第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。 2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数 )(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。 即：方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数) (x f y =有零点． 3、函数零点的求法： ○ 1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○ 2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 4、基本初等函数的零点： ①正比例函数(0)y kx k =≠仅有一个零点。 ②反比例函数(0)k y k x = ≠没有零点。 ③一次函数(0)y kx b k =+≠仅有一个零点。 ④二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y ． （1）△＞０，方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点． （2）△＝０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点． （3）△＜０，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点． ⑤指数函数(0,1)x y a a a =>≠且没有零点。 ⑥对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且仅有一个零点1. ⑦幂函数y x α =，当0n >时，仅有一个零点0，当0n ≤时，没有零点。 5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把()f x 转化成 ()0f x =，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数12,y y （基本初等函数），这另 个函数图像的交点个数就是函数()f x 零点的个数。 6、选择题判断区间(),a b 上是否含有零点，只需满足()()0f a f b <。 Eg ：试判断方程在区间0122 4 =-+-x x x [0,2]内是否有实数解？并说明理由。
第9课时 函数概念、一次函数 复习教学目标 1、能根据具体问题中的数量关系和变化规律了解函数、一次函数的意义。能说出函数的三种表示方法、一次函数的基本性质，知道函数图象的画法。 2、能画简单的一次函数图象，并根据已知条件确定一次函数的表达式。 3、能运用类比思想比较函数、一次函数和正比例函数的异同点，初步体会数形结合思想，并能运用数形结合的方法解决有关实际问题，并尝试用函数的方法描述有关实际问题，对变量的变化规律进行初步预测。 复习教学过程设计 1、【唤醒】 一、填空 （1）写出下列函数中自变量x 的取值范围。21+=x y ，2+=x y ， 2 1+=x y 。 （2）已知1-y 与x 成正比例，且2-=x 时，4=y ，那么y 与x 之间的函数关系式为_________________。 （3）直线121+-=x y 与x 轴的交点坐标为（_______），与y 轴的交点坐标为（_______）。（4）根据下列一次函数y=kx+b(k ≠0)的草图回答出各图中k 、b 的符号： 二、选择 （1）下列函数中，表示一次函数的是 ( ) A 、232+=x y B 、)0(2≠-=k x k y C 、5 32--=x y D 、123-=x x y
（2）已知一次函数y=kx+b,y 随着x 的增大而减小,且kb<0,则在直角坐标系内它的大致图象是( ) 2、【尝试】 例1、已知一次函数的图象经过点)6,1(-A 、)2,1(B ，（1）求函数解析式；（2）画出函数图象；（3）函数的图象经过那些象限？（4）当x 增大时，y 的值如何？ 解略（答案：42+-=x y ，图略，图象经过一、二、四象限，y 随x 增大而减小） 例2、已知一次函数)3()2(n x m y --+= （1）当m 、n 取何值时，y 随x 的增大而增大？ （2）当m 、n 取何值时，直线与y 轴的交点在y 轴的下半轴？ （3）当m 、n 取何值时，直线经过一、二、四象限？ 分析：（1）一次函数)0(≠+=k b kx y 的性质：当0>k 时，y 随x 的增大而增大；（2）直线)0(≠+=k b kx y 与y 轴的交点坐标为),0(b ；（3）当0
第三章 函数的应用 1：函数的零点 【典例精析】 例题1 求下列函数的零点。 （1）y=32x 2-+x ；（2）y ＝（2 x －2）（2 x －3x ＋2）。 思路导航：判断函数零点与相应的方程根的关系，就是求与函数相对应的方程的根。 答案：（1）①当x≥0时，y=x 2 +2x －3，x 2 +2x －3=0得x=+1或x=－3（舍） ②当x ＜0时，y=x 2 －2x －3，x 2－2x －3=0得x=－1或x=3（舍） ∴函数y=x 2 +2|x|－3的零点是－1，1。 （2）由（2x －2）（2 x －3x ＋2）＝0，得（x ＋2）（x －2）（x －1）（x －2）＝0， ∴x 1＝－2，x 2＝2，x 3＝1，x 4＝2。 ∴函数y ＝（x 2 －2）（x 2 －3x ＋2）的零点为－2，2，1，2。 点评：函数的零点是一个实数，不是函数的图象与x 轴的交点，而是交点的横坐标。 例题2 方程|x 2－2x|=a 2+1 （a∈R + ）的解的个数是______________。 思路导航：根据a 为正数，得到a 2 +1＞1，然后作出y=|x 2 －2x|的图象如图所示，根据图象得到y=a 2 +1的图象与y=|x 2 －2x|的图象总有两个交点，得到方程有两解。 ∵a∈R + ∴a 2 +1＞1。而y=|x 2 －2x|的图象如图， ∴y=|x 2 －2x|的图象与y=a 2 +1的图象总有两个交点。 ∴方程有两解。 答案：2个 点评：考查学生灵活运用函数的图象与性质解决实际问题，会根据图象的交点的个数判断方程解的个数。做题时注意利用数形结合的思想方法。 例题3 若函数f （x ）＝ax ＋b 有一个零点为2，则g （x ）＝bx 2 －ax 的零点是（ ） A. 0，2 B. 0，12 C. 0，－12 D. 2，－1 2 思路导航：由f （2）＝2a ＋b ＝0，得b ＝－2a ，∴g （x ）＝－2ax 2－ax ＝－ax （2x ＋1）。令g （x ）＝0，得x 1＝0，x 2＝－1 2 ，故选C 。 答案：C 【总结提升】 1. 函数y =f （x ）的零点就是方程f （x ）=0的根，因此，求函数的零点问题通常可转化为求相应的方程的根的问题。 2. 函数与方程二者密不可分，二者可以相互转化，如函数解析式y ＝f （x ）可以看作方程y －f （x ）＝0，函数有意义则方程有解，方程有解，则函数有意义，函数与方程体现了
3．1．1实数指数幂及其运算 【学习要点】1根式、分数指数幂的概念. 2分数指数的运算性质． 【学习要求】1理解根式和分数指数幂的概念及它们的运算性质．了解实数指数幂的意义。 2 会进行简单的运算。 【复习引入】 1 、相同因数相乘 个 n a aaa ???记作n a ，读作 ，a 叫做幂的 ， n 叫做幂的 。其中n 是正整数。 2、 正整数指数幂的性质：（1） （2） （3） （3） 【概念探究】阅读教材85页到88页例1，完成下列各题。 1、 指数概念的扩充：n a 中的n 可以扩展为整数。整数指数幂的性质为：（1） （2） （3） 。 2 、0a = ，n a -= 3、零指数幂和负整数指数幂都要求 。 4、 如果存在实数x ，使得(,1,)n x a a R n n N +=∈>∈，则x 叫作 。求a 的n 次方根，叫作把a 开n 次方，称作 。 5、规定正分数指数幂的定义是：（1） （2） 。 规定负分数指数幂的定义是： 。 规定0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂和0次幂 。规定了分数指数幂以后，指数的概念也就从整数指数扩展到了 指数。 6 、有理指数幂的运算性质有：（1） （2） （3） 。 完成教材89页1题 【例题解析】 例题1计算下列各式，并把结果化为只含正整数指数的形式（式子中的,0a b ≠） （1） 3221 2 3 (3) 9a b a b a b ------= （2）343 20 ()()[ ]()() a b a b a b a b --+--+(0,0)a b a b +≠-≠ 例题2化简下列各式 （1 2（2 3）102 0.5 2 3 1(2)2 (2 ) (0.01) 5 4 - -+?- 小结：化简，注意体会指数的运算性质。 例3： 化简：3 3 2 b a a b b a 练习：（1 【补充练习】 1、 化简，注意体会指数的运算性质： （1）2 2 2 5 2 4 3 2 ()()()a b a b a b --÷ （2）34 0.1 0.01 -- 3、 求值，注意体会分数指数幂与根式的转换： （1） 2 1.53(0.027)-； （2 ； （3 完成教材89页2题
人教版高中数学必修一第三章《函数概念与性质》解答题1.设函数y=ax2+(b?2)x+3． (1)若不等式y>0的解集为{x|?1
(2)当m>?2时，解不等式f(x)≥m； (3)若不等式f(x)≥0的解集为D，且[?1,1]?D，求m的取值范围． 4.已知函数f(x)=ax2?(a+2)x+2,a∈R． (1)当a>0时，求不等式f(x)≥0的解集； +1有2个不同的正实根，求实数a的取值范围． (2)若存在m>0使关于x的方程f(x)=m+1 m 5.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c． (1)若方程f(x)=0两个根之和为4，两根之积为3，且过点(2,?1).求f(x)≤0的解集； (2)若关于x的不等式f(x)>0的解集为(?2,1)． (ⅰ)求解关于x的不等式cx2+bx+a>0;
,(x<1)，求函数g(x)的最大值． (ⅰ)设函数g(x)=b(x2+1)?c a(x?1) 6.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c． (1)若方程f(x)=0两个根之和为4，两根之积为3，且过点(2,?1).求f(x)≤0的解集； (2)若关于x的不等式f(x)>0的解集为(?2,1)． (ⅰ)求解关于x的不等式cx2+bx+a>0; ,(x<1)，求函数g(x)的最大值． (ⅰ)设函数g(x)=b(x2+1)?c a(x?1) 7.某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业 )结构，调整出x(x∈N?)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10(a?3x 500万元(a>0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%． (1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出 多少名员工从事第三产业？ (2)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求
高中数学必修一第三章函数的应用知识点总结（详细） 第三章函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数y=f(x),使f(x)=0 的实数x叫做函数的零点。（实质上是函数y=f(x)与x轴交点的横坐标） 2、函数零点的意义：方程f(x)=0 有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数y=f(x)有零点 3、零点定理：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的，并且有f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间（a,b）至少有一个零点c，使得f( c)=0,此时c也是方程f(x)=0 的根。 4、函数零点的求法：求函数y=f(x)的零点： （1）（代数法）求方程f(x)=0 的实数根； （2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 5、二次函数的零点：二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)． 1）△＞0，方程f(x)=0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点． 2）△＝0，方程f(x)=0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点． 3）△＜0，方程f(x)=0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点． 二、二分法 1、概念：对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法。 2、用二分法求方程近似解的步骤: ⑴确定区间[a,b],验证f(a)f(b)<0，给定精确度ε； ⑵求区间(a,b)的中点c;
课题§3.1 函数的概念（1） 【教学目标】1. 培养从图表中获得函数关系的能力，明确自变量、因变量； 2. 理解函数的“集合式”定义及符号表达； 3. 理解函数的定义域和值域 . 【教学重点】函数的概念：对应法则、定义域和值域 【教学难点】从集合的观点对函数概念的理解。 【教学过程】 一、引入 同学们，我们生活的这个世界，有各种各样的事物，而每个事物间又是相互联系、相互依赖的。如：随着时间的变化，太阳东升日落，气温也在悄悄变化，我国的国民生产总值在不断增长等等。试问：我们如何刻画这些变化着的现象？怎样找到这些现象中变量之间的关系？ 二、探究活动 在现实生活中，我们会遇到下列问题： 1． ⑴上午8时的气温约是多少？图中的A点表示了什么信息？ ⑵请指出这一天气温相同的两对时间点。 ⑶这一天的最高气温是多少？最低气温是多少？分别在几时？ ⑷图3-1表示了该城市什么时间段的气温变化情况？这一天的温差是多少？气温从最低上升到最高经过了多长时间？ ⑸这段时间段内气温在上升？哪些时间段内气温在下降？ ＃对任一时刻t ，都有惟一的温度θ与之对应。 2．（书P39）问题解决 上述三个问题中，都反映出两个变量之间的关系，当一个变量的取值确定后，另一个变量的值也随之惟一确定。
回忆初中学习的函数的概念？（书P39页脚） 考察上述函数关系，回答下列问题： ⑴各个函数关系中自变量取值的集合分别是什么？其中有空集？ ● 每个问题均涉及两个非空数集A ，B 。 ⑵各个函数关系中对于自变量的每一个取值，按什么规则找到唯一的因变量值与之对应？ ● 存在某种对应法则，对于A 中任意元素x ，B 中总有一个元素y 与之对应。 〖单值对应〗 对于A 中的任一个元素x ，B 中有惟一的元素y 与之对应。 或一个输入值对应到惟一的输出值。 【练习1】 1． 问题1中的对应t →θ，是否为单值对应？ θ→t 是否为单值对应？ 2． 完成教材第39页练习，这些对应是单值对应吗？ 3． 完成教材第40页例题1，这些对应是单值对应吗？ 〖总结1〗单值对应为一对一，多对一，而不能一对多。 〖函数的概念〗 ⑴ 设A 、B 是一个非空的数集，如果对于集合A 中的任何一个元素x ， 按照某个确定的法则f ，在B 中都有惟一确定的元素y 与它对应，那么这种对应关系f 就称为从A 到B 的函数，记为y=f （x ）,其中x 为自变量，y 为因变量。 函数y=f （x ）也可简记为f （x ）。函数y=f （x ）在x=a 时的函数值记作f （a ）。 问题2 问题1
第三章函数的概念与性质单元测试题 1．函数f (x )＝x －1 x －2的定义域为( ) A ．(1，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．[1，2) D ．[1，2)∪(2，＋∞) 解析：选D.根据题意有???? ?x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥1且x ≠2. 2．函数y ＝x 2＋1的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(0，＋∞) D ．(1，＋∞) 解析：选B.由题意知，函数y ＝x 2＋1的定义域为x ∈R ，则x 2＋1≥1，所以y ≥1. 3．已知f ? ???? x 2－1＝2x ＋3，则f (6)的值为( ) A ．15 B ．7 C ．31 D ．17 解析：选C.令x 2－1＝t ，则x ＝2t ＋2. 将x ＝2t ＋2代入f ? ???? x 2－1＝2x ＋3， 得f (t )＝2(2t ＋2)＋3＝4t ＋7. 所以f (x )＝4x ＋7，所以f (6)＝4×6＋7＝31. 4．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1是定义在[－1－a ，2a ]上的偶函数，则该函数的最大值为( ) A ．5 B ．4
C ．3 D ．2 解析：选A.因为函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1是定义在[－1－a ，2a ]上的偶函数，所以－1－a ＋2a ＝0，所以a ＝1，所以函数的定义域为[－2，2]．因为函数图象的对称轴为x ＝0，所以b ＝0，所以f (x )＝x 2＋1，所以x ＝±2时函数取得最大值，最大值为5. 5．已知函数f (x )＝? ????1－x 2 ，x ≤1，x 2－x －3，x >1，则f ? ???? 1f （3）的值为( ) A.15 16 B ．－2716 C.89 D ．18 解析：选C.由题意得f (3)＝32 －3－3＝3，那么1f （3）＝13，所以f ? ????1f （3）＝f ? ?? ??13＝1－? ????132＝8 9. 6．已知函数y ＝f (2x )＋2x 是偶函数，且f (2)＝1，则f (－2)＝( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 解析：设g (x )＝y ＝f (2x )＋2x ，∵函数y ＝f (2x )＋2x 是偶函数，∴g (－x )＝f (－2x )－2x ＝g (x )＝f (2x )＋2x ，即f (－2x )＝f (2x )＋4x ，当x ＝1时，f (－2)＝f (2)＋4＝1＋4＝5，故选A. 7．已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递增，则不等式f (x )>f (2x －3)的解集是( ) A ．(－∞，3) B ．(3，＋∞) C ．(0,3) D.? ?? ?? 32 ，3 解析：本题考查函数的单调性．因为函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )>f (2x －3)?x >2x －3>0，解得3 2 第三章——函数 本章知识网络 高中数学有哪些章节 函数与数列的关系 函数与解析几何的关系 函数与各个章节的关系，在高中阶段的地位 函数一、函数的概念 基础练习 1、下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A 、2 x y =与3 3 x y = B 、1 1 2--=x x y 与1+=x y C 、x y -=1与()2 1-= x y D 、2 lg x y =与x y lg 2= 2、函数()()???≥--<+=) 1(14) 1(12x x x x x f 则使得1)(≥x f 的自变量取值范围为( ) A 、]([]10,02, -∞- B 、]([]1,02, -∞- C 、][](10,12, -∞- D 、[][]10,10,2 - 3、若函数)(x f y =的定义域是[]4,2-，则函数F ())()(x f x f x -+=的定义域是( ) A []4,4- B []4,2 C []2,2- D []2,4-- 4、甲乙两地相距2400公里，若火车以每个小时120公里的速度由甲地匀速直线驶向乙地，那么火车离乙地的距离S 5、函数?? ?≤≤-≤≤-=) 21(1) 11(2)(2 x x x x x f 的值域是 。 6、若函数)(x f y =的图像如图所示，则??? ?????? ? ?-21f f ＝ 。 （有图） 1、 定义 2、 函数的概念有哪些 3、 函数的定义域 1）有解析式函数的定义域 主要有三种类型： 例1、1）x x x y -++-=1123 2）51 log 5.0+-=x x y 3）x x y tan log 25.0++= 例2、已知函数()3 1 323 -+-=ax ax x x f 的定义域是R ，则实数a 的取值范围是 . 2）抽象函数定义域 例3、已知()1x f y +=的定义域[]2,0，则()2x f 2-的定义域为 . 总结：求抽象函数定义域的关键点在于什么，步骤是什么？ 4、 函数的值域 1）有函数解析试的函数值域有几种方法，代表题型有哪些 例4、求函数]2,2[,322 -∈++=x x x y 的值域。 第三章 基本初等函数 第一讲 幂函数 1、幂函数的定义 一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数. 如112 3 4 ,,y x y x y x - ===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 注意： y x α=中，前面的系数为1，且没有常数项 2、幂函数的图像 （1）y x = （2）12 y x = （3）2y x = （4）1y x -= （5）3 y x = y x = 2 y x = 3 y x = 12 y x = 1y x -= 定义域 R R R {}|0x x ≥ {}|0x x ≠ 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 在第Ⅰ象限单调增减性 在 第Ⅰ象限单调递增 在 第Ⅰ象限单调递增 在 第Ⅰ象限单调递增 在 第Ⅰ象限单调递增 在 第Ⅰ象限单调递减 定点 （1，1） （1，1） （1，1） （1，1） （1，1） 3（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：11x =）； （2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸； （3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 第二讲 指数函数 1、指数 （1）n 次方根的定义 若x n =a ，则称x 为a 的n 次方根，“n ”是方根的记号. 在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根. （2）方根的性质 ①当n 为奇数时，n n a =a . ②当n 为偶数时，n n a =|a |=?? ?<-≥). 0(), 0(a a a a （3）分数指数幂的意义 ①a n m =n m a （a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）. ②a n m - = n m a 1= n m a 1 （a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）. 2、指数函数的定义 一般地，函数x y a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R . 说明： 因为a ＞0，x 是任意一个实数时，x a 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R . 第三章函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数y = /(x)(xeD),把使/(x) = 0成立的实数无叫做函数y = f(x)(xeD)的零点。 2、函数零点的意义：函数y = /(x)的零点就是方程/(x) = 0实数根，亦即函数y = /(x)的图象与 兀轴交点的横坐标。 即：方程/(%) = 0有实数根o函数y = /(x)的图象与兀轴有交点o函数y = /(x) 有零点. 3、函数零点的求法： ①(代数法)求方程f(x) = 0的实数根； ? (几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y = /(x)的图象联系起來, 并利用函数的性质找出零点. 4、基本初等函数的零点： ①正比例函数y = kx(k 0)仅有一个零点。 ②反比例函数y =-伙H 0)没有零点。 x ③一次函数y = 伙工0)仅有一个零点。 ④二次函数y = ax2 + bx^- c(a H 0). (1)A> 0 ,方程ax2+bx+c = 0(a^0)有两不等实根，二次函数的图象与兀轴有两个交点，二次 函数有两个零点. (2)A=0,方程加+C =0(QH0)有两相等实根，二次函数的图象与兀轴有一个交点，二次函数 有一个二重零点或二阶零点. (3)A<0,方程a^+fex+c = 0(dH0)无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点. ⑤指数函数y = a x(a > 0,且o h 1)没有零点。 ⑥对数函数歹=log“ x(a > 0,且a工1)仅有一个零点1. ⑦幕函数丁 =屮，当〃>0时，仅有一个零点0,当〃50时，没有零点。 5、非基本初等函数(不可直接求出零点的较复杂的函数)，函数先把/(兀)转化成/(x) = 0,再把 复杂的函数拆分成两个我们常见的函数)［,儿(基本初等函数)，这另个函数图像的交点个数就是函数/ (兀)零点的个数。 6、选择题判断区间(a,b)上是否含有零点，只需满足/(a)/(b)<0。 试判断方程X4-X2+2X-1= 0在区间［0, 2］内是否有实数解？并说明理由。 第三章习题详解 1． 沿下列路线计算积分 ? +i dz z 30 2。 1) 自原点至i +3的直线段； 解：连接自原点至i +3的直线段的参数方程为：()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3 ()()()?? +=??????+=+=+1 3 1 0332330 233 13313i t i dt t i dz z i 2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i +3； 解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：t z = 10≤≤t dt dz = 33 033 2 3 2 33 131=??? ???== ? ? t dt t dz z 连接自3铅直向上至i +3的参数方程为：it z +=3 10≤≤t idt dz = ()()()33 1 031 02 33 233133 13313-+=??????+=+=?? +i it idt it dz z i ()()()3 3331 02 3 0230233 133********i i idt it dt t dz z i +=-++= ++= ∴??? + 3) 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至i +3。 解：连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为：it z = 10≤≤t idt dz = ()()31 031 2 02 3 131i it idt it dz z i =??????==?? 连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为：i t z += 10≤≤t dt dz = ()()()33 1 031 02323113 131i i i t dt i t dz z i i -+=??????+=+=?? + ()()3 333320 230 213 13113131i i i i dz z dz z dz z i i i i +=-++= += ∴? ? ? ++ 2． 分别沿x y =与2 x y =算出积分 ()?++i dz iy x 10 2 的值。 解：x y =Θ ix x iy x +=+∴2 2 ()dx i dz +=∴1 ()()()()()??? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ ?? +i i x i x i dx ix x i dz iy x i 213112131111 0231 0210 2 2 x y =Θ ()2 2 2 2 1x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴ ()()()()()? ???? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ +1 1 043210 2 2131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy x i 而()i i i i i 656121213 1 3121311+-=-++=??? ??++ 新课标人教版数学B ·必修（1） 第三章基本初等函数(Ⅰ) 3．1指数与指数函数 3．1．1有理指数幂及其运算 教学目标：根式、分数指数幂的概念以及利用分数指数的运算性质进行指数的运算． 教学重点：分数指数幂的概念和分数指数的运算性质．本小节的难点是根式的概念和分数指数幂的概念．关键是理解分数指数幂和根式的意义． 教学过程： （1）指数概念的扩充：指数的概念是由乘方概念推广而来的。相同因数相乘 个 n a aaa ???=n a 导出乘方，这里的n 为正整数。从复习初中内容开始，首先将n 推广为全体整数；然后把乘方、开方统一起来，推广为有理指数；最后，在实数范围内建立起指数概念. （2）分数指数幂是根式的另一种表示，根式的运算可利用分数指数幂与根式之间的关系转化为分数指数幂的运算．对于问题计算化简的结果，不强求统一用何种形式来表示．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． （3）随着指数范围的扩充，幂的运算性质逐步合并且简化．正整数指数幂的运算性质如下： ①； ②； ③； ④ ； ⑤ ． 当指数的范围扩大到整数集之后，幂的运算性质可由5条合并为3条，即： ①； ②； ③ ． 这3条性质都要遵守零指数幂、负整数指数幂的底数不能等于0的规定． 当指数的范围扩充到有理数集 以至实数集 后，幂的运算性质仍然是上述3条，但 要遵守负实数指数幂的底数不能等于0的规定． （4）例1:先化简再用计算机求值 （1）4 .12 13.2)549(+- （2）11(2 2--+-+m m m m （其中3.8=m ） 例2：已知：22 12 1=+-a a 求下列各式的值 （1）2 2 -+a a ；（2）3 3 -+a a ；（3）4 4-+a a . 例3：化简： 332b a a b b a 课堂练习：第97页练习A,练习B 小结：本节学习了根式、分数指数幂的概念以及利用分数指数的运算性质进行指数的运算． 课后作业：第100页习题3-1A 第1题 3．1．2指数函数（1） 教学目标：1.使学生掌握指数函数的概念,图象和性质. (1)能根据定义判断形如什么样的函数是指数函数,了解对底数的限制条件的合理性,明确指数函数的定义域. (2)能在基本性质的指导下,用列表描点法画出指数函数的图象,能从数形两方面认识指数函数的性质. 2. 通过对指数函数的概念图象性质的学习,培养学生观察,分析归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法. 教学重点：指数函数的图象、性质。指数函数的图象性质与底数a 的关系 教学过程： （1）通过问题：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……1个这样的细胞分裂x 次后，得到的细胞个数y 与x 的函数关系式是y =2x 引出指数函数的概念：一般地，函数y=a x (a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是R. （2）指数函数的图像和性质： ① 通过描点画函数图像： 首先我们来画y=2x 的图象。 再来研究0 高一数学必修一第三章测试题及答案：函数的应用 数学在科学发展和现代生活生产中的应用非常广泛，小编准备了高一数学必修一第三章测试题及答案，具体请看以下内容。 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.设U=r，A={x|x0}，b={x|x1}，则AUb=() A{x|01} b.{x|0 c.{x|x0}D.{x|x1} 【解析】Ub={x|x1}，AUb={x|0 【答案】b 2.若函数y=f(x)是函数y=ax(a0，且a1)的反函数，且f(2)=1，则f(x)=() A.log2xb.12x c.log12xD.2x-2 【解析】f(x)=logax，∵f(2)=1， loga2=1，a=2. f(x)=log2x，故选A. 【答案】A 3.下列函数中，与函数y=1x有相同定义域的是() A.f(x)=lnxb.f(x)=1x 页 1 第 c.f(x)=|x|D.f(x)=ex 【解析】∵y=1x的定义域为(0，+).故选A. 【答案】A 4.已知函数f(x)满足：当x4时，f(x)=12x;当x4时，f(x)=f(x+1).则f(3)=() A.18b.8 c.116D.16 【解析】f(3)=f(4)=(12)4=116. 【答案】c 5.函数y=-x2+8x-16在区间[3,5]上() A.没有零点b.有一个零点 c.有两个零点D.有无数个零点 【解析】∵y=-x2+8x-16=-(x-4)2， 函数在[3,5]上只有一个零点4. 【答案】b 6.函数y=log12(x2+6x+13)的值域是() A.rb.[8，+) c.(-，-2]D.[-3，+) §3.1 习题课课时目标 1.进一步了解函数的零点与方程根的联系.2.进一步熟悉用“二分法”求方程的近似解.3. 初步建立用函数与方程思想解决问题的思维方式． 1．函数f (x )在区间(0,2)内有零点，则( ) A ．f (0)>0，f (2)<0 B ．f (0)·f (2)<0 C ．在区间(0,2)内，存在x 1，x 2使f (x 1)·f (x 2)<0 D ．以上说法都不正确 2．函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图象与两条坐标轴共有两个交点，那么函数y ＝f (x )的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．1或2 3．设函数f (x )＝log 3－a 在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是( ) x ＋2x A ．(－1，－log 32) B ．(0，log 32) C ．(log 32,1) D ．(1，log 34) 4．方程2x －x －2＝0在实数范围内的解的个数是 ________________________________． 5．函数y ＝()x 与函数y ＝lg x 的图象的交点的横坐标是________．(精确到120.1) 6．方程4x 2－6x －1＝0位于区间(－1,2)内的解有__________ 个． 一、选择题 1．已知某函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)有零点的区间大致是( ) A．(0,0.5) B．(0.5,1) C．(1,1.5) D．(1.5,2) 2．函数f(x)＝x5－x－1的一个零点所在的区间可能是( ) A．[0,1]B．[1,2] C．[2,3]D．[3,4] 3．若x0是方程lg x＋x＝2的解，则x0属于区间( ) A．(0,1) B．(1,1.25) C．(1.25,1.75) D．(1.75,2) 4．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( ) A．[－2,1]B．[－1,0] C．[0,1]D．[1,2] 5．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(a 3.1函数的概念及其表示法习题 练习3.1.1 1、求y=3x-1的定义域： 2、指出下列各函数中，哪个与函数y x =是同一个函数： （1） 2 x y x =；（2 ）y；（3）s t=． 3、已知f(x)=3x+6,求f(0)、f(2)、f(-2)。 参考答案： 1、R 2、（3） 3、6、12、0 练习3.1.2 1、利用“描点法”作出函数x y=的图像，并判断点（16，4）是否为图像上的点 2、市场上苹果的价格是8元／kg ，应付款额y是购买苹果数量x的函数．请写出其解析法。 3、市场上中性笔的价格是2元／只，应付款额y是购买中性笔数量x的函数．请写出其解析法。 参考答案： 1、作图略，在。 2、y=8x,(x为正整数) 3、y=2x(x为正整数) 3.2函数的性质习题 练习3.2.1 1、判断函数y=-2x+3的单调性． 2 3、判断函数 y=8X+3的单调性． 参考答案： 2、左增、右减 练习3.2.2 1、判断y=8X+3的奇偶性： 2、判断y=4X 的奇偶性 3、判断y=X 2 的奇偶性 参考答案： 1、非奇非偶函数 2、奇函数 3、偶函数 3.3函数的实际应用举例习题 练习3.3 1、．求()221, 20,1, 0 3.x x y f x x x +-??的定义域； 3、求函数() 1.6,010,2.812,10.x x y f x x x ? 的定义域； 4、作出函数()1,0,1, 0x x y f x x x -? 作出函数的图像 参考答案： 1、-2<=x<=3 2、R 3、x>=0 4、略 5、略 6、略 （注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。） 3.3 幂函数 教研中心 教学指导 一、课标要求 1.通过实例，了解幂函数的概念,使学生体会到数学在实际生活中的应用,激发学生的学习兴趣. 2.结合函数y=x ，y=x 2，y=x 3，y=x 1，y=x 21 的图象，发现并理解幂函数的性质,培养学生抽象概括和识图的能力,使学生进一步体会数形结合思想. 3.利用计算机,了解幂函数的图象变化规律,使学生认识到现代技术在数学认知过程中的作用,从而激发学生的学习欲望. 二、教学建议 重点难点突破 本节主要介绍幂函数的定义以及它的图象与性质.前面已经学习了指数函数与对数函数，故可依照前两种函数的研究方法来研究幂函数. 本节知识的重点是从具体幂函数归纳认识幂函数的一些性质并作简单应用；难点是引导学生概括出幂函数性质.加深对研究函数性质的基本方法和流程的经验.培养观察、分析、归纳能力，了解类比法在研究问题中的作用. 幂函数的定义来自于实践，它同指数函数、对数函数一样，也是基本初等函数.教材中给出 的“一般地，形如y=x α（α∈R ）的函数称为幂函数(power function)，其中x 是自变量， α是常数.其特征是以幂的底为自变量，指数为常数.”只是对幂函数的描述性说明,而对函数的研究都是通过函数的图象来研究它的性质. 掌握幂函数的图象特征，有利于进一步理解和应用幂函数的性质；但想掌握好幂函数的概念及其图象和性质，需理解并利用好函数的单调性和奇偶性及互为反函数等函数的性质及图象特点来分析幂函数的图象和性质.其中幂函数的单调性是幂函数性质中应用最广的，运用此性质可以比较两同指数不同底的幂的大小及求与幂函数有关的一般函数的值域、单调区间等；进一步加强和健全两个幂的大小比较的思路和方法. 资源参考 数学史话 幂的概念的形成 数学概念及数学符号是在交流传播中不断改进的，有的甚至还经历过戏剧性的变化. 我们知道，求n 个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂.在数学史上，幂的概念的形成是相当曲折和缓慢的. 我国古代的幂字有10种不同的写法，最简单的是“冖”.“冖”的含义是指用来覆盖食物的方巾，用一块方巾盖东西，四角下垂，就成“冖”的形状.将这个意义加以引申，凡是方形的东西也可以叫做幂.再进一步推广，矩形的面积或两数的积（特别是一个数自乘的结果）也叫做幂，这种推广是从刘徽开始的. 刘徽在公元263年为古书《九章算术》作注，在《方田》章求矩形面积法则,下面写道：“此积谓田幂.”他还说，长和宽的积叫幂.这是幂字第一次出现在数学文献中.在《勾股》章中，刘徽表述勾股定理为“勾股幂合以成弦幂”.这里幂是指边自乘的结果或正方形的面积. 300多年后，李淳风重注《九章算术》时，不同意刘徽这样使用幂字.到了明朝，有些数学书中完全不使用幂字.第三章：函数
基本初等函数(3)
高一数学必修一第三章函数的应用知识点总结.docx
复变函数习题答案第3章习题详解
新课标人教版数学B教案·必修第三章基本初等函数(Ⅰ)
高一数学必修一第三章测试题及答案函数的应用 教学文档
高中数学(人教版A版必修一)配套课时作业：第三章 函数的应用 3.1习题课 pdf版含解析
职高数学第三章函数习题集及答案
高中数学 第三章 基本初等函数(Ⅰ)3.3 幂函数教研素材 新人教B版必修1
相关主题
文本预览