理的定义 （1）举例 桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。 （2）定义 一般情况下，把n ＋1或多于n ＋1个苹果放到n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。我们称这种现象为抽屉原理。 三、 抽屉原理的解题方案 （一）、利用公式进行解题 苹果÷抽屉＝商……余数 余数：（1）余数＝1， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （2）余数＝x ()()1 1x n -， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （3）余数＝0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里 （二）、利用最值原理解题 将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法． 知识框架 抽屉原理
重难点 抽屉原理是一种特殊的思维方法，不但可以根据它来做出许多有趣的推理和判断，同时能够帮助同学证明很多看似复杂的问题。本讲的主要教学目标是： （1）理解抽屉原理的基本概念、基本用法； （2）掌握用抽屉原理解题的基本过程； （3）能够构造抽屉进行解题； （4）利用最不利原则进行解题； （5）利用抽屉原理与最不利原则解释并证明一些结论及生活中的一些问题。 例题精讲 （一）、直接利用公式进行解题 （1）求结论 【例 1】6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有1只，一定有一个笼子里有2只鸽子．对吗 【巩固】年级一班学雷锋小组有13人．教数学的张老师说：“你们这个小组至少有2个人在同一月过生日．”你知道张老师为什么这样说吗
小 学 六 年 级 奥 数 讲 义 规 律 探 索 ※1、数一数，右图中共有（ ）个三角形。 A 、19 B 、35 C 、17 2、一张纸上有7个不同的点，这些点可以连接成（ ）条线段。 3、、根据下图所示的（1），（2），（3）三个图所表示的规律，依次下去第5个图中平行四边形的个数是（ ） ※4、有7家中国公司，4家美国公司，2家法国公司参加国际会议洽谈贸易，彼此都希望与异国的每家公司单独洽谈一次，要安排（ ）次会谈场次。 ※5、……的循环节是（ ），小数点后第2011位数是（ ） ※6、 把▼.●.■按▼●●■■■▼●●■■■▼●●■■■……规律排列，那么第50个●排在从左往右的第（ ）位。 7观察下列图形的排列规律（其中☆，□，●分别表示五角星、正方形、圆）．●□☆●●□☆●□☆●●□☆●若第一个图形是圆，则第2011个图形是 （填名称）． …… （1 （2 （3
8、根据下列图形的排列规律，第2010个图形是福娃（填写福娃名称即可）． 9、将自然数按以下规律排列，则2012所在的位置是第行第列。 第一列第二列第三列第四列… 第一行 1 2 9 10 … 第二行 4 3 8 11 … 第三行 5 6 7 12 … 第四行16 15 14 13 … 第五行17 … … 10、将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，……如此继续下去，结果如下表： 所剪次数1234n 正三角形个数471013…a 剪10次后，有个小小正三角形 11、下图由边长为1厘米的正六边形排列而成。其中每个黑色六边形与6个白色六边形相邻。若一共有35个黑色六边形，则共有几个( )白色六边形。
抽屉原理 知识框架 一、 知识点介绍 抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决． 二、 抽屉原理的定义 （1）举例 桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。 （2）定义 一般情况下，把n ＋1或多于n ＋1个苹果放到n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。我们称这种现象为抽屉原理。 三、 抽屉原理的解题方案 （一）、利用公式进行解题 苹果÷抽屉＝商……余数 余数：（1）余数＝1， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （2）余数＝x ()()1 1x n -， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （3）余数＝0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里 （二）、利用最值原理解题 将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法． 重难点 抽屉原理是一种特殊的思维方法，不但可以根据它来做出许多有趣的推理和判断，同时能够帮助同学证明很多看似复杂的问题。本讲的主要教学目标是： （1） 理解抽屉原理的基本概念、基本用法； （2） 掌握用抽屉原理解题的基本过程； （3） 能够构造抽屉进行解题；
（4）利用最不利原则进行解题； （5）利用抽屉原理与最不利原则解释并证明一些结论及生活中的一些问题。 例题精讲 （一）、直接利用公式进行解题 （1）求结论 【例 1】6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有1只，一定有一个笼子里有2只鸽子．对吗？ 【考点】抽屉原理【难度】1星【题型】解答 【解析】6只鸽子要飞进5个笼子，如果每个笼子装1只，这样还剩下1只鸽子．这只鸽子可以任意飞进其中的一个笼子，这样至少有一个笼子里有2只鸽子．所以这句话是正确的． 利用刚刚学习过的抽屉原理来解释这个问题，把鸽笼看作“抽屉”，把鸽子看作“苹果”，6511 ÷=，112 +=（只）把6个苹果放到5个抽屉中，每个抽屉中都要有1个苹果，那么肯定有一个抽屉中有两个苹果，也就是一定有一个笼子里有2只鸽子． 【答案】对 【巩固】年级一班学雷锋小组有13人．教数学的张老师说：“你们这个小组至少有2个人在同一月过生日．” 你知道张老师为什么这样说吗？ 【考点】抽屉原理【难度】1星【题型】解答 【解析】略． 【总结】题目中并没有说明什么是“抽屉”，什么是“物品”，解题的关键是制造“抽屉”，确定假设的“物品”，根据“抽屉少，物品多”转化为抽屉原理来解． 【答案】从题目可以看出，这道题显然与月份有关．我们知道，一年有12个月，把这12个月看成12个抽屉，这道题就相当于把13个苹果放入12个抽屉中．根据抽屉原理，至少有一个抽屉放了两个苹果．因此至少有两个同学在同一个月过生日． 【例 2】人的头发平均有12万根，如果最多不超过20万根，那么13亿中国人中至少有人的头发的根数相同。