2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
理 科 数 学
第Ⅰ卷
一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 本大题共8小题, 每小题5分，共40分.
1．已知{}|||2A x x =∈R ，{}|1B x x
=∈R ，
则A B = ( ) A.(],2-∞ B .[]1,2 C .[]2,2- D .[]2,1- 【测量目标】集合的基本运算.
【考查方式】考查了集合的表示法（描述法）、集合的交集运算. 【难易程度】容易 【参考答案】D
【试题解析】先化简集合A ，再利用数轴进行集合的交集运算. 由已知得{2
2}A x x =∈-
R ,于是{21}A B x x =∈-R
2．设变量x , y 满足约束条件0,230,306,x x y y y +----??
???
则目标函数2z y x =-的最小值为 ( )
A. 7-
B.4-
C. 1
D. 2
【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.
【考查方式】给出约束条件，作出可行域，通过平移目标函数，求可行域的最值. 【难易程度】容易 【参考答案】A
【试题解析】作出可行域，平移直线x y 2=，当直线过可行域内的点)3,5(A 时，Z 有最小值,
min 3257Z =-?=-.
第2题图 jxq56
3．阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为 （ ）
第3题图 jxq57 A. 64 B. 73
C. 512
D. 585
【测量目标】循环结构的程序框图.
【考查方式】直接执行程序框图中的语句求值. 【难易程度】容易 【参考答案】B
【试题解析】1,0,1,502,9,504,7350x S S S x S S x S ===，跳出循环，输出
73S =.
4．已知下列三个命题:
①若一个球的半径缩小到原来的
12, 则其体积缩小到原来的18
; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;
③直线x + y + 1 = 0与圆221
2
x y +=相切.
其中真命题的序号是: （ ） A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③ 【测量目标】球的体积，标准差，直线与圆的位置关系.
【考查方式】给出三个命题运用各个命题相关的知识判断真假. 【难易程度】容易 【参考答案】C
【试题解析】命题①，设球的半径为R ，则3
3
414ππ,3283
R R ??= ???故体积缩小到原来的18，命题正确；(步
骤1)
对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；（步骤2） 对于命题③，圆2
2
12x y +=
的圆心()0,0到直线10x y ++=的距离2
22
d ==，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确.(步骤3)
5．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O
为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 3则p = （ ） A. 1 B.
3
2
C. 2
D. 3 【测量目标】三角形面积，双曲线与抛物线的简单几何性质.
【考查方式】给出离心率及三角形面积，利用三角形面积公式，双曲线与抛物线的简单几何性质求值. 【难易程度】中等
【参考答案】C
【试题解析】由已知得2
c
a
=，所以
22
2
4
a b
a
+
=，解得3
b
a
=
，即渐近线方程为3
y x
=±.（步骤1）
而抛物线的方程为
2
p
x=-，于是
33
,,,
2222
p p p p
A B
????
---
? ?
? ?
????
，
从而AOB
△的面积为
1
3=3
22
p
p，可得2
p=.（步骤2）
6．在△ABC中, π,2,3,
4
AB BC
ABC=
∠==则sin BAC
∠= （）
A.
10
B.
10
C.
310
D.
5
【测量目标】正弦定理，余弦定理.
【考查方式】给出三角形中的的部分条件，利用正、余弦定理求正弦值.
【难易程度】容易
【参考答案】C
【试题解析】
由余弦定理可得22
2
2cos292235
2
AC BA BC BA BC ABC
=+-∠=+-???=（步骤1）
于是由正弦定理可得
sin sin
BC AC
BAC ABC
=
∠∠
，于是
2
3310
2
sin
10
5
BAC
?
∠==. （步骤2）
7．函数
0.5
()2|log|1
x
f x x
=-的零点个数为（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【测量目标】函数的图象，函数零点的判断.
【考查方式】给出函数解析式，结合图象判断零点个数.
【难易程度】中等
【参考答案】B
【试题解析】令
0.5
()2|log|10
x
f x x
=-=，可得
0.5
1
|log|
2
x
x
??
= ?
??
.设()()
0.5
1
|log|,
2
x
g x x h x
??
== ?
??
，
在同一坐标系下分别画出函数()
g x()
,h x的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数()
f x有2个零点.
第7题图jxq58
8．已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ??
-?????
, 则实数a
的取值范围是 （ ）
A. 15,02??- ? ???
B. 13,02??
- ? ???
C. 1130,5,022??
+ ? ????
- ? ?
??
?
D. 52,1??
-- ? ??
∞? 【测量目标】解含参的一元二次不等式.
【考查方式】利用绝对值不等式解含参的一元二次不等式. 【难易程度】较难 【参考答案】A 【试题解析】
()()11,,0,(1)022A f a f a a a ??
-?∴<∴+
，解得10a -<<，可排除C ，（步骤1）又
1122f a f ????-+<- ? ?????
，111(1)12222a a a a ????∴-++-+<-+ ? ?????，11
5224a a a a ??∴-+-+<- ???.
（步骤2）
10a -<<115224a a ??∴-+-+>- ???22
1515
,2424
a a ????∴--+>-∴-+< ? ?????，1502a -∴<<.排除B,D.应选A.（步骤3）
第Ⅱ卷
二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.
9．已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i)(1 + i) =b i, 则a + b i = . 【测量目标】复数代数形式的四则运算. 【考查方式】给出含复数的等式求值. 【难易程度】容易 【参考答案】12i +
【试题解析】由(a + i)(1 + i) =b i 可得()()11i i a a b -++=，因此10,1a a b -=+=，解得1,2,a b == 故i 12i a b +=+
10．6
x x ?
- ?
的二项展开式中的常数项为 .
【测量目标】二项式定理.
【考查方式】给出二项式，利用二项式展开式的通项求常数项. 【难易程度】容易 【参考答案】15
【试题解析】6
x x ?- ?的展开通项为()()3662
1
661C 1C r
r r
r r r r r T x x x --+=-=-，令3602r -=，解得4r =，故常数项为()4
4
6
1C 15-=. 11．已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为π4,3??
???
, 则CP = .
【测量目标】坐标系与参数方程，两点间的距离公式.
【考查方式】给出极坐标方程及点P 的极坐标，利用极坐标与直角坐标的互化及两点间的距离公式求距离.
【难易程度】中等
【参考答案】23
【试题解析】由4cos
ρθ
=可得224
x
y x
+=，即()22
24
x y
-+=，因此圆心C的直角坐标为()
2,0，又点P的直角坐标为()
2,23，因此23
CP=.
12．在平行四边形ABCD中, AD = 1, 60
BAD?
∠=, E为CD的中点. 若1
AC BE=, 则AB的长为. 【测量目标】向量的线性运算，平面向量的数量积运算.
【考查方式】已知平行四边形及部分条件，用向量表示，运用平面向量的运算求值.
【难易程度】简单
【参考答案】
1
2
【试题解析】用,
AB AD表示AC与BE，然后进行向量的数量积运算.
由已知得AC=AD AB
+，
1
2
BE BC CE AD AB
=+=-，
∴AC BE=22
11
22
AD AB AD AB AD AB
-+-
2
11
1
22
AB AD AB
=+-2
11
1cos601
22
AB AD AB
?
=+-=，（步骤1）
∴
1
2
AB=.（步骤2）
第12题图jxq59
13．如图, △ABC为圆的内接三角形, BD为圆的弦, 且BD//AC. 过点A做圆的切线与DB的延长线交于点E, AD与BC交于点F. 若AB = AC, AE = 6, BD = 5, 则线段CF的长为.
第13题图jxq60
【测量目标】圆的切割线定理，三角形相似.
【考查方式】直接利用圆的切割线定理及三角形相似求值. 【难易程度】中等 【参考答案】
83
【试题解析】因为AB AC =，所以ABC C ∠=∠，因为AE 与圆相切，所以EAB C ∠=∠，所以
ABC EAB ∠=∠，所以AE
BC .（步骤1）
又因为AC
DE ，所以四边形AEBC 是平行四边形，由切割线定理可得2AE EB ED =，于是
()265EB EB =+，所以4EB =（负值舍去），因此4,6AC BC ==，（步骤2） 又因为AFC DFB △∽△，所以
456CF CF =
-，解得8
3
CF =.（步骤3） 14．设a + b = 2, 0b >, 则当a = 时,
1||
2||a a b
+
取得最小值. 【测量目标】基本不等式求最值.
【考查方式】去掉绝对值符号，利用均值不等式求最值进而求a 的值. 【难易程度】较难 【参考答案】2-
【试题解析】由于a + b = 2，所以
1||||||
2||444a a b a a b a a b a b a a b ++=+=++
，（步骤1） 由于0,b a o >>，所以
||||
2
144b a b a a b
a b
+=，
因此当0a >时，
1||
2||a a b +
的最小值是15144
+=；（步骤2） 当0a <时
1||
2||a a b +
的最小值是13144
-+=， 故1||2||a a b +
的最小值为34，此时||40
b
a a
b a ?=?
??
，即2a =-.（步骤3） 三．解答题: 本大题共6小题, 共80分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 15． (本小题满分13分)
已知函数2π()226sin cos 2co ,s 41f x x x x x x ?
?=++- ??
?+∈R .
(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;
(Ⅱ) 求f (x )在区间π0,2??
????
上的最大值和最小值.
【测量目标】三角函数的周期性和最值.
【考查方式】给出三角函数，利用其周期性和最值求值. 【难易程度】容易
【试题解析】(I)()
ππ
22cos22sin3sin2cos2
44
f x x x x x
=-+-
π
2sin22cos2222
4
x x x
??
=-=-
?
??
，
故()
f x的最小正周期
2π
π
2
T==；（步骤1）
(II)因为()
f x在区间
3π
0,
8
??
??
??
上单调递增，在区间
3ππ
,
82
??
??
??
上单调递减，
并且()02
f=-，
3π
22
8
f
??
=
?
??
，
π
2
2
f
??
=
?
??
，
故()
f x在
π
0,
2
??
??
??
上的最大值为222
-.（步骤2）
16．(本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).
(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.
(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X的分布列和数学期望.
【测量目标】古典概型，离散型随机变量的分布列及期望.
【考查方式】利用古典概型的概率公式结合计数原理求概率，进而求分布列及期望.
【难易程度】中等
【试题解析】(I)记“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A，
则()
1322
2525
4
7
C C C C6
C7
P A
+
==，故所求概率为
6
7
；（步骤1）
(II)X的所有可能取值为1,2,3,4.
()33
4
7
C1
1
C35
P X===，()
3
4
4
7
C4
2
C35
P X===，
()35
4
7
C2
3
C7
P X===，()
3
6
4
7
C4
4
C7
P X===.
故X的分布列如下表是：
（步骤2）
其期望
142417
1234
3535775
EX=?+?+?+?=.（步骤3）
X 1 2 3 4
P
1
35
4
35
2
7
4
7