第二章 交变电磁场在导电介质中的传播
4.2.1 波动方程
一、麦克斯韦方程组
麦克斯韦尔程组是对电磁场基本定律综合分析的结果， 是介质中电磁场必须遵从的共同 规律，在国际单位制中，时间域的麦克斯韦方程组可写成：
? ? ? t ? ? ? y ü = × ? = × ? ? ? + = ′ ? ? ? - = ′ ? q t t B D B D j H E 0 （4.2.1）
式中 E 为电场强度（V/m 或 N/c ）；B 为磁感应强度（T=N/(A ·m)=wb/m 2 ）；H 为磁场强度
（A/m ）；D 为电位移（c/m 2 ）；j 为传导电流密度（A/m 2 ）；q 为自由电荷体密度（c/m 3 ）。此
方程组描述了介质中产生的场的特点，且在场源以外的区域成立。其物理意义是：（1）磁感 强度 B 的任何变化都要引起电场的涡旋，即空间有随时间变化的磁场，就会在各处产生电
场；（2）磁场 H 是传导电流 j 和位移电流 t
? ?D 激励产生的涡旋场，旋度矢量的方向与电流方 向一致，表明若空间具有随时间变化的电场，则所有各点都有磁场产生；（3）磁场 B 是无 源场，即空间无孤立的磁荷存在；（4）自由电荷的分布可以引起电场的发散。如果考虑一次 场源作用，则（4.2.1）的第二式右端应加一次场电流密度 j 0，（4.2.1）的第四式右端应加一 次电荷密度 q 0。
考虑到介质对电磁场的影响，还应加上一组物质方程
E D H B E j e m s = = = （4.2.2）
对（4.2.1）第二式两边取散度
t
? ?× ? + × ? = ′ ? × ? D
j H 由于 H ′ ? × ? =0，故
t
? ?× -? = × ? D j 考虑到（4.2.1）第四式，上式可写为
t ? ? - = × ? q j （4.2.3）
此式也是麦克斯韦方程组中应有的基本方程，称电流连续性方程。 它表明单位时间内通过一 个封闭面流出或流入的电流量，等于这一小封闭面包围的体积内电荷减少或增加的数量。 最后应当指出，麦克斯韦方程是宏观电磁现象的基本规律，电磁场的计算都可归结为求 麦克斯韦方程的解。静电场、稳定电场和稳定磁场的方程都可以由麦克斯韦方程导出，它们 只不过是 0 = ? ? t
的特殊情况下的麦克斯韦方程。
二、电磁场波动方程
电法勘探中遇到的都是导电介质，因而讨论其中电荷密度的状态是有意义的，利用物质 方程和（4.2.1）第四式可将（4.2.3）式写成
0 = × ? ? ? + × ? D D t
e s 故
0 = ÷ ?
? ? è ? ? ? + q t e s 即
q t q e
s - = ? ? 其解为
t e
q q ) / ( 0 e s - = 上式表明，随时间 t 的增加，导电介质（ ) 0 > s 中电荷密度将趋于零。令 s e t / = ，则
t / 0 t e
q q - = t 为时间常数，经过t 时间初始电荷密度减少 t / t e 倍，令 F/m 10 85 . 8 80 12 0 - ′ ′ = = e e e r ， s/m 01 . 0 3 s ，则 s 6 10 - < t ，可见在导电介质中电荷密度 q 会很快消失。所以可认为在导电 介质中
= × ? D （4.2.4） （1）时间域波动方程
应用（4.2.2）式可将麦克斯韦方程组中的五个变量消去三个，并考虑（4.2.4）式，得
? ? ? t ? ? ? y ü
= × ? = × ? ? ? - = ′ ? ? ? + = ′ ? 0 0 E H H E E E H t t m e s （4.2.5）
对上式第一式两边旋度，并将第二式代入，得
2 2 t
t ? ? - ? ? - = ′ ? ′ ? H H H em sm 利用矢量恒等式 H H H 2 ? - × ?? = ′ ? ′ ? ，并考虑（4.2.5）式的第三式，最后得
2 2 2 t t ? ? + ? ? = ? H H H em sm （4.2.6）
同理可得
2 2 2 t
t ? ? + ? ? = ? E E E em sm （4.2.7） （4.2.6）和（4.2.7）式分别为 H 和 E 满足的时间域的波动方程，又称之为电报方程。 若场的频率很高并对高阻介质（ ￥ ? r ）而言，则上两式右端的第一项可被忽略。这时方 程变为纯波动性的。相反，在低频和良导介质（ 0 ? r ）情况下，右端第二项可忽略，方程 变为热传导性的（或扩散性的）。由此可见，在良导电或强吸收介质中，电磁扰动的传播是 不按波动规律，而是按扩散规律传播的，类似于热传导过程。
（2）频率域波动方程
在频率域中讨论波动方程同样具有重要意义， 这时最重要的时变函数形式是随时间谐变 的交变电磁场，即 t i e w ± = 0 H H 和 t i e w ± = 0 E E 。其中 t i e w ± 取正谐还是负谐是任意的，二者在 求解过程中所用的函数在形式上有些差别，但是最终导致同样的结果。下面令 t i t i e e w w - - = = 0 0 , E E H H ，并将这些关系式代入（4.2.5）式，得
? ? t
? ? y ü
= × ? = × ? = ′ ? - = ′ ? 0 0 * E H H E E H wm we i i （4.2.8）
式中 wr e e 1 * i + = 为复介电常数。 对（4.2.8）第一式取旋度
)
( * E H ′ ? - = ′ ? ′ ? we i 根据矢量分析公式，等式左边应为
H
H H 2 ) ( ? - × ? ? = ′ ? ′ ? 由于（4.2.8）式中第三式 0 = × ? H ，故
H
H 2 -? = ′ ? ′ ? 于是有 2 *()
i we ?=?′ H E 将（4.2.8）式中第二式代入上式，得到
H
H 2 2 k = ? 上式为谐变电磁场中磁场的波动方程，用类似的方法也可得到电场的波动方程，于是有
? t ? y ü = ? = ? E E H H 2 2 2 2 k k （4.2.9）
（4.2.9）式又称为亥姆霍兹齐次方程。式中
2 / 1 2 ) ( wsm em w i k - - = （4.2.10）
称为波数或传播系数。
4.2.2 边界条件
为了求得波动方程的唯一解，必须附加边界条件使之成为定解问题。若有介质 1 和介质 2，它们的电磁学参数分别为m 1、e 1、s 1 和m 2、e 2、s 2，在两种介质分界面上选择如下直角坐 标系：x 和y 轴位于界面上，z 轴垂直于界面。在这种情况下，电场和磁场的切线分量连续， 而电位移和磁感应强度的法线分量连续，即
t y ü = = = = n n t t n n t t D D E E B B H H 2 1 2 1 2 1 2 1 , ,
（4.2.11）
式中脚标 t 表示切向分量，n 表示法线分量。上式也可具体地写成
? t
? y ü = = = = = = z z y y x x z z y y x x D D E E E E B B H H H H 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 , , , ,
4.2.3 波阻抗
取如下比值
? ? t ? ? y ü = = - = = k i H E Z k i H E Z x y yx y x xy wm wm （4.2.13）
可见这个比值具有阻抗的量纲， 它是平面电磁波在均匀各向同性导电介质中传播时遇到的复 波阻抗，是介质对电磁波传播的一种物理特性。上式表明，在均匀各向同性介质中，阻抗 Z xy 和 Z yx 的振幅相同，相位相反。 利用k i wsm =- ，可将（4.2.13）第一式写成
4 | | / p wmr r wm wm i y x
e Z i i i H E Z - = - = - - = = （4.2.14）
此式表明，在均匀介质中，电场在相位上落后于磁场 4 / p ，如果介质不均匀，则电场和磁 场之间的相位偏离 4 / p 。这就是在电磁法中利用相位特性的依据。
由（4.2.14）式可写出
wmr
= | |Z 或 2 | | 1
Z wm r = （4.2.15）
上式表明， 当平面波垂直入射到均匀各向同性介质时， 通过测量相互正交的电场和磁场分量， 可确定介质的电阻率。若介质为非均匀的，则计算的电阻率为视电阻率。
由（6.1—15）式还可以看出，如果介质电阻率为已知，则可确定介质的磁导率
2 | | 1 Z wr
m = （4.2.16） 4.2.5 地中交变电磁场的分布
一、人工源谐变电磁场
1、谐变场的分布特征
在频率域电磁法中常用的波场是谐变场。 其中场强、 电流密度以及其它量均按余弦或正 弦规律变化，即
)
cos( | | )? cos( | | E H t E E t H H j - = j - = w w 这里 H j 和 E j 为初始相位。
借助于交流电的发射装置，如振荡器、发电机等，在地中及空气中建立谐变场。激发方 式一般为接地式的和感应式的。第一种方式与直流电法一样，利用 A 、B 供电电极将交流电 源直接接到大地，见图 4.2.1（a ）。由于供电导线和大地不仅具有电阻，而且还具有电感， 所以由 A 、B 电极直接传入地中的一次电流场在相位上与电源相位发生位移。地中的分散电 流及供电导线中的集中电流均在其周围产生交变一次磁场。后者在地中又感应产生二次电 场， 它是封闭的涡旋电场。
严格地讲， 除这两种场外，
随着供电电源频率的不
同，在地中还产生另一种
起因的电场：超低频率时
产生激发极化场；超高频
率时产生位移电流场。在
电磁感应法中一般不考虑
这些场，即它们小到可以
被忽略。如果地下介质不
均匀，则在覆盖层、围岩
及局部导体上均产生涡旋电场。 但其电流密度大小取决于各地质体的电阻率，即由欧姆定律 决定。由此可见，欧姆定律和法拉第电磁感应定律是电磁法的物理基础。除涡旋电场外，被 电流线穿过的电阻率分界面上产生的积累电荷和具有不同磁导率的分界面上产生的感应磁 荷，也是电磁法的异常源。
传导类电场和感应类电场是叠加在一起的。如果观测是在 A 、B 连线附近（即近区）进 行，则观测到两种场叠加的总合场。为了消弱传导类场可将 A 、B 供电电极埋置在远离测区 的地方，这时在测区范围内与感应场比较可忽略传导类电场，即研究纯感应场。这种方法称 之为无限长导线法。如果观测点是在距 A 、B 连线外的很远处，则 A 、B 供电电极已成为电 偶极子。
交变电磁场的第二种激发方式是， 在地表敷设通有交变电流的不接地回线或者多匝的小 型发射线圈——磁偶极子（见图 4.2.1（b ））。在回线或线圈周围产生交变磁场，由它激发地 中的二次电场，从而又产生二次磁场。感应激发方式多半用于接地条件较差的地方。这时可 彻底摆脱接地的困难。 电源的一次磁场和地中
二次磁场叠加在一起，形成总合磁场。在远离
发射源的地方（远区），二次磁场占优势。磁
场在地表具有不均匀平面波的特点， 并由地表
垂直地向地下深处传播 （见图 4.2.2）。 特别地，
我们将这种具有垂直向下传播的平面波的 “远
区” ，又称为“波区” 。图中的 A 、B 供电电极
可用发射线框代替。
（2）谐变场的结构特征
地中二次电、 磁场的频率与激发它们的一
次电、磁场的频率相同，但二次场的相位比一次场滞后一个相位j 。相位滞后是由于地下介 质的电阻性和电感性造成的。由于一次场和二次场在观测点上的空间取向不同，所以这两种
场的合成结果必然形成椭圆。总磁场（或总电场）矢量端点随时间变化的轨迹为椭圆的场叫做 椭圆极化场。 图
4.2.2 在远区形成不均匀平面波示意图 图4.2.1 谐变场的激发方式 （a ）接地方式；（b ）感应方式。E 1、H 1 为一次场；E 2 为二次场
设有水平方向的一次磁场 t w cos 10 1 H H = ， 二次磁场有相位移 j ， 则 ) cos( 20 2 j w + = t H H 。总磁场的水平分量为
)
cos( ) cos( cos 0 2 10 x x xo x t H t H t H H j w j w w + = + + = 式中 0 2x H 为二次磁场振幅在水平方向的分量。总磁场的垂直分量为
)
cos( ) cos( 0 0 2 z z z z t H t H H j w j w + = + = 由此可见，有相位差的两个矢量合成的总合场在直角坐标系中的各分量，不仅其振幅不 同，而且相位也不同。在一般情况下可写成
? t ? y ü + = + = + = ) cos( ) cos( ) cos( 0 0 0 z z z y y y x x x t H H t H H t H H j w j w j w （4.2.39）
下面讨论XOZ 平面内H x 和 H z 场的极化情况。由于
) sin( ) sin( ) cos( ) cos( )]
( ) cos[( ) cos( z z
z x x z x x z x x z H H t t t t = - + + - + = - - + = + j j j w j j j w j j j w j w 故利用（4.2.39）式，将上式整理成
0 2
0 0 ) sin( 1 ) cos( z z z x x x z x x x H H H H H H = - ÷ ÷ ? ? ? ? è ? - + - j j j j 两端平方后，整理得
) ( sin ) cos( 2 2 0 0 2 0 2 2 0 2 z x z x z z x x z z x x
H H H H H H H H j j j j - = - - + （4.2.40）
此式乃为以H x 和 H z 为变量的椭圆方程。当 z x j j = 时，即在XOZ 平面内无相位差时，上式 变为
0 0 z z
x x H H H H = （4.2.41）
这意味着椭圆蜕化为直线，即为线性极化场，但在其它两个平面内仍可能呈椭圆极化。如果 0 0 2 / z x z x H H = = - 及 p j j ，则场在XOZ 平面内呈圆极化。
设极化椭圆长轴与 X 轴的夹角为θ，由解析几何的转轴公式可导出θ与长半轴 a 、短半 轴 b 的表达式
1 00 2
2 00 222222222 000000 222222222 000000 2 1
cos() 2 1 [()4sin ()] 2
1 [()4sin ()] 2
x z x z x z x z x z x z x z x z x z x z x z H H tg H H a H H H H H H b H H H H H H q - éù =j -j êú - ??
=+++-j -j =+-+-j -j 地中电磁场的椭圆极化现象是电磁感应场的重要结构特征。 它可反映地下不同导电地质 体的存在，并且其变化反映了电参数的变化。一般情况下， 1 2 H H << ，则可推导出如下近 似关系式
22 1010
Im Re z z H H b a H H q ?? 由此可见，椭圆极化率 b /a 及椭圆倾角θ分别与二次场虚分量和实分量对一次场 H 1 之 比有关。
二、瞬变电磁场
如图4.2.3所示， 在地面上敷设一个矩形回线，
输入阶跃电流，于是在地下产生一次磁场，其铅
直断面上的磁力线如图中虚线所示。在该磁场的
作用下，在地下介质中产生涡流。当回线中电流
突然关断时，一次场消失，但涡流不会立即消失，
该涡流主要集中于发射线圈附近，由于涡流为时
变电流，在其过渡（衰减）过程中，产生磁场并
向地下传播，此磁场又在其周围产生电场……，于是，随着时间的延长，涡流向下向外逐步 扩展。这种在阶跃变化电流源（通电或断电）作用下，在地中产生过渡过程的感应电磁场具 有瞬时变化的特点，故称为瞬变电磁场。与谐变场情况一样，瞬变场的激发也有接地式和感 应式两种方式。
1、瞬变场随时间的变化规律
在过程的早期，瞬变场频谱中高频成分占优势，由于高频的趋肤效应，涡旋电流主要分 布在地表附近，且阻碍电磁场的深入传播。在这一时间内，电磁场主要反映浅层地质信息， 且具有很强的分层能力。随着时间的推移，介质中场的高频部分被导电介质吸收而衰减（热 损耗），而低频部分的作用相对明显起来，增加了穿透深度。在往下传播过程中，若遇到良 导地层时，就会产生较强的涡旋电流，且其持续时间也较长。
在过程的晚期，局部的涡流实际上衰减殆尽，而各层产生的涡流磁场之间的连续相互作 用使场平均化，几乎同步衰减，则可以将整个层状断面等效为具有总纵向电导 S 的一个层， 这时只能确定沉积盖层的总纵向电导和总厚度，有利于确定基底起伏。
瞬变电磁场状态的基本参数是时间。这一时间依赖于岩石的导电性和发—收距。在近区 的高阻岩石中，瞬变场的建立和消失很快（几十到几百毫秒）；而在良导地层中，这一过程 变得缓慢。在远区这一过程可持续到几秒到几十秒， 而在较厚的导电地质体中可延续到一分 钟或更长。
由此可见，研究瞬变电磁场随时间的变化规律，可探测具有不同导电性的地层分布（各 层的纵向电导或地层总的纵向电导）
。也可以发现地下赋存的较大的良导矿体。 图4.2.3 阶跃电流产生的磁力线
2、瞬变场的结构特点
瞬变电磁场是通过两种途径传播的。 第一种途径是电磁波在空气中以光速很快传播到地 表各点，根据惠更斯原理，地表每个波前点成为球面波源，将部分电磁能量传入地下。在距 发射装置足够远处（即远区），在地表上形
成垂直向下传播的不均匀平面波。第二种途
径是，由发射装置接地处流入地下的电流或
一次磁场在导电介质中感应的电流形成磁
场，直接将电磁能量传入地中，由于大地的
电抗作用，这时建立的瞬变场比第一种途径
建立的瞬变场迟缓。因而在过程早期，上述
两种激发建立的场在时间上是分开的。随着
时间的推移，这两种场相互叠加且以场强的
极大形式显示出来。在晚期，第一种途径建
立的场在各处衰减殆尽，第二种途径建立的
场在地中占据主导地位。
瞬变场与谐变场比较， 在结构上差别很大。 谐变场的结构由固定频率的涡旋电流磁场的 相互作用来确定。 而瞬变场的结构则从过程的一开始就由多种频率的涡旋电流磁场的相互作 用决定。第一种途径激发产生的地中电场结构与谐变场一致，只是频率成分不同，第二种途 径激发产生的地中电场服从热传导的规律，其结构特点是，随时间的推移，场向深处传播过 程中逐渐向外扩散，故可借用“烟圈”效应来描述其涡旋电流。图 4.2.4 形象地给出了谐变 场和瞬变场的涡旋电流的结构。
3、瞬变场随深度的衰减规律
借助于欧姆定律，将下式转变为电流密度表达式
)] ( 1 [ ) ( 0 u j t j x x F - = 当 z =0 时，函数 0 ) ( = F u ，且随 t p / 2 z u = 的增加，概率
函数值迅速增大，即电流密度随深度很快减小（见图4.2.5）。
对上式求对z 的三阶导数，并令其等于零，即 ( ) 0 ) ( 3 3 = ? ? t j z
x ， 可求得电流密度随深度的变化（一阶导数）曲线具有拐点
p t 2 / = z 。形式上认为这一深度是对瞬变场测量结果产生有 效影响的深度，即
km } { } { 2 5 . 0 2 m × W = ? r p p
t s t z 效 此定义虽然有一定程度的臆断性， 但是在瞬变场野外工作中不
失其意义。
与谐变场情况一样，瞬变场研究深度同样依赖于发—收距
r ，因此，在研究瞬变场过程 中也引入无量纲的归一距离 图4.2.4 谐变场（远区）和瞬变场（晚期） 涡旋电流的结构 电流密度由线宽度来表示，B 1（w ）、B 1（t ）为一次场， E 2（w ）、E 2（
t ）为二次场
图4.2.5 瞬变场电流密度与 深度的关系
? ? t ? ? y ü = ÷ ? ? ? è ? = = = × W × W 2 m m 7 2 2 m m 7 {r} } { } { 2 10 2 1 } { } { } { 10 2 2 s s s t r u r t r u r p p t r p t p 或 （4.2.49）
由此可见，归一参数u 的平方倒数正比于介质电阻率。在近区 1 / 2 << t p r ，即发—收距 很小或t （或 t ）很大的范围（晚期时间段）。在远区 1 / 2 >> t p r ，即发—收距很大或t （或 t ） 很小的范围（早期时间段）。
从频率域和时间域电磁场的讨论中不难看出：kr 和 u ，l 和t ，以及 T 和 2p t 之间存在着形式 上的类比关系。
习题： 1. 在3z m =的平面内，长度0.5l m =的导线沿x 轴方向排列。当该导线以速度 24x y m v e e s =+在磁感应强度22363x y z B e x z e e xz T =+-的磁场中移动时，求 感应电动势。 解：给定的磁场为恒定磁场，故导线中的感应电动势只能是导线在恒定磁场中移动时由洛仑兹力产生的。有 ()in v B dl ε=??? 根据已知条件，得 2233()|(24)(363)|z x y x y z z v B e e e x z e e xz ==?=+?+- 210854(1236)x y z e x e x e x =-++- x dl e dx = 故感应电动势为 0.5 20[10854(1236)]13.5in x y z x e x e x e x e dx V ε=-++-?=-? 2.长度为l 的细导体棒位于xy 平面内，其一端固定在坐标原点。当其在恒定磁场 0z B e B =中以角速度ω旋转时，求导体棒中的感应电动势。 解：导体中的感应电动势是由洛仑兹力产生的，即 ()in v b dl ε=??? 根据已知条件，导体棒上任意半径r 处的速度为 v e r ωΦ= r dl e dr = 故感应电动势为 20000 1()()2 l l L in z r v b dl e r e B e dr B rdr B l V εωωωΦ=??=??==??? 3.试推出在线性、无耗、各向同性的非均匀媒质中的麦克斯韦方程。 解：考察麦克斯韦方程中的参量，利用它们与电场强度E 和磁感应强度B 的
关系，将,,H B D E J E μεσ===代入即可，注意在非均匀媒质中,,μεσ是空间坐标的函数。 考察麦克斯韦第一方程，有 11 ()B H B B μ μμ ??=?? =??+?? 2 1 1 B B μμ μ =- ??+?? D E J J t t ε ??=+=+?? 所以 E B B J t μμμε μ ?????=++ ? 而 ()D E E E εεερ??=??=??+??=，于是，微分形式的麦克斯韦方程用E 和B 表示为 E B B J t μμμε μ ?????=++ ? B E t ???=- ? 0B ??= E E εερ??+??= 对于无耗媒质，0σ=，因此有0J =。 4.试由麦克斯韦方程推导出电流连续性方程J t ρ???=-?。 解：对麦克斯韦第一方程D H J t ???=+ ?两边取散度，得
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（3）在导体外，紧靠导体表面的点的场强方向与导体表面垂直，场强大小与导体表面对应点的电荷面密度成正比。 A 、场强方向（表面附近的点） 由电场线与等势面垂直出发，可知导体表面附近的场强与表面垂直。而场强大小与面密度的关系，由高斯定理推出。 B 、场强大小 如图，在导体表面外紧靠导体表面取一点P ，过P 点作导体表面 的外法线方向单位矢n ?，则P 点场强可表示为n E E n P ?= （n E 为P E 在n ?方向的投影，n E 可正可负）。过P 点取一小圆形面元1S ?，以1S ?为底作一圆柱形高斯面，圆柱面的另一底2S ?在导体内部。由高斯定理有： 11/) 0(?1 1 2 1 εσφS S E s d E E s d n E s d E s d E s d E s d E s d E n S S n S S S S ?=?=⊥=?= ?= ?+?+?= ?=?????????? ?????? 导体表面附近导体内侧 (导体的电荷只能分布在导体表面，若面密度为σ，则面内电荷为 为均匀的很小，视，且因σσ11S S ??) ∴ ?? ?<>=?? ?<<>>= 反向，，同向，，即，，n E n E n E E E E n n n ?0?0?0 00 00 σσεσ σσεσ
可见：导体表面附近的场强与表面上对应点的电荷面密度成正比，且无论场和电荷分布怎样变化，这个关系始终成立。 C 、0 εσ = E n ?中的E 是场中全部电荷贡献的合场强，并非只是高斯面内电荷S ?σ的贡献。这一点是由高斯定理得来的。P45-46 D 、一般不谈导体表面上的点的场强。 导体内部0=E ，表面外附近0 εσ=E n ?；没提表面上的。 在电磁学中的点、面均为一种物理模型，有了面模型这一概念，场强在带电面上就有突变（P23小字），如果不用面模型，突变就会消失。但不用面模型，讨论问题太复杂了，所以我们只谈“表面附近”而不谈表面上。 补充例：习题2.1.1(不讲) Rd θ 解：利用上面的结果，球面上某面元所受的力：n dS F d ?20 2 εσ= ，利用对称性知，带有同号电荷的球面所受的力是沿x 轴方向： 右半球所受的力：
第二章 静电场 重点和难点 电场强度及电场线等概念容易接受，重点讲解如何由物理学中积分形式的静电场方程导出微分形式的静电场方程，即散度方程和旋度方程，并强调微分形式的场方程描述的是静电场的微分特性或称为点特性。 利用亥姆霍兹定理，直接导出真空中电场强度与电荷之间的关系。通过书中列举的4个例子，总结归纳出根据电荷分布计算电场强度的三种方法。 至于媒质的介电特性，应着重说明均匀和非均匀、线性与非线性、各向同性与各向异性等概念。讲解介质中静电场方程时，应强调电通密度仅与自由电荷有关。介绍边界条件时，应说明仅可依据积分形式的静电场方程，由于边界上场量不连续，因而微分形式的场方程不成立。 关于静电场的能量与力，应总结出计算能量的三种方法，指出电场能量不符合迭加原理。介绍利用虚位移的概念计算电场力，常电荷系统和常电位系统，以及广义力和广义坐标等概念。至于电容和部分电容一节可以从简。 重要公式 真空中静电场方程： 积分形式： ? = ?S S E 0 d εq ?=?l l E 0d 微分形式： ερ= ??E 0=??E 已知电荷分布求解电场强度： 1， )()(r r E ?-?=； ? ' '-'= V V d ) (41)(| r r |r r ρπε? 2， ? '''-'-'=V V 3 d |4) )(()(|r r r r r r E περ 3， ? = ?S S E 0 d εq 高斯定律
介质中静电场方程： 积分形式： q S =?? d S D ?=?l l E 0d 微分形式： ρ=??D 0=??E 线性均匀各向同性介质中静电场方程： 积分形式： ε q S = ?? d S E ?=?l l E 0d 微分形式： ε ρ= ??E 0=??E 静电场边界条件： 1， t t E E 21=。对于两种各向同性的线性介质，则 2 21 1εεt t D D = 2， s n n D D ρ=-12。在两种介质形成的边界上，则 n n D D 21= 对于两种各向同性的线性介质，则 n n E E 2211εε= 3，介质与导体的边界条件： 0=?E e n ； S n D e ρ=? 若导体周围是各向同性的线性介质，则 ε ρS n E = ； ε ρ? S n -=?? 静电场的能量：
第一章 1.3 证： 941(6)(6)50=0 A B A B A B A B =?+?-+-?=∴?∴和相互垂直和相互平行 1.11 （1） 2 222 0.5 0.50.5 2222 0.5 0.5 0.5 2272(2)(2272)1 24 s Ax Ay Az A divA x y z x x y x y z Ad s Ad dz dy x x y x y z dz ττ---????==++ ???=++=?=++=??? ??由高斯散度定理有
1.18 （1） 因为闭合路径在xoy 平面内， 故有： 222()()8(2) (22)()2()8 x y z x y x z x s A dl e x e x e y z e dx e dy xdx x dy A dl S XOY A ds e yz e x e dxdy xdxdy A ds → →→ → ?=+++=+∴?=??=+=??=∴??因为在面内， 所以，定理成立。 1.21 (1) 由梯度公式
(2,1,3) |410410x y z x y z x y z u u u u e e e x y z e e e e e e ????=++???=++=++1 方向：（） （2） 最小值为0， 与梯度垂直 1.26 证明 00u A ???=??= 书上p10 1.25 第二章 2.1
3343 sin 3sin 4q a V e wr qwr J V e a ρρ ρπθ θ ρπ= ==?= 2.3
'' 2 2' 3 222 , 40 = l l l dl d R Er R ez z ea a ez z ea a Er r z P ez z ea a E d z a ea π ρρα? ρα? πε = ==- - == - = + ? 用圆柱坐标系进行求解 场点坐标为P(0,0,z).线电荷元 可以视为点电荷，其到场点的距离矢量 得 所以点的电场强度为 （） 2 ''' 3 222 cos sin0 20 l z ex ey ea d z E e z a π ??? ρα ε +∴= ∴= + ? （） 2.8
《电磁场与电磁波基础》复习题 一、 填空题： （第一章）（第二章）（第三章）（第四章）（第五章）（第六章） （第一章） 1、直角坐标系下，微分线元表达式 z e y e x e l z y x d d d d ++= 面积元表达式 2、圆柱坐标系下，微分线元表达式z e e e l z d d d d ++=φρρφρ， 面积元表达式z e l l e S z d d d d d φρρφρρ == z e l l e S z d d d d d ρφρφφ ==φρρφρd d d d d z z z e l l e S == 3、圆柱坐标系中，ρe 、e ? 随变量? 的变化关系分别是φρφ e e =??，ρφφe -e =?? 4、矢量的通量物理含义是 矢量穿过曲面的矢量线的总和； 散度的物理意义是 矢量场中任意一点处通量对体积的变化率； 散度与通量的关系是 散度一个单位体积内通过的通量。 5、散度在直角坐标系 F z F y F x F V S d F F div Z Y X S V ??=??+??+??=??=?→?0lim 散度在圆柱坐标系 z F F F F div Z ??+??+??=φρρρρφρ1)(1 6、矢量微分算符（哈密顿算符）?在直角坐标系的表达式为 z z y y x x e e e ??+??+??=? 圆柱坐标系 z e z ??+??+??=? φρρφρe e 球坐标系分别 ? θθφθ??+??+??=?sin e e r e r r r 7、高斯散度定理数学表达式 ???=??V s S d F dV F ，本课程主要应用的两个方面分别是 静电场的散度 、 恒定磁场的散度 ；
) 第一章 证： 941(6)(6)50=0 A B A B A B A B =?+?-+-?=∴?∴和相互垂直和相互平行 （1） 2 222 0.5 0.50.5 2222 0.5 0.5 0.5 2272(2)(2272)1 24 s Ax Ay Az A divA x y z x x y x y z Ads Ad dz dy x x y x y z dz ττ---????==++ ???=++=?=++=??? ??由高斯散度定理有 ?
（1） 因为闭合路径在xoy 平面内， 故有： 222()()8(2) (22)()2()8 x y z x y x z x s A dl e x e x e y z e dx e dy xdx x dy A dl S XOY A ds e yz e x e dxdy xdxdy A ds → →→ → ?=+++=+∴?=??=+=??=∴??因为在面内， 所以，定理成立。 。 (1) 由梯度公式
(2,1,3) |410410x y z x y z x y z u u u u e e e x y z e e e e e e ????=++???=++=++1 方向：（） （2） 最小值为0， 与梯度垂直 证明 00u A ???=??= 书上p10 ， 第二章
3343 sin 3sin 4q a V e wr qwr J V e a ρρ ρπθ θ ρπ= ==?=
''222 2' 30 222 ,40 =l l l dl d R Er R ez z ea a ez z ea a Er r z z a P ez z ea a E d z a ea π ρρα?ρα?πε===--= = +-=+? 用圆柱坐标系进行求解 场点坐标为P(0,0,z).线电荷元可以视为点电荷，其到场点的距离矢量得所以点的电场强度为（）2' ' '0 3222 cos sin 0 20 l z ex ey ea d z E e z a π ???ραε+∴=∴=+?（） 。 -
《电磁场与电磁波》（陈抗生）习题解答 第一章 引言——波与矢量分析 1．1 .,,/)102102cos(1026300p y v k f E m V x t y y E E 相速度相位常数度，频率波的传播方向，波的幅的方向，，求矢量设 --?+?==ππ 解：m /V )x 102t 102cos(10y y E z E y E x E E 26300y 0z 0y 0x --?π+?π==++= ∴ 矢量E 的方向是沿Y 轴方向，波的传播方向是-x 方向； 波的幅度 m /V 10E E 3y -== 。s /m 10102102k V ;102k ;MHZ 1HZ 1021022f 82 6P 266 =?π?π=ω=?π===π?π=πω=-- 1．2 写出下列时谐变量的复数表示（如果可能的话） )6sin()3sin()()6(cos 1)()5()2120cos(6)()4(cos 2sin 3)()3(sin 8)()2() 4cos(6)()1(πωπωωππωωωπ ω++ =-=- =-=-=+=t t t U t t D t t C t t t A t t I t t V （1）解： 4/)z (v π=? j 23234 sin j 64cos 6e 6V 4j +=π+π==π∴ （2）解：)2t cos(8)t (I π-ω-= 2 )z (v π-=? j 8e 8I j 2=-= π-∴
（3）解：） t cos 132 t sin 133 (13)t (A ω-ω= j 32e 13A 2)z ()2t cos(13)t (A 133cos )2(j v --==π-θ=?∴π-θ+ω== θπ-θ则则令 （4）解：)2 t 120cos(6)t (C π-π= j 6e 6C 2j -==∴π (5)(6)两个分量频率不同，不可用复数表示 1．3由以下复数写出相应的时谐变量] )8.0exp(4)2 exp(3)3() 8.0exp(4)2(1)1(j j C j C j C +==+=π （1）解： t sin t cos j t sin j t cos )t sin j t )(cos j 1(e )j 1(t j ω-ω+ω+ω=ω+ω+=+ω t sin t cos )Ce (RE )t (C t j ω-ω==∴ω （2）解：)8.0t cos(4)e e 4(RE )Ce (RE )t (C t j 8.0j t j +ω===ωω （3）解：)8.0t (j )2t (j t j 8.0j j t j e 4e 3e )e 4e 3(Ce 2+ωπ+ωωω+=+=π 得：)t cos(3)8.0t cos(4)8.0t cos(4)2 t cos(3)Ce (RE )t (C t j ω-+ω=+ω+π+ω==ω 1．4 ] Re[,)21(,)21(000000**????++--=+++=B A B A B A B A z j y j x B z j y j x A ，，，求：假定 解：1B A B A B A B A z z y y x x -=++=?
一、选择题 1、以下关于时变电磁场的叙述中，正确的是（ ） A 、电场是无旋场 B 、电场和磁场相互激发 C 、电场与磁场无关 2、区域V 全部用非导电媒质填充，当此区域中的电磁场能量减少时，一定是（ ） A 、能量流出了区域 B 、能量在区域中被消耗 C 、电磁场做了功 D 、同时选择A 、C 3、两个载流线圈之间存在互感，对互感没有影响的的是（ ） A 、线圈的尺寸 B 、两个线圈的相对位置 C 、线圈上的电流 D 、空间介质 4、导电介质中的恒定电场E 满足（ ） A 、0??=E B 、0??=E C 、??=E J 5、用镜像法求解电场边值问题时，判断镜像电荷的选取是否正确的根据是（ ） A 、镜像电荷是否对称 B 、电位方程和边界条件不改变 C 、同时选择A 和B 6、在静电场中，电场强度表达式为3(32)()y x z cy ε=+--+x y z E e e e ，试确定常数 ε的值是（ ） A 、ε=2 B 、ε=3 C 、ε=4 7、若矢量A 为磁感应强度B 的磁矢位，则下列表达式正确的是（ ） A 、=?B A B 、=??B A C 、=??B A D 、2=?B A 8、空气（介电常数10εε=）与电介质（介电常数204εε=）的分界面是0z =平面， 若已知空气中的电场强度124= +x z E e e 。则电介质中的电场强度应为（ ） A 、1216=+x z E e e B 、184=+x z E e e C 、12=+x z E e e 9、理想介质中的均匀平面波解是（ ） A 、TM 波 B 、TEM 波 C 、TE 波 10、以下关于导电媒质中传播的电磁波的叙述中，正确的是（ ） A 、不再是平面波 B 、电场和磁场不同相 C 、振幅不变 D 、以T E 波的形式传播 二、填空 1、一个半径为α的导体球作为电极深埋地下，土壤的电导率为 σ，略去地面的影响，则电极的接地电阻R = 2、 内外半径分别为a 、b 的无限长空心圆柱中均匀的分布着轴向电流I ，设空间离轴距离为()r r a <的某点处，B= 3、 自由空间中，某移动天线发射的电磁波的磁场强度
电磁场与电磁波易考简答题归纳 1、什么是均匀平面电磁波？ 答：平面波是指波阵面为平面的电磁波。均匀平面波是指波的电场→ E 和磁场→ H 只沿波的传播方向变化，而在波阵面内→ E 和→ H 的方向、振幅和相位不变的平面波。 2、电磁波有哪三种极化情况？简述其区别。 答：（1）直线极化，同相位或相差 180；2）圆极化，同频率，同振幅，相位相差 90或 270；（3）椭圆极化，振幅相位任意。 3、试写出正弦电磁场的亥姆霍兹方程（即亥姆霍兹波动方程的复数形式），并说明意义。 答：0 02222=+?=+?→ →→ → H k H E k E ，式中μεω22 =k 称为正弦电磁波的波数。 意义：均匀平面电磁波在无界理想介质中传播时，电场和磁场的振幅不变，它们在时间上同相，在空间上互相垂直，并且电场、磁场、波的传播方向三者满足右手螺旋关系。电场和磁场的分量由媒质决定。 4、写出时变电磁场中麦克斯韦方程组的非限定微分形式，并简述其意义。 答：????????? ??=??=????-=????+=??→→ → →→ →→ρ εμμ εE H t H E t E J H )4(0)3()2()1( 物理意义：A 、第一方程：时变电磁场中的安培环路定律。物理意义：磁场是由电流和时变的电场激励的。 B 、第二方程：法拉第电磁感应定律。物理意义：说明了时变的磁场激励电场的这一事实。 C 、第三方程：时变电场的磁通连续性方程。物理意义：说明了磁场是一个旋涡场。 D 、第四方程：高斯定律。物理意义：时变电磁场中的发散电场分量是由电荷激励的。 5、写出麦克斯韦方程组的微分形式或积分形式，并简述其意义。 答：（1）微分形式 （2） 积分形式 物理意义：同第4题。 6、写出达朗贝尔方程，即非齐次波动方程，简述其意义。 答：→→ → -=??-?J t A A μμε222 ，ερμε-=?Φ?-Φ?→ →222t 物理意义：→ J 激励→ A ，源ρ激励Φ，时变源激励的时变电磁场在空间中以波动方式传播，是时变源的电场辐射过程。 7、写出齐次波动方程，简述其意义。 答：0 222=??-?→ → t H H με，022 2=??-?→ → t E E με 物理意义：时变电磁场在无源空间中是以波动方式运动，故称时变电磁场为电磁波，且电磁波的传播速度为： με υ1= p 8、简述坡印廷定理，写出其数学表达式及其物理意义。 答：（1）数学表达式：①积分形式：??? ++?? =?-→ →τττστεμd E d E H t S d S S 222)2 1 21(，其中，→ →→?=H E S ，称为坡印廷矢量。 ???????????=??=????-=????+=??→→ →→→ →→ρD B t B E t D J H )4(0)3()2()1( ????? ??????=?=????-=????+=???????→→→ →→→→→→→→→→q S d D l d B S d t B l d E S d t D J l d H S S S l s l )4(0)3()2()()1(
一、填空题 1、一面积为S 、间距为d 的平行板电容器，若在其中插入厚度为2d 的导体板，则其电容为 ；答案内容：;20d S ε 2、导体静电平衡必要条件是 ，此时电荷只分布在 。 答案内容：内部电场处处为零，外表面； 3、若先把均匀介质充满平行板电容器，（极板面积为S ，极反间距为L ，板间介电常数为r ε）然后使电容器充电至电压U 。在这个过程中，电场能量的增量是 ； 答案内容：2 02U L s r εε 4、在一电中性的金属球内，挖一任意形状的空腔，腔内绝缘地放一电量为q 的点电荷，如图所示，球外离开球心为r 处的P 点的场强 ； 答案内容：r r q E e ∧=204περ； 5、 在金属球壳外距球心O 为d 处置一点电荷q ，球心O 处电势 ； 答案内容：d q 04πε； 6、如图所示，金属球壳内外半径分别为a 和b ，带电量为Q ，球壳腔内距球心O 为r 处置一电量为q 的点电荷，球心O 点的电势 。 答案内容：??? ??++-πεb q Q a q r q 0 41 7、导体静电平衡的特征是 ，必要条件是 。 答案内容：电荷宏观运动停止，内部电场处处为零； 8、判断图1、图2中的两个球形电容器是串连还是并联，图1是_________联，图2是________联。 答案内容：并联，串联； 9、在点电荷q +的电场中，放一金属导体球，球心到点电荷的距离为r ，则导体球上感应电荷在球心处产生的电场强度大小为： 。 答案内容：201 4q r πε ；
10、 一平板电容器，用电源将其充电后再与电源断开，这时电容器中储存能量为W 。然后将介电常数为ε的电介质充满整个电容器，此时电容器内存储能量为 。 答案内容：00W εε ； 11、半径分别为R 及r 的两个球形导体（R ＞r ），用一根很长的细导线将它们连接起来，使二个导体带电，电势为u ，则二球表面电荷面密度比/R r σσ= 。 答案内容：/r R ； 12、一带电量 为Q 的半径为r A 的金属球A ，放置在内外半径各为r B 和r C 的金属球壳B 内。A 、B 间为真空，B 外为真空，若用导线把A 、B 接通后，则A 球电位 （无限远处u=0）。 答案内容：()0/4c Q r πε ； 13、一平行板电容器的电容为C ,若将它接在电压为U 的恒压源上,其板间电场强度为E ,现不断开电源而将两极板的距离拉大一倍,则其电容为______,板间电场强度为_____。 答案内容： 21C , 21E 。 14、一平行板电容器的电容为C ,若将它接在电压为U 的恒压源上,其板间电场强度为E ,现断开电源后,将两极板的距离拉大一倍,则其电容为________,板间电场强度为_____。 答案内容： 21C , E 不变 二、单选择题 1、将一带电量为Q 的金属小球靠近一个不带电的金属导体时，则有( ) （A ）金属导体因静电感应带电，总电量为-Q ； （B ）金属导体因感应带电，靠近小球的一端带-Q ，远端带+Q ； （C ）金属导体两端带等量异号电荷，且电量q 第二章习题解答 2.1 一个平行板真空二极管内的电荷体密度为42004 9 U d x ρε--=- ，式中阴极板位于0x =，阳极板位于x d =，极间电压为0U 。如果040V U =、1cm d =、横截面210cm S =，求：（1）0x =和x d =区域内的总电荷量Q ；（2）2x d =和x d =区域内的总电荷量Q '。 解 （1） 4323 000 4 d ()d 9 d Q U d x S x τ ρτε--==-=?? 11004 4.7210C 3U S d ε--=-? （2） 432002 4d ()d 9d d Q U d x S x τρτε--' '= = -=? ?11004(10.9710C 3U S d ε--=-? 2.2 一个体密度为732.3210C m ρ-=?的质子束，通过1000V 的电压加速后形成等速的 质子束，质子束内的电荷均匀分布，束直径为2mm ，束外没有电荷分布，试求电流密度和电流。 解 质子的质量271.710kg m -=?、电量191.610C q -=?。由 2 1 mv qU = 得 61.3710v ==? m 故 0.318J v ρ== 2A m 26(2)10I J d π-== A 2.3 一个半径为a 的球体内均匀分布总电荷量为Q 的电荷，球体以匀角速度ω绕一个直径 旋转，求球内的电流密度。 解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z 轴。设球内任一点P 的位置矢量为r ，且r 与z 轴的夹角为θ，则P 点的线速度为 sin r φωθ=?=v r e ω 球内的电荷体密度为 3 43 Q a ρπ= 故 33 3sin sin 434Q Q r r a a φ φω ρωθθππ===J v e e 2.4 一个半径为a 的导体球带总电荷量为Q ，同样以匀角速度ω绕一个直径旋转，求球表 面的面电流密度。 解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z 轴。设球面上任一点P 的位置矢量为r ，且r 与z 轴的夹角为θ，则P 点的线速度为 sin a φωθ=?=v r e ω 球面的上电荷面密度为 2 4Q a σπ= 故 2 sin sin 44S Q Q a a a φφω σωθθππ===J v e e 2.5 两点电荷18C q =位于z 轴上4z =处，24C q =-位于y 轴上4y =处，求(4,0,0)处 的电场强度。 第1~2章 矢量分析 宏观电磁现象的基本规律 1. 设：直角坐标系中，标量场zx yz xy u ++=的梯度为A ，则 A = ，=??A 0 。 2. 已知矢量场 xz e xy e z y e A z y x ?4?)(?2+++= ，则在M （1，1，1） 处=??A 9 。 3. 亥姆霍兹定理指出，若唯一地确定一个矢量场（场量为A ），则必 须同时给定该场矢量的 旋度 及 散度 。 4. 写出线性和各项同性介质中场量D 、E 、B 、H 、J 所满足的方程 （结构方程）： 。 5. 电流连续性方程的微分和积分形式分别为 和 。 6. 设理想导体的表面A 的电场强度为E 、磁场强度为B ，则 （a ）E 、B 皆与A 垂直。 （b ）E 与A 垂直，B 与A 平行。 （c ）E 与A 平行，B 与A 垂直。 （d ）E 、B 皆与A 平行。 答案：b 7. 设自由真空区域电场强度(V/m) )sin(?0βz ωt E e E y -= ，其中0E 、ω、β 为常数。则空间位移电流密度d J （A/m 2）为： （a ） )cos(?0βz ωt E e y - （b ） )cos(?0βz ωt ωE e y - （c ） )cos(?00βz ωt E ωe y -ε （d ） )cos(?0βz ωt βE e y -- 答案：c 8. 已知无限大空间的相对介电常数为4=εr ，电场强度 )(?)(?)(?y x e z x e z y e z y x +++++A ??A ??E J H B E D σ=μ=ε= , ,t q S d J S ??-=?? t J ?ρ?-=?? 习题五（第二章 静电场中的导体和电介质） 1、在带电量为Q 的金属球壳内部，放入一个带电量为q 的带电体，则金属球壳 内表面所带的电量为 - q ，外表面所带电量为 q +Q 。 2、带电量Q 的导体A 置于外半径为R 的导体 球壳B 内，则球壳外离球心r 处的电场强度大小 204/r Q E πε=，球壳的电势R Q V 04/πε=。 3、导体静电平衡的必要条件是导体内部场强为零。 4、两个带电不等的金属球，直径相等，但一个是空心，一个是实心的。现使它们互相接触，则这两个金属球上的电荷( B )。 (A)不变化 (B)平均分配 (C)空心球电量多 (D)实心球电量多 5、半径分别R 和r 的两个球导体(R ＞r)相距很远，今用细导线把它们连接起来，使两导体带电，电势为U 0，则两球表面的电荷面密度之比σR /σr 为 ( B ) (A) R/r (B) r/R (C) R 2/r 2 (D) 1 6、有一电荷q 及金属导体A ，且A 处在静电平衡状态，则( C ) (A)导体内E=0，q 不在导体内产生场强； (B)导体内E ≠0，q 在导体内产生场强； (C)导体内E=0，q 在导体内产生场强； (D)导体内E ≠0，q 不在导体内产生场强。 7、如图所示，一内半径为a ，外半径为b 的金属球壳，带有电量Q ， 在球壳空腔内距离球心为r 处有一点电荷q ，设无限远 处为电势零点。试求： (1)球壳外表面上的电荷； (2)球心O 点处由球壳内表面上电荷产生的电势； (3)球心O 点处的总电势。 解: (1) 设球壳内、外表面电荷分别为q 1 , q 2,以O 为球心作一半径为R (a 静电 例1、三个点电荷q1、q2、q3沿一条直线分布，已知其中任一点电荷所受合力均为零，且 q1=q3=Q ，求在固定q1、q3的情况下，将q2从o →∞,外力需作功A=? 解：由已知q1所受静电力 例2、有两个点电荷带电量为nq 和-q （n>1),相距d,证明电势为零的等势面为一球面。证明：空间任一点电势 整理可得： 上式为球面方程： 球心坐标 球面半径 例3、点电荷-q 位于圆心处，A 、B 、C 、D 位于同一圆周上的四点如图示。将q0从A 移至B 、C 、D 点，电场力的功。 A=0 例4. 已知: 是闭合曲面的一部分，面内无净电荷电场线穿过该闭合面，穿过 部分的电场通量1?Φ，求:通过其余部分的电场通量2?Φ。 解：由高斯定理 ?∑=?=ΦS i i e q S d E 0 ε ，00=Φ∴=∑e i i q ，12120?Φ-=Φ∴=?Φ+Φ∴ 例5、长为L,线电荷密度λ的两根均匀带电细棒，沿同一直线放置，两棒近端相距 a ，求两 棒间的静电力。 q 2 x o d n n 1 (22 - 、 0、0） 04)2(42 0322031=+=a q q a q q f πεπε4412Q q q -=-=∴e A A -=∴)0(2--=o U q a Q q 0242πε-=a Q 028πε =q nq U U U -+=2 220 2220)(44z y d x q z y x nq ++--+ ++=πεπε0 =令 222222)(z y d x q z y x nq ++-=++∴[] 2222222)(z y x z y d x n ++=++-22222221()1(-=++--n nd z y d n n x 1 2-= n nd R S ?S ? 一 填空题 1. 麦克斯韦方程组的微分形式是： 、 、 和 。 2. 静电场的基本方程为： 、 。 3. 恒定电场的基本方程为： 、 。 4. 恒定磁场的基本方程为： 、 。 5. 理 想导体（媒质2）与空气（媒质1）分界面上，电磁场边界条件为： 、 、 和 。 6. 线性且各向同性媒质的本构关系方程是： 、 、 。 7. 电流连续性方程的微分形式为： 。 8. 引入电位函数?是根据静电场的 特性。 9. 引入矢量磁位A ? 是根据磁场的 特性。 10. 在两种不同电介质的分界面上，用电位函数?表示的边界条件为： 、 。 11. 电场强度E ?的单位是 ，电位移D ?的单位是 ；磁感应强度B ? 的单位是 ，磁场强 度H ? 的单位是 。 12. 静场问题中，E ?与?的微分关系为： ，E ? 与?的积分关系为： 。 13. 在自由空间中，点电荷产生的电场强度与其电荷量q 成 比，与观察点到电荷所在点的距离平方成 比。 14. XOY 平面是两种电介质的分界面，分界面上方电位移矢量为z y x e e e D ????0001255025εεε++= C/m 2 ，相对介电 常数为2，分界面下方相对介电常数为5，则分界面下方z 方向电场强度为__________，分界面下方z 方向的电位移矢量为_______________。 15. 静电场中电场强度z y x e e e E ? ??? 432++=，则电位?沿122333 x y z l e e e = ++v v v v 的方向导数为_______________，点A （1，2，3）和B （2，2，3）之间的电位差AB U =__________________。 16. 两个电容器1C 和2C 各充以电荷1Q 和2Q ，且两电容器电压不相等，移去电源后将两电容器并联，总的电容 器储存能量为 ，并联前后能量是否变化 。 17. 一无限长矩形接地导体槽，在导体槽中心位置有一电位为U 的无限长圆柱导体，如图所示。由于对称性，矩 形槽与圆柱导体所围区域内电场分布的计算可归结为图中边界1Γ、2Γ、3Γ、4Γ和5Γ所围区域Ω内的电场计算。则在边界_____________上满足第一类边界条件，在边界_____________上满足第二类边界条件。 18. 导体球壳内半径为a ，外半径为b ，球壳外距球心d 处有一点电荷q ，若导体球壳接地，则球壳内表面的感 应电荷总量为____________，球壳外表面的感应电荷总量为____________。 第二章 静电场中导体与电介质 一、 选择题 1、 一带正电荷的物体M,靠近一不带电的金属导体N,N 的左端感应出负电荷,右端感应出正电荷。若将N 的左端接地,则: A 、 N 上的负电荷入地。 B 、N 上的正电荷入地。 C 、N 上的电荷不动。 D 、N 上所有电荷都入地 答案:B 2、 有一接地的金属球,用一弹簧吊起,金属球原来不带电。若在它的下方放置一电量为q 的点电荷,则: A 、只有当q>0时,金属球才能下移 B 、只有当q<0就是,金属球才下移 C 、无论q 就是正就是负金属球都下移 D 、无论q 就是正就是负金属球都不动 答案:C 3、 一“无限大”均匀带电平面A,其附近放一与它平行的有一定厚度的“无限大”平面导体板B,已知A 上的电荷密度为σ+,则 在导体板B 的两个表面1与2上的感应电荷面密度为: A 、σσσσ+=-=21, B 、σσσσ2 1 ,2121 +=-= C 、σσσσ2 1 ,2121 -=-= D 、0,21 =-=σσσ 答案:B 4、 半径分别为R 与r 的两个金属球,相距很远。用一根细长导线将两球连接在一起并使它们带电。在忽略导线的影响下,两球表面 的电荷面密度之比r R σσ为: A 、r R B 、2 2 r R C 、2 2 R r D 、R r 答案:D 5、 一厚度为d 的“无限大”均匀带电导体板,电荷面密度为σ,则板的两侧离板距离均为h 的两点a,b 之间的电势差为() A 、零 B 、 2εσ C 、 0εσh D 、0 2εσh 答案:A 6、 一电荷面密度为σ 的带电大导体平板,置于电场强度为0E (0E 指向右边)的均匀外电场中,并使板面垂直于0E 的方向,设外电 场不因带电平板的引入而受干扰,则板的附近左右两侧的全场强为() A 、0000 2,2εσ εσ+- E E B 、0000 2,2εσ εσ++ E E C 、0 000 2,2εσεσ-+ E E D 、0 000 2,2εσεσ-- E E 答案:A 7、 A,B 为两导体大平板,面积均为S,平行放置,A 板带电荷+Q 1,B 板带电荷+Q 2,如果使B 板接地,则AB 间电场强度的大 小E 为() A 、 S Q 01 2ε B 、 S Q Q 0212ε- C 、 S Q 01ε D 、 S Q Q 0212ε+ 答案:C 8、带电时为q 1的导体A 移近中性导体B,在B 的近端出现感应电荷q 2,远端出现感应电荷q 3,这时B 表面附近P 点的场强为n E ?0 εσ= ,问E 就是谁的贡献？() 第一章 习题解答 1.2给定三个矢量A ，B ，C ： A =x a +2y a -3z a B = -4y a +z a C =5x a -2z a 求：错误！未找到引用源。矢量A 的单位矢量A a ； 错误！未找到引用源。矢量A 和B 的夹角AB θ； 错误！未找到引用源。A ·B 和A ?B 错误！未找到引用源。A ·（B ?C ）和（A ?B ）·C ； 错误！未找到引用源。A ?（B ?C ）和（A ?B ）?C 解：错误！未找到引用源。A a =A A = 149A ++ =（x a +2y a -3z a ）/14 错误！未找到引用源。cos AB θ =A ·B /A B AB θ=135.5o 错误！未找到引用源。A ·B =-11, A ?B =-10x a -y a -4z a 错误！未找到引用源。A ·（B ?C ）=-42 （A ?B ）·C =-42 错误！未找到引用源。A ?（B ?C ）=55x a -44y a -11z a （A ?B ）?C =2x a -40y a +5z a 1.3有一个二维矢量场F(r) =x a （-y ）+y a (x)，求其矢量线方程，并定性画出该矢量场图 形。 解：由dx/(-y)=dy/x,得2 x +2 y =c 1.6求数量场ψ=ln （2 x +2y +2 z ）通过点P （1，2，3）的等值面方程。 解：等值面方程为ln （2x +2y +2 z ）=c 则c=ln(1+4+9)=ln14 那么2 x +2y +2 z =14 1.9求标量场ψ（x,y,z ）=62 x 3y +z e 在点P （2，-1，0）的梯度。 解：由ψ?=x a x ψ??+y a y ψ??+z a z ψ??=12x 3 y x a +182x 2y y a +z e z a 得 ψ?=-24x a +72y a +z a 1.10 在圆柱体2 x +2 y =9和平面x=0，y=0,z=0及z=2所包围的区域，设此区域的表面为S: 错误！未找到引用源。求矢量场A 沿闭合曲面S 的通量，其中矢量场的表达式为 A =x a 32x +y a （3y+z ）+z a (3z -x) 错误！未找到引用源。验证散度定理。 解：错误！未找到引用源。??s d A = A d S ?? 曲 + A dS ?? xoz + A d S ?? yoz +A d S ?? 上 +A d S ?? 下 A d S ?? 曲 =232 (3cos 3sin sin )z d d ρθρθθρθ++?曲 =156.4 A dS ?? xoz = (3)y z dxdz +?xoz =-6 A d S ?? yoz =- 23x dydz ? yoz =0 A d S ?? 上+A d S ?? 下=(6cos )d d ρθρθρ-?上+cos d d ρθρθ?下=272π ??s d A =193 错误！未找到引用源。dV A V ???=(66)V x dV +?=6(cos 1)V d d dz ρθρθ+?=193 即：??s s d A =dV A V ??? 1.13 求矢量A =x a x+y a x 2 y 沿圆周2x +2 y =2a 的线积分，再求A ?? 对此圆周所包围的表 面积分，验证斯托克斯定理。 解：??l l d A =2 L xdx xy dy +? =44a π A ?? =z a 2 y r r V S r e r a E r a E a r E a r e r E r E r r E a r dV S d r D r e r r 20302030302000302 003334433344)(:1ερερπρπεε ρερπρπερεε=?=??=?>=?=??=?≤=?=??时，当时，当得，，根据高斯定理可和电常数分别为设真空中及导体球的介，即为中某一场点的位置矢量若采用球坐标，设空间、解 0 )(2)()(2)()(2222222:22222122221222212222 12122121=>--=?--=?---=≤≤=?=?=<<=?=?=≤=??B c e b c c I B b c c I B I b c b I B c b e I B I B I B b a e a I B a I B I a B a I l d H C 时，当时，当时，当时，当得，，根据安培环路定理可和为常数分别，设导体及介质的介电心轴线的距离为截面中某一场点的与中横 ，若采用圆柱坐标，设内部的磁场具有对称性根据题意可知，同轴线、解ρπρρμπρρμρμπρρπρ μπρμμπρρπρμπρμρμπρρεερφφφ)()cos 21(sin 75.12.0)cos 21(sin 35.0)cos 21(sin 35.0) cos 1(cos 35.0)]cos 1(35.07.0[cos x) -(0.72.0cos 5:2.24mA t t t t R i t t dt d t t t t t cd ab e B e S d B abcda in in z z ωωωωωωεωωωψεωωωωωψ+-=+-=-=+=- =-=--=?=???=?=系，那么 与磁场符合右手螺旋关设感应电动势参考方向的磁通为穿过导体回路解电磁场二章习题解答(精品文档)
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