抽屉原理
知识框架
一、 知识点介绍
抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决．
二、 抽屉原理的定义
（1）举例
桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。 （2）定义
一般情况下，把n ＋1或多于n ＋1个苹果放到n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。我们称这种现象为抽屉原理。
三、 抽屉原理的解题方案
（一）、利用公式进行解题 苹果÷抽屉＝商……余数
余数：（1）余数＝1， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （2）余数＝x ()()1
1x
n -， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里
（3）余数＝0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里 （二）、利用最值原理解题
将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法．
重难点
抽屉原理是一种特殊的思维方法，不但可以根据它来做出许多有趣的推理和判断，同时能够帮助同学证明很多看似复杂的问题。本讲的主要教学目标是： （1） 理解抽屉原理的基本概念、基本用法； （2） 掌握用抽屉原理解题的基本过程； （3） 能够构造抽屉进行解题；
（4）利用最不利原则进行解题；
（5）利用抽屉原理与最不利原则解释并证明一些结论及生活中的一些问题。
例题精讲
（一）、直接利用公式进行解题
（1）求结论
【例 1】6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有1只，一定有一个笼子里有2只鸽子．对吗？
【考点】抽屉原理【难度】1星【题型】解答
【解析】6只鸽子要飞进5个笼子，如果每个笼子装1只，这样还剩下1只鸽子．这只鸽子可以任意飞进其中的一个笼子，这样至少有一个笼子里有2只鸽子．所以这句话是正确的．
利用刚刚学习过的抽屉原理来解释这个问题，把鸽笼看作“抽屉”，把鸽子看作“苹果”，6511
÷=，112
+=（只）把6个苹果放到5个抽屉中，每个抽屉中都要有1个苹果，那么肯定有一个抽屉中有两个苹果，也就是一定有一个笼子里有2只鸽子．
【答案】对
【巩固】年级一班学雷锋小组有13人．教数学的张老师说：“你们这个小组至少有2个人在同一月过生日．”
你知道张老师为什么这样说吗？
【考点】抽屉原理【难度】1星【题型】解答
【解析】略．
【总结】题目中并没有说明什么是“抽屉”，什么是“物品”，解题的关键是制造“抽屉”，确定假设的“物品”，根据“抽屉少，物品多”转化为抽屉原理来解．
【答案】从题目可以看出，这道题显然与月份有关．我们知道，一年有12个月，把这12个月看成12个抽屉，这道题就相当于把13个苹果放入12个抽屉中．根据抽屉原理，至少有一个抽屉放了两个苹果．因此至少有两个同学在同一个月过生日．
【例 2】人的头发平均有12万根，如果最多不超过20万根，那么13亿中国人中至少有人的头发的根数相同。
图8
【考点】抽屉原理【难度】2星【题型】填空
【关键词】2009年，第7届，希望杯，4年级，1试
【解析】这是一道抽屉原理的题目，所以要先分清楚什么是抽屉，什么是苹果。此题中的抽屉是人的头发：有20万个，中国的人数是苹果：13亿人，所以至少应有：13000000002000006500
÷=（人）。【答案】6500人
【巩固】向阳小学有730个学生，问：至少有几个学生的生日是同一天？
【考点】抽屉原理【难度】2星【题型】解答
【解析】略．
【答案】一年最多有366天，可看做366个抽屉，730个学生看做730个苹果．因为7303661364
÷=，所以，至少有1＋1＝2（个）学生的生日是同一天
【例 3】五年级数学小组共有20名同学，他们在数学小组中都有一些朋友，请你说明：至少有两名同学，他们的朋友人数一样多．
【考点】抽屉原理【难度】3星【题型】解答
【解析】略．
【答案】数学小组共有20名同学，因此每个同学最多有19个朋友；又由于他们都有朋友，所以每个同学至少有1个朋友．因此，这20名同学中，每个同学的朋友数只有19种可能：1，2，3，……，19．把这20名同学看作20个“苹果”，又把同学的朋友数目看作19个“抽屉”，根据抽屉原理，至少有2名同学，他们的朋友人数一样多
【巩固】“六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人．试说明：在游园的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等．
【考点】抽屉原理【难度】3星【题型】解答
【解析】略．
【答案】假设共有n个小朋友到公园游玩，我们把他们看作n个“苹果”，再把每个小朋友遇到的熟人数目看作“抽屉”，那么，n个小朋友每人遇到的熟人数目共有以下n种可能：0，1，2，……，1
n-．其中0的意思是指这位小朋友没有遇到熟人；而每位小朋友最多遇见1
n-个熟人，所以共有n个“抽屉”．下面分两种情况来讨论：
⑴如果在这n 个小朋友中，有一些小朋友没有遇到任何熟人，这时其他小朋友最多只能遇上2n -个熟人，这样熟人数目只有1n -种可能：0，1，2，……，2n -．这样，“苹果”数(n 个小朋友)超过“抽屉”数(1n -种熟人数目)，根据抽屉原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等． ⑵如果在这n 个小朋友中，每位小朋友都至少遇到一个熟人，这样熟人数目只有1n -种可能：1，2，3，……，1n -．这时，“苹果”数(n 个小朋友)仍然超过“抽屉”数(1n -种熟人数目)，根据抽屉原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等．
总之，不管这n 个小朋友各遇到多少熟人(包括没遇到熟人)，必有两个小朋友遇到的熟人数目相等
【例 4】 在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除？
【考点】抽屉原理 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 略．
【答案】因为任何整数除以3，其余数只可能是0，1，2三种情形．我们将余数的这三种情形看成是三个
“抽屉”．一个整数除以3的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个“抽屉”里．将四个自然数放入三个抽屉，至少有一个抽屉里放了不止一个数，也就是说至少有两个数除以3的余数相同（需要对学生利用余数性质进行解释：为什么余数相同，则差就能被整除）．这两个数的差必能被3整除
【巩固】 四个连续的自然数分别被3除后，必有两个余数相同，请说明理由．
【考点】抽屉原理 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 略．
【答案】想一想，不同的自然数被3除的余数有几类？在这道题中，把什么当作抽屉呢？
把这四个连续的自然数分别除以3，其余数不外乎是0，1，2，把这3个不同的余数当作3个“抽屉”，把这4个连续的自然数按照被3除的余数，分别放入对应的3个“抽屉”中，根据抽屉原理，至少有两个自然数在同一个抽屉里，也就是说，至少有两个自然数除以3的余数相同
【例 5】 求证：可以找到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数．
【考点】抽屉原理 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 略．
【答案】19964499÷=，下面证明可以找到1个各位数字都是1的自然数，它是499的倍数．
取500个数：1，11，111，……，111……1（500个1）．用499去除这500个数，得到500个余数1a ，2a ，3a ，…，500a ．由于余数只能取0，1，2，…，498这499个值，所以根据抽屉原则，必
有2个余数是相同的，这2个数的差就是499的倍数，差的前若干位是1，后若干位是0：
11…100…0．又499和10是互质的，所以它的前若干位由1组成的自然数是499的倍数，将它乘以4，就得到一个各位数字都是4的自然数，这是1996的倍数
【巩固】求证：对于任意的8个自然数，一定能从中找到6个数a，b，c，d，e，f，使得()()()
---
a b c d e f
是105的倍数．
【考点】抽屉原理【难度】3星【题型】解答
【解析】略．
【答案】105357
=??．对于任意的8个自然数，必可选出2个数，使它们的差是7的倍数；在剩下的6个数中，又可选出2个数，使它们的差是5的倍数；在剩下的4个数中，又可选出2个数，使它们的差是3的倍数
（2）求抽屉
【例 6】某班有16名学生，每个月教师把学生分成两个小组．问最少要经过几个月，才能使该班的任意两个学生总有某个月份是分在不同的小组里?
【考点】抽屉原理【难度】2星【题型】解答
【解析】经过第一个月，将16个学生分成两组，至少有8个学生分在同一组，下面只考虑这8个学生．经过第二个月，将这8个学生分成两组，至少有4个学生是分在同一组，下面只考虑这4个学生．经过第三个月，将这4个学生分成两组，至少有2个学生仍分在同一组，这说明只经过3个月是无法满足题目要求的．如果经过四个月，将每个月都一直保持同组的学生一分为二，放人两个组，那么第一个月保持同组的人数为16÷2=8人，第二个月保持同组的人数为8÷2=4人，第三个月保持同组人数为4÷2=2人，这说明照此分法，不会有2个人一直保持在同一组内，即满足题目要求，故最少要经过4个月．
【答案】4个月
【巩固】100个苹果最多分给多少个学生，能保证至少有一个学生所拥有的苹果数不少于12个.
【考点】抽屉原理【难度】2星【题型】解答
【解析】从不利的方向考虑：当分苹果的学生多余某一个数时，有可能使每个学生分得的学生少于12个，求这个数. 100个按每个学生分苹果不多于11个（即少于12个）苹果，最少也要分10人（9人11个苹果，还有一人一个苹果），否则9×11＜100，所以只要分苹果的学生不多余9人就能使保
证至少有一个学生所拥有的苹果数不少于12个（即多于11个）.
【答案】9
（3）求苹果
【例 7】一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：基础分10分，每道题答对得3分，答错扣1分，不答不得分。问：要保证至少有4人得分相同，至少需要多少人参加竞赛？
【考点】抽屉原理【难度】2星【题型】解答
【解析】由题目条件这次数学竞赛的得分可以从10-10=0分到10+3×10=40分，但注意到39、38、35这3个分数是不可能得到的，要保证至少有4人得分相同，至少需要3×（41-3）+1=115人.
【答案】115人
【巩固】一次测验共有10道问答题，每题的评分标准是：回答完全正确，得5分；回答不完全正确，得3分，回答完全错误或不回答，得0分．至少____人参加这次测验，才能保证至少有3人得得分相同．
【考点】抽屉原理【难度】2星【题型】填空
【关键词】（第十届《小数报》数学竞赛决赛）
【解析】根据评分标准可知，最高得分为50分，最低得分为0分，在0～50分之间，1分，2分，4分，7分，47分，49分不可能出现．共有51645
?+=
-=（种）不同得分．根据抽屉原理，至少有452191（人）参赛，才能保证至少有3人得分相同．
【答案】3
（二）、构造抽屉利用公式进行解题
【例 8】在一只口袋中有红色、黄色、蓝色球若干个，小聪明和其他六个小朋友一起做游戏，每人可以从口袋中随意取出2个球，那么不管怎样挑选，总有两个小朋友取出的两个球的颜色完全一
样．你能说明这是为什么吗？
【考点】抽屉原理【难度】2星【题型】解答
【解析】略．
【答案】从三种颜色的球中挑选两个球，可能情况只有下面6种：
红、红；黄、黄；蓝、蓝；红、黄；红、蓝；黄、蓝，
我们把6种搭配方式当作6个“抽屉”，把7个小朋友当作7个“苹果”，根据抽屉原理，至少有两个
“苹果”要放进一个“抽屉”中，也就是说，至少有两个人挑选的颜色完全一样
【巩固】幼儿园买来许多牛、马、羊、狗塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，但不能是同样的，问：至少有多少个小朋友去拿，才能保证有两人所拿玩具相同？
【考点】抽屉原理【难度】2星【题型】解答
【解析】从四种玩具中挑选不同的两件，所有的搭配有以下6组：牛、马；牛、羊；牛、狗；马、羊；马、狗；羊、狗．把每一组搭配看作一个“抽屉”，共6个抽屉．根据抽屉原理，至少要有7个小朋友去拿，才能保证有两人所拿玩具相同．
【答案】7个
【例 9】从2、4、6、8、、50这25个偶数中至少任意取出多少个数，才能保证有2个数的和是52？
【考点】抽屉原理【难度】2星【题型】解答
【解析】构造抽屉：{2,50}，{4,48}，{6,46}，{8,44}，，{24,28}，{26}，共13种搭配，即13个抽屉，所以任意取出14个数，无论怎样取，有两个数必同在一个抽屉里，这两数和为52，所以应取出14
个数．或者从小数入手考虑，2、4、6、、26，当再取28时，与其中的一个去陪，总能找到一个数使这两个数之和为52．
【答案】14
【巩固】请证明：在1，4，7，10，…，100中任选20个数，其中至少有不同的两组数其和都等于104.
【考点】抽屉原理【难度】2星【题型】解答
【解析】略．
【答案】1，4，7，10，…，100共有34个数，将其分为(4，100)，(7，97)，…，(49，55)，(1)，(52)，共有18个抽屉．从这18个抽屉里面任意抽取20个数，则至少有18个数取自前16个抽屉，所以至少有4个数取自某两个抽屉中，而属于同一“抽屉”的两个数，其和是104
【例 10】从1，2，3……，2010，2011这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差不等于4？
【解析】1，2，3，4，9，10，11，12，17，18，19，20，25……，在这些数种中任何两个数的差都不等于4，可以看出这些数是从每8个连续的数中选出前面的4个连续的数
那么有2011÷8=251……3，所以最多可以选251×4+3=1007个数。
（对于这类问题，一种方法是先尽可能的多选，然后再找出这些数的规律，再计算出最多可以选出多少个。
【巩固】从1至2013这2013个自然数中最多能取出多少个数，使得其中任意的两数都不连续且差不等于4？
【解析】1，3，6，8，11，13，16，18，21，……
这些数中任何两个数不连续且差不等于4，这些数是每5个连续的数中选择第一、三个数。
2012÷5=402……3，所以最多可以选402×2+2=805个数。
（如果选择1，4，6，9……，即每5个连续的数中选择第1、4个数。但是此时最多能选出402×2+1=804个数。）
【例 11】从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11和12中至多选出个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的2倍．
【考点】抽屉原理【难度】3星【题型】填空
【关键词】2008年，第八届，春蕾杯，小学数学邀请赛，决赛
【解析】把这12个数分成6个组：
第1组：1，2，4，8
第2组：3，6，12
第3组：5，10
第4组：7
第5组：9
第6组：11
每组中相邻两数都是2倍关系，不同组中没有2倍关系．
选没有2倍关系的数，第1组最多2个（1，4或2，8或1，8），第2组最多2个（3，12），第3组只有1个，第4，5，6组都可以取，一共2211118
+++++=个．
如果任意取9个数，因为第3，4，5，6组一共5个数中，最多能取4个数，剩下945
-=个数在2个组中，根据抽屉原理，至少有3个数是同一组的，必有2个数是同组相邻的数，是2倍关系．【答案】8个数
【巩固】从1到20这20个数中，任取11个不同的数，必有两个数其中一个是另一个数的倍数．
【考点】抽屉原理【难度】3星【题型】解答
【解析】略．
【答案】把这20个数分成以下10组，看成10个抽屉：(1，2，4，8，16)，(3，6，12)，(5，10，20)，(7，
14)，(9，18)，(11)，(13)，(15)，(17)，(19)，前5个抽屉中，任意两个数都有倍数关系．从这10
个抽屉中任选11个数，必有一个抽屉中要取2个数，它们只能从前5个抽屉中取出，这两个数就满足题目要求
【例 12】有苹果和桔子若干个，任意分成5堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子的总数都是偶数？
【考点】抽屉原理【难度】3星【题型】解答
【解析】需先跟学生介绍奇偶性：奇数+奇数=偶数；奇数+偶数=奇数；偶数+偶数=偶数。
先用列表法进行搭配。由于题目只要求判断两堆水果的个数关系，因此可以从水果个数的奇、偶性上来考虑抽屉的设计．对于每堆水果中的苹果、桔子的个数分别都有奇数与偶数两种可能，所以每堆水果中苹果、桔子个数的搭配就有4种情形：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），其中括号中的第一个字表示苹果数的奇偶性，第二个字表示桔子数的奇偶性．将这4种情形看成
4个抽屉，现有5堆水果，根据抽屉原理可知，这5堆水果里至少有2堆属于上述4种情形的同一种情形．由于奇数加奇数为偶数，偶数加偶数仍为偶数，所以在同一个抽屉中的两堆水果，其苹果的总数与桔子的总数都是偶数．
【答案】能
【巩固】在20米长的水泥阳台上放12盆花，随便怎样摆放，请你说明至少有两盆花它们之间的距离小于2米．
【考点】抽屉原理【难度】2星【题型】解答
【解析】略．
【答案】第1盆花放在一个端点上，第2盆花放在距第1盆花恰为2米处（这是两盆花之间最近的距离了，再近就说明题目已经正确了——两盆花之间距离小于2米）．第3盆花放在距离第2盆花的距离2
米处，这样每隔2米放1盆花，直到阳台的另一个尽头，恰好放第11盆花．至此，阳台上的11盆花中任意两盆花之间的距离都按你的设想不小于2米放好了．现在考虑最后1盆花，它只能放在已放好的11盆花所留出的10个空档内了，这已说明必有两盆花之间的距离小于2米．题目的结论是正确的
【例 13】时钟的表盘上按标准的方式标着1，2，3，…，11，12这12个数，在其上任意做n个120°的扇形，每一个都恰好覆盖4个数，每两个覆盖的数不全相同．如果从这任做的n个扇形中总能恰
好取出3个覆盖整个钟面的全部12个数，求n的最小值．
【考点】抽屉原理【难度】3星【题型】解答
【解析】（1）当8
n=时，有可能不能覆盖12个数，比如每块扇形错开1个数摆放，盖住的数分别是：（12，1，2，3）；（1，2，3，4）；（2，3，4，5）；（3，4，5，6）；（4，5，6，7）；（5，6，7，8）；（6，7，8，9）；（7，8，9，10），都没盖住11，其中的3个扇形当然也不可能盖住全部12个数．（2）每个扇形覆盖4个数的情况可能是：
（1，2，3，4）（5，6，7，8）（9，10，11，12）覆盖全部12个数
（2，3，4，5）（6，7，8，9）（10，11，12，1）覆盖全部12个数
（3，4，5，6）（7，8，9，10）（11，12，1，2）覆盖全部12个数
（4，5，6，7）（8，9，10，11）（12，1，2，3）覆盖全部12个数
当9
n=时，至少有3个扇形在上面4个组中的一组里，恰好覆盖整个钟面的全部12个数．所以n的最小值是9．
【答案】9
【巩固】如图，在时钟的表盘上任意作9个120°的扇形，使得每一个扇形都恰好覆盖4个数，且每两个扇形覆盖的数不全相同，求证：一定可以找到3个扇形，恰好覆盖整个表盘上的数．并举一个反例说明，作8个扇形将不能保证上述结论成立．
【考点】抽屉原理【难度】3星【题型】解答
【关键词】2009年，清华附中，入学测试
【解析】略．
【答案】在表盘上共可作出12个不同的扇形，且1～12中的每个数恰好被4个扇形覆盖．将这12个扇形分为4组，使得每一组的3个扇形恰好盖住整个表盘．那么，根据抽屉原理，从中选择9个扇形，
必有
9
13
4
??
+=
??
??
个扇形属于同一组，那么这一组的3个扇形可以覆盖整个表盘．另一方面，作8
个扇形相当于从全部的12个扇形中去掉4个，则可以去掉盖住同一个数的4个扇形，这样这个数就没有被剩下的8个扇形盖住，那么这8个扇形不能盖住整个表盘
【例 14】从1，2，3，……，49，50这50个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除，则最多能取出多少个数？
【考点】抽屉原理【难度】3星【题型】填空
【解析】此题是结合数论余数部分知识与抽屉原理而成，既然题目中说任意两数和不能被7整除，那么便从除以7的余数入手：
余0：（7，14，21，28，35，42，49）；
余1：（1，8，15，22，29，36，43，50）；
余2：（2，9，16，23，30，37，44）；
余3：（3，10，17，24，31，38，45）；
余4：（4，11，18，25，32，39，46）；
余5：（5，12，19，26，33，40，47）；
余6：（6，13，20，27，34，41，48）；
第一组内的数最多只能取一个；如果取第二组，那么不能取第七组内任何一个数；取第三组，不能取第六组内任何一个数；取第四组，不能取第五组内任意一个数。
第二、三、四、五、六、七组分别有8、7、7、7、7、7个数，所以最多可以取1+8+7+7=23个数。
（三）、最不利原则
【例 15】“走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题．每个年级12道题，并且至少有8道题与其他各年级都不同．如果每道题出现在不同年级，最多只能出现3次．本届活动至少要准备道
决赛试题．
【考点】抽屉原理【难度】3星【题型】填空
【关键词】2008年，第六届，走美杯，决赛
【解析】每个年级都有自己8道题目，然后可以三至五年级共用4道题目，六到八年级共用4道题目，总共有864256
?+?=（道）题目．
【答案】56
【巩固】一个口袋中装有500粒珠子，共有5种颜色，每种颜色各100粒。如果你闭上眼睛，至少取出多少粒珠子才能保证其中有5粒颜色相同？
【考点】抽屉原理【难度】3星【题型】解答
【解析】至少要取(51)5121
-?+=（粒）
【答案】21粒
【例 16】有红、黄、蓝、白4色的小球各10个，混合放在一个布袋里．一次摸出小球8个，其中至少有几个小球的颜色是相同的？
【考点】抽屉原理【难度】3星【题型】解答
【解析】从最不利的情况考虑，摸出的8个小球中有4个小球的颜色各不相同，那么余下的4个小球无论各是什么颜色，都必与之前的4个小球中的某一个颜色相同．即这8个小球中至少有2个小球的颜色是相同的．
【答案】2个小球
【巩固】在100张卡片上不重复地编写上1~100，请问至少要随意抽出几张卡片才能保证所抽出卡片上的数相乘后之乘积可被4整除？
【考点】抽屉原理【难度】3星【题型】解答
【解析】当抽出50个奇数的时候，乘积还是奇数，最多再抽出2张偶数，乘积即可被4整除，也就是抽出52个数可以保证乘积能被4整除．
【答案】52个数
【例 17】一个口袋里分别有红、黄、黑球4，7，8个，为保证取出的球中有6个同色，则至少要取小球______个。
【考点】抽屉原理【难度】3星【题型】填空
【关键词】2008年，希望杯，第六届，五年级，一试，第14题
【解析】如果要保证取到6个同色的球，至少要取4+5+5+1=15个
【答案】15个
【巩固】一幅扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数？
【考点】抽屉原理【难度】2星【题型】解答
【解析】点数为1(A)、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11(J)、12(Q)、13(K)的牌各取1张，再取大王、小王各1张，一共15张，这15张牌中，没有两张的点数相同．这样，如果任意再取1张的话，它的点数必为1～13中的一个，于是有2张点数相同．
【答案】16张
【综合题】从1，2，3，4，5，……，99，100这100个数中任意选出51个数，证明：（1）在这51个数中，一定有两个数互质；
（2）在这51个数中，一定有两个数的差等于50；
（3）在这51个数中，一定存在9个数，他们的最大公约数大于1.
【解析】（1）我们将1——100分成（1，2）（3，4）（5，6）（7，8）……（97，98）（99，100）这50组，每组内的数相邻，而相邻的两个自然数互质。
将这50组数作为50个抽屉，同一个抽屉内的两个数互质。
而现在51个数，放进50个抽屉里，则必定有两个数在同一个抽屉，于是这两个数互质。问题得证。
（2）我们将1——100分成（1，51）（2，52）（3，53）……（40，90）……（50，100）这50组，每组内的数相差50.
将这50组数视为抽屉，则现在有51个数放进50个抽屉内，则必定有2个数在同一抽屉，那么这两个数的差为50.问题得证
（3）我们将1——100按2的倍数、3的倍数、既不是2又不是3的倍数的情况分组，有（2，4，6，8......，98，100），（3，9，15，21，27，......，93，99），（5，7，11，13，17，19，23， (95)
97）这三组，第一、二、三组分别有50、17、33个元素。
最不利的情况下，51个数中有33个元素在第三组，那么剩下的18个数分到第一、二两组内，那么至少有9个数在同一组，所以这9个数的最大公约数为2或3或他们的倍数，显然大于1.问题得证。
课堂检测
【随练1】把9条金鱼任意放在8个鱼缸里面，请你说明至少有一个鱼缸放有两条或两条以上金鱼．
【考点】抽屉原理【难度】1星【题型】解答
【解析】略．
【答案】在8个鱼缸里面，每个鱼缸放一条，就是8条金鱼；还剩下的一条，任意放在这8个鱼缸其中的任意一个中，这样至少有一个鱼缸里面会放有两条金鱼．
【随练2】证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数．
【考点】抽屉原理【难度】3星【题型】解答
【解析】略．
【答案】在与整除有关的问题中有这样的性质，如果两个整数a、b，它们除以自然数m的余数相同，那么它们的差a b
-是m的倍数.根据这个性质，本题只需证明这8个自然数中有2个自然数，它们除以7的余数相同.我们可以把所有自然数按被7除所得的7种不同的余数0、1、2、3、4、5、6分成七类.也就是7个抽屉.任取8个自然数，根据抽屉原理，必有两个数在同一个抽屉中，也就是它们除以7的余数相同，因此这两个数的差一定是7的倍数
【随练3】把十只小兔放进至多几个笼子里，才能保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔？
【考点】抽屉原理【难度】2星【题型】解答
【解析】要想保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔，把小兔子当作“物品”，把“笼子”当作“抽屉”，根据抽屉原理，要把10只小兔放进1019
-=个笼里，才能保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔．
【答案】9
课堂检测
【作业1】用五种颜色给正方体各面涂色(每面只涂一种色)，请你说明：至少会有两个面涂色相同．
【考点】抽屉原理【难度】2星【题型】解答
【解析】略．
【答案】五种颜色最多只能涂5个不同颜色的面，因为正方体有6个面，还有一个面要选择这五种颜色中的任意一种来涂，不管这个面涂成哪种颜色，都会和前面有一个面颜色相同，这样就有两个面会被涂上相同的颜色．也可以把五种颜色作为5个“抽屉”，六个面作为六个物品，当把六个面随意放入五个抽屉时，根据抽屉原理，一定有一个抽屉中有两个或两个以上的面，也就是至少会有两
个面涂色相同
【作业2】证明：任取6个自然数，必有两个数的差是5的倍数。
【考点】抽屉原理【难度】3星【题型】解答
【解析】略。
【答案】把自然数按照除以5的余数分成5个剩余类，即5个抽屉.任取6个自然数，根据抽屉原理，至少有两个数属于同一剩余类，即这两个数除以5的余数相同，因此它们的差是5的倍数
【作业3】袋中有外形安全一样的红、黄、蓝三种颜色的小球各10个，每个小朋友只能从中摸出1个小球，至少有______个小朋友摸球，才能保证一定有两个人摸的球颜色一样．
【考点】抽屉原理【难度】2星【题型】填空
【关键词】2007年，第5届，走美杯，3年级，初赛
【解析】本题属于抽屉原理中构造抽屉解决问题，每个小朋友从中摸一个小球，小球的颜色可能为红、黄、蓝三种情况，故为三个抽屉，若想保证一定有两个人摸的球颜色一样，必须有()
-?+=（个）
21314小朋友。
【答案】4
【作业4】班上有50名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书？
【考点】抽屉原理【难度】2星【题型】解答
【解析】把50名小朋友当作50个“抽屉”，书作为物品．把书放在50个抽屉中，要想保证至少有一个抽屉中有两本书，根据抽屉原理，书的数目必须大于50，而大于50的最小整数是50151
+=，所以至少要拿51本书．
【答案】51本书
【作业5】11名学生到老师家借书，老师的书房中有文学、科技、天文、历史四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本．试说明：必有两个学生所借的书的类型相同.
【考点】抽屉原理【难度】2星【题型】解答
【解析】略．
【答案】设不同的类型书为Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四种，若学生只借一本书，则不同的类型有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四种；若学生借两本不同类型的书，则不同的类型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六种．共有10种类型，把这10种类型看作10个“抽屉”，把11个学生看作11个“苹果”．如果谁借哪种类型的书，就进入哪个抽屉，由抽屉原理，至少有两个学生，他们所借的书的类型相同
【作业6】有红、黄、白三种颜色的小球各10个，混合放在一个布袋中，一次至少摸出个，才能保证有5个小球是同色的？
【考点】抽屉原理【难度】3星【题型】填空
【关键词】2008年，第八届，春蕾杯，小学数学邀请赛，初赛
【解析】根据最不利原则，至少需要摸出43113
?+=（个）．
【答案】13个
【作业7】班上有28名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书？
【考点】抽屉原理【难度】2星【题型】解答
【解析】老师至少拿29本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书．
【答案】29本书
【作业8】篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有若干个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有多少个小朋友才能保证有两个小朋友拿的水果是相同的？
【考点】抽屉原理【难度】2星【题型】解答
【解析】略
【答案】首先应弄清不同的水果搭配有多少种．两个水果是相同的有4种，两个水果不同有6种：苹果和梨、苹果和桃、苹果和桔子、梨和桃、梨和桔子、桃和桔子．所以不同的水果搭配共有4610
+=（种）．将这10种搭配作为10个“抽屉”．由抽屉原理知至少需11个小朋友才能保证有两个小朋友拿的水果是相同的
【作业9】黑、白、黄三种颜色的筷子各有很多根，在黑暗处至少拿出几根筷子就能保证有一双是相同颜
色的筷子？
【考点】抽屉原理【难度】3星【题型】解答
【解析】问题问的是要有一双相同颜色的筷子．把黑、白、黄三种颜色的筷子当作3个抽屉，根据抽屉原理，至少有4根筷子，才能使其中一个抽屉里至少有两根筷子．所以，至少拿4根筷子，才能保证有一双是相同颜色的筷子．最“倒霉”原则：它们每样各取一根，都凑不成双．教师可以拿其他东西做类似练习．
【答案】至少拿4根筷子