习题
1. (1) 若A 2
= E ，证明A 的特征值为1或-1;
(2) 若A 2
= A ，证明A 的特征值为0或1. 证明（1）2
2A E A =±所以的特征值为1，故A 的特征值为1
（2）
2222
2
,,()0,001
A A A X A X AX X X
X λλλλλλλ===-=-==所以两边同乘的特征向量得即由于特征向量非零，故即或
2. 若正交矩阵有实特征值，证明它的实特征值为1或 -1. 证明
1,1
T T T A A A E A A A A A λλλλ
-=∴==±设是正交阵，故有与有相同的特征值，
1
故设的特征值是，有=，即
3．求数量矩阵A=aE 的特征值与特征向量. 解
A 设是数量阵，则
000000000000a a
A aE a a
a E A a
λλλλ??
?
?== ?
???
---=
-L L L L L
L
L
L L L L L
所以：特征值为a (n 重), A 属于a 的特征向量为 k 1(1,0,…,0)T + k 2(0,1,…,0)T
+ k n (0,0,…,1)T
，(k 1, k 2, …, k n 不全为0)
4．求下列矩阵的特征值与特征向量.
（1）113012002-?? ?
? ???
（2）324202423?? ? ? ???
（3）???
?? ??---122212
221 （4）212533102-?? ?- ? ?--??
()1112221211(5) , , (0,0)0.T T n n n n a a b a a b A b b b a b a a b αβαβαβ??
???? ? ? ? ? ? ?====≠≠= ? ? ? ? ? ? ? ? ???
????
L M M M 其中，且 解（1）
11
3
0120,1,2,00
2A E AX λλλ
λλλλ
---=-====-0,123求得特征值为:分别代入=求得
A 属于特征值1的全部特征向量为k(1,0,0)T
，(k ≠0)
A 属于特征值2的全部特征向量为k(1，2，1)T
，(k ≠0)
解（2）
131323249490492222024
234
2
312
349(1)(1)(8)
2
A E r r c c λ
λλλλλλλλλλ
λλ
λλλλλλλ
-------=
-+-----+---+=-+--按第一列展开
231,8λλλ==-=1求得特征值：
将其代入()A E X λ-=0，求得特征向量：
1211211001X k k λ??
- ?-?? ? ?=-=+ ? ?
? ?
?? ?
??
时，，12,k k 不全为零
11
821X k λ?? ? ?== ? ???
时， 0k ≠
解（3）
12312312
2111111212212(1)21222
12
2
12
2
1011
(1)112(1)(1)(3)0
211,1,3
A E r r r λλλλλλ
λλλλ
λ
λ
λλλλλλλ
λλλ-----=--++--=------------=-+--=-+-+--==-=解得：
代入()A E X λ+=0，求得特征向量：
A 属于特征值-1的全部特征向量为k(1,-1,0)T
，(k ≠0)；A 属于特征值1的全部特征向量
为k(1,-1,1)T
，(k ≠0)；A 属于特征值3的全部特征向量为k(0,1,-1)T
，(k ≠0)
解（4）
32
23
212212533503751
21
2(1)[21](1)r r λλλλλλ
λ
λλλλ------?+----------=+---=-+直接展开：
特征值为-1，-1，-1；A 属于特征值-1的全部特征向量为k(1,1,-1)T
，(k ≠0)
解（5）
()11112122122
21212
n n n n n n n n a a b a b a b a
a b a b a b A b b b a a b a b a b ????
?
? ? ?
== ? ? ?
?????
L L L
M L L L
设λ为A 的任一特征值，A 的属于λ的特征向量为：ξ，则 A ξλξ= 于是 2
2
A A ξλξλξ== 而2
()()0T
T
T
T
T
T
T A αβαβαβαβααββ====
故 2λξ=0，因为特征向量0ξ≠，所以 0λ=，即矩阵A 的所有特征值为0.
1112
11112
12122221
22211
21
2120,000000
0n n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b A E a b a b a b a b a b a b a b b b b λλλλ-????
? ?- ? ?
-=≠≠ ? ?
?
?-????
??
? ? ? ???
L
L
L L
u u
u u u u u u u u u u u r L L L L L L
L u u u u u u u u u u u u u r M L L
1初等行变换
解得基础解系：
3211112n-1100,,010001n b b b b b b ξξξ??????
--- ? ? ?
? ? ?
? ? ?
===
? ? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
??????
L M M M
特征值为0（n 重）；A 属于n 重特征值0的全部特征向量为：
k 12
1100b b ??- ?
?
? ?
?
?
??M + k 231010b b ??- ? ? ? ? ? ???M + … + k n －11001n b b ??- ? ? ? ? ? ???
M （ k 1，k 2，…，k n －1不全为零）
15. 122 212221(1)2A A E A --??
?
=-- ? ?--??
+设
求的特征值与特征向量；（）求特征值与特征向量.
解 (1）
12332122311310
2
12212211221221221310
4
14
30(1)
(1)(5)(1)32
2
21A E r r r c c λ
λλ
λλλλλλλλλλλ
λλλ
λλλλλλ
λ
-----------=---++--------------------=--=-=-+-+---
()()123121231,5
122211122200022200011110(,001142221152421212240005A E k k k k A E λλλλλξλλ===-=---????
? ?
-=--→ ? ? ? ?--????
=???? ? ?
=+ ? ? ? ?????
=????
? ?
+=-→- ? ? ? ?-????
=-将代入特征矩阵：
故属于的特征向量为不全为）
将代入特征矩阵：
属于的特征向量1101k k ξ-??
?
=≠ ? ???
：（）
(2）114:112,155
E A -++=-=的特征值为
6. 已知12是矩阵???
?
? ??---=44174
147a A 的一个特征值，求a 的值. 解
712
41541112
124
7121451099
4
41248040
121204
A E a a a A A E a --------=
--=--=------+∴-=∴=-Q 是的特征值，
7. 已知X = 11k ?? ? ? ???是矩阵A = 211121112??
?
? ???
的一个特征向量.求k 及X 所对应的特征值.
解
1212122111112111211211212,1,122114
AX X
k k k k k k k k k k λλλ
λλλλ=?????? ??? ?= ??? ? ??? ???????
++=??
++==-=??++=?
=-=????==??解得：代回得
习题
1. 判断习题第4题中各矩阵能否与对角矩阵相似.如果相似，求出相似变换矩阵与对角矩
阵. 1）
1λλ==12特征值只有一个线性无关的特征向量，不能对角化
2）二重根21λλ==-1有两个线性无关的特征向量，可以对角化. 相似变换矩阵为
112201012P --?? ?= ? ??? 对角阵为100010008-?? ?Λ=- ? ?-??
3）矩阵有三个互异的特征值，故可以对角化.
110111011P ?? ?=-- ? ?-?? 对角阵为100010003-?? ?Λ= ? ???
4）不能对角化.
5）101n n λ-=-重根有个线性无关的特征向量，所以可以对角化.
2．判断下列矩阵是否与对角阵相似，若相似，求出可逆矩阵P ,使1P AP -为对角阵.
（1）211020413A -?? ?= ? ?-?? （2）112010001A -?? ?
= ? ???
解 (1)
2
123211
21
20(2)(1)(2)434
131,2
2()1A E R A E λ
λλλλλλλ
λ
λλλλλ-----=
-=-=-+-----=-===-=时，所以该矩阵可以对角化
代入1232,
1λλλ===-解得对应的特征向量分别为：
1211140,0041k k k ?????? ? ? ?+ ? ? ? ? ? ??????? 所以：可逆矩阵111400041P ??
?
= ? ???
解 (2)
3
112010(1)0
11()1
A E R A E λ
λλλλ
λλ---=
-=---=-=时，故该矩阵不能对角化
3．设A 是一个3阶矩阵，已知A 的特征值为1，-1，0，A 属于这3个特征值的特征向量分别为
1231012,2,1112X X X ??????
? ? ?==-= ? ? ? ? ? ???????
求A .
解 A 有三个互异的特征值，所以可以对角化.
1
1
1
1001010
102210001121000
10000:
1011001
01100100512(|)2210
100
21210010311112001011101001412512311412A P A P P P P E P ---????
? ?→-=- ? ?
? ?????
?? ?=- ? ??
?
--??????
? ? ?
=-→---→-- ? ? ?
? ? ?--?
?????
--? ∴=-- -?求512164
6201A --????
?=--?
? ? ?-?
??
4．计算122212 (221k
k ??
?
? ???
为正整数）.
解
122522122212512(5)0102
2
152
10
1A E λ
λλλλλλλ
λ
λ
λ
λ
---=
-=--=--------
2(5)(1)λλ=-+
2221111()222000222000A E λλ????
? ?
=--=→ ? ? ? ?????
时，
2111001K ξ--????
? ?+ ?
? ? ?????
1解得特征向量：
=k ，12,0k k ≠
4222421015()242422011224000000A E λλ---?????? ? ? ?
=-=-→-→- ? ? ?
? ? ?-??????
时，
111ξ??
?
?
???
解得特征向量：=k 0k ≠
1
21333122-11111
12212 =101133322101151113
33k k ??- ?--?????? ? ? ??? ?--- ? ??? ? ? ??? ??????? ? ?
??
11(1)(1)5-1211(1)0511230
(1)5111k k k k k k k ++??---??
? ?=--- ? ?
? ?-???? 11111112(1)5(1)5(1)51(1)52(1)5(1)53(1)5(1)52(1)5k k
k k k k k k k k k k k k
k k
k k +++++++??
-+-+-+
?
=-+-+-+ ? ?-+-+-+?
?
5．设
200222,233A a B a b -???? ? ?=-= ? ? ? ?--????
A 与
B 相似.
（1） 求a,b 的值；
（2） 求可逆矩阵P,使1
P AP -=B . 解
1）A 与B 相似，故A 与B 有相同的特征多项式，即：
3223220022
2(2)
(1)(4)2(2)
1
131
12000
20(2)()(1)(2)20
0224,2(4),20,2
E A E B
a E A a a a a E B
b b b b b b a b a b a a b λλλ
λλλλλλλλ
λλ
λλλλλλλλ
-≡-----=--=+=---++-----=--=---=-++-+-=--=-+=-∴==-各项系数对应相等可得：（2）
()()1122001202,231121
1001001000212212012)231110000012
40010010022221110311311A B A E A E X k A E λλ--???? ? ?== ? ?
? ?-????=--????????
? ? ? ?
+=→→+=- ? ? ? ? ? ? ? ?-????????
=-???? ? ?-=-→-→ ? ? ? ?--????0解得（的基础解系为()2330112)100012
000111101122223130102)0313*******A E X k A E A E X k λ????
? ?
--= ? ? ? ?????
=--????????
? ? ? ?
+=→→+= ? ? ? ? ? ? ? ?????????
00解得（的基础解系为解得（的基础解系为
最后解得可逆矩阵001210,111P -??
?=- ? ???
使得1
P AP B -=
6. 设A =???
?
?
??0011100y x 与对角阵相似，求x ，y 满足的条件.
解
01
1(1)(1)(1)1
A E x
y λ
λλλλλλ
--=-=--+- 110110*********A E x y x y λ=--???? ? ?-=→ ? ?
? ?-????
将代入特征矩阵：
由于A 与对角矩阵相似，()2R A E -=故
0x y x y =-+=于是即
7．设A 与B 相似，f （x ）= a 0x n
+ a 1x n ―1
+ … + a n ―1x + a n （a 0 ≠ 0），证明 f （A ）与 f （B ）
相似． 证明
1110111111101111111011,()()()()
n n n n n n n n k k
k k k n n n n A B
P P AP B P a A a A a A a E P
a P A P a P A P a P A P a P EP P A P B B P AP P A P P f A P a B a B a B a E f B ----------------=++++=++++====++++=:L L L 因所以存在可逆使得现证明因代回
故f （A ）与 f （B ）相似
8．若A 与B 相似，C 与D 相似，证明 ???
?
??C A 00 与 ???? ??D B 00 相似. 证明
1
11112221
1
111
22
1
1
11
11112222,,,A B C D
P P
AP B P P CP D P P P P P P P A B P P AP P C D P P CP ---------==??
??== ? ??
??
?
??????????== ? ? ?
? ?
???
????
??
?若相似于相似于则存在有存在有得证
习题
1．求正交矩阵Q ，使1
Q AQ -为对角阵.
(1) 220212020A -?? ?=-- ? ?-?? （2）211121112A --?? ?
=-- ? ?--??
解
（1）先求特征值和特征向量
()3221220
212(2)(1)4(2)402
368(1)2(4)(1)(2)(4)(1)110
1120121120120210102101202102100000
0A E A E λ
λλλλλλλλ
λλλλλλλλλλλ---=-------+--=-++-=--++-=-+--=??---??????
? ? ? ?
?-=--→→→ ? ? ? ? ? ? ?-- ????????
?
直接展开将代入：
解得特征向量：
1232113223P ??- ?-??
? ? ?=-- ?
? ? ???
? ???
单位化得：
()224
220220102232012012024024000232223113A E P λλ=-----??????
? ? ?
-=---→--→ ? ? ? ? ? ?----??????
?? ?
?? ? ? ?=-- ? ?
? ??? ? ?
??
解得单位化：
32
1104202102102232232011011022011000000A E λλ=-?
?-
?
---??????
? ? ? ?-=--→--→-→- ?
? ? ? ? ? ? ?--?????? ?
??
3131223223P ?? ???
? ?
?= ?
? ? ???
? ???
解得正交化： 于是构成正交矩阵
2213332
123331223
3
3Q ?? ? ?
?=-
? ? ?
- ???
,1412Q AQ -?? ?
= ? ?-?? 解
（2）先求特征值和特征向量
(
)211211001
211211301
1
21
1
21
3(3)02111
211010121112011112000000111A E A E λ
λλλλλλλλλ
λ
λ
λλλξξ--------=------=----------=--=-----??????
?
? ?-=--→--→- ? ? ?
? ? ?--???
???
??
?
== ? ???r1+r2+r3将代入：
解得：单位化：
()12
23311
1111311
10001110001111101,10102A E λ=---???? ? ?-=---→ ? ?
? ?---????----???????? ?
? ? ?====- ? ? ? ? ? ? ? ???
??????
将代入：解得：P P 正交化：P P
单位化23,0ξξ? == ? ? ? ??
???
于是构成正交矩阵
10,330
Q Q AQ -??
?== ? ??????
2．已知 1λ= 6，2λ=3λ= 3是实对称矩阵A 的三个特征值，A 的属于 2λ=3λ= 3的特征向
量为X 2 = ????? ??-101， X 3 = ???
?? ??-121，求A 的属于1λ= 6的特征向量及矩阵A ．
解 令A 的属于16λ=的特征向量为：1123x X x x ??
?
= ? ???
12130T T X X X X ==
3123101201x X x x ??
+=? ?=?
?-+=? ?
??
11有：
-x 解得：x
1
111611110231021113111A ---?????? ?????=-- ????? ???????????
1
113
33111641111102301412
211131141116
3
6??
?-?????? ? ??? ? ?=--
= ??? ? ? ???
? ??????? ?- ??
?
且A 的属于16λ=的特征向量为：111(0)1X k k ?? ?
=≠ ? ???
121236110,211,6T
T A A A A A λλαα====3.设阶实对称矩阵的秩为2，是的二重特征值，若（，，）（，，）都是属于特征值的特征向量.
（1）求的另一特征值和对应的特征向量；（2）求.
解 （1）()2,0R A A ==因为所以
A 的另一特征值为0，令其相应的特征向量为123x X x x ??
?
= ? ???
，满足210T T X X αα==
212310101x X x x -??
+=? ?=?
?++=? ?
??
11有：
x 解得：2x
1
1211216
121(2)111,1
11611101101100110
111216422112111624233301102241
113
33P A ----????????
?
?????∴== ? ????? ? ????????
??
????? ?
--??????
? ??? ? ?=-=- ??? ? ? ??? ?- ???????
?-??
习题五 (A)
一、填空题
1．已知3阶矩阵A 的特征值为1，3，-2，则A-E 的特征值为 , A *
的特征值为 2
()A E *+的特征值为 .
解 A-E 的特征值为A 的特征值减1，故A-E 的特征值为0，2，-3.A *
的特征值为
**222,13(2)6623
(6)2)3 1.37,5,10
A
A A A μλ
=
=??-=-----+2求得的特征值为：，，)+E 的特征值为：(+1，(+1，即
2．n 阶矩阵A 的特征值为1，2 ，3 ，… ，n ，则(1)A n E -+ . 解
-(1)()(1)(2)(1)(1)!
n
A A n n n n n +=----=-L L -(n+1)E 的特征值为：1-(n+1)=-n,2-(n+1)=1-n,3-(n+1)=2-n,n-(n+1)=-1所以
3. 已知3阶矩阵A 的特征值为1，3，5，则A E *+= . 解
***13515,1553
1664384
A
A A A A μλ
=??=∴=
∴=??=求得的特征值为：即，，+E 的特征值为：16,6,4,+E
4. 设A 为3阶方阵，且220A E A E A E +=-=-=，则A = ，12A E -+ = ，2A E += . 解
由题意知：1122
1
2124,,1,
2
5,3,,,1,4;2
A A A A A A ---=-1的特征值为，，，的特征值为：-23+2E 的特征值为：的特征值为：4+E 的特征值为5,2,52
12
452,504
A E A E -+=
+= 5．若3阶方阵A 与B 相似，A 的特征值为41
,31,21，则???
?
?
?---11A O E E B = . 解
111
1111
111
1
,,123234144B E
E B E A O
A A
B A B A B B B E E B E A O
A -----------??-=- ???
??-∴=-=?????= ???
Q 相似于与有相同的特征值，的特征值都为：2，3，4-E 的特征值为：1，2，3
6．已知3阶矩阵A -1
的特征值为1，2，3，则A *
的特征值为 . 解
1*11236,6
11
1111,,,,,
23632
A A A A λ-=??==
=A 的特征值为的特征值为
7. 已知矩阵11020421A x -?? ?
= ? ???
的特征值为1,2,3,则x = .
解
()()111236,4tr A tr A x x =∴=++=++=∴=特征值的和，
8. 已知3阶矩阵A 的特征值为1，3，2，则211
()3
A -的特征值为 . 解
221(133
13
3,,
34
A A A A -1-1的特征值为：1,3,2
1
)的特征值为
的特征值的平方1求得：()的特征值3 9. 设A ，B 均为3阶方阵，A 的特征值为1，2，3，B = -1，则B B A +*= . 解
**()||12367()||743(1)84
A B B A E B A E B A A A A A B B A E B A E B ******+=+=+=??=+=+=+=???-=-因的特征值是1，2，3，故的特征值是6,3,2+E 的特征值是,4,3
10. 设
??
???
??=????? ??=400010000 ,111111B a b b A
有相同的特征值，则a = ， b = . 解
,A B
有相同的特征值，即
2()(),1114030
11
31(1)0,1
111
tr A tr B a a A A B b A b b b =∴++=++=====--=∴=代入由
11. 已知矩阵A 的各行元素之和为2,则A 有一个特征值为 . 解
111211112121
222212221
2
12112
11111212222212221
1
2
21
222
n n n n
n n nn n n nn n
j n j n n
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n j n n nn n
nj n j a a a a a a a
a a a a a A a a a a a a a a a a a a a a a a a a A E a a a a a λλ
λ
λλλλ
λ===+++=??? ??+++=? ?=? ?? ??+++=???------=
--∑
∑
∑
L L L L L L L L
L L
L L L L L L
L L
L
令：由题意：nn a λ
-
112
1112122222221
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2
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nj n nn j a a a a a a a a a a a a a a a λλλ
λλλλ
λ
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∑∑
L
L L L L L L
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L
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1
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L L L L
显然A 有一个特征值为2
第五章 矩阵的特征值与特征向量 习题 1 试用施密特法把下列向量组正交化 (1)???? ? ??=931421111) , ,(321a a a (2)?????? ? ??---=011101110111) , ,(321a a a 2 设x 为n 维列向量 x T x 1 令HE 2xx T 证明H 是对称的正交阵 3 求下列矩阵的特征值和特征向量: (1)???? ? ??----20133 5212; (2)???? ? ??633312321. 4 设A 为n 阶矩阵 证明A T 与A 的特征值相同 5 设0是m 阶矩阵A mn B nm 的特征值 证明也是n 阶矩阵BA 的特征值. 6 已知3阶矩阵A 的特征值为1 2 3 求|A 35A 27A | 7 已知3阶矩阵A 的特征值为1 2 3 求|A *3A 2E | 8 设矩阵???? ? ??=50413102x A 可相似对角化 求x 9 已知p (1 1 1)T 是矩阵???? ? ??---=2135 212b a A 的一个特征向量
(1)求参数a b 及特征向量p 所对应的特征值 (2)问A 能不能相似对角化并说明理由 10 试求一个正交的相似变换矩阵, 将对称阵???? ? ??----020212022化为对角阵. 11 设矩阵????? ??------=12422421x A 与???? ? ??-=Λy 45相似 求x y 并求一个正交阵P 使P 1AP 12 设3阶方阵A 的特征值为12 22 31 对应的特征向量依次为p 1(0 1 1)T p 2(1 1 1)T p 3(1 1 0)T 求A . 13 设3阶对称矩阵A 的特征值16 23 33 与特征值16对应的特征向量为p 1(1 1 1)T 求A . 14 设????? ??-=340430241A 求A 100
关于特征值与特征向量的求解方法与技巧 摘 要:矩阵的初等变换是高等代数中运用最广泛的运算工具，对矩阵的特征值与特征向量的求解研究具有一定意义。本文对矩阵特征值与特征向量相关问题进行了系统的归纳，得出了通过对矩阵进行行列互逆变换就可同时求出特征值及特征向量的结论。文章给出求解矩阵特征值与特征向量的两种简易方法: 列行互逆变换方法与列初等变换方法。 关键词: 特征值，特征向量; 互逆变换; 初等变换。 1 引言 物理、力学、工程技术的许多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值与特征向量问题，直接由特征方程求特征值是比较困难的，而在现有的教材和参考资料上由特征方程求特征值总要解带参数的行列式，且只有先求出特征值才可由方程组求特征向量。一些文章给出了只需通过行变换即可同步求出特征值及特征向量的新方法，但仍未摆脱带参数行列式的计算问题。本文对此问题进行 了系统的归纳，给出了两种简易方法。 一般教科书介绍的求矩阵的特征值和特征向量的方法是先求矩阵A 的特征方程()0A f I A λλ=-=的全部特征根(互异) ，而求相应的特征向量的方法则是对每个i λ 求齐次线性方程组()0i I A X λ-=的基础解系，两者的计算是分离的，一个是计算行列式，另一个是解齐次线性方程组, 求解过程比较繁琐，计算量都较大。
本文介绍求矩阵的特征值与特征向量的两种简易方法， 只用一种运算 ——矩阵运算， 其中的列行互逆变换法是一种可同步求出特征值与特征向量的方法， 而且不需要考虑带参数的特征矩阵。而矩阵的列初等变换法， 在求出特征值的同时， 已经进行了大部分求相应特征向量的运算， 有时碰巧已完成了求特征向量的全部运算。两种方法计算量少， 且运算规范，不易出错。 2 方法之一： 列行互逆变换法 定义1 把矩阵的下列三种变换称为列行互逆变换: 1. 互换i 、j 两列()i j c c ?，同时互换j 、i 两行()j i r r ? ； 2. 第i 列乘以非零数()i k kc ， 同时第i 行乘11i c k k ?? ?? ? ； 3. 第i 列k 倍加到第j 列()j i c kc +， 同时第j 行- k 倍加到第i 行 ()i j r kr -。 定理1 复数域C 上任一n 阶矩阵A 都与一个Jordan 标准形矩阵 1212,,....r k k kr J diag J J J λλλ? ? ???????? ??? ? ?? ?? ? ? ? ?? ? ?=相似， 其中 111110...0001...00..................000...1000...0ki ki J λλλλ?? ?? ?? ??=?? ??????称为Jordan 块， 12r k k k n +++=L 并且 这个Jordan 标准形矩阵除去其中Jordan 块的排列次序外被矩阵A 唯一确定， J 称为A 的Jordan 标准形。 定理2 A 为任意n 阶方阵, 若T A J I P ?? ????????→ ? ????? 一系列列行互逆变换其中
第五章 矩阵的特征值与特征向量 5.1矩阵的特征值与特征向量 5.1.1矩阵的特征值与特征向量的概念 设A 是n 阶矩阵，若存在数λ及非零的n 维列向量α，使得：λαα=A (0≠α)成立，则称λ是矩阵A 的特征值，称非零向量α是矩阵A 属于特征值λ的特征向量. 5.1.2矩阵的特征值与特征向量的求法 把定义公式λαα=A 改写为()0=-αλA E ,即α是齐次方程组()0=-x A E λ的非零解.根据齐次方程组有非零解的充分条件可得：0=-A E λ. 所以可以通过0=-A E λ求出所有特征值，然后对每一个特征值i λ，分别求出齐 次方程组()0=-x A E i λ的一个基础解系，进而再求得通解. 【例5.1】求??? ? ? ?????------=324262423A 的特征值和特征向量. 解：根据()()0273 2 4 26 24 23 2 =+-=---= -λλλλλλA E ，可得71=λ，22-=λ. 当7=λ时，??? ? ? ?????? ??? ???????=-0000002124242124247A E ， 所以()07=-x A E 的一个基础解系为：()T 0,2,11-=α,()T 1,0,12-=α，则相应的特征向量为2211ααk k +，其中21,k k 是任意常数且()()0,0,21≠k k . 当2-=λ时，???? ? ?????--? ??? ? ??????---=--00012014152428242 52A E ，所以()02=--x A E 的一个基础解系为()T 2,1,23=α，则相应的特征向量为33αk ，其中3k 是任意常数且
1.////////////////////////////////////////////////////////////////////// 2.// 求实对称矩阵特征值与特征向量的雅可比法 3.// 4.// 参数： 5.// 1. double dblEigenValue[] - 一维数组，长度为矩阵的阶数，返回时存放特征值 6.// 2. CMatrix& mtxEigenVector - 返回时存放特征向量矩阵，其中第i列为与 7.// 数组dblEigenValue中第j个特征值对应的特征向量 8.// 3. int nMaxIt - 迭代次数，默认值为60 9.// 4. double eps - 计算精度，默认值为0.000001 10.// 11.// 返回值：BOOL型，求解是否成功 12.////////////////////////////////////////////////////////////////////// 13.BOOL CMatrix::JacobiEigenv(double dblEigenValue[], CMatrix& mtxEigenVector, int nMaxIt /*= 60*/, double eps /*= 0.000001*/) 14.{ 15.int i,j,p,q,u,w,t,s,l; 16.double fm,cn,sn,omega,x,y,d; 17. 18.if (! mtxEigenVector.Init(m_nNumColumns, m_nNumColumns)) 19.return FALSE; 20. 21.l=1; 22.for (i=0; i<=m_nNumColumns-1; i++) 23.{ 24.mtxEigenVector.m_pData[i*m_nNumColumns+i]=1.0; 25.for (j=0; j<=m_nNumColumns-1; j++) 26.if (i!=j) 27.mtxEigenVector.m_pData[i*m_nNumColumns+j]=0.0;//单位矩阵 28.} 29. 30.while (TRUE) 31.{ 32.fm=0.0; 33.for (i=1; i<=m_nNumColumns-1; i++) 34.{ 35.for (j=0; j<=i-1; j++) 36.{ 37.d=fabs(m_pData[i*m_nNumColumns+j]); 38.if ((i!=j)&&(d>fm)) 39.{ 40.fm=d; 41.p=i; 42.q=j; }//取绝对值最大的非对角线元素，并记住位置
矩阵的特征值与特征向量专题讲解 一、内容提要 一、矩阵的特征值和特征向量 1、基本概念 设A 为n 阶方阵，若存在数λ和n 为非零向量0,a ≠使Aa a λ=，则称λ是A 的特征值，a 是属于λ的特征向量；矩阵E A λ-称为A 的特征矩阵；E A λ-是 λ的n 次多项式，称为A 的特征多项式；E A λ-=0称为A 的特征方程； 2、特征值、特征向量的求法 （1）计算A 的特征值，即解特征方程E A λ-=0； （2）对每一个特征值0λ，求出相应的齐次线性方程组()00E A X λ-= 一个基础解系123,ξξξ，，...,则属于0λ的全部特征向量为11...s s k k ξξ++，其中1,...,s k k 为不全为零的任意常数； 3、特征值、特征向量的性质 （1）A 与T A 的特征值相同（但特征向量一般不同）； （2）属于同一特征值的特征向量的线性组合仍是属于该特征值的特征向量； （3）属于不同特征值的特征向量线性无关； （4）设()0Aa a a λ=≠，则(),,m kA A P A 的特征值分别为(),,m k P λλλ，其中 ()P x 为任一多项式，而a 仍为相应的特征向量； （5）若A 可逆，()0Aa a a λ=≠，则 1 λ 是1A -的特征值； A λ 是*A 的特征值， a 仍为相应的特征向量； （6）设12n λλλ，，...是n 阶方阵的特征值，则有()1 1 n n i ii i i a tr A λ====∑∑（迹）； 1 n i i A λ ==∏;推论：A 可逆当且仅当A 的特征值全不为零； （7）若A 为实对称阵，则A 的所有特征值均为实数，且属于不同特征值的 特征向量彼此正交。 二、相似矩阵
第五章矩阵的特征值和特征向量 来源：线性代数精品课程组作者：线性代数精品课程组 1．教学目的和要求： (1) 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量. (2) 了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对 角矩阵. (3) 了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质. 2．教学重点： (1) 会求矩阵的特征值与特征向量. (2) 会将矩阵化为相似对角矩阵. 3．教学难点：将矩阵化为相似对角矩阵. 4．教学内容： 本章将介绍矩阵的特征值、特征向量及相似矩阵等概念，在此基础上讨论矩阵的对角化问题. §1矩阵的特征值和特征向量 定义1设是一个阶方阵，是一个数，如果方程 (1) 存在非零解向量，则称为的一个特征值，相应的非零解向量称为属于特征值的特 征向量． （1）式也可写成， (2) 这是个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式 , (3) 即 上式是以为未知数的一元次方程，称为方阵的特征方程．其左端是的 次多项式，记作，称为方阵的特征多项式．
== = 显然，的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，阶矩阵有个特征值． 设阶矩阵的特征值为由多项式的根与系数之间的关系，不难证明 （ⅰ） （ⅱ） 若为的一个特征值，则一定是方程的根, 因此又称特征根，若为 方程的重根，则称为的重特征根．方程的每一个非 零解向量都是相应于的特征向量，于是我们可以得到求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下： 第一步：计算的特征多项式； 第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值； 第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组： 的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是 （其中是不全为零的任意实数）． 例1 求的特征值和特征向量. 解的特征多项式为 =
特征向量体现样本之间的相关程度，特征值则反映了散射强度。 特征向量的几何意义.矩阵(既然讨论特征向量的问题.当然是方阵.这里不讨论广义特征向量的概念)乘以一 个向量的结果仍是同维数的一个向量.因此.矩阵乘法对应了一个变换.把一个向量变成同维数的另一个向量.那么变换的效果是什么呢?这当然与方阵的构造有密切关系.比如可以取适当的二维方阵.使得这个变换 的效果就是将平面上的二维向量逆时针旋转30度.这时我们可以问一个问题.有没有向量在这个变换下不 改变方向呢?可以想一下.除了零向量.没有其他向量可以在平面上旋转30度而不改变方向的.所以这个变换对应的矩阵(或者说这个变换自身)没有特征向量(注意:特征向量不能是零向量).所以一个变换的特征向量 是这样一种向量.它经过这种特定的变换后保持方向不变.只是进行长度上的伸缩而已(再想想特征向量的原始定义Ax= cx.你就恍然大悟了.看到了吗?cx是方阵A对向量x进行变换后的结果.但显然cx和x的方向相同).而且x是特征向量的话.ax也是特征向量(a是标量且不为零).所以所谓的特征向量不是一个向量而是一个向量族. 另外.特征值只不过反映了特征向量在变换时的伸缩倍数而已.对一个变换而言.特征向量指明的 方向才是很重要的.特征值不是那么重要.虽然我们求这两个量时先求出特征值.但特征向量才是更本质的 东西! 比如平面上的一个变换.把一个向量关于横轴做镜像对称变换.即保持一个向量的横坐标不变.但纵坐标取相反数.把这个变换表示为矩阵就是［1 0,0 -1］.其中分号表示换行.显然［1 0,0 -1］＊［a b］＇=［a -b］＇. 其中上标＇表示取转置.这正是我们想要的效果.那么现在可以猜一下了.这个矩阵的特征向量是什么?想想什么向量在这个变换下保持方向不变.显然.横轴上的向量在这个变换下保持方向不变(记住这个变换是镜像 对称变换.那镜子表面上(横轴上)的向量当然不会变化).所以可以直接猜测其特征向量是［a 0］＇(a不为0).还有其他的吗?有.那就是纵轴上的向量.这时经过变换后.其方向反向.但仍在同一条轴上.所以也被认为是方向没有变化。 综上，特征值只不过反映了特征向量在变换时的伸缩倍数而已，对一个变换而言，特征向量指明的方向才是很重要的，特征值似乎不是那么重要；但是，当我们引用了Spectral theorem（谱定律）的时候，情况就不一样了。 Spectral theorem的核心内容如下：一个线性变换（用矩阵乘法表示）可表示为它的所有的特征向量的一个线性组合，其中的线性系数就是每一个向量对应的特征值，写成公式就是： T(V)=λ1(V1.V)V1+λ2(V2.V)V2+λ3(V3.V)V3+... 从这里我们可以看出，一个变换（矩阵）可由它的所有特征向量完全表示，而每一个向量所对应的特征值，就代表了矩阵在这一向量上的贡献率——说的通俗一点就是能量（power），至此，特征值翻身做主人，彻底掌握了对特征向量的主动：你所能够代表这个矩阵的能量高低掌握在我手中，你还吊什么吊？ 我们知道，一个变换可由一个矩阵乘法表示，那么一个空间坐标系也可视作一个矩阵，而这个坐标系就可由这个矩阵的所有特征向量表示，用图来表示的话，可以想象就是一个空间张开的各个坐标角度，这一组向量可以完全表示一个矩阵表示的空间的“特征”，而他们的特征值就表示了各个角度上的能量（可以想象成从各个角度上伸出的长短，越长的轴就越可以代表这个空间，它的“特征”就越强，或者说显性，而短轴自然就成了隐性特征），因此，通过特征向量/值可以完全描述某一几何空间这一特点，使得特征向量与特征值在几何（特别是空间几何）及其应用中得以发挥。 关于特征向量（特别是特征值）的应用实在是太多太多，近的比如俺曾经提到过的PCA方法，选取特征值最高的k个特征向量来表示一个矩阵，从而达到降维分析+特征显示的方法；近的比如Google公司的成名作PageRank，也是通过计算一个用矩阵表示的图（这个图代表了整个Web各个网页“节点”之间的关联）的特征向量来对每一个节点打“特征值”分；再比如很多人脸识别，数据流模式挖掘分析等方面，都有应用，
《 特征值与特征向量》习题2 1．求矩阵M ＝???? ?? －1 0 5 6的特征值和特征向量． 2. 已知矩阵M ＝?? ?? ?? 1 22 x 的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量． 3. 已知矩阵M ＝?????? 1 －2－1 －3，向量α＝?????? 3－5，β＝???? ?? 24. (1)求向量2α＋3β在矩阵M 表示的变换作用下的象； (2)向量γ＝?????? 12是矩阵M 的特征向量吗为什么 4. 已知矩阵A ＝?? ???? 1 2－1 4，设向量β＝???? ??74，试计算A 5 β的值． 5. 已知矩阵A ＝???? ?? 1 －1a 1，其中a ∈R ，若点P (1,1)在矩阵A 的变换下得到点P ′(0， －3) (1)求实数a 的值； (2)求矩阵A 的特征值及特征向量． 6. 已知矩阵A ＝?? ???? 3 3c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量α1＝???? ?? 11，属于特征值1的一个特征向量α2＝???? ?? 3－2，求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵． 7. 已知矩阵A 对应的变换是先将某平面图形上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，再将所得图形绕原点按顺时针方向旋转90°. (1)求矩阵A 及A 的逆矩阵B ； (2)已知矩阵M ＝?? ?? ??3 32 4，求M 的特征值和特征向量； (3)若α＝???? ??81在矩阵B 的作用下变换为β，求M 50 β.(结果用指数式表示) 8. 已知二阶矩阵M 的一个特征值λ＝8及与其对应的一个特征向量α1＝???? ?? 11，并且矩 阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)． (1)求矩阵M ； (2)求矩阵M 的另一个特征值及与其对应的另一个特征向量α2的坐标之间的关系； (3)求直线l ：x －y ＋1＝0在矩阵M 的作用下的直线l ′的方程．
ABSTRACT: 特征向量：它经过这种特定的变换后保持方向不变。只是进行长度上的伸缩而已。 特征值：一个变换（矩阵）可由它的所有特征向量完全表示，而每一个向量所对应的特征值，就代表了矩阵在这一向量上的贡献率——说的通俗一点就是能量（power）。 内积：内积可以简单的理解为两个函数的相似程度,内积值越大表示两个函数相似程度越大,内积为零表示完全不相似。两个函数内积为零则两个函数正交,在三维空间中它们的夹角为90度,在三维以上不是这样的。 CONTENT 矩阵(既然讨论特征向量的问题。当然是方阵。这里不讨论广义特征向量的概念)乘以一个向量的结果仍是同维数的一个向量。因此。矩阵乘法对应了一个变换。把一个向量变成同维数的另一个向量。那么变换的效果是什么呢?这当然与方阵的构造有密切关系。比如可以取适当的二维方阵。使得这个变换的效果就是将平面上的二维向量逆时针旋转30度。这时我们可以问一个问题。有没有向量在这个变换下不改变方向呢?可以想一下。除了零向量。没有其他向量可以在平面上旋转30度而不改变方向的。所以这个变换对应的矩阵(或者说这个变换自身)没有特征向量(注意:特征向量不能是零向量)。所以一个变换的特征向量是这样一种向量。它经过这种特定的变换后保持方向不变。只是进行长度上的伸缩而已(再想想特征向量的原始定义Ax= cx。你就恍然大悟了。看到了吗?cx是方阵A 对向量x进行变换后的结果。但显然cx和x的方向相同)。而且x是特征向量的话。ax也是特征向量(a是标量且不为零)。所以所谓的特征向量不是一个向量而是一个向量族。另外。特征值只不过反映了特征向量在变换时的伸缩倍数而已。对一个变换而言。特征向量指明的方向才是很重要的。特征值不是那么重要。虽然我们求这两个量时先求出特征值。但特征向量才是更本质的东西! 比如平面上的一个变换。把一个向量关于横轴做镜像对称变换。即保持一个向量的横坐标不变。但纵坐标取相反数。把这个变换表示为矩阵就是[1 0;0 -1]。其中分号表示换行。显然[1 0;0 -1]*[a b]'=[a –b]'。其中上标' 表示取转置。这正是我们想要的效果。那么现在可以猜一下了。这个矩阵的特征向量是什么?想想什么向量在这个变换下保持方向不变。显然,横轴上的向量在这个变换下保持方向不变(记住这个变换是镜像对称变换。那镜子表面上(横轴上)的向量当然不会变化)。所以可以直接猜测其特征向量是[a 0]'(a不为0)。还有其他的吗?有。那就是纵轴上的向量。这时经过变换后。其方向反向。但仍在同一条轴上。所以也被认为是方向没有变化。 当我们引用了Spectral theorem（谱定律）的时候，情况就不一样了。Spectral theorem的核心内容如下：一个线性变换A（用矩阵乘法表示）可表示为它的所
第五章 矩阵的特征值与特征向量 习题 1 试用施密特法把下列向量组正交化 (1)?? ? ? ? ??=931421111) , ,(321a a a (2)???? ?? ? ??---=011101110111) , ,(321a a a 2 设x 为n 维列向量 x T x 1 令H E 2xx T 证明H 是对称的正交 阵 3 求下列矩阵的特征值和特征向量: (1)??? ?? ??----20133 521 2; (2)??? ? ? ??633312321. 4 设A 为n 阶矩阵 证明A T 与A 的特征值相同 5 设 0是m 阶矩阵A m n B n m 的特征值 证明 也是n 阶矩阵BA 的特 征值. 6 已知3阶矩阵A 的特征值为1 2 3 求|A 35A 2 7A | 7 已知3阶矩阵A 的特征值为1 2 3 求|A * 3A 2E | 8 设矩阵??? ? ? ??=50413102x A 可相似对角化 求x
9 已知p (1 1 1)T 是矩阵???? ? ??---=2135212b a A 的一个特征向量 (1)求参数a b 及特征向量p 所对应的特征值 (2)问A 能不能相似对角化？并说明理由 10 试求一个正交的相似变换矩阵, 将对称阵??? ? ? ??----020212022化为对角 阵. 11 设矩阵????? ??------=12422421x A 与??? ? ? ? ?-=Λy 45 相似 求x y 并 求一个正交阵P 使P 1AP 12 设3阶方阵A 的特征值为1 2 2 2 3 1 对应的特征 向量依次为p 1 (0 1 1)T p 2(1 1 1)T p 3(1 1 0)T 求A . 13 设3阶对称矩阵A 的特征值 1 6 2 3 3 3 与特征值 1 6对应的特征向量为p 1 (1 1 1)T 求A . 14 设?? ? ? ? ??-=340430241A 求A 100
最近看了看matlab求特征值的函数，记下来备用。 eig求所有特征值和特征向量。 d = eigs(A) %求稀疏矩阵A的6个绝对值最大特征值d，d以向量形式存放。 d = eigs(A,B) %求稀疏矩阵的广义特征值问题。满足A V=BVD，其中D为特征值对角阵，V为特征向量矩阵，B必须是对称正定阵或Hermitian正定阵。 d = eigs(A,k) %返回k个最大特征值 d = eigs(A,B,k) %返回k个最大特征值 d = eigs(A,k,sigma) %sigma取值：'lm'表示绝对值最大的特征值；'sm'绝对值最小特征值；对实对称问题：'la'表示最大特征值；'sa'为最小特征值；对非对称和复数问题：'lr'表示最大实部；'sr'表示最小实部；'li'表示最大虚部；'si'表示最小虚部 d = eigs(A,B,k,sigma) %同上 d = eigs(A,k,sigma,opts) % opts为指定参数：参见eigs帮助文件。opts为一个向量 参数描述value opts.issym =1:如果A对称 =0：A不对称 {0|1} opts.isreal =1:A为实数 =0：otherwise {0|1} opts.tol 收敛？？？（没看懂）**估计 d = eigs(A,B,k,sigma,options) %同上。以下的参数k、sigma、options相同。 d = eigs(Afun,n) %用函数Afun代替A，n为A的阶数，D为特征值。 d = eigs(Afun,n,B) d = eigs(Afun,n,k) d = eigs(Afun,n,B,k) d = eigs(Afun,n,k,sigma) d = eigs(Afun,n,B,k,sigma) d = eigs(Afun,n,k,sigma,options) d = eigs(Afun,n,B,k,sigma,options) [V,D] = eigs(A,…) %D为6个最大特征值对角阵，V的列向量为对应特征向量。 [V,D] = eigs(Afun,n,…) [V,D,flag] = eigs(A,…) %flag表示特征值的收敛性，若flag=0，则所有特征值都收敛，否则，不是所有都收敛。 [V,D,flag] = eigs(Afun,n,…) 特征值和特征向量的性质与求法 方磊 （陕理工理工学院（数学系）数学与应用数学专业071班级，陕西汉中 723000）” 指导老师：周亚兰 [摘要] ：本文主要给出了矩阵特征值与特征向量的几个性质及特征值、特征向量的几种简单求法。 [关键词]：矩阵线性变换特征值特征向量 1 特征值与特征向量的定义及性质 定义1：（ⅰ）设A 是数域p 上的n 阶矩阵，则多项式|λE-A|称A 的特征多项式，则它在 c 上的根称为A 的特征值。 （ⅱ）若λ是A 的特征值，则齐次线性方程组(λE-A) X =0的非零解，称为A 的属于特征值λ的特征向量。 定义2：设α是数域P 上线性空间v 的一个线性变换，如果对于数域P 中的一数0λ存在一个非零向量ξ，使得a ξ=0λξ，那么0λ 成为α的一个特征值而ξ称为α的属于特征值0λ的一个特征向量。 性质1： 若λ为A 的特征值，且A 可逆，则0≠λ、则1-λ 为1-A 的特征知值。 证明： 设n λλλ 21为A 的特征值，则A =n λλλ 21ο≠ ∴λi≠0(i=1、2…n) 设A 的属于λ的特征向量为ξ 则ξλξi =?A 则λ1 -A ξ=ξ即有 1 -A ξ=1 -λ ξ ∴1 -λ 为1 -A 的特征值，由于A 最多只有n 个特征值 ∴1 -λ 为1 -A ξ的特征值 性质2：若λ为A 的特征值，则()f λ为()f A 的特征值 ()χf =n n a χ +1 0111 1x a x a x a n n +++-- 证明：设ξ为A 的属于λ的特征向量，则A ξ=λξ ∴ ()A f ξ=(n n A a +E a A a A a n n 011 1+++-- )ξ = n n A a ξ+ 1 1--n n A a ξ+… +E a 0 ξ =n n a λξ+1 1--n n a λ+…+E 0a ξ =()λf ξ 又ξ≠0 ∴ ()λf 是()A f 的特征值 性质3：n 阶矩阵A 的每一行元素之和为a ，则a 一定是A 的特征值 特征值与特征向量 【教学目标】 1．亲历矩阵特征值与特征向量意义的探索过程，体验分析归纳得出矩阵特征值与特征向量的存在与性质，进一步发展学生的探究、交流能力。 2．掌握矩阵特征值与特征向量的定义及其性质。 3．能从几何直观上，利用线性变换求特征值与特征向量。 【教学重难点】 重点：掌握阵特征值与特征向量的定义及其性质。 难点：从几何直观上，利用线性变换求特征值与特征向量。 【教学过程】 一、新课引入 教师：对于线性变换，是否存在平面内的直线，使得该直线在这个线性变换作用下保持不变？是否存在向量，使得该向量在这个线性变换的作用下具有某种“不变性”？为了解决我们的问题，我们今天将学习矩阵特征值与特征向量。 二、讲授新课 教师：请同学们回忆一下，我们在前面的课程里面，学过哪些基本的变换？ 学生：伸缩变换，反射变换等等。 教师：那下面我们来研究一下伸缩变换，反射变换一些不变的性质，我一起来看例题。 例1：对于相关x 轴的反射变换σ：1001x x y y '???? ??= ? ? ?'-? ?????，从几何直观上可以发现，只有x 轴和平行于y 轴的直线在反射变换σ的作用下保持不动，其他的直线都发生了变化。因此，反射 变换σ只把形如10k α??= ???和20k β?? = ??? 的向量（其中1k ，2k 是任意常数），分别变成与自身共线的 向量。可以发现，反射变换σ分别把向量10k α??= ???，20k β??= ???变成10k α??= ???，20k β?? -= ?-??。特别的，反射变换σ把向量110ξ??= ???变成110ξ??= ???，把向量201ξ??= ???变成01?? ?-?? 。用矩形的形式可表示为 矩阵特征值和特征向量解法的研究 周雪娇 （德州学院数学系，山东德州 253023） 摘 要：对矩阵特征值和特征向量的一些方法进行了系统的归纳和总结.在比较中能够 更容易发现最好的方法，并提高问题的解题效率. 关键词： 矩阵； 特征值； 特征向量； 解法 引言 矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具.矩阵计算问题是很多科学问题的核心.在很多工程计算中，常常会遇到特征值和特征向量的计算问题，如：机械、结构或电磁振动中的固有值问题；物理学中的各种临界值等，这些特征值的计算往往意义重大.很多科学问题都要归结为矩阵计算的问题，在这里主要研究矩阵计算中三大问题之——特征值问题. 1 矩阵特征值与特征向量的概念及性质 1.1 矩阵特征值与特征向量的定义 设A 是n 阶方阵，如果存在数λ和n 维非零向量x ，使得x Ax λ=成立，则称 λ为A 的特征值，x 为A 的对应于特征值λ的特征向量. 1.2 矩阵特征值与特征向量的性质 矩阵特征值与特征向量的性质包括： （1）若i i r A 的是λ重特征值，则i i s A 有对应特征值λ个线性无关的特征向量，其中i i r s ≤. （2）若线性无关的向量21,x x 都是矩阵A 的对应于特征值0λ的特征向量，则当21,k k 不全为零时，2211x k x k +仍是A 的对应于特征值0λ的特征向量. （3）若A n 是矩阵λλλ,,,21 的互不相同的特征值，其对应的特征向量分别是 n x x x ,,,21 ，则这组特征向量线性无关. （4）若矩阵()n n ij a A ?=的特征值分别为n λλλ,,,21 ，则 nn n a a a +++=+++ 221121λλλ，A n =λλλ 21. （5）实对称矩阵A 的特征值都是实数，且对应不同特征值的特征向量正交. （6）若i λ是实对称矩阵A 的i r 重特征值，则对应特征值i λ恰有i r 个线性无关的特征向量. （7）设λ为矩阵A 的特征值，()x P 为多项式函数，则()λP 为矩阵多项式()A P 的特征值.[]1 2 普通矩阵特征值与特征向量的求法 2.1 传统方法 确定矩阵A 的特征值和特征向量的传统方法可以分为以下几步： （1）求出矩阵A 特征多项式()A E f -=λλ的全部特征根； （2）把所求得的特征根()n i i ,,2,1 =λ逐个代入线性方程组()0=-X A E i λ， 对于每一个特征值，解方程组()0=-X A E i λ，求出一组基础解系，这样，我们也就求出了对应于每个特征值的全部线性无关的特征向量.[]2 例1 已知矩阵 ???? ? ?????-=11 111 110 A 求矩阵A 的特征值和特征向量. 解 A E -λ = 1 1 1 1 1 11 ------λλλ = ()21-λλ 所以，由()012=-λλ知A 的特征根1,0321===λλλ. 习题 1. (1) 若A 2 = E ，证明A 的特征值为1或-1; (2) 若A 2 = A ，证明A 的特征值为0或1. 证明（1）2 2A E A =±所以的特征值为1，故A 的特征值为1 （2） 2222 2 ,,()0,001 A A A X A X AX X X X λλλλλλλ===-=-==所以两边同乘的特征向量得即由于特征向量非零，故即或 2. 若正交矩阵有实特征值，证明它的实特征值为1或 -1. 证明 1,1 T T T A A A E A A A A A λλλλ -=∴==±设是正交阵，故有与有相同的特征值， 1 故设的特征值是，有=，即 3．求数量矩阵A=aE 的特征值与特征向量. 解 A 设是数量阵，则 000000000000a a A aE a a a E A a λλλλ?? ? ?== ? ??? ---= -L L L L L L L L L L L L 所以：特征值为a (n 重), A 属于a 的特征向量为 k 1(1,0,…,0)T + k 2(0,1,…,0)T + k n (0,0,…,1)T ，(k 1, k 2, …, k n 不全为0) 4．求下列矩阵的特征值与特征向量. （1）113012002-?? ? ? ??? （2）324202423?? ? ? ??? （3）??? ?? ??---122212 221 （4）212533102-?? ?- ? ?--?? ()1112221211(5) , , (0,0)0.T T n n n n a a b a a b A b b b a b a a b αβαβαβ?? ???? ? ? ? ? ? ?====≠≠= ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ???? L M M M 其中，且 解（1） 11 3 0120,1,2,00 2A E AX λλλ λλλλ ---=-====-0,123求得特征值为:分别代入=求得 A 属于特征值1的全部特征向量为k(1,0,0)T ，(k ≠0) A 属于特征值2的全部特征向量为k(1，2，1)T ，(k ≠0) 解（2） 特征值与特征向量在图像处理中的应用 姓名：张x 学号：20092430 班级：2009121 摘要：正所谓学以致用，在长期以来的学习过程中，我们真正能够将所学到的知识运用到生活中的能有多少，我们对课本上那些枯燥的公式虽牢记于心，却不知道它的实际用途。在学习了矩阵论以来，虽然知道很多问题的求法，就如矩阵特征值和特征向量，它们有何意义我们却一点不知。我想纯粹的理知识已经吸引不了我们了，我们需要去知道它们的用途，下面就让我们一起来看看矩阵特征值与特征向量在图像处理中是如何发挥它们的作用的。 关键字： 特征值、特征向量、图像、 正文： 生活中的我们，每天清晨醒来，随之映入眼帘的就是各种形形色色的图像，我们确实也很难想象，在我们的生活中，图像的处理和矩阵特征值、特征向量有什么关系？首相我们先来了解下，何为特征值、特征向量。 定义：设是阶方阵，若有数和非零向量，使得 称数是的特征值，非零向量是对应于特征值的特征向量。 例如对，有及向量，使得，这说明 是的特征值，是对应于的特征向量。 特征值和特征向量的求法： 1．由得，并且由于是非零向量，故行列式，即 （称之为的特征方程） 由此可解出个根（在复数范围内），这就是的所有特征值。 2．根据某个特征值，由线性方程组解出非零解，这就是对应于特征值的特征向量。 特征值和特征向量的性质： 1 ．， 2 ．若是的特征向量，则对，也是的特征向量。 3 ．若是的特征值，则是的特征值，从而是的特征值。 4 ．是的个特征值，为依次对应的特征向量，若 各不相同，则线性无关。 我想在了解了特征值和特征向量的基本理论之后，你们很难想象，为什么这些知识会和图像有联系吧。说实话，我自己也不是很清楚，我也是看了别人的理论讲解，才略微理解了一二。让我们一起去了解下。 根据特征向量数学公式定义，矩阵乘以一个向量的结果仍是同维数的一个向量，因此，矩阵乘法对应了一个变换，把一个向量变成同维数的另一个向量，那么变换的效果是什么呢？这当然与方阵的构造有密切关系，比如可以取适当的二维方阵，使得这个变换的效果就是将平面上的二维向量逆时针旋转30度，这时我们可以问一个问题，有没有向量在这个变换下不改变方向呢？可以想一下，除了零向量，没有其他向量可以在平面上旋转30度而不改变方向的，所以这个变换对应的矩阵(或者说这个变换自身)没有特征向量(注意：特征向量不能是零向量)，所以一个特定的变换特征向量是这样一种向量，它经过这种特定的变换后保持方向不变，只是进行长度上的伸缩而已(再想想特征向量的原始定义Ax=cx, cx是方阵A对向量x进行变换后的结果，但显然cx和x的方向相同)。 这里给出一个特征向量的简单例子，比如平面上的一个变换，把一个向量关于横轴做镜像对称变换，即保持一个向量的横坐标不变，但纵坐标取相反数，把这个变换表示为矩阵就是[1 0;0 -1]（分号表示换行），显然[1 0;0 -1]*[a b]'=[a -b]'（上标'表示取转置），这正是我们想要的效果，那么现在可以猜一下了，这个矩阵的特征向量是什么?想想什么向量在这个变换下保持方向不变，显然，横轴上的向量在这个变换下保持方向不变(记住这个变换是镜像对称变换，那镜子表面上(横轴上)的向量当然不会变化)，所以可以直接猜测其特征向量是[a 0]'（a不为0），还有其他的吗？有，那就是纵轴上的向量，这时经过变换后，其方向反向，但仍在同一条轴上，所以也被认为是方向没有变化，所以[0 b]'（b不为0）也是其特征向量。 特征值与特征向量典型题 1、特征值与特征向量 1．（95，八题，7分）设三阶实对称矩阵A 的特征值为1231,1λλλ=-==，对应于1λ的特征向量为1(0,1,1)T ξ=，求A 【分析】解本题的关键是注意A 为实对称矩阵，在已知A 的三个特征值和三个线性无关特征向量123,,ξξξ后，由公式 123112233(,,)(,,)A ξξξλξλξλξ=;可解出1112233123(,,)(,,)A λξλξλξξξξ-= 【详解】设对应于231λλ==的特征向量为123(,,)T x x x ξ=，根据A 为实对称矩阵的假设知10T ξξ=，即230x x +=，解得23(1,0,0),(0,1,1)T T ξξ==- 于是由123112233(,,)(,,)A ξξξλξλξλξ= 有 1 1122331231 (,,)(,,)01 001 010010110 1001101101010A λξλξλξξξξ--=????????????=-=-??? ?????????----?????? 2．（98，填4题，3分）设A 为n 阶矩阵，0A ≠，*A 为A 的伴随矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若A 有特征值λ，则*2()A E +必有特征值2()1A λ + 【分析】本题从特征值、特征向量的定义,0Ax x x λ=≠进行推导即可 【详解】设(0)Ax x x λ=≠，则 111 ,(0)A A x x A A x x x λ λ --=?= ≠ 即*A A x x λ = 从而*22()( )A A x x λ = *22[()][( )1],0A A E x x x λ +=+≠ 可见*2()A E +必有特征值2( )1A λ + 3．（99，填4题，3分）设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是1 ,0,,0n n - 矩阵特征值和特征向量的几何意义（---by 小马哥整理） 从定义来理解特征向量的话，就是经过一个矩阵变换后，空间沿着特征向量的方向上相当于只发生了缩放，比如我们考虑下面的矩阵： A=1.50.50.5 1.0?????? 求这个变换的特征向量和特征值，分别是：0.850.530.530.85U -??=???? (列向量) 特征值为：1λ=1.81，2λ=0.69 注意，这里U 是正交矩阵，根据正交矩阵的性质，我们有1T U U -=。 用一个形象的例子来说明一下几何意义，我们考虑下面笑脸图案： 图1.1 为方便演示笑脸图案在[0,0]和[1,1]围起来的单位正方形里，同时也用两个箭头标出来了特征向量的方向。经过矩阵A=1.50.50.5 1.0?????? 的变换，也就是用这个图案中的每个点的坐标和这个矩阵做乘法，得到下面图案： 图1.1 可以看到就是沿着两个正交的，特征向量的方向进行了缩放。 根据特征向量的定义，我们知道1U AU -=Λ，也即，T U AU =Λ，那么：T A U U =Λ 假设我们把笑脸图案也看作某一个矩阵C ，那么，矩阵A*C ，即把矩阵A 作用于C ，可以理解为：T U U C Λ我们从这个式子就可以看出来，A 矩阵是从旋转和沿轴缩放的角度来作用于C ，分成三步： 第一步，把特征向量所指的方向分别转到横轴和纵轴，这一步相当于用U 的转置，也就是T U 进行了变换 图1.2 第二步，然后把特征值作为缩放倍数，构造一个缩放矩阵1.81 0.69?????? ，矩阵分别沿着横轴和纵轴进行缩放： 图1.3 第三步，很自然地，接下来只要把这个图案转回去，也就是直接乘U 就可以了 图1.4 特征值和特征向量物理意义 一．特征值就是那个矩阵所对应的一元多次方程组的根 特征值表示一个矩阵的向量被拉伸或压缩的程度,例如特征值为1111111111,则表示经 过变换以后,向量没有被拉伸,在物理上表示做刚体运动,相当与整体框架做了变动,但内部结构没有变化. 量子力学中,矩阵代表力学量,矩阵的特征向量代表定态波函数,矩阵的特征植代表力学 量的某个可能的观测值。 一个向量（或函数）被矩阵相乘，表示对这个向量做了一个线性变换。如果变换后还是这个向量本身乘以一个常数，这个常数就叫特征值。这是特征值的数学涵义； 至于特征值的物理涵义，根据具体情况有不同的解释。比如动力学中的频率，稳定分析中的极限荷载，甚至应力分析中的主应力 矩阵的特征值要想说清楚还要从线性变换入手，把一个矩阵当作一个线性变换在某一组基下的矩阵，最简单的线性变换就是数乘变换，求特征值的目的就是看看一个线性变换对一些非零向量的作用是否能够相当于一个数乘变换，特征值就是这个数乘变换的变换比，这样的一些非零向量就是特征向量，其实我们更关心的是特征向量，希望能把原先的线性空间分解成一些和特征向量相关的子空间的直和，这样我们的研究就可以分别限定在这些子空间上来进行，这和物理中在研究运动的时候将运动分解成水平方向和垂直方向的做法是一个道理！ 二．特征向量-定义 数学上，线性变换的特征向量（本征向量）是一个非退化的向量，其方向在该变换下不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。图1给出了一幅图像的例子。一个变换通常可以由其特征值和特征向量完全描述。特征空间是相同特征值的特征向量的集合。 这些概念在纯数学和应用数学的很多领域发挥着巨大的作用—在线性代数，泛函分析，甚至在一些非线性的情况中也有着显著的重要性。 空间上的变换—如平移(移动原点)，旋转，反射，拉伸，压缩，或者这些变换的组合；以及其它变换—可以通过它们在向量上的作用来显示。向量可以用从一点指向另一点的箭头来表示。 三．特征向量-性质 变换的特征向量是指在变换下不变或者简单地乘以一个缩放因子的非零向量。 特征向量的特征值是它所乘的那个缩放因子。 特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量。 变换的主特征向量是对应特征值最大的特征向量。 特征值的几何重次是相应特征空间的维数。 有限维向量空间上一个变换的谱是其所有特征值的集合。 例如，三维空间旋转的特征向量是沿着旋转轴的一个向量，相应的特征值是1，相应的特征空间包含所有和该轴平行的向量。该特征空间是一个一维空间，因而特征值1的几何重次是1。特征值1是旋转的谱当中唯一的实特征值。特征值和特征向量的性质与求法
特征值与特征向量优秀教学设计
矩阵特征值和特征向量解法的研究
第五章 习题与复习题详解(矩阵特征值和特征向量)----高等代数
矩阵特征值与特征向量在图像处理中的应用
第二十二讲特征值和特征向量典型题
矩阵特征值和特征向量的几何意义
特征值和特征向量物理意义
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