复数的乘法和除法
【学情分析】：
学生在建立了复数的概念以后,很重要的一个问题就是建立复数集里的各种运算.由于实数是复数的一部分,在建立复数运算是,应当遵循的一个原则是作为复数的实数,在复数集里运算时和在实数集里的运算应当是一致的.
在学习了复数的加减法之后，学生对复数的乘除法以及其与实数乘除法的区别的好奇心自然也呼之欲出。.
【教学目标】：
（1）知识目标：
能进行复数代数形式的乘除运算. （2）过程与方法目标：
从实数的乘除运算及其运算律出发，对比引出复数的的乘除法定义及其运算律，通过2
||z z z ⋅=实现
实数与虚数的转化，培养学生转化的思想。 （3）情感与能力目标：
通过复数的乘除法的学习，体会实虚数的矛盾和统一，加深对数学的情感认识。
【教学重点】：
i 的运算和分母实数化。
【教学难点】：
复数除法中的分母实数化。
【课前准备】：
powerpoint 课件
z z
||||
ac bd
2()
复数代数形式的乘除运算说课稿 说课教师：张晶晶 一教材分析 1、教材的地位和作用 《§3.2.2 复数代数形式的乘除运算》是高中数学选修2-2（人教A版）第 三章的第二小节，其主要内容是复数代数形式的乘除运算。前面已学习了《§3.1.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义》, 在此基础上，继续学习复数的乘除运算，让学生认识到实数集中的许多性质在复数集中仍然适用，同时也是对学习复数知识的加深和巩固。它进一步揭示了虚数与实数辩证统一的关系，对培养学生类比学习的观点和转化的思想起到了一定的帮助作用，为提高学生的推理论证能力和解决问题的能力也起到了十分重要的作用。 2．教学重点与难点 教学重点：复数代数形式的乘法与除法运算法则. 教学难点：对复数除法运算法则的运用(分母实数化的问题)。 3. 教学目标 （1）知识与技能：通过类比学习熟练掌握复数代数形式的乘法与除法运算 法则，深刻体会复数的除法运算实质是分母实数化的问题。 （2）过程与方法：通过学生自学、兵教兵、探究等教学形式提高学生分 析问题和解决问题的能力。 （3）情感与价值观：在教学中要注重培养学生思维的灵活性，辩证性和 创新性，活跃课堂气氛，激发学生学习数学的热情，培养学生学习数
学的兴趣，增强他们学习数学的信心。 二教法分析 1、要对新课标和新教材有整体的把握和认识，这样才能将知识系统化，注意知识前后的联系，形成知识框架；其次要了解学生的现状和认知结构，了解学生此阶段的知识水平，以便因材施教；再次要处理好课堂教学中教师的教和学生的学的关系。 2、根据上述教材分析和目标分析，在教学中采用“洋思模式”，以学生为主体，学生自学为核心构建课堂教学，培养问题意识，孕育创新精神，提出恰当的对学生的数学思维有适度启发的问题，引导学生自学，培养学生良好的学习方法。 3、“先学后教，当堂训练”：通过展示“自学指导”让学生阅读课本，小组内讨论，结合前面学习的知识来解决提出的问题，强化类比转化的思想。让学生学会自己探究知识，合作学习。对于课本上的例题与练习要让学生板演，教师耐心分析、纠错，并及时对学生的想法进行肯定与评价。 在教学过程中，教师采用点拨的方法，启发学生通过主动思考、动手操作来达到对知识的发现和接受，进而完成知识的内化，使书本的知识成为自己的知识。课堂不再成为“一言堂”，学生也不再成为教师注入知识的“容器”，充分体现学生学习的主体地位。 三学法分析 学生是学习的主体,教学中要重视学生的主体参与，在教学过程中，教师创设疑问，学生想办法解决疑问。在教师的组织和引导下学生以自主探索、动手实践、合作交流的方式进行学习。在学习中了解和体验知识的发生、发展过程，在知识的运用过程中让学生体会到成功的喜悦，同时感受到“路漫漫其修远兮”。 1、让学生进一步体会虚数与实数辩证统一的关系。 2、通过对例题和练习题的学习，强化知识的运用。 四教学程序 （一）、展示课题：(1分钟) §3.2.2复数代数形式的乘除运算
1 3.2. 2 复数的代数形式的乘除运算 教学要求：掌握复数的代数形式的乘、除运算。 教学重点：复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念 教学难点：乘除运算 教学过程： 一、复习准备： 1. 复数的加减法的几何意义是什么？ 2. 计算（1）(14)(72)i i +-+ （2）(52)(14)(23)i i i --+--+ （3）(32)(43)(5)]i i i --+-+-[ 3. 计算：（1 ）(1(2? （2）()()a b c d +?+ （类比多项式的乘法引入复数的 乘法） 二、讲授新课： 1.复数代数形式的乘法运算 ①.复数的乘法法则：2()()()()a bi c di ac bci adi bdi ac bd ad bc i ++=+++=-++。 例1．计算（1）(14)(72)i i +?- （2）(72)(14)i i -?+ （3）[(32)(43)](5)i i i -?-+?+ （4）(32)(43)(5)]i i i -?-+?+[ 探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？ 例2．1、计算（1）(14)(14)i i +?- （2）(14)(72)(14)i i i -?-?+（3）2(32)i + 2、已知复数Z ，若，试求Z 的值。变：若(23)8i Z +≥，试求Z 的值。 ②共轭复数：两复数a bi a bi +-与叫做互为共轭复数，当0b ≠时，它们叫做共轭虚数。 注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数。 练习：说出下列复数的共轭复数32,43,5,52,7,2i i i i i --++--。 =，试写出复数的除法法则。 2．复数的除法法则：2222()()()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad a bi c di i c di c di c di c d c d ++-+-+÷+===+++-++ 其中c di -叫做实数化因子 例3．计算(32)(23)i i -÷+，(12)(32)i i +÷-+（师生共同板演一道，再学生练习） 练习：计算232(12)i i -+，23(1)1 i i -+- 2．小结：两复数的乘除法，共轭复数，共轭虚数。 三、巩固练习： 1．计算（1）()() 312i i i -++ （2）2345i i i i i ++++ （3 2．若122,34z a i z i =+=-，且 12z z 为纯虚数，求实数a 的取值。变：12 z z 在复平面的下方，求a
复数代数形式的四则运算 复数代数形式的乘除运算 教学目标： 知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算 过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题 情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。 教学重点：复数代数形式的除法运算。 教学难点：对复数除法法则的运用。 教具准备：多媒体、实物投影仪。 教学设想：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ?a =c ，b =d ，只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 教学过程： 学生探究过程： 1.虚数单位i :(1)它的平方等于-1，即 2 1i =-; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立 2. i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i 3. i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =1 4.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示* 3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a +bi 的形式，叫做复数的代数形式 4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0. 5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C . 6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ?a =c ，b =d 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 7. 复平面、实轴、虚轴： 点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数
§3.2.2复数代数形式的乘除运算教学设计 一．教学目标: 1．掌握复数乘法与除法的运算法, 并能熟练地进行乘除运算； 2．理解共轭复数的概念； 3．知道复数乘法法则满足交换律、结合律，乘法对加法的分配律以及正整数幂的运 算律． 4．通过教师引导学生进行的探究活动和必要讲解，消除知识出现的生硬感，使其出现得合情合理，促使学生对研究方法与过程的关注和理解，避免学生对结论的机械记忆，鼓励学生在学习中敢于质疑，深入思考，积极探索的习惯。让学生体验数学发现和知识发生发展的过程，在思维的层层推进中享受不断获取新发现的快乐，发展学生的创新意识和能力，树立正确的数学学习观。 教学重点：复数乘法与除法的运算; 教学难点: 复数的除法运算; 二．回顾知识： 问题（1）：复数的加法，减法法则分别是什么？ 类比：多项式相乘 问题（2）：两个多项式的积怎样运算 ？ 在这里配一些练习帮助学生回忆,通过解题来感受,达到本节课的导入新课的目的. 练习:(5-6i)+(-2-i)-(3+4i) (a+b)(c+d) (1+2x)(2+3x) (a+b)(a-b) 三．教学过程： 1. 复数的乘法法则： ),,,(,21R d c b a di c z bi a z ∈+=+= 则_________________21=z z
两个复数的积依然是一个复数，它的实部是 ，它的虚部是 总结：（1）、其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2 i 换 成－1，并且 把实部与虚部分别合并. （2）、两个复数的积仍然是一个复数 例1、计算()()()i i i +-+-24321 学生独立解决，在小组探讨，最后给出规范的解答过程，让学生养成规范解答问题的能力。 练习巩固：课堂练习 课本60页2、3题 (14)(14)i i +⨯- (14)(72)(14)i i i -⨯-⨯+ 2(32)i + (1+2i)3 独立完成，在小组内解决，最后学生给出规范解答，采用学生板演的方式。 2.复数的乘法满足交换律、 、 对任何123,,z z z 即有21z z ⋅= 321z z z ⋅⋅= =+)(321z z z 实数集R 中的完全平方公式、平方差公式在复数集C 中仍然成立。 例2、计算(1)(3+4i)(3-4i)= (2)(12+5i)(12-5i)= (3)(a+bi)(a-bi)= 学生自己做，然后小组合作，相互纠正。 观察上面三个乘积，前后两个复数有什么特点，它们的乘积有什么特点？
3．2.2 复数代数形式的乘除运算 一、教学目标： （1）掌握复数乘法与除法的运算法则，并能熟练地进行乘、除法的运算； （2）能应用i和的周期性、共轭复数性质、模的性质熟练地进行解题； （3）让学生领悟到“转化”这一重要数学思想方法； （4）通过学习复数乘法与除法的运算法则，培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力。 二、重点、难点分析 本节的重点和难点是复数乘除法运算法则及复数的有关性质． 复数的代数形式相乘，与加减法一样，可以按多项式的乘法进行，但必须在所得的结果中把换成－1，并且把实部与虚部分合并．很明显，两个复数的积仍然是一个复数，即在复数集内，乘法是永远可以实施的，同时它满足并换律、结合律及乘法对加法的分配律．规定复数的除法是乘法的逆运算，它同多项式除法类似，当两个多项式相除，可以写成分式，若分母含有理式时，要进行分母有理化，而两个复数相除时，要使分母实数化，即分式的分子和分母都乘以分母的共轭复数，使分母变成实数． 三、教学过程： 设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)， 问题1：如何规定两复数相乘？ 提示：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．即 z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝ac＋bc i＋ad i＋bd i2＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i. 问题2：根据问题1中的规定复数的乘法运算是否满足交换律、结合律、分配率？ 提示：满足． z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i， z2z1＝(c＋d i)(a＋b i)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.
3. 2. 2 复数代数形式的乘除运算教学设计 主备人： 学习目标 1．理解并掌握复数代数形式的乘法与除法运算法则，理解除法是乘法运算的逆运算. 2．理解并掌握复数的乘法实质就是多项式展开，除法运算实质是分母实数化类问题． 重点：复数的乘除运算法则及其应用． 难点：复数的代数形式的化简． 学习过程 一．认知预习 阅读教材P109-P111页的内容，并解答问题： 1、类比两个多项式相乘，()()a b c d ac ad bc bd ++=+++。你能总结出复数相乘的运算规则吗？ 设1z a bi =+，2z c di =+(,,,)a b c d R ∈是任意两个复数
二、探究新知 探究一、乘法运算律： ①交换律：1221z z z z =，②结合律：()()123123z z z z z z =，③分配律： ()1231213z z z z z z z +=+. 这些运算律对复数成立吗？你能推导①吗？ 小试牛刀 (1) (2＋i)(2－i) （2）1-2i 3+4i -2+i ⋅⋅（）（）（）
（3）3+4i 3-4i （）（） 2 41+i （）（） 思考：观察（1）（3）计算结果，它们的实部与虚部有什么特点？ 探究二、共轭复数 共轭复数有什么特点？ 1、实部虚部特点： 2、模有什么关系：
3、乘积有什么特点： 总结共轭复数的概念： 探究三、复数除法、运算规则 类比实数的除法 如：（1）34342-3= 2-3a a a a ++÷（）（） 22÷==(2)（（ 两个实数相除可以写成分数的形式，在进行复数运算的时候我们也将复数相除写成分数的形式 如： 12(12)(34)34i i i i ++÷-=-
【新教材】7.2.2 复数的乘除运算 教学设计（人教A版） 复数四则运算是本章的重点，复数代数形式的乘法与多项式乘法是类似的，不同的是即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．复数的除法运算法则是通过分子分母同时乘分母的共轭复数，将分母实数化转化为乘法运算而得出的.渗透了转化的数学思想方法，使学生体会数学思想的素材. 课程目标： 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算； 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律; 3.理解且会求复数范围内的方程根. 数学学科素养 1.数学抽象：复数乘法、除法运算法则; 2.逻辑推理：复数乘法运算律的推导; 3.数学运算：复数四则运算; 4.数学建模：结合实数范围内求根公式和复数四则运算，解决复数范围内的方程根问题. 重点：复数代数形式的乘法和除法运算． 难点：求复数范围内的方程根. 教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练. 教学工具：多媒体. 一、情景导入 前面学习了复数的加法、减法运算，根据多项式的乘法、除法运算法则猜测复数的乘法、除法满足何种运算法则？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课 阅读课本77-79页，思考并完成以下问题 1、复数乘法、除法的运算法则是什么？ 2、复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法则是否相同？如何应用共轭复数解决问题？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究 1．复数代数形式的乘法法则 已知z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. [提示]复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、
§3.2.1 复数代数形式的运算法则及其几何意义 掌握复数的代数形式的加减运算及其几何意义、乘法运算 . 一、课前准备 （预习教材P56~ P59，找出疑惑之处） 复习：(1) 虚数单位i (2) 复数的分类？ (3) 复数相等的等价条件？ (4) 复数的几何意义是什么？ 类比实数的运算法则能否得到复数的运算法则？ 二、新课导学 探究一：复数代数形式的加法运算 问题一 1 化简下列各式： ; ; 2.类比:你能计算下列各式吗? ; (23)(1) x x ++-+11 ( )(2)22 x x ++--3(1) x x ++(2)(2) x x -+-+(76)(3)i i -+-(34)(23) i i ++--
; 3.猜想归纳: 设12,z a bi z c di =+=+，是任意两个复数，那么。 ()()a bi c di +++= （复数的加法法则） 很明显，两个复数的和仍然是 . 试一试： （1）(24)(44)i i ++- （2）(2)(12)i i -++- （3）(15)(23)(25)i i i -+--++ （4）4(2)(2) i i i -+-+-+ 问题2 计算： （1）(44)(24)i i -++ （2）( 12)(2)i i -+-+ （3）(23)[(15)(25)]i i i --+-++ （4）4[(2)(2)]i i i -+-+-+ 2.比较1与问题一中计算,类比实数加法的运算律,复数加法也有类似的性质吗? (34)(34)i i -++-2(12) i i +-
探究二 复数加法的几何意义 问题：复数与复平面内的向量有一一对应的关系.我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？ 由平面向量的坐标运算，有OZ =12OZ OZ +=（ ） 新知： 复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则） 例1 已知平行四边形OABC 的三个顶点O ，A ，C 对应的复数分别是0，3+2i ，-2+4i ，求： （1） AO 表示的复数； （2） CA 表示对复数； （3） 点B 对应的复数。 探究三：复数减法运算法则及其几何意义 问题3：若()()x yi c di a bi +++=+，根据复数相等 的定义,求x yi + 新知：复数的减法法则为：
高中数学选修1,2《复数代数形式的四则运算》教案 高中数学选修1-2《复数代数形式的四则运算》教案【一】教学准备 教学目标 知识与技能：掌握复数的四则运算; 过程与方法：理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律 情感态度与价值观：通过复数的四则运算学习与掌握，进一步理解复数引发学生对数学学习的兴趣，激起学生的探索求知欲望。 教学重难点 熟练运用复数的加减法运算法则。 教学过程 教学设计流程 一、导入新课： 复数的概念及其几何意义; 二、推进新课： 建立复数的概念之后，我们自然而然地要讨论复数系的各种运算问题。 设Z1 =a+bi, Z2 =c+di是任意两个复数，我们规定： 1、复数的加法运算法则：Z1+Z2=(a+从)+(b+d)i 2、复数的加法运算律： 交换律：Z1+Z2=Z2+Z1 结合律：Z1+Z2+Z3=Z1+(Z2+Z3) 3、复数加法的几何意义: 4、复数的减法运算法则: Z1-Z2=(a-c)+(b-d)i 5、复数减法的几何意义: 三、例题讲解 例1：计算：(7-3i)+(-1-i)-(6+3i) 课后小结 复数的加法与减法的运算及几何意义 课后习题
课本习题 A组 1题、2题、3题. 高中数学选修1-2《复数代数形式的四则运算》教案【二】 教学目标： 知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算 过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题 情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。 教学重点：复数代数形式的除法运算。 教学难点：对复数除法法则的运用。 教学过程： 学生探究过程： 1. 复数的加减法的几何意义是什么? 2. 计算(1) (2) (3) 3. 计算：(1) (2) (类比多项式的乘法引入复数的乘法) 讲解新课： 1.复数代数形式的乘法运算 ①.复数的乘法法则：。 例1.计算(1) (2) (3) (4) 探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律? 例、计算(1) (2) (3) ②共轭复数：两复数叫做互为共轭复数，当时，它们叫做共轭虚数。 注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数。 练习：说出下列复数的共轭复数。 ③类比，试写出复数的除法法则。 2.复数的除法法则： 其中叫做实数化因子
复数的乘除运算教案 一、知识目标 1.理解复数的乘法和除法的定义与规则。 2.掌握复数的乘法和除法的计算方法。 3.能够灵活应用复数的乘法和除法解决实际问题。 二、教学重难点 1.掌握复数的乘法和除法的基本知识。 2.能够在解决实际问题中使用复数的乘法和除法。 三、教学过程 1.复习 通过复数的定义和基本运算的讲解，复习复数的加减法、共轭和模的概念和计算方法。 2.乘法 (1)定义：设两个复数分别为z1=a+bi，z2=c+di，乘积为 z=z1×z2=(a+bi)×(c+di)。按照运算法则展开并进行化简，即可得到z=(ac-bd)+(bc+ad)i，这就是复数的乘法公式。 (2)计算：教师给出若干道复数乘法的例题，让学生自主练习，并在黑板上讲解解题方法和答案。 (3)注意点：在乘法中，共轭复数的乘积等于它们的模平方，即：|z1z2|=|z1|×|z2|。 3.除法 (1)定义：设两个复数分别为z1=a+bi，z2=c+di，商为 z=z1÷z2=(a+bi)÷(c+di)。将分子分母同时乘以共轭数的商，即可得到z=[(a+bi)×(c-di)]÷[(c+di)×(c-di)]。按照运算法则展开并进行化简，即可得到z=[(ac+bd)/(c²+d²)]+[(bc-ad)/(c²+d²)]i，这就是复数的除法公式。 (2)计算：教师给出若干道复数除法的例题，让学生自主练习，并在黑板上讲解解题方法和答案。
(3)注意点：在除法中，一个任意的非零复数的倒数是它的共轭数与模平方的商，即：1/z= z*÷|z|²。 四、实例讲解 教师根据实际问题，构造一些需要使用复数乘、除法进行计算的题目，让学生实际运用所学知识计算，并提高自己的解决实际问题的能力。 五、总结反思 教师对所学知识进行归纳和总结，并让学生进行合作讨论，分享自己的学习体会和感悟，以达到知识的深化和加深。 六、课后作业 教师布置数道和本课学习内容相关的练习题，让学生巩固所学知识，加深对知识点的理解和掌握。同时要求学生思考如何在实际问题中应用所学知识。
3.2.2 复数代数形式的乘除运算 教学目标 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算. 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 3.理解共轭复数的概念． 问题导思 知识点一 复数的乘法及其运算律 思考 怎样进行复数的乘法运算？ [答案] 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i 2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可． 梳理 (1)复数的乘法法则 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么它们的积 (a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i. (2)复数乘法的运算律 对于任意z 1，z 2，z 3∈C ，有 交换律 z 1z 2＝z 2z 1 结合律 (z 1z 2)z 3＝z 1(z 2z 3) 乘法对加法的分配律 z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3 知识点二 共轭复数 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，z 的共轭复数用z 表示．即z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i. 知识点三 复数的除法法则 思考 类比根式除法的分母有理化，比如1＋33－2＝(1＋3)(3＋2)(3－2)(3＋2)，你能写出复数的除法法则吗？ [答案] 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(c ＋d i≠0)， 则z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2 i. 教学案例 类型一 复数代数形式的乘除运算 例1 计算： (1)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭ ⎫32＋12i (1＋i)；
3.2 复数代数形式的四则运算 一、教学目标 1.核心素养 通过学习复数代数形式的四则运算，初步形成基本的数学抽象和数学运算能力. 2.学习目标 （1）掌握复数代数形式的加法、减法运算法则，能进行复数代数形式加法、减法运算，理解并掌握复数加法与减法的几何意义. （2）理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，熟练进行复数的乘法和除法的运算.理解复数乘法的交换律、结合律、分配律；了解共轭复数的定义及性质. （3）培养学生参透转化、数形结合的数学思想方法，提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力. 3.学习重点 复数代数形式四则运算法则. 4.学习难点 复数加减法运算的几何意义，对复数除法法则的运用. 二.教学设计 （一）课前设计 1.预习任务 任务1 预习教材P 56---P 60,完成P 58和P 60相应练习题 任务2 掌握复数加、减、乘、除四则运算法则 任务3 利用复平面理解复数加减法的几何意义 2.预习自测 1.设z 1＝2＋bi ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋bi 为（ ） A.1＋i B.2＋i C.3 D.－2－i 答案：D 解析：∵z 1＋z 2＝(2＋bi )＋(a ＋i )＝(2＋a )＋(b ＋1)i ＝0， ∴⎩⎨⎧ 2＋a ＝0b ＋1＝0，∴⎩⎨⎧ a ＝－2 b ＝－1 ，∴a ＋bi ＝－2－i .
2.已知z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：C 解析：z ＝z 2－z 1＝(1－2i )－(2＋i )＝－1－3i .故z 对应的点为(－1，－3)，在第三象限. 3.若复数z 满足z ＋(3－4i )＝1，则z 的虚部是（ ） A.－2 B.4 C.3 D.－4 答案：B 解析：z ＝1－(3－4i )＝－2＋4i ，所以z 的虚部是4. （二）课堂设计 1.知识回顾 1. 复数通常用小写字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a,b ∈R )，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部. 2. 两个复数相等，即实部和虚部分别相等即a ＋b i ＝c ＋di ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R ) 3. 复数z ＝a ＋bi (a,b ∈R )的模为22 z a b =+ 2.问题探究 问题探究一：复数的加减法 ●活动一 怎样计算复数的加法与减法? 设12i,i(,,,)z a b z c d a b c d R =+=+∈,是任意两个复数，那么 （1）复数1z 与2z 的和的定义：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d +=+++=+++ （2）复数1z 与2z 的差的定义：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d -=+-+=-+-. ●活动二 从复数的加法和减法法则我们可以得到一个怎样的结论？ 事实上，两个复数相加（减）就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加（减）. ●活动三 复数的和与差还是一个复数吗？ 显然，复数的和与差仍然是一个唯一确定的复数.
复数代数形式的乘除运算 一 教学目标： 1. 掌握复数代数形式的乘法法则和除法法则，并会应用。 2. 了解共轭复数的定义。 3. 培养学生归纳类比的数学方法。 教学重点：掌握复数的乘法和除法法则。 教学难点：掌握复数的乘法和除法法则。 二 教学过程 1.复习复数的加减运算。 2 新授课 首先根据复数的加减法法则与多项式的加减一样，类比出复数的乘法法则，进而导出复数的运算律，通过习题，并进一步得到共轭复数的定义。再次，类比分母有理化推导出复数的除法公式。 三 课堂小节 四 课堂练习及课后作业 本节课在复数加减运算的基础上进一步学习乘除运算，学生积极性较高，能把复数的乘法运算与多项式联系起来，从而更易理解和掌握运算则。在掌握除法运算时能够类比根式的分母有理化的化简，减少了复数除法运算的难度。 本节课学生在老师的指导下，积极主动参与，能够掌握复数的乘除法运算法则并能熟练应用，获得了知识，发展了能力，培养了学习的兴趣及归纳类比能力。 本节课是这一章的重点，在高考中也占有重要的地位，是重要的出题点，难度中等。引入新课时先对复数的加减运算做了复习，然后过渡到复数的乘法运算，并结合多项式的乘法推导出复数的乘法法则及运算律，引出共轭复数的定义，最后推导出复数的除法法则。本节课的 1. 2. 若复数z=1+i (i 为虚数单位) 是z 的共轭复数，则 + 的虚部为（ ） A. 0 B. -1 C. 1 D. -2 3.(2015全国卷) 设复数z 满足 i z 1z 1=-+，则z 为（） A 1 B 2 C 3 D2 4.已知复数 2x x 2-++（2x -3x+2）i （x R ∈）是4-20i 的共轭复数，求x 的值。 () )()()12(2)i i i -++-2z 2z
复数代数形式的乘除运算 （三）课前自主预习 掌握复数代数形式的乘法和除法运算． 理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的（一）课程目标解读分配律．理解共轭复： 数的概念．重点：复数的乘除运算及共轭复数的概（二）重点、难念． 难点：复数点展示： 的除法运算． 1221 ()()()z a bi z c di a bi c di ac bci adi bdi a b c d ∈R ．复数的乘法 设＝＋，＝＋是任意两个复数，那么它们的积＋＋＝＋＋＋＝ ，，，． 2．复数乘法的运算律对于任意z 1，z 2，z 3∈C ，有 3. Z.z 共轭复数的概念一般地，当两个复数的实部 ，虚部 时，这两个复数叫做互为共轭复数．通常记复数的共轭复数为4．复数的除法 (a ＋b i)÷(c ＋d i)＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i ) ＝ ，复数除法运算的实质是 ．
（四）新课学习 例2.计算 ⑴(1+i)2 ⑵(3+4i)（1-2i)(3-4i) 112013312______.(2).2014+i i= A.-2-3i B.-2+3i C.2-3i D.2+)3()(()i i i i 例、（） .天津是虚数单位，复数＋－＝（福建高考）复数（32）（） 3(1)(12)(34)32)(2 3)) (2i i i i +÷--÷+例、计算 、（ 22323(12)(1)1 i i i i --++-练习：计算，
（五）课堂巩固练习 学情分析： 本节课学生已理解了复数的基本概念以及复数相等的概念，了解了复数代数形式的加减运算的前提下，结合整式的加减运算探索类比到复数代数形式的乘除法运算。 学生在学习的过程中会存在一定的困难,这些困难的客观因素是（1）学生的运算能力较差，计算容易出错。（2）书写结果的不规范，最后的复数形式要写为实部+虚部乘以i 的形式。 课后反思： 1.复数代数形式的除法运算学生计算较差，结果书写的不规范。 2.学生合作探究与自主探究的意识需要强化。 教学效果分析： （1）通过学生自主预习，对复数代数形式的乘除运算有一个直观的认识，能够快速融入到教师课堂情境中。 （2）学生对老师提出的问题能够做深入思考，合作探究与自主探究的意识也初步建立，课堂气氛较为活跃。 （3）本节课要求较低，例题及练习设计较为简单，学生完成情况较好。 教材分析： 本节课的教学目标为 （1）掌握复数乘法与除法的运算法则，并能熟练地进行乘、除法的运算； 22014,,i -i 2+bi +bi)()A.5-4i B.+i C.a b R a a ∈=1、（山东高考）已知是虚数单位。 若与互为共轭复数，则（ 54 3-4i D.3+4i 2．(2013·北京文)在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．(2013·辽宁文)复数z ＝1i －1 的模为( ) A.12 B.22 C. 2 D ．2 二、填空题 4．若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x ＝______，实数y ＝______. 5．如果复数z ＝2－b i 1＋2i (b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b ＝______ 6.计算 ⑴(7)(34)i i +÷+ ⑵21()1i i +- ⑶113232i i --+
《复数的乘除运算》教学设计 本节课是《复数代数形式的四则运算》的第二课时，是四则运算的重点，也是本章的重点．复数的乘法法则是规定的，其合理性表现在：这种规定与实数乘法的法则是一致的，而且实数乘法的有关运算律在这里仍然成立．由除法是乘法的逆运算的这种规定，可以得到复数除法的运算法则． 教材在内容编排上使用问题探究式的方法，引导学生能够自己探究新知，发现新知，理解新知．学生不仅学到了知识，而且培养了学习兴趣，提高了学习积极性．课时分配 1课时． 1．掌握复数代数形式的乘除运算法则，熟练进行复数的乘法和除法运算． 2．理解复数乘法的交换律、结合律、分配律． 3．运用类比方法，经历由实数系中的乘除法到复数系中乘除法的过程． 4．通过实数的乘、除法运算法则及运算律，推广到复数的乘、除法，使同学们对运算的发展历史和规律，以及连续性有一个比较清晰完整的认识，同时培养学生的科学思维方法． 重点：掌握复数代数形式的乘除运算的法则，熟练进行复数的乘法和除法运算． 难点：复数除法的运算法则． 引入新课 提出问题：试计算5(2＋i)． 活动设计：先由学生独立思考，然后交流看法． 学情预测：学生可能类比单项式与多项式的乘法来计算． 活动成果：(板书) 5(2＋i)＝(2＋i)＋(2＋i)＋(2＋i)＋(2＋i)＋(2＋i)＝10＋5i. 设计意图
通过比较分别运用实数集中乘法的意义和复数的加法法则计算所得的结果，得到结论：m(a＋b i)＝ma＋mb i，其中m，a，b∈R.引出新课．两个复数相乘又该如何计算？ 探究新知 提出问题：如何计算(2＋i)(3＋2i)? 活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生交流．学情预测：学生可能类比两个多项式的乘法来计算． 活动成果：(板书) (1)规定，复数的乘法法则： 设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i是任意两个复数，那么它们的积： (a＋b i)(c＋d i)＝ac＋bc i＋ad i＋bd i2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. (2)(2＋i)(3＋2i)＝6＋3i＋4i＋2i2＝4＋7i. 设计意图 遇到问题就得解决问题，但是复数又是一个全新的知识，它是实数集的扩充，所以在不违背原有知识的基础上规定了复数的乘法法则，使学生体会知识的创新与发展的过程．理解新知 提出问题1：怎样理解复数的乘法法则？它可能满足哪些运算律？ 活动设计：学生独立思考，然后同学间交流． 学情预测：学生可以独立理解复数的乘法法则，并写出它满足的运算律． 活动成果： (1)可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可． 两个复数的积是一个确定的复数． (2)实数集上的乘法满足的运算律，可以直接推广到复数集上的乘法运算中： 对于任意z1，z2，z3∈C，有z1·z2＝z2·z1， (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)， z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3. 设计意图 准确地把握法则及其满足的运算律，为正确熟练地运用打下良好的基础．
3.2.2 复数代数形式的乘除运算 一、教学目标： １、知识与技能：掌握复数代数形式的乘除运算的法则，熟练进行复数的乘法和除法运算；理解复数乘法的交换律、结合律、分配律；了解共轭复数的定义及性质．过程与方法： ２、过程与方法：运用类比方法，经历由实数系中的乘除法到复数系中乘除法的过程 ；培养学生发散思维和集中思维的能力，以及问题理解的深刻性、全面性． ３、情感、态度与价值观：通过实数的乘、除法运算法则及运算律，推广到复数的乘、除法，使同学们对运算的发展历史和规律，以及连续性有一个比较清晰完整的认识，同时培养学生的科学思维方法． 二、重点难点：[来源:https://www.doczj.com/doc/f719256606.html,] 重点: 掌握复数代数形式的乘除运算的法则，熟练进行复数的乘法和除法运算． 难点: 复数除法的运算法则． 三、教学过程 【知识链接】 1.复数 与
的和的定义： ； 2.复数 与 的差的定义： ； 3.复数的加法运算满足交换律: ； 4.复数的加法运算满足结合律: ； 5.复数 的共轭复数为 . 【问题探究】 探究一、复数的乘法运算 引导1:乘法运算规则 设 、
是任意两个复数， 规定复数的乘法按照以下的法则进行： 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把 换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. [来源:学+科+网] 引导2:试验证复数乘法运算律 （1） （2） （3） 点拨：两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把 换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 探究二、复数的除法运算 引导1：复数除法定义：[来源:学科网] 满足
复数的乘法与除法教案 教学目标 （1）掌握复数乘法与除法的运算法则，并能熟练地进行乘、除法的运算； （2）能应用i和的周期性、共轭复数性质、模的性质熟练地进行解题； （3）让学生领悟到“转化”这一重要数学思想方法； （4）通过学习复数乘法与除法的运算法则，培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力。 教学建议 一、知识结构 二、重点、难点分析 本节的重点和难点是复数乘除法运算法则及复数的有关性质．复数的代数形式相乘，与加减法一样，可以按多项式的乘法进行，但必须在所得的结果中把换成－1，并且把实部与虚部分合并．很明显，两个复数的积仍然是一个复数，即在复数集内，乘法是永远可以实施的，同时它满足并换律、结合律及乘法对加法的分配律．规定复数的除法是乘法的逆运算，它同多项式除法类似，当两个多项式相除，可以写成分式，若分母含有理式时，要进行分母有理化，而两个复数相除时，要使分母实数化，即分式的分子和分母都乘以分母的共轭复数，使分母变成实数． 三、教学建议
1．在学习复数的代数形式相乘时，复数的乘法法则规定按照如下法则进行．设是任意两个复数，那么它们的积： 也就是说．复数的乘法与多项式乘法是类似的，注意有一点不同即必须在所得结果中把换成一1，再把实部，虚部分别合并，而不必去记公式． 2．复数的乘法不仅满足交换律与结合律，实数集R中整数指数幂的运算律，在复数集C中仍然成立，即对任何，，及，有： ，，； 对于复数只有在整数指数幂的范围内才能成立．由于我们尚未对复数的分数指数幂进行定义，因此如果把上述法则扩展到分数指数幂内运用，就会得到荒谬的结果。如，若由，就会得到的错误结论，对此一定要重视。 3．讲解复数的除法，可以按照教材规定它是乘法的逆运算，即求一个复数，使它满足（这里，是已知的复数）．列出上式后，由乘法法则及两个复数相等的条件得： ， 由此 ， 于是 得出商以后，还应当着重向学生指出：如果根据除法的定义，每次都按上述做来法逆运算的办法来求商，这将是很麻烦的．分析一下商的结构，从形式上可以得出两个复数相除的较为简捷的求商方法，就是
复数代数形式的四则运算 课时分派 第一课复数代数形式的加、1个课时 减运算及其几何意义 第二课复数代数形式的乘除1个课时 运算 第三课代数基本定理1个课时 3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义 【教课目的】 知识与技术：掌握复数的加法运算及意义 过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律，认识复数加减法运算的几何 意义 感情、态度与价值观：理解并掌握复数的相关观点(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)理解并掌握复数相等的相关观点；绘图获得的结论，不可以取代论证，但是经过对图形的察看，常常能起到启示解题思路的作用 【教课要点难点】 要点：复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系． 难点：复数加法运算的运算率，复数加减法运算的几何意义 【学前准备】：多媒体，预习例题 教课课程 第一课 教课环节导案/教案师生互动//随堂测试备注
y Z(a，b b oax 一般地，两个复 数只好说相等或不相 1．复数的定义：等，而不可以比较大小. 假如两个复数都是实2．复数的代数形式: 数，就能够比较大小 只有当两个复数不全 3．复数与实数、虚数、纯虚数 及0的关系：关于复数 abi(a,bR)，当且仅当时，复 一、复习引入 数a+bi(a、b∈R)是实数a；当 （5分钟） 时，复数z=a+bi叫做虚数；当 时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当 时，z就是实数0. 4．复数集与其余数集之间的关 系：. 5．两个复数相等的定义：是实数时才不可以比较大小6．复平面、实轴、虚轴： 点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个成立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴， y轴叫做虚轴 实轴上的点都表示实数 关于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确立 的复数是z=0+0i=0 表示是实数.故除了