函数调用
【实验目的】:
1. 掌握函数的定义和调用方法。
2. 练习重载函数的使用。
3. 练习有默认参数值的函数的使用。
4. 练习使用系统函数。
5. 熟悉多文件工程结构。
【实验内容】:
1.编写函数int add(int x, int y),实现两个整型数据x,y的求和功能。
·要求:使用Visual C++的Debug调试功能,记录在函数调用时实参和形参的值的
变化。
2.编写一个求x的n次方的程序int pow(int m, int n),计算m的n次方的结果。
3.利用上题中设计两个函数,设计一个求两个整数的平方和的程序。要求如下:
a)主函数中调用求和函数: int add(int x, int y);
b)求和函数add中调用上题设计的int pow(int m, int n)函数来计算其平方。
4.多文件程序结构:一个文件可以包含多个函数定义,但是一个函数的定义必须完
整的存在于一个文件中。要求:
a)将add函数的声明部分放在头文件中,实现部分放在源文件中。
b)将pow函数的声明部分放在头文件中,实现部分放在源文件中。
c)在main函数中调用add函数,计算从屏幕终端输入的两个数据之和。(main函
数的实现在中)
5.将第2题设计的pow函数修改成为递归函数。
6.设计一个函数int fac(int n),利用函数的递归调用,来计算n!(n的阶乘)。
·要求:单步调试程序,记录递归函数的调用过程。
7.使用系统函数pow(x,y)计算x y的值,注意包含头文件cmath。
8.从键盘输入两个数字,分别赋值给变量a、b,设计一个子函数swap,实现这两个数字交换次序。(注:根据需要自己设计函数的参数及返回值)
·要求:使用Visual C++的Debug调试功能,记录在函数调用时实参和形参的值的变化。
9.设计一个函数,求圆的面积。
要求:在主函数中调用子函数calArea计算圆的面积。并将calArea函数设计为内联函数。
10.编写重载函数Maxl可分别求取2个整数、3个整数、2个双精度数、3个双精度数的最大值。
11. 设计一个函数calPrice,计算购买一类商品的价格。
(1)为calPrice定义3个参数,分别是该商品的单价、购买该商品的数量(默认为
1件)、该商品的折扣(默认是8折)。
(2)在主函数中调用calPrice
若只输入单价,则默认只购买了1件商品,并默认以8折计算金额;
若只输入单价、数量,以8折计算总金额;
若同时输入单价、数量和折扣,则以指定的折扣计算总金额。
12.利用函数的重载,通过为calPrice设计不同的参数个数,实现第9题的要求。
13.编写两个名为sumOfSquare的重载函数,分别求两整数的平方和及两实数的平方和。
【实验体会】:
第二章 随机变量及其分布 1、解: 设公司赔付金额为X ,则X 的可能值为; 投保一年内因意外死亡:20万,概率为0.0002 投保一年内因其他原因死亡:5万,概率为0.0010 投保一年内没有死亡:0,概率为1-0.0002-0.0010=0.9988 所以X 2、一袋中有5X 表示取出的三只球中的最大号码,写出随机变量X 的分布律 解:X 可以取值3,4,5,分布律为 10 61)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(10 11)2,1,3()3(35 2 435 2 335 2 2=?= === ?==== ?= ==C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为 也可列为下表 X : 3, 4,5 P :10 6, 103,101 3、设在15只同类型零件中有2只是次品,在其中取三次,每次任取一只,作不放回抽样,以X 表示取出次品的只数,(1)求X 的分布律,(2)画出分布律的图形。 解:任取三只,其中新含次品个数X 可能为0,1,2个。 35 22 )0(315313= ==C C X P 3512)1(3 15213 12=?==C C C X P 35 1)2(3 15 113 22= ?= =C C C X P 再列为下表 X : 0, 1, 2 P : 35 1, 3512,3522 4、进行重复独立实验,设每次成功的概率为p ,失败的概率为q =1-p (0
第三章 函数的应用 1:函数的零点 【典例精析】 例题1 求下列函数的零点。 (1)y=32x 2-+x ;(2)y =(2 x -2)(2 x -3x +2)。 思路导航:判断函数零点与相应的方程根的关系,就是求与函数相对应的方程的根。 答案:(1)①当x≥0时,y=x 2 +2x -3,x 2 +2x -3=0得x=+1或x=-3(舍) ②当x <0时,y=x 2 -2x -3,x 2-2x -3=0得x=-1或x=3(舍) ∴函数y=x 2 +2|x|-3的零点是-1,1。 (2)由(2x -2)(2 x -3x +2)=0,得(x +2)(x -2)(x -1)(x -2)=0, ∴x 1=-2,x 2=2,x 3=1,x 4=2。 ∴函数y =(x 2 -2)(x 2 -3x +2)的零点为-2,2,1,2。 点评:函数的零点是一个实数,不是函数的图象与x 轴的交点,而是交点的横坐标。 例题2 方程|x 2-2x|=a 2+1 (a∈R + )的解的个数是______________。 思路导航:根据a 为正数,得到a 2 +1>1,然后作出y=|x 2 -2x|的图象如图所示,根据图象得到y=a 2 +1的图象与y=|x 2 -2x|的图象总有两个交点,得到方程有两解。 ∵a∈R + ∴a 2 +1>1。而y=|x 2 -2x|的图象如图, ∴y=|x 2 -2x|的图象与y=a 2 +1的图象总有两个交点。 ∴方程有两解。 答案:2个 点评:考查学生灵活运用函数的图象与性质解决实际问题,会根据图象的交点的个数判断方程解的个数。做题时注意利用数形结合的思想方法。 例题3 若函数f (x )=ax +b 有一个零点为2,则g (x )=bx 2 -ax 的零点是( ) A. 0,2 B. 0,12 C. 0,-12 D. 2,-1 2 思路导航:由f (2)=2a +b =0,得b =-2a ,∴g (x )=-2ax 2-ax =-ax (2x +1)。令g (x )=0,得x 1=0,x 2=-1 2 ,故选C 。 答案:C 【总结提升】 1. 函数y =f (x )的零点就是方程f (x )=0的根,因此,求函数的零点问题通常可转化为求相应的方程的根的问题。 2. 函数与方程二者密不可分,二者可以相互转化,如函数解析式y =f (x )可以看作方程y -f (x )=0,函数有意义则方程有解,方程有解,则函数有意义,函数与方程体现了
第1章 习 题 一、习题1.1 解:(1)利用题目中的数据,通过SAS 系统proc univariate 过程计算得到: 139.0=x 7.06387S = 49.898312=S 0.142众数= 51.0g 1-= 08192.5=CV 126129.0g 2-=由得到的数据特征可知道,偏度为负,所以呈做偏态, 峰度为负,所以均值两侧的极端值较少。 (2) 139.0=M 31.0=R 0.135Q 1= 5.144Q 3= 5.9R 131=-=Q Q 375.1394 1 2141M 31=++= ∧ Q M Q (3) 通过SAS 系统proc capability 得到直方图,并拟合正态分布曲线:
(4) 通过SAS 系统proc univariate 可以画出茎叶图,从茎叶图可以看出数据大致呈对称分布,由于所给数据都是整数,所以叶所代表的小位数都是0。 (5) 通过SAS 系统proc univariate 过程计算得到: 0.971571W 0= 00()H p P W W =≤= 0.1741 取0.05=α,因α>=0.1742p ,故不能拒绝0H ,认为样本来自正态总体分布。 通过画QQ图和经验分布曲线和理论分布函数曲线,从图中可以看出QQ图近似的在一条直线上,经验分布曲线的拟合程度也相当好,所以可以进一步说明此样本来自正态总体分布。
二、习题1.2 7.8574027=x 1.62568785 S = 2.642860982=S 0.13721437g 1= 20.6898884=CV -1.4238025g 2= 由得到的数据特征可知道,偏度为正,所以呈右偏态,峰度为负,所以均值两侧的极端值较少。 (2)
第二章 随机变量及其分布 一. 填空题 1. 设随机变量X ~B(2, p), Y ~B(3, p), 若P(X ≥ 1) =9 5 , 则P(Y ≥ 1) = _________. 解. 9 4951)1(1)0(=-=≥-==X P X P 94)1(2 = -p , 3 1=p 2. 已知随机变量X 只能取-1, 0, 1, 2四个数值, 其相应的概率依次为c c c c 162 , 85,43,21, 则c = ______. 解. 2,16321628543211==+++= c c c c c c 3. 用随机变量X 的分布函数F(x)表示下述概率: P(X ≤ a) = ________. P(X = a) = ________. P(X > a) = ________. P(x 1 < X ≤ x 2) = ________. 解. P(X ≤ a) = F(a) P(X = a) = P(X ≤ a)-P(X < a) = F(a)-F(a -0) P(X > a) = 1-F(a) P(x 1 < X ≤ x 2) = F(x 2)-F(x 1) 4. 设k 在(0, 5)上服从均匀分布, 则02442 =+++k kx x 有实根的概率为_____. 解. k 的分布密度为??? ??=0 51 )(k f 其它50≤≤k P{02442 =+++k kx x 有实根} = P{03216162 ≥--k k } = P{k ≤-1或k ≥ 2} =5 3 515 2=?dk 5. 已知2}{,}{k b k Y P k a k X P =-== =(k = 1, 2, 3), X 与Y 独立, 则a = ____, b = ____, 联合概率分布_____, Z = X + Y 的概率分布为_____. 解. 116,132==++ a a a a . 49 36 ,194= =++b b b b (X, Y)
二次函数经典例题及答案 1.已知抛物线的顶点为P (- 4,—2),与x轴交于A B两点,与y轴交于点C,其中B点坐标为(1 , 0)。 (1) 求这条抛物线的函数关系式; (2) 若抛物线的对称轴交x轴于点D,则在线段AC上是否存在这样的点Q,使得△ ADQ 1 2 9 . 135 y=2 x +4x - 2;存在点Q (-1 , -4 ) , Q (2^5-9,-%'5 ) , Q (--^, -4) ?析 一2 25 试题分析:(1)根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式y=a ( x+4) - 2,然后把点B的坐 标代入解析式求出a的值,即可得解; (2)先根据顶点坐标求出点D 的坐标,再根据抛物线解析式求出点A、C的坐标,从而得 到OA OC AD的长度,根据勾股定理列式求出AC的长度,然后根据锐角三角形函数求出/ OAC勺正弦值与余弦值,再分① AD=QD时,过Q作QE1丄x轴于点E,根据等腰三角形三线合一的性质求出AQ,再利用/ OAC勺正弦求出QE的长度,根据/ OAC勺余弦求出AE的长度,然后求出OE,从而得到点Q的坐标;②AD=AQ时,过Q作QE2丄x轴于点E>,利用/ OAC勺正弦求出QE2的长度,根据/ OAC勺余弦求出AE的长度,然后求出OE,从而得到点Q的坐标;③AQ=DQ时,过Q作QE3丄x轴于点已,根据等腰三角形三线合一的性质求出AE 的长度,然后求出OE,再由相似三角形对应边成比例列式求出QE3的长度,从而得到点Q 的坐标. 试题解析:(1 )???抛物线顶点坐标为( 25 -4 , - 2), ???设抛物线解析式为 2 25 y=a (x+4) - 2 为等腰三角形?若存在,请求出符合条件的点
一、单项选择题 1.设随机变量21,X X 独立,且2 1 }1{}0{= ===i i X P X P (2,1=i ),那么下列结论正确的是 ( ) A .21X X = B .1}{21==X X P C .2 1 }{21= =X X P D .以上都不正确 2设X 与Y 相互独立,X 服从参数为12的0—1分布,Y 服从参数为1 3 的0—1分布,则方程 220t Xt Y ++=中t 有相同实根的概率为 (A ) 13 (B )12 (C )16 (D )2 3 [] 3.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为 ()22 ,02,14, (,)0, .k x y x y f x y ?+<<<=???其他 则k 的值必为 (A ) 130 (B )150 (C )160 (D )1 80 [] 4.设(X ,Y )的联合密度函数为 ,0, (,)0,. y e x y f x y -?<=???其他 (1)P X Y +≥则概率为 (A )1 12 2e e --- (B )12e e --- (C )1e - (D )21e -- [] 5.设随机变量X 与Y 相互独立,而且X 服从标准正态分布N (0,1),Y 服从二项分布 B (n ,p ),0
对数运算与对数函数复习 例1.求下列函数的定义域: (1)2log x y a =; (2))4(log x y a -=; (3))9(log 2x y a -=. 例2.比较下列各组数中两个值的大小: (1)2log 3.4,2log 8.5; (2)0.3log 1.8,0.3log 2.7; (3)log 5.1a ,log 5.9a . (4)0.91.1, 1.1log 0.9,0.7log 0.8; 例3.求下列函数的值域: (1)2log (3)y x =+;(2)22log (3)y x =-;(3)2log (47) a y x x =-+(0a >且1a ≠).
例4.(1)已知:36log ,518,9log 3018求==b a 值. 例5.判断函数2()log )f x x =的奇偶性。
对数运算与对数函数复习练习 一、选择题 1.3 log 9log 28的值是( ) A .32 B .1 C .2 3 D .2 2.函数)2(x f y =的定义域为[1,2],则函数)(log 2x f y =的定义域为( ) A .[0,1] B .[1,2] C .[2,4] D .[4,16] 3.函数2x log y 5+=(x ≥1)的值域是( ) A .R B .[2,+∞] C .[3,+∞] D .(-∞,2) 4.如果0-+ C .0)a 1(log )a 1(>+- D .0)a 1(log )a 1(<-+ 5.如果02log 2log b a >>,那么下面不等关系式中正确的是( ) A .0b>1 D .b>a>1 6 若a>0且a ≠1,且14 3log a <,则实数a 的取值范围是( ) A .0或 D .4 3a 0<<或a>1 7.设0,0,a b <<且,722ab b a =+那么1lg |()|3 a b +等于( ) A .1(lg lg )2a b + B .1lg()2ab C .1(lg ||lg ||)3a b + D .1lg()3 ab 8.如果1x >,12log a x =,那么( ) A .22a a a >> B .22a a a >> C .22a a a >> D .22a a a >> 二、填空题(共8题) 8.计算=+?+3log 22450lg 2lg 5lg . 10.若4 12x log 3=,则x =________ 11 .函数f(x)的定义域是[-1,2],则函数)x (log f 2的定义域是_____________ 12.函数x )31 (y =的图象与函数x log y 3-=的图象关于直线___________对称.
第二章 随机变量及其概率分布 考试模拟题 (共90分) 一.选择题(每题2分共20分) 1.F(X)是随机变量X 的分布函数,则下列结论不正确的是( B ) A.≤0F(x )1≤ B.F(x )=P{X=x } C.F(x )=P{X x ≤} D.F(∞+)=1, F(∞-)=0 解析: A,C,D 都是对于分布函数的正确结论,请记住正确结论!B 是错误的。 2.设随机变量X 的分布函数律为如下表格:F(x)为其分布函数,则F(5)=( C ) A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.4 解析:由分布函数定义F(5)=P{X ≤5}=P{X=0}+P{X=2}+P{X=4}=0.1+0.2+0.3=0.6 3.下列函数可以作为随机变量分布函数的是( D ) 4x 01≤≤x 2x 10<≤x A.F(x)= B.F(x)= 1 其它 2 其它 -1 x<0 0 x<0 C.F(x)= 2x 10<≤x D.F(x)= 2x 5.00<≤x 1 其它 1 x ≥0.5 解析:由分布函数F(x)性质:01)(≤≤x F ,A,B,C 都不满足这个性质,选D 4 x 31<<-x 4.设X 的密度函数为f(x)= 则P{-2 A. 0 B.83 C. 43 D. 85 解析:P{-2 例4.已知log 4log 4m n <,比较m ,n 的大小。 解:∵log 4log 4m n <, ∴ 4411 log log m n < , 当1m >,1n >时,得4411 0log log m n << , ∴44log log n m <, ∴1m n >>. 当01m <<,01n <<时,得4411 0log log m n <<, ∴44log log n m <, ∴01n m <<<. 当01m <<,1n >时,得4log 0m <,40log n <, ∴01m <<,1n >, ∴01m n <<<. 综上所述,m ,n 的大小关系为1m n >>或01n m <<<或01m n <<<. 例5.求下列函数的值域: (1)2log (3)y x =+;(2)22log (3)y x =-;(3)2log (47)a y x x =-+(0a >且1a ≠). 解:(1)令3t x =+,则2log y t =, ∵0t >, ∴y R ∈,即函数值域为R . (2)令2 3t x =-,则03t <≤, ∴2log 3y ≤, 即函数值域为2(,log 3]-∞. (3)令2247(2)33t x x x =-+=-+≥, 当1a >时,log 3a y ≥, 即值域为[log 3,)a +∞, 当01a <<时,log 3a y ≤, 即值域为(,log 3]a -∞. 例6 .判断函数2()log )f x x =的奇偶性。 x 恒成立,故()f x 的定义域为(,)-∞+∞, 2()log )f x x -= 2 log =- 2 log =- 2log ()x f x =-=-, 所以,()f x 为奇函数。 例7.求函数213 2log (32)y x x =-+的单调区间。 解:令2 2 3 132()2 4u x x x =-+=-- 在3[,)2+∞上递增,在3 (,]2 -∞上递减, 又∵2 320x x -+>, ∴2x >或1x <, 故2 32u x x =-+在(2,)+∞上递增,在(,1)-∞上递减, 又∵13 2log y u =为减函数, 所以,函数213 2log (32)y x x =-+在(2,)+∞上递增,在(,1)-∞上递减。 例8.若函数2 2log ()y x ax a =--- 在区间(,1-∞上是增函数,a 的取值范围。 解:令2 ()u g x x ax a ==--, 第十八章 函数 一次函数 (一)函数 1、变量:在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量:在一个变化过程中只能取同一数值的量。 2、函数:一般的,在一个变化过程中,如果有两个变量x 和y ,并且对于x 的每一个确定的值,y 都有唯一确定的值与其对应,那么我们就把x 称为自变量,把y 称为因变量,y 是x 的函数。 *判断Y 是否为X 的函数,只要看X 取值确定的时候,Y 是否有唯一确定的值与之对应 3、定义域:一般的,一个函数的自变量允许取值的范围,叫做这个函数的定义域。 4、确定函数定义域的方法: (1)关系式为整式时,函数定义域为全体实数; (2)关系式含有分式时,分式的分母不等于零; (3)关系式含有二次根式时,被开放方数大于等于零; (4)关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零; (5)实际问题中,函数定义域还要和实际情况相符合,使之有意义。 5、函数的解析式:用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式 6、函数的图像 一般来说,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象. 7、描点法画函数图形的一般步骤 第一步:列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值); 第二步:描点(在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点);第三步:连线(按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来)。 8、函数的表示方法 列表法:一目了然,使用起来方便,但列出的对应值是有限的,不易看出自变量与函数之间的对应规律。 解析式法:简单明了,能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系,但有些实际问题中的函数关系,不能用解析式表示。 图象法:形象直观,但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。 (二)一次函数 1、一次函数的定义 一般地,形如y kx b =+(k ,b 是常数,且0k ≠)的函数,叫做一次函数,其中x 是自变量。当0b =时,一次函数y kx =,又叫做正比例函数。 ⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+,要判断一个函数是否是一次函数,就是判断是否能化成以上形式. ⑵当0b =,0k ≠时,y kx =仍是一次函数. ⑶当0b =,0k =时,它不是一次函数. ⑷正比例函数是一次函数的特例,一次函数包括正比例函数. 第一章绪论 1.自动控制理论的三个发展阶段是(经典控制理论、现代控制理论、 智能控制理论) 2.偏差量指的是(给定量)与反馈量相减后的输出量 3.负反馈是指将系统的(输出量)直接或经变换后引入输入端,与 (输入量)相减,利用所得的(偏差量)去控制被控对象,达到减少偏差或消除偏差的目的。 4.对控制系统的基本要求有(稳定性、快速性、准确性) 5.稳定性是系统正常工作的必要条件,,要求系统稳态误差(要小) 6.快速性要求系统快速平稳地完成暂态过程,超调量(要小),调节 时间(要短) 7.自动控制理论的发展进程是(经典控制理论、现代控制理论、智 能控制理论) 8.经典控制理论主要是以(传递函数)为基础,研究单输入单输出 系统的分析和设计问题 第二章自动控制系统的数学模型 1.数学模型是描述系统输出量,输入量及系统各变量之间关系的(数 学表达式) 2.传递函数的分母多项式即为系统的特征多项式,令多项式为零, 即为系统的特征方程式,特征方程式的根为传递函数的(极点),分子的形式的根是传递函数的(零点) 3. 惯性环节的传递函数为( 1 1 +Ts ) 4. 惯性环节的微分方程为(T ) () (t d t dc +c (t )=r(t) 5. 振荡环节的传递函数为(G (s )=n n s s 222 2ωζωω++) 6. 系统的开环传递函数为前向通道的传递函数与反馈通道的传递函数的(乘积) 7. 信号流图主要由(节点和支路)两部分组成 8. 前向通道为从输入节点开始到输出节点终止,且每个节点通过(一次)的通道 9. 前向通道增益等于前向通道中各个支路增益的(乘积) 10. 在线性定常系统中,当初始条件为零时,系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比称作系统的(传递函数) 11. 传递函数表示系统传递,变换输入信号的能力,只与(结构和参数)有关,与(输入输出信号形式)无关 12. 信号流图主要由两部分组成:节点和支路,下面有关信号流图的术语中,正确的是(B ) A . 节点表示系统中的变量或信号 B . 支路是连接两个节点的有向线段,支路上的箭头表示传递的方 向,传递函数标在支路上 C . 只有输出支路的节点称为输入节点,只有输入支路的节点为输 出节点,既有输入支路又有输出支路的节点称为混合节点 D . 前向通道为从输入节点开始到输出节点终止,且每个节点通过 第二章:随机变量与分布函数习题 一、“离散型随机变量与分布函数”习题: 1. 射手对靶子进行射击,用X 表示击中的环数,已知击中一环的概率为0.2,击中两环的概率为0.8;求:(1)X 的分布列及分布函数;(2)()()10,1≤<≥X P X P . 2. 射手对靶子进行射击,一次射击的命中率为0.8,现在连续射击三枪,用X 表示三枪中命中的次数,求:(1)X 的分布列及分布函数;(2)A “至少命中两枪”的概率. 3. 设随机变量X 的分布函数为 ()()???? ???≥<≤<≤--<=≤=31 318.0114.010 x x x x x X P x F 求:X 的分布列. 4. 设随机变量X 的分布函数为 ()??? ? ????? >≤≤<=2120sin 00ππx x x A x x F 求:(1)A =? (2)??? ??<6πx P . 5. 设随机变量X 的分布列为??? ? ??--22121101q q ; 求: (1)q=? (2)X 的分布函数. 6. 某设备由三个独立工作的元件构成,该设备在一次试验中每个元件发生故障的概率为 0.1,求该设备在一次试验在中发生故障的元件数的分布列. 7. 将一颗骰子投掷两次,以X 表示两次所得点数之和、Y 表示两次中所得的小的点数;分别求X 与Y 的分布列. 8. 设随机变量X ~()p B ,2, 随机变量Y ~()p B ,3; 已知()9 5 1=≥X P , 求:()1≥Y P . 二、“连续型随机变量与分布函数”习题: 1. 设()()??? ??<>≥=-00 0,0212 x a x e a x x f a x ; ()?????<<=其他0 0cos 21 2 πx x x f ; ()????? <<-=其他0 22cos 3ππx x x f ; (1) 以上()()()x f x f x f 321,,是否是某随机变量X 的分布密度函数? 函数概念及其表示---典例分析 例1.下列各组函数中,表示同一函数的是( C ). 选题理由:函数三要素。 A. 1,x y y x == B. 11,y x y = += C. ,y x y == D. 2||,y x y == 点评:有利于理解函数概念,强化函数的三要素。 变式: 1.函数f (x )= 2(1)x x x ??+? ,0,0x x ≥< ,则(2)f -=( ). A. 1 B .2 C. 3 D. 4 例2.集合{}22M x x =-≤≤,{}02N y y =≤≤,给出下列四个图形,其中能表示以M 为定义域,N 为值域的函数关系的是( B ). 选题理由:更好的帮助学生理解函数概念,同时也体现函数的重要表示法图像法,图形法是数形结合思想应用的前提。 变式: 1.下列四个图象中,不是函数图象的是(B ). 2.设集合A ={x |0≤x ≤6},B ={y |0≤y ≤2},从A 到B 的对应法则f 不是映射的是( ). A. f :x →y = 1 2x B. f :x →y = 1 3x C. f :x →y =1 4x D. f :x →y =1 6 x A. B. C. D. 函数的表达式及定义域—典例分析 【例1】 求下列函数的定义域: (1)1 21 y x = +-;(2 )y = . 选题理由:考查函数三要素,定义域是函数的灵魂。 解:(1)由210x +-≠,解得1x ≠-且3x ≠-, 所以原函数定义域为(,3)(3,1)(1,)-∞----+∞. (2 )由30 20 x -≥??≠,解得3x ≥且9x ≠, 所以原函数定义域为[3,9)(9,)+∞. 选题理由:函数的重要表示法,解析式法。 变式: 1 .函数y =的定义域为( ). A. (,1]-∞ B. (,2]-∞ C. 11(,)(,1]22-∞-- D. 1 1(,) (,1]2 2 -∞-- 2.已知函数()f x 的定义域为[1,2)-,则(1)f x -的定义域为( ). A .[1,2)- B .[0,2)- C .[0,3)- D .[2,1)- 【例2】已知函数1( )1x f x x -=+. 求: (1)(2)f 的值; (2)()f x 的表达式 解:(1)由121x x -=+,解得13x =-,所以1 (2)3f =-. (2)设11x t x -=+,解得11t x t -= +,所以1()1t f t t -=+,即1()1x f x x -=+. 点评:此题解法中突出了换元法的思想. 这类问题的函数式没有直接给出,称为抽象函数的研究,常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等. 变式: 1.已知()f x =2x +x +1,则f =______;f [(2)f ]=______. 2.已知2(21)2f x x x +=-,则(3)f = . 【例 2】 已知f (x )=33x x -+?? (,1) (1,)x x ∈-∞∈+∞,求f [f (0)]的值. 选题理由:分段函数生活重要函数,是考察重点。 解:∵ 0(,1)∈-∞ , ∴ f 又 ∵ >1, ∴ f )3)-3=2+ 12=52,即f [f (0)]=5 2 . 点评:体现了分类讨论思想。 2.某同学从家里到学校,为了不迟到,先跑,跑累了再走余下的路,设在途中花的时间为 t ,离开家里的路程为d ,下面图形中,能反映该同学的行程的是( ). 第三-四章 概率与离散变量的概率分布练习题 一、填空 1.用古典法计算概率.在应用上有两个缺点:①它只适用于有限样本点的情况;②它假设( )。 2.分布函数)(x F 和)(x P 或?)(x 的关系,就像向上累计频数和频率的关系一样。所不同的是,)(x F 累计的是( )。 3.如果A 和B ( ),总有P(A/B)=P 〔B/A 〕=0。 4.若事件A 和事件B 不能同时发生,则称A 和B 是( )事件。 4.在一副扑克牌中单独抽取一次,抽到一张红桃或爱司的概率是(1/4 );在一副扑克牌中单独抽取一次,抽到一张红桃且爱司的概率是( 1/52 )。 二、单项选择 1.随机试验所有可能出现的结果,称为( D )。A 基本事件; B 样本;C 全部事件;D 样本空间。 2.在次数分布中,频率是指( ) A.各组的频率相互之比 B.各组的分布次数相互之比 C.各组分布次数与频率之比 D.各组分布次数与总次数之比 3.以等可能性为基础的概率是(A )。A 古典概率;B 经验概率;C 试验概率;D 主观概率。 4.古典概率的特点应为( A )。 A 基本事件是有限个,并且是等可能的; B 基本事件是无限个,并且是等可能的; C 基本事件是有限个,但可以是具有不同的可能性; D 基本事件是无限的,但可以是具有不同的可能性。 5.任一随机事件出现的概率为( D )。A 在–1与1之间;B 小于0;C 不小于1;D 在0与1之间。 6.若P (A )=0.2,P(B )=0.6,P (A/B )=0.4,则)(B A P =( D )。A 0.8 B 0.08 C 0.12 D 0.24。 7.若A 与B 是任意的两个事件,且P (AB )=P (A )·P (B ),则可称事件A 与B (C )。 A 等价 B 互不相容 C 相互独立 D 相互对立。 8.若相互独立的随机变量X 和Y 的标准差分别为6与8,则(X +Y )的标准差为(B )。A 7 B 10 C 14 D 无法计算。 9.如果在事件A 和B 存在包含关系A ?B 的同时,又存在两事件的反向包含关系A ?B ,则称事件A 与事件B (A )A 相等 B 互斥 C 对立 D 互相独立 10.二项分布的数学期望为(C )。A n(1-n)p B np(1- p) C np D n(1- p)。 11.关于二项分布,下面不正确的描述是(A )。 A 它为连续型随机变量的分布; B 二项分布的数学期望)(X E =μ=np ,变异数)(X D =2 σ=npq ; C 它的图形当p =0.5时是对称的,当p ≠ 0.5时是非对称的,而当n 愈大时非对称性愈不明显; D 二项分布只受成功事件概率p 和试验次数n 两个参数变化的影响。 12.事件A 在一次试验中发生的概率为 4 1 ,则在3次独立重复试验中,事件A 恰好发生2次的概率为(C )。 A 21 B 161 C 64 3 D 649 13.设随机变量ξ~B ????6,12,则P (ξ=3)的值为( A ) A.516 B.316 C.58 D.716 14.设随机变量ξ ~ B (2,p ),随机变量η ~ B (3,p ),若P (ξ ≥1) =59,则P (η≥1) =( )A.13 B.59 C.827 D.19 27 解析:∵P (ξ≥1) =2p (1-p )+p 2=59, ∴p =13 ,∴P (η≥1) =C 13????13????232+C 23????132????23+C 33????133=1927,故选D. 15.在4次独立重复试验中,随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率,则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( A ) A .[0.4,1) B .(0,0.6] C .(0,0.4] D .[0.6,1) 函数的最值 根据条件确定函数的参数是否存在 例 已知函数1 log )(223++++=cx x b ax x x f ,是否存在实数a 、b 、c ,使)(x f 同时满足下列三个条件:(1)定义域为R 的奇函数;(2)在[)+∞,1上是增函数;(3)最大值是1.若存在,求出a 、b 、c ;若不存在,说明理由. 分析:本题是解决存在性的问题,首先假设三个参数a 、b 、c 存在,然后用三个已给条件逐一确定a 、b 、c 的值. 解:)(x f 是奇函数.1,0log 0)0(3=∴=?=?b b f 又)()(x f x f -=- ,即1 1log 11log 223223++++-=+-+-cx x ax x cx x ax x , ∴222222222222)1()1(1111x c x x a x ax x cx x cx x ax x -+=-+?++++=-+-+. ∴c a c a =?=2 2或c a -=,但c a =时,0)(=x f ,不合题意;故c a -=.这时1 1l o g )(223+++-=cx x cx x x f 在[)+∞,1上是增函数,且最大值是1. 设1 1)(22+++-=cx x cx x x u 在[)+∞,1上是增函数,且最大值是3. 2 22222222)1()1)(1(2)1()1(2)1()1)(2()1)(2()(++-+=++-=+++-+-++-='cx x x x c cx x x c cx x cx x c x cx x c x x u ,当1>x 时0)(012>'?>-x u x ,故0>c ;又当1- 习题一 1 设总体X 的样本容量5=n ,写出在下列4种情况下样本的联合概率分布. 1)),1(~p B X ; 2))(~λP X ; 3)],[~b a U X ; 4))1,(~μN X . 解 设总体的样本为12345,,,,X X X X X , 1)对总体~(1,)X B p , 11223344555 11 1 55(1) (,,,,)()(1)(1)i i n x x i i i i x x P X x X x X x X x X x P X x p p p p -==-========-=-∏∏ 其中:5 1 15i i x x ==∑ 2)对总体~()X P λ 11223344555 1 1 555 1 (,,,,)()! ! i x n i i i i i x i i P X x X x X x X x X x P X x e x e x λ λ λλ-==-========== ∏∏ ∏ 其中:5 1 15i i x x ==∑ 3)对总体~(,)X U a b 5 511511,,1,...,5 (,,)()0i i i i a x b i f x x f x b a ==?≤≤=?==-??? ∏∏ ,其他 4)对总体~(,1) X N μ ()() ()2 55 55/2 22 1511 1 1 (,,)()=2exp 2i x i i i i i f x x f x x μπμ-- -===??==-- ??? ∑∏ 2 为了研究玻璃产品在集装箱托运过程中的损坏情况,现随机抽取20个集装箱检查其产品损坏的件数,记录结果为:1,1,1,1,2,0,0,1,3,1,0,0,2,4,0,3,1,4,0,2,写出样本频率分布、经验分布函数并画出图形. 解 设(=0,1,2,3,4)i i 代表各箱检查中抽到的产品损坏件数,由题意可统计出如下的样本频率分布表1.1: 经验分布函数的定义式为: ()()() (1)10,(),,=1,2,,1,1,n k k k x x k F x x x x k n n x x +??≤<-??≥?? , 据此得出样本分布函数: 200,00.3,010.65,12()0.8, 230.9,341,4x x x F x x x x ?≤ ?≤ ≤?≤ ≥? 图1.1 经验分布函数 x () n F x 精选 1函数解析式的特殊求法 例1 已知f(x)是一次函数, 且f[f(x)]=4x -1, 求f(x)的解析式 例2 若x x x f 21 (+=+),求f(x) 例3 已知x x x f 2)1(+=+,求)1(+x f 例4已知:函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称,求)(x g 的解析式 例5 已知f(x)满足x x f x f 3)1()(2=+,求)(x f 2函数值域的特殊求法 例1. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。 例2. 求函数 22 x 1x x 1y +++=的值域。 例3求函数y=(x+1)/(x+2)的值域 例4. 求函数1e 1e y x x +-=的值域。 例1下列各组中的两个函数是否为相同的函数? ①3 )5)(3(1+-+=x x x y 52-=x y ②111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y ③21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f 精选 2若函数)(x f 的图象经过)1,0(-,那么)4(+x f 的反函数图象经过点 (A))1,4(- (B))4,1(-- (C))1,4(-- (D))4,1(- 例3 已知函数)(x f 对任意的a b R ∈、满足:()()()6,f a b f a f b +=+- 0,()6a f a ><当时;(2)12f -=。 (1)求:(2)f 的值; (2)求证:()f x 是R 上的减函数; (3)若(2)(2)3f k f k -<-,求实数k 的取值范围。 例4已知{(,)|,,A x y x n y an b n ===+∈Z }, 2{(,)|,315,B x y x m y m m ===+∈Z },22{(,)|C x y x y =+≤14},问是否存在实数,a b ,使得 (1)A B ≠?I ,(2)(,)a b C ∈同时成立. 证明题 1.已知二次函数2()f x ax bx c =++对于x 1、x 2∈R ,且x 1<x 2时 12()()f x f x ≠,求证:方程()f x =121[()()]2 f x f x +有不等实根,且必有一根属于区间(x 1,x 2). 习题与解答5.2 1. 以下是某工厂通过抽样调查得到的10名工人一周内生产的产品数 149 156 160 138 149 153 153 169 156 156 试由这批数据构造经验分布函数并作图. 解 此样本容量为10,经排序可得有序样本: (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)138,149,153,156,160,169 x x x x x x x x x x ========== 其经验分布函数及其图形分别如下 ()01380.11490.31530.51560.81600.91691n x F ?≤ ?≤=≤?≤ ≤? ≥?,x , , 138x ,, 149x ,, 153x ,, 156x ,, 160x ,, x 169. 2. 下表是经过整理后得到的分组样本: 试写出此分组样本的经验分布函数. 解 样本的经验分布函数为 ()037.50.1547.50.3557.50.7567.50.977.51n x x F ?≤ ?≤<=?≤ ?≤ ≥?,, , 37.5x ,, 47.5x , , 57.5x , , 67.5x ,, x 77.5. 3.假若某地区30名2000年某专业毕业生实习满后的月薪数据如下: 909 1086 1120 999 1320 1091 1071 1081 1130 1336 967 1572 825 914 992 1232 950 775 1203 1025 1096 808 1224 1044 871 1164 971 950 866 738 (1)构造该批数据的频率分布表(分6组); (2)画出直方图. 解 此处数据最大观测值为1572,最小观测值为738,故组距近似为 1572736 140,6 d -= = 确定每组区间端点为 ,此处可取 ,于是分组区间为 (](](](](](]735.875875101510151155115512951295143514351575 .,,,,,,,,,, 其频数频率分布表如下:必修一函数经典例题
初二函数知识点及经典例题.
自动控制复习题
第二章随机变量与分布函数习题
函数概念典型例题
第三-四章 概率分布练习题
函数的最值经典例题
课后习题参考答案
高一数学函数经典题目及答案
概率统计习题 5.2