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2011年万学海文线性代数春季基础班考研辅导讲义
主讲
铁军
教授
铁军教授简介：著名考研数学辅导专家，近几年在全国各大城市声名鹊起，成为与王式安、赵达夫齐名的考研数学辅导“三驾马车”之一。铁军教授从事考研数学辅导工作以来，以其高屋建瓴、大气磅礴、睿智幽默的风格，对考点、重点、难点全面、深刻、透彻的把握，关爱学生、高度负责的态度以及对考题的精准预测，令考生受益无穷。特别是铁军老师的数学全程保过班，更是以无与伦比的连续性、系统性和考生的数学成绩大面积高分而受到广大莘莘学子的爱戴！2011年，考研竞争空前激烈！万学海文邀请铁军教授亲临面授，为您考研成功保驾护航。您的理想将在您我的共同努力下实现。这是我们的信心，也将是您的信心！
线性代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视。线性代数试题的特点比较突出，以计算题为主，证明题为辅，主要用证明题的方法技巧来解决计算题。因此，必须掌握证明题的证明技巧，并会在计算题中灵活应用。难点在于线性代数的内容比较抽象，综合性强，特别是关于向量的线性相关性、矩阵的秩与线性方程组的解的结构定理的综合题难度较大，必须突破这一难点。
第一章
行列式
行列式的核心考点是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶。但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开。另外，用简单的递推公式求行列式的方法也应掌握。
【大纲内容】行列式的概念和基本性质；行列式按行（列）展开定理。
【大纲要求】了解行列式的概念，掌握行列式的性质。会应用行列式的性质和行列式按行
（列）展开定理计算行列式。
【考点分析】考研试题中关于行列式的题型主要是填空题,纯粹考行列式的题目很少，但行列式是线性代数中必不可少的工具，它在处理以下问题中都有重要应用：
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1．判定方阵是否可逆以及应用公式求逆矩阵；?
?=
A A
A 112．判定个维向量的线性相关性；n n 3．计算矩阵的秩；
4．讨论系数矩阵为方阵的线性方程组的解的情况并利用克莱姆法则求方程组的解；5．求方阵的特征值；
6．判定二次型及实对称矩阵的正定性。
同时，上述内容也可与行列式知识相结合构造新的关于行列式的题型。在复习过程中，
请大家注意及时归纳总结。
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2.阶行列式
.n _____________________0000000
000
000000=a
b b a a b a b a L L M M M M M L L L 4.计算四阶行列式
（其中均不为0）
34
33
33
31
24
423
322
22114
243
232
2212134333231b b b b b a b a b a b a b a b a b a b a a a a a D =
4321,,,a a a a
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5.计算四阶行列式
1234
2222112233443223232311223344
11111sin 1sin 1sin 1sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin D ????????????????????++++=
++++++++★形如的行列式称为三对角型（三斜线形）行列式。三对角型行列
O O O O O
O O O
O O
式的特点是沿主对角线方向三列元素不为零，其余元素均为零。对于这类三对角型行列式通常可用递推法。
n
n b b 0000_________.
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8.五阶行列式
.10001100
_____________0
110001100011a a a a D a a a a a
???==??????
8.
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11.计算阶行列式
n 123
n n
a b b b b b a b b D b b a b b b b
a =L L L L L L L L )
,2,1,(n i b a i L =≠.
(1)mn C A
A B B O
=??13.计算五阶行列式
8
9
5
0078650673
214
300021000?=D
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14．设均是阶矩阵，，,A B n *1
3,,1()2A A A a B b C B O ???
??===??????
则_________.
C =
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17.设行列式
，
212322212223()333245354435743
x x x x x x x x f x x x x x x x x x ????????=???????则方程的根的个数为（）
0)(=x f （A ）1
（B ）2
（C ）3
（D ）4
1．余子式和代数余子式
在n 阶行列式，余下的元素按原有顺序构成的
,n ij D a i 中划去元素所在的第行和第j列阶行列式，称为元素的余子式，记作1n ?ij a .
ij M 之前加上符号，称为元素的代数余子式，记作
ij M 余子式ij a (1)i j ij ij
A M +=?
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2．代数余子式的性质：（1）和的大小无关；
ij A ij a （2），
1122i i i i in in a A a A a A A +++=L 1122j j j j nj nj a A a A a A A
+++=L (,1,2)
i j n =L （3）11220()
i j i j in jn a A a A a A i j +++=≠L A A A L 求
求（1）；（2）.
42322212A A A A ?+?44434241A A A A +++
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20.设行列式
，则第四行各元素余子式之和的值为。
2
23500702
2
2
2
0403
??=
D 21．设是三阶可逆矩阵，的特征值：
A 1A ?112233.
A A A ++（5）利用行列式加法运算的性质：
设为维列向量，为维行向量，则
i αn i βn ，
1231241234αααααααααα+=+
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1112223434
ββββββββββ+=+22.设A 为3×3矩阵，，把A 按列分块为，其中是A 的
2?=A ),,(321A A A )3,2,1(=j A j 第列，则。
j =
?1213,3,2A A A A n α为维列向量。已知行列式，求行列式的值。
n )0(≠=a a A B
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25．若A 是阶方阵，且，，证明.
n E AA T =1?=A 0=+E A 26．设A、B 均为阶矩阵，n 3 ,2?==B A 第二章
矩阵
矩阵是线性代数的主要研究对象，有着广泛的应用。矩阵考试的重点
是：矩阵的乘法运算，逆矩阵，伴随矩阵，初等矩阵。以计算题为主，技巧性强。
【大纲内容】矩阵的概念；矩阵的线性运算；矩阵的乘法；方阵的幂；方阵乘积的行列式；矩阵的转置；逆矩阵的概念和性质；矩阵可逆的充分必要条件；伴随矩阵；矩阵的初等变换；初等矩阵；矩阵的等价；矩阵的秩；初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法；分块矩阵及其运算。
【大纲要求】掌握矩阵的概念和矩阵的各种运算，特别是矩阵的乘法、矩阵的转置、逆矩阵、方阵的行列式等。要掌握它们的运算规律、逆矩阵的性质及矩阵可逆的充分必要条件，会用各种方法求出矩阵的逆矩阵，矩阵的初等变换是研究矩阵各种性质和应用矩阵解决各种问题的重要方法，因此必须掌握矩阵的初等变换，会用初等变换解决有关问题。【考点分析】矩阵乘法有分配律，结合律，但是没有交换律，没有消去律。1.矩阵乘法运算一般不满足交换律，即，因此要注意运算次序。BA AB ≠2.一般地，或，；
00=?/=A AB 0=B 00=?/=A A k
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3.，除非A 是列满秩矩阵AB AC B C =?=
4.T
T T A B AB =)(5.设，其中均为维行向量，即，则
βαT A =βα,n )(2121n n b b b a a a A L M ????
??
????????=非零阵A 可表为的形式的充要条件为：秩。βαT ?=βαT A 1=A 注意：与相关的问题，是考研数学中常见题型。
βαT 【典型例题】
★计算阶矩阵的高次幂是一种重要题型，包括：
n （1）计算一般矩阵的高次幂；
（2）计算能分解为一个列向量与一个行向量乘积的矩阵的高次幂；（3）计算分块对角矩阵的高次幂：
设，则12
s A A A A ??
?
?
?
?=???????
?O
12n n
n n s A A A A ?????
?=???????
?
O
（4）计算能相似对角化的矩阵的高次幂
1．设，而为正整数，则
???
?
??????=101020101A 2≥n .
12_____,_____n n n A A A ??==
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2．设,，令，求。?????????=Λ?????
???=1001,4321p ???
?
??????=1324Q Q p A Λ=n A 23．已知，则,.
???
?
??????????=363242121
A 20
____A =______A ?==
，其中为阶单
,2T
B E ααα==+E n D ）T
E αα
+
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6．设，若存在秩大于的三阶矩阵，使得，则213146A a b c ?????=??????
1B AB O ==n A （2）0
≠A （3）秩（A 为阶方阵）n A =n （4）A 与同阶单位矩阵E 等价
（5）A 可以表示成若干个初等矩阵的乘积（6）齐次线性方程组只有零解
0=AX （7）对任意维列向量，非齐次线性方程组有唯一解。n b b AX =（8）A 的行（列）向量组线性无关。
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（9）A 的特征值均不为)(21n A O λλλL Q =3.逆矩阵常用公式：（1）（2）()
A
A =??1
1
()()
T
T
A A 11
??=（3）（4）()111???=A B AB A
A 11=
?（5）)0(1)(1
1≠=
??k A k
kA 4.思维定势：（1）题设条件与有关，则立即联想到用公式?A E
A A A AA ==??（2）若涉及到A 、
B 是否可交换，即AB =（3）若题设阶方阵A 满足，要证再
n 0)(=A f 说。
5.伴随矩阵的主要定理和公式（1）（2）E A A A AA ==??1?A （3）()
)0(1
1
时当≠=
??
A A A
A （4）（为常数，A 为???=A k (kA)n 1k n ?
?A B n n 1
n 1A A A ==?
n ()o a a o o a T <= , , , , ,L αn T E A αα?=，其中A 的逆矩阵为B ，则。
T a
E B αα1
+=_____a =
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10．设阶可逆矩阵A 中每行元素之和均为常数。证明：（1）常数n a 0
≠a （2）的每行元素之和均为。
1?A 1?a 11．设A 、B 均为阶方阵，且。
n B A AB ?=证明：（1）；（2）.
B E E A ?=+?1)(BA AB =12．已知可逆，试证也可逆，并求.
AB E +BA E +1)(?+BA E 13．设A 是阶方阵，且，则（
）
n 03=A （A ）A 不可逆，且不可逆；E A ?（B ）A 可逆，但E+A 不可逆；
（C ）及均可逆；E A A +?2E A A ++2（D ）A 不可逆，且必有.
2
0A =
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14．已知A、B 为3阶矩阵，且满足，其中E 是3阶单位矩阵。（1）证明：
E B B A 421?=?矩阵A-2E 可逆；（2）若，求矩阵A .
???
?
?
??????=200021021B 15．设矩阵A、B 满足，其中，E 为单位矩阵，为的伴
E BA BA A 82?=????
?
???????=100020001A ?A A 随矩阵，则B=__________。
16．已知三阶矩阵A 的逆矩阵，试求。???
?
??????=?3111211111
A 1)(??A 17．设矩阵，矩阵满足，求矩阵。
???
?
?????????=111111111A X X A X A 21+=??X
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18.设矩阵A=满足，其中是A 的伴随矩阵，为A 的转置矩阵.若
33)(×ij a T A A =**A T A 为三个相等的正数，则为(
)
131211,,a a a 11a (A)
.(B) 3.(C)
.(D).
3
33
1320．设A、B 为阶矩阵，分别为、对应的伴随矩阵，分块矩阵，则n ??B A ,A B ???
?
?
???=B O O A C C 的伴随矩阵（
）。
=?C （A）（B）??????
?
???
B B O O A A ??
?
???
?
???A A O O B B
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（C）（D）??????
????
A B O O B A ???
???
????
B A O O A B ★初等矩阵与初等变换：
1.单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。
2.对应于三种初等变换的三种初等矩阵为：（1）：交换E 的两行或两列得到
) ,(j i E （2）：非零常数乘的i 行或i 列得到；[])(k i E k E （3）：E 的行（列）的倍加到i 行（列）.[])(,k j i E j k 3.初等矩阵的逆矩阵：（1）)
,() ,(1j i E j i E =?（2）0)
(k ))1
(())((1≠=?k
i E k i E （3）))
( ,())( ,(1k j i E k j i E ?=?4.（1）初等矩阵P 左乘A 所得PA 就是A 作了一次与P 同样的初等行变换。（2）初等矩阵P 右乘A 所得AP 就是A 作了一次与P 同样的初等列变换。
21．计算.
2004
2003
001010100987654321100001010????
?
?????????????????
?
?
??????22．设A 是阶可逆矩阵，将A 的第行与第行对调后得到的矩阵记为B ，证明B 可逆，
n i j 并求。
1?AB