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2020年浙江高考数学试卷-(答案)

2020年浙江高考数学试卷

参考公式：

如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B = 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率

()C (1)

(0,1,2,,)k k n k

n n P k p p k n -=-=

台体的体积公式121

()3V S S h =+

其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高

柱体的体积公式V Sh =

其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高

锥体的体积公式1

V Sh =

其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高球的表面积公式 24S R =π

球的体积公式

V R =π

其中R 表示球的半径

选择题部分（共40分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。

1．已知集合P ={|14}x x <<，Q={|23}x x <<，则P Q = A ．{|12}x x <≤ B ．{|23}x x << C ．{|34}x x ≤<

D ．{|14}x x <<

2．已知a ∈R ，若a –1+(a –2)i(i 为虚数单位)是实数，则a =

A ．1

B ．–1

C ．2

D ．–2

3．若实数x ，y 满足约束条件310

30x y x y -+≤??+-≥?

，则2z x y =+的取值范围是

A ．(,4]-∞

B ．[4,)+∞

C ．[5,)+∞

D ．(,)-∞+∞

4．函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]上的图象可能是

5．某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm 3）是

A ．

B ．

143

C ．3

D ．6

6．已知空间中不过同一点的三条直线l ，m ，n ．“l ，m ，n 共面”是“l ，m ，n 两两相交”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差0d ≠，且1

1a d

≤．记12b S =，1222–n n n b S S ++=，n *∈N ，下列等式不可能．．．成立的是 A ．4262a a a =+

B ．4262b b b =+

C ．2

28a a a = D ．2428b b b =

8．已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P

为函数y =上的点，则|OP |= A

．

9．已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0均有(x –a )(x –b )(x –2a –b )≥0，则 A ．a <0

B ．a >0

C ．b <0

D ．b >0

10．设集合S ，T ，S ?N *，T ?N *，S ，T 中至少有2个元素，且S ，T 满足：①对于任意的x ，y ∈S ，

若x ≠y ，则xy ∈T ；②对于任意的x ，y ∈T ，若x

∈S ．下列命题正确的是 A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素

B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素

C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素

D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素

非选择题部分（共110分）

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。 11．我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列(1)

{

n n +就是二阶等差数列．数列*(1)

{

}()2

n n n +∈N 的前3项和是_______．

12．二项展开式2

01235

45(2)1x a a x a x a x a x a x ++++++=，则4a =_______，135a a a ++=________． 13．已知tan 2θ=，则cos2θ=_______，π

tan()4

θ-=_______．

14．已知圆锥的侧面积（单位：cm 2）为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径

（单位：cm ）是_______．

15．已知直线(0)y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =_______，b =_______． 16．盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，

直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则(0)P ξ==_______，()E ξ=_______． 17．已知平面单位向量1e ，2e

满足122||-e e 设12=+a e e ，123=+b e e ，向量a ，b 的夹角为θ，则2cos θ

的最小值是_______．

三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18．（本题满分14分）

在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c

．已知2sin 0b A =．（Ⅰ）求角B 的大小；

（Ⅱ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围． 19．（本题满分15分）

如图，在三棱台ABC —DEF 中，平面ACFD ⊥平面ABC ，∠ACB =∠ACD =45°，DC =2BC ．（Ⅰ）证明：EF ⊥DB ；

（Ⅱ）求直线DF 与平面DBC 所成角的正弦值．

20．（本题满分15分）

已知数列{a n }，{b n }，{c n }满足111112

1,,,n

n n n n n n b a b c c a a c c n b +++====-=

∈*N ．（Ⅰ）若{b n }为等比数列，公比0q >，且1236b b b +=，求q 的值及数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若{b n }为等差数列，公差0d >，证明：*1231

1,n c c c c n d

++++<+

∈N ． 21．（本题满分15分）

如图，已知椭圆2

21:12

x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点

A 的直线l 交椭圆1C 于点

B ，交抛物线2

C 于点M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若1

p =

，求抛物线2C 的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．

22．（本题满分15分）

已知12a <≤，函数()e x

f x x a =--，其中e=2.71828…是自然对数的底数．

（Ⅰ）证明：函数()y f x =在(0,)+∞上有唯一零点；（Ⅱ）记x 0为函数()y f x =在(0,)+∞上的零点，证明：

0x ≤；（ⅱ）00(e )(e 1)(1)x x f a a ≥--．

2020年浙江高考数学试卷答案

1．B 2．C 3．B 4．A 5．A 6．B

7．D

8．D

9．C

10．A 11．10

12．80,122 13．31,53

14．1

16．1,13

17．

2829

18．

（Ⅰ）由正弦定理得2sin sin B A A =

，故sin B =

，由题意得π3

B =.

（Ⅱ）由πA B C ++=得2π

C A =-，

由ABC △是锐角三角形得ππ

(,)62

A ∈.

由2π1cos cos(

)cos 32C A A A =-=-+得

11π13

cos cos cos cos sin()]22622

A B C A A A ++=

++=++∈. 故cos cos cos A B C ++

的取值范围是3

. 19．（Ⅰ）如图，过点D 作DO AC ⊥，交直线AC 于点O ，连结OB .

由45ACD ∠=?，DO AC ⊥

得CD ，

由平面ACFD ⊥平面ABC 得DO ⊥平面ABC ，所以DO BC ⊥.

由45ACB ∠=?

，12BC CD =得BO BC ⊥. 所以BC ⊥平面BDO ，故BC ⊥DB .

由三棱台ABC DEF -得BC EF ∥，所以EF DB ⊥. （Ⅱ）方法一：

过点O 作OH BD ⊥，交直线BD 于点H ，连结CH .

由三棱台ABC DEF -得DF CO ∥，所以直线DF 与平面DBC 所成角等于直线CO 与平面DBC 所成

角.

由BC ⊥平面BDO 得OH BC ⊥，故OH ⊥平面BCD ，所以OCH ∠为直线CO 与平面DBC 所成角.

设CD =.

由2,DO OC BO BC ====

，得BD OH =

所以sin OH OCH OC ∠=

，因此，直线DF 与平面DBC

. 方法二：

由三棱台ABC DEF -得DF CO ∥，所以直线DF 与平面DBC 所成角等于直线CO 与平面DBC 所成角，记为θ.

如图，以O 为原点，分别以射线OC ，OD 为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O xyz -.

设CD =.

由题意知各点坐标如下：

(0,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,2)O B C D .

因此(0,2,0),(1,1,0),(0,2,2)OC BC CD ==-=-. 设平面BCD 的法向量(,,z)x y =n .

由0,

BC CD ??=???=??n n 即0220x y y z -+=??-+=?，可取(1,1,1)=n .

所以|sin |cos ,||||OC OC OC θ?=

=?n |n n |.

因此，直线DF 与平面DBC . 20．（Ⅰ）由1

36b b b +=得216q q +=，解得12

q =．

由14n n c c +=得14n n c -=．

由1

14n n n a a -+-=得12

142

1443

n n n a a --+=++++=．

（Ⅱ）由12n n n n b c c b ++=得12111

111()n n n n n b b c d c b b

d b b +++==-，所以1231

(1)n n d c c c c d b ++++++=

-，由11b =，0d >得10n b +>，因此*1231

1,n c c c c n d

++++<+

∈N ． 21．（Ⅰ）由116

p =

得2C 的焦点坐标是1

(,0)32．

（Ⅱ）由题意可设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，点00(,)A x y ．

将直线l 的方程代入椭圆2

21:12x C y +=得222(2)220m y mty t +++-=，

所以点M 的纵坐标22

M mt

y m =-+．

将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得2

02(2)

p m y m

，因此22

2(2)p m x m +=．

由220012

x y +=得242

1224(

)2()160m m p m m =

+++≥，所以当

m =t =

时，p ． 22．（Ⅰ）因为(0)10f a =-<，22(2)e 2e 40f a =--≥->，所以()y f x =在(0,)+∞上存在零点．

因为()e 1x f x '=-，所以当0x >时，()0f x '>，故函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，所以函数以()y f x =在(0,)+∞上有唯一零点．

（Ⅱ）（ⅰ）令21

()e 1(0)2

x g x x x x =---≥，()e 1()1x g'x x f x a =--=+-，由（Ⅰ）知函数()g'x 在[0,)+∞上单调递增，故当0x >时，()(0)0g'x g'>=，所以函数()g

x 在[0,)+∞单调递增，故()(0)0g x g ≥

=．

由

0g ≥得00()f a f x =

-≥=，

因为()f x 在[0,)+∞0x ．令2()e 1(01)x h x x x x =---≤≤，()e 21x h'x x =--，

令1()e 21(01)x h x x x =--≤≤，1()e 2x

h'x =-，所以

故当01x <

<时，1()

0h x <，即()0h'x <，所以()h x 在[0,1]单调递减，因此当01x ≤≤时，()(0)0h x h ≤=．由0h ≤得00()f a f x =-≤=，

因为()f x 在[0,)+∞0x ． 0

x ≤

（ⅱ）令()e (e 1)1x u x x =---，()e (e 1)x u'x =--，所以当1x >时，()0u'x >，故函数()u x 在区间[1,)+∞上单调递增，因此()(1)0u x u ≥=．

由0

0e x x a =+可得0

22000000(e )()(e 1)(e 2)(e 1)x a a x f x f x a x a x ax =+=-+-≥-，

由0x ≥得0

0(e )(e 1)(1)x x f a a ≥--．

浙江高考数学试题及其官方答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）已知全集 U={1，2，3, 4,5}，A={ 1，3}，则 C U A=（某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ 4. 复数启（i 为虚数单位）的共轭复数是（） 1 - i A. 1 + i B. 1? C. ?l+ i 5. 函数y=2|x|sin2x 的图象可能是（） 6. 已知平面a,直线m , n 满足 m?a, n?a ,贝U"mil n ” 是"m // a” 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 1. 2. A. ? B. {1, 3} C. {2, 4, 5} D. {1, 2, 3, 4, 5} x 2 双曲线的焦点坐标是（ A. (", 0), (, 0) B.(辺，0), (2, 0) C. (0, ?価,(0, v2) D. (0, ?2), (0, 2) 3. A.2 B. 4 C.6 D. 8 D. ?1? 侧视图正视图俯视图

设0<93 B. 02<9i C. 91WRW 區 D. 已知a , b , e 是平面向量，e 是单位向量，若非零向量a 与e 的夹角为才，向量b 满足b 2?4e?b+ 3=0,则|a?b|的最小值是( ) 已知 a 1, a 2, a 3, a 4 成等比数列，且 a 1+ a 2+ a 3+ a 4= ln(a 1+a 2+a 3)，若 a 1> 1，则( ) 填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36 分) 我国古代数学着作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一， x+ y+ z= 100 凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁、鸡母，鸡雏个数分别为x, y , z ,贝叽 1 , 5x+3y+ 3 z= 100 当 z=81 时，x= ______________ y= ___________________________ x- y >0 若 x , y 满足约束条件{2x+ y<6，贝H z= x+ 3y 的最小值是 ____________ 最大值是 ______________________ x+ y >2 在厶ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a , b, c,若a= v 7,b= 2, A= 60°,则sinB= ______ ___________________ 二项式(以+ 2x )8的展开式的常数项是 __________________________ x - 4 X 》入已知X€R,函数f(x)={ 2 , ，当A =2时，不等式f(x)< 0的解集是 _______________ f(x)恰 x 2 - 4x+ 3, x< 入有2个零点，则入的取值范围是 ______________________ 从1, 3, 5, 7, 9中任取2个数字，从0, 2, 4, 6中任取2个数字，一共可以组成 ____________ 个没有重复数字的四位数(用数字作答) 已知点P(0, 1)，椭圆x ^+y 2=m(m> 1)上两点A , B 满足AP=2PB ，则当m= __________ 时，点B 横坐标的 7. 8. 9. 10. _ 、 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. A. v3?1 C.2 D. 2?击 A.a 1 a 3, a 2 a 4 D. a 1> a 3, a 2>a 4