现代数学的特点和意义
——摘自杜珣编著的《现代数学引论》的绪论（北京大学出版社，1996）
一．现代数学是数学发展的新阶段
纵观数学的历史发展，可以清楚的划分为初等数学、高等数学和现代数学三个阶段。从古代到17世纪初为初等数学阶段；从17世纪初到19世纪末为高等数学阶段；从19世纪末开始，数学进入了现代数学阶段。
按照传统的、经典的说法，数学是研究“显示世界的数量关系和空间形式”的科学，或者简单地说，是研究数和形的科学。然而作为数学对象的数和形，在三个阶段里是很不相同的。在初等数学阶段，“数”是常量，“形”是孤立的、简单的几何形体。初等数学分别研究常量见的代数运算和几何形体内部以及相互间的对应关系，形成了代数和几何两大领域。
高等数学以笛卡尔(R. Descartes)建立解析几何（1637）为起点，17世纪89年代微积分的建立是这一阶段最显赫的成就和标志。在高等数学阶段，数是变量，形是曲线和曲面，高等数学研究它们之间各种函数和变换关系。这时数和形紧密的联系在起来，但大体上还是个成系统的。由于发轫与微积分的方向数学的兴起和发展，数学形成为代数、几何和分析三大领域。
现代数学阶段以康托尔（G. Cantor）建立集合论（1874）为起点。正如数学家陈省身所说：“康托尔的集合论，独创新意，高瞻远瞩，为数学立了基础。”29世纪以后，用公理化体系和结构观点来通观数学，成为现代数学的明显标志，现代数学阶段的研究对象是一般的集合、各种空间和流形。它们都能用集合和映射的概念统一起来，已很难区分哪些是属于数的范畴，哪些属于形的范畴了。
二．现代数学的特点
现代数学作为数学发展的新阶段，它必然在数学的固有特点（抽象性、精确可靠性、广泛应用性等）方面有所发展，这些特点相互间又是彼此联系的。
1. 高度的抽象和统一
抽象性是数学这门科学的一个最基本、最显著的特点。而现代数学更加充分、更加积极主动的发挥着这一特点。现代数学的研究对象、研究内容和研究方法，都呈现出高度的抽象和统一。
所谓抽象和统一，就是把不同对象中共同的、本质的东西抽象出来，作为高一层次的对象加以研究，从而把原来许多不同的对象统一起来，求得共同的本质的规律。一个最简单的例子就是各种算术应用问题可以用代数统一起来，掌握算术的最好的方法就是学会代数。
抽象和统一是一个完整概念的两个方面。为了统一必须抽象，有了抽象就能统一，并且还扩大了范围。集合概念是对数学所研究的各种对象的抽象概括。把一般的集合作为现代数学的研究对象，这就能把数学的个不同领域统一起来，并极大地扩大了数学的范围。例如流形是三位空间中的曲线、曲面和区域的抽象概括，流形不仅把它们统一起来，并且推广到高维空间中。
在以前的数学发展中，抽象化的进度是比较缓慢的。只是在它对原来层次的研究已充分详尽地展开，客观上实有必要时才进入更高层次的研究。先代数学的发展状况则完全不同，抽象化的进入大大加快了。（略去部分文字）
我们说，现代数学是高度的抽象和统一，这“高度”二字的含义是指他不断地和积极主动地想更高层次做抽象，数学家们自觉地、运用自如地发挥着抽象化的特点和威力。
以代数学科的发展为例：算术的发展有好几千年，进入以解一次、二次方程为主的小代数发展也近千年，16019世纪初发展以方程论（包括高次方程和线性方程组）为中心的大代数；19世纪以来约百年之久发展了研究矩阵、置换群、数域等具体的代数结构的高等代数；20世纪20年代开始发展用统一观点、从公理出发研究各种代数系统（如群、环、域、模等）的抽象代数（也称近似代数）；20世纪40年代以后又出现了以一般代数系统为研究对象的泛代数。这里从算术——小代数——大代数——高等代数——近世代数——泛代数每一个比一个层次更高、更抽象，抽象化的进度越来越快。
再如，从微积分建立以来，人们长期研究的都是一维、二维和三维欧氏空间的微积分，研究得很充分。因为现实空间都是三维的，加上时间变量才有四维时空的概念。后来多参数、多变量的问题需要研究更高维数，才有必要研究一般的n 维欧氏空间，以后又由于物理问题的需要，在1900年前后提出了无限维空间，即Hilbert 空间的研究；不久在1906年Frechet 提出一般的距离空间，并在其中讨论极限、连续等；很快到了1914年Hausdoff 又提出拓扑空间，并在其中讨论极限、连续等。这里从低维欧氏空间——n 维欧氏空间——Hilbert 空间——距离空间——拓扑空间，也是一个比一个层次更高、更抽象，抽象化进度越来越快。二高一层次的研究直接有助于低一层次研究的深入。
有了高度的抽象和统一，才能更深入地揭示本质的数学规律和得到更广泛的应用。此外，人们为了能把一代代积累起来、并且迅速递增的数学知识，加以整理和流传下去，也必须努力把它们加以简化和统一。中首先要求数学语言和符号的简化，用一些简单基本的词汇、符号，尽量包含更多的信息，刻画复杂的数学规律。现在全世界研究基本形成了一套数学符号系统，它们简明、抽象、准确、有效，知识现代数学发展的必要条件之一。
现代数学的高度抽象和统一，更能显示数学的美。以本书最后讲述的广义Stocks 公式为例，写它只用九个字符：
d V V ωω?=??，
它却把微积分中的牛顿—莱布尼茨公式，格林公式，Stocks 公式和奥-高公式，这一系列基本公式都作为简单特例而统一起来了。广义Stocks 公式内容极为丰富，它适用于任何高维的空间和一般的流形，二它的形式又特别简单。现代数学的简洁、统一、对称、和谐的美，在它的身上得到了充分的体现。
2. 注重公理化体系的建立和结构的分析
希腊数学家欧几里德在其《几何原本》中首创的公理化方法为数学家和物理学家树立了如何建立科学理论体系的光辉典范。所谓公理化方法，就是以尽可能少的原始概念和不加证明的公理作为基础，用逻辑推理来建立演绎的科学理论。
（略去部分文字）
公理化方法，不仅能系统地总结数学知识、清楚地揭示数学的理论基础，有利于比较各个数学分支的本质异同，并能促进新数学理论的建立和发展。一个突出的例子就是在欧氏几何的公理系统中，只要换一条平行公理，就导致肺欧几何的建立。非欧几何的发现是数学史上一个重要的里程碑，而欧氏几何与非欧几何的天壤之别，根源仅仅在于一条平行公理的不同，这就充分显示出公理化方法的威力。
形成于20世纪30年代的法国数学家团体——布尔巴基学派，以康托尔的几何论为出发点，系统地运用Hilbert 的公理化思想方法，提出用结构的观点统观数学。他们用全局观点分析和比较了各个数学分支的公理体系结构，并按照结构的不同和内在联系对数学加以分类和重建，力图将整个数学大厦组建成一个渊源统一、脉络清晰、枝繁叶茂、井然有序的理论体系。他们认为，“数学。至少纯数学是研究抽象结构的理论。”这一观点对现代数学的发展有着深刻的影响。
早在16世纪，为解二次方程就引进了i=，但它长期不被人理解因而被承为虚数。直到19世纪，人们认识到复数i
x y对应起来，两者间有相同的结构，
+可与平面上的点(,)
x y
从而复数的研究有了世纪意义而获得了飞速的发展和应用。没有复数，就没有电学，就没有近代文明。这个例子充分显示了吧一个陌生的对象纳入一个已知的结构之中，知识多么地重要，会产生多么巨大惊人的效益。
所谓“数学结构”是指遵从一些公理的几何和映射所组成的系统。布尔巴基学派提出了数学中的三种基本结构，即序结构、代数结构金额拓扑结构。以后数学家们认为测度结构也是一种基本结构。对这些基本结构作各种交错复合，可派生出许许多多不同的数学结构。例如，序结构中有偏序、全序等，代数结构中有群、域、线性空间等，拓扑结构中有距离空间、拓扑空间等。而全序域、拓扑群、距离线性空间都是两个基本结构的复合，有序距离线性空间则是三种基本结构的复合。
“结构”也是数学家的工具。按照结构分析来划分和概括数学个分支的研究领域，不但使数学形成统一的整体，而且能清楚地看出各个不同分支的相互联系。结构的观点有助于数学理论和解决数学问题；我们一旦认识到所研究的对象满足某种结构，就立刻可以运用那种结构领域内的概念和定理，从而可以节省四维劳动，布尔巴基学派在代数几何，代数拓扑、泛函分析、广义函数、李群等现代数学领域中做出了辉煌的贡献，这和他们掌握“结构”的思想，充分运用这个现代数学工具是分不开的。
数学是扎根于客观现实世界的，数学结构也必须是客观世界现实存在的结构的抽象概括。上述四种基本结构的每一个都是实数系统的某个侧面的抽象。序结构是从数的大小顺序抽象出来的，代数结构是从算术运算规律抽象出来，拓扑结构是距离、邻域概念的抽象，测度结构是长度、面积、体积概念的抽象，它使形式脱离空间，使关系脱离数量，把纯形式与纯关系都用“结构”一词概括，结构就成了数学研究的对象。
（略去部分文字）
3. 注意不同数学学科的结合、不断开拓新领域
现代数学的一个显著特征就是其不同分支间的相互渗透和联系。其结果有的使原来的学科面貌完全改观，有的相互结合发展成新的数学分支。前者典型的例子是微分几何、微分方程、概率论等，这些学科的名称前都可以分别加上“古典”或“现代”二字，以区别这些学科从研究对象到研究方法都发生了巨大变化。后者的例子有代数几何，代数拓扑、微分拓扑、积分几何等，从这些学科的名称可以知道它们是由哪些学科相结合的产物。
数学中不同分支和不同领域的相互结合和渗透，使得现代数学完全改变了经典数学中代数、几何、分析三足鼎立的局面。本来三者各自形成独立的体系，个有其独特的研究方法。代数方法注重公理体系结构，几何方法富有几何的直观，分析方法则以精细的分析见长。现代数学则把这三者结合起来，综合运用代数、几何和分析的研究方法。“泛函分析”作为现代数学的基础之一和主要研究领域之一，就最充分地显示了这三种方法综合运用的卓越成
效。
一些看来相距甚远、甚至方向相反的数学领域，现在也有了密切的联系。研究有限量的离散数学（如数论，代数等）与研究无限的连续性数学（如微积分，拓扑等）是两个对立的方向。而解析数论、代数拓扑等学科则把两者结合起来。数学的发展证明：离散数学和连续数学是相互关联和相互促进的，它们的界限也变得不那么分明了。今天连续性问题的解决离不开离散性的计算机，而许多离散现象的重要结果也需要运用微积分的分析方法来证明。
研究确定性现象的数学（如微风方程、微风动力系统）和研究随机现象的数学（如概率论、数理统计）也是反方向相反又相互联系的，并且随这各自的发展，越来越表现出相互结合的趋势。研究随机现象和过程的数学离不开确定数学来作为工具，而且这种依赖的广度和深度日益增加，从而导致了一系列确定数学分支的随机化，如随机微分方程，随机泛函分析，随机线性算子等学科相继出现。另一方面，随机数学也为确定数学提供了计算和证明的工具与技巧。例如，49年代出现的蒙特卡洛法，随着计算机的发展，其应用愈来愈广，它对高维问题的计算尤为有效。
在数学的专门化、复杂性日益增长的同时，个主要学科中许多思想渐趋统一，各主要学科的界限渐渐模糊，尽管数学学科的内容十分浩繁，范围十分广大，新的领域不断开辟（20世纪60年代以来出现了如飞标准分析、突变论、模糊数学以及运筹学与计算数学中许多新的分支学科），但数学毕竟还是一个不可分割的有机整体。
4. 研究更加符合实际的数学模型，解决更复杂的问题
（略去部分文字）
现代数学正在向复杂性进军，人们研究的对象愈来愈复杂。在运用数学方法研究复杂问题时，关键在于能够建立既能反映问题本质，又是简化了的数学模型。简化是为了便于进行数学处理。由于生产和科技的发展，提出解决的问题所需的精度日益提高，原来的数学模型已比能满足需要；同时由于现代数学的发展，特别是计算机的发展，使处理和计算复杂数学模型也成为可能，于是要研究的数学模型和要解决的数学问题就愈来愈复杂。有简单到复杂，知识现代数学发展的总的不可逆转的趋势。数学模型的复杂化有下列种种表现：（1）从单变量到多变量，从低维到高维
（略去部分说明性文字）
（2）从线性到非线性
（略去部分说明性文字）
（3）从局部到整体
（略去部分说明性文字）
（4）从连续到间断，从稳定到分岔
（略去部分说明性文字）
（5）从精确到模糊
（略去部分说明性文字）
（6）从静态到动态，从平衡到不平衡，从光滑到非光滑，从适定性问题到不适定性问题，从固定边界条件到自由边界条件等等。
5. 与电子计算机的紧密联系
6. 数学向一切学科和社会部门渗透与应用
（周国标输入）
中国传统文化的当代价值及其传承* 窦坤1,2,新科1 (1.师大学教育学院,710062;2.西北政法大学外国语学院, 710063) 摘要:中国传统文化是中华民族在数千年的历史中创造的灿烂文化,它所蕴含的博大精深的容,具有强烈的历史性、民族性和继承性,影响着我们今天的生活、制约着我们当今的教育。然而,在对待我国传统文化的态度及其传承上,当今人们却有着基本的文化判断力和理性的缺失。传统文化究竟能为当代中国带来什么,又能在多元共生的全球对话背景下给世界以何种影响,需要我们深入地反思与追问。以中国传统文化的基本涵入手,深入分析了中国传统文化的当代价值。提出中国传统文化不能仅靠延续,更需要创造性的转换,使其得到良性的传承和发展。因此,摒弃出于对现实利益的得失和民族情节的片面做法,全面理性地认识我国传统文化,对于开创有中国特色的文化,形成良好的科学发展观,为构建和谐社会提供历史的镜鉴和现实的渊源,促进全球文化的平等与交流,具有十分重要的现实意义。 关键词:中国传统文化;当代价值;文化传承 一、中国传统文化的基本涵 中国传统文化包含了三个小概念:中国、传统、文化。中国,在西周初期有三种含义:天子所属之城, 即京师,与四方诸侯相对举;商周封域,与远方相对举;专指以为中心的地区,即夏区,用于周所封诸侯,称为诸夏,与四夷相对举。在统一多民族
国家的形成过程中,中国的含义多次发生深刻的变化。由专指中原发展为包括所有郡县,进而发展为包括所有边疆,由专指汉民族发展为包括中国各民族,由中华的统称发展为作为主权国家的专称。传统,是指人类创造的不同形态的质,经由历史凝聚而沿袭着、流变着的各种文化因素构成的有机系统。传统是来自于过去,而现在仍有生命力的东西。所以说,传统不仅有历史意义,而且拥有超越历史的意义。“文化”一词源于《易经》。《易经》云:“观乎天文,以察时变;观乎人文,以化正天下。”其意是按照人文进行教化。到了汉代,文化成为相连的常用词,多为“以文德治天下”之意,或与未经教化的“野蛮”、“质朴”相对举。广义的文化是指人类社会历史实践过程中所创造的物质财富和精神财富的总和。而狭义的文化,除指社会的意识形态以及与之相适应的制度和组织机构外,有时又专指文学艺术,如“文化部”、“文化部门”等。中国传统文化是中华民族在中国本土上创造的文化,它从远古延续到今天,已有五千年的历史。其中,从夏、商、周以来至鸦片战争前的这一大段属于中国传统文化的畴,它是中华民族在特定的地理 环境、经济形式、政治结构、意识形态的作用下,世代形成、积淀,并为大多数人所认同而流传下来的中国古代文化,它不但占据了中国文明社会的绝大部分时期,而且在今天建设有中国特色的社会主义时期,至今仍在影响着我们当代的文化。 二、中国传统文化的精神要义 文化的基本精神就是文化发展过程中的精微的 在动力,也是指导民族文化不断前进的基本思想。中国传统文化的基
第十四章：现代数学概观－二十世纪的数学 第一节五大新兴学科的建立 一、数理逻辑 1．符号逻辑 数理逻辑作为一门数学学科，来源于对数学和逻辑基础的探讨，它最早可追溯到莱布尼茨，他关于逻辑演算的观念预示着布尔代数，而英国数学家布尔(G．Boole 1815—1864)在1847年出版《逻辑的数学分析》一书，正式推出所谓布尔代数，在逻辑上相当于命题演算．其后由英国数学家杰方斯(W．S．Jevons，1835—1882)和小皮尔斯(C．S．Peirce，1839—1914)在1874年加入次序关系，德国数学 卷中加以公理化．第一个完全形式化的语言是德国数学家弗瑞格(G．Frege，1848—1925)在1879年出版的《概念文字》中引进的．他首先定义了全称量词及存在量词．并引进一般的谓词逻辑．不过相应的逻辑代数一直到1950年才由波兰数学家塔斯基(A．Tarski，1902—1983)所发展，他引进所谓“圆柱代数”．1955年美国数学家哈尔莫斯(P．Halmos，1916—)又引进多进代数，形成一般的逻辑代数理论．1889年意大利数学家皮亚诺(G．Peano，1858—1932)提出自然数的公理系统，即后来所谓皮亚诺算术公理．而戴德金在前一年也提出类似的公理系统．弗雷格在1884年出版的《算术基础》中开始提到算术无非是扩展的逻辑．戴德金也提出类似的观点．弗雷格在1893年出版的《算术的基本规律》第一卷中，用五条逻辑公理来推导算术命题．1902年6月罗素给弗雷格一封信，提出著名的罗素悖论，并指出弗雷格的矛盾．弗雷格在1903年出版的《算术的基本规律》第二卷附录中承认这是对他的巨大打击，正是这个悖论，揭开了数理逻辑新的一章． 2．罗素悖论 罗素的悖论是关于集合论的，康托尔已经意识到不加限制地谈论“集合的集合”会导致矛盾．其他人也发现集合论中存在矛盾．而罗素在1903年出版的《数学的原理》(Principles of Mathematics)中，则十分清楚地表现出集合论的矛盾，从而动摇了整个数学的基础．罗素的悖论是说：可以把集合分成两类：凡不以自身为元素的集合称为第一类集合，凡以自身做为元素的集合称为第二类的集合，每个集合或为第一类集合或为第二类集合．设M表示第一类集合全体所成的集合．如果M是第一类集 现了这个矛盾之后，导致第三次数学危机，在数学界出现了各种意见，从抛弃集合论到尽可能保持集合论在数学中的基础地位的都有．由于20世纪数学的发展主流是建立在集合论基础之上，这里只考虑数学家如何消除悖论．在20世纪初，大致有两种办法，一个办法是罗素的分支类型论，它在1908年发表，在这个基础上罗素与怀特海(A．N．Whitehead，1861—1947)写出三大卷《数学原理》(principia Mathematica，1910—1913)，成为数理逻辑最早一部经典著作．还有一个办法是公理方法限制集合，由此产生公理集合论．3．集合论的公理化 康托尔本人没有对集合论进行公理化．集合论公理化是策梅罗(E．Zermelo，1871—1953)在1908年发表的．富兰克尔(A．Fraenkel，1891—1965)等人曾加以改进，形成著名的ZF系统，这是最常用的一个系统，因此大家都希望从中推出常用的选择公理(1904年策梅罗引进它来 设与ZF系统是相容的．1963年，柯亨(P．Cohen，1934—)发明“力迫法”证明这两条“公理”的否定也不能在ZF系统中证明，从而推出其独立性． 4．希尔伯特纲领 为了使数学奠定在严格公理化基础上，1922年希尔伯特提出希尔伯特纲领，首先将数学形式化，构成形式系统，然后通过有限主义方法证明其无矛盾性． 1928年希尔伯特提出四个问题作为实现其纲领的具体步骤： (1)分析的无矛盾性．1924年阿克曼(W．Ackermann，896—1962)和1927年冯·诺伊曼(J．Von Neumann，1903—1957)的工作使希尔伯特相信只要一些纯算术的初等引理即可证明分析的无矛盾性．1930年夏天，哥德尔开始研究这个问题，他不理解希尔伯特为什么要直接证明分析的无矛盾性．哥德尔认为应该把困难分解：用有限主义的算术证明算术的无矛盾性，再用算术的无矛盾性证明分析的无矛盾性．哥德尔由此出发去证明算术的无矛盾性而得出不完全性定理． (2)更高级数学的无矛盾性．特别是选择公理的无矛盾性．这个问题后来被哥德尔在1938年以相对的方式解决．
数学文化对数学发展的作用和意义 人类的文明，大概有四个高峰。在古希腊时代，数学仍然是古希腊文明的一个火车头。大家都知道《几何原本》，它的影响是如此之大，一直影响到今天， 它是印刷数量、版本仅次于《圣经》的读物。后来第二个高峰就是在近代文明， 就是文艺复兴到17世纪到18世纪。牛顿发明了微积分，连同他的力学把整个 科学带到了新的境界，那就是黄金时代。那时候的工程技术、资本主义工业生产、工业革命、法国大革命都是在这样的基础上面开展起来的。第三个现代文明，我们假定说爱因斯坦的相对论为基础，那么在19世纪我们就为他准备了。从高斯、黎曼准备了很多数学工作，黎曼几何就是相对论的数学基础。所以没有数学的发展，相对论就找不到一个可以表达的数学工具。那么到了20世纪下半叶信息时代文明，信息时代就是冯·诺依曼创造了计算机的方案。今天我们广泛使用的改变了人类社会形态生活方式的计算机，它的方案是一位数学家设计出来的，他就是冯·诺依曼。所以我说数学和社会的发展同步，数学和人类的文化共生。因此 数学不仅仅是一些干巴巴的条文，它是密切和人类文化联系在一起的。 数学有三个层面：一个层面就是公式定理，像勾股定理、求根公式等等。第 二个层面就是思想，就是我们公理化思想，数形结合、函数思想等等。还有一个层次就是文化价值。如果把数学文化如扮起来，数学就是一位光彩照人的科学女王。但是如果你仅仅把数学等于逻辑，等于枯燥的几条公式，那么这个美女 就变成X光下面的骷髅，就是X光的照片。所以应该正确的认识数学的文化价值。 1、数学是打开科学大门的钥匙 科学史表明，一些划时代的科学理论成就的出现，无一不借助于数学的力量。早在古代，希腊的毕达哥拉斯学派就把数看作万物之本源。享有“近代自然科学之父”尊称的伽利略认为，展现在我们眼前的宇宙像一本用数学语言写成的大书， 如不掌握数学的符号语言，就像在黑暗的迷宫里游荡，什么也认识不清。物理学家伦琴因发现了X射线而成为1910 年开始的诺贝尔物理奖的第一位获得者。当有人问这位卓越的实验物理学家科学家需要什么样的修养时，他的回答是：第一是数学，第二是数学，第三还是数学。对计算机的发展做出过重大贡献的冯·诺 依曼认为“数学处于人类智能的中心领域”。他还指出：“数学方法渗透进支配着一切自然科学的理论分支，,,它已愈来愈成为衡量成就的主要标志。”
中国传统文化不仅是中华民族历史发展的渊源，而且对现代中国社会乃至世界的发展产生着重要的影响。传统文化是增强民族自信心的基石，是构建良好民族心理的基础，是提升中国综合实力的精神资源，是建设现代文明的基本条件，是促进世界走向大融合的思想源泉 中国传统文化是中国文化的主体部分，也是从先辈传承下来的丰厚的历史遗产。它不仅记录了中华民族和中国文化发生、演化的历史，而且作为世代相传的思维方式、道德情操、价值观念、行为准则、风俗习惯，具有强大的遗传性，渗透在每一位中国人的血脉中，制约着今日之中国人的行为方式和思维方式，为建设今天中国的新文化提供了历史的基础和客观依据，它对现实社会产生着深刻的影响。 一、中国传统文化对现实社会的积极影响 中国传统文化的思想体系蕴涵着丰富的文化科学精神，在当今国际化的市场经济条件下，建设和谐国家，实现民族复兴乃至实现世界大同有着十分重要的积极影响，主要表现在以下几个方面: 1、传统文化是增强民族自信心的基石 中国优秀传统文化博大精深，源远流长，她不仅是中华民族的传统，也是中华民族的尊严，是中华民族在精神层面的具体标志，是矗立于世界之林的“形象”。特别是在中国历史上一些名副其实的不朽之作，世代相传，百读不厌，而且其智慧之火将永不会熄灭，照耀着人类的过去、现在和未来。因此，珍惜中华民族的文化遗产，维护中华民族的文化尊严，抢救保护民族文化，继承和发展中华民族优秀传统文化是当代人义不容辞的责任和义务。尤其青年一代首先要树立尊重传统文化的理念，不仅要自觉从书本上学习传统文化知识，还要懂得中华传统民俗、习惯，既要懂得民族的现实，又要更多地了解民族的历史，懂得民族的精神实质和民族的利益所在。说到底，只有继承和弘扬优秀传统文化，才能从根本上推动中华民族的发展。只有不断强化中华民族的根本利益，使中华民族的资源得到更为充分和有效的发挥与利用，才能使中华民族在地球村中发出更为响亮的声音，永远立于世界民族之林。 2、传统文化是构建良好民族心理的基础 中国优秀的传统文化多与王朝政治或社会理想相关联。一部陈旧老书，一部
韩山师范学院 成人教育学生毕业论文 （2012届） 韩山师范学院教务处制
诚信声明 我声明，所呈交的毕业论文是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果.据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，我承诺，论文中的所有内容均真实、可信. 毕业论文作者签名：签名日期：年月日
摘要 在人类文明进程中，数学作为科学的推动力或直接的参与者，起到了不可或缺的作用.20世纪，数学蓬勃发展，并向其他科学技术领域更加广泛和深入地渗透. 20世纪的数学与经典数学相比发生了翻天覆地的变化.因此, 研究20世纪数学的发展具重要的意义.本文将主要通过两个方面来展现20世纪数学发展的概貌：介绍20世纪数学发展趋势的主要特征，陈述20世纪数学的大事记. 关键词：20世纪；数学；发展趋势；大事记
Abstrac Mathematics as the driving force of science or as a direct participant plays an indispensable role in the progress of human civilization. In 20th century, mathematics developed quickly and infiltrated other science and technology field more deeply and widely. Therefore, it is significant to study the development of mathematics in the 20th century. The paper will show the general picture of the development of mathematics in the 20th century in two aspects: introducing the main characteristics of the development of mathematics in the 20th century, and giving memorabilia of mathematics in the 20th century. Key words : 20th century; mathematics; development tendency; memorabilia
论现代数学的应用价值 田红艳 摘要数学是一门古老而常新的具有高度抽象性和逻辑严谨性的学科，通过对数学所研究的算术、代数、几何、三角、解析几何、统计、概率论等内容，揭示数学在现代经济社会发展的地位和作用，揭示数学的 应用价值。数学起源于人类的实践活动。人类的实践活动是数学发展的源泉。从古至今，数学一直存在于 我们的生活里，涉及到了我们生活的方方面面，数学是随着我们人类的发展和社会的进步在发展着。当然，人类的发展也离不开数学，所以人类社会的发展必然推动着数学的发展，数学因此广泛地应用于人类 社会中，如自然科学、社会科学和工程领域等。 关键词现代数学人类社会应用价值 一、现代数学的特点 每一门科学，都有自己固有的特点，数学也不例外。随着现代数学的发展，数学的固 有特点也有所变化，有所发展，而这些特点相互之间又是紧密联系的。 1、高度的抽象和统一 任何学科都具有抽象性。然而数学的抽象性被冠以“高度地”这个定语，表明它与其 他自然科学，以及社会科学的抽象是有显著差异与区别的。其一、数学的抽象撇开研究对 象的具体内容，仅仅保留空间形式或数量关系；其二，数学的抽象是经历过一系列阶段形 成的，它的抽象深刻程度大大超过了其他自然科学或社会科学中的一般抽象；其三，不仅 数学的概念是抽象的，而且数学方法本身也是抽象的，自然科学家为了证明自己的理论， 常常求助于实验，数学家证明定理只需要用推理或计算。由于数学的高度抽象和统一，才 能更深入地揭示本质的数学规律，推动现代数学的发展。由于数学的高度抽象和统一，才 能更深刻地表现现代数学之简洁、统一、对称与和谐，显示数学的美。 2、逻辑与结构的严密 数学理论体系的一个突出特点，是其逻辑与结构的严密性。数学是公理化方法建立科 学理论体系的的光辉典范。所谓公理化方法是以一组尽可能少的不予定义的术语——即原 始概念和一组尽可能少的不加证明的命题——即公理为基础，用逻辑推理来建立、演绎的 科学理论，这是最严格、最广泛、最抽象的科学体系。 任何学科都要运用逻辑工具。但是，数学对逻辑性的要求，与其他学科也有所不同。 这是因为，数学的研究对象是具有高度抽象性的“数”和“形”，乃至“模式”和“结构”，整个数学体系难于通过实验来进行，而只能借助于严密的逻辑结构来实现。在数学
21 世纪的脚步已日趋临近之际, 世界文化结构也面临着重大的转换。一个不争的事实是, 尽管西方现代的强势文化自近代以来一直占据着主导地位, 但是随着时间的推移, 最后被证实其强势并不能消除民族文化的差异而一统天下。而世界新兴地区的崛起, 不仅从政治、经济, 也从文化方面改变着世界的格局。各种文化的多元并存, 可以说是新世纪文化发展的必然趋势, 有鉴于此全新局面的出现, 为了更好地推动有中国特色的社会主义的文化建设, 进一步促进中国社会主义现代化事业及世界文化的发展, 我们有必要由这一新的视域来再度审视中国传统文化, 立足于当代, 以面向未来的世界历史眼光考察其现实状况, 并在此客观基础上对其在现代化进程中的实际价值作一番全方位的透视, 本文拟就此进行初步的探求以求其中真义。 那么, 中国传统文化的现状究竟是怎样的呢? 要说明这一问题, 首先还是让我们一起来简要回溯一下历史。 众所周知, 以儒学为核心的中国传统文化在中世纪时代曾经创造过举世瞩目的东方文明, 然而近二个世纪以来, 它却备受蔑视、挑衅、挫折与打击。清朝末年, 一些怀抱救国图强宏愿的仁人志士, 在面对西方的坚船利炮时, 已逐渐清醒地意识到本民族文化的种种流弊, 纷纷冲破儒学传统的束缚, 力倡变法, 以图改良, 于是, 西学东渐之风自此大盛。到辛亥革命时期, 儒家建制自上而下被彻底摧毁, 虽然就民族文化传统深层结构而言并没有受到致命打击, 但从此以后, 失去其具体的托身之所的儒学确已变成了“游魂”, 再也无法恢复它以往那种君临天下的地位。而“五四”新文化运动的兴起本身即是以反传统为其重要标志的, 由于对传统文化的严重误解, 导致“五四”激进分子对中国传统的主流文化采取敌视的态度, 全盘否定中国传统文化的价值, 致使“五四”以后教育界的主流视“读经”为大戒, 一般人不但平时接触不到儒学, 而且耳濡目染多为讥骂之词, 于是, 儒家的源泉至少在知识阶层中确有渐呈枯竭之象, 而此后近四五十年间, 更因民间社会被消解、荡涤而逃遁无地。一直到20 世纪60 年代末, 美国汉学家勒文逊还认为, 儒家将会是只有在博物馆里面才找得到的东西, 而国内在文革时期对于传统文化的批判与扼杀更是史无前例的。此时的中国传统文化在经受了一百多年的不断攻击与剿杀之后, 似乎已到了“山穷水尽疑无路”的境地,然而从70 年代开始, 随着日本与所谓的四小龙——韩国、新加坡、香港、台湾的经济起飞, 人们再次目睹了以儒学为核心的中华文化的潜力与魅力, 于是重新引起了海内外的普遍关注, 掀起了文化热潮。然而这一切似乎只限于学术界, 从总体上来看, 改革开放的20 年, 由于国门大开, 西方文化思潮纷涌而入, 人们的注意力往往更多地集中在外来的先进文化上而忽略了本民族的优秀文化传统, 加之以上种种历史的原因, 使得一代代国民“很少见到、听到”中华文化的精粹, 在他们的文化记忆中, 更多的是对它的否定与批判, 以致于对自己本民族的优秀传统文化感到“陌生”、“反感”、“怀疑”,甚至是“排斥”、“厌弃”、“打倒”。可以说, 这一令人堪忧的现状,已经引起了党和政府的高度重视, 近十年来, 先后制定并颁布了一系列以弘扬中华优秀传统为宗旨的政策及相关法令, 并将其与当前的社会主义精神文明建设融合在一起, 推广普及教育, 然而时至今日, 尽管整个局面有所改善, 但总的成效却并不令人乐观。究其原因主要有二: 一是有关这方面的工作有待进一步展开与深入, 而另一原因, 既是最重要的, 也是最易被忽视的, 那就是在弘扬中华优秀传统之时往往只注意到突出其精神层面的道德价值, 而不注重对其现代价值进行全面系统的挖掘与宣传。其负面影响是显而易见的——长此以往, 在人们的头脑中, 中国传统文化似乎就只剩下了其德育功能, 更何况抽象、空洞“口号”式的宣传非但于事无补, 反而容易使人产生抵触心理, 导致 此项工作难于落实到思想意识的实际层面, 最终其结果只能是传统文化渐趋僵化、了无生机。这显然有违于文化发展的客观规律, 正如西方伟大的哲学家黑格尔所说的那样, 文化“不是一尊不动的石像, 而是生命洋溢的, 有如一道洪流, 离开它的源头愈远, 它就膨胀得愈大。”如上所述, 我们不难推断出这样的结论, 中国传统文化本身绝不缺乏不断发展自我的内在机
现代数学发展的历史进程 现代数学时期 现代数学时期是指由19世纪20年代至今，这一时期数学主要研究的是最一般的数量关系和空间形式，数和量仅仅是它的极特殊的情形，通常的一维、二维、三维空间的几何形象也仅仅是特殊情形。抽象代数、拓扑学、泛函分析是整个现代数学科学的主体部分。它们是大学数学专业的课程，非数学专业也要具备其中某些知识。变量数学时期新兴起的许多学科，蓬勃地向前发展，内容和方法不断地充实、扩大和深入。 18、19世纪之交，数学已经达到丰沛茂密的境地，似乎数学的宝藏已经挖掘殆尽，再没有多大的发展余地了。然而，这只是暴风雨前夕的宁静。19世纪20年代，数学革命的狂飙终于来临了，数学开始了一连串本质的变化，从此数学又迈入了一个新的时期——现代数学时期。 19世纪前半叶，数学上出现两项革命性的发现——非欧几何与不可交换代数。 大约在1826年，人们发现了与通常的欧几里得几何不同的、但也是正确的几何——非欧几何。这是由罗巴契夫斯基和里耶首先提出的。非欧几何的出现，改变了人们认为欧氏几何唯一地存在是天经地义的观点。它的革命思想不仅为新几何学开辟了道路，而且是20世纪相对论产生的前奏和准备。 后来证明，非欧几何所导致的思想解放对现代数学和现代科学有着极为重要的意义，因为人类终于开始突破感官的局限而深入到自然的更深刻的本质。从这个意义上说，为确立和发展非欧几何贡献了一生的罗巴契夫斯基不愧为现代科学的先驱者。 1854年，黎曼推广了空间的概念，开创了几何学一片更广阔的领域——黎曼几何学。非欧几何学的发现还促进了公理方法的深入探讨，研究可以作为基础的概念
和原则，分析公理的完全性、相容性和独立性等问题。1899年，希尔伯特对此作了重大贡献。 在1843年，哈密顿发现了一种乘法交换律不成立的代数——四元数代数。不可交换代数的出现，改变了人们认为存在与一般的算术代数不同的代数是不可思议的观点。它的革命思想打开了近代代数的大门。 另一方面，由于一元方程根式求解条件的探究，引进了群的概念。19世纪20,30年代，阿贝尔和伽罗华开创了近世代数学的研究。近代代数是相对古典代数来说的，古典代数的内容是以讨论方程的解法为中心的。群论之后，多种代数系统(环、域、格、布尔代数、线性空间等)被建立。这时，代数学的研究对象扩大为向量、矩阵，等等，并渐渐转向代数系统结构本身的研究。 上述两大事件和它们引起的发展，被称为几何学的解放和代数学的解放。 19世纪还发生了第三个有深远意义的数学事件:分析的算术化。1874年威尔斯特拉斯提出了一个引人注目的例子，要求人们对分析基础作更深刻的理解。他提出了被称为“分析的算术化”的著名设想，实数系本身最先应该严格化，然后分析的所有概念应该由此数系导出。他和后继者们使这个设想基本上得以实现，使今天的全部分析可以从表明实数系特征的一个公设集中逻辑地推导出来。 现代数学家们的研究，远远超出了把实数系作为分析基础的设想。欧几里得几何通过其分析的解释，也可以放在实数系中;如果欧氏几何是相容的，则几何的多数分支是相容的。实数系(或某部分)可以用来解群代数的众多分支;可使大量的代数相容性依赖于实数系的相容性。事实上，可以说:如果实数系是相容的，则现存的全部数学也是相容的。 19世纪后期，由于狄德金、康托和皮亚诺的工作，这些数学基础已经建立在更简单、更基础的自然数系之上。即他们证明了实数系(由此导出多种数学)能从确立
数学的发展历史 数学是一门伟大的科学，数学作为一门科学具有悠久的历史，与自然科学相比，数学更是积累性科学，它是经过上千年的演化发展才逐渐兴盛起来。同时数学也反映着每个时代的特征，美国数学史家克莱因曾经说过:"一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数学活动密切相关。这种关系在我们这个时代尤为明显"。"数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数学更主要是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时影响着政治家和神学家的学说"。数学已经广泛地影响着人类的生活和思想，是形成现代文化的主要力量。而数学的历史更从另一个侧面反映了数学的发展。但有一点值得注意的是，人是这一方面的创造者，因此人本身的作用起着举足轻重的作用，首先表现为是否爱数学，是否愿为数学贡献毕生的精力。正是这主导着数学。 数学史是研究数学发展历史的学科，是数学的一个分支，和所有的自然科学史一样，数学史也是自然科学和历史科学之间的交叉学科。数学史和数学研究的各个分支，和社会史与文化史的各个方面都有着密切的联系，这表明数学史具有多学科交叉与综合性强的性质。 数学出现于包含著数量、结构、空间及变化等困难问题内。一开始，出现于贸易、土地测量及之后的天文学；今日，所有的科学都存在着值得数学家研究的问题，且数学本身亦存在了许多的问题。而这一切都源于数学的历史。 数学的演进大约可以看成是抽象化的持续发展，或是题材的延展。从历史时代的一开始，数学内的主要原理是为了做测量等相关计算，为了了解数字间的关系，为了测量土地，以及为了预测天文事件而形成的。这些需要可以简单地被概括为数学对数量、结构方面的研究。数学从古至今便一直不断地延展，且与科学有丰富的相互作用，并使两者都得到好处。数学在历史上有着许多的发现，并且直至今日都还不断地发现中。 数学发展具有阶段性，因此根据一定的原则把数学史分成若干时期。目前通常将数学发展划分为以下五个时期： 1．数学萌芽期（公元前600年以前）； 2．初等数学时期（公元前600年至17世纪中叶）； 3．变量数学时期（17世纪中叶至19世纪20年代）； 4．近代数学时期（19世纪20年代至第二次世界大战）； 5．现代数学时期（20世纪40年代以来）
浅析中国传统文化的内涵 篇一：浅析中国传统文化的基本内涵及其特点 浅析中国传统文化的基本内涵及其特点 摘要：中国优秀传统文化不仅是我们国家和民族的瑰宝，也是推进我国现代化建设的推动力。因此，应重视传统文化的传承和创新。大学生作为国家建设的栋梁，其传统文化素质如何，影响着未来我国物质和精神文明的发展方向。作为传承中国传统文化的主要阵地的高校，只有先廓清传统文化的基本内涵以及其具有的发展创新性、融合性、凝聚性、民族性和世界性、两面性等特点，才能更好地实现优秀传统文化的教育。 关键词：中国传统文化；内涵；特点 中国优秀传统文化是民族强大和团结的源泉，是国人心灵的活水，也是国家建设和发展的推动力。中华传统文化历经艰辛，经过数千年的演绎与扬弃，已深深地融入全体华人的思想意识和行为规范之中，渗透到社会政治、经济，特别是精神生活的各个领域，成为影响社会历史发展，支配人们思想行为和日常生活的强大力量。因此，作为传承中国传统文化的主要阵地的高校，要想更好地实现传统文化教育，首先应廓清传统文化的基本内涵和特点。 一、传统文化的基本内涵 中国传统文化作为一个概念，不仅是指“文化”，而是强调“文化”与“传统”的结合。文化有广义和狭义之分。广义的“文化”，
指人区别于动物，人类社会区别于自然界的本质特征，是人类卓立于自然的独特生活方式，是人类生活的总和，包括精神生活、物质生活和社会生活等极其广泛的方面。狭义的“文化”，则是排除了人类社会历史生活中关于物质创造活动及其成果的部分，即只包括精神创造及其成果，是意识、观念、心态和习俗的总和。一般而言，我们通常使用和研究的文化，主要指狭义的文化。中国文化是中华民族在生息繁衍中形成和创造的文化，涵盖古今。所以，这里我们又要突出中国文化的传统性。 “传统”是指世代传承的具有自身特点的社会历史因素，是历史延传下来的思想文化、制度规范、风俗习惯、宗教艺术乃至思维方式、行为方式的总和，具有时间上的历史性、延续性以及空间上的拓展性和权威性的特点。 将“传统”与“文化”有机结合起来的中国传统文化，作为中华民族生息繁衍过程中形成的，影响着民族发展进程的一切物质和精神，从纵向分析主要指我国传统社会的文化，到清朝晚期之前的文化。横向来看主要指中国传统社会中民族的整体生活方式和价值系统，除儒家、道家、法家和佛教学说外，还包括自然科学、人文科学的各个门类，如艺术、法律、哲学、道德等以及历史、地理、文物、书法、服饰、陵墓、医学、天文、农学等古籍文书。总之，中国传统文化可概括为“以中华民族为创作主体，于清晚期以前，在中国这块土地上形成和发展起来的，具有鲜明特点和稳定结构的、世代传承并影响整个社会历史的宏大的古典文化体系”。[1]传统文化中有精华有糟粕，
中国传统文化及其现实意义 【摘要】中华民族的历史源远流长，传统文化的博大精深与绵延不尽是中华民族的重要凝聚力，具有世代相传、民族特色、历史悠久、博大精深等特点！在传统文化影响下中国人的思想观念，思维、行为和生活方式都在发生着重大的变化，中国文化也在全方位地转换和发展，但是这种转换和发展本身就是从传统开始的。 【关键词】传统文化特点习惯影响 文化（culture）本身是一个比较模糊的概念。笼统地说，文化是一种社会现象，是人们长期创造形成的产物。同时又是一种历史现象，是社会历史的积淀物。广义的文化是人类创造出来的所有物质和精神财富的总和。其中既包括世界观，人生观，价值观等具有意识形态性质的部分，由包括自然科学和技术，语言和文字等非意识形态的部分传统文化之京剧。确切地说，文化是指一个国家或民族的历史、地理、风土人情、传统习俗、生活方式、文学艺术、行为规范、思维方式、价值观念等。[1] 中国传统文化是“中国几千年文明发展史中在特定的自然环境、经济形式、政治结构、意识形态的作用下形成、积累和流传下来，并且至今仍在影响着当代文化的…活?的中国古代文化。[2]其内涵或以物化形式存在和延续，如文献、文物等，或以物化形式存在和延续，如思想、观念等，在社会的不断发展中逐渐内化于人，形成整个民族较为稳定的文化心理和性格并且融入社会生活的各个领域，升华为民族的文化基因。中国传统文化是中华文明演化而汇集成的一种反映民族特质和风貌的民族文化，是民族历史上各种思想文化、观念形态的总体表征，是指居住在中国地域内的中华民族及其祖先所创造的、为中华民族世世代代所继承发展的、具有鲜明民族特色的、历史悠久、内涵博大精深、传统优良的文化。它是中华民族几千年文明的结晶，除了儒家文化这个核心内容外，还包含有其他文化形态，如道家文化、佛教文化等等。文化本身是一个动态的概念，是一个历史的发展过程，因此，文化既具有地域特征和民族特征，又具有时代特征。在历史性意义上，中国文化既包括源远流长的传统文化，也包括中国文化传统发生剧烈演变的近代文化与现代文化。 中国传统文化具有以下四个特点：1，世代相传，中国的传统文化在某些短暂的历史时期内有所中断，在不同的历史时期或多或少的有所改变，但是大体上没有中断过，总的来说变化不大。2，民族特色，中国的传统文化是中国特有的，与世界上其他民族文化不同。3，历史悠久，有五千年的历史。4，博大精深，“博大”是说中国传统文化的广度—丰富多彩，“精深”是说中国传统文化的深度—高深莫测。传统文化的表现形式也是多种多样，有诸子百家、艺术、传统节日、民间工艺等多种形式！至今，我们仍能时刻感受到传统文化的存在！ 在全球化背景的今天，面对西方文化的强势入侵，如何正确看待传统文化及其对当代中国社会的影响则显得尤为重要。有人说传统文化是柄双刃剑，既是现代文化的垫脚石，又是现代文化的绊脚石！这话我甚是赞同，下面请让我表出个人对传统文化现实意义愚见! 一、中国传统文化对现实社会的积极影响 中国传统文化的思想体系蕴涵着丰富的文化科学精神，在当今国际化的市场经济条件下，建设和谐国家，实现民族复兴乃至实现世界大同有着十分重要的积极影响，主要表现在以下几个方面: (一)传统文化是增强民族自信心的基石 中国优秀传统文化博大精深，源远流长，她不仅是中华民族的传统，也是中华民族的尊严，是中华民族在精神层面的具体标志，是矗立于世界之林的“形象”。特别是在中国历史上一些名副其实的不朽之作，世代相传，百读不厌，而且其智慧之火将永不会熄灭，照耀着人
我主要回答同学们的一些问题。这些问题中大部分都是关系现代数学大局的问题，很深刻，也很难回答。这种问题是没有标准答案的，每个人会有不同的答案。我今天讲的是我的个人意见，同学们可以参考，但不一定正确。 1．现代数学的特点和现状 有的同学问：听说现代数学分支非常细，不同分支的人彼此不了解，这样还能出现总揽全局的数学大师吗？此外，数学的复杂是否使它远离“简单性”这个朴素的自然法则？ 这是一个很大的问题，提这个问题的同学希望从总体上了解现代数学，这是非常好，非常值得鼓励的。但是要把这个问题说清楚并不容易。确实，现代数学分支繁多。按美国数学会的分类，数学科目可以分成60多个大类，每个大类下面又有几十个子类，总计有3500个以上的子类。肯定没有人能把所有这些分支都了如指掌，甚至于一个分支的专家也很难把分支里的所有数学了解得一清二楚。 但是，真正影响大局的数学却没有那么多。这就像世界上有200多个国家，但是影响全球格局的却只有少数大国。这种影响大局的数学可以叫做“主流数学”。即便在主流数学中也不是所有的问题都是平等的，还有主次之分。因此，如果能抓住主流数学中的主流问题，大体上就可以说是“总揽全局”了。至于说“大师”，他不仅能总揽全局，而且能通过他的工作影响全局。这样的人肯定很少，但也不能说一个没有，这要由历史来做定论。那么，为什么现在出不了牛顿，欧拉，高斯，黎曼这样的大师了呢？这有两个原因。首先，时势造英雄；不是每个时代都会出旷世英雄的。其次，即便是这样的英雄，他的历史地位也要经过历史的考验，并不是在当时就能确立的。 那么哪些是主流数学呢？回顾历史，现代基础数学从17世纪开始发源，经过18-19世纪的大发展和20世纪的完善，现代数学的基础部分，包括代数和数论，几何与拓扑，分析学的所有主要分支，我们叫这些为经典分支，都进入了成熟期。所谓成熟是指，理论已经十分完善，而内在的发展动力则减弱了。因此，基础数学的单独分支的自身发展已不再是主流。取而代之的是综合与交叉，集多个分支的方法来解决以前无法解决的重要问题。费尔马猜想和庞加莱猜想相继被证明就是最好的例证。在我看来，现代数学的另一个特点是应用数学的兴起，随着现代科学技术的迅速发展各个方面对数学的需求日益增长，推动了应用数学的崛起，它正成长为数学中一个不可忽视的主流。 从重要问题的来源看，基础数学内部一些最主要的问题是来自数论，拓扑以及几何，例如克莱研究所的7大问题中4个是关于纯数学的，两个来自数论（黎曼猜想，BSD猜想），一个拓扑（庞加莱猜想），一个代数几何（Hodge猜想）。[另外3个多少与应用有关：Navior-Stokes方程（流体力学），P-NP问题（计算复杂性），Yang-Mills理论（理论物理）。] 近年来，理论物理对基础数学的影响越来越大，这是值得注意的。 数学的复杂性不在于它的分支繁多，而在于它的深度和难度越来越大。世界既有简单的一面，又有复杂的一面。科学家的任务是把复杂的东西分析和解剖，化繁为简，找出对
第四章现代数学的发展趋势 一、现代数学的发展趋势内容概括 与古典数学相比，现代数学的发展从思想方法的角度看具有一些新的特征，本章内容通过数学的统一性、数学在自然科学和社会科学中的广泛应用、数学机械化的产生与发展及其意义、计算机促进计算数学的发展、计算机促进数学中新学科的发展这些方面来认识和理解现代数学的发展趋势。 下面从以下几个方面来分析： ● 数学的统一性 ● 数学应用的广泛性 ● 计算机与数学发展 1．数学的统一性 所谓统一性，就是部分与部分、部分与整体之间的协调一致。客观世界具有统一性，数学作为描述客观世界的语言必然也具有统一性。 数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现。它表现为数学的各个分支相互渗透和相互结合的趋势。 ● 数学的统一性发展的三个阶段 （1）数学从经验积累到严格的演绎体系建立，其特征逐步明显，在中世纪时，从研究对象和方法来看，初等数学有了一定的统一性。特别是17世纪解析几何的诞生，使数学中的代数与几何统一起来，说明统一性是数学的特征。生了变革，结果是数学分支愈来愈多，数学表现的更加多样化。因此，需要重新认识数学的统一性。为此，数学家们作了很多努力，到20世纪30年代，法国的布尔巴基（Bourbaki）学派提出，利用数学内在联系和公理化方法从数学各个分支中提炼出各种数学结构。他们认为数学的发展无非是各种结构的建立和发展，“数学好比一座大城市。城市中心有些巨大的建筑物，就好比是一个个已经建成的数学理论体系。城市的郊区正在不断地并且多少有点杂乱无章地向外伸展，他们就好像是一些尚未发育成型的正在成长着的数学新分支。与此同时，市中心又在时时重建，每次都是根据构思更加清晰的计划和更加合理的布局，在拆毁掉旧的迷宫似的断街小巷的同时，将修筑起新的更直、更宽、更加方便的林荫大道通向四方，……。” (2)布尔巴基学派在集合论的基础上建立了三个基本结构（即代数结构、序结构和拓扑结构），然后根据不同的条件，由这三个基本结构交叉产生新的结构，如分析结构、布尔代数结构等等。他们认为整个数学或大部分数学都可以按照结构的不同而加以分类，用数学结构能统一整个数学，各个数学分支只是数学结构由简单到复杂，由一般向特殊发展的产物。数学的不同分支是由这些不同的结构组成的，而这些结构之间的错综复杂的联系又把所有的分支连成一个有机整体。因此可以说，布尔巴基学派用数学结构显示了数学的统一性。 （3）20世纪下半叶，数学已经发展成一个庞大的理论体系，数学分工愈来愈细，分支愈来愈多，分支之间的联系愈来愈不明显，但是，数学学科的统一化趋势也在不断加强，主要体现在数学的不同分支领域的数学思想和数学方法相互融合，导致了一系列重大发现以及数学内部新的综合交叉学科的不断兴起：例如微分拓扑学的建立、发展；整体微分几何研究的突破；代数几何领域的进展；多复变函数理论以及其他数学分支的突破和发展都有密切的联系。
特级教师徐珍华：谈中国传统文化的当代意义 对待传统文化，我们既不能完全抛弃，也不能原封不动地保留下来，而要把文化和传统之间的关系处理好。我们对传统文化的很多解释应该是古为今用的，所以对传统的选择主动权还是在我们自己手上，能不能很好地发扬传统文化的优秀方面，这个责任也在我们自己。中国文化的内容都是相通的，我们现在学习它一定要融会贯通。 一 文化的发展与经济、政治的发展是密切相关的。一个生命不仅仅是肉体，还要有精神，而且精神对肉体是起支配作用的。一个国家也是这样，经济是基础，但经济要怎样才能健康发展？这需要它的文化起作用。近代100多年来，西方国家凭借他们强大的物质文明来侵犯东方国家，整个亚洲地区除了日本之外，都先后沦为了西方的殖民地半殖民地。但20世纪尤其是第二次世界大战以后，东方掀起了民族解放运动，这些国家先后都摆脱了西方的殖民统治，取得了民族的独立。在政治上求得解放以后，这些国家在经济上谋求自主和发展。在20世纪60年代以后，亚洲一些国家在经济上也纷纷发展起来，得到了自主，80年代后开始振兴。随着经济的振兴，这些国家开始反思自己的文化传统。在这之前，这些亚洲国家因为曾沦为殖民地半殖民地，对自己的文化传统都缺乏信心，都有一种否定自己文化传统的倾向。可是当政治和经济恢复以后，这些国家在文化上就开始有一种自觉。这是非常正常的，因为在西方的文化背景下发展起来的现代经济、政治与这些东方国家原有的文化传统有许多的不同。怎么调整、处理这些不同，就成了一个很大的问题。原来这些国家都想向西方学习，甚至想甩掉自己的传统，但这是不可能的，因为传统总是和现代联系在一起的，这是一个辩证的思考问题的方法。 今天，西方文化的“熏陶”十分强烈，但我们传统的许多东西还是根深蒂固的。比如，“父债子还”这个观念是中国传统文化特有的，而且根深蒂固。如果不认同，他就会受到社会舆论的压力，因为整个中国的文化氛围就是这样的。为什么在我们接受了这么多的西方文化后，整个社会氛围中大家还认同这一点？这源于一个基本的认同，就是生命是怎么来的。在这个问题上，不同的文化有不同的认识。在西方的基督教文化思想中，生命是一个个体，无论是他的肉体还是灵魂都是上帝赋予的，所以每个个体都跟上帝发生关系。虽然他也是父母生的，但那是上帝赋予他父母的一种责任，他和父母是一样都是上帝的子民，所以儿子跟父母都是兄弟姐妹，上帝给他养育下一代的责任，他有义务要把孩子养大成人。每个个体生命没有一个绝对的责任，而是大家共同对上帝负责，上帝为大家，人人为上帝，一个人的生命只有贡献给上帝才有意义。所以，生时增加上帝的荣誉，死后灵魂就可以上天了；如果一辈子都做有损于上帝荣誉的事，死后灵魂就要下地狱。因此，西方文化中个人的价值是被突出强调的，个人之间不直接发生关系。这是西方基督教文化背景下的生命。 另一种生命观以印度文化为代表。印度文化也强调人的生命是个体的，但是可以有多次，也就是有轮回的。这种轮回都是由神决定的，像婆罗门教讲是由梵天决定的。后来，佛教兴起后就批判婆罗门教由梵天决定人的命运的思想，强调个体生命轮回的决定因素是个人的行为，即佛教术语中的“业”，包括身、口、意三业。身，就是身体，也可以说是行动；口，就是嘴巴，代表言论；意，就是思想。所以一个生命的生成以及这个生命的轮回都是由身、口、意三业决定的。如果他的“业”没有消掉的话，他的生命就永远轮回。这样的生命观也是个体自身的，和其他人无关的，只不过是他自己的“业”没有消掉，所以借助他的父母生下来，而跟他的父母也没有直接的关系。 在这两种生命观中，生命都是个体，和其他个体没有直接的关系，因此其他个体的问题要由其他个体自己解决，跟“我”这个个体没有关系。但是中国文化的生命观是一个族类的
什么是数学？为什么学习数学？《数学文化》的目的和意义 主要内容： 数学的本质 数学美学 数学与人的发展 数学与其它 一、数学研究对象的历史考察 从数学发展的每个历史时期，人们在实践中，对数学研究对象的发现与认识，来加以考察。数学，作为一门科学，它来源于人类社会实践，并促进人类社会实践，也随着人类社会的进步而发展。 1.数学萌芽时期(远古～公元前6世纪) 零零星星地认识了数学中最古老、原始的概念——“数”(自然数)和“形”(简单几何图形)。 数的概念起源于数(读snǔ)，脚趾和手指记数、“结绳记数”等； 另一方面，人类还在采集果实、打造石器、烧土制陶的活动中，对各种物体加以比较，区分直曲方圆，逐渐形成了“形”的概念。 2.常量数学时期(公元前6世纪～公元17世纪) 特点：人们将零星的数学知识，进行了积累、归纳、系统化，采用逻辑演绎的方法形成了古典初等数学的体系。 欧几里得（Euclid）：《几何原本》 以空间形式为研究对象，以逻辑思维为主线，从5条公设、23个定义和5条公理推出了467条定理，从而建立了公理化演绎体系。 我国东汉时期：《九章算术》 由246个数学问题、答案和术文组成，全书主要研究对象是数量关系。 3.变量数学时期(17世纪～19世纪) 特点：“运动”成为自然科学研究的中心课题，数学由研究现实世界的相对静止的事物或现象进而探索运动变化的规律，常量数学已发展到变量数学。17世纪，迪卡尔（Descartes）将几何内容的课题与代数形式的方法相结合，产生了解析几何学，这标志着变量数学时期的开始。17世纪60年代，Newton和Leibniz各自从运动学和几何学研究的需要，创建了微积分。随后，相继建立了级数理论、微分方程论、变分学等分析学领域的各个分支。 15世纪～18世纪，人们还研究了大量的随机现象，发现存在着某种完全不确定规律性，建立了概率论。这个时期，数学的研究对象已由常量进入变量，由有限进入无限，由确定性进入非确定性；数学研究的基本方法也由传统的几何演绎方法转变为算术、代数的分析方法。马克思主义奠基人之一的恩格斯，在考察了18世纪前整个数学发展的历史基础上指出：“数和形的概念不是从任何地方得来的，而仅仅是从现实世界中得来的”、“纯数学是以现实世界的空间形式和数量关系——这是非常现实的材料——为对象的”，这些论断揭示了科学的数学本质。 4.近现代数学时期(19世纪以后) 特点：数学由研究现实世界的一般抽象形式和关系，进入到研究更抽象、更一般的形式和关系，数学各分支互相渗透融合。随着计算机的出现和日益普及，数学愈来愈显示出科学和技术的双重品质。19世纪以来，由于社会发展的需要，以及数学自身的逻辑矛盾不断产生许多新问题，促使处于数学核心部分的几个主要分支——代数、几何、分析学科的内容发生了深刻变化，并产生了许多新的数学分支。抽象代数学、n维空间、无穷维空间以至于