CFD网格及其生成方法概述 作者：王福军 网格是CFD模型的几何表达形式，也是模拟与分析的载体。网格质量对CFD计算精度和计算效率有重要影响。对于复杂的CFD问题，网格生成极为耗时，且极易出错，生成网格所需时间常常大于实际CFD计算的时间。因此，有必要对网格生成方式给以足够的关注。 1 网格类型 网格（grid）分为结构网格和非结构网格两大类。结构网格即网格中节点排列有序、邻点间的关系明确，如图1所示。对一于复杂的儿何区域，结构网格是分块构造的，这就形成了块结构网格（block-structured grids）。图2是块结构网格实例。 图1 结构网格实例 图2 块结构网格实例 与结构网格不同，在非结构网格（unstructured grid）中，节点的位置无法用一个固定的法则予以有序地命名。图3是非结构网格示例。这种网格虽然生成过程比较复杂，但却有着极好的适应性，尤其对具有复杂边界的流场计算问题特别有效。非结构网格一般通过专门的
程序或软件来生成。 图3 非结构网格实例 2 网格单元的分类 单元（cell）是构成网格的基本元素。在结构网格中，常用的ZD网格单元是四边形单元，3D网格单元是六面体单元。而在非结构网格中，常用的2D网格单元还有三角形单元，3D 网格单元还有四面体单元和五面体单元，其中五面体单元还可分为棱锥形（或楔形）和金字塔形单元等。图4和图5分别示出了常用的2D和3D网格单元。 图4 常用的2D网格单元 图5 常用的3D网格单元
3 单连域与多连域网格 网格区域（cell zone）分为单连域和多连域两类。所谓单连域是指求解区域边界线内不包含有非求解区域的情形。单连域内的任何封闭曲线都能连续地收缩至点而不越过其边界。如果在求解区域内包含有非求解区域，则称该求解区域为多连域。所有的绕流流动，都属于典型的多连域问题，如机翼的绕流，水轮机或水泵内单个叶片或一组叶片的绕流等。图2及图3均是多连域的例子。 对于绕流问题的多连域内的网格，有O型和C型两种。O型网格像一个变形的圆，一圈一圈地包围着翼型，最外层网格线上可以取来流的条件，如图6所示。C型网格则像一个变形的C字，围在翼型的外面，如图7所示。这两种网格部属于结构网格。 图6 O型网格 图7 C型网格 4 生成网格的过程
C B A A B A B C · O 网格与中考 一、网格与线段 1．右图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连结这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别画出一条长度是有理数的线段和一条长度是无理数的线段． 二、网格与三角形 2、正方形网格中，小格的顶点叫做格点。小华按下列要求作图：①在正方形网格的三条不同的实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一条实线上；②连结三个格点，使之构成直角三角形。小华在左边的正方形网格中作出了Rt ⊿ABC 。请你按照同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等。 三、网格与四边形 四、网格与圆 4.如图，方格纸上一圆经过（2 , 5）、（2 , -3）两点，且此两点为圆与方格纸横线的切点，则该圆圆心的坐标为（ ） A ．（2, -1）; B ．（2, 2）; C ．（2, 1）; D ．（3, 1） 五、网格与面积 5、在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A 、B 是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C 使△ABC 的面积为2个平方单位，则满足条件的格点C 的个数是（ ） A 、5 B 、4 C 、3 D 、2 六、网格与图案设计 6、在下面的网格图中按要求画出图形，并回答问题： ⑴ 先画出△ABC 向下平移5格后的△A 1B 1C 1，再画出△ABC 以点O 为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的△A 2B 2C 2； ⑵ 在与同学交流时，你打算如何描述⑴中所画的△A 2B 2C 2 的位置？
4号袋 3号袋 1 7、请你在下面3个网格（两相邻格点的距离均为1个单位长度）内，分别设计1个图案，要求:在⑴中所设计的图案是面积等于3的轴对称图形；在⑵中所设计的图案是面积等于23的中心对称图形；在⑶中所设计的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，并且面积等于33．将你设计的图案用铅笔涂黑． 七、网格与函数： 8、我们都知道在中国象棋中，马走日，象走田，如图，假设一匹马经过A 、B 两点走到点C 。请问点A 、B 在不在马的起始位置所在的点与点C 所确定的直线上？请说明你的理由。 练习： 1、图3是一个经过改造的台球桌面的示意图， 图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球 孔.如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是 （ ） A ．1 号袋 B ．2 号袋 C ．3 号袋 D ．4 号袋 2、如图，已知图中每个小 方格的边长为1，则点C 到AB 所在直线的距离等于 。 3、一只蚂蚁在如图所示的图案内任意爬动一段时间后停下，蚂蚁停在阴影内的概率为 。 4、如图:球台上有两个小球P 和Q ，若击打小球P 经过球台的边AB 反弹后，恰好击中小球Q ，则小球P 击出时，应瞄准AB 边上的点（ ） A ．O 1 B.O 2 C.O 3 D.O 4
学科教师辅导讲义 学员编号：年级：课时数：3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师： 学科组长签名及日期教务长签名及日期课题相似三角形真题训练 授课时间：备课时间： 教学目标1、学生通过探索实际问题来体验测量中对相似三角形有关知识的应用。 2、经历应用相似三角形的有关知识去解决简单的实际问题的全过程。 重点、难点1 引导学生根据题意构建出相似三角形模型，从而可以把实际问题转化为纯数学问题来解决。 2 面对已设计出来的测量方案，应注意在实际操作中所出现的错误。通过审题、思考后，如何在实际问题中抽象出相似三角形的模型。 考点及考试要求相似三角形的判定和性质应用，三角形中比例线段比例关系寻找 教学内容 一、知识点梳理： 相似三角形的判定： （1）、相似三角形的判定方法 判定方法1 ∵___________ ∴△ABC∽△ADE 判定方法2 ∵________________ ∴△ABC∽△A，B，C， 判定方法3 ∵_____________，∠B=∠B，∴△ABC∽△A，B，C，
判定方法 4 ∵___________，__________ ∴△ABC ∽△A ，B ，C ， （2）、直角三角形的判定定理： （3）、相似三角形的基本图形： 相似三角形的判定① 1、已知两数4和8，试写出第三个数，使这三个数中，其中一个数是其余两数的比例中项，第三个数是 (只 需写出一个即可). 2、在△ABC 中，AB=8，AC=6，点D 在AC 上，且AD=2，若要在AB 上找一点E ，使△ADE 与原三角形相似，那么AE= 。 3、如图，在△ABC 中，点D 在AB 上，请再添一个适当的条件，使△ADC ∽△ACB ，那么可添 加的条件是 4、已知D 、E 分别是ΔABC 的边AB 、AC 上的点，请你添加一个条件， 使 ΔABC 与ΔAED 相似. (只需添加一个你认为适当的条件即可). 5、下列说法：①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有等腰直角三角形都相似；④所有的直 角三角形都相似.，其中正确的是 6、如图，在直角坐标系中有两点A(4,0)、B(0,2)，如果点C 在x 轴上(C 与A 不重合)， 当点C 的坐标为 或 时， 使得由点B 、O 、C 组成的三角形与ΔAOB 相似(至少写出两个满足条件的点的坐标). 7、下列命题中正确的是 （ ） ①三边对应成比例的两个三角形相似 ②二边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似 ③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似 ④一个角对应相等的两个等腰三角形相似 A 、①③ B 、①④ C 、①②④ D 、①③④ 8、如图，已知D E ∥BC ，E F ∥AB ，则下列比例式中错误的是（ ） A AC AE AB AD = B FB EA CF CE = C BD AD BC DE = D CB CF AB EF = 9、如图，D 、E 分别是AB 、AC 上两点，CD 与BE 相交于点O ， 下列条件中不能使ΔABE 和ΔACD 相似的是 （ ）
网格生成及修正技巧 1引言 网格是CFD 模型的几何表达形式，也是模拟与分析的载体。网格质量对CFD 计算精度和计算效率有着重要的影响。对于复杂的CFD 问题，网格的生成极为耗时，并且极易出错，生成网格所需的时间常常大于实际CFD 计算的时间。因此，有必要对网格生成以及修正方法进行足够的研究。 考虑到目前的CFD 计算多是通过专用的网格生成软件来划分所需要的网格，因此，本文就如何利用专用前处理软件GAMBIT 来介绍网格的生成和修正技巧。 2 网格类型 网格主要有两种：结构网格和非结构网格[1] [2]在结构网格中，常用的2D 网格单元是四边形单元，3D 网格单元是六面体单元。而在非结构网格中，常用的2D 网格单元还有三角形单元，3D 网格单元还有四面体单元和五面体单元，其中五面体单元还分为棱锥形(或楔形)和金字塔形单元等。结构网格的最大特点在于网格中节点排列有序，邻点间关系明确，结构简单，构造方便，与计算机语言自然匹配，容易计算，网格生成速度快，质量好，数据结构简单等优点；缺点是适用的范围比较窄，只适用于形状规则的图形，对复杂几何形状的适应能力差。非结构网格舍去了网格节点的结构性限制，易于控制网格单元的大小、形状及节点位置，灵活性好，对复杂外形的适应能力强——流场变化比较大的地方，可以进行局部网格加密。但其无规则性也导致了在模拟计算中存储空间增大，寻址时间增长，计算效率低于结构化网格，计算时间长等缺点。 [1]。 （a ）三角形 （b ）四边形 图1 常用的2D 网格单元 （a ）四面体 （b ）六面体 （c ）五面体（凌锥） （d ）五面体（金字塔） 图2 常用的3D 网格单元 3 单连域与多连域网格 网格区域分为单连域和多连域两类。所谓单连域是指求解区域边界线内不包含有非求解
最简单的情形，多边形网格不过是一个多边形列表；三角网格就是全部由三角形组成的多边形网格。多边形和三角网格在图形学和建模中广泛使用，用来模拟复杂物体的表面，如建筑、车辆、人体，当然还有茶壶等。图14.1给出一些例子： 当然，任意多边形网格都能转换成三角网格，三角网格以其简单性而吸引人，相对于一般多边形网格，许多操作对三角网格更容易。 表示网格 三角网格为一个三角形列表，所以最直接的表示方法是用三角形数组： Listing 14.1: A trivial representation of a triangle mesh struct Triangle { Vector3 p[3]; }; struct TriangleMesh { int triCount; Triangle *triList; }; 对于某些应用程序，这种表示方法已经足够。然而，术语"网格"隐含的相邻三角形的连通性却未在这种简单表示中有任何体现。实际应用中出现的三角网格，每个三角形都和其他三角形共享边。于是，三角网格需要存储三类信息： （1）顶点。每个三角形都有三个顶点，各顶点都有可能和其他三角形共享。
（2）边。连接两个顶点的边，每个三角形有三条边。 （3）面。每个三角形对应一个面，我们可以用顶点或边列表表示面。 索引三角网格 在索引三角网格中，我们维护了两个列表：顶点表与三角形表。 每个顶点包含一个3D位置，也可能有如纹理映射坐标、表面法向量、光照值等附加数据。 每个三角形由顶点列表的三个索引组成。通常，顶点列出的顺序是非常重要的，因为我们必须考虑面的"正面"和"反面"。从前面看时，我们将用顺时针方向列出顶点。另外一些信息也存在这一级中，如预先计算的表面法向量，表面属性（纹理映射）等。 程序清单14.2给出了一段高度简化的代码： Listing 14.2: Indexed triangle mesh // struct Vertex is the information we store at the vertex level struct Vertex { // 3D position of the vertex Vector3 p; // Other information could include texture mapping coordinates, // a surface normal, lighting values, etc. } // struct Triangle is the information we store at the triangle level struct Triangle { // Indices into the vertex list int vertex[3]; // Other information could include a normal, material information , etc. } // struct TriangleMesh stores an indexed triangle mesh struct TriangleMesh {
相似三角形 ——相似直角三角形及射影定理 【知识要点】 1、直角三角形的性质： （1）直角三角形的两个锐角 （2）Rt△ABC中，∠C=90o，则2+ 2= 2 （3）直角三角形的斜边上的中线长等于 （4）等腰直角三角形的两个锐角都是，且三边长的比值为 （5）有一个锐角为30o的直角三角形，30o所对的直角边长等于，且三边长的比值为 2、直角三角形相似的判定定理（只能用于选择填空题） 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 3、双垂直型： Rt△ABC中，∠C=90o，CD⊥AB于D，则 ①∽∽ ②射影定理： CD2= ·AC2= ·BC2= · 【常规题型】 1、已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，S△ABC=20，AB=10。求AD、BD的长. 2、已知，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D。（1）若AD=8，BD=2，求AC的长。（2）若AC=12，BC=16，求CD、AD的长。 B A
【典型例题】 例1．如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，AM 是BC 边的中线，CN ⊥AM 于N 点，连接BN ，求证：BM 2=MN ·AM 。 例2．已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90o，DF ⊥AC 于E ，且与AB 的延长线相交于F ，与BC 相交于G 。求证：AD 2=AB ·AF 例3．（1）已知ABC ?中，?=∠90ACB ，AB CD ⊥，垂足为D ，DE 、DF 分别是BDC ADC ??和的 高，这时CAB DEF ??和是否相似？ 【拓展练习】 1、已知：如图，AD 是△ABC 的高，BE ⊥AB ，AE 交BC 于点F ，AB ·AC=AD ·AE 。求证：△BEF ∽△ACF A B A B C N D C
网格型问题 一、选择题 1. （2011?台湾20，4分）如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网 格线的交点上，若灰色三角形面积为421 平方公分，则此方格纸的面积为多少平方公分 （ ） A 、11 B 、12 C 、13 D 、14 考点：一元二次方程的应用。 专题：网格型。 分析：可设方格纸的边长是x ，灰色三角形的面积等于方格纸的面积减去周围三个直角三角形的面积，列出方程可求解． 解答：解：方格纸的边长是x ，21 x2﹣21?x?21x ﹣21?21x?43x ﹣21?x?41x=421 x2=12． 所以方格纸的面积是12， 故选B ． 点评：本题考查识图能力，关键看到灰色三角形的面积等于正方形方格纸的面积减去周围三个三角形的面积得解． 2. （2011湖北潜江，7，3分）如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A 、B 、C 为格点．作△ABC 的外接圆⊙O，则弧AC 的长等于（ ）
A ．π43 B ．π45 C ．π23 D ．π25 考点：弧长的计算；勾股定理；勾股定理的逆定理；圆周角定理。 专题：网格型。 分析：求弧AC 的长，关键是求弧所对的圆心角，弧所在圆的半径，连接OC ，由图形可知OA ⊥OC，即∠AOC＝90°，由勾股定理求OA ，利用弧长公式求解． 解答：解：连接OC ，由图形可知OA⊥OC， 即∠AOC＝90°， 由勾股定理，得OA ＝2 212+＝5， ∴弧AC 的长＝180590??π＝25π． 故选D ． 点评：本题考查了弧长公式的运用．关键是熟悉公式：扇形的弧长＝180r n ??π． 3. （2011?西宁）如图，△DEF 经过怎样的平移得到△ABC（ ） A 、把△DEF 向左平移4个单位，再向下平移2个单位 B 、把△DEF 向右平移4个 单位，再向下平移2个单位 C 、把△DEF 向右平移4个单位，再向上平移2个单位 D 、把△DEF 向左平移4个 单位，再向上平移2个单位 考点：平移的性质。 专题：常规题型。 分析：根据网格图形的特点，结合图形找出对应点的平移变换规律，然后即可选择答案． 解答：解：根据图形，△DEF 向左平移4个单位，向下平移2个单位，即可得到△ABC．
自动网格生成法 二维网格生成—Advancing Front方法 从概念上来讲，Advancing front方法是最简洁的方法之一。单位元素生成算法始于一个特殊边界条件所定义的“front”,此算法逐级地生成各个元素，同时“front”元素离散地前进，直至整个区域都被元素所覆盖。 网格生成过程包括三个主要步骤： 1、在边界上生成节点，形成一个离散的区域边界。 2、在离散区域边界内生成元素（亦或节点）。 3、强化节点形状以提高网格图形清晰度。 在介绍这个方法之前我们先介绍以下有关于二维空间地几何表示。 一、二维网格的几何特征 我们利用网格参数（一般是空间的函数）来表征网格的一些性质，诸如节点尺寸，节点形状和节点方向等等。网格参数包括两个相互正交的单位矢量a1和a2表示的方向参数，和由两个相互正交代表节点形状的矢量的模值h1和h2。前者表征网格节点伸展的方向，注意的是，只有在生成的是非各向同性的网格内，方向参数才有定义，否则方向矢量是常单位矢量，而尺寸参数有h1=h2，这样就定义了各向同性的平凡网格。 二、区域的几何表示 边界曲线的表示： 我们一般用组合参数样条线表示曲线边界单位，利用参数t，我们利用二维矢量函数表达出曲线边界： r t=x t,y t,0≤t≤1 一般来讲，一条组合样条曲线至少是C1连续的，以保证边界曲线平滑和算法要求的数学连续性。我们下面将要用厄米三阶样条线，当然还有许多就不一一举例了。 样条线的参数表达式如下： X t=H0t,H1t,G0t,G1t?x0,x1,x,t0,x,t1T,0≤t≤1 转置的前两项是曲线的两个端点，而后两项是它们对t求导现在端点处的值。另外G和H分别是四个三阶厄米多项式： H0t=1?3t2+2t3 ; H1t=3t2?2t3 G0t=t?2t2+t3 ; G1t=?t2+t3 此时，参数表达式可以通过一个系数矩阵来描述： X t=1,t,t2,t3M x0,x1,x,t0,x,t1T,0≤t≤1 其中M矩阵读者很容易写出，是一个4*4的方阵，而每一列是这些厄米多项式的系数排列而成。我们把这个表示称之为样本表示。每个边界都包含n个这样的数据点： x i,i=1,2,3,……,n 利用内插法可以构造出如下形式的关系式： X u=H0t x u i?1+H1t x u i+Δi G0t x,t u i?1+Δi G1t x,t u i 其中Δi是单位区间的长度。同时参数t也变为离散的取值是单位区间从原点到任意点所有的个数。如果参数的离散取值正好是i，那么u的表达式将简化为：
网 格 问 题 1. 已知图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位. （1）将图1中的格点△ABC ，先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到△A 1B 1C 1，请你在图1中画出△A 1B 1C 1. （2）在图2中画出一个与格点△DEF 相似但相似比不等于1的格点三角形. 2. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．如图（一）中四边形ABCD 就是一个“格点四边形”． （1）求图（一）中四边形ABCD 的面积； （2）在图（二）方格纸中画一个格点三角形EFG ，使△EFG 的面积等于四边形ABCD 的面积且为轴对称图形． D C B A 图（一） 图（二） 3. 如图，在55 的正方形网格中，每个小正 方形的边长都为1.请在所给网格中按下列要求画 出图形． （1）从点A 出发的一条线段AB ，使它的另一 个端点落在格点（即小正方形的顶点）上， 且长度为22； （2）以（1）中的AB 为边的一个等腰三角形 ABC ，使点C 在格点上，且另两边的长 都是无理数； （3）以（1）中的AB 为边的两个凸多边形，使 它们都是中心对称图形且不全等，其顶点都 在格点上，各边长都是无理数． 图2 F E A B C 图1 （第3题图）
4. 下面的方格纸中，画出了一个“小猪”的图案，已知每个小正方形的边长为1． （1）“小猪”所占的面积为多少？ （2）在上面的方格纸中作出“小猪”关于直线DE 对称的图案（只画图，不写作法）； （3）以G 为原点，GE 所在直线为x 轴，GB 所在直线为y 轴，小正方形的边长为单位长度建立直角坐标系，可得点A 的坐标是（_______，_______）． 5. 图(1)是一个10×10格点正方形组成的网格. △ABC 是格点三角形(顶点在网格交点处), 请你完成下面两个问题: (1) 在图(1)中画出与△ABC 相似的格点△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2, 且△A 1B 1C 1与△ABC 的相似比是2, △A 2B 2C 2与△ABC 的相似比是2 2. (2) 在图(2)中用与△ABC 、△A 1B 1C 1、△A 2B 2C 2全等的格点三角形(每个三角形至少使用一次), 拼出一个你熟悉的图案,并为你设计的图案配一句贴切的解说词 . 【解说词】 6. 如图，有一条小船， （1） 若把小船平移，使点A 平移到点B ，请你在图中画出平移后的小船；（5分） （2） 若该小船先从点A 航行到达岸边L 的点P 处补给后，再航行到点B ，但要求航 程最短， E C D G B F A
中考专题复习——相似三角形 一. 选择题 1. （山东省潍坊市）如图 ,Rt △ABAC 中 ,AB ⊥AC,AB=3,AC=4,P 是 BC 边上一点 , 作 PE ⊥AB 于 E,PD ⊥ AC 于 D,设 BP=x,则 PD+PE=（ ） A. x 3B. 4 x C. 7 D. 12x 12x 2 5 5 2 5 25 A D C E P B 2。( 乐山市 ) 如图（ 2），小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在 离网 6 米的位置上，则球拍击球的高度 h 为（ ） A 、 8 B 、 1 C 、 4 D 、 8 15 3 5 h 米 0.8 米 6 米 4 米 3．（2020 湖南常德市） 如图 3，已知等边三角形 ABC 的边长为 2，DE 是它的中位线， 则下面四个结论： （1）DE=1，（ 2）AB 边上的高为 3 ，（ 3）△ CDE ∽△ CAB ，（ 4）△ CDE 的面积 与△ CAB 面积之比为 1：4. 其中正确的有 （ ） A ．1 个 B ． 2 个 C ．3 个 D ． 4 个
C D E A B 图3 4.(2020 山东济宁 ) 如图，丁轩同学在晚上由路灯AC 走向路灯BD ，当他走到点P 时， 发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC 的底部，当他向前再步行20m 到达Q点 时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯 BD 的底部，已知丁轩同学的身高是 1.5m，两个路灯的高度都是 9m，则两路灯之间的距离是（）D A．24m B．25m C．28m D．30m 5. （ 2020 江西南昌）下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（）B A ．B．C．D． 6.(2020重庆)若△ ABC∽△DEF，△ ABC与△ DEF的相似比为2︰3，则 S△ABC︰S△DEF 为（） A、2∶3 B、4∶9 C、 2 ∶3 D、3∶2 7.(2020 湖南长沙 ) 在同一时刻，身高 1.6 米的小强在阳光下的影长为0.8 米， 一棵大树的影长为 4.8 米，则树的高度为（） C A、4.8 米 B、 6.4 米 C、9.6 米 D、10 米 8．（ 2020 江苏南京）小刚身高 1.7m，测得他站立在阳关下的影子长为 0.85m。紧
有限元网格剖分方法概述 在采用有限元法进行结构分析时，首先必须对结构进行离散，形成有限元网格，并给出与此网格相应的各种信息，如单元信息、节点坐标、材料信息、约束信息和荷载信息等等，是一项十分复杂、艰巨的工作。如果采用人工方法离散对象和处理计算结果，势必费力、费时且极易出错，尤其当分析模型复杂时，采用人工方法甚至很难进行，这将严重影响高级有限元分析程序的推广和使用。因此，开展自动离散对象及结果的计算机可视化显示的研究是一项重要而紧迫的任务。 有限元网格生成技术发展到现在, 已经出现了大量的不同实现方法，列举如下： 映射法 映射法是一种半自动网格生成方法，根据映射函数的不同，主要可分为超限映射和等参映射。因前一种映射在几何逼近精度上比后一种高，故被广泛采用。映射法的基本思想是：在简单区域内采用某种映射函数构造简单区域的边界点和内点，并按某种规则连接结点构成网格单元。也就是根据形体边界的参数方程，利用映射函数，把参数空间内单元正方形或单元三角形(对于三维问题是单元立方体或单元四面体)的网格映射到欧氏空间，从而生成实际的网格。这种方法的主要步骤是，首先人为地把分析域分成一个个简单可映射的子域，每个子域为三角形或四边形，然后根据网格密度的需要，定义每个子域边界上的节点数，再根据这些信息，利用映射函数划分网格。 这种网格控制机理有以下几个缺点： （1）它不是完全面向几何特征的，很难完成自动化，尤其是对于3D区域。 （2）它是通过低维点来生成高维单元。例如，在2D问题中，先定义映射边界上的点数，然后形成平面单元。这对于单元的定位，尤其是对于远离映射边界的单元的定位，是十分困难的，使得对局部的控制能力下降。 （3）各映射块之间的网格密度相互影响程度很大。也就是说，改变某一映射块的网格密度，其它各映射块的网格都要做相应的调整。 其优点是：由于概念明确，方法简单，单元性能较好，对规则均一的区域，适用性很强，因此得到了较大的发展，并在一些商用软件如ANSYS等得到应用。 2 。拓扑分解法 拓扑分解法较其它方法发展较晚, 它首先是由Wordenwaber提出来的。该方法假设最后网格顶点全部由目标边界顶点组成, 那么可以用一种三角化算法将目标用尽量少的三角形完全分割覆盖。这些三角形主要是由目标的拓扑结构决定, 这样目标的复杂拓扑结构被分解成简单的三角形拓扑结构。该方法生成的网格一般相当粗糙, 必须与其它方法相结合, 通过网格加密等过程, 才能生成合适的网格。该方法后来被发展为普遍使用的目标初始三角化算法, 用来实现从实体表述到初始三角化表述的自动化转换。 单一的拓扑分解法因只依赖于几何体的拓扑结构使网格剖分不理想，有时甚至很差。 3．连接节点法 这类方法一般包括二步：区域内布点及其三角化。早期的方法通常是先在区域内布点, 然后再将它们联成三角形或四面体, 在三角化过程中, 对所生成的单元形状难于控制。随着Delaunay三角化(简称为DT ) 方法的出现, 该类方法已成为目前三大最流行的全自动网格生成方法之一。 DT法的基本原理：任意给定N个平面点Pi(i=1,2,…,N)构成的点集为S，称满足下列条件的点集Vi为Voronoi多边形。其中，Vi满足下列条件： Vi ={ X：|X- Pi|(|X- Pj|,X(R2,i(j,j=1,2,…,N }Vi为凸多边形，称{ Vi}mi=1为Dirichlet Tesselation
网格中的三角形 河北张家口市第十九中学 贺峰 随着新课程的实施，在近几年的中考试卷中出现了许多新颖的网格型试题，这类试题具有很强的直观性、可操作性、开放性及综合性等特点，不仅能够考查学生的数学知识，体现分类、数形结合等重要的数学思想，同时也考查和培养学生的识图、归纳、动手操作、自主探究等多种能力，有利于培养学生的探究意识和创新精神。现以近几年中考试题中出现的“网格中的三角形”为例，为同学们加以归类分析： 一、网格中的“等面积三角形” 例1 已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A 、B 两点在小方格的顶点上，位置如图1所示，点C 也在小方格的顶点上，且以A 、B 、C 为顶点的三角形面积为1，则点C 的个数为（ ） （A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个 析解：此题以网格为载体来考查同学们等面积三角形的构成，体现分类讨论思想，若使点C 在小方格的顶点上，且以A 、B 、C 为顶点的三角形面积为1， 即保证△ABC 的底为2，高为1，因此须分类讨论的思想方法，即按AC ＝2时、BC ＝2时进行分类求解。答案如图2所示： 说明：此题也可通过对图形对称变换进行求解，即确定第（1）、（3）、（5）三种情况，分别以AB 所在的直线为对称轴将△ABC 翻折，使点C 落在格点上即可求解。 即可求解。 二、网格中的“等腰三角形” 例2如图3所示，A 、B 是4×5网络中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中清晰标出使以A 、B 、C 为顶点的三角形是等腰三角形的 所有格点C 的位置． 析解：此题以网格为载体来考查同学们等腰三角形的构成，体现分类讨论思 想，若使点C 在小方格的顶点上，且以A 、B 、C 为顶点的三角形为等腰三角形，即保证△ABC 中AB ＝AC 或AB ＝BC 或AC ＝AB ，即分别以AC 、AB 、BC 为腰时进行分类求解。答案如图4所示： 说明：此题也可通过对图形旋转变换进行求解，即以AB 为腰，分别以点A 、点B 为旋转中心，将线段AB 进行旋转，使点B 、点A 落在格点上即可求解。 三、网格中的“直角三角形” 例3如图5，正方形网格中，小格的顶点叫做格点，小华按下列要求作图： ①在正方形网格的三条不同实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一条实线 上；②连结三个格点，使之构成直角三角形， 小华在左边的正方形网格中作出了Rt △ABC ，请你按照同样的要求，在右边的两个 正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等。 析解：此题开放性很强， 给学生广阔的思维空 图1 A 图3 图 4 A B C 图5 图6 C C C C C C （1） （2） （3） （5） （6） 图2
中考“网格”中的相似三角形问题 所谓网格中的形似三角形就是在正方形的网格中寻找三角形相似的问题.这类问题是近年来全国各地中考的一个热点和亮点，试题的特点主要是以用勾股定理等知识计算三角形的边长，再加上正方形的对角线形成的特殊角，要求能从正方形网格中挖掘出条件，灵活运用相似三角形的性质与判定解决问题.目的是要考查同学们的观察、猜想、探究问题的能力，为了帮助同学们掌握这一知识点，现以中考试题为例说明如下： 例1 如图1，小正方形的边长均为1，则下图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的为（ ） 分析 先利用勾股定理求出△ABC 、2 ，再分别求出选择支中三角形的三边的长，然后分别求出对应边长的比. 解 由于正方形边长均为1，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝2，AB ＝10；图A 中三 角形三边长为1 22，而与△ABC ，2 显然 它们不相等；图B 中三角形三边长为1，2 ABC ＝ 2 ， 2 2 ，故对应边的比相等；同样的道理可以得出在图C 和图D 中的两个三角 形三边分别与△ABC 三边的比不相等.故选B . 例 2 如图2，若A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、O 都是5×7方格纸中的格点，为使△DME ∽△ABC ，则点M 应是F 、G 、H 、O 四点中的（ ） A.F B.G C.H D.O 分析 若△DME ∽△ABC ，△ABC 又是一个等腰直角三角形，故△DME 也应是等腰直角三角形，这样观察图中F 、G 、H 、O 四点与D 、E 两点的位置关系即可求解. 解 因为△ABC 是一个等腰直角三角形，所以要使△DME ∽△ABC ，△DME 也必须是一个等腰直角三角形， 所以观察图中F 、G 、H 、O 四点与D 、E 两点的位置关系只有点H 能与D 、E 两点构成等腰直角三角形.故应选C . 图4 图2 图1 图3
格点相似三角形 在方格纸中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，以网格为背景的相似三角形问题，在中考试题中时有出现．解决格点三角形相似问题，要依据网格的特征，并结合相似三角形的有关判定方法去思考． 例1（安徽省）如图1是一个10×10格点正方形组成的网格．△ABC是格点三角形（顶点在网格交点处），请你完成下面两个问题: 在图2中画出与△ABC相似的格点△ABC和△ABC，且△ABC与△ABC的相似121121112 2．ABC 的相似比是△ABC与△比是2，2222 析解：要作与△ABC相似的三角形，首先找到△ABC的特征，AB=BC=2，∠B=90°，因为△ABC与△ABC的相似比是2，所以AB=BC=4，∠B=90°；因为△ABC与△ABC21121111211 2AB?BC?2，∠B=90°．所作的三角形如图2的相似比是所示．．所以22222评注：作已知三角形的相似三角形的关键是确定已知三角形的特征，根据条件找到要作三角形的对应特征．本题也可以从三边对应成比例考虑作相似三角
形． DEF△ABC和4×4的正方形方格中，△，例2（台州市）如图3在1的小正方形的顶点上．的顶点都在边长为=_____；=_____°，BC（1）填空：∠ABC 是否相似，并说明你的结论．△DEFABC（2）判断△与 析解：本题是一道和网格有关的相似三角形探索题． 以，EBC，ABE知形察，度ABC角）（1求∠的数观图可∠=90°∠=45°所- 1 - ∠ABC=90°+45°=135°； 22?2?2BC?22．根据网格的特征，利用勾股定理可得 （2）要判断△ABC和△DEF是否相似，则应根据三角形相似的判定方法，从对应边ABBC ??2，所，以为∠ABC =∠DEF = 135°入比成例，对应角相等手．因DEEF△ABC ∽△DEF．评注：说明网格中的三角形相似，一般根据三边对应成比例，或
文章编号: 1005 0329(2010)04 0032 06 技术进展 流体机械CFD中的网格生成方法进展 刘厚林,董 亮,王 勇,王 凯,路明臻 (江苏大学,江苏镇江 212013) 摘 要: 网格生成技术是流体机械内部流动数值模拟中的关键技术之一,直接影响数值计算的收敛性,决定着数值计算结果最终的精度及计算过程的效率;本文在分析大量文献的基础上,首先,对流体机械CFD中的网格生成方法即结构化网格、非结构化网格、混合网格进行了比较全面的总结,系统地分析这些网格划分方法的机理、特点及其适用范围;其次,对特殊的网格生成技术,如曲面网格生成技术、动网格技术、重叠网格生成技术、自适应网格技术进行了阐述;再次,指出了良好的网格生成方法应具备的特点;最后提出了网格生成技术的发展趋势。 关键词: 流体机械;网格生成;计算流体动力学;动网格;自适应网格 中图分类号: TH311 文献标识码: A do:i10.3969/.j i ssn.1005-0329.2010.04.008 Overvie w onM esh Generati o n M et hods i n CF D of F lui d M achinery L IU H ou-lin,DONG L iang,W ANG Y ong,W ANG K a,i LU M i ng-zhen (Jiangsu U n i v ers it y,Zhenji ang212013,Ch i na) Abstrac t: M esh genera ti on techno logy i s one of the cr iti ca l technology f o r fl u i d m ach i nery fl ow nume rica l s i m u l at-i on,and d-i rectly i nfl uence t he astr i ngency o f nume rical si m u l a ti on,wh ich has an i m portan t e ffect on the nu m er ica l s i m u l a tion results,fi na l precision and the effi c i ency o f compu tati onal process.O n the bas i s o f analyzi ng a great dea l litera t ures,firstl y,m esh genera ti on m ethods and t heory of fluid m ach i nery are comprehens i ve l y su mm ar i zed such as structured mesh,unstructured mesh,hybrid gr i d and respecti ve re lati ve m erits and the pr i nciple,charac teristcs and scopes of t hese m ethods we re sy stema ti ca lly ana l ysed.Second-ly,Spec i a lm esh generation m ethod w ere su mm ar i zed,such as surface m eshi ng,m ov ing gr i d,adapti ve gr i d and especiall y i ntro-duced the pr i nci p le and app licati on areao f adapti ve g ri d.T h irdly,the character i sti c o f m esh g enerati on m e t hod w ere pion ted out. F i na lly,t he trends of mesh generati on are presen ted,and the tre m endous d ifference i s analyzed i n mesh au t om atic gene ra tion at a-broad and the necessary o f exp l o iti ng CFD soft w are and resea rchi ng the m esh auto m atic gene ration techn i que i n our country are put forwa rd. K ey word s: fl uids m achi nery;m esh g enerati on;co m puta ti ona l fl u i d dyna m ics;mov i ng gr i d;adaptive gr i d 1 前言 计算流体动力学(CFD)中,按一定规律分布于流场中的离散点的集合叫网格,产生这些节点的过程叫网格生成。网格生成是连接几何模型和数值算法的纽带,几何模型只有被划分成一定标准的网格时才能对其进行数值求解,一般而言,网格划分越密,得到的结果就越精确,但耗时也越多。数值计算结果的精度及效率主要取决于网格及划分时所采用的算法[1],它和控制方程的求解是数值模拟中最重要的两个环节。网格生成技术已经发展成为流体机械CFD的一个重要分支。现有的网格生成方法主要分为结构化网格、非结构化网格和混合网格三大类。 收稿日期: 2009 11 04 基金项目: 国家杰出青年基金(50825902);国家 863 计划(2006AA05Z250)
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/ac7830404.html, 网格线中的三角函数问题 作者：周宏伟 来源：《初中生世界·九年级》2016年第12期 在我们常见的网格线中，有很多三角函数求值问题，题中蕴含着很多思想方法，为便于大家复习，现归纳如下，供大家在学习过程中参考. 一、补形的策略 例1 （2015·山西）如图1，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）. A.2 B.[255] C.[55] D.[12] 【方法探究】如何把∠ABC放在某个直角三角形中是解决本题的关键，仔细观察可以发现：AB在小正方形的对角线上，能联想到45°角，只要连接AC即可构造出直角，然后在直角三角形中运用三角函数的定义求解. 【过程展示】如图2，连接AC，则∠CAB=90°，在Rt△ABC中， tan∠ABC=[ACAB]=[12].故选D. 例2 （2016·福建福州）如图3，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点.已知菱形的一个角（∠O）为60°，A、B、C都在格点上，则tan∠ABC的值是 . 【方法探究】观察网格的特点，首先考虑如何将∠ABC放到一个直角三角形中，这是解 决问题的关键. 【过程展示】如图4，连接DA，DC，则点B、C、D在同一直线上，设菱形的边长为a，由题意得∠ADF=30°，∠BDF=60°，∴∠ADB=90°， AD=[3a]，DB=2a，tan∠ABC=[ADBD]=[3a2a]=[32]，故答案为[32]. 二、转化的思想 例3 （2012·江苏泰州）如图5，在由边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D 都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值为 . 【方法探究】直接求∠APD的正切值比较困难，可以考虑利用线段的平移对∠APD进行转化，找出它的“替身”，然后进行求解，以达到化难为易的目的.
模型归纳： 已知，如图①②③中：∠B＝∠A C E＝∠D. 结论：△A B C∽△C D E 模型分析： 如图①，∵∠ACE＋∠DCE＝∠B＋∠A，又∵∠B＝∠ACE，∴∠DCE＝∠A．∴△ABC∽△CDE．图②③同理可证△ABC∽△CDE． 2.旋转相似模型 旋转相似又是啥意思呢？ 哈哈哈哈哈哈 还是来看视频吧 模型归纳： 如图①，已知DE∥BC，将△ADE绕点A旋转一定的角度，连接BD、CE，得到如图②．结论：△ABD∽△ACE．
模型分析 同鞋们，上面的模型我们都学会识别的了吗？ 下面我们一起进入模型应用哦！！！ 典例精讲 相似模型——共线三等角模型的例题 相似模型——旋转模型的例题
专题讲解视频 好记性不如烂笔头， 快快整理笔记在笔记本上， 找题目练练哦！ 题目已经给你们准备好啦 专题小练习 1．如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD ＝60°，BP＝2，CD＝1，则△ABC的边长为（） A．3B．4C．5D．6
2．如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD、CE，若AC：BC＝3：4，则BD：CE为（） 3.如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠CBA＝90°，点E为AB的中 点，DE⊥CE． （1）求证：△AED∽△BCE； （2）若AD＝3，BC＝12，求线段DC的长．
4.如图，△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，E在△ABC内， ∠CAE+∠CBE＝90°，连接BF． （1）求证：△CAE∽△CBF． （2）若BE＝1，AE＝2，求CE的长．