第五章 矩阵的特征值与特征向量 习题 1 试用施密特法把下列向量组正交化 (1)???? ? ??=931421111) , ,(321a a a (2)?????? ? ??---=011101110111) , ,(321a a a 2 设x 为n 维列向量 x T x 1 令HE 2xx T 证明H 是对称的正交阵 3 求下列矩阵的特征值和特征向量: (1)???? ? ??----20133 5212; (2)???? ? ??633312321. 4 设A 为n 阶矩阵 证明A T 与A 的特征值相同 5 设0是m 阶矩阵A mn B nm 的特征值 证明也是n 阶矩阵BA 的特征值. 6 已知3阶矩阵A 的特征值为1 2 3 求|A 35A 27A | 7 已知3阶矩阵A 的特征值为1 2 3 求|A *3A 2E | 8 设矩阵???? ? ??=50413102x A 可相似对角化 求x 9 已知p (1 1 1)T 是矩阵???? ? ??---=2135 212b a A 的一个特征向量
(1)求参数a b 及特征向量p 所对应的特征值 (2)问A 能不能相似对角化并说明理由 10 试求一个正交的相似变换矩阵, 将对称阵???? ? ??----020212022化为对角阵. 11 设矩阵????? ??------=12422421x A 与???? ? ??-=Λy 45相似 求x y 并求一个正交阵P 使P 1AP 12 设3阶方阵A 的特征值为12 22 31 对应的特征向量依次为p 1(0 1 1)T p 2(1 1 1)T p 3(1 1 0)T 求A . 13 设3阶对称矩阵A 的特征值16 23 33 与特征值16对应的特征向量为p 1(1 1 1)T 求A . 14 设????? ??-=340430241A 求A 100
线性代数中关于特征值和特征向量的方法 万学教育 海文考研 考研教学与研究中心 刘妍 基础阶段的复习我们一般在进入4月份以后，很多同学都开始启动线性代数的复习了。有些同学对于线代总是感觉知识点很散，对于一些解题的方法感觉学起来不容易记。其实线性代数是方法性比较强的一门学科，如果能把各个章节串联的去学习，那么对于线性代数的学习可能会更加的游刃有余一些。下面我就特征值，特征向量这一部分给大家说几种结题方法： 一、方法一： (1) 取定数域P 上的线性空间n V 的一个基, 写出线性变换T 在该基下的矩阵A ; (2) 求出A 的特征多项式?λ（）在数域P 上的全部根, 它们就是T 的全部特征值; (3) 把求出的特征值逐个代入方程组, 解出矩阵A 的属于每个特征值的全部线性 无关的特征向量; (4) 以A 的属于每个特征值的特征向量为n V 中取定基下的坐标, 即得T 的相应特征 向量. 例1 求矩阵 ?? ??? ?????=A 122212221, 的特征值与特征向量. 解 容易算出A 的多项式 )(det A -I λ= 12 2 2 1 22 21 ---------λλλ) 5()1(2-+=λλ, 所以T 的特征值是11-=λ(二重)和.52=λ 特征方程0)(=-I x A λ的一个基础解系为T -)1,0,1(, T -)1,1,0(. T 的属于1λ的两个线性无关的特征向量为,311x x y -= 322x x y -=. 所以T 的属于1λ的全部特征向量为2211y k y k + (其中k k k ∈21,且不同时为零). 特征方 程的一个基础解系为T )1,1,1(. 记3213 λλλ++=y , 则T 的属于2λ 的全体特征向量为33y k (k k ∈3且不为零).
关于特征值与特征向量的求解方法与技巧 摘 要:矩阵的初等变换是高等代数中运用最广泛的运算工具，对矩阵的特征值与特征向量的求解研究具有一定意义。本文对矩阵特征值与特征向量相关问题进行了系统的归纳，得出了通过对矩阵进行行列互逆变换就可同时求出特征值及特征向量的结论。文章给出求解矩阵特征值与特征向量的两种简易方法: 列行互逆变换方法与列初等变换方法。 关键词: 特征值，特征向量; 互逆变换; 初等变换。 1 引言 物理、力学、工程技术的许多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值与特征向量问题，直接由特征方程求特征值是比较困难的，而在现有的教材和参考资料上由特征方程求特征值总要解带参数的行列式，且只有先求出特征值才可由方程组求特征向量。一些文章给出了只需通过行变换即可同步求出特征值及特征向量的新方法，但仍未摆脱带参数行列式的计算问题。本文对此问题进行 了系统的归纳，给出了两种简易方法。 一般教科书介绍的求矩阵的特征值和特征向量的方法是先求矩阵A 的特征方程()0A f I A λλ=-=的全部特征根(互异) ，而求相应的特征向量的方法则是对每个i λ 求齐次线性方程组()0i I A X λ-=的基础解系，两者的计算是分离的，一个是计算行列式，另一个是解齐次线性方程组, 求解过程比较繁琐，计算量都较大。
本文介绍求矩阵的特征值与特征向量的两种简易方法， 只用一种运算 ——矩阵运算， 其中的列行互逆变换法是一种可同步求出特征值与特征向量的方法， 而且不需要考虑带参数的特征矩阵。而矩阵的列初等变换法， 在求出特征值的同时， 已经进行了大部分求相应特征向量的运算， 有时碰巧已完成了求特征向量的全部运算。两种方法计算量少， 且运算规范，不易出错。 2 方法之一： 列行互逆变换法 定义1 把矩阵的下列三种变换称为列行互逆变换: 1. 互换i 、j 两列()i j c c ?，同时互换j 、i 两行()j i r r ? ； 2. 第i 列乘以非零数()i k kc ， 同时第i 行乘11i c k k ?? ?? ? ； 3. 第i 列k 倍加到第j 列()j i c kc +， 同时第j 行- k 倍加到第i 行 ()i j r kr -。 定理1 复数域C 上任一n 阶矩阵A 都与一个Jordan 标准形矩阵 1212,,....r k k kr J diag J J J λλλ? ? ???????? ??? ? ?? ?? ? ? ? ?? ? ?=相似， 其中 111110...0001...00..................000...1000...0ki ki J λλλλ?? ?? ?? ??=????????称为Jordan 块， 12r k k k n ++ +=并且 这个Jordan 标准形矩阵除去其中Jordan 块的排列次序外被矩阵A 唯一确定， J 称为A 的Jordan 标准形。 定理2 A 为任意n 阶方阵, 若T A J I P ?? ????????→ ? ????? 一系列列行互逆变换其中
1.////////////////////////////////////////////////////////////////////// 2.// 求实对称矩阵特征值与特征向量的雅可比法 3.// 4.// 参数： 5.// 1. double dblEigenValue[] - 一维数组，长度为矩阵的阶数，返回时存放特征值 6.// 2. CMatrix& mtxEigenVector - 返回时存放特征向量矩阵，其中第i列为与 7.// 数组dblEigenValue中第j个特征值对应的特征向量 8.// 3. int nMaxIt - 迭代次数，默认值为60 9.// 4. double eps - 计算精度，默认值为0.000001 10.// 11.// 返回值：BOOL型，求解是否成功 12.////////////////////////////////////////////////////////////////////// 13.BOOL CMatrix::JacobiEigenv(double dblEigenValue[], CMatrix& mtxEigenVector, int nMaxIt /*= 60*/, double eps /*= 0.000001*/) 14.{ 15.int i,j,p,q,u,w,t,s,l; 16.double fm,cn,sn,omega,x,y,d; 17. 18.if (! mtxEigenVector.Init(m_nNumColumns, m_nNumColumns)) 19.return FALSE; 20. 21.l=1; 22.for (i=0; i<=m_nNumColumns-1; i++) 23.{ 24.mtxEigenVector.m_pData[i*m_nNumColumns+i]=1.0; 25.for (j=0; j<=m_nNumColumns-1; j++) 26.if (i!=j) 27.mtxEigenVector.m_pData[i*m_nNumColumns+j]=0.0;//单位矩阵 28.} 29. 30.while (TRUE) 31.{ 32.fm=0.0; 33.for (i=1; i<=m_nNumColumns-1; i++) 34.{ 35.for (j=0; j<=i-1; j++) 36.{ 37.d=fabs(m_pData[i*m_nNumColumns+j]); 38.if ((i!=j)&&(d>fm)) 39.{ 40.fm=d; 41.p=i; 42.q=j; }//取绝对值最大的非对角线元素，并记住位置
第五章 矩阵的特征值与特征向量 5.1矩阵的特征值与特征向量 5.1.1矩阵的特征值与特征向量的概念 设A 是n 阶矩阵，若存在数λ及非零的n 维列向量α，使得：λαα=A (0≠α)成立，则称λ是矩阵A 的特征值，称非零向量α是矩阵A 属于特征值λ的特征向量. 5.1.2矩阵的特征值与特征向量的求法 把定义公式λαα=A 改写为()0=-αλA E ,即α是齐次方程组()0=-x A E λ的非零解.根据齐次方程组有非零解的充分条件可得：0=-A E λ. 所以可以通过0=-A E λ求出所有特征值，然后对每一个特征值i λ，分别求出齐 次方程组()0=-x A E i λ的一个基础解系，进而再求得通解. 【例5.1】求??? ? ? ?????------=324262423A 的特征值和特征向量. 解：根据()()0273 2 4 26 24 23 2 =+-=---= -λλλλλλA E ，可得71=λ，22-=λ. 当7=λ时，??? ? ? ?????? ??? ???????=-0000002124242124247A E ， 所以()07=-x A E 的一个基础解系为：()T 0,2,11-=α,()T 1,0,12-=α，则相应的特征向量为2211ααk k +，其中21,k k 是任意常数且()()0,0,21≠k k . 当2-=λ时，???? ? ?????--? ??? ? ??????---=--00012014152428242 52A E ，所以()02=--x A E 的一个基础解系为()T 2,1,23=α，则相应的特征向量为33αk ，其中3k 是任意常数且
第五章矩阵的特征值和特征向量 来源：线性代数精品课程组作者：线性代数精品课程组 1．教学目的和要求： (1) 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量. (2) 了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对 角矩阵. (3) 了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质. 2．教学重点： (1) 会求矩阵的特征值与特征向量. (2) 会将矩阵化为相似对角矩阵. 3．教学难点：将矩阵化为相似对角矩阵. 4．教学内容： 本章将介绍矩阵的特征值、特征向量及相似矩阵等概念，在此基础上讨论矩阵的对角化问题. §1矩阵的特征值和特征向量 定义1设是一个阶方阵，是一个数，如果方程 (1) 存在非零解向量，则称为的一个特征值，相应的非零解向量称为属于特征值的特 征向量． （1）式也可写成， (2) 这是个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式 , (3) 即 上式是以为未知数的一元次方程，称为方阵的特征方程．其左端是的 次多项式，记作，称为方阵的特征多项式．
== = 显然，的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，阶矩阵有个特征值． 设阶矩阵的特征值为由多项式的根与系数之间的关系，不难证明 （ⅰ） （ⅱ） 若为的一个特征值，则一定是方程的根, 因此又称特征根，若为 方程的重根，则称为的重特征根．方程的每一个非 零解向量都是相应于的特征向量，于是我们可以得到求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下： 第一步：计算的特征多项式； 第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值； 第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组： 的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是 （其中是不全为零的任意实数）． 例1 求的特征值和特征向量. 解的特征多项式为 =
特征向量体现样本之间的相关程度，特征值则反映了散射强度。 特征向量的几何意义.矩阵(既然讨论特征向量的问题.当然是方阵.这里不讨论广义特征向量的概念)乘以一 个向量的结果仍是同维数的一个向量.因此.矩阵乘法对应了一个变换.把一个向量变成同维数的另一个向量.那么变换的效果是什么呢?这当然与方阵的构造有密切关系.比如可以取适当的二维方阵.使得这个变换 的效果就是将平面上的二维向量逆时针旋转30度.这时我们可以问一个问题.有没有向量在这个变换下不 改变方向呢?可以想一下.除了零向量.没有其他向量可以在平面上旋转30度而不改变方向的.所以这个变换对应的矩阵(或者说这个变换自身)没有特征向量(注意:特征向量不能是零向量).所以一个变换的特征向量 是这样一种向量.它经过这种特定的变换后保持方向不变.只是进行长度上的伸缩而已(再想想特征向量的原始定义Ax= cx.你就恍然大悟了.看到了吗?cx是方阵A对向量x进行变换后的结果.但显然cx和x的方向相同).而且x是特征向量的话.ax也是特征向量(a是标量且不为零).所以所谓的特征向量不是一个向量而是一个向量族. 另外.特征值只不过反映了特征向量在变换时的伸缩倍数而已.对一个变换而言.特征向量指明的 方向才是很重要的.特征值不是那么重要.虽然我们求这两个量时先求出特征值.但特征向量才是更本质的 东西! 比如平面上的一个变换.把一个向量关于横轴做镜像对称变换.即保持一个向量的横坐标不变.但纵坐标取相反数.把这个变换表示为矩阵就是［1 0,0 -1］.其中分号表示换行.显然［1 0,0 -1］＊［a b］＇=［a -b］＇. 其中上标＇表示取转置.这正是我们想要的效果.那么现在可以猜一下了.这个矩阵的特征向量是什么?想想什么向量在这个变换下保持方向不变.显然.横轴上的向量在这个变换下保持方向不变(记住这个变换是镜像 对称变换.那镜子表面上(横轴上)的向量当然不会变化).所以可以直接猜测其特征向量是［a 0］＇(a不为0).还有其他的吗?有.那就是纵轴上的向量.这时经过变换后.其方向反向.但仍在同一条轴上.所以也被认为是方向没有变化。 综上，特征值只不过反映了特征向量在变换时的伸缩倍数而已，对一个变换而言，特征向量指明的方向才是很重要的，特征值似乎不是那么重要；但是，当我们引用了Spectral theorem（谱定律）的时候，情况就不一样了。 Spectral theorem的核心内容如下：一个线性变换（用矩阵乘法表示）可表示为它的所有的特征向量的一个线性组合，其中的线性系数就是每一个向量对应的特征值，写成公式就是： T(V)=λ1(V1.V)V1+λ2(V2.V)V2+λ3(V3.V)V3+... 从这里我们可以看出，一个变换（矩阵）可由它的所有特征向量完全表示，而每一个向量所对应的特征值，就代表了矩阵在这一向量上的贡献率——说的通俗一点就是能量（power），至此，特征值翻身做主人，彻底掌握了对特征向量的主动：你所能够代表这个矩阵的能量高低掌握在我手中，你还吊什么吊？ 我们知道，一个变换可由一个矩阵乘法表示，那么一个空间坐标系也可视作一个矩阵，而这个坐标系就可由这个矩阵的所有特征向量表示，用图来表示的话，可以想象就是一个空间张开的各个坐标角度，这一组向量可以完全表示一个矩阵表示的空间的“特征”，而他们的特征值就表示了各个角度上的能量（可以想象成从各个角度上伸出的长短，越长的轴就越可以代表这个空间，它的“特征”就越强，或者说显性，而短轴自然就成了隐性特征），因此，通过特征向量/值可以完全描述某一几何空间这一特点，使得特征向量与特征值在几何（特别是空间几何）及其应用中得以发挥。 关于特征向量（特别是特征值）的应用实在是太多太多，近的比如俺曾经提到过的PCA方法，选取特征值最高的k个特征向量来表示一个矩阵，从而达到降维分析+特征显示的方法；近的比如Google公司的成名作PageRank，也是通过计算一个用矩阵表示的图（这个图代表了整个Web各个网页“节点”之间的关联）的特征向量来对每一个节点打“特征值”分；再比如很多人脸识别，数据流模式挖掘分析等方面，都有应用，
特征值与特征向量 【教学目标】 1．亲历矩阵特征值与特征向量意义的探索过程，体验分析归纳得出矩阵特征值与特征向量的存在与性质，进一步发展学生的探究、交流能力。 2．掌握矩阵特征值与特征向量的定义及其性质。 3．能从几何直观上，利用线性变换求特征值与特征向量。 【教学重难点】 重点：掌握阵特征值与特征向量的定义及其性质。 难点：从几何直观上，利用线性变换求特征值与特征向量。 【教学过程】 一、新课引入 教师：对于线性变换，是否存在平面内的直线，使得该直线在这个线性变换作用下保持不变？是否存在向量，使得该向量在这个线性变换的作用下具有某种“不变性”？为了解决我们的问题，我们今天将学习矩阵特征值与特征向量。 二、讲授新课 教师：请同学们回忆一下，我们在前面的课程里面，学过哪些基本的变换？ 学生：伸缩变换，反射变换等等。 教师：那下面我们来研究一下伸缩变换，反射变换一些不变的性质，我一起来看例题。 例1：对于相关x 轴的反射变换σ：1001x x y y '???? ??= ? ? ?'-? ?????，从几何直观上可以发现，只有x 轴和平行于y 轴的直线在反射变换σ的作用下保持不动，其他的直线都发生了变化。因此，反射 变换σ只把形如10k α??= ???和20k β?? = ??? 的向量（其中1k ，2k 是任意常数），分别变成与自身共线的 向量。可以发现，反射变换σ分别把向量10k α??= ???，20k β??= ???变成10k α??= ???，20k β?? -= ?-??。特别的，反射变换σ把向量110ξ??= ???变成110ξ??= ???，把向量201ξ??= ???变成01?? ?-?? 。用矩形的形式可表示为
第四章 矩阵的特征值和特征向量 例1 求下列矩阵的特征值与特征向量???? ??????----=163053064A ，并判断它能否相似对角化。若能，求可逆阵P ，使∧=-AP P 1（对角阵）。 例2 已知三阶方阵A 的三个特征值为4,3,2-，则1-A 的特征值为_______，T A 的特征值为_______，*A 的特征值为_______，E A A 232 +-的特征值为_______ 例3 设矩阵???? ??????=0011100y x A 有三个线性无关的特征向量，则y x ,应满足条件_______ 例5 已知矩阵??????????=x A 10200002与???? ??????-=10000002y B 相似，则____________==y x 例6 设n 阶方阵A 满足0232 =+-I A A ，求A 的特征值 例7 已知向量T k )1,,1(=ξ是矩阵???? ??????=211121112A 的逆矩阵1-A 的特征向量，求常数k 例8 设A 为非零方阵，且0=m A (m 为某自然数)，证明：A 不能与对角阵相似 例9 设n 阶方阵A 满足01072=+-I A A ，求证：A 相似于一个对角矩阵 结 论 总结 1 n 阶方阵A 有n 个特征值，它们的和等于A 的主对角线元素之和(即A 的逆trA )，它们的乘积等于A 的行列式A 2 如果m λλ,,1Λ是方阵A 的特征值，m P P ,,1Λ是与之对应的特征向量，如m λλ,,1Λ互不相等时，m P P ,,1Λ线性无关 3 如果n 阶方阵A 与B 相似，则A 与B 有相同的特征多项式，从而有相同的特征值 4 如果n 阶方阵A 与对角阵∧相似，则∧的主对角线元素就是A 的n 个特征值
ABSTRACT: 特征向量：它经过这种特定的变换后保持方向不变。只是进行长度上的伸缩而已。 特征值：一个变换（矩阵）可由它的所有特征向量完全表示，而每一个向量所对应的特征值，就代表了矩阵在这一向量上的贡献率——说的通俗一点就是能量（power）。 内积：内积可以简单的理解为两个函数的相似程度,内积值越大表示两个函数相似程度越大,内积为零表示完全不相似。两个函数内积为零则两个函数正交,在三维空间中它们的夹角为90度,在三维以上不是这样的。 CONTENT 矩阵(既然讨论特征向量的问题。当然是方阵。这里不讨论广义特征向量的概念)乘以一个向量的结果仍是同维数的一个向量。因此。矩阵乘法对应了一个变换。把一个向量变成同维数的另一个向量。那么变换的效果是什么呢?这当然与方阵的构造有密切关系。比如可以取适当的二维方阵。使得这个变换的效果就是将平面上的二维向量逆时针旋转30度。这时我们可以问一个问题。有没有向量在这个变换下不改变方向呢?可以想一下。除了零向量。没有其他向量可以在平面上旋转30度而不改变方向的。所以这个变换对应的矩阵(或者说这个变换自身)没有特征向量(注意:特征向量不能是零向量)。所以一个变换的特征向量是这样一种向量。它经过这种特定的变换后保持方向不变。只是进行长度上的伸缩而已(再想想特征向量的原始定义Ax= cx。你就恍然大悟了。看到了吗?cx是方阵A 对向量x进行变换后的结果。但显然cx和x的方向相同)。而且x是特征向量的话。ax也是特征向量(a是标量且不为零)。所以所谓的特征向量不是一个向量而是一个向量族。另外。特征值只不过反映了特征向量在变换时的伸缩倍数而已。对一个变换而言。特征向量指明的方向才是很重要的。特征值不是那么重要。虽然我们求这两个量时先求出特征值。但特征向量才是更本质的东西! 比如平面上的一个变换。把一个向量关于横轴做镜像对称变换。即保持一个向量的横坐标不变。但纵坐标取相反数。把这个变换表示为矩阵就是[1 0;0 -1]。其中分号表示换行。显然[1 0;0 -1]*[a b]'=[a –b]'。其中上标' 表示取转置。这正是我们想要的效果。那么现在可以猜一下了。这个矩阵的特征向量是什么?想想什么向量在这个变换下保持方向不变。显然,横轴上的向量在这个变换下保持方向不变(记住这个变换是镜像对称变换。那镜子表面上(横轴上)的向量当然不会变化)。所以可以直接猜测其特征向量是[a 0]'(a不为0)。还有其他的吗?有。那就是纵轴上的向量。这时经过变换后。其方向反向。但仍在同一条轴上。所以也被认为是方向没有变化。 当我们引用了Spectral theorem（谱定律）的时候，情况就不一样了。Spectral theorem的核心内容如下：一个线性变换A（用矩阵乘法表示）可表示为它的所
第五章 矩阵的特征值与特征向量 习题 1 试用施密特法把下列向量组正交化 (1)?? ? ? ? ??=931421111) , ,(321a a a (2)???? ?? ? ??---=011101110111) , ,(321a a a 2 设x 为n 维列向量 x T x 1 令H E 2xx T 证明H 是对称的正交 阵 3 求下列矩阵的特征值和特征向量: (1)??? ?? ??----20133 521 2; (2)??? ? ? ??633312321. 4 设A 为n 阶矩阵 证明A T 与A 的特征值相同 5 设 0是m 阶矩阵A m n B n m 的特征值 证明 也是n 阶矩阵BA 的特 征值. 6 已知3阶矩阵A 的特征值为1 2 3 求|A 35A 2 7A | 7 已知3阶矩阵A 的特征值为1 2 3 求|A * 3A 2E | 8 设矩阵??? ? ? ??=50413102x A 可相似对角化 求x
9 已知p (1 1 1)T 是矩阵???? ? ??---=2135212b a A 的一个特征向量 (1)求参数a b 及特征向量p 所对应的特征值 (2)问A 能不能相似对角化？并说明理由 10 试求一个正交的相似变换矩阵, 将对称阵??? ? ? ??----020212022化为对角 阵. 11 设矩阵????? ??------=12422421x A 与??? ? ? ? ?-=Λy 45 相似 求x y 并 求一个正交阵P 使P 1AP 12 设3阶方阵A 的特征值为1 2 2 2 3 1 对应的特征 向量依次为p 1 (0 1 1)T p 2(1 1 1)T p 3(1 1 0)T 求A . 13 设3阶对称矩阵A 的特征值 1 6 2 3 3 3 与特征值 1 6对应的特征向量为p 1 (1 1 1)T 求A . 14 设?? ? ? ? ??-=340430241A 求A 100
线性代数复习总结大全 第五章矩阵的特征值和特征向量 特征值、特征向量 A 是N 阶方阵，若数λ使AX=λX ，即（λI-A ）=0有非零解，则称λ为A 的一个特征值，此时，非零解称为A 的属于特征值λ的特征向量。 |A|=n λλλ...**21注：1、AX=λX 2、求特征值、特征向量的方法 0=-A I λ求i λ将i λ代入（λI-A ）X=0求出所有非零解 3、对于不同的矩阵，有重根、单根、复根、实根（主要学习的） 特殊：n I )(λ的特征向量为任意N 阶非零向量或)(21不全为零i n c c c c ???? ? ??4、特征值：若)0(≠λλ是A 的特征值 则1-A -------- λ1则m A --------m λ 则kA --------λ k 若2 A =A 则-----------λ=0或1若2 A =I 则-----------λ=-1或1若k A =O 则----------λ=0迹tr(A )：迹（A ）=nn a a a +??++2211性质： 1、N 阶方阵可逆的充要条件是A 的特征值全是非零的 2、A 与1 -A 有相同的特征值 3、N 阶方阵A 的不同特征值所对应的特征向量线性无关 4、5、P281 相似矩阵 定义P283：A 、B 是N 阶矩阵，若存在可逆矩阵P ，满足B AP P =-1，则矩阵A 与B 相似，记作A~B
性质1、自身性：A~A,P=I 2、对称性：若A~B 则B~A B AP P =-11 -=PBP A A BP P =---111)(3、传递性：若A~B 、B~C 则A~C B AP P =-111 C BP P =-212---C P P A P P =-)()(211214、若AB ，则A 与B 同（不）可逆 5、若A~B ，则11~--B A B AP P =-1两边同取逆，1 11---=B P A P 6、若A~B ，则它们有相同的特征值。（特征值相同的矩阵不一定相似） 7、若A~B ，则) ()(B r A r =初等变换不改变矩阵的秩例子：B AP P =-1则1 100100-=P PB A O AP P =-1A=O I AP P =-1A=I I AP P λ=-1A=I λ矩阵对角化 定理：N 阶矩阵A 与N 阶对角形矩阵相似的充要条件是A 有N 个线性无关的特征向量注：1、P 与^中的i i x λ与顺序一致 2、A~^,则^与P 不是唯一的 推论：若n 阶方阵A 有n 个互异的特征值，则~^A （P281） 定理：n 阶方阵~^A 的充要条件是对于每一个i K 重特征根i λ，都有i i K n A I r -=-)(λ注：三角形矩阵、数量矩阵I λ的特征值为主对角线。 约当形矩阵 约当块：形如?????? ? ??=λλλλ111J 的n 阶矩阵称为n 阶约当块；
特征值与特征向量 【教学目标】 1．亲历矩阵特征值与特征向量意义的探索过程，体验分析归纳得出矩阵特征值与特征向量的存在与性质，进一步发展学生的探究、交流能力。 2．掌握矩阵特征值与特征向量的定义及其性质。 3．能从几何直观上，利用线性变换求特征值与特征向量。 【教学重难点】 重点：掌握阵特征值与特征向量的定义及其性质。难点：从几何直观上，利用线性变换求特征值与特征向量。 【教学过程】 一、新课引入 教师：对于线性变换，是否存在平面内的直线，使得该直线在这个线性变换作用下保持不变？是否存在向量，使得该向量在这个线性变换的作用下具有某种“不变性”？为了解决我们的问题，我们今天将学习矩阵特征值与特征向量。二、讲授新课 教师：请同学们回忆一下，我们在前面的课程里面，学过哪些基本的变换？学生：伸缩变换，反射变换等等。 教师：那下面我们来研究一下伸缩变换，反射变换一些不变的性质，我一起来看例题。 例1：对于相关x 轴的反射变换σ：，从几何直观上可以发现，只有x 1001x x y y '???? ??= ? ? ?'-? ?????轴和平行于y 轴的直线在反射变换σ的作用下保持不动，其他的直线都发生了变化。因此， 反射变换σ只把形如和的向量（其中，是任意常数），分别变成与自身共 10k α??= ???20k β?? = ??? 1k 2k 线的向量。可以发现，反射变换σ分别把向量，变成，。 10k α??= ???20k β??= ???10k α??= ???20 k β?? -= ?-??特别的，反射变换σ把向量变成，把向量变成。用矩形的形式可 110ξ??= ???110ξ??= ???201ξ??= ???01?? ?-??
最近看了看matlab求特征值的函数，记下来备用。 eig求所有特征值和特征向量。 d = eigs(A) %求稀疏矩阵A的6个绝对值最大特征值d，d以向量形式存放。 d = eigs(A,B) %求稀疏矩阵的广义特征值问题。满足A V=BVD，其中D为特征值对角阵，V为特征向量矩阵，B必须是对称正定阵或Hermitian正定阵。 d = eigs(A,k) %返回k个最大特征值 d = eigs(A,B,k) %返回k个最大特征值 d = eigs(A,k,sigma) %sigma取值：'lm'表示绝对值最大的特征值；'sm'绝对值最小特征值；对实对称问题：'la'表示最大特征值；'sa'为最小特征值；对非对称和复数问题：'lr'表示最大实部；'sr'表示最小实部；'li'表示最大虚部；'si'表示最小虚部 d = eigs(A,B,k,sigma) %同上 d = eigs(A,k,sigma,opts) % opts为指定参数：参见eigs帮助文件。opts为一个向量 参数描述value opts.issym =1:如果A对称 =0：A不对称 {0|1} opts.isreal =1:A为实数 =0：otherwise {0|1} opts.tol 收敛？？？（没看懂）**估计 d = eigs(A,B,k,sigma,options) %同上。以下的参数k、sigma、options相同。 d = eigs(Afun,n) %用函数Afun代替A，n为A的阶数，D为特征值。 d = eigs(Afun,n,B) d = eigs(Afun,n,k) d = eigs(Afun,n,B,k) d = eigs(Afun,n,k,sigma) d = eigs(Afun,n,B,k,sigma) d = eigs(Afun,n,k,sigma,options) d = eigs(Afun,n,B,k,sigma,options) [V,D] = eigs(A,…) %D为6个最大特征值对角阵，V的列向量为对应特征向量。 [V,D] = eigs(Afun,n,…) [V,D,flag] = eigs(A,…) %flag表示特征值的收敛性，若flag=0，则所有特征值都收敛，否则，不是所有都收敛。 [V,D,flag] = eigs(Afun,n,…) 特征值和特征向量的性质与求法 方磊 （陕理工理工学院（数学系）数学与应用数学专业071班级，陕西汉中 723000）” 指导老师：周亚兰 [摘要] ：本文主要给出了矩阵特征值与特征向量的几个性质及特征值、特征向量的几种简单求法。 [关键词]：矩阵线性变换特征值特征向量 1 特征值与特征向量的定义及性质 定义1：（ⅰ）设A 是数域p 上的n 阶矩阵，则多项式|λE-A|称A 的特征多项式，则它在 c 上的根称为A 的特征值。 （ⅱ）若λ是A 的特征值，则齐次线性方程组(λE-A) X =0的非零解，称为A 的属于特征值λ的特征向量。 定义2：设α是数域P 上线性空间v 的一个线性变换，如果对于数域P 中的一数0λ存在一个非零向量ξ，使得a ξ=0λξ，那么0λ 成为α的一个特征值而ξ称为α的属于特征值0λ的一个特征向量。 性质1： 若λ为A 的特征值，且A 可逆，则0≠λ、则1-λ 为1-A 的特征知值。 证明： 设n λλλ 21为A 的特征值，则A =n λλλ 21ο≠ ∴λi≠0(i=1、2…n) 设A 的属于λ的特征向量为ξ 则ξλξi =?A 则λ1 -A ξ=ξ即有 1 -A ξ=1 -λ ξ ∴1 -λ 为1 -A 的特征值，由于A 最多只有n 个特征值 ∴1 -λ 为1 -A ξ的特征值 性质2：若λ为A 的特征值，则()f λ为()f A 的特征值 ()χf =n n a χ +1 0111 1x a x a x a n n +++-- 证明：设ξ为A 的属于λ的特征向量，则A ξ=λξ ∴ ()A f ξ=(n n A a +E a A a A a n n 011 1+++-- )ξ = n n A a ξ+ 1 1--n n A a ξ+… +E a 0 ξ =n n a λξ+1 1--n n a λ+…+E 0a ξ =()λf ξ 又ξ≠0 ∴ ()λf 是()A f 的特征值 性质3：n 阶矩阵A 的每一行元素之和为a ，则a 一定是A 的特征值 浅谈矩阵的特征值与特征向量的应用(终稿) 浅谈矩阵的特征值与特征向量的应用 摘要 特征值与特征向量在现代科学中有重要的应用。本文介绍了特征值与特征向量的定义以及性质，并且给出了在线性空间中线性变换的特征值、特征向量与矩阵中的特征值、特征向量之间的关系。然后介绍了几种特征值与特征向量的求解方法。最后介绍了特征值与特征向量在实际中的应用，如在数学领域中、物理中以及经济发展与环境污染增长模型中的应用等等。 关键字：特征值；特征向量；应用；矩阵；初等变换 Abstract Eigenvalues and eigenvectors have important applications in modern science. This paper introduces the definition and nature of the eigenvalues and eigenvectors, eigenvalues and gives linear space of linear transformations, eigenvectors and eigenvalues of the relationship matrix, feature vectors. Then introduces several eigenvalues and eigenvectors of solving methods. Finally, the eigenvalues and eigenvectors in practical application, such as in the fields of mathematics, physics, economic development and environmental pollution growth model and the application, and so on. Keys words：eigenvalue；eigenvector；application；matrix；elementary； 目录 浅谈矩阵的特征值与特征向量的应用 (2) 摘要 (2) Abstract (2) 第1章引言 (4) 1.1 研究背景 (4) 1.2 研究现状 (5) 1.3 本文研究目的及意义 (6) 第2章特征值与特征向量的一般理论 (6) 2.1 特征值与特征向量的定义和性质 (6) 2.1.1 特征值与特征向量的定义 (7) 2.1.2 特征值与特征向量的性质 (7) 2.2 特征值与特征向量的一般求解方法 (8) 2.2.1 一般数字矩阵的简单求解 (8) 矩阵特征值与特征向量的几个问题的思考 第1章引言 矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具.“矩阵”这个词是由西尔维斯特（J.Sylvester，英国,1814-1897）首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语.而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了.从行列式的大量工作中明显的表现出来，方阵本身可以用行列式的性质来研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的.在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反. 矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论.而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论.矩阵及其理论现已广泛地应用于现代科技的各个领域. 现代行列式与矩阵的研究从形式上已推广到无限阶，从内容上已有了属于抽象域的元素的矩阵，这些理论都在继续发展之中. 现如今，矩阵在许多领域有所应用，一般只要是多维函数关系都能用到，如经济领域、矢量计算、流体流动、传热传质等等.这些领域的问题既是实际问题的应用，实质上也是数学理论的求解.对于数学的场论等方面理论问题，有时需要这一工具来求解.它在数学的发展史上 有一定地位与作用，它的产生主要源自于解决现实多元问题的需要，但是建立在数学理论发展到一定阶段的基础上. 第2章 矩阵特征值与特征向量的概念 2.1 矩阵特征值与特征向量 工程技术中的一些问题，如振动问题和稳定性问题，常可归结为求一个方阵的特征值和特征向量的问题.数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组等问题，也要用到特征值的理论. 2.1.1 矩阵的特征值与特征向量 定义1 设A 是n 阶矩阵，如果λ和n 维非零列向量x 使关系式 x x λA = （1） 成立，那么，这样的数λ称为矩阵A 的特征值，非零列向量x 称为A 的对应于特征值λ的特征向量.（1）式也可写成 ()0x λA -E =， 这是n 个未知数和n 个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是系数行列式0λA -E =，即 1112 1212221 2 -=0n n n n nn a a a a a a a a a λλλλ --A E =- 上式是以λ为未知数的一元n 次方程，称为矩阵A 的特征方程.其左端-λA E 是λ的n 次多项式，记作()f λ，称为矩阵A 的特征多项式.显然，A 的特征值就是特征方程的解.特征方程在复数范围恒有解，其个数为方程的次数（重数按重数计算）.因此，n 阶矩阵A 在复数范围内有n 个特征值. 矩阵特征值和特征向量解法的研究 周雪娇 （德州学院数学系，山东德州 253023） 摘 要：对矩阵特征值和特征向量的一些方法进行了系统的归纳和总结.在比较中能够 更容易发现最好的方法，并提高问题的解题效率. 关键词： 矩阵； 特征值； 特征向量； 解法 引言 矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具.矩阵计算问题是很多科学问题的核心.在很多工程计算中，常常会遇到特征值和特征向量的计算问题，如：机械、结构或电磁振动中的固有值问题；物理学中的各种临界值等，这些特征值的计算往往意义重大.很多科学问题都要归结为矩阵计算的问题，在这里主要研究矩阵计算中三大问题之——特征值问题. 1 矩阵特征值与特征向量的概念及性质 1.1 矩阵特征值与特征向量的定义 设A 是n 阶方阵，如果存在数λ和n 维非零向量x ，使得x Ax λ=成立，则称 λ为A 的特征值，x 为A 的对应于特征值λ的特征向量. 1.2 矩阵特征值与特征向量的性质 矩阵特征值与特征向量的性质包括： （1）若i i r A 的是λ重特征值，则i i s A 有对应特征值λ个线性无关的特征向量，其中i i r s ≤. （2）若线性无关的向量21,x x 都是矩阵A 的对应于特征值0λ的特征向量，则当21,k k 不全为零时，2211x k x k +仍是A 的对应于特征值0λ的特征向量. （3）若A n 是矩阵λλλ,,,21 的互不相同的特征值，其对应的特征向量分别是 n x x x ,,,21 ，则这组特征向量线性无关. （4）若矩阵()n n ij a A ?=的特征值分别为n λλλ,,,21 ，则 nn n a a a +++=+++ 221121λλλ，A n =λλλ 21. （5）实对称矩阵A 的特征值都是实数，且对应不同特征值的特征向量正交. （6）若i λ是实对称矩阵A 的i r 重特征值，则对应特征值i λ恰有i r 个线性无关的特征向量. （7）设λ为矩阵A 的特征值，()x P 为多项式函数，则()λP 为矩阵多项式()A P 的特征值.[]1 2 普通矩阵特征值与特征向量的求法 2.1 传统方法 确定矩阵A 的特征值和特征向量的传统方法可以分为以下几步： （1）求出矩阵A 特征多项式()A E f -=λλ的全部特征根； （2）把所求得的特征根()n i i ,,2,1 =λ逐个代入线性方程组()0=-X A E i λ， 对于每一个特征值，解方程组()0=-X A E i λ，求出一组基础解系，这样，我们也就求出了对应于每个特征值的全部线性无关的特征向量.[]2 例1 已知矩阵 ???? ? ?????-=11 111 110 A 求矩阵A 的特征值和特征向量. 解 A E -λ = 1 1 1 1 1 11 ------λλλ = ()21-λλ 所以，由()012=-λλ知A 的特征根1,0321===λλλ.特征值和特征向量的性质与求法
浅谈矩阵的特征值与特征向量的应用(终稿)复习课程
矩阵特征值与特征向量的几个问题的思考
矩阵特征值和特征向量解法的研究
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