1 可化为一元二次方程的分式方程
【重难点】
1、会用去分母的方法解分式方程.
2、会用换元法解分方式方程。
3、正确理解增根的意义并了解验根的方法，排除方程的增根.
【经典例题】
例1．解下列分式方程（1）
x x -1211=++1 （2）12
244212=---++x x x x 例2 . 解下列分式方程（1）25311322=-+-x x x x （2） 61122=??? ??+-??? ?
?+x x x x 2
例3. k 为何值时方程3232-=--x k x x 会产生增根？（变：若方程3
232
-=--x k x x 有增根x=3, 求k 的值）
例4．甲、乙两人共同做一件工作，规定若干天完成，若甲单独完成这件工作，则比规定天数多做12天；若乙单独完成这件工作，则比规定天数多做27天，求甲、乙单独完成这件工作各需多少天？
【课后作业】
1．解下列分式方程：
（1）
111122=++-x x （2）25423+=+x x x x （3） 1326
102=++-+x x x （4） 2160460-=+x x （5）06)13(5)13(2=+-+--+x x x x （6）012
1863222
=+-+-+-x x x x （7）1622++=+x x x x （8）x -11＝2＋22x 1x x 3-- （9）5
62+x ＋x 2－2＝0．
（10）133112222+---+x x x x －2＝0 （11） 2x ＋x 2＋x 2＋21x
－6＝0；
2． 甲、乙两艘旅游客轮同时从台湾省某港出发来厦门，甲沿直线航行180海里到达厦门；乙沿原来航线绕道香港后来厦门，共航行了720海里，结果乙比甲晚20小时到达厦门，已知乙速比甲速每小时快6海里，求甲客轮的速度（其中两客轮速度都大于16海里/小时）
可化为一元二次方程的分式方程 【知识要点】 1. 分式方程的定义 2. 一般分式方程的解法 3. 列方程解应用题 【重难点】 分式方程的判别及其解法 【经典例题】 例1．下列方程哪些是分式方程？ （1）0152=-+x x （2）13222=+x x （3）10 15711=-++x x （4） z x y x z y -=-+-111 （5）5 41212-+-x x x 例2．解分式方程2132=+-x x 例3．解方程25311322=-+-x x x x 例4、k 为何值时，方程3 232 -=--x k x x 会产生增根？
例5．某空调厂的装配车间，原计划用若干天组装150台空调，厂家为了使空调提前上市，决定每天多组装3台，这样提前3天超额完成了任务，总共比原计划多组装6台，问原计划每天组装多少台？ 例6．某村计划开挖一条长为1500m 的水渠，渠道的断面为等腰梯形，渠道深0.8m ，下底宽 1.2m ，坡角为 45,实际开始挖渠道时，每天比原计划多挖土203m ，结果比原计划提前4天完工，求原计划每天挖土多少立方米． 例7、今年五月，某工程队（有甲、乙两组）承包人民路中段的路基改造工程，规定若干天内完成．（1）已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍多4天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍少16天．如果甲、乙两组合做24天完成，那么甲、乙 两组合做能否在规定时间内完成？（2）在实际工作中，甲、乙两组合做完成这项工程的6 5后，工程队又承包了东段的改造工程，需抽调一组过去，从按时完成中段任务考虑，你认为抽调哪一组最好？请说明理由．
21.5一元二次方程的应用（5） 学习目标：1.掌握分式方程的计算方法； 2.进一步掌握列一元二次方程解应用题的方法和技能； 学习重点：分式方程转化为一元二次方程 学习难点：用换元法解分式方程 一． 学前准备 1. 分式方程的定义：_________________________________________________; 2. 解分式方程的思想是______________,步骤有__________________________ 3. 解下列分式方程 6710(1);453x x -=-+ 221(2);11x x =--- 1(3)0;22y y y y --=+- 2233(4)111x x x x +-=-+- 二． 探究活动 （一） 师生互动·合作交流 1. 某校组织学生春游，预计共需费用120元，后来又有2人参加进来，费用不变，这样每人可少分摊3元。问原来这组学生的人数是多少？ 本题的等量关系是：原来这组学生每人分摊的费用-加人后该组学生每人分摊的费用=3元，由此可得方程。
2. 印刷一张矩形的张贴广告，如图。它的印刷面积是322 dm ，上下空白各1dm ，两边空白 各0.5dm 。当要求四周空白处的面积是182dm 时，求用来印刷这张广告的纸张的长和宽。 思路分析：根据图形知： 广告纸的面积=印刷面积+四周空白处的面积=____+____=____ 广告纸的长=印刷部分的长+____dm 广告纸的宽=印刷部分的宽+_____dm 由印刷部分和广告纸都是矩形，且面积已知。因而，可确定它们的长和宽的关系，再借助图形的面积关系就可列出方程。 （二） 步步高升·解决问题 请同学们思考一下下面的这个分式方程我 们该如何去解决呢？ 221512 x x x x ++=+ 思路分析：本方程在求解时如直接去分母，就会得到一个次数高于二次的整式方程，不易求解。这时，可考虑如下面所采用的换元的方法求解：用一个未知数y 替换方程中某个含原未知数x 的式子，然后，先解出y ，再去解x,这种方法叫做换元法。 解： 三． 自我测试 1. 解方程22315132x x x x +-+=-+时，设231 x y x +=-，则原方程化成整式方程就是_____________________； 2. 方程241x x x =+的解是__________. 3. 如果用换元法解分式方程2214301x x x x +-+=+，并设21x y x +=,那么原方程可化为____________________; 4. 用换元法解方程2( )2()8011 x x x x +-=++ 5. 用换元法解方程223433x x x x +-=+
实际问题与一元二次方程练习题 教学内容 根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题． 教学目标掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题． 利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题． 重难点关键 1 ．?重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题． 2 ．?难点与关键：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型． 教具、学具准备 小黑板 教学过程 一、复习引入 （口述）1．直角三角形的面积公式是什么？?一般三角形的面积公式是什么呢？ 2 ．正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又
是什么? 3 .梯形的面积公式是什么？ 4 .菱形的面积公式是什么？ 5 .平行四边形的面积公式是什么？ 6 .圆的面积公式是什么？ （学生口答，老师点评） 二、探索新知 现在，我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型，解决一些实际问题. 例1 .某林场计划修一条长750m断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6 m2, ?上口宽比渠深多2m渠底比渠深多0.4m. （1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？ （2）如果计划每天挖土48m3,需要多少天才能把这条渠道挖完？ 分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为xm, 则上口宽为x+2, ?渠底为x+0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模. 解：（1）设渠深为xm 则渠底为（x+0.4 ）m,上口宽为（x+2）m 依题意，得：丄（x+2+x+0.4 ）x=1.6 2 整理，得：5x2+6x-8=0 解得：X i=- =0. 8m, X2=-2 (舍) 5
2020-2021学年 专训1 一元二次方程的解法归类 名师点金：解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法等．在具体的解题过程中，结合方程的特点选择合适的方法，往往会达到事半功倍的效果． 限定方法解一元二次方程 形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程用直接开平方法求解 1．方程4x2－25＝0的解为( ) A．x＝B．x＝ C．x＝±D．x＝± 2．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为( ) A．x2－5＝5 B．－3x2＝0 C．x2＋4＝0 D．(x＋1)2＝0 当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解 3．用配方法解方程x2＋3＝4x，配方后的方程变为( ) A．(x－2)2＝7 B．(x＋2)2＝1 C．(x－2)2＝1 D．(x＋2)2＝2 4．解方程：x2＋4x－2＝0. 5．已知x2－10x＋y2－16y＋89＝0，求的值． 能化成形如(x＋a)(x＋b)＝0的一元二次方程用因式分解法求解
6．(中考·宁夏)一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是( ) A．－1 B．0 C．1和2 D．－1和2 7．解下列一元二次方程： (1)x2－2x＝0； (2)16x2－9＝0； (3)4x2＝4x－1. 如果一个一元二次方程易于化为它的一般式，则用公式法求解8．用公式法解一元二次方程x2－＝2x，方程的解应是( ) A．x＝B．x＝ C．x＝D．x＝ 9．用公式法解下列方程． (1)3(x2＋1)－7x＝0； (2)4x2－3x－5＝x－2. 选择合适的方法解一元二次方程 10．方程4x2－49＝0的解为( ) A．x＝B．x＝
中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用—知识讲解 【考纲要求】 1.理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程； 2.会解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想． 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、一元二次方程 1.一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程． 它的一般形式为2 0ax bx c ++=(a ≠0)． 2.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法：把方程变成2 x m =的形式，当m ＞0时，方程的解为x m =m ＝0时， 方程的解1,20x =；当m ＜0时，方程没有实数解．
（2）配方法：通过配方把一元二次方程2 0ax bx c ++=变形为2 22 424b b ac x a a -? ?+= ?? ?的形式，再利用直接开平方法求得方程的解． （3）公式法：对于一元二次方程2 0ax bx c ++=，当2 40b ac -≥时，它的解为 x =． （4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解． 要点诠释： 直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法． 易错知识辨析： （1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元 二次方程一般形式中0≠a . （2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1. （4）用直接开平方的方法时要记得取正、负. 3．一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式为ac 4b 2 -=?． △>0?方程有两个不相等的实数根； △＝0?方程有两个相等的实数根； △<0?方程没有实数根． 上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边． 要点诠释： △≥0?方程有实数根. 4．一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的两个根是21x x 、，那么a c x x a b x x 2121=?-=+，． 要点诠释： （1）对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． （2）解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法． （3）一元二次方程0c bx ax 2 =++(a ≠0)的根的判别式正反都成立．利用其可以①不解方程判定方程根的情况；②根据参系数的性质确定根的范围；③解与根有关的证明题． （4）一元二次方程根与系数的应用很多：①已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；②已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；③已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．
几何图形与一元二次方程 1 ?掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题. 2 ?继续探究实际问题中的数量关系，列出一元二次方程解应用题. 3?通过探究体会列方程的实质，提高灵活处理问题的能力. 、情境导入 10cm,宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下 的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的 80%你能求出所截去小正方形的边长吗? 二、合作探究 探究点：用一元二次方程解决图形面积问题 【类型一】利用面积构造一元二次方程模型 用10米长的铝材制成一个矩形窗框， 使它的面积为6平方米.若设它的一条边长 为x 米，则根据题意可列出关于 x 的方程为( ) A. x (5 + X )= 6 B ? x (5 — X )= 6 C. x (10 — x ) = 6 D . x (10 — 2x ) = 6 解析：设一边长为x 米，则另外一边长为(5 — x )米，根据它的面积为 6平方米，即可列 出方程得： x (5 — x ) = 6，故选择B. 方法总结：理解题意，恰当的设未知数，把题中相关的量用未知数表示出来，用相等关 系列出方程. 现有一块长80cm 、宽60cm 的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为 1500cm 2的无盖的长方体盒子，求小正方形的边长. 解析：设小正方形的边长为 x cm,则长方体盒子底面的长、宽 均可用含x 的代数式表示, 再根据面积，即可建立等量关系，列出方程. (60 — 2x )cm ,根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面积， 方程可列为(80 — 2x )(60 —2x ) = 1500,整理得 x 2— 70x + 825= 0,解得 X 1 = 55, X 2= 15.又 60 — 2x >0,x = 55(舍). 小正方形的边长为 15cm. 方法总结：要从已知条件中找出关键的与所求问题有关的信息， 通过图形求出面积，解 题的关键是熟记各种图形的面积公式，列出符合题意的方程，整理即可. 【类型二】整体法构造一元二次方程模型 如图，在长为 x cm 的 小正方形，做成一个底面积为 解：设小正方形的边长为 x cm,则可得这个长方体盒子的底面的长是 (80 — 2x )cm ，宽是
一元二次方程与几何综合 1．如图，ABC △中，90C ∠=?，6cm AC =，8cm BC =，点P 从A 沿AC 边向C 点以1cm/s 的速度移动，在C 点停止，点Q 从C 点开始沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度移动，在B 点停止． （1）如果点P ，Q 分别从A 、C 同时出发，经过几秒钟，使28cm QPC S =△？ （2）如果点P 从点A 先出发2s ，点Q 再从点C 出发，再经过几秒钟，24cm QPC S =△？ （3）如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，经过几秒钟后PQ BQ =？ 2．如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，90A ∠=?，2CD =，3AB =，7AD =，点P 为线段AD 上一点，CP BP ⊥，求DP 的长．
3．如图，直角梯形AECD 中，AE CD ∥，90E ∠=?，12AE CE ==，M 为EC 上一点，若45MAD ∠=?，10DM =，求EM 的长． 4．如图，在ABC △中，90B ∠=?，5cm AB =，7cm BC =，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动． （1）如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发那么几秒后，PQ 的长度等于？ （2）在（1）中，PQB △的面积能否等于27cm ？请说明理由．
5．如图，在矩形ABCD 中，12cm AB =，6cm BC =，点P 从A 点出发沿AB 以2cm/s 的速度向点B 移动，一直到达点B 为止；同时，点Q 从C 点出发沿CD 以1cm/s 的速度向点D 移动，当点P 停止运动时，点Q 也停止运动． （1）经过多长时间P 、Q 两点之间的距离是6cm ？ （2）经过多长时间P 、Q 两点之间的距离是10cm ？ 6．已知正方形ABCD 的边长为10，现改变该正方形的边长，使其变为矩形．若AD 的长增加了x ，AB 的长减少了kx （其中0k ＞，0)x ＞． （1）若2k =，请说明改变后得到的矩形面积是否可为125； （2）若改变后得到的矩形面积仍为100，求x 与k 的数量关系．
寒假培训八年级下数学资料 一、一元二次方程及其相关概念 1、只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元 二次方程。 2、一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0(a,b,c 是已知数且0≠a )，其中ax 2叫做 ________, bx 叫做_______, a 叫做___________系数，b 叫做___________系数，c 叫做_________. 典型例题： 1. 下列方程是一元二次方程的有___________ (1) 215)25(3x x x =-.(2) 035)12(22=---x x ; (3) 2 33432-+x x =0; 【变式练习】下列方程不是一元二次方程的是( ) A. x 2+2x+1=0 B. x 2=1-3x C. +1=0 D. x 2+x=(x+1)(x-2) 2. 方程4x 2=13-2x 化为一般形式为_____________，它的二次项系数是______, 一次项系数是 ________，常数项是______. 【变式练习】把一元二次方程（1-3x ）(x+3)=2x 2+1化成一般形式是:______________; 它的二次项系 数是_______;一次项系数是_________; 常数项是_________. 3. ; 4. 当m=______时，关于x 的方程(m-2)x 2+mx=5是一元一次方程；当m______时，关于x 的方程 (m-2)x 2+mx=5是一元二次方程。 【变式练习】已知m 是方程012=--x x 的一个根，则m m -2=（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 5. 关于x 的方程01)1(1=+++-kx x k k 是一元二次方程，则k 的值为________ 【变式练习】已知关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-k x x k 的一个根是0，则k=_______ 二、直接开平方法 若x 2 =25,由平方根定义可以知：5±=x , 即x 1=5, x 2=-5； 若（2x-1）2=5,那么2x-1=±______, 即2x-1=______, 2x-1=_____; 从而可以得到方程两根为：x 1=______, x 2=_______ 、 解下列方程：（1）1) 3(2=+x （2）18)54(22=-x 三、配方法 用配方法解一元二次方程的一般步骤： ① 化二次项系数为1； ② 移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；
第十六期：一元二次方程 一元二次方程是在一元一次方程及分式方程的基础上学习的，一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程的应用是中考的重点。题型多样，一般分值在6－9分左右。 知识点1：一元二次方程及其解法 例1：方程0232 =+-x x 的解是（ ） A ．11=x ，22=x B ．11-=x ，22-=x C ．11=x ，22-=x D ．11-=x ，22=x 思路点拨：考查一元二次方程的解法，一元二次方程的解法有：一是因式分解法；二是配方法；三是求根公式法．此题可以用此三种方法求解，此题以因式分解法较简单，此式可以分解为（x －1）(x －2)=0,所以x －1=0或x －２=0，解得x １=１，x ２=２．故此题选Ａ． 例2：若2 20x x --= ） A B C D 思路点拨：本题考查整体思想，即由题意知x 2－x=2, 所以原式=3 3 23 123222= +-+，选A. 练习： 1.关于x 的一元二次方程2x 2－3x －a 2 +1=0的一个根为2，则a 的值是（ ） A ．1 B C ． D ．2.如果1-是一元二次方程2 30x bx +-=的一个根，求它的另一根． 3.用配方法解一元二次方程：x 2－2x －2=0． 答案：1.D. 2.解： 1-是230x bx +-=的一个根， 2(1)(1)30b ∴-+--=．解方程得2b =-．
∴原方程为2230x x --= 分解因式，得(1)(3)0x x +-= 11x ∴=-，23x =. 3.移项，得x 2－2x=2． 配方x 2－2x+12=2+12， （x －1）2=3. 由此可得x －1=±3， x 1=1+3，x 2=1－3. 最新考题 1.（2009威海）若关于x 的一元二次方程2 (3)0x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根是______． 2.（2009年山西省）请你写出一个有一根为1的一元二次方程： ． 3.（2009山西省太原市）用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ） A ．()216x += B ．()216x -= C ．()2 29x += D ．()2 29x -= 答案：1.1； 2.答案不唯一，如2 1x = 3. B 知识点2：一元二次方程的根与系数的关系 例1：如果21,x x 是方程0122 =--x x 的两个根，那么21x x +的值为： （A ）－1 （B ）2 （C ）21- （D ）21+ 思路点拨：本题考查一元二次方程02 =++c bx ax 的根与系数关系即韦达定理，两根之和是a b - ， 两根之积是a c ，易求出两根之和是2。答案：B 例2：设一元二次方程2 730x x -+=的两个实数根分别为1x 和2x ， 则12x x += ，x 1、·x 2 ．
一元二次方程综合一元二次方程的解法归纳总结 一元二次方程的解法是每一个中学生都必须掌握的,共有5种解法,其中直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法是教材上重点讲解的四种方法,并没有提到换元法,我们在这次归纳总结中给于详细的讲解.另外,还将介绍某些特殊的一元二次方程的解法. 在上面提到的四种解一元二次方程的方法中,直接开平方法是最直接的方法,因式分解法是最简单的方法,配方法是最基本的方法,而公式法是最万能的方法. 我们要根据一元二次方程的特点选择合适的解法,如一元二次方程缺少一次项,选择用直接开平方法求解;一元二次方程缺少常数项,选择用因式分解法（缺常选因）求解. 一、直接开平方法 解形如（≥0）和（≥0）的一元二次方程,用直接开平方法. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤: （1）把一元二次方程化为（≥0）或（≥0）的形式; （2）直接开平方,把方程转化为两个一元一次方程; （3）分别解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解. 注意: （1）直接开平方法是最直接的解一元二次方程的方法,并不适合所有的一元二次方程的求解; （2）对于一元二次方程,当时,方程无解; （3）对于一元二次方程: 当时,一元二次方程有两个不相等的实数根; 当时,一元二次方程有两个相等的实数根; 当时,一元二次方程没有实数根. 例1. 解下列方程: （1）; （2）. 分析:观察到两个方程的特点,都可以化为（≥0）的形式,所有选择用直接开平方法求解.当一元二次方程缺少一次项时,考虑使用直接开平方法求解.
解:（1） ∴; （2） ∴. 例2. 解下列方程: （1）; （2）. 分析:观察到两个方程的特点,都可以化为（≥0）的形式,所有选择用直接开平方法求解. 解:（1） ∴或 ∴; （2） ∴ ∴或 ∴. 习题1. 下列方程中,不能用直接开平方法求解的是【】（A）（B） （C）（D） 习题2. 若,则_________.
2014-2015年武汉市中考一元二次方程与几何综合 .例题讲解： 【例1】（2013～2014·江岸九上起点·25）（试题难度：A ） 参考答案：（1）①3 2 b a ；②m =1（2）5000． 分析：（1）①△ABD 的三边分别为a b a 2 52、、，且∠BAD =45°，故过B 点做BF ⊥AD 于F ，在△BFD 中使用勾股定理可以得到a 、b 之间的关系式，因式分解之后得到两个结果，根据条件a 一元二次方程分式方程应用题
一元二次方程，分式方程解应用题 1、某人用1000元人民币购买一年期的甲种债券，到期后兑换人民币并将所得利息购买一年期的乙种债券，若乙种债券的年利率比甲种债券低2个百分点，到期后某人的乙种债券可兑换人民币108元，求甲种债券的年利率。 分析：利息=本金×利率×存期 本息=本金+利息 甲种债券利息×（1+乙种债券利率）×存期=108 2、某电厂规定该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过A度，那么这个月这户只需交10元用电费，如果超过A度，则这个 月除了仍要交10元用电费外，超过部分还要按每度 A 100 元交费。 （1）该厂某户居民2月份用电90度，超过了规定的A度，则超过部分应该交电费多少元（用A表示） （2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况： 月份用电量（度）交电费总数（元） 3月80 25 4月45 10 根据上表的数据，求电厂规定A度为多少？ 3、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
4、某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元， 甲、丙两队合做5天完成全部工程的23 ，厂家需付甲、丙两队共5500元。 （1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？ （2）若工期要求不超过15天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由。 5、甲、乙两车同时从A 地出发，经过C 地去B 地，已知Ｃ、Ｂ相距180千米，出发时，甲每小时比乙多行5千米，因此，乙经过C 地比甲晚半小时，为赶上甲，乙从C 地将车速每小时增加10千米，结果两车同时到达B ，求两车出发时速度？ 6、某商场今年一月份销售额为60万元，二月份销售额下降10%，后改进经营管理，月销售额大幅度上升，到四月份销售额已达到96万元，求三、四月份平均每月增长的百分率是多少（精确到0.1%）？ 7、小明将勤工俭学挣得的100元钱按一年定期存入少儿银行，到期后取出50元用来购买学习用品，剩下的50元和应得的利息又全部按一年定期存入，若存款的年利率保持不变，这样到期后可得本金和利息共66元，求这种存款的年利率。
消元一二元一次方程组的解法（四）教案 一、教学目标 1、知识与技能:熟练掌握代入消元法和加减消元法。 2、过程与方法：能根据方程组的特点选择合适的消元方法解方程组。 3、情感态度价值观：通过分析实际问题中的数量关系，建立方程组解决问题，进一步认识方程模型的重要性。 二、教学重难点 重点：能根据方程组的特点选择合适的方法解方程组。 难点：实际问题中的数量关系较复杂是本节课难点。 三、教学过程 （一）复习、引入课题 复习：解二元一次方程有多少种解法？共同点是什么？目的是什么？ 引入：接下来继续深入探讨二元一次方程组的解法。 （二）探索新知 （1）解方程组 引导学生通过消y 与消x ，尝试不同的解法，培养学生发散思维，然后让学生归纳这样类型的二元一次方程组的解法。 小结1：当方程中同一个未知数的系数相等或相反时，用加减消元法较简便。 （2）请选择适当的方法解下列方程组： ① ② ③ 2x-2y=60 (2) 2x+2y=100 (1) 3.2x+2.4y=5.2 2x+y=1.5 4x+8y=12 3x-2y=5 5x-4y=2 2x+3y=10
通过这三个方程组的讨论，归纳出方程系数具有什么特征时选择什么消元法。 小结2：当方程组中有一个未知数的系数是1或-1时，用代入消元法较简便。 小结3：当两个方程中同一个未知数的系数成整倍数时，用加减消元法较简便。 小结4：当方程组中任何未知数的系数不是1或-1，是不成整倍数时，一般经过变形后利用加减消元法较简便。 老师小结：解二元一次方程组不管采用哪种方法，都可以获得它的解，但根据题目形式的特点，选择恰当的方法可以减少走弯路，加快解题速度，使解题过程简洁，提高正确率。 （三）实际应用 例（教材104页）：2台大收割机和5台小收割机工作2小时收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机工作5小时收割小麦8公顷，1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦多少公顷？ 通过分步提问，引导学生分析 问题1：列方程组解应用题的关键是什么？ 问题2：你能找出本题的等量关系吗？ 问题3：怎么表示2台大收割机2小时的工作量呢 设：如果1台大收割机1小时收割小麦X公顷，1台小收割机1小时收割小麦Y公顷。 那么2台大收割机2小时收割小麦（）公顷，5台小收割机2小时收割小麦（）公顷。 根据“2台大收割机2小时的工作量+5台小收割机2小时的工作量=3.6公顷”可列方程： 4x+10y=3.6
分式方程与一元二次方程应用（20题） 一．分式方程 1．星期天，小明和小芳从同一小区门口同时出发，沿同一路线去离该小区1800米的少年宫参加活动，为响应“节能环保，绿色出行”的号召，两人都步行，已知小明的速度是小芳的速度的1.2倍，结果小明比小芳早6分钟到达，求小芳的速度． 2．某工厂现在平均每天比原计划多生产25个零件，现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同，原计划平均每天生产多少个零件？ 3．黄麻中学为了创建全省“最美书屋”，购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多5元，已知学校用12000元购买的科普类图书的本数与用9000元购买的文学类图书的本数相等，求学校购买的科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元？ 4．甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路60公里，再由乙队完成剩下的筑路工程，已知乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的倍，甲队比乙队多筑路20天． （1）求乙队筑路的总公里数； （2）若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为5：8，求乙队平均每天筑路多少公里． 5．某市为创建全国文明城市，开展“美化绿化城市”活动，计划经过若干年使城区绿化总面积新增360万平方米．自2013年初开始实施后，实际每年绿化面积是原计划的1.6倍，这样可提前4年完成任务． （1）问实际每年绿化面积多少万平方米？ （2）为加大创城力度，市政府决定从2016年起加快绿化速度，要求不超过2年完成，那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米？
二、一元二次方程 6．如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽 度为多少米？ 7．巴中市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于有关部门关于房地产的新政策出台后，部分购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售，若两次下调的百分率相同，求平均每次下调的百分率． 8．列方程解应用题： 某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？ 9．某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产每提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．（1）若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品； （2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？
——一元二次方程与分式方程 1．了解：一元二次方程的概念；一元二次方程的解；分式方程的概念. 2．理解：一元二次方程的解法；根的判别式；分式方程的增根. 3．会：识别一元二次方程；识别一个数是不是一元二次方程的解；判断一元二次方程根的情况；根与 系数的关系;识别分式方程；识别分式方程的增根；解分式方程. 4．掌握：由实际问题抽象出一元二次方程，一元二次方程的应用；分式方程的解法及其应用. 5．能：灵活选择适当的方法解一元二次方程；由实际问题抽象出分式方程. 1．从考查的题型来看，主要以解答题为主，占的分值比较大,属于中档题,少数题目以填空题或选择题的 形式考查.属于中档题. 2．从考查内容来看,涉及本知识点的重点有：一元二次方程的定义及解法；根的判别式；根与系数的关 系；分式方程与一元二次方程的实际应用 3．从考查热点来看,涉及本知识点的有:分式方程的增根问题;根与系数的关系;分式方程与一元二次方程 的解法及其实际应用. 1．一元二次方程 （1）判断方程是否是一元二次方程的方法：一元二次方程必须具备三个条件①必须是整式方程；②必须只含有1个未知数；③所含未知数的最高次数是2．（在一元二次方程的一般形式中要注意a≠0.因为当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程）（2）一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 当给出一个一元二次方程时，如何选取上述方法更快更好的解方程： i）若一元二次方程缺少常数项,且方程的右边为0,可考虑用因式分解法求解； ii）若一元二次方程缺少一次项,可考虑用因式分解法或直接开平方法求解； iii）若一元二次方程的二次项系数为1,且一次项的系数是偶数或常数项非常大,可考虑用配方法求解； iiii）若用以上三种方法都不容易求解时,可考虑用公式法求解．用公式法求解时必须化为一般形式；用配方法求解时必须两边同时加上一次项的系数一半的平方． 温馨提示：若只是判断方程解的情况则根据一元二次方程的根的判别式判断即可． 应用一元二次方程的根的判别式时必须满足a≠0；一元二次方程有解分两种情况①有两个相等的实数根；②有两个不相等的实数根． （4）一元二次方程的根与系数的关系 若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则有x1+x2＝ b a ，x1·x2＝ c a ． 2．分式方程
初中数学几何图形与一元二次方程教案 1．掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．2．继续探究实际问题中的数量关系，列出一元二次方程解应用题．3．通过探究体会列方程的实质，提高灵活处理问题的能力． 一、情境导入
如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，你能求出所截去小正方形的边长吗？ 二、合作探究 探究点：用一元二次方程解决图形面积问题 【类型一】利用面积构造一元二次方程模型 用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为( ) A．x(5＋x)＝6 B．x(5－x)＝6
C．x(10－x)＝6 D．x(10－2x)＝6 解析：设一边长为x米，则另外一边长为(5－x)米，根据它的面积为6平方米，即可列出方程得：x(5－x)＝6，故选择B. 方法总结：理解题意，恰当的设未知数，把题中相关的量用未知数表示出来，用相等关系列出方程． 现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为x cm的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，求小正方形的边长． 解析：设小正方形的边长为x cm，则长方体盒子底面的长、宽均可用含x的代数式表示，再根据面积，即可建立等量关系，列出方程． 解：设小正方形的边长为x cm，则可得这个长方体盒子的底面的长是(80－2x)cm，宽是(60－2x)cm，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面积，方程可列为(80－2x)(60－2x)＝1500，整理得x2－70x＋825＝0，解得x1＝55，x2＝15.又60－2x>0，∴x ＝55(舍)．∴小正方形的边长为15cm. 方法总结：要从已知条件中找出关键的与所求问题有关的信息，通过图形求出面积，解
一元二次方程及分式方程专题训练 一、填空题：（每题 3 分，共 36 分） １、当 a ＿＿＿＿时，方程 (a－1) x2＋x－2＝0 是一元二次方程。２、方程 2x (1＋x)＝3 的一般形式为＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 ３、当 x＝＿＿＿＿时，分式x＋1 x＋2 的值等于 4 5 。 ４、方程 2x2＝32 的解为＿＿＿＿。 ５、方程 2 1－x2 －1＝ 1 1＋x 的解为＿＿＿＿。 ６、方程 x2－5x－6＝0 可分解成＿＿＿＿与＿＿＿＿两个一元一次方程。 ７、已知 m 是方程 x2－x－23＝0 的一个根，则 m2－m＝＿＿＿＿。 ８、2x2＋4x＋10＝2 (x＋＿＿＿)2＋＿＿＿＿。 ９、以－2 和 3 为根的一元二次方程为＿＿＿＿＿＿（写出一个即可）。 10、如果方程 x2－3x＋m＝0 的一根为 1，那么方程的另一根为＿＿＿＿。 11、如果方程x＋1 x－2 －1＝ m 2－x 有增根，那么 m＝＿＿＿＿。 12、长 20m、宽 15m 的会议室，中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的1 2 ， 若四周未铺地毯的留空宽度相同，则留空的宽度为＿＿＿＿。 二、选择题：（每题 4 分，共 24 分） １、下列方程中是一元二次方程的是（） A、x＋3＝5 B、xy＝3 C、x2＋1 x ＝0 D、2x2－1＝0 ２、若关于 x 的方程2x－a x－1 ＝1 无解，则 a 的值等于（） A、0 B、1 C、2 D、4 ３、方程 2x (x－2)＝3 (x－2) 的根是（） A、x＝3 2 B、x＝2 C、x1＝ 3 2 ，x2＝2 D、x＝－ 3 2 ４、把方程 x2＋3＝4x 配方得（） A、(x－2)2＝7 B、(x－2)2＝1 C、(x＋2)2＝1 D、(x＋2)2＝2 ５、某车间原计划 x 天内生产零件 50 个，由于采用新技术，每天多生产零件 5 个，因此提前3 天完成任务，则可列出的方程为（） A、50 x－3＝ 50 x －5 B、 50 x ＝ 50 x－3 －5 C、 50 x－3 ＝ 50 x －5 D、 50 x ＝ 50 x－3 － 5 ６、把一个小球以 20m/s 的速度竖直向上弹出，它在空中高度 h (m) 与时间 t (s) 满足关系：h＝20t－5t2，当 h＝20 时，小球的运动时间为（） A、20s B、2s C、(22＋2) s D、(22－2) s 三、解下列方程：（每题 6 分，共 36 分）
《一元二次方程的解法》规律总结 1．一元二次方程的解法 (1)直接开平方法：根据平方根的意义，用此法可解出形如a x 2=(a ≥0)， b )a x (2=-(b ≥0)类的一元二次方程．a x 2=，则a x ±=；b )a x (2=-，b a x ±=-，b a x +=．对有些一元二次方程，本身不是上述两种形式，但可以化为a x 2=或b )a x (2 =-的形式，也可以用此法解． (2)因式分解法：当一元二次方程的一边为零，而另一边易分解成两个一次因式的积时，就可用此法来解．要清楚使乘积ab ＝0的条件是a ＝0或b ＝0，使方程x(x －3)＝0的条件是x ＝0或x －3＝0．x 的两个值都可以使方程成立，所以方程x(x －3)＝0有两个根，而不是一个根． (3)配方法：任何一个形如bx x 2 +的二次式，都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一个二项式的完全平方，把方程归结为能用直接开平方法来解 的方程．如解07x 6x 2=++时，可把方程化为7x 6x 2-=+，2 2226726x 6x ??? ??+-=??? ??++，即2)3x (2=+，从而得解． 注意：(1)“方程两边各加上一次项系数一半平方”的前提是方程的二次项系数是1． (2)解一元二次方程时，一般不用此法，掌握这种配方法是重点． (3)公式法：一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的根是由方程的系数a 、b 、 c 确定的．在0ac 4b 2≥-的前提下，a 2ac 4b b x 2-±-=．用公式法解一元二次方 程的一般步骤： ①先把方程化为一般形式，即0c bx ax 2 =++(a ≠0)的形式； ②正确地确定方程各项的系数a 、b 、c 的值(要注意它们的符号)； ③计算0ac 4b 2<-时，方程没有实数根，就不必解了(因负数开平方无意义)； ④将a 、b 、c 的值代入求根公式，求出方程的两个根． 说明：象直接开平方法、因式分解法只是适宜于特殊形式的方程，而公式法则是最普遍，最适用的方法．解题时要根据方程的特征灵活选用方法． 2．一元二次方程根的判别式 一元二次方程的根有三种情况：①有两个不相等的实数根；②有两个相等的 实数根；③没有实数根．而根的情况，由ac 4b 2-的值来确定．因此ac 4b 2-=?叫做一元二次方程0c bx ax 2 =++的根的判别式． △>0?方程有两个不相等的实数根． △＝0?方程有两个相等的实数根． △<0?方程没有实数根．
中考数学第一轮复习专题训练 (五) （一元二次方程及分式方程） 一、填空题：（每题 3 分，共 36 分） １、当 a ＿＿＿＿时，方程 (a －1) x 2＋x －2＝0 是一元二次方程。 ２、方程 2x (1＋x)＝3 的一般形式为＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 ３、当 x ＝＿＿＿＿时，分式x ＋1x ＋2的值等于4 5 。 ４、方程 2x 2 ＝32 的解为＿＿＿＿。 ５、方程 21－x 2－1＝1 1＋x 的解为＿＿＿＿。 ６、方程 x 2－5x －6＝0 可分解成＿＿＿＿与＿＿＿＿两个一元一次方程。 ７、已知 m 是方程 x 2－x －23＝0 的一个根，则 m 2－m ＝＿＿＿＿。 ８、2x 2＋4x ＋10＝2 (x ＋＿＿＿)2＋＿＿＿＿。 ９、以 －2 和 3 为根的一元二次方程为＿＿＿＿＿＿（写出一个即可）。 10、如果方程 x 2－3x ＋m ＝0 的一根为 1，那么方程的另一根为＿＿＿＿。 11、如果方程 x ＋1x －2－1＝ m 2－x 有增根，那么 m ＝＿＿＿＿。 12、长 宽 15m 的会议室，中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的 1 2 ，若四周 未铺地毯的留空宽度相同，则留空的宽度为＿＿＿＿。 二、选择题：（每题 4 分，共 24 分） １、下列方程中是一元二次方程的是（ ） A 、x ＋3＝5 B 、xy ＝3 C 、x 2＋1x ＝0 D 、2x 2 －1＝0 ２、若关于 x 的方程2x －a x －1＝1 无解，则 a 的值等于（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、4 ３、方程 2x (x －2)＝3 (x －2) 的根是（ ） A 、x ＝3 2 B 、x ＝2 C 、x 1＝32，x 2＝2 D 、x ＝－32 ４、把方程 x 2 ＋3＝4x 配方得（ ） A 、(x －2)2＝7 B 、(x －2)2＝1 C 、(x ＋2)2 ＝1 D 、(x ＋2)2＝2 ５、某车间原计划 x 天内生产零件 50 个，由于采用新技术，每天多生产零件 5 个，因此提前3 天完成任务，则可列出的方程为（ ） A 、50 x －3＝50x －5 B 、50x ＝50x －3－5 C 、50x －3＝50x －5 D 、50x ＝50x －3－5 ６、把一个小球以 s 的速度竖直向上弹出，它在空中高度 h (m) 与时间 t (s) 满足关系：h ＝5t 2 ，当 h ＝，小球的运动时间为（ ） A 、 B 、2s C 、(22＋2) s D 、(22－2) s 三、解下列方程：（每题 6 分，共 36 分） １、x (x ＋5)＝24 ２、2x 2 ＝(2＋3) x ３、x 2－4x ＝5 ４、4 (x －1)2＝(x ＋1)2 …………………………密……………………封……………………装……………………订………………学校：＿＿＿＿＿＿ 班级：＿＿＿＿＿ 姓名：＿＿＿＿＿＿ 座号：＿＿＿＿