第十二章轴对称
本章小结
小结1 本章概述
本章主要从生活中的图形入手，学习轴对称及其基本性质，欣赏、体验轴对称在现实生活中的广泛应用．在此基础上，利用轴对称探索等腰三角形的性质及其判定方法，进一步学习等边三角形的性质和判定．
轴对称是现实生活中广泛存在的一种现象，是密切数学知识与现实联系的重要内容．本章内容是上一章内容的继续．又是后面学习四边形、圆的基础，所以学好本节知识至关重要．本节中涉及轴对称、等腰三角形、等边三角形、垂直平分线等重要概念，涉及等腰三角形“等边对等角”、“三线合一”等重要性质，在学习时应特别注意．
小结2 本章学习重难点
【本章重点】
1．轴对称的概念和性质和判定．
2．等腰(或等边)三角形的性质和判定．
【本章难点】1．利用轴对称的性质进行图案设计．
2．书写推理证明过程．
小结3 学法指导
1．注意联系实际，通过观察、动手操作等直观方式掌握轴对称及等腰三角形的性质和判定，利用轴对称的观点解释生活中的有关现象，设计图案选择最佳方案等，体现知识的应用，体现具体——抽象——具体的过程．
2．注意知识间的联系．图形的轴对称变换、图形与坐标、图形的证明在本章都有涉及，注意各部分知识之间的联系，把所学知识纳入已有的知识体系．3．注意体会转化思想、类比思想、分类讨论思想在本章学习中的应用．
知识网络结构图
轴对称轴对称图形
(1)定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，
这个图形就叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴
①两个图形成轴对称(或一个图形是轴对称图形)，则对应线段
(对折后重合的线段)相等；对应角(对折后重合的角)相等
②对称轴垂直平分连接对应点的线段
(2)性质
(3)垂直平分线
定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫
做这条线段的垂直平分线
性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的
距离相等
判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段
的垂直平分线上
作轴对称图形
用坐标表示轴对称
轴对称变换：由一个平面图形得到它的轴对称图形，叫做轴对称变换
P(x，y)关于x轴的对称点的坐标为P′(x，－y)
P(x，y)关于y轴的对称点的坐标为P″(－x，y) 等腰三角形
定义：有两条边相等的三角形．叫做等腰三角形
(1)等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)
专题总结及应用
一、知识性专题
专题1 轴对称及轴对称图形
【专题解读】此部分内容是近几年中考中常见的题型，也是新题型之一，解题的依据主要是轴对称及轴对称的性质．
例1 如图12－112所示的是小方画的正方形风筝图案，她以图中的对角线所在直线为对称轴，在对角线的下方画一个三角形，使得新的风筝图案成为轴对称图形，若如图12－113所示的图形中有一图形为此轴对称图形，则此图为( )
分析本题主要考查轴对称图形的性质，即对应点连线被对称轴垂直平分，只有C为轴对称图形．故选C．
规律〃方法判断某图形是否为轴对称图形(或两个图形是否成轴对称)，关键是能否找到一条直线可将这个图形(或两个图形)沿着这条直线对折，使对折后的两部分(或两个图形)重合．
专题2 利用轴对称变换作轴对称变换后的图形及设计方案
【专题解读】利用轴对称变换设计精美图案，当对称轴改变方向时，原图形的对称图形也改变方向，一个图形经过若干次轴对称变换，再结合平移、旋转等．就可以得到非常美丽的图案．
例2 如图12－114①所示，给出了一个图案的一半，其
中的虚线就是这个图案的对称轴，请画出这个图案的另一半．
解：如图12－114②所示．
【解题策略】先作出特殊点的对称点，然后连接即可．
专题3 等腰三角形的性质和判定
【专题解读】等腰三角形的性质和判定可以用来证明角相等、线段相等以及线段垂直，这是几何证明中最重要的知识之一，它经常与其他几何知识(如四边形、圆等)综合在一起考查．
例3 如图12－115所示，AB＝AC，E，D分别在AB，AC上，BD和CE相交于点F，且∠ABD＝∠ACE．求证BF＝CF．
分析本题综合考查等腰三角形的性质和判定．由于AB＝
AC，所以作辅助线BC，则可以构造等腰三角形，从而利用等腰三
角形的性质解决问题．
证明：连接BC，
∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC(等边对等角)．
又∵∠ACE＝∠ABD，∴∠FCB＝∠FBC．
∴BF＝CF(等角对等边)．
【解题策略】本题解题时灵活运用了等腰三角形的性质和判定，也可以连辅助线AF，来证明BF＝CF，用这个方法证明要用到三角形全等，比较麻烦．
专题4 等边三角形的性质和判定
【专题解读】 等边三角形是一个很特殊的三角形，它的三边都相等，三个角都是60°，正是由于它的特殊性，因此在很多的几何证明题中都会用到．
例4 如图12－116所示，AD 是△ABC 的中线，∠ADC ＝60°，
BC ＝4，若将△ADC 沿直线AD 折叠，则C 点落在点E 的位置上，求
BE 的长．
分析 本题综合考查轴对称和等边三角形的判定和性质．
解：由折叠得∠ADE ＝∠ADC ＝60°，CD ＝DE ．
又∵BD ＝DC ，∴DE ＝BD ．
∵∠ADE ＝∠ADC ＝60°，
∴∠BDE ＝180°－60°－60°＝60°．
∴△BDE 为等边三角形．
∴BE ＝BD ＝2
1BC ＝2． 【解题策略】 本题运用了“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”这一判定方法．
专题5 含30°角的直角三角形的性质与等腰三角形的综合应用
【专题解读】 直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，这条性质在实际生活中有着广泛的应用．由角的特殊性，揭示了直角三角形中直角边和斜边的关系．
例5 如图12－117所示，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AD ⊥AC 交BC 于点D ．求证BE ＝3AD ．
分析 本题综合考查等腰三角形的性质和判定，以及直角三
角形中30°角所对的直角边是斜边的一半的性质．
证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C (等边对等角)．
又∵∠BAC ＝120°，∴∠B ＝∠C ＝30°．
∵AD ⊥AC ，∴∠DAC ＝90°．
∴∠BAD ＝∠BAC －∠DAC ＝120°－90°＝30°．∴∠B ＝∠BAD ． ∴BD ＝AD (等角对等边)．
在Rt △ADC 中，∵∠C ＝30°，∴CD ＝2AD ．
∴BC ＝BD ＋CD ＝AD ＋2AD ＝3AD ．
二、规律方法专题
专题6 正确作辅助线解决问题
【专题解读】 本章涉及等腰三角形的性质、角平分线及线段的垂直平分线
的性质，做题时可通过添加适当的辅助线由全等等知识获得结
论．
例6 如图12－118所示，∠B ＝90°，AD ＝AB ＝BC ，DE ⊥
AC ．求证BF ＝DC ．
证明：连接AE ．
∵ED ⊥AC ，∴∠ADE ＝90°．
又∵∠B ＝90°．
∴在Rt △ABE 和Rt △ADE 中，
???==,
,AE AE AD AB
∴Rt △ABE ≌Rt △ADE (HL)，∴BE ＝ED ．
∵AB ＝BC ，∴∠BAC ＝∠C ．
又∵∠B ＝90°，∴∠BAC ＋∠C ＝90°．
∴∠C ＝45°．
∵∠EDC ＝90°，∴∠C ＝∠DEC ＝45°．
∴DE ＝DC ，∴BE ＝DC ．
例7 如图12－119所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，在AB 上取一点E ，在AC 的延长线上取一点F ，使BE ＝CF ，EF 交BC 于G ．求证EG ＝FG ．
证明：过E 作EM ∥AC ，交BC 于点M ，
则∠EMB ＝∠ACB ，∠MEG ＝∠F ．
又∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ．
∴∠B ＝∠EMB ，∴EB ＝EM ．
又∵BE ＝CF ，∴EM ＝FC ．
在△MEG 和△CFG 中，
??
???=∠=∠∠=∠),()()(已证对顶角相等已证CF EM ，FGC EGM ，F MEG
∴△MEG ≌△CFG (AAS)．
∴EG ＝FG ．
三、思想方法专题
专题7 分类讨论思想
【专题解读】 本章涉及等腰三角形的边、角的计算，应通过题意探讨其可能存在的情况，运用相关知识一一讨论不难获得结论．
例8 已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为13 cm 和15 cm 两部分，试求此等腰三角形的腰长和底边长．
分析 这是一类常见的等腰三角形分类讨论的问题，解题时应注意到分为13 cm 和15 cm 两部分时的两种可能情形，进行分类讨论即可．
解：如图12－120所示，AB ＝AC ，D 为AC 的中点，
所以AD ＝CD ，
由题意知???=+=+,15,13CD BC AD AB 或?
??=+=+,13,15CD BC AD AB 解得AB ＝AC ＝
326，BC ＝3
32或AB ＝AC ＝10，BC ＝8． 即此等腰三角形的腰长与底边长分别为326cm ，3
32cm 或10 cm ，8 cm ． 规律〃方法 本题的分类讨论既可以说是来源于不同的图形．也可以说是来源于题设中的“不明确”，解题过程应从题设中挖掘出类似的信息，以使解答完整．
专题8 数形结合思想
【专题解读】 数形结合思想是比较常用的数学思想，在解有关三角形的问题时显得尤为重要．
例9 (开放题) 如图12－121所示，△ABC 中，已知AB ＝AC
，
要使AD＝AE，需添加的条件是．
分析从确定△ADE是等腰三角形着眼，若∠ADE＝∠AED，可得AD＝AE，除此以外还可加∠ADB＝∠AEC或∠BAD＝∠CAE或BD＝CE．故填∠ADE＝∠AED或∠ADB=∠AEC或∠BAD＝∠CAE或BD＝CE(答案不唯一)．
例10 (探究题)如图12－122所示，线段OP的一个端点O在直线a上，以OP为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画几个?
分析以OP为一边画等腰三角形，要考虑OP作腰和OP作底边两种情况．
解：(1)当OP作等腰三角形的腰时，分O作顶点和P作顶点两种情况．当O 作顶点，OP作腰时，则以O为圆心，OP为半径画弧，与直线a交于M1，M2两点，则△OPM1和△OPM2都是等腰三角形；当P作顶点，PO作腰时，则以P为圆心，PO 为半径画弧，交直线a于M3，则△POM3为等腰三角形． (2)当OP作等腰三角形的底边时，作OP的垂直平分线交直线a于M4，则△OPM4为等腰三角形．所以这样的等腰三角形能画4个．如图12－123所示．
例11 (动手操作题)如图12－124①所示，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，仿照图①请你再用两种不同的方法，将△ABC分割成3个三角形，使每个三角形都是等腰三角形(作图工具不限，不写作法和证明，但要标出所分得的每个等腰三角形的内角的度数)．
分析在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，所以∠B＝∠C＝72°．所以分割出的等腰三角形的底角或顶角为36°，72°，108°，18°，144°，以这些度数为基础设计分割方案，便可得出符合条件的图形．
解：如图12－124②③④⑤所示均符合要求．
2011中考真题精选
1.（2011江苏淮安，2，3分）下列交通标志是轴对称图形的是（）
A、B、C、D、
考点：轴对称图形。
分析：根据轴对称图形的概念求解，只要寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，既是轴对称图形．
解答：解：A、不是轴对称图形； B、不是轴对称图形； C、不是轴对称图形； D、是轴对称图形．
故选：D．
点评：此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.（2011?南通）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A、B、
C、D、
考点：中心对称图形；轴对称图形。
分析：结合轴对称图形与中心对称图形的定义进行分析
解答：解：A项是中心对称图形，不是轴对称图形，故本项错误，B项为中心对称图形，不是轴对称图形，故本项错误，C项为中心对称图形，也是轴对称图形，故本项正确，
D项为轴对称图形，不是中心对称图形，故本项错误故答案选择C．
点评：本题主要考察轴对称图象的定义和中心对称图形的定义，解题的关键是找到图形是否符合轴对称图形和中心对称图形的定义
3.（2011江苏无锡，6，3分）一名同学想用正方形和圆设计一个图案，要求整个图案关于正方形的某条对角线对称，那么下列图案中不符合要求的是（）
A．B． C．D．
考点：轴对称图形。
专题：数形结合。
分析：轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合．
解答：解：A、图象关于对角线所在的直线对称，两条对角线都是其对称轴；故不符合题意；
B、图象关于对角线所在的直线对称，两条对角线都是其对称轴；故不符合题意；
C、图象关于对角线所在的直线对称，有一条对称轴；故不符合题意；
D、图象关于对角线所在的直线不对称；故符合题意；
故选D．
点评：本题考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
4.（2011山西，6，2分）将一个矩形纸片依次按图（1）、图⑵的方式对折，然
后沿图（3）中的虚线裁剪，最后头将图（4）的纸再展开铺平，所得到的图
案是（ ）
考点：轴对称
专题：操作题 图形变换
分析：由图案的对称性进行想象，或动手操作一下都可．
解答：A
点评：动手折一折，动脑想一想．不难得出答案．
5. （2011四川广安，5，3分）下列几何图形：①角 ②平行四边形 ③扇形 ④
正方形，其中轴对称图形是（ ）
A ．①②③
B ．②③④
C ．①③④
D ．①②③④
考点：轴对称图形
专题：对称
分析：根据轴对称图形的概念及所给出的图形的特点可知①角，③扇形，④正方形是轴对称图形．而平行四边形是中心对称图形．
解答：C
点评：把一个图形沿着某一条直线对称，如果图形左右两边的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，解题时要注意记住初中阶段学过的哪些基本图形是轴对称图形．
6.（2011?台湾4，4分）下列有一面国旗是轴对称图形，根据选项中的图形，判断此国旗为何（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、
考点：轴对称图形。
专题：常规题型。
分析：根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．这条直线叫做对称轴．
（向上对折） 图（1）
图（3） （向右对折） 图（2） 图（4） D
C B A （第6题）
解答：解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选D．
点评：本题考查轴对称图形，注意掌握轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
7.（2011?台湾26，4分）如图1，将某四边形纸片ABCD的AB向BC方向折过去（其中AB＜BC），使得A点落在BC上，展开后出现折线BD，如图2．将B点折向D，使得B、D两点重迭，如图3，展开后出现折线CE，如图4．根据图4，判断下列关系何者正确？（）
A、AD∥BC
B、AB∥CD
C、∠ADB=∠BDC
D、∠ADB＞∠BDC
考点：翻折变换（折叠问题）。
专题：操作型。
分析：由A点落在BC上，折线为BD，根据折叠的性质得到∠ABD=∠CBD，又B 点折向D，使得B、D两点重迭，折线为CE，再根据折叠的性质得到CD=CB，然后转化为角相等，这样就有∠ABD=∠CDB，根据平行线的判定定理即可得到B正确．
解答：解：∵A点落在BC上，折线为BD，
∴∠ABD=∠CBD，
又∵B点折向D，使得B、D两点重迭，折线为CE，
∴CD=CB，
∴∠CBD=∠CDB，
∴∠ABD=∠CDB，
∴AB∥CD，即选项B正确．
故选B．
点评：本题考查了折叠的性质：折叠后重叠的两部分图形全等．也考查了动手能力和空间想象能力．
8.（2011湖北荆州，2，3分）下列四个图案中，轴对称图形的个数是（）
A、1
B、2
C、3
D、4
考点：轴对称图形．
分析：根据轴对称图形的定义1得出，图形沿一条直线对着，分成的两部分完全重合及是轴对称图形，分别判断得出即可．
解答：解：根据图象，以及轴对称图形的定义可得，
第1，2，4个图形是轴对称图形，第3个是中心对称图形，
故选：C．
点评：此题主要考查了轴对称图形的定义，根据定义判断出图形形状是解决问题的关键．
9.（2011?柳州）在三角形、四边形、五边形、和正六边形中，是轴对称图形的是（）
A、三角形
B、四边形
C、五边形
D、正六边形
考点：轴对称图形。
专题：几何图形问题。
分析：关于某条直线对称的图形叫轴对称图形．
解答：解：只有正六边形沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形．
故选D．
点评：本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形．
10.（2011?郴州）观察下列图案，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）
A、B、
C、D、
考点：中心对称图形；轴对称图形。
专题：几何图形问题。
分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解答：解：A、不是轴对称图形，不符合题意，故本选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故本选项错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意，故本选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故本选项错误．
故选C．
点评：本题考查轴对称图形及中心对称图形的知识，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图形重合．
11.（2011山东青岛，4，3分）下列汽车标志中既是轴对称又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
考点：轴对称图形；中心对称图形。
分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解答：解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形；
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
D．是中心对称图形，也是轴对称图形．
故选D．
点评：此题将汽车标志与对称相结合，掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
12.（2011泰安，19，3分）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC＝3，则折痕CE的长为（）
A．错误！未找到引用源。B．错误！未找到引用源。 C．错误！未找到引用源。D．6
考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理。
专题：探究型。
分析：先根据图形翻折变换的性质求出AC的长，再由勾股定理及等腰三角形的判定定理即可得出结论．
解答：解：∵△CED是△CEB翻折而成，
∴BC＝CD，BE＝DE，
∵O是矩形ABCD的中心，
∴OE是AC的垂直平分线，AC＝2BC＝2×3＝6，
∴AE＝CE，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2，即62＝AB2＋32，解得AB＝3错误！未找到引用源。，在Rt△AOE中，设OE＝x，则AE＝3错误！未找到引用源。－x，
AE2＝AO2＋OE2，即（33－x）2＝（33）2＋32，解得x＝错误！未找到引用源。，∴AE＝EC＝33－3＝23．
故选A．
点评：本题考查的是翻折变换，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键．
13.（2011山东省潍坊， 4，3分）如图，阴影部分是由5个小正方形涂黑组成
的一个直角图形，再将方格内空白的两个小正方形涂黑．得到新的图形(阴影部分)，其中不是
．．轴对称图形的是( )
【考点】轴对称图形．
【分析】本题需先根据轴对称图形的有关概念沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合对每一个图形进行分析即可得出正确答案．
【解答】解：A∵沿某直线折叠，分成的两部分能互相重合
∴它是轴对称图形
B、∵沿某直线折叠，分成的两部分能互相重合
∴它是轴对称图形
C、∵绕某一点旋转180°以后，能够与原图形重合
∴它是轴对称图形
D、根据轴对称定义
它不是轴对称图形
故选D．
【点评】本题主要考查了轴对称图形的有关概念，在解题时要注意轴对称图形的概念与实际相结合是本题的关键．
2011四川达州，2，3分）图中所示的几个图形是国际通用的交通标志．其中不是轴对称图形的是（）
A 、
B 、
C 、
D 、
考点：轴对称图形。
分析：根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．
解答：解：A 、B 、D 都是轴对称图形，而C 不是轴对称图形．
故选C ．
点评：本题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
14. （2011四川广安，5，3分）下列几何图形：①角 ②平行四边形 ③扇形 ④
正方形，其中轴对称图形是（ ）
A ．①②③
B ．②③④
C ．①③④
D ．①②③④
考点：轴对称图形
专题：对称
分析：根据轴对称图形的概念及所给出的图形的特点可知①角，③扇形，④正方形是轴对称图形．而平行四边形是中心对称图形．
解答：C
点评：把一个图形沿着某一条直线对称，如果图形左右两边的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，解题时要注意记住初中阶段学过的哪些基本图形是轴对称图形．
15. 2011四川泸州，11，2分）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，∠C =60°，AC =10，将BC 向BA 方向翻折过去，使点C 落在BA 上的点C ′，折痕为BE ，则EC 的长度是（ ） A.35 B.35－5 C.10－35 D.5+3
考点：翻折变换（折叠问题）．
分析：作ED ⊥BC 于D ，可得含30°的Rt △CED 及含45°的直角三角形BED ，设所求的EC 为x ，则CD =0.5x ，BD =BE = 2
3x ，根据BC =5列式求值即可． 解答：解：作ED ⊥BC 于D ，设所求的EC 为x ，则CD =
21x ，BD =BE =23x ， ∵∠ABC =90°，∠C =60°，AC =10，∴BC =AC ×cosC=5，
∵CD +BD =5，∴CE =35－5，故选B ．
点评：考查翻折变换问题；构造出含30°及含45°的直角三角形是解决本题的突破点．
16.在下列几何图形中，一定是轴对称图形的有（）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
【答案】C
【考点】轴对称图形．
【专题】几何图形问题．
【分析】根据轴对称图形的概念，分析各图形的特征求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．这条直线叫做对称轴．
【解答】解：扇形是轴对称图形，符合题意；等腰梯形是轴对称图形，符合题意；菱形是轴对称图形，符合题意；直角三角形不一定是轴对称图形，故不符合题意．共3个轴对称图形．故选C．
【点评】考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
17.12、如图．在直角坐标系中，矩形ABC0的边OA在x轴上，边0C在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD 交y轴于点E．那么点D的坐标为（）
A、
412
(,)
55
- B、
213
(,)
55
- C、
113
(,)
25
- D、
312
(,)
55
-
【答案】A
【考点】翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质．
【专题】计算题；综合题．
【分析】如图，过D作DF⊥AF于F，根据折叠可以证明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性质得到OE=DE，OA=CD=1，设OE=x，那么CE=3-x，DE=x，利用勾股定理即可求出OE的长度，而利用已知条件可以证明△AEO∽△ADF，而
AD=AB=3，接着利用相似三角形的性质即可求出DF、AF的长度，也就求出了D 的坐标．
【解答】解：如图，过D作DF⊥AF于F，
∵点B的坐标为（1，3），∴AO=1，AB=3，
根据折叠可知：CD=OA，而∠D=∠AOE=90°，∠DEC=∠AEO，
∴△CDE≌△AOE，∴OE=DE，OA=CD=1，
设OE=x，那么CE=3-x，DE=x，
∴在Rt△DCE中，CE2=DE2+CD2，
∴（3-x）2=x2+12，
∴x=4
3
，
又DF⊥AF，
∴DF∥EO，∴△AEO∽△ADF，而AD=AB=3，
∴AE=CE=3-45
33
=，∴
AE EO AO
AD DF AF
==，即
54
1
33
3DF AF
==，
∴DF=12
5
，AF=
9
5
，
∴OF=9
5
-1=
4
5
，
∴D的坐标为（- 4
5
，
12
5
）．故选A．
【点评】此题主要考查了图形的折叠问题，也考查了坐标与图形的性质，解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题．
综合验收评估测试题
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．如图12－125所示的四个中文艺术字中，不是轴对称图形的是( ) 一日千里
A B C D
图12 - 125
2．如图12－126所示，把等腰直角三角形ABC沿BD折叠，使点A落在边BC上的点E处．下面结论错误的是 ( )
A．AB＝BE B．AD＝DC C．AD＝CE D．AD＝EC
3．如图12－127所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为 ( )
A．6 B．5 C．4 D．3
4．点P(3，－5)关于x轴对称的点的坐标为 ( )
A．(－3，－5) B．(5，3) C．(－3，5) D．(3，5) 5．如图12－128所示，△ABC与△A′B′C′关于直线，对称，且∠A＝78°，∠C′＝48°，则∠B的度数为 ( )
A．48° B．54° C．74° D．78°
6．如图12－129所示的是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 ( )
A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC的三边的中垂线的交点
C．△ABC三条角平分线的交点 D．△ABC三条高所在直线的交点7．如图12－130所示的是把一张长方形的纸沿长边中点的连线对折两次后得到的图形，再沿虚线裁剪，外面部分展开后的图形是图12－131中的( )
8．如图12－132所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分别是△ABC，△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有 ( )
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
9．如图12－133所示，坐标平面内一点A(2，－1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为 ( )
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图12－134所示，∠A＝15°，AB＝BC＝CD
＝DE＝EF，则∠DEF等于 ( )
A．90° B．75°
C．70° D．60°
二、填空题(每小题3分，共30分)
11．等腰三角形ABC的两边长为2和5．则第三边长为．
12．如图12－135所示，镜子中的号码实际是．
13．如图12－136所示．△ABC中，DE垂直平分AC，交AB于E，∠A＝30°，∠ACB＝80°，则∠BCE＝°．
14．从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的底角等于．
15．如图12－137所示，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与
点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠ABE＝20°，那
么∠EFC′的度数为度．
16．若等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为35°．则这
个三角形的顶角为．
17．等边三角形是轴对称图形，它有条对称轴．
18．(1)若等腰三角形的一个内角等于130°，则其余两个角分别为．
(2)若等腰三角形的一个内角等于70°，则其余两个角分别为．
19．如图12－138所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD＝3，则点D到AB的距离为．
20．如图12－139所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，BE⊥AC于E，延长BC到D，使CD＝CE，连接DE，若△ABC的周长是24，BE＝a，则△BDE的周长是．
三、解答题(每小题10分．共60分)
21．如图12－140所示，有分别过A，B两个加油站的公路l1，l2相交于点O，现准备在∠AOB内建一个油库，要求油库的位置点P满足到A，B两个加油站的距离相等，而且P到两条公路l1，l2的距离也相等．请用尺规作图作出点P(不写作法，保留作图痕迹)．
22．如图12－141所示，∠BAC＝∠ABD．
(1)要使OC＝OD，可以添加的条件为或；(写出2个符合题意的条件即可)
(2)请选择(1)中你所添加的一个条件．证明OC＝OD．
23．如图12－142所示，△ABC中，AB＝AC，E在CA的延长线上，AE＝AF，AD是BC边上的高，试判断EF与BC的位置关系，并说明理由．
24．如图12－143所示，△ABC中，点E在AC上，点N在BC上，在AB上找一点F，使△ENF的周长最小，并说明理由．
25．如图12－144所示，某船上午11时30分在A处观测海岛B在北偏东60°方向，该船以每小时10海里的速度向正东方向航行，航行到C处时，再观测海岛B在北偏东30°方向，又以同样的速度继续航行到D处，再观测海岛B在北偏西30°方向，当轮船到达C处时恰好与海岛B相距20海里，请你确定轮船到达C处和D处的时间．
26．如图12－145所示，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD为BC边上的高，延长AB到E点，使BE＝BD，过点D，E引直线交AC于点F，则有AF＝FC．为什么?
参考答案
1．C
2．B[提示：由折叠知∠BED＝∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，所以AD＝DE．]
3．B[提示：由CD是AB的垂直平分线可知PB＝PA＝5．]
4．D[提示：两点关于x轴对称，则两点坐标的关系是：横坐标相同，纵坐标相反．]
5．B[提示：由△ABC和△A′B′C′关于l对称，可知∠C＝∠C′＝48°，所以∠B＝180°－∠A－∠C＝180°－78°－48°＝54°．]
6．C[提示：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．]
7．D[提示：按要求动手操作即可．]
8．A[提示：有△BCE，△DEC，△ABD，△BCD和△ABC．]
9．C[提示：以O为圆心，OA为半径画圆与x轴有两个交点，以A为圆心，OA为半径画圆与x轴又交于一个与O不重合的一个点，作线段OA的垂直平分线与x轴交于一点，这四点都能使△POA为等腰三角形．]
10．D[提示：∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠A＝15°，∴∠CBD＝30°．∵BC＝CD，∴∠CDB＝∠CBD＝30°，∴∠ECD＝45°．∵DC＝DE，∴∠CED＝∠ECD＝45°，∴∠EDF＝∠A＋∠AED＝15°＋45°＝60°．∵DE＝EF，∴∠DEF＝60°．] 11．5[提示：由于2＋2＜5，所以2只能作底边长，5作腰长．]
12．3265
13．50[提示：由DE是AC的垂直平分线，可知EA＝EC，所以∠ECA＝∠A＝∠30°，又因为∠ACB＝80°，所以∠BCE＝∠ACB－∠ECA＝80°－30°＝50°．]
14．72°或
?
?
?
?
?
7 540
15．125[提示：由折叠可知∠BEF＝∠DEF，BE∥C′F，由∠BAD＝90°，∠
ABE ＝20°，可得∠AEB ＝70°，所以∠BEF ＝∠DEF ＝(180°－∠AEB )×
21＝(180°－70°)×2
1＝55°．由BE ∥C ′F 得∠FEB ＋∠EFC ′＝180°，所以∠EFC ′＝180°－∠BEF ＝180°－55°＝125°．]
16．70°[提示：底角＝90°－35°＝55°，∴顶角为180°－55°×2＝70°．]
17．3
18．(1)25°，25° (2)55°，55°或70°，40°[提示：(1)130°为顶角，底角为2
1301800
＝25°．(2)①若70°为顶角，则其余两角为55°，55°；②若70°为底角，则其余两角为40°，70°．]
19．3[提示：过D 作DE ⊥AB 于E ，∵AD 为∠CAB 的平分线，∠C ＝90°，DE ⊥AB ，∴DE ＝CD ＝3．]
20．12＋2a [提示：△BED 为等腰三角形，BE ＋ED ＝2a ，△ABC 的边长为3
24＝8，△ECD 为等腰三角形，CD ＝EC ＝4．∴△BDE 的周长为4＋8＋2a
＝12＋2a ．]
21．解：点P 是∠AOB 的平分线和线段AB 的垂直平分线的交
点(如图12－146所示)．
22．(1)提示：答案不唯一．如∠C ＝∠D 或∠ABC ＝∠BAD 或∠
OAD ＝∠OBC 或AC ＝BD 都可以． (2)提示：答案不唯一，以AC ＝BD 为例．证明
如下：∵∠BAC ＝∠ABD ，∴OA ＝OB ．又∵AC ＝BD ，∴AC －OA ＝BD －OB ，∴OC ＝OD ．
23．解：EF 与BC 的位置关系是：EF ⊥BC ．理由如下：∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，
∴∠BAD ＝2
1∠BAC ．又∵AE ＝AF ，∴∠E ＝∠AFE ．又∵∠BAC ＝∠E ＋∠AFE ，∴∠AFE ＝2
1∠BAC ．∴∠BAD ＝∠AFE ．∴EF ∥AD ．又∵AD ⊥BC ，∴EF ⊥BC ． 24．提示：图略．欲使△ENF 的周长最小，即EN ＋NF ＋EF 最小，而EN 为定长，则必有NF ＋EF 最小，又点F 在AB 上，且E ，N 在AB 的同侧．由轴对称的性质，可作点E 关于直线AB 的对称点E ′，连接E ′N ，与AB 的交点即为点F ，此时，FE ＋FN 最小，即△EFN 的周长最小．
25．解：∵∠BCD ＝60°，∠BAC ＝30°，∠BCD ＝∠BAC ＋∠CBA ，∴60°＝30°＋∠CBA ，∴∠CBA ＝30°．∴∠BAC ＝∠CBA ．∴CA ＝CB ．又∵∠BCD ＝∠BDC ＝60°，∴△BCD 是等边三角形．∴CD ＝BC ．∴AC ＝CD ＝
BC ．又∵BC ＝20海里，∴AC ＝CD ＝20海里．∴20÷10＝
2(时)，40÷10＝4(时)．∴轮船到达C 处的时间是13：30，
即下午1时30分．轮船到达D 处的时间是15：30，即下午
3时30分．
26．解：如图12－147所示．∵BD ＝BE ，∴∠E ＝∠1．又
∵∠ABC ＝∠E ＋∠1＝2∠1，且∠ABC ＝2∠C ，∴2∠1＝2∠C ，
∴∠1＝∠C ．又∵∠1＝∠2，∴∠C ＝∠2．∴FD ＝FC ．又∵AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝90°．
∴∠3＝90°－∠2，∠4＝90°－∠C．∴∠3＝∠4．∴AF＝FD．∴AF＝FC．
轴对称填空选择中考真题汇编[解析版] 一、八年级数学全等三角形填空题（难） 1．如图，ABC ?中，90 ACB ∠=?，// AC BD，BC BD =，在AB上截取BE，使BE BD =，过点B作AB的垂线，交CD于点F，连接DE，交BC于点H，交BF于点G，7,4 BC BG ==，则AB=____________. 【答案】 65 8 【解析】 【分析】 过点D作DM⊥BD，与BF延长线交于点M，先证明△BHE≌△BGD得到∠EHB=∠DGB，再由平行和对顶角相等得到∠MDG=∠MGD，即MD=MG，在△△BDM中利用勾股定理算出MG的长度，得到BM，再证明△ABC≌△MBD，从而得出BM=AB即可. 【详解】 解：∵AC∥BD，∠ACB=90°， ∴∠CBD=90°，即∠1+∠2=90°， 又∵BF⊥AB， ∴∠ABF=90°， 即∠8+∠2=90°， ∵BE=BD， ∴∠8=∠1， 在△BHE和△BGD中， 81 43 BE BD ∠=∠ ∠=∠ ? ? = ? ? ? ， ∴△BHE≌△BGD（ASA）， ∴∠EHB=∠DGB ∴∠5=∠6，∠6=∠7， ∵MD⊥BD ∴∠BDM=90°， ∴BC∥MD， ∴∠5=∠MDG， ∴∠7=∠MDG
∴MG=MD ， ∵BC=7，BG=4， 设MG=x ，在△BDM 中， BD 2+MD 2=BM 2， 即()2227=4x x ++， 解得x=338 ， 在△ABC 和△MBD 中 =8=1BC B ACB MDB D ∠∠∠∠??=??? , ∴△ABC ≌△MBD （ASA ） AB=BM=BG+MG=4+ 338=658. 故答案为：658 . 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，适当添加辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质求出待求的线段，难度中等. 2．如图，在等边△ABC 中，AB=10，BD=4，BE=2，点P 从点E 出发沿EA 方向运动，连结PD ，以PD 为边，在PD 的右侧按如图所示的方式作等边△DPF，当点P 从点E 运动到点A 时，点F 运动的路径长是________． 【答案】8 【解析】 【分析】
深圳市高级中学皇御苑学校数学轴对称解答题中考真题汇编[解析版] 一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难） 1．如图，在ABC △中，已知AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE AC =，延长BE交AC于点F，求证：AF EF =． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】 延长 AD到点G，使得AD DG =，连接BG，结合D是BC的中点，易证△ADC和 △GDB全等，利用全等三角形性质以及等量代换，得到△AEF中的两个角相等，再根据等角对等边证得AE=EF. 【详解】 如图，延长AD到点G，延长AD到点G，使得AD DG =，连接BG． ∵AD是BC边上的中线， ∴DC DB =． 在ADC和GDB △中， AD DG ADC GDB DC DB = ? ? ∠=∠ ? ?= ? （对顶角相等）， ∴ADC≌GDB △（SAS）． ∴CAD G ∠=∠，BG AC =． 又BE AC =， ∴BE BG =．
∴BED G ∠=∠． ∵BED AEF ∠=∠ ∴AEF CAD ∠=∠，即AEF FAE ∠=∠ ∴AF EF =． 【点睛】 本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意构造全等三角形是解答本题的关键. 2．在等边△ABC 中，点D 在BC 边上，点E 在AC 的延长线上，DE =DA (如图1)． (1)求证：∠BAD =∠EDC ； (2)若点E 关于直线BC 的对称点为M (如图2)，连接DM ，AM ．求证：DA =AM ． 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【解析】 【分析】 （1）根据等边三角形的性质，得出∠BAC =∠ACB =60°，然后根据三角形的内角和和外角性质，进行计算即可. （2）根据轴对称的性质，可得DM=DA ，然后结合（1）可得∠MDC =∠BAD ，然后根据三角形的内角和，求出∠ADM=60°即可. 【详解】 解：(1)如图1， ∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC =∠ACB =60°， ∴∠BAD =60°﹣∠DAE ，∠EDC =60°﹣∠E ， 又∵DE =DA ， ∴∠E =∠DAE ， ∴∠BAD =∠EDC ． (2)由轴对称可得，DM =DE ，∠EDC =∠MDC ， ∵DE =DA ， ∴DM =DA ， 由(1)可得，∠BAD =∠EDC ， ∴∠MDC =∠BAD ， ∵△ABD 中，∠BAD +∠ADB =180°﹣∠B =120°， ∴∠MDC +∠ADB =120°， ∴∠ADM =60°，
作轴对称图形讲义 【要点梳理】 要点【一】对称轴的作法 假设两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此只要找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴．轴对称图形的对称轴作法相同．要点诠释： 在轴对称图形和成轴对称的两个图形中，对应线段、对应角相等.成轴对称的两个图形，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上.如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称. 要点【二】用坐标表示轴对称 1.关于x轴对称的两个点的横〔纵〕坐标的关系 P点坐标(a，b)，那么它关于x轴的对称点P'的坐标为(a，－b)，如以下图所示： 即关于x轴的对称的两点，坐标的关系是：横坐标相同，纵坐标互为相反数． 2.关于y轴对称的两个点横〔纵〕坐标的关系 P点坐标为(a，b)，那么它关于y轴对称点P''的坐标为(－a，b)，如上图所示． 即关于y轴对称的两点坐标关系是：纵坐标相同，横坐标互为相反数．3.关于与x轴〔y轴〕平行的直线对称的两个点横〔纵〕坐标的关系 P点坐标(a，b)关于直线y=c的对称点P'的坐标为(a，2c－b)．P点坐标(a，b)关于直线x=c的对称点P''的坐标为(2c－a，b)．【典型例题】 类型【一】作轴对称图形 例1 如图，△ABC和△''' A B C和△ A B C关于直线MN对称，△''' A B C关于直线 ''''''
EF对称. 〔1〕画出直线EF； 〔2〕直线MN与EF相交于点O，试探究∠'' BOB与直线MN、EF所夹锐角α之间的 数量关系. 变式在以下图中，画出△ABC关于直线MN的对称图形. 类型【二】轴对称变换的应用〔将军饮马问题〕 例2 如下图，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河 OB上的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ＋QN最短． 变式如下图，将军希望从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q．请为将军设计一条路线(即选择点P 和Q)，使得总路程MP＋PQ最短． 例3 将军要检阅一队士兵，要求(如下图)：队伍长为a，沿河OB排开(从点P到点Q)； 将军从马棚M出发到达队头P，从P至Q检阅队伍后再赶到校场N．请问：在什么位置列队(即选择点P和Q)，可以使得将军走的总路程MP＋PQ ＋QN最短? a 类型【三】用坐标表示轴对称 例4 假设点M(2，a)和点N(a b +，3)关于y轴对称，那么a＝，b＝. 变式1 点A(2，3-)关于x轴对称的点的坐标为点B(2m，m n +)，那么- m n 的值为〔〕． A、－5 B、－1 C、1 D、5
2020年中考数学试题分类汇编 轴对称与中心对称 一、选择题 4.（2020北京）下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（） 【解析】正方形既是中心对称图形又是轴对称图形，故选D 7．（2020成都）（3分）如图，在ABC ?中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心， 以大于1 2 BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于点D，连接 BD．若6 AC=，2 AD=，则BD的长为() A．2 B．3 C．4 D．6 【解答】解：由作图知，MN是线段BC的垂直平分线， BD CD ∴=， 6 AC=，2 AD=， 4 BD CD ∴==， 故选：C． 5．（2020广州）如图2所示的圆锥，下列说法正确的是（ * ）． （A）该圆锥的主视图是轴对称图形 （B）该圆锥的主视图是中心对称图形 （C）该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形 （D）该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形 【答案】A 图2
4.（2020福建）下列给出的等边三角形、平行四边形、圆及扇形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 3．（2020哈尔滨）（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A ．扇形 B ．正方形 C ．等腰直角三角形 D ．正五边形 【解答】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B 、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B ． 7．（2020哈尔滨）（3分）如图，在Rt ABC ?中，90BAC ∠=?，50B ∠=?，AD BC ⊥，垂足为D ，ADB ?与ADB '?关于直线AD 对称，点B 的对称点是点B '，则CAB '∠的度数为( ) A ．10? B ．20? C ．30? D ．40? 【解答】解：90BAC ∠=?，50B ∠=?， 40C ∴∠=?， ADB ?与ADB '?关于直线AD 对称，点B 的对称点是点B '， 50AB B B '∴∠=∠=?，
轴对称 【课前热身】 1、下列图案是轴对称图形的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、等腰三角形的对称轴有（） A、1条 B、3条 C、1条或3条 D、无数条 3.下面不是轴对称图形的是（）。 ①长方形②平行四边形③圆④ 半圆 4、如右图设A、E两点关于直线MN对称，则_____垂 直平分______． 5、如右图，在△ABC中，AB=AC，标出各部分名称 6、在一般的三角形中，如果有两个角相等，?那么 它们所对的边有什么关系？ 已知：在△ABO中，∠A=∠B 求证：AO=AO A B 题6
【考点链接】 1．轴对称的有关概念： 如果一个平面图形沿一条_____折叠,_____两旁的部分能够互相_____，这个图形就叫做轴对称图形,这条____就是它的对称轴,这时,我们也说这个图形关于这条____成轴对称. 一个图形沿着某条直线折叠，如果他能够与________重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做_______,折叠后________叫做对称点. 2．垂直平分线的定义与性质： 定义：经过线段并且这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 性质1：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离 性质2:与线段两个端点距离相等的点在这条线段的 3．画轴对称图形： 几何图形都可以看作由点组成，对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。 连接任意一对对称点的线段被对称轴_____________________ 在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标_____,,纵坐标_________________.点（x，y）关于x轴的对称点的坐标为__________. 在平面直角坐标系中，关于y轴对称的点横坐标_____,,纵坐标_________________。点（x，y）关于y轴的对称点的坐标为__________.
轴对称经典中考试题及答案解析一 知识点1：轴对称图形定义：如果一个图形沿一条折叠，直线两旁的部分能够互相， 这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的 .这时我们 就说这个图形关于这条直线(或轴）对称.如图１2-2所示， △AＢC是轴对称图形． 【答案】直线、对称轴、 1.(２０0６广东深圳)下列图形中,是．轴对称图形的为( Ｄ） AＢＣＤ 知识点2:两个图形成轴对称:把一个图形沿着某一条直线折叠, 如果它能够与重合,那么就是说这两个图形关 于这条直线对称(也叫轴对称），这条直线叫做, 折叠后的点是对应点，叫做对称点.如图12-３所示， △AＢC与△A′Ｂ′Ｃ′关于直线l对称，直线l叫做对称轴. A和Ａ′,B和B′，C和C′是对称点．
【答案】另一个图形、对称轴、互相重合 2.如图12-8所示，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪 些图形成轴对称. 【答案】图（1）（３）（4)（6)（8)（１0)是轴对称图形；图(2)（５）（７)（9）成轴对称. 知识点3:轴对称的性质:(1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的 .类似地，轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的 .(2)成轴对称的两个图 形,如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形，这两个图形。 3.（2006扬州)如图,这是小亮制作的风筝，为了平衡做成轴对称 图形，已知ＯC是对称轴,∠A=3５°,∠ACO=３０°,那么 ∠BOC=°. ???, 【提示】由轴对称图形的性质可知：ACO BCO 得∠BOC=∠ＡOＣ=180°-∠A－∠AＣO=1１５°
天津市育贤中学数学轴对称解答题中考真题汇编[解析版] 一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难） 1．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（﹣2，1）． （1）请运用所学数学知识构造图形求出AB的长； （2）若Rt△ABC中，点C在坐标轴上，请在备用图1中画出图形，找出所有的点C后不用计算写出你能写出的点C的坐标； （3）在x轴上是否存在点P，使PA=PB且PA+PB最小？若存在，就求出点P的坐标；若不存在，请简要说明理由（在备用图2中画出示意图）． 【答案】（1）AB=52）C2（0,7），C4（0，-4），C5（-1,0）、C6（1,0）；（3）不存在这样的点P． 【解析】 【分析】 （1）如图，连结AB，作B关于y轴的对称点D，利用勾股定理即可得出AB； （2）分别以A，B，C为直角顶点作图，然后直接得出符合条件的点的坐标即可； （3）作AB的垂直平分线l3，则l3上的点满足PA=PB，作B关于x轴的对称点B′，连结AB′，即x轴上使得PA+PB最小的点，观察作图即可得出答案． 【详解】 解：（1）如图，连结AB，作B关于y轴的对称点D， 由已知可得，BD=4，AD=2．∴在Rt△ABD中，AB=5 （2）如图，①以A为直角顶点，过A作l1⊥AB交x轴于C1，交y轴于C2． ②以B为直角顶点，过B作l2⊥AB交x轴于C3，交y轴于C4． ③以C为直角顶点，以AB为直径作圆交坐标轴于C5、C6、C7．（用三角板画找出也可）由图可知，C2（0,7），C4（0，-4），C5（-1,0）、C6（1,0）．
（3）不存在这样的点P． 作AB的垂直平分线l3，则l3上的点满足PA=PB， 作B关于x轴的对称点B′，连结AB′， 由图可以看出两线交于第一象限． ∴不存在这样的点P． 【点睛】 本题考查了勾股定理，构造直角三角形，中垂线和轴对称--路径最短问题的综合作图分析，解题的关键是学会分类讨论，学会画好图形解决问题． 2．如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1）．△ABD不动， （1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB＝MC． （2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC （图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系． （3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由．
永成教育一对一讲义 教师: 学生:日期:2014 星期:时段: 课题生活中的轴对称 学习重点掌握轴对称的有关概念，掌握线段、角、等腰三角形的性质，并能灵活应用上述知识解题。 学习方法讲练结合 一、轴对称现象 目标： 1、经历观察、分析现实生活实例和典型图案的过程，认识轴对称和轴对称图形培养学生探索知识的能力与分 析问题、思考问题的习惯。 2、会找出简单对称图形的对称轴,了解轴对称和轴对称图形的联系与区别。 热身训练 1．如图所示的几个图案中，是轴对称图形的是（） 2．如图所示，下面的5个英文字母中是轴对称图形的有（） A．2个B．3个C．4个D．5个 3．如图所示的图案中，是轴对称图形的有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 学习过程： 1、如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做_______图形，这条直线叫做_______。 2、对称轴是一条_______，有些轴对称图形可能有几条，甚至无数条对称轴。 3、把一个图形沿着一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这_______图形成轴对称，这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。 4、轴对称图形与轴对称的区别： 区别：轴对称是_______图形的位置关系，而轴对称图形是_______具有特殊形状的图形。
5．你认识世界上各国的国旗吗？如图7-4所示，观察下面的一些国家的国旗，是轴对称图形的有（） A．甲乙丙丁戊B．甲乙丁戊C．甲乙丙戊D．甲乙戊 6．小红将一正方形的红纸沿对角线对折后，得到等腰直角三角形，然后在这重叠的纸上剪出一个非常漂亮的图案，她拿出剪出的图案问小冬，打开后的图案的对称轴至少有（） A．0条B．1条C．2条D．无数条 7．如图所示，从轴对称的角度来看，你觉得下面哪一个图形比较独特？简单说明你的理由． 8．观察如图所示的图案，它们都是轴对称图形，它们各有几条对称轴？在图中画出所有的对称轴． 9．如图所示的四个图形中，从几何图形的性质考虑哪一个与其他三个不同？?请指出这个图形，并简述你的理由． 拓展： 1．如图所示，以虚线为对称轴画出图形的另一半． 回顾小结： 1．如果一个图形沿某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做。 2．对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能，那么这两个图形成轴对称，这条直线就是。3．轴对称是指两个图形之间的和关系。而轴对称图形是对一个图形而言，轴对称图形是一个具有特殊形状的图形。它们都有沿某条直线对折使直线两旁的图形能 的特征. 二、探索轴对称的性质
2015中考专题复习一一轴对称之最值 例题讲解 1. （2013?苏州）如图，在平面直角坐标系中，Rt △ OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上.顶点B 的坐标为（3, 岳，点C 的坐标为（3, 0）,点P 为斜边OB 上的一个动点，则 PA+PC 的最小值为（ ） A . |：： B. ? C . - ' D . 2.「 2 ~2~ 2. （2011?本溪）如图，正方形 ABCD 的边长是4, / DAC 的平分线交DC 于点E ,若点P 、Q 分别是AD 和AE 上的动点，贝U DQ+PQ 的最小值（ ） A . 2 B . 4 C . 2 ] D . 4.:: 3. （2013?宛城区一模）点A , B 均在由边长为1的相同小正方形组成的网格的格点上， 建立平面直角坐标 系 如图所示，若P 是x 轴上使得|PA - PB|的值最大的点，Q 是y 轴上使得QA+QB 的值最小的点，则OP+OQ= （ ） A . 7 B . 4 C . 14 2 3 4. 如图，A 是半圆上的一个二等分点, 径r=1，贝U PA+PB 的最小值是（ 6. 如图，MN 是OO 的直径，点A 是半圆上的三等分点，点 B 是劣弧AN 的中点，点P 是直径MN 上一 动点.若 MN=2 一；贝U PA+PB 的最小值是（ ） B 是半圆上的一个六等分点，P 是直径MN 上的一个动点，O O 半 使点P 到点A 和点B (0, 0) A B Q -■ (4, 0) B . (-2, ) 5.如图，在平面直角坐标系中，点 的距离之和最小，则点 P 的坐标是（ 4) , B (4, 2),在x 轴上取一点P , D A B D C . (2, 0)
深圳南山区星河学校数学轴对称解答题中考真题汇编[解析版] 一、八年级数学 轴对称解答题压轴题（难） 1．定义：如果一条线段将一个三角形分成2个小等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“好线”：如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“好好线”. 理解： （1）如图1，在ABC ?中，AB AC =，点D 在AC 边上，且AD BD BC ==，求A ∠的大小； （2）在图1中过点C 作一条线段CE ，使BD ，CE 是ABC ?的“好好线”； 在图2中画出顶角为45的等腰三角形的“好好线”，并标注每个等腰三角形顶角的度数（画出一种即可）； 应用： （3）在ABC ?中，27B ∠=，AD 和DE 是ABC ?的“好好线”，点D 在BC 边上，点 E 在AC 边上，且AD BD =，DE CE =，请求出C ∠的度数. 【答案】（1）36°；（2）见详解；（3）18°或42° 【解析】 【分析】 （1）利用等边对等角得到三对角相等，设∠A=∠ABD=x ，表示出∠BDC 与∠C ，列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，即可确定出∠A 的度数． （2）根据（1）的解题过程作出△ABC 的“好好线”；45°自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形；第二种情形以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底角被分为45°和22.5°，再以22.5°分别作为等腰三角形的底角或顶角，易得其中作为底角时所得的三个三角形恰都为等腰三角形； （3）用量角器，直尺标准作27°角，而后确定一边为BA ，一边为BC ，根据题意可以先固定BA 的长，而后可确定D 点，再分别考虑AD 为等腰三角形的腰或者底边，兼顾A 、E 、C 在同一直线上，易得2种三角形ABC ；根据图形易得∠C 的值； 【详解】 解：（1）∵AB=AC ， ∴∠ABC=∠C ， ∵BD=BC=AD ，
1.1 轴对称与轴对称图形 连云港市赣榆县厉庄初级中学郑彩娟 【课题】义务教育课程标准实验教科书数学（苏科版）八年级上册第一章第一节第一课时教学目标： （1）知识与技能目标： A在丰富的现实情境中，经历观察生活中的轴对称图案，探索轴对称及轴对称图形的共同特点等活动，进一步发展空间观点。 B通过丰富的生活实例认识轴对称，能够识别简单的轴对称图形及轴对称。 （2）过程与方法目标： A通过认真观察，学会用自己的语言概况轴对称的共同特征。 B鼓励学生从自己的生活经验出发举出符合轴对称特征的物体。 C学生通过亲自实验、探索，研究、发现、应用轴对称，实现真正的“做数学”。（3）情感与态度目标 A欣赏现实生活中的轴对称，体会轴对称在现实生活中的广泛应用和它的丰富文化价值。 B欣赏生活中的对称美，增强美感。 教学重点、难点： 重点：了解轴对称图形和轴对称的概念，并能简单识别。体会轴对称在现实生活中的广泛应用和它的丰富文化价值 难点：能正确地区分轴对称图形和轴对称，进一步发展空间观念。 学情分析：本章是《新课程标准》中规定的图形与变换中重要的内容。这节课是在学生学习了平面图形的认识（一）和（二）基础上来探索、研究、认识轴对称，学生能够通过欣赏、探索生活中的轴对称，培养学生的审美观、归纳总结的能力，激发学生学数学的兴趣。所以通过本节课的学习能圆满地完成上述的教学目标 教学准备：墨水，纸，剪刀，课件 教学过程： 根据本课特点，教学过程分为七大步： 第一步:创设情境、欣赏激趣：通过多媒体进行图片欣赏 在看图片之前，师提醒：观察这些图片形状是怎么样的？他们有什么共同的特性？ 学生欣赏后异口同声地回答：它们是对称图形 师：什么样的对称？ 预习的同学回答：轴对称 师：这就是我们这一节课所要研究的内容。 【设计意图：通过丰富的轴对称图形与轴对称的实例，让学生欣赏并体会轴对称，发展学生的审美能力、鉴赏能力，更激发了学习数学的兴趣】 第二步：是教学的重点，也是教学的难点：通过实验探究新知识并简单应用。 学生实验一： 师：把一张纸对折，然后从折叠处剪出一个图形，想一想：展开后会是什么样的图形？位于折痕两侧的图案有什么关系？ （学生分组活动，合作交流后选代表回答实验成果） 生一：我们得到了一个美丽的图形：飞鸟，它有对称美 生二：我们得到的是大树和五角星，它们是对称的 生三：我们得到的是轴对称图形，位于折痕两部分的图案能够完全重合
数学精品复习资料 中考全国100份试卷分类汇编 中心对称图形、轴对称图形 1、（2013年潍坊市）下面的图形是天气预报中的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）. A. B. C. D. 答案：A． 考点：轴对称图形与中心对称图形的特征。 点评：此题主要考查了轴对称图形与中心对称图形的概念，二者既有联系又有区别。．．． 3、（2013杭州）下列“表情图”中，属于轴对称图形的是（） A．B．C．D． 考点：轴对称图形． 分析：根据轴对称的定义，结合各选项进行判断即可． 解答：解：A．不是轴对称图形，故本选项错误； B．不是轴对称图形，故本选项错误； C．不是轴对称图形，故本选项错误； D．是轴对称图形，故本选项正确； 故选D． 点评：本题考查了轴对称图形的知识，判断轴对称的关键寻找对称轴，属于基础题．
4、（2013四川南充，7，3分）有五张卡片（形状、大小、质地都相同），上面分别画有下 列图形：①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆。将卡片背面朝上洗 匀，从中抽取一张，正面图形一定满足既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是 （ ） A. 51 B. 52 C. 53 D. 5 4 答案：B 解析：既是轴对称图形，又是中心对称图形的有线段、圆，共2张，所以，所求概率为：5 2 5、（2013达州）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） 答案：D 解析：A 、C 只是轴对称图形，不是中心对称图形；B 是中心对称图形，不是轴对称轴图形，只有D 符合。 6、（2013凉山州）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ． 考点：中心对称图形；轴对称图形． 分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念，结合选项所给图形进行判断即可． 解答：解：A ．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B ．是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； C ．是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D ．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． 故选B ． 点评：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 7、（2013?宁波）下列电视台的台标，是中心对称图形的是（ ）
中考数学真题汇编：轴对称变 换 、选择题 1.下列图形中是中心对称图形的是（） 2.下列图形中一定是轴对称图形的是（） A,]'上’B.二三二-二匚 【答案】D 5. 如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有（ A.1条 B. 3条 【答案】D B. C-? 【答案】D 4.如图，将一个三角形纸片 ） -三匚沿过点的直线折叠，使点落在V匸边上的点处，折痕为，则下列结论一定正确的是（ ） J K H
C. 5条 D. 无数条 【答案】C 6. 如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若/ AGE=32°,则/ GHC 7. 如图，将矩形-43CD沿对角线折叠，点落在处，交于点 ，已知」5OC = 2 :, 8. 如图，/ AOB=60°,点P是/ AOB内的定点且0P=点，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点0的动 【答案】D C. 108 D. 106 C. D. C. 6 D. 3 B. 110 【答 案】 D 【答案】D A. 2
9. 如图，在正方形一二 m 中， ，分别为，贾一的中点，为对角线j□上的一个动点，则下 列线段的长等于；厂厂丁最小值的是（） 【答案】D 10?将一张正方形纸片按如图步骤①，②沿虚线对折两次，然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（） 、填空题 【答 案】 (,) 12.有五张卡片（形状、大小、质地都相同），正面分别画有下列图形：①线段；②正三角形；③平行四边形; ④等腰梯形；⑤圆?将卡片背面朝上洗匀，从中任取一张，其正面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形 的概率是__________ . 2 【答案】 B. C. B. 11.已知点是直线上一点，其横坐标为-7'.若点匚：与点v关于轴对称，则点亦的坐标为 A. 【答案】A
轴对称（讲义） ?课前预习 1.剪纸艺术源远流长，是中华民族智慧的结晶，为我们的生活添加了别样的色 彩．请欣赏以下美丽的剪纸图片，你发现它们有什么共同的特点？ 2.做一做，想一想 在纸上画一条线段AB，并将线段对折，思考： （1）折痕两边的线段________（填“相等”或“不相等”）； （2）折痕与线段AB____________（填“垂直”或“不垂直”）； （3）在折痕上任找一点P，并连接AP，BP，沿着折痕对折，可发现AP_____BP （填“＞”，“＜”或“=”）． ?知识点睛 1.轴对称定义 （1）如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做__________，这条直线就是它的_____，这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做________，折叠后的重合的点是_______，叫做___________． 2.垂直平分线 （1）定义 经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的______________．（2）性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离_______； （3）判定 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的________．
3. 轴对称的性质 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的______________；类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的___________． 4. 画轴对称图形 如图，已知△ABC 和直线l ，画出与△ABC 关于直线l 对称的图形． 图1 A B C l O 图2 A′ B′ C′ l C B A 画法：（1）如图2，过点A 画直线l 的垂线，垂足为O ，在垂线上截取OA ′=OA ，A ′就是点A 关于直线l 的对称点； （2）同理，分别画出点B ，C 关于直线l 的对称点B ′，C ′； （3）连接A ′B ′，B ′C ′，C ′A ′，则△A ′B ′C ′即为所求． 5. 平面直角坐标系中，分别以x 轴和y 轴为对称轴时，一对对称点坐标之间的关 系： 点(x ，y )关于x 轴对称的点的坐标为(x ，-y )； 点(x ，y )关于y 轴对称的点的坐标为(-x ，y )． ? 精讲精练 1. 下列四个图案中，是轴对称图形的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2. 图中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线（ ）
第10题 一、 选择题 1．已知两条互不平行的线段AB 和A ′B ′关于直线1对称，AB 和A ′B ′所在的直线交于点P ，下面四个结论：①AB=A ′B ′；②点P 在直线1上；③若A 、A ′是对应点，?则直线1垂直平分线段AA ′；④若B 、B ′是对应点，则PB=PB ′，其中正确的是（ ） A ．①③④ B ．③④ C ．①② D ．①②③④ 2．将两块全等的直角三角形（有一锐角为30 ）拼成一个四边形，其中轴对称图形的四边形有多少个（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 3.如图所示，有A 、B 、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ） A.在AC 、BC 两边高线的交点处 B.在AC 、BC 两边中线的交点处 C.在AC 、BC 两边垂直平分线的交点处 D.在A 、B 两内角平分线的交点处 4.下列说法中错误的是（ ） A 成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴 B 关于某条直线对称的两个图形全等 C 全等的三角形一定关于某条直线对称 D 若两个图形沿某条直线对折后能够完全重合，我们称两个图形成轴对称 5．等腰三角形有两条边长为4cm 和9cm ，则该三角形的周长是（ ） A ．17cm B ．22cm C ．17cm 或22cm D ．18cm 7．等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（ ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．30° 6．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（ ） A ．100° B ．100°或40° C ．40° D ．80° 7.已知：在△ABC 中，AB=AC ，O 为不同于A 的一点，且OB=OC ，则直线AO 与底边BC 的关系为（ ） A ．平行 B.AO 垂直且平分BC C.斜交 D.AO 垂直但不平分BC 8．如图，在方格纸中有四个图形<1>、<2>、<3>、<4>，其中面积相等的图形是（ ） A . <1>和<2> B . <2>和<3> C . <2>和<4> D . <1>和<4> 轴对称作图题专练 1、如图，已知点M 、N 和∠AOB ，求作一点P ，使P 到点M 、N 的距离相等，?且到∠AOB 的两边的距离相等． C B A
初二轴对称讲义 Prepared on 24 November 2020
第10讲轴对称 知识点梳理： 1.轴对称概念 （1）轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 （2）轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 （3）轴对称和轴对称图形的区别和联系： 区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。 联系：①都沿某条直线对折，图形重合。②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。（4）线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 2. 轴对称的性质： （1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。（2）关于某条直线成轴对称的两个图形是全等图形。 轴对称图形的性质：（轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 3. 线段的垂直平分线的性质及判定 （1）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 如图①，若PC是线段AB的垂直平分线（AC＝BC，PC⊥AB），则PA＝PB （2）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 如图②，若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。 4. 尺规作图 （1）如何作轴对称图形 几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。所以作轴对称图形的关键是作点关于直线的对称点 （2）作线段的垂直平分线 ①分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于C、D两点； ②作直线CD， CD就是线段AB的垂直平分线。 【经典例题】 例1、在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（） A． B． C． D． 例2、观察下图中各组图形，其中成轴对称的为___________ （填序号）． 例3、李芳同学球衣上的号码是253，当他把镜子放在号码的正前方时，镜子中的号码是（）
2013中考全国100份试卷分类汇编轴对称 1、（绵阳市2013年）下列“数字”图形中，有且仅有一条对称轴的是（ A ） ［解析］B不是轴对称图形，C、D都有2条对称轴。 2、（2013济宁）如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C 是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C 的坐标是（） A．（0，0）B．（0，1）C．（0，2）D．（0，3） 考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质． 分析：根据轴对称做最短路线得出AE=BE，进而得出B′O=C′O，即可得出△ABC的周长最小时C点坐标． 解答：解：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′， 此时△ABC的周长最小， ∵点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0）， ∴B′点坐标为：（﹣3，0），AE=4， 则BE=4，即BE=AE， ∵C′O∥AE， ∴B′O=C′O=3， ∴点C′的坐标是（0，3），此时△ABC的周长最小． 故选：D．
（第10题图）E D C B A 点评：此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及平行线的性质，根据已知得出C 点位置是解题关键． 3、(2013年临沂)如图，四边形ABCD 中,AC 垂直平分BD,垂足为E,下列结论不一定．．．成立的是 （A ） AB=AD. (B) AC 平分∠BCD. (C) AB=BD. (D) △BEC ≌△DEC. 答案：C 解析：由中垂线定理，知AB ＝AD ，故A 正确，由三线合一知B 正确，且有BC ＝BD ，故D 也正确，只有C 不一定成立。 4、（2013凉山州）如图，∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° 考点：生活中的轴对称现象；平行线的性质． 分析：要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，则∠2=60°，根据∠1、∠2对称，则能求出∠1的度数． 解答：解：要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中， ∠2+∠3=90°， ∵∠3=30°， ∴∠2=60°， ∴∠1=60°． 故选C ． 点评：本题是考查图形的对称、旋转、分割以及分类的数学思想．
轴对称知识点 1.轴对称图形: 一个图形沿一条直线对折,直线两旁的部分能够完全重合. 这条直线叫做对称轴. 互相重合的点叫做对应点. 2.轴对称: 两个图形沿着一条直线对折,其中一个图形能够与另一个图形完全重合. 这条直线叫做对称轴. 互相重合的点叫做对应点. 注:对称轴是一条直线 3.轴对称图形与轴对称的区别与联系： （1）区别：轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系”；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。 （2）联系：把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称； 把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。 4.轴对称的性质: (1)成轴对称的两个图形全等。 (2)对称轴与连结“对应点的线段”垂直。 (3)对应点到对称轴的距离相等。 (4)对应点的连线互相平行。 5.线段的垂直平分线： （1）定义:经过线段的中心且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。 如图，∵CA=CB，直线m⊥AB于C， ∴直线m是线段AB的垂直平分线。
（2）性质：线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。 如图3，∵CA=CB，直线m⊥AB于C， 点P是直线m上的点。 ∴PA=PB。 （3）判定。 与线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。 如图3，∵PA=PB 直线m是线段AB的垂直平分线 ∴点P是直线m上的点。 6.平面直角坐标系中的轴对称： （1）用坐标表示轴对称 点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（-x，y）； 点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（x，-y）； 点（x，y）关于原点对称的点的坐标为（-x，-y）。 关于谁谁不变，关于原点都相反 （2）关于平行于坐标轴的直线对称 点P（x，y）关于直线x＝m对称的点的坐标是（2m－x，y）； 点P（x，y）关于直线y＝n对称的点的坐标是（x，2n－y）； （3）、关于坐标轴夹角平分线对称 点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y=x对称的点的坐标是（y，x） 点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y= -x对称的点的坐标是（-y，-x） 说明：要作出一个图形关于坐标轴（或直线）成轴对称的图形，只要作出各顶点的对称点，再顺次连结各对称点。 7.对称轴的画法 在一个轴对称图形或成轴对称的两个图形中，连结其中一对对应点并作出所得线段的垂直平分线。 注意： 有的轴对称图形只有一条对称轴，有的不止一条，要画出所有的对
2017中考真题轴对称 一．选择题（共20小题） 1．若下列选项中的图形均为正多边形，则哪一个图形恰有4条对称轴？（） A．B．C．D． 2．平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标为（）A．（﹣2，﹣3）B．（2，﹣3）C．（﹣3，﹣2）D．（3，﹣2） 3．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下列四个汉字中，可以看作轴对称图形的是（） A．B．C．D． 4．下列图形中，是轴对称图形的是（） A．B．C．D． 5．在一些汉字的美术字中，有的是轴对称图形．下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是（） A．B．C．D． 6．下列交通指示标识中，不是轴对称图形的是（） A．B．C．D． 7．下列图形一定是轴对称图形的是（） A．直角三角形B．平行四边形C．直角梯形D．正方形 8．下列图形中不是轴对称图形的是（） A．B．C．D． 9．以下微信图标不是轴对称图形的是（） A．B．C．D． 10．甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（）
A．B．C．D． 11．我国传统建筑中，窗框（如图1）的图案玲珑剔透、千变万化，窗框一部分如图2，它是一个轴对称图形，其对称轴有（） A．1条B．2条C．3条D．4条 12．下列图形中是轴对称图形的是（） A．B．C．D． 13．下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（） A．B．C．D． 14．下列图案属于轴对称图形的是（） A．B．C．D． 15．在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是（） A．B．C．D． 16．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P时直线MN上的点，下列判断错误的是（） A．AM=BM B．AP=BN C．∠MAP=∠MBP D．∠ANM=∠BNM