应试辅导：如何备考考研线性代数关于数学，特别是线性代数的复习备考，这里提出“早” 、“纲”、“基”、“活”的四字方略，供理工类、经济类考生参考．
一、“早”．提倡一个“早” 字，是提醒考生考研数学备考要早计划、早安排、早动手．因为数学是一门思维严谨、逻辑性强、相对比较抽象的学科．和一些记忆性较多的学科不同，数学需要理解的概念多，方法又灵活多变，而理解概念，特别是理解比较抽象的概念是一个渐近的过程，它需要思考、消化，需要琢磨、需要从不同的角度、不同的侧面的深入研究，总之它需要时间，任何搞突击，搞速成的思想不可取，这对大多数考生而言，不可能取得成功；另一方面，早计划、早安排、早动手是采取“笨鸟先飞”之策，这是考研的激烈竞争现实所要求的，早一天准备，多一分成绩，多一份把握，现在不少大一、大二的在校生已经在准备2? 3 年后的考研，这似乎是早了点，但作为一个目标、作为一个追求，无可非议．作为2001 年的考生，从现在开始备考，恐怕已经不算太早了．
二、“纲”．突出一个纲字，就是要认真研究考试大纲，要根据考试大纲规定的考试内容、考试要求、考试样题有计划地、认真地、全面地、系统地复习备考，加强备考的针对性．由于全国基础数学教材( 高等数学，线性代数，概率论和数理统计) 并不统一，各学校、各专业对这些课程要求的层次也各不相同，因此教育部并没有指定统一的教材或参考书作为命题的依据，而是以教育部制定的《全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲》(下称《大纲》)作为考试的法规性文件，命题以《大纲》为依据，考生备考复习当然也应以《大纲》为依据．为了让广大考生对“考什么”有一定的了解( 不是盲目的备考) ，教育部考试中心命制的试题，每年都具有稳定性、连续性的特点．《大纲》提供的样题及历届试题也在于让考生了解“考什么”．历届试题中，从来没有出过偏题、怪题，也没有出过超过大纲范围的超纲题．当然，一份好的试题，首先要有好的区分度，使高水平考生考出好成绩，因此试题中难、易试题要有恰当的搭配；试题的总量必须有一定的限制，同时试题还要有尽可能大的覆盖面，因此一味地去做难题，甚至怪题、偏题是不可取的，“题海战术”不能替代全面、系统的复习，由于试题有极大的覆盖面，每年试题几乎都要覆盖所有的章节，因此偏废某部分内容也是不恰当的．任何“猜题”及侥幸心理都会导致失败．只有根据大纲，全面、系统地复习，不留遗漏，才不会留下遗憾．
请广大考生留意，今年《大纲》有一定的变化：所有的近似计算取消了，特别是数学试卷二，“线性代数初步”中取消了“初步”两字，增考了“特征值、特征向量”一章的内容．
三、“基”．强调一个“基”字，是指要强调数学学习中的三基，即要重视基本概念的理解，基本方法的掌握，基本运算的熟练．
基本概念理解不透彻，对解题会带来思维上的困难和混乱．因此对概念必须搞清它的内涵，还要研究它的外延，要理解正面的含义，还要思考、理解概念的侧面、反面．例如关于矩阵的秩，教材中的定义是：A是阴Xn矩阵，若A中有一个r阶子式不为零，所有r阶以上
子式(如果它还有的话)均为零，则称A的秩为r,记成rank(A) : r(或r(A) = r,秩A= r).显然，定义中内涵的要点有：1 . A中至少有一个r阶子式不为零；2.所有r阶以上均为零.3.若所有r+1 子式都为零，则必有所有r 阶以上子式均为零．要点 2 和 3 是等价条件，至于r 阶子式是否可以为零？小于r 阶的子式是否可以为零？所有r-1阶的子式是否可以全部为零？这些都是秩的概念的外延内容，如果这些概念搞清楚了。那么下述选择题就会迎刃而解.
例1设A是m X n矩阵，r(A) = r
(B) 有不等于零的r 阶子式，没有不等于零的r+1 阶子式.
(C) 有等于零的r 阶子式，没有不等于零的r+1 阶子式.
（D）任何r阶子式不等于零，任何r+1阶子式都等于零.
答案：（B）基本方法要熟练掌握．熟练掌握不等于死记硬背，相反要抓问题的实质，要在理解的基础上适当记忆．把需要记忆的东西缩小到最低限度，很多方法可以通过练习来记住，例如一个实对称矩阵，一定存在正交矩阵，通过正交变换化为对角阵，其步骤较多，但通过练习，不难解决．
基本计算要熟练．学习数学，离不开计算，计算要熟练，当然要做一定数量的习题，通过一定数
量的习题，把计算的基本功练扎实．在练习过程中，自觉的提高运算能力，提高运算的准确性，养成良好的运算习惯和科学作风．特别对线性代数而言，运算并不复杂，大量的运算是大家早已熟练了的加法和乘法，从而养成良好的运算习惯和科学作风显得尤为重要。例如线性代数的前四章中（行列式、矩阵、向量、方程组）绝大多数的运算是初等变换．用初等变换求行列式的值、求逆矩阵、求向量组（或矩阵）的秩、求向量组的极大线性无关组、求
方程组的解等．可以想象，一旦初等变换过程中出现某个数值计算错误，那你的答案将是什么样的结果？从历届数学试题来看，每年需要通过计算得分的内容均在70%左右，可见计算
能力培养的重要．只听（听各种辅导班）不练，只看（看各类辅导资料）不练，眼高手低，专找
难题做，这并不适合一般考生的情况，在历届考生中，不乏有教训惨痛的人．
四、“活”．线性代数中概念多、定理多、符号多、运算规律多，内容相互纵横交错，知识前后紧密联系是线性代数课程的特点，故考生应通过全面系统的复习，充分理解概念，掌握定理的条件、结论及应用，熟悉符号的意义，掌握各种运算规律、计算方法，并及时进行总结，抓联系，抓规律，使零散的知识点串起来、连起来，使所学知识融会贯通，实现一个“活”字．
线性代数各章节的内容，不是孤立割裂的，而是相互渗透、紧密联系的?如A是n阶方
阵，若，I A |工0（称A为非奇阵）.<=>A是可逆阵. <=>有n阶方阵B,使得AB=BA=E<=>B=A-1 =A* /I A|. <=>r（A）=n（称A是满秩阵）.<=>存在若干个初等阵P1,P2,…，PN使得PNPN-1… P1A=E <=>（A ; E）T（E ; A-1）. <=>A可表示成若干个可逆阵的乘积. <=>A可表示成若干个初
等阵的积。<=>A的列向量组线性无关（列满秩）.<=>AX=Q零解.<=>A的行向量组线性无关（行满
秩）.<=>A的列（行）向量组是Rn空间的基. <=>任何n维列向量b均可由A的列向量线性表出（且表出法）. <=>对任意的列向量b,方程组AX= b有解，且解为A-1b<=>A没有零特征值，即入i 丰O, i = 1, 2，…，n. <=A是正定阵（正交阵，…）.这种知识间的相互联系、渗透,给综合命题创
造了条件,同样一个试题,可以从不同的角度有多种命制试题的方法．
例2 （2001年数学一第九题）设a 1,a 2,…，a S，是线性方程组AX= 0的基础解系，3 1 = t1
a 1+t2 a 2,B 2 = t1 a 2+t2 a 3,…，B S = t1 a S+t2 a 1，试问t1 , t2 满足什么条件时，B 1,3 2,…，
3 s也是AX=0的基础解系.
解析本题的答题要点是：⑴对任意t1 , t2 , 3 i , i = 1, 2,…，s仍是AX= 0的解；
⑵对任意t1 ,t2 , 3 1, 3 2,…，3 S向量个数是s；（3）3 1, 3 2，…，3 s，线性无关<=>t1s+
（—
1）n+1t2s 工0. 满足（1）、（2）、（3）时，即, 1)n+
1t2s一1)”工0时，3 1, 3 2,…,
3 s 仍是AX= 0 的基础解系.
变式（1）（改变成线性相关性试题）
已知向量组a 1 ,a 2，…，a s线性无关，3 1= t1 a1+t2 a 2, 3 2= t1 a 2+ t2 a 3,…，3 s= t1 a s+t2 a 1，试问t1 ，t2 满足什么条件时，31, 3 2,…, 3 s 线性无关.
变式（2）（改变成向量组的秩的试题）
已知向量组a 1 ,a 2,…，a s的秩为s.3 1= t1 a1+t2 a 2, 3 2= t1 a 2+t2 a
3，…，3 s = t1 a s+ t2 a 1 ，试问t1 ，t2 满足什么条件时，r( 31,32,-,3 s) = s.
变式（3）（改变成等价向量组的试题）
已知a 1 ,a 2,…，a S 线性无关，B 1 = t1 a 1+t2 a 2,3 2= t1 a 2+t2 a 3，…，B s = t1 a S+t2 a 1,试问t1 , t2满足什么条件时，3 1,3 2,…，3 S和a 1 ,a 2,…，a S是等价向量组．变式(4) ( 改变成子空间的基的试题)
设y 是Rn 的子空间，a 1 , a 2,…，a S 是V 的基，3 1 = t1 a 1+t2 a 2, 3 2= t1 a 2+t2 a 3，…，3 S = t1 a S+t2 a 1,试问t1 , t2满足什么条件时，3 1 , 3 2，…，3 S也是子空
间V的基.
难道你不认为以上的各种变式基本上是一样的吗?它们的答题要点是什么呢?
改变试题难度,将向量个数S 具体化,则成2001 年数学试卷二第十二题.
变式(5)已知a 1 , a 2 , a 3, a 4,是线性方程组AX=O的基础解系，3 1 = t1 a 1+t2 a 2, 3 2= t1 a 2+t2 a 3，3 3= t1 a 3+t2 a 4，3 4= t1 a 4+t2 a 3，，试问t1 ，t2 满足什么条件时，3 1 , 3 2, 3 3,3 4,也是AX= 0的基础解系.
改变参数，你不是可以“随心所欲”吗?
变式(6)已知a 1 , a 2，…，a S 是AX= 0 的基础解系，3 1 = t1 a 1+t2 a 2 ,3 2= t1 a
2+t2 a 3,…,3 S= t1 a S+t2 a 1,试问a 1, a 2 ,…,a S,满足什么条件时， 3 1 , 3 2,…, 3 S 也是AX= 0 的基础解系.
如果你体会不到以上各种变式实质上是一样的那么你没有学“活”线性代数你的知识点还是孤立的.
由于知识间的紧密联系和渗透而综合考试试题不再依附于某章、某节(依附于某章、某节后面的习题实际上是给解题人提供了用该章、该节的内容和方法解题的提示) 这会给考生解题带来困难.学“活”并非易事需要经常总结广开思路.
例3已知A是n阶正定阵，B是n阶反对称阵，证明A-B2是正定阵.
解析本题题目本身有提示性已知的是正定阵要证的也是正定阵显然属于二次型中有关正定性的试题具体解答如下.
B 是反对称阵故BT= -B .
任给X 0,因A正定，故XTAX>O 又XT(一B2)X= XTBTBX= (BX)TBX》0.
故有XT(A-B2)X=XT(A+(-B)B)X =XT(A+BTB)X=XTAX+(BX)TBX>O.
所以A-B2 是正定阵.
变式(1)已知A是n阶正定阵，B是n阶反对称阵?证明A-B2是可逆阵.v这个变式要求证明A-
B2可逆，但已知A正定.为了利用已知条件，还可以想到A-B2是否正定，即若证
明了A-B2 正定自然也就证明了A-B2 可逆.
变式(2)已知B是n阶反对称阵，E是n阶单位阵，证明E-B2可逆.
这个变式中，隐去了A是正定阵的条件，而是给了一个具体的正定阵E,要求想到用证
正定的角度来证E-B2 可逆，难度就相当大了，这需要经验的积累和总结.
由于知识间的广泛联系和相互渗透,给不少题的一题多解创造了条件.你可以从各个不同的角度去研究试题,找到一个合适的切入点,从而最终找到问题的答案.
总之,重视三基,重视各章节之间的联系,重视从多角度研究试题,重视灵活性和综合性,重视应用,是取得理想成绩的必由之路。
其实偶个人认为,在高数、线代、概率这三部分当中,线代是最简单的了,也不像高数那么灵活多变,只要掌握了基本知识,多作些题,再细心一些,这部分拿高分很容易。
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