2014届高考专题立体几何——正方体(三讲)

2014年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（13立体几何）一、选择题：1. （2014安徽文）一个多面体的三视图如图所示，则多面体的体积是m 7] USA.21 +B.18+ J3C.21D.18解析：有题意知所得几何体是有棱长为 2的长方体截掉两个角得到的。

故S 表=2 2 6 -1 1 1 6 乜 G 2）2 2 = 21、. 32 4A E B考点：多面体的三视图与表面积A .23B.47C.6 D.71. A ［解析］如图所示，由三视图可知该几何体是棱长 为2的正方体截去两个小三棱锥后余下的部分，考点：1•多面体的三视图与体积2. (2014安徽理) 一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（1其体积V = 8 — 2 X3正 K3 ・：左》MS3. （2014安徽理）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对， 其中所成的角为60的共有（）A.24 对B.30 对C.48 对D.60 对 【答案】C 【解析】试题分析：在正方体ABCD - A'B'C'D'中，与上平面 A'B'C'D'中一条对角线 A'C' 成 60的直 线有BC'f B'C, A'D,AD', D'C,写上平而 ABCD ，中另F 对角线鼠F 的直线也有N 对直绻 所以一牛平面中尸说对直线，一：乂本&个面共有対X&对直线，去掉重复，则考点：1•直线的位置关系；2•异面直线所成的角4. (2014 北京理)在空间直角坐标系 Oxyz 中,已知 A(2,0,0) B(2,2,0), C(0,2,0), D(1,1, J2) •若 S,S 2,S 3分别是三棱锥 A . S = S 2 = S 3 C. S3 = Si 且 R £ 【答案】Dyoz 、zox 的正投影分为D 1、D 2、D 3，则「r4AD 1 =BD 1 = 2 , AB =2 , A S^2 2 2 =2 ,2S 2=S"=1x ：2x：＜v'2=J 2 , S 3 = S "=丄沢2沢丿2=灯2.2OCD 22 3OAD325.（2014福建文）以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱 的侧面积等于 （）A.2 二B.二C.2D.1【答案】/【解析】由已知得，所得團柱的底面辛径和高均—】 所以圆柱的侧面积为2揮，选4D - ABC 在xOy, yOz, zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（B.S 2 = S 且 S 2 — S3 ・ S 3 = S 2 且 S 3 -j S i【解析】设顶点D 在三个坐标面 xoy 、 AB6. （2014福建理）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）A.圆柱B.圆锥C.四面体D.三棱柱【答案】A 【解析】试题分析，由于圆柱旳三视图不-十匕丘三朗册所以选L 考点=三观图.8. （2014湖北文、理）在如图1-1所示的空间直角坐标系 O- xyz 中，一个四面体的顶点坐标分 别是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2）.给出编号为 ，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为 图1-1& D ［解析］由三视图及空间直角坐标系可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形且内 有一条虚线（一锐角顶点与其所对直角边中点的连线 ），故正视图是④；俯视图是一个钝角三角形，故俯视图是②•故选D.则8 -r 6-^ .82 62 r = 2,故选 B.11.（2014江西理）一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是理）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我 的术“置如其周，令相乘也•又以高乘之， L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ^^L%.363.那么，近似公式V~€L 2h 相当于将圆锥体积公 759. （2014湖北文、 国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖” 卜六成一.”该术相当于给出了由圆锥的底面周长 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 n 近似取为式中的n 近似取为（）157 C. 50 355 D.1139. B ［解析］设圆锥的底面圆半径为1 2 1r ，底面积为S,贝U L = 2 n r.由题意得h ~§Sh ,代入Sn『化简得"3.类比推理，若V -务即时，"鲁.故选B.10 （2014湖南文、理）一块石材表示的几何体的 三视图如图2 所示，将该石材切削、 打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（A.1B.2C.3答案】BD.4 来源:]【解析】最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径K*— h —H IK (左tC B DB垂直AF形是13 4EE 3不确定，故选n【解析】A(0,0,0),E(4,3,12) 【解析】如下图所示，在正吗妨C ；AE ，将线段 【答案】C申，取均L £妫为右・H AL> -qZp EWE 2E 313.（2014江西理）如右图，在长方体 ABC^A 1B 1C 1D 1中，AB =11 , AD =7, AA ,=12, —质点从 顶点A 射向点E 4,3,12，遇长方体的面反射 （反射服从光的反射原理），将i -1次到第i 次反射点之 A【答案】B【解析】俯视图为在底面上的投影，易知选间的线段记为L j i =2,3,4 ）1242L 2,L 3,L 4竖直放置在同一水平线上，则大致的图11、I ?、I 3、I 4，满足 h_I 2 ， I 2//I 3， I 3 — I4于-5,E 1E 2“儿；取M 為厶，皿为「则石丄d 应血为I 吗2*叩贝％与占异瓯 因此从心的位直关系 2 2312 -13日(8,6,0), E 2(28,7,4), E 3(11,25,9), AE3412. （2014广东文、理）若空间中四条两两不同的直线 则下列结论一定正确的是（ ）A. 11 I 14B. h //I 4C. 11、14 既不平行也不 【答案】DD.h 、I 4的位置关系不确定52=65E 1E 212工。

2014年立体几何高考题精选1.（10北京17）（本小题共13分）如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直。

EF//AC ，（Ⅰ）求证：AF//平面BDE ；（Ⅱ）求证：CF ⊥平面BDF;2.（10陕西）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，AP =AB ，BP =BC =2，E ，F 分别是PB ,PC 的中点.(Ⅰ)证明：EF ∥平面P AD ； (Ⅱ)求三棱锥E —ABC 的体积V.3.（10山东）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，BCD A MA 平面⊥,PD ∥MA ,E G F 、、分别为MB 、PC PB 、的中点，且2MA PD AD ==．（Ⅰ）求证：平面PDC EFG 平面⊥;（Ⅱ）求三棱锥的体积之比与四棱锥ABCD P MAB P --．4.（10安徽）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB=2EF=2，E F ∥AB,EF ⊥FB,∠BFC=90°，BF=FC,H 为BC 的中点，(Ⅰ)求证：F H ∥平面EDB;（Ⅱ）求证：A C ⊥平面EDB; （Ⅲ）求V B —DEF5.（10江苏本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1，AB=2，AB ∥DC ，∠BCD=900。

(1)求证：PC ⊥BC ；(2)求点A 到平面PBC 的距离。

6.（11北京17）如图，在四面体PABC 中，PC ⊥AB ，PA ⊥BC,点D,E,F,G 分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.（Ⅰ）求证：DE ∥平面BCP ；（Ⅱ）求证：四边形DEFG 为矩形；7.如图，四棱锥P-ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，点E 在线段AD 上，且CE ∥AB 。

（1） 求证：CE ⊥平面PAD ；（11）若P A =AB =1，AD =3，CD ∠CDA =45°，求四棱锥P-ABCD的体积 8.（11安徽19）（本小题满分13分）如图，ABEDFC 为多面体，平面ABED 与平面ACFD 垂直，点O 在线段AD 上，1OA =，2OD =，△OAB ，△OAC ，△ODE ，△ODF 都是正三角形。

2013年全国各地高考试题汇编(立体几何) 1．（12分）（2013•安徽）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，已知PB=PD=2，PA=．（Ⅰ）证明：PC⊥BD（Ⅱ）若E为PA的中点，求三棱锥P﹣BCE的体积．解：（I）连接AC交BD于O，连接PO∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，且O是BD的中点∵△PBD中，PD=PB，O为BD中点，∴PO⊥BD∵PO、AC⊂平面PAC，PO∩AC=O，∴BD⊥平面PAC，∵PC⊂平面PAC，∴PC⊥BD；（II）∵ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，∴BO=AB=1，AC==2，可得△ABC的面积为S=AC×BO=∵Rt△PAO中，AO=AC=，PA=，∴PO==从而得到三棱锥P﹣ABC的体积V P﹣ABC=×S△ABC×PO==1∵E为PA中点，∴E到平面ABC的距离d=PO=由此可得三棱锥E﹣ABC的体积V E﹣ABC=×S△ABC×d=×=因此，三棱锥P ﹣BCE 的体积V P ﹣EBC =V P ﹣ABC ﹣V E ﹣ABC =．2.(本小题共14分）(2013北京.理)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA C C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面11AA C C ，3AB =，5BC =．（Ⅰ）求证：1AA ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角111A BC B --的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段1BC 上存在点D ，使得1AD A B ⊥，并求1BD BC 的值．（I ）证明：∵AA 1C 1C 是正方形，∴AA 1⊥AC ．又∵平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，平面ABC ∩平面AA 1C 1C=AC ， ∴AA 1⊥平面ABC ．（II ）解：由AC=4，BC=5，AB=3． ∴AC 2+AB 2=BC 2，∴AB ⊥AC ．建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1（0，0，4），B （0，3，0），B 1（0，3，4），C 1（4，0，4）， ∴，，．A 1C 1B 1CBA设平面A 1BC1的法向量为，平面B1BC1的法向量为=（x2，y2，z2）．则，令y1=4，解得x1=0，z1=3，∴．，令x 2=3，解得y2=4，z2=0，∴．===．∴二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值为．（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D，∴=，=（0，3，﹣4），∵，∴，∴，解得t=．∴．3.（13分）（2013•北京）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB ⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F分别是CD和PC的中点，求证：（Ⅰ）PA⊥底面ABCD；（Ⅱ）BE∥平面PAD；（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．4．(2013大纲版.文)（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形．（I）证明：PB⊥CD；（II）求点A到平面PCD的距离．（I）证明：取BC的中点E，连接DE，则ABED为正方形，过P作PO ⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA，OB，OD，OE由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA=PB=PD∴OA=OB=OD，即O为正方形ABED对角线的交点∴OE⊥BD，∴PB⊥OE∵O是BD的中点，E是BC的中点，∴OE∥CD∴PB⊥CD；（II）取PD的中点F，连接OF，则OF∥PB由（I）知PB⊥CD，∴OF⊥CD，∵，=∴△POD为等腰三角形，∴OF⊥PD∵PD∩CD=D，∴OF⊥平面PCD∵AE∥CD，CD⊂平面PCD，AE⊈平面PCD，∴AE∥平面PCD∴O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离∵OF=∴点A到平面PCD的距离为1．5．（13分）（2013•福建）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0）（1）求证：CD⊥平面ADD1A1（2）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值（1）证明：取DC得中点E，连接BE，∵AB∥ED，AB=ED=3k，∴四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AD，且BE=AD=4k，∴BE2+EC2=（4k）2+（3k）2=（5k）2=BC2，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CD，又∵BE∥AD，∴CD⊥AD．∵侧棱AA1⊥底面ABCD，∴AA1⊥CD，∵AA1∩AD=A，∴CD⊥平面ADD1A1．（2）解：以D为坐标原点，、、的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A（4k，0，0），C（0，6k，0），B1（4k，3k，1），A1（4k，0，1）．∴，，．设平面AB1C的一个法向量为=（x，y，z），则，取y=2，则z=﹣6k，x=3．∴．设AA1与平面AB1C所成角为θ，则===，解得k=1，故所求k=1．6．(2013广东.理)（14分）如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A∠=︒,6BC=,,D E分别是,AC AB上的点,CD BE==O为BC的中点.将ADE∆沿DE折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE'-,其中A O'=(Ⅰ) 证明:A O'⊥平面BCDE；(Ⅱ) 求二面角A CD B'--的平面角的余弦值.【解析】(Ⅰ) 在图1中,易得3,OC AC==连结,OD OE,在OCD∆中,由余弦定理得OD由翻折不变性可知A D'=所以222A O OD A D''+=,所以A O OD'⊥,理可证A O OE'⊥, 又OD OE O=,所以A O'⊥平面BCDE.(Ⅱ) 传统法:过O作OH CD⊥交CD的延长线于H,连结A H', 因为A O'⊥平面BCDE,所以A H CD'⊥,所以A HO'∠为二面角A CD B'--的平面角.结合图1可知,H为AC中点,故OH从而A H'.COBD EACDO BE'A图1 图2所以cos OHA HO A H'∠=='所以二面角A CD B '--的平面角的余弦值为向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz -如图所示,则(A ',()0,3,0C -,()1,2,0D -所以(CA '= ,(1,DA '=-设(),,n x y z =为平面A CD '的法向量,则00n CA n DA ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩,即3020y x y⎧=⎪⎨-+=⎪⎩,解得y x z =-⎧⎪⎨⎪⎩,令1x =,得(1,n =-由(Ⅰ) 知,(OA '=为平面CDB 的一个法向量,所以cos ,n OA n OA n OA '⋅'='即二面角A CD B '--的平面角的余弦18.（本小题满分12分）(2013湖南.理)如图，在直棱柱1111ABCD A B C D -中，//AD BC ，090BAD ∠=，AC BD ⊥，1BC =，13AD AA ==（1）证明：1AC B D ⊥（2）求直线11B C 与平面1ACD 所成角的正弦值解析：（1）如图1因为1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1AC BB ⊥又因为AC BD ⊥，所以AC ⊥平面1BB D ，而1B D ⊂面1BB D ，所以1AC B D ⊥（2）因为11//B C AD ，所以直线11B C 与平面1ACD 所成的角等于直线AD 与平面1ACD 所成的角（记为θ）如图1，连接1A D ，因为棱柱1111ABCD A B C D -是直棱柱，且11190B A D BAD ∠=∠=，所以11A B ⊥平面11ADD A ，从而111A B AD ⊥，又13AD AA ==，所以四边形11ADD A 是正方形，于是11A D AD ⊥，故1AD ⊥平面11A B D ，于是11AD B D ⊥由（1）知，1AC B D ⊥，所以1B D ⊥平面1ACD ，故0190ADB θ∠=-，在直角梯形ABCD 中，因为AC BD ⊥，所以BAC ADB ∠=∠，从而Rt ABC Rt DAB ∆∆ ，故AB BCDA AB=，即AB ==1AB ，易知1AB D ∆是直角三角形，且22222211121B D B B BD B B AB AD =+=++=，即1B D =在1Rt AB D ∆中，11cos 7AD ADB B D ∠===，即0cos(90)7θ-=，从而sin 7θ=即直线11B C 与平面1ACD所成角的正弦值为7（向量的解法略）。

第二节 空间几何体的表面积和体积[备考方向要明了]考 什 么怎 么 考了解球体、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式).1.多以选择题或填空题的形式考查，有时也以解答题形式考查．2.常以三视图为载体考查几何体的表面积或体积，如2012年某某T12，某某T6，某某T11等．也可以给出几何体的棱、面满足的条件来计算表面积或体积，如2012年某某T7，某某T13.解答题(其中的一问)一般给出相关条件来判断几何体形状特征(特别是几何体的高)并计算体积或表面积，如2012年某某T18(2)，某某T19(2)等.[归纳·知识整合]1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱 圆锥 圆台侧面展开图侧面积公式S 圆柱侧＝2πrl S 圆锥侧＝πrlS 圆台侧＝π(r ＋r ′)l名称几何体 表面积体积柱体(棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝Sh锥体(棱锥和圆锥) S 表面积＝S 侧＋S 底 V ＝13Sh 台体(棱台和圆S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下V ＝13(S 上＋S 下＋台) S 上S 下) h球S ＝4πR 2V ＝43πR 3[探究] 1.柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么联系？ 提示：2．如何求不规则几何体的体积？提示：常用方法：分割法、补体法、转化法．通过计算转化得到基本几何体的体积来实现．[自测·牛刀小试]1．棱长为2的正四面体的表面积是( ) A.3B ．4 C ．43D ．16解析：选C 正四面体的各面为全等的正三角形，故其表面积S ＝4×34×22＝4 3. 2．(2012·某某高考)一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为________． 解析：由已知条件得圆柱的底面半径为1，所以S 表＝S 侧＋2S 底＝cl ＋2πr 2＝2π×2＋2π＝6π.答案：6π3．(教材习题改编)一个球的半径扩大为原来的3倍，则表面积扩大为原来的______倍；体积扩大为原来的______倍．解析：设原球的半径为1，则半径扩大后半径为3，则S 1＝4π，S 2＝4π×32＝36π，即S 2S 1＝9，所以表面积扩大为原来的9倍．由V 1＝43π，V 2＝43π×33＝12π，即V 2V 1＝27，所以体积扩大为原来的27倍．答案：9 274．(2012·某某高考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：由三视图可知该组合体的上方是一个高为1，底面直径为2的圆柱，下方是一个长、宽、高分别为4、3、1的长方体，如图所示，它的体积V＝1×π＋4×3×1＝12＋π.答案：12＋π5．(教材习题改编)如图，用半径为2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的容积是________．解析：由于半圆的圆弧长等于圆锥底面圆的周长，若设圆锥底面圆半径为r，则得2π＝2πr，解得r＝1，又圆锥的母线长为2，所以高为3，所以这个圆锥筒的容积为1 3π×12×3＝33π.答案：33π几何体的表面积[例1] (2012·高考)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )A ．28＋65B ．30＋6 5C ．56＋125D ．60＋12 5[自主解答] 该三棱锥的直观图如图所示．据俯视图知，顶点P 在底面上的投影D 在棱AB 上，且∠ABC ＝90°，据正视图知，AD ＝2，BD ＝3，PD ＝4， 据侧视图知，BC ＝4.综上所述，BC ⊥平面PAB ，PB ＝PD 2＋BD 2＝5，PC ＝BC 2＋PB 2＝16＋25＝41， AC ＝AB 2＋BC 2＝41， PA ＝PD 2＋AD 2＝2 5.∵PC ＝AC ＝41，∴△PAC 的边AP 上的高为h ＝PC 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫AP 22＝6.∴S △PAB ＝12AB ·PD ＝10，S △ABC ＝12AB ·BC ＝10，S △PBC ＝12PB ·BC ＝10，S △APC ＝12AP ·h ＝6 5.故三棱锥的表面积为S △PAB ＋S △ABC ＋S △PBC ＋S △APC ＝30＋6 5. [答案] B ——————————————————— 由三视图求几何体表面积的方法步骤根据三视图画出直观图―→确定几何体的结构特征―→利用有关公式计算1．(2013·马某某模拟)如图是一个几何体的三视图，则它的表面积为( )A ．4π B.15π4C ．5π D.17π4解析：选D 由三视图可知该几何体是半径为1的球被挖出了18部分得到的几何体，故表面积为78·4π·12＋3·14·π·12＝174π.几何体的体积[例2] (1)(2012·某某高考)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.8π3B ．3π C.10π3D ．6π (2)(2012·某某高考)某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是________．[自主解答] (1)由三视图可知，该组合体上端为一圆柱的一半，下端为圆柱．其体积V ＝π×12×2＋12×π×12×2＝3π.(2)据三视图可知，该几何体是一个直四棱柱，其底面是直角梯形(两底边长分别为2、5，直腰长为4，即梯形的高为4)，高为4.∴该几何体的体积为V ＝2＋52×4×4＝56.[答案] (1)B (2)56——————————————————— 由三视图求解几何体体积的解题策略以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解．2．(2012·新课标全国卷)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )A ．6B ．9C ．12D ．18解析：选B 由三视图可知该几何体为底面是斜边为6的等腰直角三角形高为3的三棱锥，其体积为13×12×6×3×3＝9.3．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )A ．8－2π3B ．8－π3C ．8－2π D.2π3解析：选A 圆锥的底面半径为1，高为2，该几何体体积为正方体体积减去圆锥体积，即V ＝23－13×π×12×2＝8－23π.与球有关的切、接问题[例3] (2012·新课标全国卷)已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( )A.26B.36C.23D.22[自主解答] △ABC 的外接圆的半径r ＝33，点O 到平面ABC 的距离d ＝R 2－r 2＝63.SC 为球O 的直径，故点S 到平面ABC 的距离为2d ＝263，故棱锥的体积为V ＝13S △ABC ×2d ＝13×34×263＝26.[答案] A ——————————————————— 与球有关的切、接问题的解题策略解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．4．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为32，则这个四棱锥的外接球的表面积为( )A ．12πB ．36πC ．72πD ．108π解析：选 B 依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为32×2＝6，高为 322－12×62＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3，所以其外接球的表面积等于4π×32＝36π.3个步骤——求解与三视图有关的几何体的表面积、体积的解题步骤3种方法——求空间几何体体积的常用方法(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算．(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等．(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体．1种数学思想——求旋转体侧面积中的转化与化归的数学思想方法计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法.创新交汇——空间几何体中体积的最值问题1．求空间几何体的体积一直是高考考查的重点，几乎每年都考查，既可以与三视图结合考查，又可以单独考查．而求空间几何体体积的最值问题，又常与函数、导数、不等式等知识交汇考查．2．求解空间几何体最值问题，可分为二步：第一步引入变量，建立关于体积的表达式；第二步以导数或基本不等式为工具求最值．[典例] (2012·某某高考(节选))如图1，∠ACB ＝45°，BC ＝3，过动点A 作AD ⊥BC ，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连接AB ，沿AD 将△ABD 折起，使∠BDC ＝90°(如图2所示)．当BD 的长为多少时，三棱锥A －BCD 的体积最大？[解] 如图1所示的△ABC 中，设BD ＝x (0<x <3)，则CD ＝3－x .由AD ⊥BC ，∠ACB ＝45°知△ADC 为等腰直角三角形，所以AD ＝CD ＝3－x .由折起前AD ⊥BC 知，折起后(如图2)，AD ⊥DC ，AD ⊥DC ，且BD ∩DC ＝D ，所以AD ⊥平面BDC ，∠BDC ＝90°，所以S △BCD ＝12BD ·CD ＝12x (3－x )．于是V A －BCD ＝13AD ·S △BCD ＝13(3－x )·12x (3－x )．法一：V A －BCD ＝16(x 3－6x 2＋9x )．令f (x )＝16(x 3－6x 2＋9x )．由f ′(x )＝12(x －1)(x －3)＝0，且0<x <3，解得x ＝1.当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1,3)时，f ′(x )<0， 所以当x ＝1时，f (x )取得最大值，即BD ＝1时， 三棱锥A －BCD 的体积最大．法二：V A －BCD ＝112·2x (3－x )(3－x )≤112·⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋3－x ＋3－x 33＝23， 当且仅当2x ＝3－x ，即x ＝1时，取“＝”． 故当BD ＝1时，三棱锥A －BCD 的体积最大． [名师点评]解答此题的关键是恰当引入变量x ，即令BD ＝x ，结合位置关系列出体积的表达式，将求体积的最值问题转化为求函数的最值问题．[变式训练]如图，动点P 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上．过点P 作垂直于平面BB 1D 1D 的直线，与正方体表面相交于M ，N .设BP ＝x ，MN ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )解析：选B 显然，只有当P 移动到中心O 时，MN 有唯一的最大值，淘汏选项A 、C ；P 点移动时，取AA 1的中点E ，CC 1的中点Q ，平面D 1EBQ 垂直于平面BB 1D 1D ，且M 、N 两点在菱形D 1EBQ 的边界上运动，故x 与y 的关系应该是线性的，淘汰选项D ，选B.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A ．7B ．6C ．5D ．3解析：选A 设圆台较小底面半径为r ， 则另一底面半径为3r .由S ＝π(r ＋3r )·3＝84π，解得r ＝7.2．(2013·某某模拟)一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为( )A.32π B．2π C ．3π D．4π解析：选A 依题意知，该几何体是一个底面半径为12、高为1的圆柱，则其全面积为2π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2π×12×1＝32π.3．(2012·某某高考)某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )A ．72π B．48π C ．30π D．24π解析：选C 此几何体由半个球体与一个圆锥组成，其体积V ＝12×43π×33＋13π×32×52－32＝30π.4．(2013·某某模拟)设一个球的表面积为S 1，它的内接正方体的表面积为S 2，则S 1S 2的值等于( )A.2πB.6π C.π6D.π2解析：选D 设球的半径为R ，其内接正方体的棱长为a ，则易知R 2＝34a 2，即a ＝233R ，则S 1S 2＝4πR 26×⎝ ⎛⎭⎪⎫233R 2＝π2. 5．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．48B ．32＋817C ．48＋817D ．80解析：选C 由三视图可知几何体是一个放倒的直棱柱(最大的侧面贴在地面上)，直观图如图，底面是等腰梯形，其上底长为2，下底长为4，高为4，∴两底面积和为2×12×(2＋4)×4＝24， 四个侧面的面积为4×(4＋2＋217)＝24＋817，∴几何体的表面积为48＋817.6．已知正方形ABCD 的边长为22，将△ABC 沿对角线AC 折起，使平面ABC ⊥平面ACD ，得到如图所示的三棱锥B －ACD .若O 为AC 边的中点，M ，N 分别为线段DC ，BO 上的动点(不包括端点)，且BN ＝CM .设BN ＝x ，则三棱锥N －AMC 的体积y ＝f (x )的函数图象大致是( )解析：选B 由平面ABC ⊥平面ACD ，且O 为AC 的中点可知，BO ⊥平面ACD ，易知BO ＝2，故三棱锥N －AMC 的高为ON ＝2－x ，S △AMC ＝12MC ·AD ＝2x ，故三棱锥N －AMC 的体积为y ＝f (x )＝13·(2－x )·2x ＝13(－2x 2＋22x )(0<x <2)，函数f (x )的图象为开口向下的抛物线的一部分．二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．(2012·某某高考)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是________．解析：由三视图可知此几何体为底面是直角梯形的直四棱柱，其表面积S ＝(4＋2＋5＋5)×4＋2×12×(2＋5)×4＝92. 答案：928．(2012·某某高考)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3 cm ，AA 1＝2 cm ，则四棱锥A －BB 1D 1D 的体积为________cm 3.解析：由题意，四边形ABCD 为正方形，连接AC ，交BD 于O ，则AC ⊥BD .由面面垂直的性质定理，可证AO ⊥平面BB 1D 1D .四棱锥底面BB 1D 1D 的面积为32×2＝62，从而VA －BB 1D 1D ＝13×OA ×S 长方形BB 1D 1D ＝6. 答案：69．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的外接球的表面积为________．解析：该棱锥的直观图如图，取CD 的中点E ，BD 的中点F ，由三视图知，AE ⊥平面BCD ，AF ＝5，AE ＝52－32＝4，∠CBD ＝90°.设O 为该棱锥外接球的球心，半径为R ，由题知BO 2＝BE 2＋EO 2，即R 2＝(32)2＋(R －4)2，解得R ＝174，故球的表面积为S ＝4×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1742＝289π4. 答案：289π4三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．(2013·某某模拟)如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC＝135°，AB ＝5，CD ＝22，AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．解：由已知得：CE ＝2，DE ＝2，CB ＝5，S 表面＝S 圆台侧＋S 圆台下底＋S 圆锥侧＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×22＝(60＋42)π，V＝V 圆台－V 圆锥＝13()π·22＋π·52＋22·52π2×4－13π×22×2＝1483π. 11．(2013·某某模拟)一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为3，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．(1)求该几何体的体积V ；(2)求该几何体的表面积S .解：(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为 3.所以V ＝1×1×3＝ 3.(2)由三视图可知，该平行六面体中，A 1D ⊥平面ABCD ，CD ⊥平面BCC 1B 1，所以AA 1＝2，侧面ABB 1A 1，CDD 1C 1均为矩形，所以S ＝2×(1×1＋1×3＋1×2)＝6＋2 3.12．如图1所示，在边长为12的正方形ADD 1A 1中，点B 、C 在线段AD 上，且AB ＝3，BC ＝4，作BB 1∥AA 1分别交A 1D 1、AD 1于点B 1、P ，作CC 1∥AA 1分别交A 1D 1、AD 1于点C 1、Q ，将该正方形沿BB 1、CC 1折叠，使得DD 1与AA 1重合，构成如图2所示的三棱柱ABC －A 1B 1C 1.(1)求证：AB ⊥平面BCC 1B 1；(2)求多面体A 1B 1C 1－APQ 的体积．解：(1)由题知，在图2中，AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴AB 2＋BC 2＝CA 2，∴AB ⊥BC .又∵AB ⊥BB 1，BC ∩BB 1＝B ，∴AB ⊥平面BCC 1B 1.(2)由题易知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为12×3×4×12＝72. ∵在图1中，△ABP 和△ACQ 都是等腰直角三角形，∴AB ＝BP ＝3，AC ＝CQ ＝7，∴V A －CQPB ＝13×S 四边形CQPB ×AB ＝13×12×(3＋7)×4×3＝20. ∴多面体A 1B 1C 1－APQ 的体积V ＝VABC －A 1B 1C 1－V A －CQPB ＝72－20＝52.1．如图是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，且正视图、侧视图都是矩形，则该几何体的体积是( )A ．24B ．12C ．8D ．4解析：选B 依题意知，该几何体是从一个长方体中挖去一个三棱柱后剩下的部分，因此其体积等于2×3×4－12×2×3×4＝12. 2．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是( )A ．32B ．16＋16 2C ．48D ．16＋32 2解析：选B 该空间几何体是底面边长为4、高为2的正四棱锥，这个四棱锥的斜高为22，故其表面积是4×4＋4×12×4×22＝16＋16 2.3．如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．解析：由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为32，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为22，所以体积V＝13×1×1×22＝26.答案：2 64．如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2 cm，高为5 cm，则一质点自点A 出发，沿着正三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为________cm.解析：根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为52＋122＝13 (cm)．答案：13。