格点与面积
请看下图，这是两个画在方格纸中的多边形，图（a）的多边形的所有顶点都在方格纸上的横、纵两组平行线垂直相交的交点上.图（b）中的多边形的顶点至少有一个顶点不在方格纸上那些横、纵两组平行线垂直相交的交点上.（比如A点）像图（a）这样的多边形，我们称它为格点多边形.什么是格点？平常我们用的方格纸的方格（每个小方格都是一个小正方形）都是由横、纵两组平行线垂直相交构成的，其中相邻两条平行线的距离都是相等的（通常规定是1个单位），在这样的方格纸上，横、纵两组平行线垂直相交的交点称为格点.以格点为顶点画出的多边形称为格点多边形.像图（b）这样的多边形虽然除A点之外所有顶点都是格点，但我们还不能把它称为格点多边形.
显然易见，格点多边形面积的大小，与格点数目（包括边界上的）的多少有着密切的关系.一般看来，格点多边形的面积越大（小），它所包含格点数目（包括边界上的）就越多（少）.是否存在这两者之间关系的精确的计算公式？通过它只计数格点数目（包括边界上的）的多少就能准确地计算出格点多边形面积的大小？下面让我们共同探索这个规律.
例1 如下图，计算下列各个格点多边形的面积.
例2 如下图（a），计算这个格点多边形的面积.
例3 如右图，计算这个格点多边形的面积.
例4 如下页图，计算图（A）与图（B）的面积.
例5 如下图，计算下列各格点多边形的面积，统计每个图形周界上的格点数与图形内包含的格点数.
例6 如下图，将图中有关数据填入下表：
例7 本讲开始提到的多边形如右图面积是多少？用上述公式很快就可以求出了.
例8如右图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算△ABC的面积.
例9如右图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的正三角形，
计算四边形ABCD的面积.
习题一
1.求下列各个格点多边形的面积.
2.求下列格点多边形的面积（每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形）.
3. 右图中每个小正方形的面积都是1,那么图中这只“狗”所占的面积是多少?
4.求下列各个格点多边形的面积.
5.下图是一个8 12面积单位的图形.求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积.
C B A A B A B C · O 网格与中考 一、网格与线段 1．右图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连结这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别画出一条长度是有理数的线段和一条长度是无理数的线段． 二、网格与三角形 2、正方形网格中，小格的顶点叫做格点。小华按下列要求作图：①在正方形网格的三条不同的实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一条实线上；②连结三个格点，使之构成直角三角形。小华在左边的正方形网格中作出了Rt ⊿ABC 。请你按照同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等。 三、网格与四边形 四、网格与圆 4.如图，方格纸上一圆经过（2 , 5）、（2 , -3）两点，且此两点为圆与方格纸横线的切点，则该圆圆心的坐标为（ ） A ．（2, -1）; B ．（2, 2）; C ．（2, 1）; D ．（3, 1） 五、网格与面积 5、在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A 、B 是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C 使△ABC 的面积为2个平方单位，则满足条件的格点C 的个数是（ ） A 、5 B 、4 C 、3 D 、2 六、网格与图案设计 6、在下面的网格图中按要求画出图形，并回答问题： ⑴ 先画出△ABC 向下平移5格后的△A 1B 1C 1，再画出△ABC 以点O 为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的△A 2B 2C 2； ⑵ 在与同学交流时，你打算如何描述⑴中所画的△A 2B 2C 2 的位置？
4号袋 3号袋 1 7、请你在下面3个网格（两相邻格点的距离均为1个单位长度）内，分别设计1个图案，要求:在⑴中所设计的图案是面积等于3的轴对称图形；在⑵中所设计的图案是面积等于23的中心对称图形；在⑶中所设计的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，并且面积等于33．将你设计的图案用铅笔涂黑． 七、网格与函数： 8、我们都知道在中国象棋中，马走日，象走田，如图，假设一匹马经过A 、B 两点走到点C 。请问点A 、B 在不在马的起始位置所在的点与点C 所确定的直线上？请说明你的理由。 练习： 1、图3是一个经过改造的台球桌面的示意图， 图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球 孔.如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是 （ ） A ．1 号袋 B ．2 号袋 C ．3 号袋 D ．4 号袋 2、如图，已知图中每个小 方格的边长为1，则点C 到AB 所在直线的距离等于 。 3、一只蚂蚁在如图所示的图案内任意爬动一段时间后停下，蚂蚁停在阴影内的概率为 。 4、如图:球台上有两个小球P 和Q ，若击打小球P 经过球台的边AB 反弹后，恰好击中小球Q ，则小球P 击出时，应瞄准AB 边上的点（ ） A ．O 1 B.O 2 C.O 3 D.O 4
有限元网格划分的基本原则 划分网格是建立有限元模型的一个重要环节，它要求考虑的问题较多，需要的工作量较大，所划分的网格形式对计算精度和计算规模将产生直接影响。为建立正确、合理的有限元模型，这里介绍划分网格时应考虑的一些基本原则。 1 网格数量 网格数量的多少将影响计算结果的精度和计算规模的大小。一般来讲，网格数量增加，计算精度会有所提高，但同时计算规模也会增加，所以在确定网格数量时应权衡两个因数综合考虑。图1中的曲线1表示结构中的位移随网格数量收敛的一般曲线，曲线2代表计算时间随网格数量的变化。可以看出，网格较少时增加网格数量可以使计算精度明显提高，而计算时间不会有大的增加。当网格数量增加到一定程度后，再继续增加网格时精度提高甚微，而计算时间却有大幅度增加。所以应注意增加网格的经济性。实际应用时可以比较两种网格划分的计算结果，如果两次计算结果相差较大，可以继续增加网格，相反则停止计算。 图1 位移精度和计算时间随网格数量的变化 在决定网格数量时应考虑分析数据的类型。在静力分析时，如果仅仅是计算结构的变形，网格数量可以少一些。如果需要计算应力，则在精度要求相同的情况下应取相对较多的网格。同样在响应计算中，计算应力响应所取的网格数应比计算位移响应多。在计算结构固有动力特性时，若仅仅是计算少数低阶模态，可以选择较少的网格，如果计算的模态阶次较高，则应选择较多的网格。在热分析中，结构内部的温度梯度不大，不需要大量的内部单元，这时可划分较少的网格。 2 网格疏密 网格疏密是指在结构不同部位采用大小不同的网格，这是为了适应计算数据的分布特点。在计算数据变化梯度较大的部位(如应力集中处)，为了较好地反映数据变化规律，需要采用比较密集的网格。而在计算数据变化梯度较小的部位，为减小模型规模，则应划分相对稀疏的网格。这样，整个结构便表现出疏密不同的网格划分形式。图2是中心带圆孔方板的四分之一模型，其网格反映了疏密不同的划分原则。小圆孔附近存在应力集中，采用了比较密的网格。板的四周应力梯度较小，网格分得较稀。其中图b中网格疏密相差更大，它比图a中的网格少48个，但计算出的孔缘最大应力相差1%，而计算时间却减小了36%。由此可见，采用疏密不同的网格划分，既可以保持相当的计算精度，又可使网格数量减
学科教师辅导讲义 学员编号：年级：课时数：3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师： 学科组长签名及日期教务长签名及日期课题相似三角形真题训练 授课时间：备课时间： 教学目标1、学生通过探索实际问题来体验测量中对相似三角形有关知识的应用。 2、经历应用相似三角形的有关知识去解决简单的实际问题的全过程。 重点、难点1 引导学生根据题意构建出相似三角形模型，从而可以把实际问题转化为纯数学问题来解决。 2 面对已设计出来的测量方案，应注意在实际操作中所出现的错误。通过审题、思考后，如何在实际问题中抽象出相似三角形的模型。 考点及考试要求相似三角形的判定和性质应用，三角形中比例线段比例关系寻找 教学内容 一、知识点梳理： 相似三角形的判定： （1）、相似三角形的判定方法 判定方法1 ∵___________ ∴△ABC∽△ADE 判定方法2 ∵________________ ∴△ABC∽△A，B，C， 判定方法3 ∵_____________，∠B=∠B，∴△ABC∽△A，B，C，
判定方法 4 ∵___________，__________ ∴△ABC ∽△A ，B ，C ， （2）、直角三角形的判定定理： （3）、相似三角形的基本图形： 相似三角形的判定① 1、已知两数4和8，试写出第三个数，使这三个数中，其中一个数是其余两数的比例中项，第三个数是 (只 需写出一个即可). 2、在△ABC 中，AB=8，AC=6，点D 在AC 上，且AD=2，若要在AB 上找一点E ，使△ADE 与原三角形相似，那么AE= 。 3、如图，在△ABC 中，点D 在AB 上，请再添一个适当的条件，使△ADC ∽△ACB ，那么可添 加的条件是 4、已知D 、E 分别是ΔABC 的边AB 、AC 上的点，请你添加一个条件， 使 ΔABC 与ΔAED 相似. (只需添加一个你认为适当的条件即可). 5、下列说法：①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有等腰直角三角形都相似；④所有的直 角三角形都相似.，其中正确的是 6、如图，在直角坐标系中有两点A(4,0)、B(0,2)，如果点C 在x 轴上(C 与A 不重合)， 当点C 的坐标为 或 时， 使得由点B 、O 、C 组成的三角形与ΔAOB 相似(至少写出两个满足条件的点的坐标). 7、下列命题中正确的是 （ ） ①三边对应成比例的两个三角形相似 ②二边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似 ③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似 ④一个角对应相等的两个等腰三角形相似 A 、①③ B 、①④ C 、①②④ D 、①③④ 8、如图，已知D E ∥BC ，E F ∥AB ，则下列比例式中错误的是（ ） A AC AE AB AD = B FB EA CF CE = C BD AD BC DE = D CB CF AB EF = 9、如图，D 、E 分别是AB 、AC 上两点，CD 与BE 相交于点O ， 下列条件中不能使ΔABE 和ΔACD 相似的是 （ ）
最简单的情形，多边形网格不过是一个多边形列表；三角网格就是全部由三角形组成的多边形网格。多边形和三角网格在图形学和建模中广泛使用，用来模拟复杂物体的表面，如建筑、车辆、人体，当然还有茶壶等。图14.1给出一些例子： 当然，任意多边形网格都能转换成三角网格，三角网格以其简单性而吸引人，相对于一般多边形网格，许多操作对三角网格更容易。 表示网格 三角网格为一个三角形列表，所以最直接的表示方法是用三角形数组： Listing 14.1: A trivial representation of a triangle mesh struct Triangle { Vector3 p[3]; }; struct TriangleMesh { int triCount; Triangle *triList; }; 对于某些应用程序，这种表示方法已经足够。然而，术语"网格"隐含的相邻三角形的连通性却未在这种简单表示中有任何体现。实际应用中出现的三角网格，每个三角形都和其他三角形共享边。于是，三角网格需要存储三类信息： （1）顶点。每个三角形都有三个顶点，各顶点都有可能和其他三角形共享。
（2）边。连接两个顶点的边，每个三角形有三条边。 （3）面。每个三角形对应一个面，我们可以用顶点或边列表表示面。 索引三角网格 在索引三角网格中，我们维护了两个列表：顶点表与三角形表。 每个顶点包含一个3D位置，也可能有如纹理映射坐标、表面法向量、光照值等附加数据。 每个三角形由顶点列表的三个索引组成。通常，顶点列出的顺序是非常重要的，因为我们必须考虑面的"正面"和"反面"。从前面看时，我们将用顺时针方向列出顶点。另外一些信息也存在这一级中，如预先计算的表面法向量，表面属性（纹理映射）等。 程序清单14.2给出了一段高度简化的代码： Listing 14.2: Indexed triangle mesh // struct Vertex is the information we store at the vertex level struct Vertex { // 3D position of the vertex Vector3 p; // Other information could include texture mapping coordinates, // a surface normal, lighting values, etc. } // struct Triangle is the information we store at the triangle level struct Triangle { // Indices into the vertex list int vertex[3]; // Other information could include a normal, material information , etc. } // struct TriangleMesh stores an indexed triangle mesh struct TriangleMesh {
相似三角形 ——相似直角三角形及射影定理 【知识要点】 1、直角三角形的性质： （1）直角三角形的两个锐角 （2）Rt△ABC中，∠C=90o，则2+ 2= 2 （3）直角三角形的斜边上的中线长等于 （4）等腰直角三角形的两个锐角都是，且三边长的比值为 （5）有一个锐角为30o的直角三角形，30o所对的直角边长等于，且三边长的比值为 2、直角三角形相似的判定定理（只能用于选择填空题） 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 3、双垂直型： Rt△ABC中，∠C=90o，CD⊥AB于D，则 ①∽∽ ②射影定理： CD2= ·AC2= ·BC2= · 【常规题型】 1、已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，S△ABC=20，AB=10。求AD、BD的长. 2、已知，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D。（1）若AD=8，BD=2，求AC的长。（2）若AC=12，BC=16，求CD、AD的长。 B A
【典型例题】 例1．如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，AM 是BC 边的中线，CN ⊥AM 于N 点，连接BN ，求证：BM 2=MN ·AM 。 例2．已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90o，DF ⊥AC 于E ，且与AB 的延长线相交于F ，与BC 相交于G 。求证：AD 2=AB ·AF 例3．（1）已知ABC ?中，?=∠90ACB ，AB CD ⊥，垂足为D ，DE 、DF 分别是BDC ADC ??和的 高，这时CAB DEF ??和是否相似？ 【拓展练习】 1、已知：如图，AD 是△ABC 的高，BE ⊥AB ，AE 交BC 于点F ，AB ·AC=AD ·AE 。求证：△BEF ∽△ACF A B A B C N D C
网格型问题 一、选择题 1. （2011?台湾20，4分）如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网 格线的交点上，若灰色三角形面积为421 平方公分，则此方格纸的面积为多少平方公分 （ ） A 、11 B 、12 C 、13 D 、14 考点：一元二次方程的应用。 专题：网格型。 分析：可设方格纸的边长是x ，灰色三角形的面积等于方格纸的面积减去周围三个直角三角形的面积，列出方程可求解． 解答：解：方格纸的边长是x ，21 x2﹣21?x?21x ﹣21?21x?43x ﹣21?x?41x=421 x2=12． 所以方格纸的面积是12， 故选B ． 点评：本题考查识图能力，关键看到灰色三角形的面积等于正方形方格纸的面积减去周围三个三角形的面积得解． 2. （2011湖北潜江，7，3分）如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A 、B 、C 为格点．作△ABC 的外接圆⊙O，则弧AC 的长等于（ ）
A ．π43 B ．π45 C ．π23 D ．π25 考点：弧长的计算；勾股定理；勾股定理的逆定理；圆周角定理。 专题：网格型。 分析：求弧AC 的长，关键是求弧所对的圆心角，弧所在圆的半径，连接OC ，由图形可知OA ⊥OC，即∠AOC＝90°，由勾股定理求OA ，利用弧长公式求解． 解答：解：连接OC ，由图形可知OA⊥OC， 即∠AOC＝90°， 由勾股定理，得OA ＝2 212+＝5， ∴弧AC 的长＝180590??π＝25π． 故选D ． 点评：本题考查了弧长公式的运用．关键是熟悉公式：扇形的弧长＝180r n ??π． 3. （2011?西宁）如图，△DEF 经过怎样的平移得到△ABC（ ） A 、把△DEF 向左平移4个单位，再向下平移2个单位 B 、把△DEF 向右平移4个 单位，再向下平移2个单位 C 、把△DEF 向右平移4个单位，再向上平移2个单位 D 、把△DEF 向左平移4个 单位，再向上平移2个单位 考点：平移的性质。 专题：常规题型。 分析：根据网格图形的特点，结合图形找出对应点的平移变换规律，然后即可选择答案． 解答：解：根据图形，△DEF 向左平移4个单位，向下平移2个单位，即可得到△ABC．
[原]Deform网格划分原则及方法 2009-04-04 23:48 引言：划分网格是建立有限元模型的一个重要环节，它要求考虑的问题较多，需要的工作量较大，所划分的网格形式对计算精度和计算规模将产生直接影响。为建立正确、合理的有限元模型，这里介绍网格划分时的一些基本原则及方法。 关键词： Deform 网格 局部细化 一、网格划分的原则 1 网格数量 网格数量的多少将影响计算结果的精度和计算规模的大小。一般来讲，网格数量增加，计算精度会有所提高，但同时计算规模也会增加，所以在确定网格数量时应权衡两个因数综合考虑。 图1中的曲线1表示结构中的位移随网格数量收敛的一般曲线，曲线2代表计算时间随网格数量的变化。可以看出，网格较少时增加网格数量可以使计算精度明显提高，而计算时间不会有大的增加。当网格数量增加到一定程度后，再继续增加网格时精度提高甚微，而计算时间却有大幅度增加。所以应注意增加网格的经济性。实际应用时可以比较两种网格划分的计算结果，如果两次计算结果相差较大，可以继续增加网格，相反则停止计算。 图1 位移精度和计算时间随网格数量的变化 在决定网格数量时应考虑分析数据的类型。在静力分析时，如果仅仅是计算结构的变形，网格数量可以少一些。如果需要计算应力，则在精度要求相同的情况下应取相对较多的网格。在热分析中，结构内部的温度梯度不大，不需要大量的内部单元，这时可划分较少的网格。 2 网格疏密 网格疏密是指在结构不同部位采用大小不同的网格，这是为了适应计算数据的分布特点。在计算数据变化梯度较大的部位(如应力集中处)，为了较好地反映数据变化规律，需要采用比较密集的网格。而在计算数据变化梯度较小的部位，为减小模型规模，则应划分相对稀疏的网格。这样，整个结构便表现出疏密不同的网格划分形式。 图2是中心
网 格 问 题 1. 已知图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位. （1）将图1中的格点△ABC ，先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到△A 1B 1C 1，请你在图1中画出△A 1B 1C 1. （2）在图2中画出一个与格点△DEF 相似但相似比不等于1的格点三角形. 2. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．如图（一）中四边形ABCD 就是一个“格点四边形”． （1）求图（一）中四边形ABCD 的面积； （2）在图（二）方格纸中画一个格点三角形EFG ，使△EFG 的面积等于四边形ABCD 的面积且为轴对称图形． D C B A 图（一） 图（二） 3. 如图，在55 的正方形网格中，每个小正 方形的边长都为1.请在所给网格中按下列要求画 出图形． （1）从点A 出发的一条线段AB ，使它的另一 个端点落在格点（即小正方形的顶点）上， 且长度为22； （2）以（1）中的AB 为边的一个等腰三角形 ABC ，使点C 在格点上，且另两边的长 都是无理数； （3）以（1）中的AB 为边的两个凸多边形，使 它们都是中心对称图形且不全等，其顶点都 在格点上，各边长都是无理数． 图2 F E A B C 图1 （第3题图）
4. 下面的方格纸中，画出了一个“小猪”的图案，已知每个小正方形的边长为1． （1）“小猪”所占的面积为多少？ （2）在上面的方格纸中作出“小猪”关于直线DE 对称的图案（只画图，不写作法）； （3）以G 为原点，GE 所在直线为x 轴，GB 所在直线为y 轴，小正方形的边长为单位长度建立直角坐标系，可得点A 的坐标是（_______，_______）． 5. 图(1)是一个10×10格点正方形组成的网格. △ABC 是格点三角形(顶点在网格交点处), 请你完成下面两个问题: (1) 在图(1)中画出与△ABC 相似的格点△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2, 且△A 1B 1C 1与△ABC 的相似比是2, △A 2B 2C 2与△ABC 的相似比是2 2. (2) 在图(2)中用与△ABC 、△A 1B 1C 1、△A 2B 2C 2全等的格点三角形(每个三角形至少使用一次), 拼出一个你熟悉的图案,并为你设计的图案配一句贴切的解说词 . 【解说词】 6. 如图，有一条小船， （1） 若把小船平移，使点A 平移到点B ，请你在图中画出平移后的小船；（5分） （2） 若该小船先从点A 航行到达岸边L 的点P 处补给后，再航行到点B ，但要求航 程最短， E C D G B F A
网格划分的方法 1.矩形网格差分网格的划分方法 划分网格的原则： 1）水域边界的补偿。舍去面积与扩增面积相互抵消。2）边界上的变步长处理。 3）水、岸边界的处理。 4）根据地形条件的自动划分。 5）根据轮廓自动划分。
2.有限元三角网格的划分方法 1）最近点和稳定结构原则。 2）均布结点的网格自动划分。 3）逐渐加密方法。 35 30 25 20 15 10 5 05101520253035
距离(m)距 离 (m) 3. 有限体积网格的划分方法 1） 突变原则。 2） 主要通道边界。 3） 区域逐步加密。
距离(100m) 离距(100m )距离(100m)离距(100m )
4. 边界拟合网格的划分方法 1） 变换函数：在区域内渐变，满足拉普拉斯方程的边值问题。 ),(ηξξξP yy xx =+ ),(ηξηηQ yy xx =+ 2） 导数变化原则。 ?????? ??????=?????? ??????-ηξ1J y x ，???? ??=ηηξξy x y x J 为雅可比矩阵，??? ? ??--=-ηηξξy x y x J J 11， ξηηξy x y x J -= )22(1 222233ηηξηξηηξηξξηηηηηξξηηξξξηξy y x y y y x y y x x y y x y y x y J xx +-+-+-= 同理可得yy ξ，xx η，yy η。 变换方程为 020222=+++-=+++-）（）（ηξηηξηξξηξηηξηξξγβαγβαQy Py J y y y Qx Px J x x x 其中2222,,ξξηξξηηηγβαy x y y x x y x +=+=+=。
中考专题复习——相似三角形 一. 选择题 1. （山东省潍坊市）如图 ,Rt △ABAC 中 ,AB ⊥AC,AB=3,AC=4,P 是 BC 边上一点 , 作 PE ⊥AB 于 E,PD ⊥ AC 于 D,设 BP=x,则 PD+PE=（ ） A. x 3B. 4 x C. 7 D. 12x 12x 2 5 5 2 5 25 A D C E P B 2。( 乐山市 ) 如图（ 2），小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在 离网 6 米的位置上，则球拍击球的高度 h 为（ ） A 、 8 B 、 1 C 、 4 D 、 8 15 3 5 h 米 0.8 米 6 米 4 米 3．（2020 湖南常德市） 如图 3，已知等边三角形 ABC 的边长为 2，DE 是它的中位线， 则下面四个结论： （1）DE=1，（ 2）AB 边上的高为 3 ，（ 3）△ CDE ∽△ CAB ，（ 4）△ CDE 的面积 与△ CAB 面积之比为 1：4. 其中正确的有 （ ） A ．1 个 B ． 2 个 C ．3 个 D ． 4 个
C D E A B 图3 4.(2020 山东济宁 ) 如图，丁轩同学在晚上由路灯AC 走向路灯BD ，当他走到点P 时， 发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC 的底部，当他向前再步行20m 到达Q点 时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯 BD 的底部，已知丁轩同学的身高是 1.5m，两个路灯的高度都是 9m，则两路灯之间的距离是（）D A．24m B．25m C．28m D．30m 5. （ 2020 江西南昌）下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（）B A ．B．C．D． 6.(2020重庆)若△ ABC∽△DEF，△ ABC与△ DEF的相似比为2︰3，则 S△ABC︰S△DEF 为（） A、2∶3 B、4∶9 C、 2 ∶3 D、3∶2 7.(2020 湖南长沙 ) 在同一时刻，身高 1.6 米的小强在阳光下的影长为0.8 米， 一棵大树的影长为 4.8 米，则树的高度为（） C A、4.8 米 B、 6.4 米 C、9.6 米 D、10 米 8．（ 2020 江苏南京）小刚身高 1.7m，测得他站立在阳关下的影子长为 0.85m。紧
有限元分析中的网格划分好坏直接关系到模型计算的准确性。本文简述了网格划分应用的基本理论，并以ANSYS限元分析中的网格划分为实例对象，详细讲述了网格划分基本理论及其在工程中的实际应用，具有一定的指导意义。 1 引言 ANSYS有限元网格划分是进行数值模拟分析至关重要的一步，它直接影响着后续数值计算分析结果的精确性。网格划分涉及单元的形状及其拓扑类型、单元类型、网格生成器的选择、网格的密度、单元的编号以及几何体素。从几何表达上讲，梁和杆是相同的，从物理和数值求解上讲则是有区别的。同理，平面应力和平面应变情况设计的单元求解方程也不相同。在有限元数值求解中，单元的等效节点力、刚度矩阵、质量矩阵等均用数值积分生成，连续体单元以及壳、板、梁单元的面内均采用高斯（Gauss）积分，而壳、板、梁单元的厚度方向采用辛普生（Simpson）积分。辛普生积分点的间隔是一定的，沿厚度分成奇数积分点。由于不同单元的刚度矩阵不同，采用数值积分的求解方式不同，因此实际应用中，一定要采用合理的单元来模拟求解。 2 ANSYS网格划分的指导思想 ANSYS网格划分的指导思想是首先进行总体模型规划，包括物理模型的构造、单元类型的选择、网格密度的确定等多方面的内容。在网格划分和初步求解时，做到先简单后复杂，先粗后精，2D单元和3D单元合理搭配使用。为提高求解的效率要充分利用重复与对称等特征，由于工程结构一般具有重复对称或轴对称、镜象对称等特点，采用子结构或对称模型可以提高求解的效率和精度。利用轴对称或子结构时要注意场合，如在进行模态分析、屈曲分析整体求解时，则应采用整体模型，同时选择合理的起点并设置合理的坐标系，可以提高求解的精度和效率，例如，轴对称场合多采用柱坐标系。有限元分析的精度和效率与单元的密度和几何形状有着密切的关系，按照相应的误差准则和网格疏密程度，避免网格的畸形。在网格重划分过程中常采用曲率控制、单元尺寸与数量控制、穿透控制等控制准则。在选用单元时要注意剪力自锁、沙漏和网格扭曲、不可压缩材料的体积自锁等问题 ANSYS软件平台提供了网格映射划分和自由适应划分的策略。映射划分用于曲线、曲面、实体的网格划分方法，可使用三角形、四边形、四面体、五面体和六面体，通过指定单元边长、网格数量等参数对网格进行严格控制，映射划分只用于规则的几何图素，对于裁剪曲面或者空间自由曲面等复杂几何体则难以控制。自由网格划分用于空间自由曲面和复杂实体，采用三角形、四边形、四面体进行划分，采用网格数量、边长及曲率来控制网格的质量。 3 ANSYS网格划分基本原则 3.1 网格数量 网格数量的多少将影响计算结果的精度和计算规模的大小。一般来讲，网格数量增加，计算精度会有所提高，但同时计算规模也会增加，所以在确定网格数量时应权衡两个因数综合考虑。
网格中的三角形 河北张家口市第十九中学 贺峰 随着新课程的实施，在近几年的中考试卷中出现了许多新颖的网格型试题，这类试题具有很强的直观性、可操作性、开放性及综合性等特点，不仅能够考查学生的数学知识，体现分类、数形结合等重要的数学思想，同时也考查和培养学生的识图、归纳、动手操作、自主探究等多种能力，有利于培养学生的探究意识和创新精神。现以近几年中考试题中出现的“网格中的三角形”为例，为同学们加以归类分析： 一、网格中的“等面积三角形” 例1 已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A 、B 两点在小方格的顶点上，位置如图1所示，点C 也在小方格的顶点上，且以A 、B 、C 为顶点的三角形面积为1，则点C 的个数为（ ） （A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个 析解：此题以网格为载体来考查同学们等面积三角形的构成，体现分类讨论思想，若使点C 在小方格的顶点上，且以A 、B 、C 为顶点的三角形面积为1， 即保证△ABC 的底为2，高为1，因此须分类讨论的思想方法，即按AC ＝2时、BC ＝2时进行分类求解。答案如图2所示： 说明：此题也可通过对图形对称变换进行求解，即确定第（1）、（3）、（5）三种情况，分别以AB 所在的直线为对称轴将△ABC 翻折，使点C 落在格点上即可求解。 即可求解。 二、网格中的“等腰三角形” 例2如图3所示，A 、B 是4×5网络中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中清晰标出使以A 、B 、C 为顶点的三角形是等腰三角形的 所有格点C 的位置． 析解：此题以网格为载体来考查同学们等腰三角形的构成，体现分类讨论思 想，若使点C 在小方格的顶点上，且以A 、B 、C 为顶点的三角形为等腰三角形，即保证△ABC 中AB ＝AC 或AB ＝BC 或AC ＝AB ，即分别以AC 、AB 、BC 为腰时进行分类求解。答案如图4所示： 说明：此题也可通过对图形旋转变换进行求解，即以AB 为腰，分别以点A 、点B 为旋转中心，将线段AB 进行旋转，使点B 、点A 落在格点上即可求解。 三、网格中的“直角三角形” 例3如图5，正方形网格中，小格的顶点叫做格点，小华按下列要求作图： ①在正方形网格的三条不同实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一条实线 上；②连结三个格点，使之构成直角三角形， 小华在左边的正方形网格中作出了Rt △ABC ，请你按照同样的要求，在右边的两个 正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等。 析解：此题开放性很强， 给学生广阔的思维空 图1 A 图3 图 4 A B C 图5 图6 C C C C C C （1） （2） （3） （5） （6） 图2
中考“网格”中的相似三角形问题 所谓网格中的形似三角形就是在正方形的网格中寻找三角形相似的问题.这类问题是近年来全国各地中考的一个热点和亮点，试题的特点主要是以用勾股定理等知识计算三角形的边长，再加上正方形的对角线形成的特殊角，要求能从正方形网格中挖掘出条件，灵活运用相似三角形的性质与判定解决问题.目的是要考查同学们的观察、猜想、探究问题的能力，为了帮助同学们掌握这一知识点，现以中考试题为例说明如下： 例1 如图1，小正方形的边长均为1，则下图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的为（ ） 分析 先利用勾股定理求出△ABC 、2 ，再分别求出选择支中三角形的三边的长，然后分别求出对应边长的比. 解 由于正方形边长均为1，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝2，AB ＝10；图A 中三 角形三边长为1 22，而与△ABC ，2 显然 它们不相等；图B 中三角形三边长为1，2 ABC ＝ 2 ， 2 2 ，故对应边的比相等；同样的道理可以得出在图C 和图D 中的两个三角 形三边分别与△ABC 三边的比不相等.故选B . 例 2 如图2，若A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、O 都是5×7方格纸中的格点，为使△DME ∽△ABC ，则点M 应是F 、G 、H 、O 四点中的（ ） A.F B.G C.H D.O 分析 若△DME ∽△ABC ，△ABC 又是一个等腰直角三角形，故△DME 也应是等腰直角三角形，这样观察图中F 、G 、H 、O 四点与D 、E 两点的位置关系即可求解. 解 因为△ABC 是一个等腰直角三角形，所以要使△DME ∽△ABC ，△DME 也必须是一个等腰直角三角形， 所以观察图中F 、G 、H 、O 四点与D 、E 两点的位置关系只有点H 能与D 、E 两点构成等腰直角三角形.故应选C . 图4 图2 图1 图3
格点相似三角形 在方格纸中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，以网格为背景的相似三角形问题，在中考试题中时有出现．解决格点三角形相似问题，要依据网格的特征，并结合相似三角形的有关判定方法去思考． 例1（安徽省）如图1是一个10×10格点正方形组成的网格．△ABC是格点三角形（顶点在网格交点处），请你完成下面两个问题: 在图2中画出与△ABC相似的格点△ABC和△ABC，且△ABC与△ABC的相似121121112 2．ABC 的相似比是△ABC与△比是2，2222 析解：要作与△ABC相似的三角形，首先找到△ABC的特征，AB=BC=2，∠B=90°，因为△ABC与△ABC的相似比是2，所以AB=BC=4，∠B=90°；因为△ABC与△ABC21121111211 2AB?BC?2，∠B=90°．所作的三角形如图2的相似比是所示．．所以22222评注：作已知三角形的相似三角形的关键是确定已知三角形的特征，根据条件找到要作三角形的对应特征．本题也可以从三边对应成比例考虑作相似三角
形． DEF△ABC和4×4的正方形方格中，△，例2（台州市）如图3在1的小正方形的顶点上．的顶点都在边长为=_____；=_____°，BC（1）填空：∠ABC 是否相似，并说明你的结论．△DEFABC（2）判断△与 析解：本题是一道和网格有关的相似三角形探索题． 以，EBC，ABE知形察，度ABC角）（1求∠的数观图可∠=90°∠=45°所- 1 - ∠ABC=90°+45°=135°； 22?2?2BC?22．根据网格的特征，利用勾股定理可得 （2）要判断△ABC和△DEF是否相似，则应根据三角形相似的判定方法，从对应边ABBC ??2，所，以为∠ABC =∠DEF = 135°入比成例，对应角相等手．因DEEF△ABC ∽△DEF．评注：说明网格中的三角形相似，一般根据三边对应成比例，或
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/f614569368.html, 网格线中的三角函数问题 作者：周宏伟 来源：《初中生世界·九年级》2016年第12期 在我们常见的网格线中，有很多三角函数求值问题，题中蕴含着很多思想方法，为便于大家复习，现归纳如下，供大家在学习过程中参考. 一、补形的策略 例1 （2015·山西）如图1，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）. A.2 B.[255] C.[55] D.[12] 【方法探究】如何把∠ABC放在某个直角三角形中是解决本题的关键，仔细观察可以发现：AB在小正方形的对角线上，能联想到45°角，只要连接AC即可构造出直角，然后在直角三角形中运用三角函数的定义求解. 【过程展示】如图2，连接AC，则∠CAB=90°，在Rt△ABC中， tan∠ABC=[ACAB]=[12].故选D. 例2 （2016·福建福州）如图3，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点.已知菱形的一个角（∠O）为60°，A、B、C都在格点上，则tan∠ABC的值是 . 【方法探究】观察网格的特点，首先考虑如何将∠ABC放到一个直角三角形中，这是解 决问题的关键. 【过程展示】如图4，连接DA，DC，则点B、C、D在同一直线上，设菱形的边长为a，由题意得∠ADF=30°，∠BDF=60°，∴∠ADB=90°， AD=[3a]，DB=2a，tan∠ABC=[ADBD]=[3a2a]=[32]，故答案为[32]. 二、转化的思想 例3 （2012·江苏泰州）如图5，在由边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D 都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值为 . 【方法探究】直接求∠APD的正切值比较困难，可以考虑利用线段的平移对∠APD进行转化，找出它的“替身”，然后进行求解，以达到化难为易的目的.
有限元网格划分 摘要:总结近十年有限元网格划分技术发展状况。首先,研究和分析有限元网格划分的基本原则；其次,对当前典型网格划分方法进行科学地分类,结合实例,系统地分析各种网格划分方法的机理、特点及其适用范围,如映射法、基于栅格法、节点连元法、拓扑分解法、几何分解法和扫描法等；再次,阐述当前网格划分的研究热点,综述六面体网格和曲面网格划分技术；最后,展望有限元网格划分的发展趋势。 关键词:有限元网格划分；映射法；节点连元法;拓扑分解法；几何分解法；扫描法；六面体网格 1 引言 有限元网格划分是进行有限元数值模拟分析至关重要的一步，它直接影响着后续数值计算分析结果的精确性。网格划分涉及单元的形状及其拓扑类型、单元类型、网格生成器的选择、网格的密度、单元的编号以及几何体素。在有限元数值求解中，单元的等效节点力、刚度矩阵、质量矩阵等均用数值积分生成，连续体单元以及壳、板、梁单元的面内均采用高斯（Gauss）积分，而壳、板、梁单元的厚度方向采用辛普生（Simpson）积分。 2 有限元网格划分的基本原则 有限元方法的基本思想是将结构离散化,即对连续体进行离散化,利用简化几何单元来近似逼近连续体,然后根据变形协调条件综合求解。所以有限元网格的划分一方面要考虑对各物体几何形状的准确描述,另一方面也要考虑变形梯度的准确描述。为正确、合理地建立有限元模型,这里介绍划分网格时应考虑的一些基本原则。 2.1 网格数量 网格数量直接影响计算精度和计算时耗,网格数量增加会提高计
算精度,但同时计算时耗也会增加。当网格数量较少时增加网格，计算精度可明显提高,但计算时耗不会有明显增加;当网格数量增加到一定程度后,再继续增加网格时精度提高就很小,而计算时耗却大幅度增加。所以在确定网格数量时应权衡这两个因素综合考虑。 2.2 网格密度 为了适应应力等计算数据的分布特点,在结构不同部位需要采用大小不同的网格。在孔的附近有集中应力,因此网格需要加密;周边应力梯度相对较小,网格划分较稀。由此反映了疏密不同的网格划分原则:在计算数据变化梯度较大的部位,为了较好地反映数据变化规律,需要采用比较密集的网格;而在计算数据变化梯度较小的部位,为减小模型规模,网格则应相对稀疏。 2.3 单元阶次 单元阶次与有限元的计算精度有着密切的关联,单元一般具有线性、二次和三次等形式,其中二次和三次形式的单元称为高阶单元。高阶单元的曲线或曲面边界能够更好地逼近结构的曲线和曲面边界,且高次插值函数可更高精度地逼近复杂场函数,所以增加单元阶次可提高计算精度。但增加单元阶次的同时网格的节点数也会随之增加,在网格数量相同的情况下由高阶单元组成的模型规模相对较大,因此在使用时应权衡考虑计算精度和时耗。 2.4 单元形状 网格单元形状的好坏对计算精度有着很大的影响,单元形状太差的网格甚至会中止计算。单元形状评价一般有以下几个指标: (1)单元的边长比、面积比或体积比以正三角形、正四面体、正六面体为参考基准。 (2)扭曲度:单元面内的扭转和面外的翘曲程度。 (3)节点编号:节点编号对于求解过程中总刚矩阵的带宽和波前因数有较大的影响,从而影响计算时耗和存储容量的大小 2.5 单元协调性 单元协调是指单元上的力和力矩能够通过节点传递给相邻单元。为保证单元协调,必须满足的条件是: (1)一个单元的节点必须同时也是相邻点,而不应是内点或边界
模型归纳： 已知，如图①②③中：∠B＝∠A C E＝∠D. 结论：△A B C∽△C D E 模型分析： 如图①，∵∠ACE＋∠DCE＝∠B＋∠A，又∵∠B＝∠ACE，∴∠DCE＝∠A．∴△ABC∽△CDE．图②③同理可证△ABC∽△CDE． 2.旋转相似模型 旋转相似又是啥意思呢？ 哈哈哈哈哈哈 还是来看视频吧 模型归纳： 如图①，已知DE∥BC，将△ADE绕点A旋转一定的角度，连接BD、CE，得到如图②．结论：△ABD∽△ACE．
模型分析 同鞋们，上面的模型我们都学会识别的了吗？ 下面我们一起进入模型应用哦！！！ 典例精讲 相似模型——共线三等角模型的例题 相似模型——旋转模型的例题
专题讲解视频 好记性不如烂笔头， 快快整理笔记在笔记本上， 找题目练练哦！ 题目已经给你们准备好啦 专题小练习 1．如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD ＝60°，BP＝2，CD＝1，则△ABC的边长为（） A．3B．4C．5D．6
2．如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD、CE，若AC：BC＝3：4，则BD：CE为（） 3.如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠CBA＝90°，点E为AB的中 点，DE⊥CE． （1）求证：△AED∽△BCE； （2）若AD＝3，BC＝12，求线段DC的长．
4.如图，△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，E在△ABC内， ∠CAE+∠CBE＝90°，连接BF． （1）求证：△CAE∽△CBF． （2）若BE＝1，AE＝2，求CE的长．
ICEM 二维三角形结构化网格(Y-Block) 1 三角形结构 ①构建如图1.1a所示的三角形结构(蓝)、建立如图1.1b所示的辅助线和点(红)； Fig. 1.1a Generate the triangle Fig. 1.1b Create the auxiliary curves and points ②创建2D planar block，如图1.2； Fig. 1.2 Create the 2D Planar Block
③分割块(O-Grid)：选择block，选择两条edge(11-13和13-21)，如图1.3a，分割结果如图1.3b (a) (b) Fig. 1.3 Split the block ④映射关联点：模型树中选择Geometry →Points →Show Point Names；Blocking →Vertices →Numbers。如图1.4a；注意：vertex number和point name 随个人作图顺序不一样。 作映射： Vertex 34 →Point 08; Vertex 19 →Point 03; Vertex 21 →Point 00; Vertex 35 →Point 04; Vertex 13 →Point 02; Vertex 33 →Point 05; Vertex 11 →Point 01;
映射结果见图1.4b； (a) Show Point Names and Vertices Numbers (b) Fig. 1.4 Associate Vertex ⑤构建网格，及检查质量，如图1.5 Fig. 1.5 Meshing
划分网格是建立有限元模型的一个重要环节，它要求考虑的问题较多，需要的工作量较大，所划分的网格形式对计算精度和计算规模将产生直接影响。为建立正确、合理的有限元模型，这里介绍划分网格时应考虑的一些基本原则。 1网格数量 网格数量的多少将影响计算结果的精度和计算规模的大小。一般来讲，网格数量增加，计算精度会有所提高，但同时计算规模也会增加，所以在确定网格数量时应权衡两个因数综合考虑。 图1中的曲线1表示结构中的位移随网格数量收敛的一般曲线，曲线2代表计算时间随网格数量的变化。可以看出，网格较少时增加网格数量可以使计算精度明显提高，而计算时间不会有大的增加。当网格数量增加到一定程度后，再继续增加网格时精度提高甚微，而计算时间却有大幅度增加。所以应注意增加网格的经济性。实际应用时可以比较两种网格划分的计算结果，如果两次计算结果相差较大，可以继续增加网格，相反则停止计算。 图1位移精度和计算时间随网格数量的变化 在决定网格数量时应考虑分析数据的类型。在静力分析时，如果仅仅是计算结构的变形，网格数量可以少一些。如果需要计算应力，则在精度要求相同的情况下应取相对较多的网格。同样在响应计算中，计算应力响应所取的网格数应比计算位移响应多。在计算结构固有动力特性时，若仅仅是计算少数低阶模态，可以选择较少的网格，如果计算的模态阶次较高，则应选择较多的网格。在热分析中，结构内部的温度梯度不大，不需要大量的内部单元，这时可划分较少的网格。 2网格疏密 网格疏密是指在结构不同部位采用大小不同的网格，这是为了适应计算数据的分布特点。在计算数据变化梯度较大的部位(如应力集中处)，为了较好地反映数据变化规律，需要采用比较密集的网格。而在计算数据变化梯度较小的部位，为减小模型规模，则应划分相对稀疏的网格。这样，整个结构便表现出疏密不同的网格划分形式。 图2是中心带圆孔方板的四分之一模型，其网格反映了疏密不同的划分原则。小圆孔附近存在应力集中，采用了比较密的网格。板的四周应力梯度较小，网格分得较稀。其中图b 中网格疏密相差更大，它比图a中的网格少48个，但计算出的孔缘最大应力相差1%，而计算时间却减小了36%。由此可见，采用疏密不同的网格划分，既可以保持相当的计算精度，又可使网格数量减小。因此，网格数量应增加到结构的关键部位，在次要部位增加网格是不必要的，也是不经济的。