2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
理 科 数 学
第Ⅰ卷
一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 本大题共8小题, 每小题5分，共40分.
1．已知{}|||2A x x =∈…R ，{}|1B x x =∈…R ，
则A B = ( )
A.(],2-∞ B .[]1,2 C .[]2,2- D .[]2,1- 【测量目标】集合的基本运算.
【考查方式】考查了集合的表示法（描述法）、集合的交集运算. 【难易程度】容易 【参考答案】D
【试题解析】先化简集合A ，再利用数轴进行集合的交集运算. 由已知得{22}A x x
=∈-R 剟,于是{21}A B x x =∈-R 剟
2．设变量x , y 满足约束条件0,230,306,x x y y y +----??
???
………则目标函数2z y x =-的最小值为 ( )
A. 7-
B.4-
C. 1
D. 2
【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.
【考查方式】给出约束条件，作出可行域，通过平移目标函数，求可行域的最值. 【难易程度】容易 【参考答案】A
【试题解析】作出可行域，平移直线x y 2=，当直线过可行域内的点)3,5(A 时，Z 有最小值,
min 3257Z =-?=-
.
第2题图 jxq56
3．阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为 （ ）
第3题图 jxq57 A. 64 B. 73
C. 512
D. 585
【测量目标】循环结构的程序框图.
【考查方式】直接执行程序框图中的语句求值. 【难易程度】容易 【参考答案】B
【试题解析】1,0,1,502,9,504,7350x S S S x S S x S ===，跳出循环，输出
73S =.
4．已知下列三个命题:
①若一个球的半径缩小到原来的
12, 则其体积缩小到原来的18
; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;
③直线x + y + 1 = 0与圆221
2
x y +=相切.
其中真命题的序号是: （ ） A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③ 【测量目标】球的体积，标准差，直线与圆的位置关系.
【考查方式】给出三个命题运用各个命题相关的知识判断真假. 【难易程度】容易 【参考答案】C
【试题解析】命题①，设球的半径为R ，则3
3
414ππ,3283
R R ??= ???故体积缩小到原来的18，命题正确；(步
骤1)
对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；（步骤2）
对于命题③，圆2
2
1
2x y +=
的圆心()0,0到直线10x y ++=的距离d ==，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确.(步骤3)
5．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O
为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 则p = （ ） A. 1 B.
3
2
C. 2
D. 3 【测量目标】三角形面积，双曲线与抛物线的简单几何性质.
【考查方式】给出离心率及三角形面积，利用三角形面积公式，双曲线与抛物线的简单几何性质求值. 【难易程度】中等
【参考答案】C
【试题解析】由已知得2c a =，所以22
2
4a b a +=
，解得
b a =
y =.（步骤1） 而抛物线的方程为2p x =-
，于是,,22p p A B ??-- ????， 从而AOB △的面积为
13=32
2
p
p
，可得2p =.（步骤2） 6．在△
ABC 中, π
,3,4
AB BC ABC ∠==则sin BAC ∠ = （
）
A.
B.
C.
D.
【测量目标】正弦定理，余弦定理.
【考查方式】给出三角形中的的部分条件，利用正、余弦定理求正弦值. 【难易程度】容易
【参考答案】C 【试题解析】
由余弦定理可得AC =
==（步骤1） 于是由正弦定理可得
sin sin BC AC
BAC ABC
=
∠∠
，于是3sin 10BAC ∠=
=. （步骤2）
7． 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3
D. 4
【测量目标】函数的图象，函数零点的判断.
【考查方式】给出函数解析式，结合图象判断零点个数. 【难易程度】中等 【参考答案】B
【试题解析】令0.5()2|log |10x f x x =-=，可得0.51|log |2x
x ??
= ???.设()()0.51|log |,2x
g x x h x ??== ???
，
在同一坐标系下分别画出函数()g x (),h x 的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数
()f x 有2个零点.
第7题图 jxq58
8．已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ??
-?????
, 则实数a
的取值范围是 （ ）
A. ?????
B. ?
????
C. 130,?+
??????? D.
?- ??
∞ 【测量目标】解含参的一元二次不等式.
【考查方式】利用绝对值不等式解含参的一元二次不等式. 【难易程度】较难 【参考答案】A 【试题解析】
()()11,,0,(1)022A f a f a a a ??
-?∴<∴+
，解得10a -<<，可排除C ，（步骤1）又
1122f a f ????
-+<- ? ?????
，111(1)12222a a a a ????∴-++-+<-+ ? ?????，115224a a a a ??∴-+-+<- ???.
（步骤2）
10a -<<115224a a ??∴-+-+>- ???22
1515
,2
424
a a ????∴--+>-∴-+< ? ?????，0a <<.排除
B,D.应选A.（步骤3）
第Ⅱ卷
二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.
9．已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i)(1 + i) =b i, 则a + b i = . 【测量目标】复数代数形式的四则运算. 【考查方式】给出含复数的等式求值. 【难易程度】容易 【参考答案】12i +
【试题解析】由(a + i)(1 + i) =b i 可得()()11i i a a b -++=，因此10,1a
a b -=+=，解得1,2,a b == 故i 12i a b +=+
10．6
x ?
?
的二项展开式中的常数项为 .
【测量目标】二项式定理.
【考查方式】给出二项式，利用二项式展开式的通项求常数项
. 【难易程度】容易 【参考答案】15
【试题解析】6
x ?- ?的展开通项为()()36621661C 1C r
r r r r r r r T x x --+=-=-，令3602r -=，解得4r =，故常数项为()4
4
61C 15-=.
11．已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为π4,3??
???
, 则CP = .
【测量目标】坐标系与参数方程，两点间的距离公式.
【考查方式】给出极坐标方程及点P 的极坐标，利用极坐标与直角坐标的互化及两点间的距离公式求距离.
【难易程度】中等
【参考答案】【试题解析】由4cos ρθ=可得224x y x +=，即()2
2
24x y -+=，因此圆心C 的直角坐标为()2,0，
又点P 的直角坐标为(2,，因此CP =12．在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ?∠=, E 为CD 的中点. 若1AC BE =, 则AB 的长为 . 【测量目标】向量的线性运算，平面向量的数量积运算.
【考查方式】已知平行四边形及部分条件，用向量表示，运用平面向量的运算求值. 【难易程度】简单 【参考答案】
12
【试题解析】用,AB AD 表示AC 与BE ，然后进行向量的数量积运算. 由已知得AC =AD AB +，1
2
BE BC CE AD AB =+=-
， ∴AC BE =2
211
22
AD AB AD AB AD AB -
+- 211122AB AD AB =+
-211
1cos 60122
AB AD AB ?=+-=，（步骤1） ∴1
2
AB =
.（步骤2）
第12题图 jxq59
13．如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点
E , AD 与BC 交于点
F . 若AB = AC , AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .
第13题图 jxq60
【测量目标】圆的切割线定理，三角形相似.
【考查方式】直接利用圆的切割线定理及三角形相似求值. 【难易程度】中等 【参考答案】
83
【试题解析】因为AB AC =，所以ABC C ∠=∠，因为AE 与圆相切，所以EAB C ∠=∠，所以
ABC EAB ∠=∠，所以AE
BC .（步骤1）
又因为AC
DE ，所以四边形AEBC 是平行四边形，由切割线定理可得2AE EB ED =，于是
()265EB EB =+，所以4EB =（负值舍去），因此4,6AC BC ==，（步骤2） 又因为AFC DFB △∽△，所以
456CF CF =-，解得8
3
CF =.（步骤3） 14．设a + b = 2, 0b >, 则当a = 时,
1||
2||a a b
+取得最小值. 【测量目标】基本不等式求最值.
【考查方式】去掉绝对值符号，利用均值不等式求最值进而求a 的值. 【难易程度】较难 【参考答案】2-
【试题解析】由于a + b = 2，所以
1||||||
2||444a a b a a b a a b a b a a b
++=+=++，（步骤1） 由于0,b a o >>，所以
||14b a a b a b
+=…， 因此当0a >时，
1||2||a a b +的最小值是15144
+=；（步骤2） 当0a <时
1||2||a a b +的最小值是13144
-+=， 故1||2||a a b +的最小值为34，此时||40
b
a a b
a ?=???
，即2a =-.（步骤3） 三．解答题: 本大题共6小题, 共80分. 解答应写出文字说明,
证明过程或演算步骤. 15． (本小题满分13分)
已知函数2π()26sin cos 2co ,s 41f x x x x x x ?
?=++- ??
?+∈R .
(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;
(Ⅱ) 求f (x )在区间π0,2??
????
上的最大值和最小值.
【测量目标】三角函数的周期性和最值.
【考查方式】给出三角函数，利用其周期性和最值求值. 【难易程度】容易
【试题解析】(I)(
)ππ
2cos2sin3sin2cos2
44
f x x x x x
=+-
π
2sin22cos22
4
x x x
??
=-=-
?
??
，
故()
f x的最小正周期
2π
π
2
T==；（步骤1）
(II)因为()
f x在区间
3π
0,
8
??
??
??
上单调递增，在区间
3ππ
,
82
??
??
??
上单调递减，
并且()02
f=-
，
3π
8
f
??
=
?
??
，
π
2
2
f
??
=
?
??
，
故()
f x在
π
0,
2
??
??
??
上的最大值为2
-.（步骤2）
16．(本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).
(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.
(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X的分布列和数学期望.
【测量目标】古典概型，离散型随机变量的分布列及期望.
【考查方式】利用古典概型的概率公式结合计数原理求概率，进而求分布列及期望.
【难易程度】中等
【试题解析】(I)记“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A，
则()
1322
2525
4
7
C C C C6
C7
P A
+
==，故所求概率为
6
7
；（步骤1）
(II)X的所有可能取值为1,2,3,4.
()33
4
7
C1
1
C35
P X===，()
3
4
4
7
C4
2
C35
P X===，
()35
4
7
C2
3
C7
P X===，()
3
6
4
7
C4
4
C7
P X===.
故X的分布列如下表是：
（步骤2）
其期望
142417
1234
3535775
EX=?+?+?+?=.（步骤3）
17． (本小题满分13分) 如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点.
(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;
(Ⅱ) 求二面角B 1－CE －C 1的正弦值.
(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1
, 求线段AM 的长.
第17题图jxq61
【测量目标】两条直线的位置关系，二面角，线面角，空间向量的应用. 【考查方式】建立空间直角坐标系，利用空间向量证明及求值. 【难易程度】中等
【试题解析】如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，由题意得()0,0,0A ，()0,0,2B ，()1,0,1C ，
()10,2,2B ，()11,2,1C ，()0,1,0E .
(I)易得()111,0,1B C =-，()1,1,1CE =--，故110B C CE =，因此11B C CE ⊥；（步骤1） (II)()11,2,1B C =--，设(),,x y z =n 是平面1
BCE 的法向量， 则100
B C CE ?=??=??n n ，得200x y z x y z --=??-+-=?，
取1z =可得平面1BCE 的一个法向量()3,2,1=--n .（步骤2） 由(I)11B C CE ⊥，又111B C CC ⊥，故11B C ⊥平面1CEC ， 知()111,0,1B C =-为平面1CEC 的一个法向量.（步骤3） 故111111
cos ,B C B C B C =
=
n n n =
知1121sin ,B C =
n ；（步骤4）
(III)()0,1,0AE =，()11,1,1EC =， 设()()1,,01EM EC λλλλλ
==剟，则(),1,AM AE EM λλλ=+=+.（步骤5）
取()0,0,2AB =为平面11ADD A 的一个法向量，设θ为
AM 与平面11ADD A 所成的角， 则||sin |cos ,|||||3
AM AB
AM AB AM AB θ==
=
6
=
，解得13λ=（负值舍去），（步骤6）
所以AM =（步骤7）
第17题图1 jxq62
18．
(本小题满分13分)设椭圆22
221(0)x y
a b a b
+=>>的左焦点为F , , 过点F 且与x 轴垂直的
. (Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为K 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若AC DB ＋
AC DB ＋AD 8CB =, 求K 的值.
【测量目标】椭圆的定义与简单几何性质，直线与椭圆的位置关系.
【考查方式】利用直线的定义和直线的位置关系求解椭圆的标准方程，利用直线的方程、向量的坐标运算、代数方法研究圆锥曲线的性质，运用方程求直线的斜率. 【难易程度】中等
【试题解析】(I)设(),0F c -，用
3
3=a c ，知c a 3=.（步骤1）
过点F 且与x 轴垂直的直线为c x -=，代入椭圆的方程有
()122
2
2
=+-b
y a c ， 解得3y =±
，于是3
3
4362=b ，解得2=b .（步骤2） 又2
2
2
b c a =-，从而1,3==c a ，
所以椭圆的方程为22
=132
x y +.（步骤3） (II)设点()11,C x y ，()22,y x D ，
由()0,1-F 得直线CD 的方程为()1y k x =+，
由方程组221,132y k x x y =(+)??
?+
=??
消去y ，整理得()
0636322222=-+++k x k x k
求解可得21x x +22623k k =-+，21x x =22
36
23k k -+（步骤4）
因为A ()0,3-，B ()
0,3
所以AC DB ＋AD CB
()(
)()(
)
11
2222
113,3,3,x y x y x y x y =+--++--
1212622x x y y =--
()()2121262211x x k x x =--++
()()222121262222k x x k x x k =-+
-+-
22
212623k k +=++. （步骤5）
由已知得22
212
6823k k
++=+，解得=k （步骤6） 19．(本小题满分14分)已知首项为3
2
的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列. (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 设*()1
n n n
T S n S ∈=-
N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值. 【测量目标】等比数列的通项及性质，前n 项和.
【考查方式】利用等差、等比数列的性质求通项及前n 项和，分类讨论并利用单调性判断最值. 【难易程度】中等 【试题解析】
(I)
设{}n a 的公比为q ，因为335544,,S a S a S a +++成等差数列.
所以55334455S a S a S a S a +--=+--，
即534a a =，故2
531
4
a q a =
=.（步骤1） 又{}n a 不是递减数列，且132a =
，故12
q =-， 故等比数列{n a }的通项公式为11313
()(1),222
n n n n a --=
?-=-（步骤2）
(II)由(I)得()()
1211212n n
n n
n S n --?
+???=--=? ?-????为奇数为偶数，（步骤3）
当n 为奇数时，n S 随n 的增大而减小，故1312n S S <=
…，故11115
06
n n S S S S <--=…. 当n 为偶数时，n S 随n 的增大而增大，故
2314n S S =<…，故22117
012
n n S S S S >--=-…. 综上，{}n T 的最大项为
56，最小项为7
12
-.（步骤4） 20．(本小题满分14分)已知函数2l ()n f x x x =. (Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;
(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.
(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有
2ln ()1
5ln 2
g t t <<. 【测量目标】利用导数求函数的单调区间，函数的零点的应用，直接证明.
【考查方式】给出函数方程，利用导数求单调区间，利用零点证明等式，结合导数证明不等式. 【难易程度】较难
【试题解析】(I)由题()()()2ln 2ln 10f x x x x x x x '=+=+>，
令()0f x '=
得x =
.（步骤1） 当x 变化时，()f x '、()f x 的变化情况如下表所示.
因此，函数的单调递减区间为? ?
，单调递增区间为?
+∞??
；（步骤2） (II)
证明：当01x <…时，()0f x …. 设0t >，令()()()1h x f x t x =-…，
由(I)知，()h x 在区间()1,+∞单调递增.（步骤3）
()10h t =-<，()()22e e ln e e 10t t t t h t t =-=->，
故存在唯一的()1,s ∈+∞，使得()t f s =成立；（步骤4） (III) 证明：因为()s g t =，由(II)知()t f s =，且1s >，
从而
()()()2ln ln ln ln ln ln ln g t s s t f s s s ===()ln 2ln ln ln 2ln s u
s s u u =++，其中ln u s =. 要使
()ln 215ln 2
g t t <<成立，只需0ln 2u u <<.(步骤5)
当2
e t >时，若()e s g t =…，则由()
f s 的单调性，有()()2e e t f s f ==…，矛盾. 故e s >，即1u >，从而ln 0u >成立.（步骤6） 另一方面，令()()ln 12u F u u u =-
>，则()11
2
F u u '=-，令()0F u '=，得2u =. 当12u <<时，()0F u '>；当2u >时，()0F u '<. 故对1u >，()()20F u F <….因此ln 2
u
u <成立.（步骤7） 综上，当2
e t >时，有
2ln ()15ln 2
g t t <<.（步骤8）
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工类） 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 2.本卷共8小题。 参考公式： ·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B ?=+. ·如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =. ·圆柱的体积公式V Sh =，其中S 表示圆柱的底面面积，h 表示圆柱的高. ·棱锥的体积公式13 V Sh =，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{1,1,2,3,5}, {2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈ 2.设变量,x y 满足约束条件20,20,1,1, x y x y x y +-≤??-+≥??-??-?……则目标函数4z x y =-+的最大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】 画出可行域，用截距模型求最值。 【详解】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分。 目标函数的几何意义是直线4y x z =+在y 轴上的截距， 故目标函数在点A 处取得最大值。 由20,1 x y x -+=??=-?，得(1,1)A -， 所以max 4(1)15z =-?-+=。 故选C 。 【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求． 3.设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( ) 2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 理科数学 乐享玲珑，为中国数学增光添彩！ 免费，全开放的几何教学软件，功能强大，好用实用 第Ⅰ卷 一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合A = {x∈R| |x|≤2}, A = {x∈R| x≤1}, 则A B ?= (A) (,2] -∞(B) [1,2] (C) [2,2] (D) [－2,1] 2．设变量x, y满足约束条件 360, 20, 30, x y y x y≥ --≤ +- ? -≤ ? ? ? ? 则目标函数z = y－2x的最小值为 (A) －7 (B) －4 (C) 1 (D) 2 3．阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x的值为1, 则输出S的值为 (A) 64 (B) 73 (C) 512 (D) 585 4．已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的1 2 , 则其体积缩小到原来的 1 8 ; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等; ③直线x + y + 1 = 0与圆221 2 x y +=相切. 其中真命题的序号是: (A) ①②③(B) ①②(C) ②③(D) ②③ 5．已知双曲线 22 22 1(0,0) x y a b a b -=>>的两条渐近线与抛物线22(0) px p y=>的准线分别交于A, B两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 则p = (A) 1 (B) 32 (C) 2 (D) 3 6．在△ABC 中, ,3,4 AB BC ABC π ∠===则sin BAC ∠ = (A) (B) (C) (D) 7． 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 8．已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ?? -????? , 则实数a 的取值范围是 (A) ????? (B) ? ???? (C) ?? ????? ?? (D) ?- ?? ∞ 第Ⅱ卷 二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分. 9．已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = . 10．6 x ? ? 的二项展开式中的常数项为 . 11．已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π?? ??? , 则|CP | = . 12．在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ? ∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE = , 则AB 的长为 . 13．如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点 E , AD 与BC 交于点 F . 若AB = AC , AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 . 14．设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b +取得最小值. 三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 15． (本小题满分13分) 已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π? ?=++- ?+? ?∈R . (Ⅰ) 求f (x )的最小正周期; 2016年天津市高考数学试卷（理科） 一、选择题 1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，则A∩B=（） A．{1}B．{4}C．{1，3}D．{1，4} 2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+5y的最小值为 （） A．﹣4 B．6 C．10 D．17 3．（5分）在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=（） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（5分）阅读如图的程序图，运行相应的程序，则输出S的值为（） A．2 B．4 C．6 D．8 5．（5分）设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣ 1+a2n＜0”的（） A．充要条件B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件 6．（5分）已知双曲线﹣=1（b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程 为（） A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 7．（5分）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE 并延长到点F，使得DE=2EF，则?的值为（） A．﹣B．C．D． 8．（5分）已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A．（0，]B．[，]C．[，]∪{}D．[，）∪{} 二、填空题 9．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若（1+i）（1﹣bi）=a，则的值为． 10．（5分）（x2﹣）8的展开式中x7的系数为（用数字作答） 11．（5分）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为 m3 12．（5分）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE 的长为． 13．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a 2015年天津市高考数学试卷（理科）及解析2015年天津市高考数学试卷(理科) 一.选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1((5分)(2015?天津)已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A??B=( ) U A({2 ，5} B( {3，6} C( {2，5，6} D({2 ，3，5，6，8} 2((5分)(2015?天津)设变量x，y满足约束条件则目标函数z=x+6y的最大值为( ) A( B( C( D( 3 4 18 40 3((5分)(2015?天津)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为( ) A(, 10 B( C( D( 6 14 18 24((5分)(2015?天津)设x=R，则“|x,2|,1”是“x+x,2,0”的( ) A(充分而不必要条件 B( 必要而不充分条件 C( 充要条件 D(既不充分也不必要条件 5((5分)(2015?天津)如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE 分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为( ) 第1页(共21页) A( B( C( D( 3 6((5分)(2015?天津)已知双曲线,=1 (a,0，b,0)的一条渐近线过点(2，)， 2且双曲线的个焦点在抛物线y=4x的准线上，则双曲线的方程为( ) A( B( ,=1 ,=1 C( D( ,=1 ,=1 ,|xm|((5分)(2015?天津)已知定义在R上的函数f(x)=2,1(m为实数)为偶函数，7 记a=f(log3)，b=f(log5)，c=f(2m)，则a，b，c的大小关系为( ) 0.52 A(a ,b,c B( a,c,b C( c,a,b D(c ,b,a 2018年天津市高考数学试卷（文科） 一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5.00分）设集合A={1，2，3，4}，B={﹣1，0，2，3}，C={x∈R|﹣1≤x＜2}，则（A∪B）∩C=（） A．{﹣1，1}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{2，3，4} 2．（5.00分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+5y的最大 值为（） A．6 B．19 C．21 D．45 3．（5.00分）设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的（） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 4．（5.00分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为（） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（5.00分）已知a=log3，b=（），c=log，则a，b，c的大小关系 为（） A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b 6．（5.00分）将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（） A．在区间[]上单调递增B．在区间[﹣，0]上单调递减 C．在区间[]上单调递增D．在区间[，π]上单调递减 7．（5.00分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且 垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（） A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 8．（5.00分）在如图的平面图形中，已知OM=1，ON=2，∠MON=120°，=2，=2，则的值为（） A．﹣15 B．﹣9 C．﹣6 D．0 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．（5.00分）i是虚数单位，复数=． 10．（5.00分）已知函数f（x）=e x lnx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为． 11．（5.00分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1﹣BB1D1D 的体积为． 12．（5.00分）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为． 13．（5.00分）已知a，b∈R，且a﹣3b+6=0，则2a+的最小值为．14．（5.00分）已知a∈R，函数f（x）=．若对任意x∈[﹣3，+∞），f（x）≤|x|恒成立，则a的取值范围是． 三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13.00分）己知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160， 2013年天津市高考数学试卷（理科） 一．选择题：(每题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2]D．[﹣2，1] 2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的最小 值为（） A．﹣7 B．﹣4 C．1 D．2 3．（5分）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出 S的值为（） A．64 B．73 C．512 D．585 4．（5分）已知下列三个命题： ①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的； ②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③直线x+y+1=0与圆相切． 其中真命题的序号是（） A．①②③B．①②C．①③D．②③ 5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px （p＞0）的准线分别交于O、A、B三点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p=（） A．1 B．C．2 D．3 6．（5分）在△ABC中，∠ABC=，AB=，BC=3，则sin∠BAC=（） A．B．C．D． 7．（5分）函数f（x）=2x|log0.5x|﹣1的零点个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（5分）已知函数f（x）=x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若，则实数a的取值范围是（） A．B． C．D． 二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位．若（a+i）（1+i）=bi，则a+bi=．10．（5分）的二项展开式中的常数项为． 11．（5分）已知圆的极坐标方程为ρ=4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|=． 12．（5分）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若，则AB的长为． 2015年天津市高考数学试卷（文科） 一、选择题：每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5}，集合B={1，3，4，6}，则集合A∩?U B=（） A．{3}B．{2，5}C．{1，4，6}D．{2，3，5} 2．（5分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x+y的最大值为（） A．7 B．8 C．9 D．14 3．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（5分）设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，则双曲线的方程为（） A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=1 6．（5分）如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为（） A．B．3 C．D． 7．（5分）已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（） A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a 8．（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=3﹣f（2﹣x），则函 数y=f（x）﹣g（x）的零点个数为（） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．（5分）i是虚数单位，计算的结果为． 10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3． 11．（5分）已知函数f（x）=a x lnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f′（x）为f （x）的导函数，若f′（1）=3，则a的值为． 2015年天津市高考数学试卷（理科） 一.选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A∩?U B=（） A．{2，5}B．{3，6}C．{2，5，6}D．{2，3，5，6，8} 2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+6y的最大 值为（） A．3 B．4 C．18 D．40 3．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（） A．﹣10 B．6 C．14 D．18 4．（5分）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 5．（5分）如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为（） A．B．3 C．D． 6．（5分）已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 7．（5分）已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a 8．（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，） C．（0，）D．（，2） 二.填空题（每小题5分，共30分） 9．（5分）i是虚数单位，若复数（1﹣2i）（a+i）是纯虚数，则实数a的值为．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3． 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (天津卷) 本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共8小题，每小题5分，共40分． 参考公式： ·如果事件A ，B 互斥，那么P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )． ·如果事件A ，B 相互独立，那么P (AB )＝P (A )P (B )． ·棱柱的体积公式V ＝Sh .其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高． ·球的体积公式V ＝ 3 4π3 R .其中R 表示球的半径． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013天津，理1)已知集合A ＝{x ∈R ||x |≤2}，B ＝{x ∈R |x ≤1}，则A ∩B ＝( )． A ．(－∞，2] B ．[1,2] C ．[－2,2] D ．[－2,1] 答案：D 解析：解不等式|x |≤2，得－2≤x ≤2，所以A ＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}．故选D. 2．(2013天津，理2)设变量x ，y 满足约束条件360,20,30,x y x y y +-≥?? --≤??-≤? 则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )． A ．－7 B ．－4 C ．1 D ．2 答案：A 解析：作约束条件360,20,30x y x y y +-≥?? --≤??-≤? 所表示的可行区域，如图所示，z ＝y －2x 可化为y ＝2x ＋z ，z 表示 直线在y 轴上的截距，截距越大z 越大，作直线l 0：y ＝2x ，平移l 0过点A (5,3)，此时z 最小为－7，故选 A. 3．(2013天津，理3)阅读下边的程序框图，运行相应的程序．若输入x 的值为1，则输出S 的值为( )． 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(天津卷) 第Ⅰ卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013天津，文1)已知集合A ＝{x ∈R ||x |≤2}，B ＝{x ∈R |x ≤1}，则A ∩B ＝( )． A ．(－∞，2] B ．[1,2] C ．[－2,2] D ．[－2,1] 2．(2013天津，文2)设变量x ，y 满足约束条件360,20,30,x y x y y +-≥?? --≤??-≤? 则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )． A ．－7 B ．－4 C ．1 D ．2 3．(2013天津，文3)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出n 的值为( )． A ．7 B ．6 C ．5 D ．4 4．(2013天津，文4)设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2 ＜0”是“a ＜b ”的( )． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．(2013天津，文5)已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2 ＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( )． A ．12- B ．1 C ．2 D ．12 6．(2013天津，文6)函数()πsin 24f x x ??=- ???在区间π0,2?? ???? 上的最小值为( )． A ．－1 B ．2- C ．2 D ．0 7．(2013天津，文7)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋12 (log )f a ≤2f (1)，则a 的取值范围是( )． A ．[1,2] B ．10,2?? ??? C ．1,22??? ??? D ．(0,2] 8．(2013天津，文8)设函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2 －3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则( )． A ．g(a)＜0＜f(b) B ．f(b)＜0＜g(a) C ．0＜g(a)＜f(b) D ．f(b)＜g(a)＜0 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．(2013天津，文9)i 是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝__________. 10．(2013天津，文10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为9π 2 ，则正方体的棱长为__________． 11．(2013天津，文11)已知抛物线y 2 ＝8x 的准线过双曲线22 22=1x y a b -(a ＞0，b ＞0)的一个焦点，且 双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为__________． 12．(2013天津，文12)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC ·BE ＝ 1，则AB 的长为__________． 13．(2013天津，文13)如图，在圆内接梯形ABCD 中，AB ∥DC .过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于 2017年天津市高考数学试卷（理科） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C=（） A．{2}B．{1，2，4}C．{1，2，4，5}D．{x∈R|﹣1≤x≤5} 2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值 为（） A．B．1 C．D．3 3．（5分）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为（） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（5分）设θ∈R，则“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的（） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，离心率为．若 经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（） A．=1 B．=1 C．=1 D．=1 6．（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）=xf（x）．若a=g（﹣log25.1），b=g（20.8），c=g（3），则a，b，c的大小关系为（） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a 7．（5分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜x．若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（） A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣ C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ= 8．（5分）已知函数f（x）=，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（） A．[﹣，2]B．[﹣，]C．[﹣2，2] D．[﹣2，] 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．（5分）已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为．10．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为． 11．（5分）在极坐标系中，直线4ρcos（θ﹣）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为． 12．（5分）若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为． 13．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为． 14．（5分）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有个．（用数字作答） 三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算 2018年天津市高考数学试卷（理科） 一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设全集为R，集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x≥1}，则A∩（?R B）=（）A．{x|0＜x≤1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜2}D．{x|0＜x＜2} 2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+5y的最大值 为（） A．6 B．19 C．21 D．45 3．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为（） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（5分）设x∈R，则“|x﹣|＜”是“x3＜1”的（） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 5．（5分）已知a=log 2e，b=ln2，c=log，则a，b，c的大小关系为（） A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b 6．（5分）将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（） A．在区间[，]上单调递增B．在区间[，π]上单调递减 C．在区间[，]上单调递增D．在区间[，2π]上单调递减 7．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直 于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（） A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 8．（5分）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1．若 点E为边CD上的动点，则的最小值为（） A．B．C．D．3 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．（5分）i是虚数单位，复数=． 10．（5分）在（x﹣）5的展开式中，x2的系数为． 11．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M（如图），则四棱锥M﹣EFGH的体积 2013年天津市高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一．选择题：(每题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 2．（5分）（2013?天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的 ， 3．（5分）（2013?天津）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出S的值为（） 4．（5分）（2013?天津）已知下列三个命题： ①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的； ②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③直线x+y+1=0与圆相切． V= V=可知，若一个球的半径缩小到原来的 ；故 的圆心到直线= 相切， 5．（5分）（2013?天津）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px （p＞0）的准线分别交于O、A、B三点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 求出双曲线的渐近线方程与抛物线 的面积为 ， ±x ， ±，双曲线的离心率为，所以 则 ±= 的面积为， ，得 6．（5分）（2013?天津）在△ABC中，，则sin∠BAC=（）B ABC=AB= ， =得：BAC= x （ 8．（5分）（2013?天津）已知函数f（x）=x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若，则实数a的取值范围是（） ． ﹣﹣|+1≤ 讨论，可得 时，﹣ ﹣ ＜ 时，解得0 ＞时，解得， 时，（﹣） 二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．（5分）（2013?天津）已知a，b∈R，i是虚数单位．若（a+i）（1+i）=bi，则a+bi=1+2i．，解得 10．（5分）（2013?天津）的二项展开式中的常数项为15． 绝密★启用前 2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式： ·如果事件A 与事件B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+ ． ·如果事件A 与事件B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =． ·球的表面积公式24πS R =，其中R 表示球的半径． 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()U A B = ∩eA ．{3,3}-B ．{0,2}C ．{1,1}-D ．{3,2,1,1,3} ---2．设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．函数241 x y x =+的图象大致为 A B C D 4．从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm ），将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),, [5.45,5.47),[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为 2015年天津高考文科数学试题及答案解析 一、选择题 1.已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{2,3,4}A =，集合{1,3,4,6}B =，则集合A U C B =I (A) {3} (B) {2,5} (C) {1,4,6} (D){2,3,5} 2.设变量,y x 满足约束条件2020280 x x y x y ì-???-?í?+-???，则目标函数的最大值为3y z x =+ (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D)14 3.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D)5 4.设R x ?，则“12x <<”是“|2|1x -<”的 (A) 充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 5.已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点为F(2,0)， 且双曲线的渐近线与圆()222y 3x -+=相切，则双曲线的方程为 (A) 221913x y -= (B) 22 1139 x y -= (C) 2213x y -= (D) 2 2 13y x -= 6.如图，在圆O 中，M ，N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N ，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE 的长为 (A) 83 (B) 3 (C) 103 (D) 52 7.已知定义在R 上的函数||()21(m )x m f x -=-为实数为偶函数，记 0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==，则,b,c a ,的大小关系为 (A) b c a << (B) b c a << (C) b a c << (D) b c a << 8.已知函数22||,2()(2),2x x f x x x ì-??=í->?? ，函数()3(2)g x f x =--，则函数y ()()f x g x =-的零点的个数为 (A) 2 (B) 3 (C)4 (D)5 二：填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。 2014年天津市高考数学试卷（理科） 一、选择题（共8小题，每小题5分） 1．（5分）i是虚数单位，复数=（） A．1﹣i B．﹣1+i C．+i D．﹣+i 2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5 3．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（） A．15 B．105 C．245 D．945 4．（5分）函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间为（） A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2） 5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（） A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 6．（5分）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于E， 过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论： ①BD平分∠CBF； ②FB2=FD?FA； ③AE?CE=BE?DE； ④AF?BD=AB?BF． 所有正确结论的序号是（） A．①②B．③④C．①②③D．①②④ 7．（5分）设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 8．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ，若?=1，?=﹣，则λ+μ=（） A．B．C．D． 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9．（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取名学生． 2020年天津市高考数学试卷 副标题 题号一二三总分 得分 一、选择题（本大题共9小题，共45.0分） 1.设全集U={?3,?2,?1,0，1，2，3}，集合A={?1,0，1，2}，B={?3,0，2，3}， 则A∩(?U B)=() A. {?3,3} B. {0,2} C. {?1,1} D. {?3,?2,?1,1，3} 2.设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的() A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.函数y=4x 的图象大致为() x2+1 A. B. C. D. 4.从一批零件中抽取80个，测量其直径(单位：mm)，将所得数据分为9组：[ 5.31,5.33)， [5.33,5.35)，…，[5.45,5.47)，[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在 被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为() A. 10 B. 18 C. 20 D. 36 5.若棱长为2√3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为() A. 12π B. 24π C. 36π D. 144π 6. 设a =30.7，b =(1 3)?0.8，c =log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A. a 0,b >0)，过抛物线y 2=4x 的焦点和点(0,b) 的直线为l.若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为( ) A. x 24 ? y 24 =1 B. x 2? y 24 =1 C. x 24 ?y 2=1 D. x 2?y 2=1 8. 已知函数f(x)=sin(x +π 3).给出下列结论： ①f(x)的最小正周期为2π； ②f(π 2 )是f(x)的最大值； ③把函数y =sinx 的图象上的所有点向左平移π 3个单位长度，可得到函数y =f(x)的图象． 其中所有正确结论的序号是( ) A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 9. 已知函数f(x)={x 3,x ≥0, ?x,x <0. 若函数g(x)=f(x)?|kx 2?2x|(k ∈R)恰有4个零点， 则k 的取值范围是( ) A. (?∞,?1 2)∪(2√2,+∞) B. (?∞,?1 2)∪(0,2√2) C. (?∞,0)∪(0,2√2) D. (?∞,0)∪(2√2,+∞) 二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 10. i 是虚数单位，复数8?i 2+i =______． 11. 在(x +2 x 2)5的展开式中，x 2的系数是______． 12. 已知直线x ?√3y +8=0和圆x 2+y 2=r 2(r >0)相交于A ，B 两点．若|AB|=6， 则r 的值为______． 13. 已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为1 2和1 3.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、 乙两球都落入盒子的概率为______；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 ______． 14. 已知a >0，b >0，且ab =1，则1 2a +1 2b +8 a+b 的最小值为______． 15. 如图，在四边形ABCD 中， ∠B =60°，AB =3，BC =6，且AD ?????? =λBC ????? ， AD ?????? ?AB ????? =?3 2，则实数λ的值为______，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN ??????? |=1，则DM ??????? ?DN ?????? 的最小值为______． 三、解答题（本大题共5小题，共75.0分） 16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a =2√2，b =5，c =√13． (Ⅰ)求角C 的大小； (Ⅱ)求sin A 的值； 2015年天津市高考数学试卷(理科)解析 2015年天津市高考数学试卷（理科） 一.选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5分）（2015?天津）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A∩?U B=（） A．{2，5} B．{3，6} C．{2，5， 6} D．{2，3，5， 6，8} 2．（5分）（2015?天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+6y的最大值为 （） A．3B．4C．18 D．40 3．（5分）（2015?天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（） A．B．3C．D． 6．（5分）（2015?天津）已知双曲线﹣=1 （a ＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（） A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 7．（5分）（2015?天津）已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f （log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c 的大小关系为（） A．a＜b＜ c B．a＜c＜ b C．c＜a＜ b D．c＜b＜ a 8．（5分）（2015?天津）已知函数f（x） =，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中 b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（） A．（， +∞）B．（﹣ ∞，） C．（0，）D．（，2） 二.填空题（每小题5分，共30分） 9．（5分）（2015?天津）i是虚数单位，若复数（1﹣2i）（a+i）是纯虚数，则实数a的值 为 ． 10．（5分）（2015?天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．2013天津高考数学理科试题i答案
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