【例1】下列函数中，哪些是一次函数?
（1）232y x =-；
（2）12y x -=；
（3）(5)(0)y m x m =-≠； （4）1(0)y ax a a =+≠ ； （5）(0)k
y kx k x =+≠；
（6）(3)(3)y k x k =-+≠-．
【难度】★
【答案】（2）、（3）、（4）、（6）．
【解析】判断是否是一次函数，要整理成(0)y kx b k =+≠的形式，一次函数有x 要是一次，0k ≠ 且是整式几个注意点．（1）是二次函数，（5）是分式．
【总结】考查一次函数的基本概念，会判断两个量是否是一次函数关，一般要把关系式整理成概念的标准形式，找出对应k b ，．
【例2】（1）已知函数2(2)1y k x =-+是一次函数，则k 的取值范围是_________；
（2）当m =________时，函数2
15
(4)m
y x m -=+-是一次函数，且不是正比例函数．
【难度】★
【答案】（1）2k ≠±；（2）4m =-．
【解析】（1）一次函数(0)y kx b k =+≠，所以2k ≠±；（2）一次函数(0)y kx b k =+≠其中，x
要是一次，所以4m =±，又因为是一次函数，不是正比例函数，所以4m -（）不能为0， 所以4m =-．
【总结】考查一次函数的基本概念中对于自变量一次的理解．
【例3】已知一个一次函数，当自变量2x =-时，函数值为1y =-；当2x =时，11y =．求这个函
数的解析式． 【难度】★★ 【答案】35y x =+．
【解析】设一次函数解析式为(0)y kx b k =+≠，将()()21211-，-，，
两点代入解二元一次方程组， 解得：35k b ==，，所以这个函数的解析式为：35y x =+．
【总结】考察两点代入法求一次函数解析式，即两点代入转而解二元一次方程组．
例题解析
【例4】已知一次函数()2
33
17k k y k x -+=-+是一次函数，求实数k 的值．
【难度】★★ 【答案】2k =．
【解析】由一次函数的概念可知：10k -≠，且2331k k --=，解得：1k =或2k =，又因为1k ≠， 所以2k =．
【总结】考察一次函数的基本概念，对于自变量一次的及自变量系数不为零同时要满足的理解．
【例5】若()f x 是一次函数，且[()]87f f x x =+，求()f x 的解析式． 【难度】★★★
【答案】()1f x =+或者()1f x =---
【解析】设()(0)f x kx b k =+≠，由[]()87f f x x =+比较对应项系数可得方程
[]2()()()f f x f kx b k kx b b k x kb b =+=++=++87x =+，可得28k =，7kb b +=，
解得：k =，1b =；k =-1b =--．
所以函数解析式为：()1f x =+或者()1f x =---
【总结】考查对一次函数的概念深化理解，对于自变量和变量转化的理解．自变量和变量之间的函数关系．
【例6】若()f x 是一次函数，且{[()]}4f f f x x =-+，
（1） 求(0)f 的值；
（2） 若()f m =1，求m 的值． 【难度】★★★
【答案】（1）4；（2）3．
【解析】设()(0)f x kx b k =+≠，则[]2
()()()f f x f kx b k kx b b k x kb b =+=++=++， 因为(){}
()223
4f f f x k k x kb b b k x k b kb b x =+++=+++=-+????
， 比较对应项系数可得：1k =-，4b =，所以()f x 的解析式是()4f x x =-+． （1）所以()0044f =+=；（2）当()1f m =时，41m -=，故3m =． 【总结】考查对一次函数的概念的深化理解，自变量和变量之间的函数关系．
【例7】若一次函数2(3)(9)y a x a =-+-函数图像过原点，求a 的值，并在坐标系中画出函数的图
像． 【难度】★ 【答案】6y x =．
【解析】一次函数2(3)(9)y a x a =-+-的图像过原点，即通过（0，0）点，且30a -≠．把这点 坐标代入解析式求解可得3a =-，所以解析式是6y x =．
【总结】一次函数的解析式与图像的关系，解析式中k 不为0的前提条件，以及图像过原点的在解析式中的含义．
【例8】若一次函数y kx b =+，当x =2时，y =-1，且函数图像的截距为-3，求函数的解析式． 【难度】★ 【答案】3y x =-．
【解析】截距是-3，则3b =-，又因为过（2，-1）点，代入求解，得解析式为3y x =-． 【总结】考查一次函数截距的意义，和待定系数法求一次函数解析式的方法．
【例9】若一次函数y =-x +b 的图像的截距是-4，求将这个一次函数向左平移2个单位后的函数解
析式． 【难度】★
【答案】6y x =--．
【解析】截距是-4，则4b =-，则解析式是-4y x =-，则平移后的解析式为：246y x x =-+-=--． 【总结】考察一次函数截距的意义，及函数图像平移与解析式变化的关系，即“上加下减，左加右减”．
【例10】将直线y =+1向右平移1个单位，相当于将直线y =+1向上平移了多少个单位? 【难度】★★
【解析】一次函数1y =+右移一个单位，解析式变为1)11y x =-+=+，
则相当于1y =+个单位．
【总结】考察一次函数图像平移与函数解析式变化的关系，即“上加下减，左加右减”．
【例11】已知一次函数的图像平行于直线y =
2
3
x ，且当3x =-时，函数y 的值是1，求这个函数解 析式．
【难度】★★
【答案】2
33
y x =+．
【解析】设这个一次函数解析式为y kx b =+，由题易知2
3
k =，把点（-3，1）代入，可得3b =． 所以这个一次函数解析式为2
33
y x =
+． 【总结】考察两条直线平行与一次函数解析式的关系，即两条直线平行，k 相等． 【例12】若直线2(3)(21)y m x m =-++与直线23y x =-+平行，求m 的值． 【难度】★★ 【答案】1m =-．
【解析】因为两条直线平行，所以可知k 相等且b 不相等，即232m -=-，解得：1m =±； 因为b 不相等，所以1m =-．
【总结】考察两条直线平行与一次函数解析式的关系，两条直线平行，即无交点，而重合是两条直线有无数个交点，所以两条直线平行的含义是k 相等且b 不相等．
【例13】根据下列条件，求解相应的直线表达式．
（1）直线经过（3，2）以及（1，1）； （2）直线经过（7，0）以及截距是14；
（3）直线经过(30)-，以及截距是 【难度】★★
【答案】（1）11
22
y x =
+；（2）214y x =-+；（3）y =． 【解析】（1）设直线的解析式为y kx b =+，把（3，2）和（1，1）代入，可得：12
k =，1
2b =，
所以直线的解析式为11
22
y x =
+； （2）设直线的解析式为y kx b =+，截距是14，则14b =，再把（7，0）代入，可得2k =-． 所以直线的解析式为214y x =-+；
（3）设直线的解析式为y kx b =+，截距是b =，再把（-3，0）代入，
可得2
3
k =-，所以直线的解析式为y =．
【总结】考察两点代入法求解一次函数解析式的方法及截距的含义，两点代入法求解一次函数的
解析式可转化为求解二元一次方程，从而求出对应的k b 和．
【例14】直线2(13)(22)y k x k =-+-与已知直线21y x =-+平行，且不经过第三象限，求k 的值． 【难度】★★ 【答案】1k =．
【解析】两条直线平行，则可知k 相等，即2132k -=-，可得：1k =或1k =-，则截距为220k -= 或224k -=-．又因为图像不经过第三象限，所以舍去224k -=-，即舍去1k =-，所以1k =． 【总结】考察一次函数的的基本概念以及k b 和的符号与图像所过象限的关系． 【例15】设点P (3，m )，Q (n ，2)都在函数y =x +b 的图象上，求m +n 的值． 【难度】★★ 【答案】5．
【解析】把点P (3，m )，Q (n ，2)代入解析式y =x +b 中，可得3,2b m n b +=+=，两式子相减， 得32n m -=-，整理得5m n +=．
【总结】考察一次函数的应用，一次函数图像上的点的坐标都满足函数解析式．
【例16】设一次函数y kx b =+的图像过点P （3，2），它与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B
两点，且OA +BO =12时，求一次函数的解析式． 【难度】★★
【答案】28y x =-+或1
33
y x =-+．
【解析】由题易知，A 点坐标为0b k ??
- ???
，，B 点坐标为()0b ，，且A 、B 两点都在x 轴、y 轴的正 半轴上，所以()12b
b k
+-=，又点P （3，2）在此函数图像上，代入可得32k b +=，
两个式子联立求解，可得：23720k k ++=，解得：2k =-或1
3-，对应的8b =或3．
所以该一次函数的解析式为28y x =-+或1
33
y x =-+．
【总结】本题主要考查一次函数与两坐标轴的交点问题，注意分类讨论．
【例17】已知一次函数21544m y x +=-与233
m
y x =-+的图像在第四象限内交于一点，求整数m
的值．
【难度】★★★ 【答案】-1，0，1．
【解析】将两个解析式联立求解可得：237m x +=
，27m y -=，所以交点坐标为2m 3m-277+??
???
，，
因为交点在第四象限内，所以
2320077m m +-><，，解不等式得：3
22
m -<<， 所以整数m 的值为-1，0，1．
【总结】考查对两个一次函数的交点坐标问题，并且注意每个象限内的点的横纵坐标的符号特征．
【例18】已知两个一次函数144b y x =--和212
y x a a
=+；
（1）a 、b 为何值时，两函数的图像重合?
（2）a 、b 满足什么关系时，两函数的图像相互平行?
（3）a 、b 取何值时，两函数图像交于x 轴上同一点，并求这一点的坐标． 【难度】★★★
【答案】（1）182a b =-=，；（2）4ab =-且1
2
a ≠-；（3）8
b =，0a ≠，坐标为（-2，0）．
【解析】（1）由题可知，两个一次函数的比例系数和常数项都相等，即12
44b a a -=-=，，
解得：1
82
a b =-=，；
（2）两个一次函数的图像平行，则比例系数相等，常数不相等，所以14b a
-
=， 即4ab =-，且1
2
a ≠-；
（3）两个一次函数的图像交于x 轴上一点，即两个一次函数与x 轴的交点重合，先分别求出
与x 轴的交点，令10y =，得116x b =-，同理可得22x =-，由题可知12x x =，16
2b -=-，
即8b =，交点坐标为（-2，0）．
【总结】主要考查两个一次函数图像的平行、重合的关系与区别以及两条直线交点的含义．
【例19】（1）一次函数3y x b =+的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为48，求b 的值；
（2）一次函数y kx b =+的图像与两坐标围成的三角形的面积是10，求一次函数 的解析式． 【难度】★★★
【答案】（1）b =±2）14y x =
或1
4
y x =-+．
【解析】（1）一次函数(0)y kx b k =+≠与两轴围成的三角形面积公式是22b s k =，所以2
4823
b =?，
解得：122b =±；
（2）同理可知，21052b b k ==，，解得：14k =±，所以一次函数的解析式为1
54
y x =+或
1
54
y x =-+．
【总结】一次函数与两轴围成的面积公式2
2b s k
=，注意双解的情况．
【例20】（1）求直线1
4222
y x y x =
-=+和与y 轴所围成的三角形的面积； （2）求直线24y x =-与直线31y x =-+与x 轴所围成的三角形的面积． 【难度】★★★
【答案】（1）12；（2）5
3．
【解析】（1）联立1
4222
y x y x =
-=+和，解得交点坐标为（-4，-6），又因为两条直线与y 轴 的交点坐标分别为（0，-4）和（0，2），所以这两条直线与y 轴围成的三角形面积
为()1244122?--?-=???
?； （2）联立2431y x y x =-=-+与，解得交点坐标为（1，-2），又因为两条直线与x 轴的交点
坐标分别为（2，0）和103（，）
，所以这两条直线与x 轴围成的面积为115(2)2233?-?-=． 【总结】考查一次函数与坐标轴所围成的三角形的面积的综合应用．
【例21】如图，已知由x 轴、一次函数4(0)y kx k =+<的图像及分别过点C （1，0）、D （4，0） 两点作平行于y 轴的两条直线所围成的图形ABDC 的面积为7，试求这个一次函数的解析式． 【难度】★★★
【答案】2
43
y x =-+．
【解析】由题易知A 的坐标为（1,4k +），B 的坐标为（4，44k +）
所围成的梯形ABCD 的面积
为11(444)(41)22AC BD CD k k ?+?=?+++?-（）=7， 解得：23k =-，所以一次函数的解析式是2
43y x =-+．
【总结】考查一次函数与面积的综合应用．
【例22】如果一次函数y =kx +b 的图象经过第一象限，且与y 轴负半轴相交，那么（ ）
A ． 0k >，0b >
B ．0k >，b <0
C ．0k <，b >0
D ．0k <，0b <
【难度】★ 【答案】B
【解析】一次函数y kx b =+的图像经过第一象限，且与y 轴负半轴相交，通过画图可知 00k b ><，．所以答案选B ．
【总结】考察一次函数的基本概念以及k 、b 的符号对一次函数图像所过象限的决定作用．
【例23】一次函数y =－2x +3的图象不经过的象限是 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
【难度】★ 【答案】C ．
【解析】一次函数23y x =-+中，00k b <>，，通过画图，可知该一次函数的图像不经过第三象 限，答案选C
【总结】考察一次函数的基本概念k 、b 的符号对一次函数图像所过象限的决定作用．
【例24】根据下列条件填空：
（1）已知函数2
45
(1)(3)m
m y m x m -+=-+-，当m 等于______时，它是一次函数，此
时它的图象经过__________象限，y 随x 的增大而_____________； （2） 如果一次函数2y x =和y x k =+的图象的交点在第一象限，则k 的取值范围是
_________；
（3）已知关于x 的一次函数(27)2y a x a =-+-的图象与y 轴的交点在x 轴的上方，且y 随x 的增大而减小，则a 的取值范围是________________． 【难度】★★
【答案】（1）2m =；一、三、四；增大；（2）0k >；（3）722
a <<
． 【解析】(1)由题可知，要是一次函数则要满足210451m m m -≠-+=，且，解得：2m =．此时 函数解析式为1y x =-，它的图像经过第一、三、四象限，且y 随x 的增大而增大；
（2）联立2y x =与y x k =+，可得交点坐标为()2k k ，，因为交点在第一象限， 则020k k >>且，所以k 的取值范围是0k >．
（3）由题易知，一次函数与y 轴的交点坐标为()02a -，，且20a ->，又y 随x 的增大而减小，所以27a -0<，从而可得722
a <<
． 【总结】考查一次函数的基本概念及k 、b 对一次函数图像所过象限及变化趋势的影响．
【例25】设b a >，将一次函数y bx a =+与y ax b =+的图像画在同一平面直角坐标系内，则有一
组a ，b 取值，使得下列四幅图中的一个为正确的是（ ）
A
B C D
【难度】★★ 【答案】D
【解析】A 选项中，由图像可知0b >，且图像过一、二、三象限，可知0a >，而另一条直线的
解析式为y bx a =+与y 轴的交点为()0a ，在x 轴下方，则0a <与上面那条直线0a >矛 盾，所以A 错误；B 选项中，两条直线与y 轴的交点坐标都在x 轴上方，可知00a b >>，， 且b a <，这与题目中的b a >矛盾，所以B 错误；C 选项中，由题易知，上面那条直线解析 式为y ax b =+，下面那条直线解析式为y bx a =+，且00a b <>，．与x 轴交点都为（2，0）， 分别代入可得2020b a a b +=+=，，解得：00a b ==，，与已知不符，所以错误；
D 选项中，
由图可知00a b <>，，而两条直线有一条是y 随x 的增大而减小即作为k ，a b ， 中有一个小于0，正好相符，且满足题目中的条件，故选项D 正确． 【总结】本题主要考查一次函数的性质及k 、b 对一次函数图像所过象限的影响．
【例26】若k 、b 是一元二次方程20x px q +-=的两个实根（0kb ≠），在一次函数y kx b =+中，
y 随x 的增大而减小，则一次函数的图像一定经过（
）
A 、第一、二、四象限
B 、第一、二、三象限
C 、第二、三、四象限
D 、第一、三、四象限
【难度】★★ 【答案】A
【解析】由题易知0k b q ?=-<，又在一次函数y kx b =+中，y 随x 的增大而减小，可知0k <， 所以0b >，所以一次函数的图像经过第一、二、四象限．故选A
【总结】一次函数的基本概念，k ，b 对一次函数图像所过象限及变化趋势的影响．
【例27】已知0abc ≠，而且a b b c c a
p c a b
+++===，那么直线y px p =+一定经过（ ）
A 、第一、二象限；
B 、第二、三象限；
C 、第三、四象限；
D 、第一、四象限
【难度】★★★ 【答案】B
【解析】由题可得a b pc b c pa c a pb +=+=+=，，三式相加得()()2a b c p a b c ++=++，
()()20a b c p a b c ++-++=，()()20a b c p ++-=，可得20p a b c =++=或，
当0a b c a b c ++=+=-时，，b 1a c
p c c
+-=
==-，所以2p =或-1． 当2p =时，22y x =+经过第一、二、三象限，当1p =-时，1y x =--， 图像经过第二、三、四象限．两种情况下，图像第一定经过第二、三象限．故选B 【总结】考察一次函数的图像特征及k 、b 对一次函数图像所过象限的影响．
【例28】在式子()y kx b k b =+，为常数中，
3119x y -≤≤≤≤当时，，kb 求的值． 【难度】★★★ 【答案】14或-6．
【解析】由题可知存在如下几种种情况，
（1）当0k >时，3119x y x y =-===，或，，则319k b k b -+=??+=?，解得：2
7k b =??=?，则14kb =；
（2）当03911k x y x y <=-===时，，或，，则391k b k b -+=??+=?
，解得：2
3k b =-??=?，则6kb =-；
（3）当0k =时，y b =，是个常值函数，不随x 的变化而变化，与题目不符． 【总结】本题主要考查一次函数的性质的运用，注意分类讨论．
【例29】已知一次函数1
121
y x k =+-中y 随x 的增大而增大，它的图像与两坐标轴构成的直角三 角形的面积不超过32，反比例函数23k y x
-=的图像在第二、四象限，求满足以上条件的k 的
整数值．
【难度】★★★
【答案】整数值为1或2． 【解析】一次函数1121y x k =+-中y 随x 的增大而增大，可知1
021
k >-，它的图像与两坐标轴构
的直角三角形面积不超过3
2
，可知
213122
21
k ≤-；又反比例函数23k
y x -=
的图像在第二、四象 限，可知230k -<，解不等式可得：
2
23
k <≤，故整数解为1或者2． 【总结】考查一次函数与反比例函数的性质及一次函数与坐标轴所围成的三角形的面积问题．
【例30】如图，已知函数1y x =+的图象与y 轴交于点A ，一次函数y kx b =+的图象经过点 B （0，1-），并且与x 轴以及1y x =+的图象分别交于点C 、D ；
（1）若点D 的横坐标为1，求四边形AOCD 的面积（即图中阴影部分的面积）；
（2）在第（1）小题的条件下，在y 轴上是否存在这样的点P ，使得以点P 、B 、D 为顶点的
三角形是等腰三角形；如果存在，求出点P 坐标；如果不存在，说明理由；
（3）若一次函数y kx b =+的图象与函数1y x =+的图象的交点D 始终在第一象限，则系数k
的取值范围是________（请直接写出结果）．
【难度】★★★
【答案】(1)56；（2）()()
01100110-+--，，，，（0，5），108??
???
，；
A D
y
（3）1k >．
【解析】（1）由题易知A 的坐标为（0，1），点D 的横坐标为1，
代入1y x =+，得112y =+=，即D (1，2)；
因为点B 的坐标为（0，-1），且y kx b =+经过点D 和点B ， 代入得：201k b b +=??+=-?，解得：1
3b k =-??=?
，
则一次函数的解析式为31y x =-，继而可求出点C 的坐标为（1
3，0）．
故阴影部分的面积为：
1122ABD OBC x S S S AB D OB OC ??=-=??-??阴=()1115
11112236?--?-??=????． （2）假设P 点的坐标为0m （，）
，则()
()2
2
102110BD =-+--=????．
分三类情况讨论：①当BD BP =时，以点B 为圆心，BD 为半径画圆，与y 轴的交点即为所求P 点．所以P 的坐标为()()
01100110-+--，或者，；②当DB DP =时，以点D 为圆心，
BD 为半径画圆，与y 轴的交点即为所求P 点，所以点P 的坐标为（0，5）；③当PB PD =时，
点P 即为线段BD 的中垂线与y 轴的交点，则()()
()2
2
1102m m --=
-+-，解得：2
3
m =
，即P 的坐标203?? ???，，综上，点P 的坐标为()()
01100110-+--，或者，或
（0，5）或203??
???，； （3）因为点B 的坐标为（0，-1），可知y kx b =+中的1b =，可得1y kx =-．
联立11y x y kx =+=-，，可得交点D 坐标为2111k k k +??
?--??
，，因为点D 在第一象限内， 所以210011
k k k +>>--且，解不等式组，得1k >．
【总结】本题综合性较强，主要考查一次函数的形式与面积的综合应用．
【习题1】 根据下列与的关系式，判断是否是关于的一次函数?
（1）23y x +=-；
（2）2xy xy x =-； （3）2331x y -+=-．
【难度】★
随堂检测
【答案】（1）、（3）是；（2）不是．
【解析】一次函数要符合(0)y kx b k =+≠的形式．所以（1）是；（2）不是；（3）是． 【总结】考察一次函数的基本概念
【习题2】 已知：2
231
()3m m y m m x m -+=-+-是一次函数，则m =_________．
【难度】★ 【答案】3．
【解析】一次函数要符合(0)y kx b k =+≠的形式．由题易知220,311m m m m -≠-+=， 解得：0103m m m m ≠≠==且；或，综上，3m =． 【总结】考察一次函数的基本概念．
【习题3】 已知一次函数y kx b =+（0k ≠），把它的图像向右平移3个单位，再向下平移5个单位，所得到的图像与原来的图像重合，则k =___________． 【难度】★
【答案】5
3
-．
【解析】函数的平移：上加下减，左加右减．根据题意可知向右平移三个单位得(3)y k x b =-+，
再向下平移5个单位得(3)5y k x b =-+-，所得到的图像与原来的图像重合，
即(3)5y k x b kx b =-+-=+，整理可得：35kx k b kx b -+-=+，即35k -=，5
3k =-．
【总结】考察一次函数图像的平移与解析式变化的关系．
【习题4】 已知2
3
(2)1m
y m x m -=++-表示关于x 的一次函数；
（1）求函数解析式；（2）求(10)f ，1
()2f -的值；（3）如果()4f a =，求实数a ．
【难度】★★
【答案】（1）41y x =+；（2）()1104112f f ??
=-=- ???
，；（3）34a =．
【解析】（1）一次函数的形式是(0)y kx b k =+≠，所以22031m m +≠-=，且，综合可得2m =， 所以一次函数的解析式为41y x =+；
（2）()10410141f =?+=；1141122f ????
-=?-+=- ? ?????
；
（3）由题可知()414f a a =+=，43a =，可得：3
4
a =．
【总结】考察一次函数的基本概念．利用一次函数关系式已知自变量求变量的值，和已知变量的值求自变量的值．
【习题5】 若直线23y mx m =++的截距是4，且y 随x 的增大而减小，求该直线的函数解析式． 【难度】★★ 【答案】4y x =-+．
【解析】根据一次函数的性质，可知2034m m <+=，
且，综合可得：1m =-． 所以该直线的解析式为4y x =-+．
【总结】一次函数中截距的含义，以及一次函数的性质．
【习题6】 若
00b c
a a
<>，，请指出一次函数y abx ac =+的图像所经过的象限． 【难度】★★
【答案】第一、二、四象限． 【解析】由00b c
a a <>，，可知a
b a
c 与异号，与同号，所以00ab ac <>，，根据一次函数的性质，
00k b <>，，可知图像经过第一、二、四象限． 【总结】考察k b 和的符号与一次函数图像的关系．
【习题7】 已知2
21
7(45)2(1)m
y m x x m x λ-=-+-++是一次函数，且当1x =时，5y =，试写出满
足条件的m 和λ，并写出解析式． 【难度】★★
【答案】1m =-，12λ=，712y x =-+．
【解析】根据一次函数(0)y kx b k =+≠的性质，可知7x 的系数要为0，即10m +=，得1m =-．
代入可得927y x x x λλ=-++=-+，因为1,5x y ==时，代入可得71512λλ-?+==，， 即712y x =-+．
【总结】一次函数的基本概念以及利用待定系数法求解一次函数解析式．
【习题8】 已知一次函数(1)4y m x m =-+-不经过第二象限，求m 的取值范围． 【难度】★★ 【答案】14m <≤．
【解析】根据一次函数的性质，可知图像不经过第二象限，那么该一次函数图像经过的象限就分
为两种情况，经过第一三象限或者经过第一三四象限，综上，可知1040m m ->-≤，， 所以可得14m <≤．
【总结】考查一次函数中k b 和图像的关系．
【习题9】 已知直线23y x =-，把这条直线沿y 轴向上平移5个单位，再沿x 轴向右平移3个单
位，求两次平移后的直线解析式? 【难度】★★ 【答案】24y x =-．
【解析】根据一次函数图形平移规律：上加下减，左加右减．可知把这条直线沿y 轴上移5个单 位，得23522y x x =-+=+，再沿x 轴右移3个单位，得2(3)224y x x =-+=-． 【总结】考察一次函数图像的平移与解析式之间的关系． 【习题10】 根据下列要求求一次函数解析式：
（1）一次函数经过A (23)，且其与y 轴的截距为-2；
（2）一次函数的截距为-5，且与1y =+无交点； （3）一次函数的图像经过点( 1.2 4.5)(2.4 2.7)M N --，，，． 【难度】★★
【答案】（1）5
22
y x =
-；（2）5y =-；（3）2 2.1y x =-． 【解析】设一次函数的解析式为(0)y kx b k =+≠，
（1）因为截距为-2，所以2b =-，把A （2,3）代入2y kx =-，即53222
k k =-=，解得：． 所以一次函数的解析式为5
22
y x =
-；
（2）由截距为-5，可知解析式中的5b =-，与1y =+无交点，可知两条直线平行，
即k 5y =-；
（3）把点( 1.2, 4.5)(2.4,2.7)M N --和代入(0)y kx b k =+≠中，得 4.5 1.22.7 2.4k b
k b -=-+??=+?，
联立求解，可得：2
2 2.12.1k y x b =?=-?
=-?
，所以解析式为：．
【总结】考察截距的意义以及待定系数法求一次函数的解析式．
【习题11】 已知一次函数y kx b =+（0k ≠）与x 轴、y 轴围成的三角形面积为24，且与直线
47
33
y x =
-平行，求此一次函数的解析式． 【难度】★★
【答案】44
8833
y x y x =+=-或．
【解析】由一次函数与两轴围成的直角三角形面积公式为22b S k =，与直线47
33
y x =-平行可知k
相等，即4
3
k =，代入面积公式22b S k =，224423
b =?
，得8b =±，
所以一次函数的解析式为44
8833
y x y x =
+=-或． 【总结】考察一次函数与坐标轴围成的三角形的面积问题，注意分类讨论．
【习题12】直线1l ：y kx b =+过点B （-1，0）与y 轴交于点C ，直线2l ：y mx n =+与1l 交于点P
（2，5）且过点A （6，0），过点C 与2l 平行的直线交x 轴于点D ； （1）求直线CD 的函数解析式； （2）求四边形APCD 的面积． 【难度】★★
【答案】（1）5543y x =-+；（2）140
9
．
【解析】（1）由1:l y kx b =+经过点(10)(25)B P -，，，，代入得：052k b k b =-+??
=+?，解得53
53k b ?
=????=??
， 所以一次函数的解析式为5533y x =+．所以C 的坐标为（0，5
3）．同理，由2:l y mx n =+经
过点(25)P ，和(60)A ，，可得51542m n =-=-，，所以2515
:42l y x =-+．所以设与2l 平行的直
CD 的直线解析式为54y x q =-+，因为过点C （0，53），可得：5
3q =，
即所求函数解析式为55
43
y x =-+；
（2）由CD 的解析式为5543y x =-+可得D 的坐标为（4
03
，）．
由此可知
11
22
PAB CDB P C APCD
S S S AB y BD y
??
=-=??-??
四边形
()()
1145140
6151
22339
??
=?--?-?--?=
??
????
??
．
【总结】本题综合性较强，主要考查一次函数与面积的结合．
【习题13】如图所示，直线323y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，D 是y 轴上的一
点，若将DAB ?沿直线DA 折叠，点B 恰好落在x 轴正半轴上的点C 处，求直线CD 的解析式． 【难度】★★★ 【答案】3
23y x =
-． 【解析】一次函数解析式是323y x =-+，可知A 的坐标为（2，0），
B 的坐标为（023，
）．在Rt OAB ?中，223OA OB ==，， 可得460AB BAO =∠=o ，，30DBA ∠=o ．因为DAB ?将沿直线DA 折叠，
点B 落在x 轴上的点C ，所以4AC AB ==，点C 的坐标为（6，0），且30DBA DCA ∠=∠=o ．
在Rt OCD ?中，6OC =，30OCD ∠=o ，可得23OD =，即D 的坐标为023（，-）． 由C （6，0），D 0-23（，），设一次函数解析式为(0)y kx b k =+≠，
代入可得，06230k b k b =+???-=?+??，解得23
3b k ?=-??=??
，所以直线CD 的解析式是323y x =-． 【总结】本题主要考查一次函数与几何的综合，注意利用几何图形的性质解题．
【习题14】直线3
1y x =-
+与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰Rt ABC ?，且90BAC ∠=o ，如果在第二象限内有一点P （a ，1
2
），且ABP ?的面
积与Rt ABC ?的面积相等，求a 的值． 【难度】★★★ 【答案】3
4a =
-． 【解析】由题意知，(30)(01)A B ，，，
，可求出2AB =，又因为BAC ?是等腰直角三角形， 所以1
2222
BAC S ?=??=．过点P (0a ，)做平行于x 轴的直线，交y 轴与E 点，
则E 坐标为（102，）；交线段AB 于点D ，则D 点纵坐标为1
2，代入AB 的解析式31y x =-+，
得：
1312x =-+，解得：3x =，所以D （312，），且3
PD a =-．
过点A 作直线PD 的垂线段，垂足为F ，则F 的坐标为（1
32
，）．因为2BAP BAC S S ??==，
且12BE AF ==，所以111
()222BAP PDA PDB S S S PD BE PD AF PD BE AF ???=+=??+??=??+
1311()()222a =?-?+=2，解得：3
4a =-． 【总结】本题主要考查一次函数与几何的综合，注意利用几何图形的性质解题．
【作业1】 下列关于x 的函数中，是一次函数的是（ ）
222211
.3(1) .. .(3)A y x B y x C y x D y x x x x =-=+=-=+-
【难度】★ 【答案】D
【解析】一次函数的概念(0)y kx b k =+≠．A 选项中，x 的最高次数是2，不符，错误；
B 选项中，x 有出现在分母中，即x 的次数是-1，是分式，错误；
C 选项中，x 有出现在坟墓中，且最高次数-2；
D 选项中，虽然题目中也有2x 出现，但化简后得69y x =+，所以正确．
【总结】考察一次函数的基本概念．
【作业2】 正比例函数y =(1－2m )x 的图象经过点（x 1，y 1）和点（x 2，y 2）当x 1＜x 2时，y 1＞y 2 ，
则m 的取值范围是（ ） A ．m <0 B ．m >0 C ．m ＜
12
D ．m ＞
12
【难度】★ 【答案】D
【解析】由题意知，y 随x 的增大而减小，所以0k <，即120m -<，得1
2
m >，选D ． 【总结】考察一次函数的性质的运用．
课后作业
【作业3】 一次函数(2)3y k x k =-+-的图像能否可以不经过第三象限?为什么? 【难度】★★
【答案】不可以不经过第三象限．因为对应的k 无解．
【解析】由题意知，一次函数的图像可以是经过第一二四象限，此时2030k k -<->，，无解；
也可以经过第二四象限，此时2030k k -<-=，，无解． 综上，上述一次函数图像不可以不经过第三象限． 【总结】考察一次函数的图像性质的运用．
【作业4】 已知直线26x y k -=-+和341x y k +=+，若它们的交点第四象限，那么k 的取值范围
是______________． 【难度】★★ 【答案】41k -<<．
【解析】联立26341x y k x y k -=-++=+，，得：41x k y k =+=-，，即交点坐标为(41)k k +-，， 因为交点在第四象限，所以4010k k +>-<，，解得：41k -<<． 【总结】考察两条直线的交点，两条直线的交点坐标应满足两条直线的解析式．
【作业5】 如图，据函数y kx b =+的图像，填空：
（1） 当1x =-时，y =____________；
（2） 图像与坐标轴的交点坐标是_________________； （3） 当24x -≤≤时，y 的取值范围是______________． 【难度】★★
【答案】（1）-6；（2）（2，0），（0，-4）；（3）84y -≤≤．
【解析】由图可知，函数经过（2，0），（0，-4），代入解析式y kx b =+中，得：24k b ==-，，
则一次函数解析式是：24y x =-． （1） 当12(1)46x y =-=?--=-时，；
（2） 图像与坐标轴交点坐标是（2，0），（0，-4）；
（3） 当22(2)48x y =-=?--=-时，；42444x y ==?-=时，， 所以y 的取值范围是84y -≤≤．
【总结】考察一次函数的解析式与图像中点的坐标的关系．
x
y
2 -4
O
第1讲 一次函数的概念与图像 知识精要 一、一次函数的概念 1、概念：一般地，解析式形如y kx b =+（k 、b 是常数，且0k ≠）的函数叫做一次函数。 定义域：一切实数。 2、一次函数与正比例函数的关系： 正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。 3、常值函数 一般的，我们把函数() y c c =为常数叫做常值函数。 二、一次函数的图像 1、画法：列表、描点、连线 2、直线的截矩：一条直线与y 轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y 轴上的截距，简称直线的截距。 3、一次函数y kx b =+（0b ≠）的图像可由正比例函数y kx =的图像平移得到： 当0b >时，向上平移b 个单位；当0b <时，向下平移b 单位。 4、已知两直线111y k x b =+和222y k x b =+ 1）12k k ≠?两直线相交 2）1212k k b b =≠?且两直线平行 3）1212k k b b ==?且重合
5、一次函数与一元一次不等式的关系： 由一次函数y kx b =+的函数值y 大于0（或小于0），就得到关于x 的一元一次不等式0kx b +>（或0kx b +<） 。在一次函数y kx b =+的图像上且位于x 轴上方（或下方）的所有点，它们的横坐标的取值范围就是不等式0kx b +>（或0kx b +<）的解集。 精解名题 例1、直线2y x =-与y 轴交于点A ，直线y kx b =+与y 轴交于点B ，且与2y x =-交于点C ，已知点C 点纵坐标为1，且S △ABC ＝9，求k 与b 的值。 例2、一次函数y kx b =+的自变量的取值范围是－3 ≤x ≤6，相应函数值的取值范围是 －5≤y≤－2，求这个一次函数的解析式。
华师大版八年级数学下《函数及其图像》知识点归纳一．变量与函数 1 ．函数的定义：一般的，在某个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个数值y都有唯一的值与之对应，我们说x叫做自变量，y叫做因变量，y叫做x的函数。 2．自变量的取值范围： （1）能够使函数有意义的自变量的取值全体。 （2）确定函数自变量的取值范围要注意以下两点：一是使自变量所在的代数式有意义；二是使函数在实际问题中有实际意义。 （3）不同函数关系式自变量取值范围的确定： ①函数关系式为整式时自变量的取值范围是全体实数。 ②函数关系式为分式时自变量的取值范围是使分母不为零的全体实数。 ③函数关系式为二次根式时自变量的取值范围是使被开方数大于或等于零的全体实数。 3 ．函数值：当自变量取某一数值时对应的函数值。这里有三种类型的问题： （1）当已知自变量的值求函数值就是求代数式的值。 （2）当已知函数值求自变量的值就是解方程。 （3）当给定函数值的一个取值范围，欲求自变量的取值范围时实质上就是解不等式或不等式组。二．平面直角坐标系： 1．各象限内点的坐标的特征： （1）点p（x,y）在第一象限→x＞0,y＞0. （2）点p（x,y）在第二象限→x＜0,y＞0. （3）点p（x,y）在第三象限→x＜0,y＜0 （4）点p（x,y）在第四象限→x＞0,y＜0. 2 ．坐标轴上的点的坐标的特征： （1）点p（x,y）在x轴上→x为任意实数，y=0 （2）点p（x,y）在y轴上→x=0,y为任意实数 3 ．关于x轴，y轴，原点对称的点的坐标的特征： （1）点p（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y）. （2）点p（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y）. （3）点p（x,y）关于原点对称的点的坐标为（-x,-y） 4 ．两条坐标轴夹角平分在线的点的坐标的特征： （1）点p（x,y）在第一、三象限夹角平分在线→x=y.
一次函数的概念，图像和性质 一次函数的概念 一般地，解析式形如 y=kx+b(_____是常数，且_____)的函数叫做一 次函数。 一次函数的定义域是一切实数。当b=0时，y=kx （0≠k ）是_____函数。一般地，我们把函数y=c （c 为常数）叫做函_____数。Y=-1,π=y ,2)(= x f 都是常值函数。 二、一次函数的图像 1.正比例函数y=kx (k≠0,k 是常数)的图像是经过O （0，0）和M （1，k ）两点的一条直线（如图13-17）.（1当k ＞0时图像经过___和第_____像限；（2）k ＜0时，图像经过原点和第_____像限. 2.一次函数y=kx+b (k 是常数，k≠0)的图像是经过A （_____）和B （_____）两点的一条直线，当kb ≠0时，图像（即直线）的位置分4种不同情况： （1）k ＞0,b ＞0时，直线经过第一、二、三像限，如图13-18A （2）k ＞0,b ＜0时，直线经过第一、三、四像限，如图13-18B （3）k ＜0,b ＞0时，直线经过第一、二、四像限，如图13-18C （4）k ＜0,b ＜0时，直线经过第二、三、四像限，如图13-18D 3.一次函数的图像的两个特征 （1）对于直线y=kx+b(k ≠0),当x=0时,y=b 即直线与y 轴的交点为A （0,b ）,因此b 叫直线在y 轴上的_____.（截距有正负） （2）直线y=kx+b(k ≠0)与两直角标系中两坐标轴的交点分别为A （_____）和 B （_____）. 4.一次函数的图像与直线方程 （1）一次函数y=kx+b(k ≠0)的图像是一条直线，因此y=kx+b(k ≠0)也叫直线方程.但直线方程_____都是一次函数. （2）与坐标轴平行的直线的方程. ①与x 轴平行的直线方程形如：y=a （a 是常数）.a ＞0时，直线在x 轴上方；a=0时，直线与x 轴重合；a ＜0时，直线在x 轴下方.（如图13-19）
函数的定义： 在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有 _______________确定的值与其对应，x 是___________量，y 是x 的函数。 函数三种表示方法：_____________________、__________________、_______________。 画函数图象的步骤：_____________________、__________________、_______________。 1．若式子 有意义，则x 的取值范围是 ． 2．函数1 1 y x = -中，自变量x 的取值范围是 ． 3在实数范围内有意义，那么x 的取值范围是 ． 4．函数1 2 y x = -中，自变量x 的取值范围是 ． 5．在函数y =x 的取值范围是 ． 6．函数y x 的取值范围是 A.1 x B. 1x < C. x ≤1 D. x ≥1 7. 下图中，不是函数图象的是 A B C D 8．小明从家到学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交车沿着公路匀速行驶一段时间后到达学校，小明从家到学校行驶路程s （m ）与时间t （min ）的大致图象是（ ） A ． B ． C ． D ．
9．如图是某一天北京与上海的气温T （单位：C ?）随时间t （单位：时）变化的图象.根据图中信息，下列说法错误．．的是 A ．12时北京与上海的气温相同 B ．从8时到11时，北京比上海的气温高 C ．从4时到14时，北京、上海两地的气温 逐渐升高 D ．这一天中上海气温达到4C ?的时间大约在上午10时 10．德国心理学家艾宾浩斯（H.Ebbinghaus ）研究发现，遗忘在学习之后立即开始，遗忘是有规律的．他用无意义音节作记忆材料，用节省法计算保持和遗忘的数量．通过测试，他得到了一些数据，根据这些数据绘制出一条曲线，即著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线，如图．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．小梅观察曲线，得出以下四个结论： ①记忆保持量是时间的函数 ②遗忘的进程是不均匀的，最初遗忘速度快，以后逐渐减慢 ③学习后1小时，记忆保持量大约为40% ④遗忘曲线揭示出的规律提示我们学习后要及时复习 其中错误的结论是 A ．① B ．② C ．③ D ．④ 11．某洗衣机在洗涤衣服时经历了注水、清洗、排水三个连续过程（工作前洗衣机内无水），在这三个过程中洗衣机内水量y （升）与时间x （分）之间的函数关系对应的图象大致为（ ） 12．如图1所示，四边形ABCD 为正方形，对角线AC ，BD 相交于点O ，动点P 在正方形的 边和对角线上匀速运动. 如果点P 运动的时间为x ，点P 与点A 的距离为y ，且表示 y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，那么点P 的运动路线可能为 图1 图2 O B C D A
[文件] sxtbc3d0017.doc [科目] 数学 [年级] 初三 [类型] 同步 [关键词] 函数概念 [标题] 代数·函数概念及其图像 [内容] 代数·函数概念及其图像 班级__________姓名________学号____________ 一、填空题 1． 圆的面积用S 表示，半径用R 表示，则S=2R π，其中_________是常量,_________ 是自变量,________是_______的函数,自变量的取值范围是___________. 2． 设轮子每分钟转100转,那么轮子的转数n 与时间t(分钟)的函数关系的解析式为 __________. 3． 设长方形的周长为30,宽为x,那么它的长y 与宽x 的函数关系式的解析式为 _________. 4． 已知,1 223-+=y y x 把它写成y 是x 的函数式(其中x 是自变量)是________,其中x 的取值范围是_________. 5． 已知1 23-+=x x y ,当x=3时,y=_________,当x=2时,y=__________. 二、解答题 6．求下列函数中自变量x 的取值范围： （1） y=3-2x ； （2）y=x -2； （3）y= ;52+x x （4）;124 +=x y （5）;3212--=x x y （6）;3 5212--=x x y （7）;2323x x y -+= （8）.5453+-=x x y 7．已知函数2 12-+=x x y ，求当函数值分别为3，-7，0时，自变量x 的值. 8．已知水池的容量为100立方米，每小时的注水量为5立方米： （1） 求水池中的水量V （立方米）与注水时间t （小时）之间函数关系； （2） 求t 的取值范围； （3） 求当t=5，8，16时，对应的注水量. 9．已知函数y=5x+2，不画图像，判断点?? ? ??- 0,52，（0，52），（53，5），（221,25--）在不在这个函数的图象上.
一次函数的图像与性质知识点总结 知识点1 、一次函数和正比例函数的概念 若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的 1x 一次函数（x为自变量），特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.例如：y=2x+3，y=-x+2，y= 2 1x，y=-x都是正比例函数. 等都是一次函数，y= 2 知识点2、函数的图象 把一个函数的自变量x与所对应的y的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线． 知识点3、一次函数的图象 由于一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b． 由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成 b，0）.但也直线即可，一般选取两个特殊点：直线与y轴的交点（0，b），直线与x轴的交点（- k 不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx的图象时，只要描出点（0，0），（1，k）即可. 知识点4 、一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的性质 （1）k的正负决定直线的倾斜方向； ①k＞0时，y的值随x值的增大而增大； ②k﹤O时，y的值随x值的增大而减小． （2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）； （3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置； ①当b＞0时，直线与y轴交于正半轴上；
②当b＜0时，直线与y轴交于负半轴上； ③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数． （4）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同； ①当k＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）； ②当k＞0，b﹥0时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）； ③当k﹤0，b＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）； ④当k﹤0，b﹤0时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）． （5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x＋1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的． 知识点5、正比例函数y=kx（k≠0）的性质 （1）正比例函数y=kx的图象必经过原点； （2）当k＞0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大； （3）当k＜0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小． 知识点6、点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系 （1）如果点P（x0，y0）在直线y=kx+b的图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b； （2）如果x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点P（1，2）必在函数的图象上． 例如：点P（1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P（1，2）在直线y=x+l的图象上；点P′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P′（2，1）不在直线y=x+l 的图象上．
一次函数概念、图像及性质 【教学目标】 1. 了解认识一次函数定义、图像，并能根据函数解析式画出图像 2. 理解一次函数的截距概念，会根据直线的表达式指出它在y 轴上的截距 3. 理解、掌握一次函数性质，熟悉图像所经过的象限及y 随x 变化而变化的情况 4. 能运用一次函数的图像及性质解综合型问题 【教学重难点】 1. 根据一次函数的图像确定解析式 2. 掌握一次函数性质，并能灵活运用于解题 3. 能结合一次函数知识点灵活求解综合型问题 【教学内容】 ★ 知识梳理 一、概念 定义：解析式形如)0( ≠+=k b kx y 的函数叫做一次函数 二、图像 一次函数的图象满足：（1）形状是一条直线；（2）始终经过（0 , b ）和（k b - , 0）两点 三、截距 定义：直线)0( ≠+=k b kx y 与y 轴的交点坐标是) , 0 (b ，截距是b 四、性质 1. 一次函数)0( ≠+=k b kx y ，当0>k 时，函数值y 随自变量x 的值增大而增大；当0 一、概念 例1. 下列关于x 的函数中，是一次函数的是（ ） （A ）1)1(32+-=x y （B ）x x y 1+ = （C ）x y 3-= （D ）x y 5-= 例2. 下列各式中，y 与x 成正比例关系的是 ；成一次函数关系的是 （1）x y 43= （2）x y 2 2-= （3）x y 29-= （4）x y 4= （5）52=+xy （6）765=+y x 例3. 下列说法中，不正确的是（ ） （A ）一次函数不一定是正比例函数 （B ）不是一次函数就一定不是正比例函数 （C ）正比例函数是特殊的一次函数 （D ）不是正比例函数不一定不是一次函数 例4. 下列说法不正确的是（ ） （A ）在32--=x y 中，y 是x 的正比例函数 （B ）在x y 21-=中，y 与x 成正比例 （C ）在1=xy 中，y 与x 1成正比例 （D ）在圆的面积公式2r S π=中，S 与2r 成正比例 例5. 已知b kx y +=，当3-=x 时，0=y ；当1=x 时，4=y ，求k 、b 的值 《数学思维与能力训练》辅导讲义 姓名 辅导时间 一次函数的定义与图像 【知识要点】 1、一次函数的定义 形如y = kx + b (k ≠0) 的函数叫做一次函数；它的定义域是一切实数。 2、常值函数 函数y = c (c 为常数) 叫做常值函数；它的自变量由所讨论的问题确定 3、一次函数的图像 一次函数y = kx + b (k ≠0) 的图像是一条直线，一次函数y = kx + b 的图像也称为直线y = kx + b ，这时，我们把一次函数的解析式y = kx + b 称为一直线的表达式 4、直线的截距 一条直线与y 轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y 轴上的截距，简称直线的截距；直线y = kx + b (k ≠0) 与y 轴的交点坐标是 (0，b)，直线y = kx + b (k ≠0) 的截距是b 。 5、直线的平移与平行 一次函数y = kx + b (b ≠0) 图像可由正比例函数y = kx 的图像平移得到。当b > 0时，向上平移b 个单位；当b < 0时，向下平移 | b | 个单位 如果b 1≠b 2，那么直线 y = kx + b 1与直线y = kx + b 2 平行；反之，如果直线y = k 1x + b 1与直线y = k 2x + b 2 平行，那么k 1 = k 2，b 1≠b 2 【夯实基础】 一．填空题 1．已知一次函数()31f x x =+，若()5f a =-，则=a ． 2．已知1 2(2)2k y k k x k -=-+＋是一次函数，则k = ． 3．已知y 与4x －1成正比例，且当x = 3时，y = 6，写出y 与x 的函数关系式 ． 4．对于一次函数32--=x y ，当x _______时，图象在x 轴下方. 5．函数2(5)y x =+的图象是由2y x =向______平移______个单位而得到． 6．直线b kx y +=与15+-=x y 平行，且经过（2，1），则k= ,b= . 7．已知一次函数y x a =-+与y x b =+的图象相交于点（m ，8），则a b +=_________． 函数的概念与图象5 单调性 [知识要点] 1．会判断简单函数的单调性（1）直接法 （2）图象法 2．会用定义证明简单函数的单调性：（取值，作差，变形，定号，判断） 3．函数的单调性与单调区间的联系与区别 [简单练习] 1．画出下列函数图象，并写出单调区间： ⑴ ⑵ 2.（1）判断在（0，+∞）上是增函数还是减函数。 （2）判断在（ —∞，0）上是增函数还是减函数。 3．证明在定义域上是减函数。 4．下列函数中，在（0，2）上为增函数的是（ ） A.y= B. y=2x-1 C. y=1-x D.y= 5．讨论函数的单调性。 6．函数y= -1的单调 递 区间为 。 7．已知f(x)在区间[a,c]上单调递减，在区间[c,d]上单调递增，则f(x)在[a,d] 上最小值为 。 22+-=x y )0(1 ≠=x x y 1)(2-=x x f x x x f 2)(2+-=x x f -=)(x 12)12(-x 3x y =x 1 8．填表已知函数f(x),的定义域是F ，函数g(x)的定义域是G ，且对于任意的，，试根据下表中所给的条件，用“增函数”、“减函数”、“不能确定”填空。 [巩固提高] 1．已知f （x ）=（2kx+1x+1在（-，+）上是减函数，则（ ） A.k ＞ B.k ＜ C.k ＞- D. k ＜- 2．在区间（0，+∞）上不是增函数的是 （ ） A.y=2x+1 B.y=3 +1 C.y= D. y=3+x +1 3．若函数f （x ）=+2（a-1）x+2在区间（-，4）上为增函数，则实数a 的 取值范围是 （ ） A.a -3 B.a -3 C.a 3 D.a 3 4．如果函数f （x ）是实数集R 上的增函数，a 是实数，则 （ ） A.f （）＞f （a+1） B.f （a ）＜ f （3a ） C.f （+a ）＞f （） D.f （-1）＜f （） 5． 若f(x)是R 上的增函数，对于实数a,b,若a+b ＞0,则有 （ ） A. f(a)+ f(b) ＞f(-a)+ f(-b) B.f(a)+ f(b) ＜f(-a)+ f(-b) C. f(a)- f(b) ＞f(-a)- f(-b) D.f(a)- f(b) ＜f(-a)-f(-b) 6．函数y=的单调减区间为 。 7．函数y=+的增区间为 减区间为 。 G x ∈F x g ∈)(∞∞21212121 2x x 2 2x 2x ∞≤≥≤≥2a 2a 2a 2a 2a 11 +x 1+x x -2 1、 一次函数的概念 （1） 一般地，解析式形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数叫做一次函数； （2） 一次函数y kx b =+的定义域是一切实数； （3） 当0b =时，解析式y kx b =+就成为y kx =（k 是常数，且0k ≠）这时，y 是x 的正比 例函数，所以正比例函数是一次函数的特例； （4） 一般地，我们把函数y c =（为常数）叫做常值函数．它的自变量由所讨论的问题确定． 一次函数的图像及性质 知识结构 知识精讲 模块一：一次函数的概念 【例1】下列函数中，哪些是一次函数? （1）232y x =-； （2）12y x -=； （3）(5)(0)y m x m =-≠； （4）1(0)y ax a a =+≠ ； （5）(0)k y kx k x =+≠； （6）(3)(3)y k x k =-+≠-． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例2】（1）已知函数2(2)1y k x =-+是一次函数，则k 的取值范围是_________； （2）当m =________时，函数2 15 (4)m y x m -=+-是一次函数，且不是正比例函数． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例3】已知一个一次函数，当自变量2x =-时，函数值为1y =-；当2x =时，11y =．求这个 函数的解析式． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 例题解析 【例4】已知一次函数()2 33 17k k y k x -+=-+是一次函数，求实数k 的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例5】若()f x 是一次函数，且[()]87f f x x =+，求()f x 的解析式． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 【例6】若()f x 是一次函数，且{[()]}4f f f x x =-+， （1） 求(0)f 的值； （2） 若()f m =1，求m 的值． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 课题一次函数的概念及其性质 一、本次课授课目的及考点分析：授课目的： 1、掌握一次函数的定义、图象和主要性质； 2、了解一次函数与正比例函数的关系； 3、会根据已知条件求出一次函数的解析式．结合例题培养学生观察、归纳的思维和渗透数形结合思想． 教学重点： 会根据已知条件求出一次函数的解析式； 教学难点： 在y=kx+b中，k和b的数与形的联系； 二、本次课的内容：一次函数的概念、一次函数的图像、一次函数的性质 教学过程 一、错题回顾： 二、教授新课： (一)复习 1．写出正比例函数的解析式． 2．正比例函数的图象是什么形状？当k＞0，k＜0时，图形的位置怎样？ (二)新课 这些函数的共同的特点都是含自变量的一次式． (1)一次函数的一般形式：一般地．如果y=kx+b①(k，b是常数，k≠0)．那么y叫做x的一次函数． (2)一次函数与正比例函数的关系．当b=0时，①式为y=kx是正比例函数．所以，正比例函数是一次函数的特殊情况． (3)两个条件确定一次函数式．因为一次函数含有两个系数k，b．而要求两个系数k，b需要列出两 个独立且不矛盾的方程，也就是说要想求出一个一次函数式，需要两个条件． 例1已知x是自变量，a，b是常量，下面各式中，是x的一次函数的是[ ]． (A)(1) (B)(1)，(5) (C)(1)，(2)，(4) (D)(1)，(2)，(4)，(6) 这六个式子是 (1)y=3x+5；(2)3x+5；(3)y=3x2+5； 分析：(3)是二次函数，(5)是分式函数，这两个都不是一次函数．容易被认为不是一次函数的是(4)3a+5x，因为其中没有y，即不是y=3a+5x形式．其实3a+5x本身就是x的函数，y=3a+5x只是用字母y来表示3a+5x而已，所以本题应选(D)． 例2已知y是x的一次函数，当x=3时，y=5；当x=2时，y=2；则x=-2时，y=______． 解：设此一次函数式为y=kx+b．由已知，可列出方程组 所求的一次函数为y=3x-4，所以x=-2时，y=3(-2)-4=-10． (4)一次函数图象与正比例函数的图象的关系． 我们从下面的列表，观察、归纳. 第21课 对数（2） １．D 2. 3 3.52 4.1222 m n -+ 5.(1) 1a - (2) 1(1)2 a b ++ 6. 313pq pq + 7. 32- 8. (1) 2 (2) 原式 266[log 2log 2=+?6(log 31)]+6(2log 2)÷ 266[log 2log 2=+?6(2log 2)]-6(2log 2)÷ 1= 9 ．3- 第22课 对数（3） 1．A 2．C 3．1 4．a 5 ．m = 6．原式=（log 25+log 255）5log 22log 33?=2log 525log 2 152? =2log 5log 215252?=2log 5log 4552?=4 5． 7．原式7744log 8log 64log 6log 3616 4947=+=+3664100=+= 8．32a b a +- 9．lg543lg3lg 2=+，lg 632lg3lg 7,=+ lg842lg 2lg3lg7=++ ∴lg 23lg 32lg 3lg 72lg 2lg 3lg 7a b c +=??+=??++=? ∴33lg 27a b c -+= 10．证明：∵346x y z t ===， ∴ 6 lg lg 4lg lg 3lg lg t z t y t x ===，，， ∴y t t t t x z 21lg 24lg lg 2lg lg 3lg lg 6lg 11===-=- 第23课 对数函数（1） 1．D 2．C 3．B 4．A 5．C 6．]2,1( 7．(,2.5),(,5)-∞-∞ 8．4 (0,)(1,)5+∞ 9．定义域(0,1)，值域： 当1a >时，为(,2log 2)a -∞-，当01a <<时，为(2log 2,)a -+∞ 10．(2,2)- 第24课 对数函数（2） 1．A 2．B 3．155 或 4．（1,-+∞） 5．(1,2] 6．（1）定义域（-1，3）；值域[2,)-+∞ （ 2 [3,1]-- 7．略 8．1 24log 3 9．(1)x x x f a -+=33log )(，-3 一次函数的图象与性质（基础） 【学习目标】 1. 理解一次函数的概念，理解一次函数y kx b 的图象与正比例函数y kx 的图象之间的关系； 2. 能正确画出一次函数y kx b 的图象．掌握一次函数的性质．利用函数的图象解决与一次函数有 关的问题，还能运用所学的函数知识解决简单的实际问题． 3. 对分段函数有初步认识，能运用所学的函数知识解决实际问题．【要点梳理】 要点一、一次函数的定义 一般地，形如y kx b （k , b是常数，k工0）的函数，叫做一次函数? 要点诠释：当b = 0时，y kx b即y kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函 数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数k，b的要求, 一次函数也被称为线性函数. 要点二、一次函数的图象与性质 1. 函数y kx b （k、b为常数，且k工0）的图象是一条直线； 当b >0时，直线y kx b是由直线y kx向上平移b个单位长度得到的； 当b v0时，直线y kx b是由直线y kx向下平移| b l个单位长度得到的? 2. 一次函数y kx b （k、b为常数，且k工0）的图象与性质： 3. 、对一次函数y kx b的图象和性质的影响: k决定直线y kx b从左向右的趋势，b决定它与y轴交点的位置，k、b 一起决定 直线y kx b经过的象限. 4.两条直线11: y k1x b和l2: y k2x b2的位置关系可由其系数确定： （1）k i k2 l i 与 J 相交；（2）k i k2，且b i b2 h 与 J平行； 要点三、待定系数法求一次函数解析式 一次函数y kx b （k , b是常数，k丰0）中有两个待定系数k , b，需要两个独立 条件确定两个关于k, b的方程，这两个条件通常为两个点或两对x, y的值. 要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法?由于一次函数y kx b中有k和b两个待定系数，所 以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以k和b为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式? 要点四、分段函数 对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的 一次函数的性质和图像 目录一、函数的定义 （一）、一次函数的定义函数。 （二）、正比例函数的定义 二、函数的性质 （一）、一次函数的性质 （二）、正比例函数的性质 三、函数的图像 （一）、一次函数和正比例函数图像在坐标上的位置 （二）、一次函数的图像 1、一次函数图像的形状 2、一次函数图像的画法 （三）、正比例函数的图像 1、正比例函数图像的形状 2、正比例函数图像的画法 3、举例说明正比例函数图像的画法 四、k、b两个字母对图像位置的影响 K、b两个字母的具体分工是： （一次项系数）k决定图象的倾斜度。 （常数项）b决定图象与y轴交点位置。 五、解析式的确定 （一）一个点坐标决定正比，两个点坐标决定一次 （二）用待定系数法确定解析式 六、两条函数直线的四种位置关系 两直线平行，k1= k2，b1≠b2 两直线重合，k1= k2，b1=b2 两直线相交，k1≠k2 两直线垂直，k1×k2=－1 （一）两条函数直线的平行 （二）两条函数直线的相交 （三）两条函数直线的垂直 一次函数、反比例函数中自变量x前面的字母k称为比例系数 这一节我们要学习正比例函数和一次函数。一次函数的解析式是y=kx+b，如果当这个式子中的b=0时，式子就变成了正比例函数y=kx。因此，正比例函数是一次函数当b=0时的特殊情况。正是因为正比例函数实际上就是一次函数，所以把正比例函数和一次函数结合在一起来学习。 在正比例函数y=kx和反比例函数y=k/x中，由于函数y与自变量x之间有比例关系，就要在自变量x前面用字母系数k表示它们之间的比例关系，因而字母k就取名为比例系数。确定了比例系数k就可以直接确定正比例函数或反比例函数的解析式。 函数的概念与图像教学设计 一、教材分析 （1）教学内容 “函数的概念与图像”是苏教版普通高中新课程标准实验教科书必修１第二章第一节内容，本节课为第一课时，主要讲解函数的概念、定义域、值域、（区间）等基本内容。 （2）教材的地位和作用 本节内容是继学生在初中学习了简单的一次函数、反比例函数、二次函数的基础上发展开的，又是学习函数的性质的理论基础，为后面学习指数函数、对数函数以及三角函数的图像和性质提供了研究方法和理论基础，因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容之一，同时，这节课内容蕴含着数形结合等丰富的数学思想，是培养学生观察能力、概括能力、探究能力和创新意识的重要题材。 二、学情分析 从学生知识层面看：学生在初中初步探讨了函数的相关知识，有一定的基础；通过高一第一节“集合”的学习，对集合思想的认识也日渐提高，为重新定义函数，从根本上揭示函数的本质提供了知识保证． 从学生能力层面看：通过以前的学习，学生已有一定的分析、推理和概括能力，初步具备了学习函数概念的基本能力．教学中由实例抽象归纳出函数概念时，要求学生必须通过自己的努力探索才能得出，对学生的能力要求比较高．因此，我认为发展学生的抽象思维能力以及对函数概念本质的理解是本节课的教学难点． 三、教学目标 （1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用； （2）了解构成函数的要素； （3）会求一些简单函数的定义域和值域； （4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域； 四、教法与学法选择 1．问题式教学法：本堂课的特点是概念教学,根据学生的心理特征和认知规律，我采取问题式教学法；以问题串为主线，通过设置几个具体问题情景，发现问题中两个变量的关系，让学生归纳、概括出函数概念的本质,这刚好也符合建构主义的教学理论． 2．探究式学法：新课程要求课堂教学的着力点是尊重学生的主体地位,发挥学生的主动精神,培养学生的创新能力,使学生真正成为学习的主体，结合本堂课的特点，我倡导的是探究式学法；让学生在探究问题的过程中,通过老师的引导归纳概括出函数的概念，通过问题的解决，达到熟练理解函数概念的目的,从而让学生由“被动学会”变成“主动会学”. 五、教学流程 同学们在初中已经学习了一些特殊的函数，在最近这几天也完成了第一章集合的学习，知道了集合其实是一种特殊的数学语言。今天我们要做的就是用集合的语言来描述函数的概念。 步骤一：回顾旧知 问题一：在初中同学们就学习过一些特殊的函数，比如说一次函数、一元二次函数、反比例函数，同学们能举出这些函数的具体解析式的例子吗？ A1：可能会出现2;y x C =+2 y x bx c =++；1 y x =之类的答案． 问题二：请同学们回忆初中函数的定义是什么? A2：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。 [设计意图]：通过回忆初中的函数及函数的定义，为之后类比出集合描述函数的定义。 问题三：我们以21y x =+为例，你能举出几组满足函数的点吗？ 步骤二：创设情境，抽象概念 一次函数的定义和图像 【知识要点】 一、平面直角坐标系 1.含义:在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，简称直角坐标系。对于平面内任意一点，过点分别向轴、轴作垂线，垂足在轴、轴上对应xxPPyy ，，a,b的数分别叫做点的横坐标、纵坐标，有序实数对叫做点的坐标。PPa、b ，，Pa,b2.坐标平面内的点的坐标的特性 在第一象限:_______________ 在第二象限:_______________ 在第三象 限:_______________ 在第四象限:_______________ 在x轴正半 轴:_______________ 在x轴负半轴:_______________ 在轴正半 轴:_______________ 在轴负半轴:_______________ yy x、y在轴交点处( ):_________________ 二、函数 1.变量:在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量:在一个变化过程中只能取同一数值的量。 xx2.定义:一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量和，如果在的允许范围内给定y xxx一个值，相应的就唯一确定了一个值，称是自变量，是因变量，是的函数。 yyy3.函数的解析式:用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式。 4.函数的图像:一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数 的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象( 5.描点法画函数图形的一般步骤 第一步:列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值); 第二步:描点(在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点); 第三步:连线(按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来)。三、一次函数 1 ，，，那么叫做的一次函数，其中1.定义:一般地，如果y,kx，bk,b是常数，k,0xxy 是自变量.特别的，当一次函数中的为时，则y,kx，，k为常数，k,0.这时 y,kx，bb0 叫做的正比例函数. xy 2.(1)要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成的形式( y,kx，b ykx,b,0k,0 (2)当，时，仍是一次函数( k,0 (3)当时，它不是一次函数( (4)正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数( 3.一次函数和正比例函数图像: 正比例函数一次函数 图象都是一条直线 b必过点 (0，0)、(1，k) (0，b)和(-，0) k 走向 k>0时，直线经过一、三象限; k,0，b,0,直线经过第一、二、三象限k<0时，直线经过二、四象限 k,0，b,0,直线经过第一、三、四象限 k,0，b,0,直线经过第一、二、四象限 数学提高班辅导讲义 一次函数的定义与图像 姓名 辅导时间 【知识要点】 1、一次函数的定义 形如y = kx + b (k ≠0) 的函数叫做一次函数；它的定义域是一切实数。 2、常值函数 函数y = c (c 为常数) 叫做常值函数；它的自变量由所讨论的问题确定 3、一次函数的图像 一次函数y = kx + b (k ≠0) 的图像是一条直线，一次函数y = kx + b 的图像也称为直线y = kx + b ，这时，我们把一次函数的解析式y = kx + b 称为一直线的表达式 4、直线的截距 一条直线与y 轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y 轴上的截距，简称直线的截距；直线y = kx + b (k ≠0) 与y 轴的交点坐标是 (0，b)，直线y = kx + b (k ≠0) 的截距是b 。 5、直线的平移与平行 一次函数y = kx + b (b ≠0) 图像可由正比例函数y = kx 的图像平移得到。当b > 0时，向上平移b 个单位；当b < 0时，向下平移 | b | 个单位 如果b 1≠b 2，那么直线 y = kx + b 1与直线y = kx + b 2 平行；反之，如果直线y = k 1x + b 1与直线y = k 2x + b 2 平行，那么k 1 = k 2，b 1≠b 2 【试题精选】 一．填空题（每空4分，共52分） 1．已知一次函数()31f x x =+，若()5f a =-，则=a ． 2．已知1 2(2)2k y k k x k -=-+＋是一次函数，则k = ． 3．已知y 与4x －1成正比例，且当x = 3时，y = 6，写出y 与x 的函数关系式 ． 4．对于一次函数32--=x y ，当x _______时，图象在x 轴下方. 5．函数2(5)y x =+的图象是由2y x =向______平移______个单位而得到． 6．直线b kx y +=与15+-=x y 平行，且经过（2，1），则k= ,b= . 7．已知一次函数y x a =-+与y x b =+的图象相交于点（m ，8），则a b +=_________． 8．已知直线b kx y +=的截距是－2，且它与x 轴的交点是（4，0），则此直线与坐标轴围成的三角形的面积是 ． 9．将直线14+=x y 的图象向下平移3个单位长度，得到直线___ ________ 10．如图，一次函数y kx b =+的图象经过A 、B 两点， 与x 轴交于点C ，则此一次函数的解析式为__________， △AOC 的面积为_________ 函数概念与基本性质练习题 1．如果函数()y f x =的图象与函数()32g x x =-的图象关于坐标原点对称，则()y f x =的表达式为（ ） A ．23y x =- B ．23y x =+ C ．23y x =-+ D ．23y x =-- 2．设函数()f x 对任意x 、y 满足()()()f x y f x f y +=+，且(2)4f =，则(1)f - ＝（ ） A ．－2 B ．±2 1 C ．±1 D ．2 3．设I ＝R ，已知2()lg(32)f x x x =-+的定义域为F ，函数()lg(1)lg(2)g x x x =-+-的定义域为G ，那么GU I C F 等于（ ） A ．(2，＋∞) B ．(－∞，2) C ．(1，＋ ∞) D ．(1，2)U(2，＋∞) 4．已知函数)(x f 的定义域为[0，4]，求函数)()3(2x f x f y ++=的定义域为（ ） A ．[2,1]-- B ．[1,2] C ．[2,1]- D ．[1,2]- 5.下列四个函数：① 1 x y x = -; ②2y x x =+； ③ 2(1)y x =-+; ④21x y x = +-，其中在(-,0)∞ 上为减函数的是（ ）。 （A ）① （B ）④ （C ）①、④ （D ）①、②、④ 6. 已知函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数，若(1)(21)f m f m ->-，实数m 的取值范围为( ) A. m>0 B. 301一次函数的定义与图像
函数的概念与图像4单调性
一次函数的概念和图像
一次函数的概念和性质
《函数的概念与图象》参考答案
一次函数的图象和性质(基础)知识讲解
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