复数代数形式的乘除运算

3.2.2 复数代数形式的乘除运算 学习目标 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念．

知识点一 复数的乘法及其运算律

思考 怎样进行复数的乘法运算？

答案 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i 2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．

梳理 (1)复数的乘法法则

设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么它们的积

(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.

(2)复数乘法的运算律

对于任意z 1，z 2，z 3∈C ，有

知识点二 共轭复数 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，z 的共轭复数用z 表示．即z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i.

知识点三 复数的除法法则

思考 类比根式除法的分母有理化，比如1＋33－2＝(1＋3)(3＋2)(3－2)(3＋2)

，你能写出复数的除法法则吗？

答案 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(c ＋d i ≠0)，

则z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i.

1．复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，再加减．( √ )

2．两个共轭复数的和与积是实数．( √ )

3．若z 1，z 2∈C ，且z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0.( × )

类型一 复数代数形式的乘除运算

例1 计算：

(1)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i)； (2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i

； (3)(1－4i )(1＋i )＋2＋4i 3＋4i

. 考点 复数的乘除法运算法则

题点 乘除法的运算法则

解 (1)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i) ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎫34－14i (1＋i) ＝⎝

⎛⎭⎫－32＋12i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32－12＋⎝⎛⎭

⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32

i. (2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i

＝i

2＋i ＝i (2－i )5＝15＋25i. (3)(1－4i )(1＋i )＋2＋4i 3＋4i ＝5－3i ＋2＋4i 3＋4i

＝7＋i 3＋4i ＝(7＋i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )

＝

21－28i ＋3i ＋425＝25－25i 25＝1－i. 反思与感悟 (1)按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算．

(2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似．

跟踪训练1 计算：

(1)(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)；

(2)3＋2i 2－3i ＋3－2i 2＋3i

； (3)(i －2)(i －1)(1＋i )(i －1)＋i

. 考点 复数的乘除法运算法则

题点 乘除法的运算法则

解 (1)(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)

＝(24＋8i －6i ＋2)－(28＋21i －4i ＋3)

＝(26＋2i)－(31＋17i)＝－5－15i.

(2)3＋2i 2－3i ＋3－2i 2＋3i

＝i (2－3i )2－3i ＋－i (2＋3i )2＋3i

＝i －i ＝0. (3)(i －2)(i －1)(1＋i )(i －1)＋i ＝i 2－i －2i ＋2i －1＋i 2－i ＋i

＝1－3i －2＋i ＝(1－3i )(－2－i )(－2＋i )(－2－i )

＝－2－i ＋6i ＋3i 25＝－5＋5i 5

＝－1＋i.

类型二 i 的运算性质

例2 计算：(1)2＋2i (1－i )2＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫21＋i 2 016； (2)i ＋i 2＋…＋i 2 017.

考点 虚数单位i 及其性质

题点 虚数单位i 的运算性质 解 (1)原式＝2(1＋i )－2i

＋⎝⎛⎭⎫22i 1 008 ＝i(1＋i)＋(－i)1 008

＝i ＋i 2＋(－1)1 008·i 1 008

＝i －1＋i 4×252

＝i －1＋1

＝i.

(2)方法一 原式＝i (1－i 2 017)1－i ＝i －i 2 018

1－i

＝

i －(i 4)504·i 2

1－i ＝i ＋11－i ＝(1＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2i 2

＝i. 方法二 因为i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝i n (1＋i ＋i 2＋i 3)＝0(n ∈N *)，

所以原式＝(i ＋i 2＋i 3＋i 4)＋(i 5＋i 6＋i 7＋i 8)＋…＋(i 2 013＋i 2 014＋i 2 015＋i 2 016)＋i 2 017

＝i 2 017＝(i 4)504·i ＝1504·i ＝i.

反思与感悟 (1)等差、等比数列的求和公式在复数集C 中仍适用，i 的周期性要记熟，即i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N *)．

(2)记住以下结果，可提高运算速度

①(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i ；

②1－i 1＋i ＝－i ，1＋i 1－i

＝i ；

③1i

＝－i. 跟踪训练2 (1)⎝ ⎛⎭

⎪⎫1＋i 1－i 2 017＝________. 考点 虚数单位i 及其性质

题点 虚数单位i 的运算性质

答案 i

解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤(1＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i ) 2 017＝⎝⎛⎭⎫2i 2 2 017 ＝i 2 017＝(i 4)504·i ＝1504·i ＝i.

(2)化简i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100.

考点 虚数单位i 及其性质

题点 虚数单位i 的运算性质

解 设S ＝i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100，①

所以i S ＝i 2＋2i 3＋…＋99i 100＋100i 101，②

①－②得

(1－i)S ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 100－100i 101

＝i (1－i 100)

1－i －100i 101＝0－100i ＝－100i.

所以S ＝－100i 1－i ＝－100i (1＋i )(1－i )(1＋i )

＝－100(－1＋i )2 ＝50－50i.

所以i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100＝50－50i.

类型三 共轭复数及其应用

例3 把复数z 的共轭复数记作z ，已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，求z .

考点 共轭复数的定义与应用

题点 利用定义求共轭复数

解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，

由已知得(1＋2i)(a －b i)＝(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，

由复数相等的定义知，⎩

⎪⎨⎪⎧ a ＋2b ＝4，

2a －b ＝3，得a ＝2，b ＝1， 所以z ＝2＋i.

引申探究

例3条件改为z (z ＋2)＝4＋3i ，求z .

解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )．则z ＝x －y i ，

由题意知，(x －y i)(x ＋y i ＋2)＝4＋3i.

得⎩⎪⎨⎪⎧

x (2＋x )＋y 2＝4，

xy －y (x ＋2)＝3. 解得⎩⎨⎧ x ＝－1－

112，y ＝－32

或⎩⎨⎧ x ＝－1＋112，y ＝－32， 所以z ＝⎝⎛⎭⎫－1－112－32i 或z ＝⎝

⎛⎭⎫－1＋112－32i. 反思与感悟 当已知条件出现复数等式时，常设出复数的代数形式，利用复数相等的充要条件转化为实数问题求解．

跟踪训练3 已知复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z .

考点 共轭复数的定义与应用

题点 利用定义求共轭复数

解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝

a 2＋

b 2＝1，

即a 2＋b 2＝1.①

因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(3b ＋4a )i 是纯虚数，所以3a －4b ＝0，且3b ＋4a ≠0.② 由①②联立，解得⎩⎨⎧ a ＝45，b ＝35或⎩⎨⎧ a ＝－45，b ＝－35.

所以z ＝45－35i 或z ＝－45＋35

i.

1．设复数z 满足i z ＝1，其中i 为虚数单位，则z 等于( )

A ．－i

B ．i

C ．－1

D ．1

考点 复数的乘除法运算法则

题点 利用乘除法求复数中的未知数

答案 A

解析 z ＝1i

＝－i. 2．若z ＝4＋3i(i 为虚数单位)，则z |z |等于( ) A ．1

B ．－1 C.45＋35

i D.45－35i 考点 复数的乘除法运算法则

题点 乘除法的运算法则

答案 D

解析 z ＝4＋3i ，|z |＝5，z |z |＝45－35i. 3．已知(1－i )2z

＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z 等于( ) A ．1＋i

B ．1－i

C ．－1＋i

D ．－1－i

考点 复数四则运算的综合应用

题点 复数的混合运算

答案 D

解析 因为(1－i )2z

＝1＋i ， 所以z ＝(1－i )21＋i ＝－2i 1＋i

＝－2i (1－i )2＝－1－i. 4．设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若z ＝2i 3

1＋i

，则z ＝________. 考点 共轭复数的定义与应用

题点 利用定义求共轭复数

答案 －1＋i

解析 z ＝2i 3

1＋i ＝－2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝－1－i ， 所以z ＝－1＋i.

5．已知复数z 满足：z ·z ＋2z i ＝8＋6i ，求复数z 的实部与虚部的和．

考点 共轭复数的定义与应用

题点 与共轭复数有关系的综合问题

解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，

则z ·z ＝a 2＋b 2，

∴a 2＋b 2＋2i(a ＋b i)＝8＋6i ，

即a 2＋b 2－2b ＋2a i ＝8＋6i ，

∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－2b ＝8，2a ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝3，

b ＝1， ∴a ＋b ＝4，

∴复数z 的实部与虚部的和是4.

1．复数代数形式的乘除运算

(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．

(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．

2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．

3．复数问题实数化思想．

复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等的充要条件转化.

一、选择题

1．i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7等于( ) A ．0

B ．2i

C ．－2i

D ．4i

考点 虚数单位i 及其性质

题点 虚数单位i 的运算性质

答案 A

解析 1i ＝－i ，1i 3＝i ，1i 5＝－i ，1i 7＝i ， ∴1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7＝0. 2．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为( )

A ．6－4i

B ．－6－4i

C ．6＋4i

D ．－6＋4i 考点 复数的乘除法运算法则

题点 乘除法的运算法则

答案 D

解析 (1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i.

3．已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z 等于( )

A ．－2－i

B ．－2＋i

C ．2－i

D ．2＋i 考点 复数的乘除法运算法则

题点 利用乘除法求复数中的未知数

答案 C

解析 由(z －1)i ＝1＋i ，两边同乘以－i ，则有z －1＝1－i ，所以z ＝2－i.

4．已知复数z 1＝3－b i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2

是实数，则实数b 等于( ) A ．6

B ．－6

C ．0

D.16 考点 复数的乘除法运算法则

题点 利用乘除法求复数中的未知数 答案 A

解析 ∵z 1z 2＝3－b i 1－2i ＝(3－b i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )

＝3＋2b ＋(6－b )i 5

是实数， ∴6－b ＝0，∴实数b 的值为6，故选A.

5．已知i 为虚数单位，图中复平面内的点A 表示复数z ，则表示复数z 1＋i

的点是( )

A ．M

B ．N

C ．P

D ．Q

考点 复数的乘除法运算法则

题点 运算结果与点的对应关系

答案 D

解析 由图可知z ＝3＋i ，

所以复数z

1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i 2＝2－i 表示的点是Q (2，－1)．故选D. 6．设复数z 满足1＋z 1－z

＝i ，则|z |等于( ) A ．1 B. 2 C. 3

D ．2 考点 复数的乘除法运算法则

题点 利用乘除法求复数中的未知数

答案 A

解析 由1＋z 1－z

＝i ， 得z ＝－1＋i 1＋i

＝(－1＋i )(1－i )2＝2i 2＝i ， |z |＝|i|＝1.

7．若z ＋z ＝6，z ·z ＝10，则z 等于( )

A ．1±3i

B ．3±i

C ．3＋i

D ．3－i 考点 共轭复数的定义与应用

题点 与共轭复数有关的综合问题

答案 B

解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，

则z ＝a －b i ，

所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝6，a 2＋b 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝3，

b ＝±

1，则z ＝3±i. 8．计算(－1＋3i )3(1＋i )6＋－2＋i 1＋2i

的值是( ) A ．0

B ．1

C ．2i

D ．i 考点 复数四则运算的综合应用

题点 复数的混合运算

答案 C

解析 原式＝(－1＋3i )3[(1＋i )2]3＋(－2＋i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )

＝(－1＋3i )3(2i )3＋－2＋4i ＋i ＋25 ＝⎝⎛⎭

⎫－12＋32i 3－i

＋i ＝1－i ＋i ＝i (－i )i

＋i ＝2i. 二、填空题

9．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则a b

的值为________． 考点 复数的乘除法运算法则

题点 利用乘除法求复数中的未知数

答案 2

解析 因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，

又a ，b ∈R ，所以1＋b ＝a 且1－b ＝0，

得a ＝2，b ＝1，所以a b

＝2. 10．若复数z 满足(3－4i)z ＝4＋3i(i 是虚数单位)，则|z |＝________.

考点 复数的乘除法运算法则

题点 利用乘除法求复数中的未知数

答案 1

解析 因为(3－4i)z ＝4＋3i ，

所以z ＝4＋3i 3－4i ＝(4＋3i )(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝25i 25

＝i. 则|z |＝1.

11．定义一种运算：⎣⎢⎡⎦⎥⎤

a

b c d ＝ad －bc .则复数⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －12 3i 的共轭复数是________．

考点 共轭复数的定义与应用

题点 利用定义求共轭复数

答案 －1－3i

解析 ⎣⎢⎡⎦

⎥⎤1＋i －12 3i ＝3i(1＋i)＋2＝－1＋3i ， ∴其共轭复数为－1－3i.

三、解答题

12．已知z ，ω为复数，(1＋3i)z 为纯虚数，ω＝z 2＋i

，且|ω|＝52，求ω. 考点 复数的乘除法运算法则

题点 乘除法的综合应用

解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，

则(1＋3i)z ＝a －3b ＋(3a ＋b )i.

由题意得a －3b ＝0,3a ≠－b .

因为|ω|＝⎪⎪⎪⎪

⎪⎪z 2＋i ＝52， 所以|z |＝a 2＋b 2＝510，

将a ＝3b 代入，解得a ＝15，b ＝5或a ＝－15，b ＝－5，

故ω＝±15＋5i 2＋i

＝±(7－i)． 13．已知复数z ＝1＋i.

(1)设ω＝z 2＋3z －4，求ω；

(2)若z 2＋az ＋b z 2－z ＋1

＝1－i ，求实数a ，b 的值． 考点 复数四则运算的综合应用

题点 与混合运算有关的未知数求解

解 (1)因为z ＝1＋i ，

所以ω＝z 2＋3z －4＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i.

(2)因为z ＝1＋i ，

所以z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝(1＋i )2＋a (1＋i )＋b (1＋i )2－(1＋i )＋1

＝1－i ， 即(a ＋b )＋(a ＋2)i i

＝1－i ， 所以(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝(1－i)i ＝1＋i ，

所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2＝1，a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝－1，

b ＝2.

四、探究与拓展

14．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)(n －m i)为实数的概率为________．

考点 复数的乘除法运算法则

题点 乘除法的综合应用

答案 16

解析 易知(m ＋n i)(n －m i)＝mn －m 2i ＋n 2i ＋mn ＝2mn ＋(n 2－m 2)i.

若复数(m ＋n i)(n －m i)为实数，

则m 2＝n 2，即(m ，n )共有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，6种情况，

所以所求概率为636＝16

. 15．设z 是虚数，ω＝z ＋1z

是实数，且－1<ω<2. (1)求|z |的值及z 的实部的取值范围；

(2)设μ＝1－z 1＋z

，求证：μ为纯虚数． 考点 复数四则运算的综合应用

题点 与四则运算有关的问题

(1)解 因为z 是虚数，

所以可设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)，

则ω＝z ＋1z ＝(x ＋y i)＋1x ＋y i ＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i. 因为ω是实数，且y ≠0，

所以y －y x 2＋y 2＝0， 即x 2＋y 2＝1.

所以|z |＝1，此时ω＝2x .

又－1<ω<2，所以－1<2x <2.

所以－12

⎫－12，1. (2)证明 μ＝1－z 1＋z ＝1－(x ＋y i )1＋(x ＋y i )

＝

(1－x －y i )(1＋x －y i )(1＋x )2＋y 2 ＝1－x 2－y 2－2y i 1＋2x ＋x 2＋y 2

. 又x 2＋y 2＝1，所以μ＝－y 1＋x

i. 因为y ≠0，所以μ为纯虚数．

复数的四则运算

复数代数形式的四则运算 制作人：高二数学组 学习目标 1、掌握复数的加法、减法、乘法、除法的运算法则。 2、能够熟练准确的运用法则解决相关的实际问题。 3、掌握共轭复数的概念及性质。 重点：复数的加法、减法、乘法、除法的运算法则。 难点：共轭复数的概念及性质。 一、复习 1、虚数单位 ，有 。 2、复数的代数形式 ，其中a 为 ，b 为 。 3、对于 ),(,R b a bi a z ∈+=， ①、当 ，z 为实数； ②、当 ，z 为虚数； ③、当 ，z 为纯虚数。 4、若 di c z bi a z +=+=21,，则?=21z z 。 特别的：若0=+bi a ，则 。 二、新授 思考：复数可以相等，那么复数是否可以四则运算？ <一>、复数的加法法则如下： 设di c z bi a z +=+=21,是任意两个复数，那么 =+++)()(di c bi a 。 复数的加法满足交换律： 。 结合律： 。 <二>、复数的减法法则如下： 设di c z bi a z +=+=21,是任意两个复数，那么 =+-+)()(di c bi a 。 练习 1、)43()42(i i -++ 2、)32()2(i i +-- 3、)23(5i +- 4、)43()2()65(i i i +--+- <三>、乘法法则 设di c z bi a z +=+=21,是任意两个复数，那么 =++))((di c bi a 。 例：1、)32)(43(i i ++ 2、)2)(43)(21(i i i +-+-

练习 1、)3)(67(i i -- 2、)43)(43(i i -+ <四>、除法法则 设di c z bi a z +=+=21,是任意两个复数，那么 =+÷+)()(di c bi a 0)(≠+di c 。 例题：1、)43()21(i i -÷+ 2、i 1 练习： （1）i i -+11 （2） i i 437++ 小结： 复数的四则运算法则： 。 三、课堂检测 <一>选择题 1、若i i z 21-=+，则=-1z （ ） A 、I B 、2i C 、-3i D 、-4i 2、复数i i 1+-=（ ） A 、i 2- B 、 i 21 C 、0 D 、i 2 3、若复数 i i z ,1+=为虚数单位，则=?+z z )1(（ ） A 、i 31+ B 、i 33+ C 、i -3 D 、3 二、填空题 1、=+--)13()26(i i 。 2、设复数i z +=1，则=+2 2z z 。 三、解答题 1、已知i y y i x )3()12(--=+-，其中x 是纯虚数，y 是实数，求y x ,的值。

复数的乘法与除法

复数的乘法与除法 教学目标 （1）掌握复数乘法与除法的运算法则，并能熟练地实行乘、除法的运算； （2）能应用i和的周期性、共轭复数性质、模的性质熟练地实行解题； （3）让学生领悟到“转化”这个重要数学思想方法； （4）通过学习复数乘法与除法的运算法则，培养学生探索问题、分析问题、解决问题的水平。 教学建议 一、知识结构 二、重点、难点分析 本节的重点和难点是复数乘除法运算法则及复数的相关性质．复数的代数形式相乘，与加减法一样，能够按多项式的乘法实行，但必须在所得的结果中把换成－1，并且把实部与虚部分合并．很明显，两个复数的积仍然是一个复数，即在复数集内，乘法是永远能够实施的，同时它满足并换律、结合律及乘法对加法的分配律．规定复数的除法是乘法的逆运算，它同多项式除法类似，当两个多项式相除，能够写成分式，若分母含有理式时，要实行分母有理化，而两个复数相除时，要使分母实数化，即分式的分子和分母都乘以分母的共轭复数，使分母变成实数． 三、教学建议

1．在学习复数的代数形式相乘时，复数的乘法法则规定按照如下法则实行．设 是任意两个复数，那么它们的积： 也就是说．复数的乘法与多项式乘法是类似的，注意有一点不同即必须在所得结果中把换成一1，再把实部，虚部分别合并，而不必去记公式． 2．复数的乘法不但满足交换律与结合律，实数集R中整数指数幂的运算律，在复数集C中仍然成立，即对任何，，及，有： ，，； 对于复数只有在整数指数幂的范围内才能成立．因为我们尚未对复数的分数指数幂实行定 义，所以如果把上述法则扩展到分数指数幂内使用，就会得到荒谬的结果。如，若由，就会得到的错误结论，对此一定要重视。 3．讲解复数的除法，能够按照教材规定它是乘法的逆运算，即求一个复数，使它满足 （这里，是已知的复数）．列出上式后，由乘法法则及两个复数相等的条件得： ， 由此 ，

复数的加减和乘除运算

§3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义(一) 学习目标： 1. 掌握复数的加法和减法运算及意义 2. 理解复数加减法运算的几何意义 学习过程： 1.复数的加法和减法的运算 （1）复数的加法法则：12z a bi Z c di =+=+与，则________________21=+z z （2）复数的减法法则：12 z a bi Z c di =+=+与，则________________ 21=-z z (3) 复数的加法运算满足交换律: z 1+z 2=z 2+z 1. (4)复数的加法运算满足结合律: (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3) 例1．计算： （1）(14)(72)i i +-+ （2）(72)(14)i i -++ （3）[(32)(43)](5)i i i --++++ （4）(14)(72)i i +-- （5）(52)(14)(23)i i i --+--+ （6）(32)(43)(5)]i i i --+-+-[ 2．复数加法和减法的几何意义： 例2 已知四边形ABCD 是复平面内的平行四边形，且A,B,C 三点对应的复数分别是1+3i, -i,2+i,求点D 对应的复数。 练习： 1. 计算(－])23()23[()23()32i i i ++---++=____. 2. 计算(2x +3yi )－(3x －2yi )+(y －2xi )－3xi =________(x 、y ∈R ). 3. (1－2i )+(－2+3i )+(3－4i )+(－4+5i )+…+(－2002+2003i )+(2003－2004i ) 4.复数z 1=1+2i ，z 2=－2+i ，z 3=－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数. 5. 已知复数z 1=2+i ，z 2=1+2i 在复平面内对应的点分别为A 、B ，求AB 对应的复数z ，z 在平面内所对应的点在第几象限

复数运算法则

复数运算法则 复数可以定义为一种数学概念，它由实数和虚数组成，比如：a+bi，其中a为实部，b为虚部，而i为虚数单位，它有着独特的运算法则。 一、关于复数的加减乘除 1、加法：复数的加法运算比较简单，该法则定义的是，实部之和的和虚部之和的和即为两个复数的总和，如 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,其中a,b,c,d都为实数。 2、减法：在减法运算中，该法则定义为，第一个复数减去第二个复数，实部之差和虚部之差即为差，如(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b- d)i。 3、乘法：在乘法运算中，该法则定义为，复数的乘积的实部为实部的乘积之差，虚部的乘积之和，如(a+bi)*(c+di)=(ac- bd)+(ad+bc)i。 4、除法：在除法运算中，该法则定义为，复数的商的实部为复数实部和虚部的乘积之和除以实部和虚部的乘积之差，虚部的商为复数虚部和实部的乘积之和除以实部和虚部的乘积之差，如 (a+bi)/(c+di)=[(ac+bd)/(c+d)]+[(bc-ad)/(c+d)]i。 二、关于复数的指数和根 1、指数：在幂运算中，该法则定义为，复数的n次幂为实部的n次幂乘以虚部的n次幂的复数，如(a+bi)=(a+ bi). 2、根：在开k次根运算中，该法则定义为，复数的k次根为实

部的k次根和虚部的k次根的加权平均，如 (a+bi)/k=[(a+bn)/k]+[(an+b)/k]i. 三、关于复数的联立方程解 联立方程解是复数运算法则的另一重要组成部分，当一个复数问题时，可以将其分解为多组联立方程，然后逐步解决，比如：若要求解复数ax+bx+c=0，其中a,b,c皆为实数，则其输出结果为： x=[-b±√(b-4ac)]/(2a) 以上就是复数运算法则的简要介绍，可以看出，复数运算法则既丰富又复杂，同时它在解决复杂问题时显得尤为重要。复数的运算不仅可以增加我们处理复数问题的准确性，而且可以加深我们对复数的理解，这也是其存在的价值所在。

3.2.2复数的四则运算

高中数学教案 选修2--2第3章 复数 课 题：§3.2.2复数的四则运算 教学目的： 知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算 过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题 情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。 教学重点：复数代数形式的除法运算。 教学难点：对复数除法法则的运用。 教具准备：多媒体、实物投影仪。 教学设想：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ?a =c ，b =d ，只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 教学过程： 学生探究过程： 1.虚数单位i :(1)它的平方等于-1，即 2 1i =-; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立 2. i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i 3. i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =1 4.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示* 3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a +bi 的形式，叫做复数的代数形式 4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0. 5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C . 6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ?a =c ，b =d 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 7. 复平面、实轴、虚轴： 点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数

复数的代数形式的乘除运算

3．2.2 复数代数形式的乘除运算 一、教学目标： （1）掌握复数乘法与除法的运算法则，并能熟练地进行乘、除法的运算； （2）能应用i和的周期性、共轭复数性质、模的性质熟练地进行解题； （3）让学生领悟到“转化”这一重要数学思想方法； （4）通过学习复数乘法与除法的运算法则，培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力。 二、重点、难点分析 本节的重点和难点是复数乘除法运算法则及复数的有关性质． 复数的代数形式相乘，与加减法一样，可以按多项式的乘法进行，但必须在所得的结果中把换成－1，并且把实部与虚部分合并．很明显，两个复数的积仍然是一个复数，即在复数集内，乘法是永远可以实施的，同时它满足并换律、结合律及乘法对加法的分配律．规定复数的除法是乘法的逆运算，它同多项式除法类似，当两个多项式相除，可以写成分式，若分母含有理式时，要进行分母有理化，而两个复数相除时，要使分母实数化，即分式的分子和分母都乘以分母的共轭复数，使分母变成实数． 三、教学过程： 设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)， 问题1：如何规定两复数相乘？ 提示：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．即 z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝ac＋bc i＋ad i＋bd i2＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i. 问题2：根据问题1中的规定复数的乘法运算是否满足交换律、结合律、分配率？ 提示：满足． z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i， z2z1＝(c＋d i)(a＋b i)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.

【新教材精创】7.2.2 复数的乘除运算 教学设计(2)-人教A版高中数学必修第二册

【新教材】7.2.2 复数的乘除运算 教学设计（人教A版） 复数四则运算是本章的重点，复数代数形式的乘法与多项式乘法是类似的，不同的是即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．复数的除法运算法则是通过分子分母同时乘分母的共轭复数，将分母实数化转化为乘法运算而得出的.渗透了转化的数学思想方法，使学生体会数学思想的素材. 课程目标： 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算； 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律; 3.理解且会求复数范围内的方程根. 数学学科素养 1.数学抽象：复数乘法、除法运算法则; 2.逻辑推理：复数乘法运算律的推导; 3.数学运算：复数四则运算; 4.数学建模：结合实数范围内求根公式和复数四则运算，解决复数范围内的方程根问题. 重点：复数代数形式的乘法和除法运算． 难点：求复数范围内的方程根. 教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练. 教学工具：多媒体. 一、情景导入 前面学习了复数的加法、减法运算，根据多项式的乘法、除法运算法则猜测复数的乘法、除法满足何种运算法则？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课 阅读课本77-79页，思考并完成以下问题 1、复数乘法、除法的运算法则是什么？ 2、复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法则是否相同？如何应用共轭复数解决问题？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究 1．复数代数形式的乘法法则 已知z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. [提示]复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、

高中数学_复数代数形式的乘除运算教学设计学情分析教材分析课后反思

3. 2. 2 复数代数形式的乘除运算教学设计 主备人： 学习目标 1．理解并掌握复数代数形式的乘法与除法运算法则，理解除法是乘法运算的逆运算. 2．理解并掌握复数的乘法实质就是多项式展开，除法运算实质是分母实数化类问题． 重点：复数的乘除运算法则及其应用． 难点：复数的代数形式的化简． 学习过程 一．认知预习 阅读教材P109-P111页的内容，并解答问题： 1、类比两个多项式相乘，()()a b c d ac ad bc bd ++=+++。你能总结出复数相乘的运算规则吗？ 设1z a bi =+，2z c di =+(,,,)a b c d R ∈是任意两个复数

二、探究新知 探究一、乘法运算律： ①交换律：1221z z z z =，②结合律：()()123123z z z z z z =，③分配律： ()1231213z z z z z z z +=+. 这些运算律对复数成立吗？你能推导①吗？ 小试牛刀 (1) (2＋i)(2－i) （2）1-2i 3+4i -2+i ⋅⋅（）（）（）

（3）3+4i 3-4i （）（） 2 41+i （）（） 思考：观察（1）（3）计算结果，它们的实部与虚部有什么特点？ 探究二、共轭复数 共轭复数有什么特点？ 1、实部虚部特点： 2、模有什么关系：

3、乘积有什么特点： 总结共轭复数的概念： 探究三、复数除法、运算规则 类比实数的除法 如：（1）34342-3= 2-3a a a a ++÷（）（） 22÷==(2)（（ 两个实数相除可以写成分数的形式，在进行复数运算的时候我们也将复数相除写成分数的形式 如： 12(12)(34)34i i i i ++÷-=-

复数的乘除运算教案

复数的乘除运算教案 一、知识目标 1.理解复数的乘法和除法的定义与规则。 2.掌握复数的乘法和除法的计算方法。 3.能够灵活应用复数的乘法和除法解决实际问题。 二、教学重难点 1.掌握复数的乘法和除法的基本知识。 2.能够在解决实际问题中使用复数的乘法和除法。 三、教学过程 1.复习 通过复数的定义和基本运算的讲解，复习复数的加减法、共轭和模的概念和计算方法。 2.乘法 (1)定义：设两个复数分别为z1=a+bi，z2=c+di，乘积为 z=z1×z2=(a+bi)×(c+di)。按照运算法则展开并进行化简，即可得到z=(ac-bd)+(bc+ad)i，这就是复数的乘法公式。 (2)计算：教师给出若干道复数乘法的例题，让学生自主练习，并在黑板上讲解解题方法和答案。 (3)注意点：在乘法中，共轭复数的乘积等于它们的模平方，即：|z1z2|=|z1|×|z2|。 3.除法 (1)定义：设两个复数分别为z1=a+bi，z2=c+di，商为 z=z1÷z2=(a+bi)÷(c+di)。将分子分母同时乘以共轭数的商，即可得到z=[(a+bi)×(c-di)]÷[(c+di)×(c-di)]。按照运算法则展开并进行化简，即可得到z=[(ac+bd)/(c²+d²)]+[(bc-ad)/(c²+d²)]i，这就是复数的除法公式。 (2)计算：教师给出若干道复数除法的例题，让学生自主练习，并在黑板上讲解解题方法和答案。

(3)注意点：在除法中，一个任意的非零复数的倒数是它的共轭数与模平方的商，即：1/z= z*÷|z|²。 四、实例讲解 教师根据实际问题，构造一些需要使用复数乘、除法进行计算的题目，让学生实际运用所学知识计算，并提高自己的解决实际问题的能力。 五、总结反思 教师对所学知识进行归纳和总结，并让学生进行合作讨论，分享自己的学习体会和感悟，以达到知识的深化和加深。 六、课后作业 教师布置数道和本课学习内容相关的练习题，让学生巩固所学知识，加深对知识点的理解和掌握。同时要求学生思考如何在实际问题中应用所学知识。

高中数学_复数代数形式的乘除运算教学设计学情分析教材分析课后反思

复数代数形式的乘除运算 一 教学目标： 1. 掌握复数代数形式的乘法法则和除法法则，并会应用。 2. 了解共轭复数的定义。 3. 培养学生归纳类比的数学方法。 教学重点：掌握复数的乘法和除法法则。 教学难点：掌握复数的乘法和除法法则。 二 教学过程 1.复习复数的加减运算。 2 新授课 首先根据复数的加减法法则与多项式的加减一样，类比出复数的乘法法则，进而导出复数的运算律，通过习题，并进一步得到共轭复数的定义。再次，类比分母有理化推导出复数的除法公式。 三 课堂小节 四 课堂练习及课后作业 本节课在复数加减运算的基础上进一步学习乘除运算，学生积极性较高，能把复数的乘法运算与多项式联系起来，从而更易理解和掌握运算则。在掌握除法运算时能够类比根式的分母有理化的化简，减少了复数除法运算的难度。 本节课学生在老师的指导下，积极主动参与，能够掌握复数的乘除法运算法则并能熟练应用，获得了知识，发展了能力，培养了学习的兴趣及归纳类比能力。 本节课是这一章的重点，在高考中也占有重要的地位，是重要的出题点，难度中等。引入新课时先对复数的加减运算做了复习，然后过渡到复数的乘法运算，并结合多项式的乘法推导出复数的乘法法则及运算律，引出共轭复数的定义，最后推导出复数的除法法则。本节课的 1. 2. 若复数z=1+i (i 为虚数单位) 是z 的共轭复数，则 + 的虚部为（ ） A. 0 B. -1 C. 1 D. -2 3.(2015全国卷) 设复数z 满足 i z 1z 1=-+，则z 为（） A 1 B 2 C 3 D2 4.已知复数 2x x 2-++（2x -3x+2）i （x R ∈）是4-20i 的共轭复数，求x 的值。 () )()()12(2)i i i -++-2z 2z

复数共轭与乘除运算

复数共轭与乘除运算 一、引言 复数是数学中一个重要的概念，它包含了实部和虚部，常表示为a+bi的形式，其中a和b分别为实部和虚部。在复数运算中，复数共轭和乘除运算是两个基本 且常见的运算，本文将详细介绍复数共轭和乘除运算的概念、性质以及运算规则。 二、复数共轭 复数的共轭是指保持实部不变，虚部变号的操作，记为z的共轭为z。假设一 个复数z=a+bi，则其共轭为z=a-bi。可以发现共轭操作不改变实部，只是改变虚部的符号。复数共轭的性质包括： - (z) = z（共轭的共轭等于原复数） - (z+w)* = z* + w* （共轭的和等于各自共轭的和） - (zw)* = z* w* （共轭的积等于各自共轭的积） 三、复数乘法 复数乘法遵循分配律和交换律，假设有两个复数z1=a+bi和z2=c+di，则它们 的乘积为： z1z2 = (a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i。可 以看出，复数乘法的实部由两复数的实部和虚部共同得出，虚部也是如此。复数乘法的性质包括： - 交换律：z1z2 = z2z1 - 分配律：z1(z2+z3) = z1z2 + z1z3 四、复数除法 复数除法需要用到复数乘法的逆运算——倒数，如果一个复数z=a+bi的倒数 为1/(a+bi) = (a-bi)/(a2+b2)。则复数z1除以复数z2的商为： z1/z2 = z1 * z2* / |z2|^2。其中|z|为复数z的模（绝对值）。复数除法的性质包括： - 除零不定律： 不允许一个复数除以0，因为0没有倒数。 - 乘法分配律：(z1/z2)z2 = z1 （乘法 分配到除法） 五、结论 复数共轭、乘法和除法是复数运算中重要的概念和操作，它们为复数的运算提 供了基础和规则。通过对复数共轭和乘除运算的学习与理解，我们可以更好地理解和应用复数，在数学和工程领域中有着广泛的应用。希望本文的讲解能够帮助读者深入了解复数的运算规则与特性。 这篇文章涵盖了复数共轭及乘除运算的基本概念、性质和运算规则，希望对读 者有所帮助。

复数运算公式大全

复数运算公式大全 1. 加法公式： (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i 2. 减法公式： (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i 3. 乘法公式： (a + bi) × (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i 4. 除法公式： (a + bi) ÷ (c + di) = [(ac + bd) + (bc - ad)i] ÷ (c² + d²) 5. 共轭公式： (a + bi)的共轭是(a - bi) 6. 模长公式： |a + bi| = √(a² + b²) 7. 指数形式公式： (a + bi) = |a + bi| × e^(iθ)

其中，θ = arctan(b/a) (a≠0) 8. 复数的幂公式： (a + bi)^n = (a^n - b^n) + i(nab^(n-1)) 9. 虚数单位公式： i² = -1 10. 欧拉公式： e^(iθ) = cosθ + i sinθ 11. 三角函数公式： sinθ = (e^(iθ) - e^(-iθ)) ÷ 2i cosθ = (e^(iθ) + e^(-iθ)) ÷ 2 12. 反三角函数公式： arcsin(z) = -i ln(iz + √(1 - z²)) arccos(z) = -i ln(z + i√(1 - z²)) 13. 对数公式： ln(z) = ln|z| + i arg(z)

其中，arg(z)表示复数z的幅角，若z是正实数，则arg(z) = 0。

复数的代数形式的乘除法

§3.2.2复数代数形式的乘除运算导学案 一．学习目标： 1 理解复数代数形式的乘法，除法运算法则 2 能运用运算律进行复数的四则运算3.理解共轭复数的概念 二．教学重点： 复数的乘法，除法 难点复数的除法 三．学法指导： 可用待定系数法以及分子分母同乘共轭复数来求复数的商 四．知识链接： 问题（1）：复数的加法，减法，和乘法法则分别是什么？ 问题（2：两个复数的积怎样运算 ？复数的除法能作为复数乘法的逆运算吗？ 问题（3）类比复数的和，差，积，复数的商仍然是复数吗？ 六．学习过程： 1. 复数的乘法法则： ),,,(,21R d c b a di c z bi a z ∈+=+= 则_________________21=z z 两个复数的积依然是一个复数，它的实部是 ，它的虚部是 总结：其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2 i 换成－1，并且 把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数 2.复数的乘法满足交换律、 、 对任何123,,z z z 即有21z z ⋅= 321z z z ⋅⋅= =+)(321z z z （自主学习）例1计算()()()i i i +-+-24321 练习巩固：[(32)(43)](5)i i i -⨯-+⨯+ 课堂练习 课本111页1、2 3共轭复数： 练习：出下列复数的共轭复数32,43,5,52,7,2i i i i i --++--。 4.复数的除法：：复数除法定义： 满足()()()bi a yi x di c +=++的复数()R y x yi x ∈+,叫复数bi a +除以复数di c +

高中数学_复数代数形式的加减乘除运算及其几何意义教学设计学情分析教材分析课后反思

§3.2.1 复数代数形式的运算法则及其几何意义 掌握复数的代数形式的加减运算及其几何意义、乘法运算 . 一、课前准备 （预习教材P56~ P59，找出疑惑之处） 复习：(1) 虚数单位i (2) 复数的分类？ (3) 复数相等的等价条件？ (4) 复数的几何意义是什么？ 类比实数的运算法则能否得到复数的运算法则？ 二、新课导学 探究一：复数代数形式的加法运算 问题一 1 化简下列各式： ; ; 2.类比:你能计算下列各式吗? ; (23)(1) x x ++-+11 ( )(2)22 x x ++--3(1) x x ++(2)(2) x x -+-+(76)(3)i i -+-(34)(23) i i ++--

; 3.猜想归纳: 设12,z a bi z c di =+=+，是任意两个复数，那么。 ()()a bi c di +++= （复数的加法法则） 很明显，两个复数的和仍然是 . 试一试： （1）(24)(44)i i ++- （2）(2)(12)i i -++- （3）(15)(23)(25)i i i -+--++ （4）4(2)(2) i i i -+-+-+ 问题2 计算： （1）(44)(24)i i -++ （2）( 12)(2)i i -+-+ （3）(23)[(15)(25)]i i i --+-++ （4）4[(2)(2)]i i i -+-+-+ 2.比较1与问题一中计算,类比实数加法的运算律,复数加法也有类似的性质吗? (34)(34)i i -++-2(12) i i +-

探究二 复数加法的几何意义 问题：复数与复平面内的向量有一一对应的关系.我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？ 由平面向量的坐标运算，有OZ =12OZ OZ +=（ ） 新知： 复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则） 例1 已知平行四边形OABC 的三个顶点O ，A ，C 对应的复数分别是0，3+2i ，-2+4i ，求： （1） AO 表示的复数； （2） CA 表示对复数； （3） 点B 对应的复数。 探究三：复数减法运算法则及其几何意义 问题3：若()()x yi c di a bi +++=+，根据复数相等 的定义,求x yi + 新知：复数的减法法则为：