一元二次方程与分式方程
适用学科
数学 适用年级 初中三年级 适用区域
上海 课时时长（分钟） 120分钟 知识点
1.一元二次方程
2.分式方程 教学目标 1.理解一元二次方程的概念；
2.掌握一元二次方程的解法；
3.掌握一元二次方程根的判别式并能灵活运用；
4.理解分式方程的概念；
5.掌握一元二次方程和分式方程的实际应用。
教学重点 1.解一元二次方程；
2.一元二次方程根的判别式；
3.解分式方程。
教学难点
1.配方法解一元二次方程；
2.一元一次方程与二元一次方程组的实际应用。 教学过程：
一、复习预习
教师引导学生上一节内容，并引入本节课程内容
二、知识讲解
1.一元二次方程的定义
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程.
一般形式：2
0(0)ax bx c a ++=≠.
2.一元二次方程的解法
（1）直接开方法：形如20(0,0)ax c a c +=≠≠的一元二次方程的解法： 2ax c =-，2c x a
=-. 当0ac <时，c x a =±-
. 当0ac >时，此方程无实数解.
（2）配方法
①把原方程化成2
0x px q ++=的形式；
②移项整理得2x px q +=-；
③在方程2
x px q +=-的两边同加上一次项系数p 的一半的平方： 222()()22
p p x px q ++=-+ ④用直接开平方法解方程2
2()24
p p x q +=-. （3）公式法（求根公式：242b b ac x a
-±-=） ①把方程化成一般形式，并写出a b c 、、的值；
②求出2
4b ac -的值； ③代入求根公式：224(0,40)2b b ac x a b ac a
-±-=≠-≥； ④写出方程的解：12?,?x x ==.
3.一元二次方程根的判别式
一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠，其中24b ac ?=-叫做一元二次方程根的判别式，其中：
① 240b ac ?=->?有两个不相等的实数根；
② 240b ac ?=-=?有两个相等的实数根；
③ 240b ac ?=-
4.一元二次方程根与系数的关系
如果20(0)ax bx c a ++=≠的两个根是12x x 、，那么1212,.b c x x x x a a
+=-
= 以两个数12x x 、为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 21212()0x x x x x -++=.
分式方程容易犯的错误主要有：
（1）去分母时，原方程的整式部分漏乘；
（2）约去分母后，分子是多项式时，要注意添括号；
（3）增根没有舍掉；
解分式方程的一般步骤：
①方程的两边都乘以最简公分母，化成整式方程
②这个整式方程；
③
主要的概念：
（1）方程的概念
含有未知数的等式叫方程。
（2）一元一次方程的概念
只含有一个未知数且未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程。
（3）方程的解
使方程中等号两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
（4）解方程
求方程的解的过程叫做解方程。
主要性质
（1）等式的性质
等式的性质1：等式两边（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为零的数，结果仍相等。（2）合并同类项法则
同类项相加（减），把它们的系数相加（减）作为结果的系数，字母部分不变。（3）去括号法则
（1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同。（2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反。
解题步骤
(1)去括号;
(2)移项;
(3)合并同类项;
(4)系数化为1.
2.二元一次方程组
相关概念
（1）二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的指数都是1的整式方程，叫二元一次方程。
（2）二元一次方程组定义：两个结合在一起的，且共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。
（3）二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
（4）二元一次方程组的解：一般的，二元一次方程组的两个二元一次方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
方程解法
（1）代入消元法的一般步骤
①选一个系数比较简单的方程进行变形，变成y ax b =+或x ay b =+的形式；
②将y ax b =+或x ay b =+代入另一个方程，消去一个未知数，从而将另一个方程变成一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出 x 或 y 值；
④将已求出的 x 或 y 值代入方程组中的任意一个方程（y = ax +b 或 x = ay + b ），求出另一个未知数；
⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程的解。
（2）加减消元法的一般步骤
①在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同（或互为相反数），则可直接相减（或相加），消去一个未知数；
②在二元一次方程组中，若不存在①中的情况，可选择一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同（或互为相反数），再把方程两边分别相减（或相加），消去一个未知数，得到一元一次方程；
③解这个一元一次方程；
④将求出的一元一次方程的解代入原方程组系数比较简单的方程，求另一个未知数的值；
⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程组的解。
考点/易错点1
解一元一次方程.
考点/易错点2
一元一次方程的应用过程中没有对所得的解进行检验．
考点/易错点3
二元一次方程组的实际应用中等式列错导致结果错误.
三、例题精析
【例题1】下列方程中是一元一次方程的是 （ ）
A ．2
43x x -= B ．0x =
C ．21x y +=
D ．11x x
-= 【答案】A 选项中未知数的最高次数是2次，不是一元一次方程；选项B 符合一元一次方程的定义；选项C 是二元一次方程；选项D 中分母含有未知数，是分式方程.故选B.
【解析】本题考查了一元一次方程的定义.只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是一（次）的方程叫做一元一次方程. 【例题2】（20XX 年柳州中考）解方程：3（x +4）=x ．
【答案】去括号得，312x x +=，
移项合并得：212x =-，
解得：6x =-.
【解析】根据一元一次方程的解题步骤：①去分母（或括号）；②移项；③合并同类项；④将未知项系数化为1.即可求出解.
【例题3】（20XX 年淄博中考）把一根长100cm 的木棍锯成两段，使其中一段的长比另一段的2倍少5cm ，则锯出的木棍的长不可能为 （ ）
A ．70cm
B ．65cm
C ．35cm
D ．35cm 或65cm
【答案】设一段为x ，则另一段为2x -5，由题意得，x +2x -5=100，解得：x =35，2x -5=65．故选A ．
【解析】根据题意，设一段为x ，则另一段为2x -5，再由总长为100cm ，可得出方程，解出即可．
【例题4】二元一次方程组221x y x y +=??-=?
的解是 （ ） A.02x y =??=? B.11x y =??=? C.11x y =-??=-? D.20
x y =??=? 【答案】221x y x y +=??-=?
①②，①+②得，3x =3，解得x =1，把x =1代入①得，1+y =2，解得y =1， 所以，方程组的解是11
x y =??=?.故选B. 【解析】根据y 的系数互为相反数，利用加减消元法解二元一次方程组求出解，即可选择.
【例题5】解方程组2()134123()2(2)3
x y x y x y x y -+?-=-???+--=?.
【答案】方程组可化为511153x y x y -=-??
-+=?①②，
由②得，x =5y -3 ③，
把③代入①得，5(53)111y y --=-，
解得1y =，
把1y =代入③得，x =5-3=2，
所以，原方程组的解是21
x y =??=?. 【分析】把方程组整理成一般形式，然后利用代入消元法求解即可.
【例题6】（20XX 年苏州中考）苏州某旅行社组织甲乙两个旅游团分别到西安、北京旅行，已知这两旅游团共有55人，甲旅游团的人数比乙旅游团的人数的2倍少5人．问甲、乙两个旅游团各有多少人？
【答案】设甲、乙两个旅游团各有x 人、y 人，由题意得：5525
x y x y +=??=-?，
解得3520x y =??=?
. 【分析】设甲、乙两个旅行团分别有x 人、y 人，根据题意可得等量关系：甲团+乙团=55人；甲团人数=乙团人数?2-5，根据等量关系列出方程组，再解即可.
【例题7】（20XX 年河池中考）为响应“美丽河池 清洁乡村 美化校园”的号召，红水河中学计划在学校公共场所安装温馨提示牌和垃圾箱．已知，安装5个温馨提示牌和6个垃圾箱需730元，安装7个温馨提示牌和12个垃圾箱需1310元．
（1）安装1个温馨提示牌和1个垃圾箱各需多少元？
（2）安装8个温馨提示牌和15个垃圾箱共需多少元？
【答案】（1）设安装1个温馨提示牌需要x 元，1个垃圾箱需要y 元，根据题意得； 567307121310x y x y +=??+=?，解得：5080
x y =??=?； （2）安装8个温馨提示牌和15个垃圾箱共需的钱数是：50880151600?+?=（元）.
【分析】（1）先设安装1个温馨提示牌需要x 元，一个垃圾箱需要y 元，根据安装5个温馨提示牌和6个垃圾箱需730元，安装7个温馨提示牌和12个垃圾箱共需1310元，列出方程组，求出方程组的解即可.
（2）根据安装1个温馨提示牌和1个垃圾箱各需50元、80元，可得安装8个温馨提示牌和15个垃圾箱共需1600元.
四、课堂运用
【基础】
1. 一元一次方程2x =4的解是 （ ）
A.1x =
B.2x =
C.3x =
D.4x = 答案
解：方程两边都除以2，系数化为1得，2x =故选B.
分析
方程两边都除以2即可得解.
2. 二元一次方程2x +y =10的一个解是 （ ）
A.2,6x y =-=
B.3,4x y ==-
C.4,3x y ==
D.6,2x y ==- 答案
解：A ．把2,6x y =-=代入，左边46210=-+=≠，错误；B.把3,4x y ==-代入，左边64210=-=≠，错误；C.把4,3x y ==代入，左边831110=+=≠，错误；D.当6,2x y ==-时，方程左边26(2)10=?+-==右边.故选D.
分析
由于二元一次方程210x y +=是不定方程，所以有无数组解.本题的思路是将四个选项分别代入方程验证，能使方程成立的即是方程的解，反之，则不是方程的解.
3. 已知关于x 的方程250x a --=的解是2x =-，则a 的值为 （ ）
A.1
B.-1
C.9
D.-9
答案
解：将2x =-代入方程得：450a ---=，解得：9a =-．故选D.
分析
将2x =-的值代入方程中，得到关于a 的一元一次方程，解此方程即可.
4.方程317x +=的根是 .
答案
解：移项得，371x =-，
合并同类项得，36x =，
系数化为1得，2x =.故答案为2.
分析
根据一元一次方程的解法，移项、合并同类项、系数化为1即可.
4.方程组5-24=0+-50x y x y -??
=?的解是 . 答案
解：5-24=0+-50x y x y -??=?①
②，①＋②×2得，7140x -=，解得2x =，把2x =代入②得
523y =-=.故本题答案为23x y =??=?
. 分析
根据加减消元法，先消去未知数y ，求出x 的值，继而可以求出y 的值. 5. 某商品按进价提高40%后标价，再打8折销售，售价为1120元，则这种电器的进价为 元.
答案
解：设这种电器的进价是x 元，由题意得：
(140%)80%1120x +?=，解得：1000x =，故答案为：1000.
分析
首先设这种电器的进价是x 元，则标价是(140%)x +元，根据售价=标价×打折可得方
程(140%)80%1120x +?=，解方程可得答案． 【巩固】
1. 下列方程，以-2为解的方程是 （ ）
A.322x x -=
B.4123x x -=+
C.5362x x -=-
D.3121x x +=-
答案
解：A ．将2x =-代入原方程．左边3228=?--=-（），右边224=?-=-（）， 因为左边≠右边，所以x=-2不是原方程的解．
B.将2x =-代入原方程．左边4219=?--=-（），右边2231
=?-+=-（）， 因为左边≠右边，所以2x =-是原方程的解． C.将2x =-代入原方程．
左边52313=?--=-（），右边62214=?--=-（），
因为左边≠右边，所以x =-2不是原方程的解．
D.将2x =-代入原方程．左边3215=?-+=-（），右边2215=?--=-（），
因为左边=右边，所以2x =-是原方程的解．故选D ．
分析 方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替方程中的未知数，所得到的式子左右两边相等．
2. 已知方程332x x -=的解为2a +，
则关于x 的方程32()3x x a a --=的解为（ ） A.-1 B.1 C.-5 D.5
答案
解：依题意得：3(2)32(2)a a +-=+，整理得：36324a a +-=+，∴a =1，
将a =1代入方程32()3x x a a --=，
得：322131
x x -+?=? ，∴x =1；故选B ． 分析
此题可将2x a =+代入方程，得出关于a 的一元一次方程，解方程即可得出a 的值，然后把a 的值代入32()3x x a a --=解方程即可得出x 的值．
3.已知2(3)20
x y x y -+++=，则x y +的值为 （ ） A.0 B.-1 C.1 D.5
答案
解：2(3)20x y x y -+++=，3020x y x y -+=?∴?+=?，解得12
x y =-??=?， 121x y ∴+=-+=.故选C.
分析
先根据非负数的性质列出关于x 、y 的方程组，求出x 、y 的值即可.
4.若13a +与213
a +互为相反数，则a 的值为 . 答案
解：根据题意得：211033
a a +++=，去分母得：3210a a +++=， 移项、合并同类项得：34a =-，43a ∴=-. 分析
根据题意得出方程211033
a a +++=，求出方程的解即可. 5. 夏季来临，天气逐渐炎热起来，某商店将某种碳酸饮料每瓶的价格上调了10%，将某种果汁饮料每瓶的价格下调了5%，已知调价前买这两种饮料各一瓶共花费7元，调价后买上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共花费17.5元，问这两种饮料在调价前每瓶各多少元？
答案
解：设这两种饮料在调价前每瓶各x 元、y 元，根据题意得：
73(110%)2(15%)17.5x y x y +=??++-=?，解得：34
x y =??=?. 分析
先设这两种饮料在调价前每瓶各x 元、y 元，根据调价前买这两种饮料各一瓶共花费7元，调价后买上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共花费17.5元，列出方程组，求出解即可.
【拔高】
1.已知方程1270a a x --+=（）是关于x 的一元一次方程，则a 的值为 （ ）
A.2
B.-2
C.±2
D.无法确定
答案
解：由题意得：||1120a a -=-≠，，解得：2a =-．
分析
根据一元一次方程的定义，得出||11a -=，20a -≠，进而得出答案.
2.由加减法解方程3210415x y x y -=??-=?①
②时，最简捷的方法是 （ ）
A.43?-?①②，消去x
B.4+3??①②，消去x
C.2+?②①消去y
D.21?-②，消去y
答案
解：由于②×2可得与①相同的y 的系数，且所乘数字较小，之后－①，即可消去y ，最简单.
分析
将②中的系数化为与①中y的系数相同，相减即可.
3. 如果方程7x+2m=5+x的解在-1和1之间，则m的取值范围为（）
A.1
3
2
m
<< B.
1
3
2
m
-<< C.
111
22
m
-<< D.
111
22
m
-<<
答案
解：由方程7x+2m=5+x得：
52
6
m
x
-
=，由题意得11
x
-<<，即
52
11
6
m
-
-<<，
解得：
111
22
m
-<<，故选C.
分析
首先可根据方程求得解x，然后根据x的范围求解一元一次不等式即可.
4. 已知关于x的方程mx+2=2（m-x）的解满足
1
||10
2
x--=，则m的值是.
答案
解：先由
1
||10
2
x--=，得出
3
2
x=或
1
2
-；
再将
3
2
x=和
1
2
x=-分别代入22()
mx m x
+=-，求出10
m=或
2
5
.
分析
解此题分两步：（1）求出
1
||10
2
x--=的解；（2）把全球除的解代入方程
22()
mx m x
+=-，把未知数转化成已知数，方程也同时转化为关于未知系数的方程，解方程即可.
5.关于x、y的二元一次方程组
5323
x y
x y p
+=
?
?
+=
?
的解是正整数，则整数p的值为.
答案
解：
5323
x y
x y p
+=
?
?
+=
?
①
②
，②×3得：333
x y p
+=，③，
①-③得：
233 2233,
2
p
x p x
-
=-=，
5
?
②得：555
x y p
+=，④
-
④①得：
523 2523,
2
p
y p y
-
=-=，
∵x、y是正整数，
233
2
523
2
p
p
-
?
>??
∴?
-?>
??，解得：
2323
53
p
<<，
∵p为整数，∴567
p=、、，
又∵x y 、是正整数，6p ∴=时，不合题意舍去，57p ∴=或，故答案为5或7.
分析
首先用含p 的代数式分别表示x 、y ,再根据条件二元一次方程组的解为正整数，得到关于p 的不等式组，求出p 额取值范围，再根据p 为整数确定p 的值.
五、课程小结
1.一元一次方程的定义；
2.一元一次方程的解法；
3.二元一次方程组的定义；
4.二元一次方程组的解法.
六、课后作业
【基础】
1.下列各式中是方程的是 （ ） A.15182x x -= B.1512
x x >- C.84y - D.523-= 答案
解：A 选项表示的是方程；B 选项表示的是一元一次不等式；C 选项是代数式，不属于方程；D 选项是不含未知数的等式.
分析
根据方程的定义即可判断.
2.已知5x =-是方程3ax x a -=-的解，则a 的值是 （ ）
A.-2
B.2
C.
12 D.12- 答案
解：将5x =-代入方程3ax x a -=-得，535a a --=--，解得12
a =.故选C. 分析
由于5x =-是方程的解，则5x =-满足该方程，代入x 的值解方程即可求得a 的值.
3.由方程组213x m y m
+=??-=?可得出x 与y 的关系是 （ ）
A.24x y +=
B.24x y -=
C.24x y +=-
D.24x y -=- 答案
解：213x m y m +=??-=?①
②，把②代入①得231x y +-=，即24x y +=.
分析
把②中m 的值代入①即可求出x 与y 的关系式.
4.方程组31x y x y +=??-=?
的解是 . 答案
解：31x y x y +=??-=?①
②，①＋②得，24,2x x ==，代入①，得23,1y y +==，
故原方程的解为21
x y =??=?. 分析
运用加减消元法解方程组.
【巩固】
1.已知方程组2535x y x y +=??+=?
，则x y +的值为 （ ） A.-1 B.0 C.2 D.3
答案
解：2535x y x y +=??+=?①
②，
2?②得，2610x y +=，③，
③-①得，55,y =解得1y =.
把1y =代入①得，215x +=，解得2x =，
所以，方程组的解是21x y =??=?
，所以，213x y +=+=，故选D. 2.已知2|2|43
x -=，则x 的值是 （ ） A.-3 B.9 C.-3或9 D.以上结论都不对 答案
解：2|2|43
x -
=， 22242433
x x ∴-=-=-或， 解得：39x =-或.故选C. 分析
绝对值为4的数是±4，从而可去掉绝对值符号，，计算即可.
3.雅安地震后，灾区急需帐篷．某企业急灾区之所急，准备捐助甲、乙两种型号的帐篷共1500顶，其中甲种帐篷每顶安置6人，乙种帐篷每顶安置4人，共安置8000人．设该企业捐助甲种帐篷x 顶、乙种帐篷y 顶，那么下面列出的方程组中正确的是 （ ）
A.4150048000x y x y +=??+=?
B.4150068000
x y x y +=??+=? C.1500468000x y x y +=??+=? D.1500648000
x y x y +=??+=? 答案 解：根据甲、乙两种型号的帐篷共15000顶，得方程1500x y +=；根据共安置8000人，得方程648000x y +=.列方程组为：1500648000
x y x y +=??+=?.故选D. 分析
根据题意有两种等量关系：①甲种帐篷的顶数+乙种帐篷的顶数=1500顶；②甲种帐篷安置的总人数+乙种帐篷安置的总人数=8000人，进而得出答案.
4.已知关于x 的方程28x =与22x k +=-，则代数式
223||k k
-的值是 . 答案
解：解方程28x =，得：4x =，
把4x =代入2x k +=-，得：42,k +=-解得：6,k =- 把6k =-代入223||k k -，原式223k k
-=，原式223||23|6|4.(6)29k k h ---===-- 故选C.
分析
先通过解方程求得x 与k 的值，再代入代数式求值.
5.（1）将一批重490吨的货物分配给甲、乙两船运输.现甲、乙两船以分别运走其任务数的57、37
，在已运走的货物中，甲船比乙船多运30吨.求分配给甲、乙两船的任务数各多少吨？ （2）自编一道应用题，要求如下：
①是路程应用题.三个数据100、25、15
必须全部用到，不添加其他数据. ②只要编题，不必解答.
答案
解：（1）设分配给甲、乙两船的任务数分别是x 吨和y 吨，根据题意，得
49053307
7x y x y +=???-=??，解之得210280x y =??=?. （2）甲、乙两人骑自行车从两地同时出发相向而行.甲走了全程的
25，乙走了全程的15
，这时两人相距100公里，问全程共有多少公里？
分析
（1）先设分配给甲、乙两船的任务数分别是x 吨和y 吨，根据题意找出等量关系即可求解；
（2）可设计为行程中的相遇问题.
【拔高】
1.若一个两位数恰好等于它的各位数字之和的4倍，则这个两位数称为“巧数”，例如：12=（1+2）×4，则12是一个“巧数”，则在所有的两位数中，不是“巧数”的数有 （ ）
A ．85个
B ．86个
C ．87个
D ．88个
答案
解：设这个两位数为 xy ，
∵这个两位数恰等于它的各位数字之和的4倍，
∴10x +y =4（x +y ），即y =2x ，
∵x ，y 是不为0的一位数，∴x ＜5，
∴当x =1时，y =2，则此两位数为12；
当x =2时，y =4，则此两位数为24；
当x =3时，y =6，则此两位数为36；
当x =4时，y =8，则此两位数为48；
∴这样的“巧数”有4个，
∵两位数共有90个，
∴不是“巧数”的两位数的个数是：90-4=86（个）．
故选B ． 2.在有理数的范围内定义一种运算“☆”，规定：a ☆b =ab +a -b ，若2☆x =-6，则x 的值是 .
答案
解：根据运算的规则2☆x =-6转化为一元一次方程226x x +-=-，解得：8x =-.
分析
首先看清这种运算的规则，将2☆x =-6转化为一元一次方程226x x +-=-，通过移项、系数化为1等过程，求得x 的值.
3.解三元一次方程组：2343237321x y z x y z x y z +-=??-+=??+-=-?
.
答案
解：2343237321x y z x y z x y z +-=??-+=??+-=-?
①②③，
3?+①②得，9719x y +=④，
2?-①③得，339,x y -=即3x y +=⑤，
联立97193x y x y +=??+=?④
⑤，解得14
x y =-??=?，
把1,4x y =-=代入①得，2(1)344z ?-+?-=，解得6z =，
所以方程组的解是146x y z =-??=??=?
.
分析
先利用前两个方程消掉z ，第一个方程和第三个方程消掉z 得到两个关于x 、y 的方程，然后根据二元一次方程组的解法求出x 、y 的值，再代入第一个方程求出z 的值，从而得解.
一元二次方程与解直角三角形的检测试题 班级________姓名___________座号________________ 成绩____________ 一、填空题(3分×13) 1、关于x的方程（k-√3）x2―13x + 6 = 0是一元二次方程，则k ______; 2、关于x的方程x2+ 2x ＝0的根__________________; 3、已知关于x的方程x2 + mx ＋1＝0的一个根是2－√3，则方程的另一根是 ______; 4、若关于x的方程9x2- (k + 6)x + k + 1＝0有两个相等的实数根，则k＝ ______； 5、已知方程x2 + mx + n＝0的两个根分别为2和－1，则m＝_______； 6、以2和-3为根的一元二次方程是____________________； 7、在RtABC中,∠C＝90o，则tanA .tanB＝___________； 8、化简1-sin2A- cos2A＝_______________； 9、在RtΔABC中，若|2sin A- √2 |＋（2cosB -√3）2＝_______________； 10、菱形中较长的对角线与较短的对角线的比为√3：1，那么菱形的锐角 为____________； 11、一个等腰三角形两边分别长为3cm和6cm，则底角的余弦值为 ______________； 12、在RtΔABC 中，∠C＝Rt∠,若a＝10，SΔABC= ,则∠A＝ ___________； 13、等腰梯形的底角为60o，两底边长分别为2cm和16cm，则梯形的面积 为____________； 二、选择题(4分×6) 1、如果一元二次方程2x(mx-4)＝x2-6有两个实数根，则m的最大整数值是（） （A）1 （B）2 (C) 3 (D)1 2、用换元法解分式方程3(x2 +2 )－7(x +2 )＋2＝0，若设 x2 +2 ＝y，则换元后的方程为（） (A)3y2-7y + 8＝0 （B）3y2-7y＋6＝0 （C）3y2-7y＋14＝0 （D）3y 2-7y＋2＝0 3、ΔABC 中，∠C＝90o，BC＝10，AB＝5√2，则B的度数为（）（A）30o（B）45o（C）60o (D) 120o 3、从山顶A望地面C、D两点，它们的俯角分别是45o和30o，如果测得CD 为100米，那么山高AB等于（） (A) 100米（B）100米（C）302米（D）50(3 + 1)米 4、一个三角形的两边长分别为3cm和12cm，夹角为30o和它面积相等的等腰直 角三角形的斜边的长为（） （A）5cm (B)6cm (C)7cm (D)8cm 5、如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE=α，且 5 3 cos= α, AB = 4, 则AD的长为（）． （A）3 （B） 3 16 （C） 3 20 （D） 5 16 6、某市在“旧城改造”中计划内一 块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美 化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（）．（A）450a元（B）225a元（C）150a元（D）300a元 三.解方程（6分‘×2=12） x x x x 2 3 1 4 6 2 2 + + + =3 四、不解方程，求作一个一元二次方程，使它的根比原方程各根的2倍大1.(10分) 五、甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，匀速相向而行，在距离B地6千米外 A B C D E ? 150 20米30米
一元二次方程及根的定 义 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
一元二次方程及根的定义 1.已知关于的方程的一个根为2，求另一个根及 的值. 思路点拨：从一元二次方程的解的概念入手，将根代入原方程解的值，再代回原方程，解方程求出另一个根即可. 解：将代入原方程，得 即 解方程，得 当时，原方程都可化为 解方程，得. 所以方程的另一个根为4，或-1. 总结升华：以方程的根为载点.综合考查解方程的问题是一个常考问题，解这类问题关键是要抓住“根”的概念，并以此为突破口. 举一反三： 【变式1】已知一元二次方程的一个根是，求代数式 的值. 思路点拨：抓住为方程的一个根这一关键，运用根的概念解题. 解：因为是方程的一个根, 所以, 故, , 所以.
. 总结升华：“方程”即是一个“等式”，在“等式”中，根据题目的需要，合理地变形，是一种对代数运算综合要求较高的能力，在这一方面注意丰富自己的经验. 类型二、一元二次方程的解法 2.用直接开平方法解下列方程： (1)3-27x2=0； (2)4(1-x)2-9=0. 解：(1)27x2=3 . (2)4(1-x)2=9 3.用配方法解下列方程： (1)；(2). 解：(1)由， 得， ，
， 所以， 故. (2)由， 得， ， ， 所以 故 4.用公式法解下列方程： (1)；(2)；(3). 解：(1)这里 并且 所以， 所以，. (2)将原方程变形为， 则 ， 所以，
所以. (3)将原方程展开并整理得， 这里， 并且， 所以. 所以. 总结升华：公式法解一元二次方程是解一元二次方程的一个重点，要求熟练掌握，它对我们的运算能力有较高要求，也是提高我们运算能力训练的好素材. 5.用因式分解法解下列方程： (1)；(2)； (3). 解：(1)将原方程变形为， 提取公因式，得， 因为，所以 所以或， 故 (2)直接提取公因式，得 所以或，(即 故. (3)直接用平方差公式因式分解得
可化为一元二次方程的分式方程 【知识要点】 1. 分式方程的定义 2. 一般分式方程的解法 3. 列方程解应用题 【重难点】 分式方程的判别及其解法 【经典例题】 例1．下列方程哪些是分式方程？ （1）0152=-+x x （2）13222=+x x （3）10 15711=-++x x （4） z x y x z y -=-+-111 （5）5 41212-+-x x x 例2．解分式方程2132=+-x x 例3．解方程25311322=-+-x x x x 例4、k 为何值时，方程3 232 -=--x k x x 会产生增根？
例5．某空调厂的装配车间，原计划用若干天组装150台空调，厂家为了使空调提前上市，决定每天多组装3台，这样提前3天超额完成了任务，总共比原计划多组装6台，问原计划每天组装多少台？ 例6．某村计划开挖一条长为1500m 的水渠，渠道的断面为等腰梯形，渠道深0.8m ，下底宽 1.2m ，坡角为 45,实际开始挖渠道时，每天比原计划多挖土203m ，结果比原计划提前4天完工，求原计划每天挖土多少立方米． 例7、今年五月，某工程队（有甲、乙两组）承包人民路中段的路基改造工程，规定若干天内完成．（1）已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍多4天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍少16天．如果甲、乙两组合做24天完成，那么甲、乙 两组合做能否在规定时间内完成？（2）在实际工作中，甲、乙两组合做完成这项工程的6 5后，工程队又承包了东段的改造工程，需抽调一组过去，从按时完成中段任务考虑，你认为抽调哪一组最好？请说明理由．
21.5一元二次方程的应用（5） 学习目标：1.掌握分式方程的计算方法； 2.进一步掌握列一元二次方程解应用题的方法和技能； 学习重点：分式方程转化为一元二次方程 学习难点：用换元法解分式方程 一． 学前准备 1. 分式方程的定义：_________________________________________________; 2. 解分式方程的思想是______________,步骤有__________________________ 3. 解下列分式方程 6710(1);453x x -=-+ 221(2);11x x =--- 1(3)0;22y y y y --=+- 2233(4)111x x x x +-=-+- 二． 探究活动 （一） 师生互动·合作交流 1. 某校组织学生春游，预计共需费用120元，后来又有2人参加进来，费用不变，这样每人可少分摊3元。问原来这组学生的人数是多少？ 本题的等量关系是：原来这组学生每人分摊的费用-加人后该组学生每人分摊的费用=3元，由此可得方程。
2. 印刷一张矩形的张贴广告，如图。它的印刷面积是322 dm ，上下空白各1dm ，两边空白 各0.5dm 。当要求四周空白处的面积是182dm 时，求用来印刷这张广告的纸张的长和宽。 思路分析：根据图形知： 广告纸的面积=印刷面积+四周空白处的面积=____+____=____ 广告纸的长=印刷部分的长+____dm 广告纸的宽=印刷部分的宽+_____dm 由印刷部分和广告纸都是矩形，且面积已知。因而，可确定它们的长和宽的关系，再借助图形的面积关系就可列出方程。 （二） 步步高升·解决问题 请同学们思考一下下面的这个分式方程我 们该如何去解决呢？ 221512 x x x x ++=+ 思路分析：本方程在求解时如直接去分母，就会得到一个次数高于二次的整式方程，不易求解。这时，可考虑如下面所采用的换元的方法求解：用一个未知数y 替换方程中某个含原未知数x 的式子，然后，先解出y ，再去解x,这种方法叫做换元法。 解： 三． 自我测试 1. 解方程22315132x x x x +-+=-+时，设231 x y x +=-，则原方程化成整式方程就是_____________________； 2. 方程241x x x =+的解是__________. 3. 如果用换元法解分式方程2214301x x x x +-+=+，并设21x y x +=,那么原方程可化为____________________; 4. 用换元法解方程2( )2()8011 x x x x +-=++ 5. 用换元法解方程223433x x x x +-=+
1、如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝12cm ，AB ＝6cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8cm 2？ 2.△ABC 中，∠B=90°，AB=5cm ，BC=6cm ，点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1cm/s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2cm/s 的速度移动．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动．设运动时间 为t 秒． （1）填空：BQ= ，PB= （用含t 的代数式表示）； （2）当t 为何值时，PQ 的长度等于5cm ？ （3）是否存在t 的值，使得△PBQ 的面积等于4cm 2？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由． P C A B Q ↑
3.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8．点P从点A开始沿边AB向点B 以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．设P、Q分别从A、B同时出发，运动时间为t，当其中一点先到达终点时，另一点也停止运动．解答下列问题： （1）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？ （2）是否存在这样的时刻t，使线段PQ恰好平分△ABC的面积？若存在，求出运动时间t；若不存在，请说明理由． 4.如图所示，△ABC中，∠B=90°，点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动． （1）如果P，Q分别从A，B同时出发，经几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？ （2）如果P，Q分别从A，B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经过几秒，使△PCQ的面积等于12.6cm2？
一元二次方程02 =++c bx ax 根的分布情况 设方程()2 00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=， 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 分 布情况 两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >> 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x << 大致图象（ >a ） 得出的结论 ()00200b a f ?>??? -?? ()0 0200 b a f ?>??? ->??>?? ()00 分 布情况 两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即 21x k x << 大致图象（ >a ） 得出的结论 ()020b k a f k ?>??? -?? ()0 20 b k a f k ?>??? ->??>?? ()0 中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用—知识讲解 【考纲要求】 1.理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程； 2.会解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想． 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、一元二次方程 1.一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程． 它的一般形式为2 0ax bx c ++=(a ≠0)． 2.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法：把方程变成2 x m =的形式，当m ＞0时，方程的解为x m =m ＝0时， 方程的解1,20x =；当m ＜0时，方程没有实数解． （2）配方法：通过配方把一元二次方程2 0ax bx c ++=变形为2 22 424b b ac x a a -? ?+= ?? ?的形式，再利用直接开平方法求得方程的解． （3）公式法：对于一元二次方程2 0ax bx c ++=，当2 40b ac -≥时，它的解为 x =． （4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解． 要点诠释： 直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法． 易错知识辨析： （1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元 二次方程一般形式中0≠a . （2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1. （4）用直接开平方的方法时要记得取正、负. 3．一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式为ac 4b 2 -=?． △>0?方程有两个不相等的实数根； △＝0?方程有两个相等的实数根； △<0?方程没有实数根． 上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边． 要点诠释： △≥0?方程有实数根. 4．一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的两个根是21x x 、，那么a c x x a b x x 2121=?-=+，． 要点诠释： （1）对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． （2）解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法． （3）一元二次方程0c bx ax 2 =++(a ≠0)的根的判别式正反都成立．利用其可以①不解方程判定方程根的情况；②根据参系数的性质确定根的范围；③解与根有关的证明题． （4）一元二次方程根与系数的应用很多：①已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；②已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；③已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程． 一元二次方程测试 姓名学号 一、选择题(每题 3 分,共 30 分)： 1.下列方程中不一定是一元二次方程的是 ( ) A.(a-3)x 2 =8 (a ≠3) B.ax 2+bx+c=0 C.(x+3)(x-2)=x+5 D. 3x2 3 x 2 0 57 2 下列方程中 , 常数项为零的是 ( ) A.x 2+x=1 B.2x 2 -x-12=12 ； C.2(x 2-1)=3(x-1) D.2(x 2+1)=x+2 3. 一元二次方程2x2 -3x+1=0 化为 (x+a) 2=b 的形式 , 正确的是( ) 2 2 1 ;C. 2 1 ; A. x 3 16; B. 2 x 3 x 3 2 4 16 4 16 D.以上都不对 4. 关于x的一元二次方程 a 1 x2 x a2 1 0 的一个根是 0，则 a 值为（） A、 1 B 、 1 C 、1或 1 D 、1 2 5.已知三角形两边长分别为2 和 9, 第三边的长为二次方程 x2-14x+48=0 的一根 , 则这个三角形的周长为 ( ) A.11 B.17 C.17或19 D.19 6.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 2x2 8x 7 0 的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（） A、 3 B 、3 C 、6 D 、9 7. 使分式 x 2 5x 6 的值等于零的 x 是( ) x 1 A.6 B.-1 或 6 C.-1 D.-6 8.若关于 y 的一元二次方程 ky2-4y-3=3y+4 有实根 , 则 k 的取值 范围是 ( ) A.k>- 7 B.k ≥ - 7 且 k ≠ 0 C.k ≥ - 7 D.k> 7 4 4 4 且 k≠ 0 4 9. 已知方程x2 x 2 ，则下列说中，正确的是（） （A）方程两根和是 1 （B）方程两根积是 2 （C）方程两根和是 1 （D）方程两根积比两根和大2 10.某超市一月份的营业额为200 万元, 已知第一季度的总营业 额共 1000 万元 , 如果平均每月增长率为 x, 则由题意列方程应 为( ) A.200(1+x)2=1000 B.200+200×2x=1000 C.200+200×3x=1000 D.200[1+(1+x)+ (1+x) 2]=1000 1 相似三角形，一元二次方程，三角函数 13. 如图，在小孔成像问题中，小孔O到物体AB的距离是60㎝，小孔O到像CD的距离是30㎝，若物体AB的长为16㎝，则像 CD的长是㎝ 15. 如图，正方形OABC 与正方形ODEF是位似图，点O为位似中 心，位似比为 2：3 ，点A 的坐标为（ 0， 2 ），则点E的 坐标是 21. （8分）如图，△ABC中，AB=8，AC=6 （1）请用尺规作图的方法在AB 上找点D ，使得△ACD ∽△ABC （保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求 AD的长 22. （10分） 某百货商店服装柜在销售中发现，某品牌童装平均每天可售出20件，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每件童装每降价1元，日销售量将增加2件. （1）若想要这种童装销售利润每天达到 1200 元，同时又能让顾客得到更多的实惠，每件童装应降价多少元？ （2）当每件童装降价多少元时，这种童装一天的销售利润最多？最多利润是多少？ 24. （12分） 如图①，四边形ABCD与四边形CEFG都是矩形，点E，G分别在边 CD，CB上，点F 在AC上，AB=3 ，BC=4 （1）求AF BG 的值； （2）把矩形CEFG绕点C 顺时针旋转到图②的位置，P为AF，BG的交点，连接CP （Ⅰ）求AF BG 的值 （Ⅱ）判断 CP与AF的位置关系，并说明理由. 22．（10分）如图，A、B、C、P四点均在边长为1的小正方形网格格点上． (1)判断△PBA与△ABC是否相似，并说明理由； (2)求∠BAC的度数． 23.(本题满分10分) 小李的活鱼批发店以44元/公斤的价格从港口买进一批2000公斤的某品种活鱼，在运输过程中，有部分鱼未能存活，小李对运到的鱼进行随机抽查，结果如表一.由于市场调节，该品种活鱼的售价与日销售量之间有一定的变化规律，表二是近一段时间该批发店的销售记录. (1)请估计运到的2000公斤鱼中活鱼的总重量；(直接写出答案) (2)按此市场调节的观律， ①若该品种活鱼的售价定为52.5元/公斤，请估计日销售量，并说明理由； ②考虑到该批发店的储存条件，小李打算8天内卖完这批鱼(只卖活鱼)，且售价保持 不变，求该批发店每日卖鱼可能达到的最大利润，并说明理由. 一元二次方程求解 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为 ． 该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法． 说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)； (2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的； (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 （1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根． 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。 (1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式 法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。 (4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方 程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。 2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点： （1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac； （2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c； （3）根的判别式是指b2－4ac，而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程： (1)； (2)； (3). 分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算， 九年级上期期中测试卷(第1、2、3章) 一、填空题(3分×11=33分) 1．若方程01682 =-x ，则它的解是 . 2．已知：，则的值为________。 3．“直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”的逆命题是_________ _________________________________，它们______(“是”或”不是”)互逆定理. 4．如图，在Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，且AC ＝6厘米，AD ＝4厘米，则AB=_______.BC=________. 5．如图，平行四边形ABCD 中，E 是BC 中点，F 是BE 中点，AE 与DF 交于H ，则AH:HE=________。 6．关于x 的方程03522=-++p x x 的一个根是4-，另一个根是________，p=______． 7．在关于x 的方程(m-5)x m-7 +(m+3)x-3=0中:当m=____时，它是一元二次方程；当m=____时，它是一元一次方程。 8．两个相似三角形周长之比为2:3，面积之差为10cm 2 ，则它们的面积之和为＿＿＿cm 2 。 9. 如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A 顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是 ． 10. 如图，正方形ABCD 的边长为1cm ，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接BF 、DE ，则图中阴影部分的面积是 cm 2． 图形所对应的小正方格个数的算式．并计算出第（50）个图形所对应的小正方格的个数 12．关于x 的一元二次方程x 2 ＋kx －1=0的根的情况是 （ ） A 、有两个不相等的同号实数根 B 、有两个不相等的异号实数 C D B C ' B ' 典型例题一 例 求证：如果关于x 的方程922+=+m x x 没有实数根，那么，关于y 的方程0522=+-+m my y 一定有两个不相等的实数根. 分析：由已知，可根据一元二次方程的根的判别式证之. 证明 设方程922+=+m x x 即0922=--+m x x 的根的判别式为1?，方程 0522=+-+m my y 的根的判别式为2?，则 . 36)4( 208)25(4. 440)9(42222221-+=-+=--=?+=++=?m m m m m m m ∵方程922+=+m x x 无实数根， 01+∴m ，即036)4(2>-+m . 故方程0522=+-+m my y 有两个不相等的实数根. 说明：上述证明中，判定02>?用到了01 分析：运用根的判别式判定根的情况时，要首先把方程变形为一元二次方程的一般形式，然后从求出的判别式的值来判定根的判别式的符号，尤其是当方程系数中含有字母时，一般利用配方法将“?”化成完全平方式或完全平方式加上（或减去）一个常数，再根据完全平方式的非负性判断“?”的符号，从而判定方程的根的情况，有时还需要对字母进行讨论.这是不解方程判别根的情况的关键. 解：（1）),1(4,2,1-=-==k c k b a )1(414)2(422-??--=-=?∴k k ac b )2(4)44(416 16422 2≥-=+-=+-=k k k k k ∴方程有两个实数根. （2）0≠a ， ∴方程02=+bx ax 是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项，将常数项看作零. ∴2204b a b =?-=?. ∴不论b 取任何实数，2b 均为非负数， 02≥=?b 恒成立. ∴方程有两个实数根. （3）0≠a ， ∴方程02=+c ax 是缺少一次项的不完全的一元二次方程，它的一次项系数0=b . ac a 40402-=?-=?， ∴需要讨论a 、c 的符号，才能确定?的符号. 当0=c 时，0=?，方程有两个相等的实数根； 当a 、c 异号时，0>?，方程有两个不相等的实数根； 当a 、c 同号时，0 第十六期：一元二次方程 一元二次方程是在一元一次方程及分式方程的基础上学习的，一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程的应用是中考的重点。题型多样，一般分值在6－9分左右。 知识点1：一元二次方程及其解法 例1：方程0232 =+-x x 的解是（ ） A ．11=x ，22=x B ．11-=x ，22-=x C ．11=x ，22-=x D ．11-=x ，22=x 思路点拨：考查一元二次方程的解法，一元二次方程的解法有：一是因式分解法；二是配方法；三是求根公式法．此题可以用此三种方法求解，此题以因式分解法较简单，此式可以分解为（x －1）(x －2)=0,所以x －1=0或x －２=0，解得x １=１，x ２=２．故此题选Ａ． 例2：若2 20x x --= ） A B C D 思路点拨：本题考查整体思想，即由题意知x 2－x=2, 所以原式=3 3 23 123222= +-+，选A. 练习： 1.关于x 的一元二次方程2x 2－3x －a 2 +1=0的一个根为2，则a 的值是（ ） A ．1 B C ． D ．2.如果1-是一元二次方程2 30x bx +-=的一个根，求它的另一根． 3.用配方法解一元二次方程：x 2－2x －2=0． 答案：1.D. 2.解： 1-是230x bx +-=的一个根， 2(1)(1)30b ∴-+--=．解方程得2b =-． ∴原方程为2230x x --= 分解因式，得(1)(3)0x x +-= 11x ∴=-，23x =. 3.移项，得x 2－2x=2． 配方x 2－2x+12=2+12， （x －1）2=3. 由此可得x －1=±3， x 1=1+3，x 2=1－3. 最新考题 1.（2009威海）若关于x 的一元二次方程2 (3)0x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根是______． 2.（2009年山西省）请你写出一个有一根为1的一元二次方程： ． 3.（2009山西省太原市）用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ） A ．()216x += B ．()216x -= C ．()2 29x += D ．()2 29x -= 答案：1.1； 2.答案不唯一，如2 1x = 3. B 知识点2：一元二次方程的根与系数的关系 例1：如果21,x x 是方程0122 =--x x 的两个根，那么21x x +的值为： （A ）－1 （B ）2 （C ）21- （D ）21+ 思路点拨：本题考查一元二次方程02 =++c bx ax 的根与系数关系即韦达定理，两根之和是a b - ， 两根之积是a c ，易求出两根之和是2。答案：B 例2：设一元二次方程2 730x x -+=的两个实数根分别为1x 和2x ， 则12x x += ，x 1、·x 2 ． A B C D E C B A D E A A A B A A A C 相似三角形的复习与一元二次方程的练习 及预习 （满分100分，90分钟） 相似三角形复习 基础知识 1.相似三角形的概念：对应角相等、对应边的比相等的三角形叫做相似三角形。 2.相似比：相似三角形对应边的比，叫做相似三角形的相似比。 3．相似三角形的判定 ①平行于三角形一边的直线和其它两边相交,所构成的三角形与原三角形相似． DE ∥BC ∴△ABC ∽△ADE ②如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似． A A ＇ B C AB/A ’Ｂ’＝AC/A ’C ’＝BC/B ’C ’ ∴△ABC ∽△A ’B ’C ’ ③如果两个三角形的两组对应边的比相等并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似． A A ’ B C B ’ C ’ AB/A ’Ｂ’＝AC/A ’C ’ ∠A ＝∠A ’ ∴△ABC ∽△A ’B ’C ’ ④如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． A A B C B ’ C ’ ∠A ＝∠A ’ ∠B ＝∠B ’ ∴ △ABC ∽△A ’B ’C ’ A B C D C B A D E A B C D E A B C D E A B D 4.性质：相似三角形的对应角相等；相似三角形对应边的比相等。 5.基本图形： 练习题 1、（2008广东）（10分）如图5，在△ABC 中，BC>AC ，点D 在BC 上，且DC ＝AC,∠ACB 的平 分线CF 交AD 于F ，点E 是AB 的中点，连结EF. （1）求证：EF ∥BC. （2）若四边形BDFE 的面积为6，求△ABD 的面积. 2、 （2008年杭州市）（10分）如图：在等腰△ABC 中，CH 是底边上的高线，点P 是线段CH 上不与端点重合的任意一点，连接AP 交BC 于点E,连接BP 交AC 于点F. (1) 证明：∠CAE=∠CBF; (2) 证明：AE=BF; (3) 以线段AE ，BF 和AB 为边构成一个新的三角形ABG （点E 与点F 重合于点G ），记△ABC 和△ABG 的面积分别为S △ABC 和S △ABG ,如果存在点P,能使得S △ABC =S △ABG ,求∠C 的取之范围。 F C A B P E H 二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 1、一元二次方程02 =++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=， 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） a 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧 12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是 （1）0a >时，()()00f m f n ???>?? 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况： 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n 一元二次方程根的两个特性及简单运用 我们知道方程的解是由方程的系数（包括常数项）决定的。因此，一元二次方程的根与其系数有着密切的联系。教材中我们探索了一元二次方程的二次项系数为1的情况下的两根之和、两根之积与系数的关系。现在我们接着来探索一般形式下的一元二次方程20(0) ax bx c a ++=≠的两根之和、两根之积与系数的关系。 例1、先阅读，再填空解题： (1)方程：x2-4x-12=0 的根是：x 1=6, x 2 =-2，则x 1 +x 2 =4，x 1 ·x 2 =-12； (2)方程2x2-7x+3=0的根是：x 1= 1 2 , x 2 =3，则x 1 +x 2 = 7 2 ，x 1 ·x 2 = 3 2 ； (3)方程3x2+6x-2=0的根是：x 1= , x 2 = .则x 1 +x 2 = ， x 1·x 2 = ； 根据以上（1）(2)(3)你能否猜出：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0且a、b、c为常数）的两根为x 1、x 2 ，那么x 1 +x 2 、x 1 x 2 与系数a、b、c有 什么关系？请写出来你的猜想并说明理由。 解析：方程3x2+5x-2=0的根是：x 1= 1 3 x 2 =-2。则x 1 +x 2 = 5 3 -，x1·x2= 2 3 -。 能猜出：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0且a、b、c为常数） 的两根为x 1、x 2 ，那么x 1 +x 2 a b - =、x1x2 a c =。理由如下： 根据求根公式可知，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0且a、b、c 为常数）的两根为： a ac b b x 2 4 2 1 - + - =， a ac b b x 2 4 2 2 - - - = 所以x 1+x 2 = a ac b b 2 4 2- + - + a ac b b 2 4 2- - - a b - = x 1x 2 = a ac b b 2 4 2- + - · a ac b b 2 4 2- - - a c = 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，这个方程的两个根与系数的关系是：两根之和，等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积，等于常数项除以二次项系数所得的商． 一元二次方程，分式方程解应用题 1、某人用1000元人民币购买一年期的甲种债券，到期后兑换人民币并将所得利息购买一年期的乙种债券，若乙种债券的年利率比甲种债券低2个百分点，到期后某人的乙种债券可兑换人民币108元，求甲种债券的年利率。 分析：利息=本金×利率×存期 本息=本金+利息 甲种债券利息×（1+乙种债券利率）×存期=108 2、某电厂规定该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过A度，那么这个月这户只需交10元用电费，如果超过A度，则这个 月除了仍要交10元用电费外，超过部分还要按每度 A 100 元交费。 （1）该厂某户居民2月份用电90度，超过了规定的A度，则超过部分应该交电费多少元（用A表示） （2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况： 月份用电量（度）交电费总数（元） 3月80 25 4月45 10 根据上表的数据，求电厂规定A度为多少？ 3、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 4、某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元， 甲、丙两队合做5天完成全部工程的23 ，厂家需付甲、丙两队共5500元。 （1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？ （2）若工期要求不超过15天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由。 5、甲、乙两车同时从A 地出发，经过C 地去B 地，已知Ｃ、Ｂ相距180千米，出发时，甲每小时比乙多行5千米，因此，乙经过C 地比甲晚半小时，为赶上甲，乙从C 地将车速每小时增加10千米，结果两车同时到达B ，求两车出发时速度？ 6、某商场今年一月份销售额为60万元，二月份销售额下降10%，后改进经营管理，月销售额大幅度上升，到四月份销售额已达到96万元，求三、四月份平均每月增长的百分率是多少（精确到0.1%）？ 7、小明将勤工俭学挣得的100元钱按一年定期存入少儿银行，到期后取出50元用来购买学习用品，剩下的50元和应得的利息又全部按一年定期存入，若存款的年利率保持不变，这样到期后可得本金和利息共66元，求这种存款的年利率。 专训1一元二次方程与三角形的综合的四种类型名师点金：一元二次方程是初中数学重点内容之一,常常与其他知识结合,其中一元二次方程与三角形的综合应用就是非常重要的一种,主要考查一元二次方程的根的概念、根的判别式的应用、一元二次方程的解法及一元二次方程与等腰三角形、直角三角形的性质等知识的综合运用． 一元二次方程与三角形三边关系的综合 1．三角形的两边长分别为4和6,第三边长是方程x2－7x＋12＝0的解,则第三边的长为() A．3B．4C．3或4D．无法确定 2．根据一元二次方程根的定义,解答下列问题． 一个三角形两边长分别为3 cm和7 cm,第三边长为a cm(a为整数),且a满足a2－10a＋21＝0,求三角形的周长． 解：由已知可得4中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用--知识讲解
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