第三章——函数
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高中数学有哪些章节
函数与数列的关系
函数与解析几何的关系
函数与各个章节的关系，在高中阶段的地位
函数一、函数的概念
基础练习
1、下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A 、2
x y =与3
3
x y = B 、1
1
2--=x x y 与1+=x y
C 、x y -=1与()2
1-=
x y D 、2
lg x y =与x y lg 2=
2、函数()()???≥--<+=)
1(14)
1(12x x x x x f 则使得1)(≥x f 的自变量取值范围为( )
A 、]([]10,02, -∞-
B 、]([]1,02, -∞-
C 、][](10,12, -∞-
D 、[][]10,10,2 - 3、若函数)(x f y =的定义域是[]4,2-，则函数F ())()(x f x f x -+=的定义域是( ) A []4,4- B []4,2 C []2,2- D []2,4--
4、甲乙两地相距2400公里，若火车以每个小时120公里的速度由甲地匀速直线驶向乙地，那么火车离乙地的距离S
5、函数??
?≤≤-≤≤-=)
21(1)
11(2)(2
x x x x x f 的值域是 。 6、若函数)(x f y =的图像如图所示，则???
?????? ?
?-21f f ＝ 。
（有图）
1、 定义
2、 函数的概念有哪些
3、 函数的定义域
1）有解析式函数的定义域 主要有三种类型：
例1、1）x
x x y -++-=1123 2）51
log 5.0+-=x x y 3）x x y tan log 25.0++=
例2、已知函数()3
1
323
-+-=ax ax x x f 的定义域是R ，则实数a 的取值范围是 .
2）抽象函数定义域
例3、已知()1x f y +=的定义域[]2,0，则()2x f 2-的定义域为 . 总结：求抽象函数定义域的关键点在于什么，步骤是什么？
4、 函数的值域
1）有函数解析试的函数值域有几种方法，代表题型有哪些
例4、求函数]2,2[,322
-∈++=x x x y 的值域。
例5、求函数),3[,1
1
+∞∈-+=x x x y 的值域。
例6、求函数1
cos 2
sin +-=x x y 的值域。
例7、求函数2
21
2++-=x x x y 的值域。
例8、求函数x x y 2323-+-=的值域。
例9、求函数]2,0[,239
∈+=x y x
x 的值域。
例10、求函数x x y 2323---=的值域。
例11、求函数x x y -+=1的值域。
例12、求函数1
21
2+-=x x y 的值域。
2）抽象函数的值域
例13、函数)(x f y =的值域为]4,1[-，则函数1)12(3+-=x f y 的值域为 。
例14、函数)(344)1(2R x x x x f ∈++=+，那么函数)(x f 的最小值是 。
5、 函数的解析式
主要有几种方法，代表题型有哪些
例15、()c bx ax x f 2++=，若()00f =，且()()1x x f 1x f ++=+，则()=x f 。
例16、()5312+=-x x f ，则()x f 的解析式为 。
例17、已知函数1)2(2
-=+x x f ，求)21(x f -。
例18、已知x
x x
x x x f cos sin cos sin )cos (sin ?+=+，求函数)(x f 。
例19、（1）已知221)1(x x x x f +=+
，求)(x f ；（2）已知221)1(x x x x f +=-，求)(x f ； （3）已知33
1)1(x
x x x f -=-，求)(x f 。
例20、（1）已知x x
f x f =-)1(2)(，求)(x f ；（2）已知x x x f x f +=--2)(2)(，求)(x f
例21、已知)2
,0(,11cos )(cos π
∈=x x x f ，求)(sin x f
例22、我们知道，对数函数x x f a log )(=具有性质：)()1(x f x
f -=。试另外举出一个函数)(x
g ，也满足
)()1
(x g x
g -=，且它的定义域必须包含（0，+∞）。
6、 函数的运算
例23、函数()x x f -=1，()x x x g +-=1，则()()=+x g x f 。
例24、设()x x f =，()x
2
x g =
，()()()x g x f x P +=，()()()x g x f x Q -=，求()x P 、)(x Q 并做图像。
7、 函数的建立 建立函数的步骤：
例25、新世纪花园要建造一个直径为16米的圆形喷水池（如图）。计划在池的周边靠近水面的位置安装一个喷水头，要求喷出的水柱在离池中心3米的地方达到最高，高度为4米，还要在水池中心的上方设计一个装饰物，使各方向喷头的水柱在此处汇合。问这个装饰物高度如何设计？
例26、小明、小强和小红的爸爸每月工资分别为1500、2500、3500元。问他们应缴纳多少个人所得税： 1.个人每月的工资薪水收入x 中，800元为免税收入，其余部分为应纳税收入 2税率按应纳税收入额规定如下表：
应纳税收入额（元）
税率（%）
[)500,0
5 [)2000,500 10 [)5000,2000
15 [)20000,5000
20
例27、对于平面上任一点P ，当点Q 在线段AB 上运动时，称Q P 的最小值为P 到线段AB 的距离。已知平面直角坐标系中的线段AB ，其中两端点为)2,1(-A 、)1,4(B ，点P 在x 轴上运动，写出点)0,(t P 到线段AB 的距离h 关于t 的函数解析式。
8、 函数相等
函数相等的条件是：
例28、在①()x x f =，()()2
x x g =
②()x x f =，()2x x g =
③()1=x f ，()0x x g =④()()()
??
?∈--∈+=1,0,10,1,1x x x x x f ，()()x f x g 1-=；这四组函数中，表示同一函数的组数是 。
9、 反函数
1、已知如下命题：①函数)(x f y =存在反函数的充要条件是)(x f y =在定义域上单调；②函数)(x f y =与其反函数1-=f y ()x 的图像成轴对称图形；
③递减函数的反函数不一定是递减函数；④函数)(x f y =与其反函数1-=f y ()x 的图像不可能重合。其中正确命题的个数是（ ）
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3 2、下列函数中，有反函数的是（ ）
A 、532
++=x y B 、2123
+-=x y C 、11
2+=x y D 、()()
???<≥-=03032x x x x y
（1） 定义
（2） 性质
① 如果)(x f y =有反函数，那么函数中y x ,必须是 ，它的图像 ； ② 可知，如果)(x f y =有反函数，那么函数)(x f y =与)(1
x f y -=，
互为反函数，)(x f y =的定义域是)(1
x f y -=的值域，)(x f y =的值域是)(1
x f y -=的定义域；
③ )(x f y =与)(1
y f
x -=图像 ，与)(1x f y -=的图像 ；
④ )(x f y =图像过点),(b a ，则)(1
x f y -=的图像过点 ；
⑤
=-)]([1x f f ，=-)]([1x f f ；
⑥ 如果)(x f y =是奇函数，则)(1
x f y -=是 ，反之亦然；如果)(x f y =是递增（减）函数，则
)(1x f y -=是 ，反之亦然；
⑦ 在定义域上单调的函数一定有反函数，有反函数的函数不一定是单调函数。
（3） 求反函数的步骤：
例29、函数)2
1
(2413-≠∈++=x R x x x y 且的反函数是 。
例30、求函数3
x y =的反函数，并在同一坐标系作出原函数与反函数的图像。
例31、函数5x 4x y 2+-=()()1,x ∞-∈，则其反函数()=-x f 1 .
例32、（1）若函数)(x f 的反函数为)0()(21
>=-x x x f
，则=)4(f ；
（2）若函数2
)(+=x x
x f ，则=-)3
1
(1f 。
例33、（1）若()x f 图像过点()2,1，则其反函数)(1
x f -必经过点 ；
（2）若()x f 图像过点()1,0，则()2+x f 的反函数图像必过点 ，()21
+-x f 得图像必过点 。
例34、设)01(11)(2≤≤---=x x x f ，则)(1
x f
y -=的图像是 。
例35、直线2ax y +=与直线b x 3y -=关于x y =对称，那么 （ ）
（A ）3
1
a =，6
b =
（B ）3
1
a =，6
b -= （C ）3a =，2b -= （D ）3a =，6b =
例36、函数2
x
x e e y --=的反函数（ ）
A 、是奇函数，它在),0(+∞上是减函数
B 、是偶函数，它在),0(+∞上是减函数
C 、是奇函数，它在),0(+∞上是增函数
D 、是偶函数，它在),0(+∞上是增函数
例37、函数()0)(>+=x x
a
x x f 在区间[)+∞,2上存在反函数，则实数a 的取值范围是 。
例38、已知x x x f 32)3
(+=，求)3(1x f -，提供如下一种解法：“由已知x x x f 32)3(+=，设3
x t =得2
3)(1
-=
-t t f
，将3x t =带回，所以2
3)3(1-=-x x f ”上述解法是否正确，为什么？
例39、设函数)(x f 对任何实数y x ,都有)()()(y f x f y x f +=+，求证：（1）0)0(=f ；（2）)(2)2(x f x f =。
例40、设)(x f 为定义在R 上的偶函数，当1-≤x 时，)(x f y =的图像是经过点)0,2(-，斜率为1的射线，又在)(x f y =的图像中有一部分是顶点在)2,0(，且过点)1,1(-的一段抛物线，试写出函数)(x f y =的表达式，并作出其图像。
10、最值
求最值的几种方法：
例41、已知410≤ -1 的最小值为 。 例42、求函数)2 3 )()(cos (sin >++=a a x a x y 的最小值。 例43、求1)2(4)(22+-++= x x x f 的最小值。 例44、已知x>0，y>0，且2x ＋5y ＝20，则xy 的最大值是 。 例45、已知R b a ∈,，且102 2 =+b a ，则b a +的范围是 。 例46、若1>a ，则1 1 -+ a a 的最小值为 。 例47、设x 、y 是关于m 的方程0622 =++-a am m 的两个实根，则22)1()1(-+-y x 的最小值是 。 例48、对于每个实数x ，设)(x f 为2+x ，14+x ，x 24-三个函数中的最小值，求)(x f 的最大值。 11、恒成立与有解 一般分为方程有解和不等式恒成立（解集为R ）、不等式有解（解集不空）这几种情况。 方法：可以根据函数性质确定，也可以先分离参数，再求值域的方法确定。在定义域不是R 的时候，分离参数的方法更有效。 例49、（1）已知方程022 =+-a x x 有解，求实数a 的取值范围；（2）已知不等式022 >+-a x ax 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）已知不等式022 ≤+-a x x 有解，求实数a 的取值范围。 例50、已知对任意R x ∈，总有21 2 32 2<+--+<-x x tx x ，求实数t 的取值范围。 对于方程有解问题，分离参数后方程变为a x f =)(，函数)(x f 的值域就是a 的范围，这时a 相当于y 。 例51、若关于x 的方程04)4(2 =+++x a x 恒有正解，则实数a 的取值范围是 。 对于不等式恒成立： 例52、（1）若12=+y x ，且122≥+m y m x 恒成立，求实数m 的取值范围；（2）若)21(12≤≤=+x y x ，且12 2≤+m y m x 恒成立，求实数m 的取值范围。 例53、实数c b a >>，c b b a c a m -+-≤-1 1恒成立，则实数m 的最大值为 。 例54、已知函数)5321lg()(a x f x x x ?+++=对)2,(-∞∈x 恒有意义，求实数a 的取值范围。 对于不等式有解： 例55、（1）若不等式093)4(9≤+++x x a 有解，则实数a 的取值范围是 ；（2）若不等式m x x <-+-32的解集是非空集合，则实数m 的取值范围是 。 12、总结 函数二、函数的性质 函数的性质有哪些： 1、 奇偶性 基础练习 1、下列命题正确是（ ） A 、奇函数的图像一定过原点 B 、44(12 ≤<-+=x x y ）是偶函数 C 、11--+=x x y 是奇函数 D 、1 2--=x x x y 是奇函数 2、“一次函数b kx y +=为奇函数”是“0=b ”的（ ） A 、必要不充分条件 B 、充分不必要条件 C 、充分且必要条件 D 、不充分也不必要条件 3、若),()(1 2 N n x x f n n ∈=++则)(x f 是（ ） A 、奇函数 B 、偶函数 C 、奇函数或偶函数 D 、非奇非偶函数 4、函数F 1 22 )(+- =x a x 是奇函数，则实数a 的值是 。 5、定义在R 上得奇函数)(x f y =，当0≥x 时，x x x f 2)(2-=，则0 1）偶函数定义： 2）偶函数的性质： 3）判断偶函数的步骤： 4）奇函数的定义： 5）奇函数的性质： 6）判断奇函数的步骤： 例56、下列四个命题中，正确的是（ ） A.偶函数的图像一定与纵坐标轴相交 B.奇函数的图像一定过原点 C.不存在既是奇函数又是偶函数的函数 D.偶函数的图像关于纵坐标轴对称 例57、利用定义判别下列函数的奇偶性： （1）b ax b ax x f -++=)(；（2）b ax b ax x f --+=)(；（3）2 2 11)(x x x f -+-=；（4）1 21 2)(+-?=x x a x f 。 例58、试讨论函数)cos()(α-=x x f 的奇偶性，这里α为实常数。 例59、判断奇偶性： 1）3312-+-=x x y 2）x x a a y +-=11 3）x x y +-=11lg 4）)1lg(2 x x y ++= 5）? ??>-<+=)0)(1()0)(1()(x x x x x x x f 例60、函数()c x 21 ax x f 2++=（a 、c 是整数）为奇函数，且()21f =，则整数=a ，=c . 例61、已知函数))((R x x f y ∈=对任意非零实数21,x x 恒有)()()(2121x f x f x x f +=，试讨论函数奇偶性 例62、已知)(x f 对于一切R y x ∈,，均有)()()(y f x f y x f +=+，试讨论函数奇偶性 7）奇偶函数的运算性质（加减乘除），及复合函数奇偶性： 例63、判断下列函数的奇偶性： 1）x x y sin 3?= 2）x y 4sin = 3）3cos x y = 4）x y 1arcsin = 8）对称性 函数的对称性分为图像本身对称与两个函数图像间的对称性问题。 例64、函数()x f y =，若对任意x ，都有)()(x b f a x f -=+，则()x f y =的图像关于直线 对称。 例65、设函数()x f 的图像关于点()2,1对称，且存在反函数()x f 1 -，若()04f =，则()=4f -1 。 例66、定义在R 上的函数满足2)21()21(=-++x f x f ，则=+???++)8 7 ()82()81(f f f 。 例67、1 )(22 +=x x x f ，则=++++++)41()31()21()4()3()2()1(f f f f f f f 。 例68、已知1)f(2x y +=是偶函数，则f(2x)y =的图像的对称轴方程是 。 例69、设函数()x f 是定义在实数集上的函数，则函数()1-=x f y 与()x f y -=1的图像关于直线 对称。 *9）任意函数与奇偶函数的关系： 例70、已知f(x)和g(x)分别是一个奇函数和一个偶函数，且x x g x f )2 1 ()()(=-，试比较f(1), g(0), g(-2)的大小。 10）奇偶性与函数解析式： 例71、已知()x f 是定义域为R 的奇函数，方程0)(=x f 的解集为M ，且M 中有有限个元素，则（ ） A.M 可能是? B.M 中元素个数是偶数 C.M 中元素个数是奇数 D.M 中元素个数可以是偶数、奇数 例72、已知()x f 是奇函数，且当0x >时，()1x 2x x f 23-+=，则()x f 在R 上的解析式为 。 步骤： 例73、已知)(x f 是区间)1,1(-上的奇函数，且当)1,0(∈x 时，x x f +=11 lg )(，求函数)(x f 在定义域上的解析式。 2、 单调性 基础练习 1、下列函数中：①1-=x y ； ②2 x y =；③x y 1 = ；④1-=x y ；⑤???<->+=) 0(1)0(1x x x x y ； ⑥x y sin =； ⑦x y lg = 其中在定义域内为单调函数得有 。（把答案正确得序号写上） 2、定义在区间()+∞∞-,上的偶函数)(x f ，在区间()+∞,0是减函数，则)1(-f ，)2(f ，)3(-f 的大小关系是 （用不等号连接）。 3、函数2x y -=在()+∞∞-,上是（ ） A 增加函数 B 既不是增函数也不是减函数 C 减函数 D 既是减函数也是增函数 4、用单调性得定义求证：函数21 )(x x f =在区间()+∞,0上是减函数 1）定义 如果对于属于区间D 的自变量的任意两个值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么说函数在这个区间是增函数，反之为减函数。 2）函数单调性的性质： 注意：单调性主要是函数区间性质，要注意这点。 3）如何判断函数的单调性： 例74、已知函数)31(42≤≤-=x ax x y 是单调递增函数，求实数a 的取值范围。 例75、函数[)()+∞∈++=,02x c bx x y 是单调函数的充要条件是 A 0≥b B 0≤b C 0>b D 0 例76、已知()ax 2log y a -=在[]1,0上是x 的减函数，则a 的取值范围是 . 4）单调性与最值： 例77、在0≤x 的条件下，求函数228x x y -+=的最大和最小值。 例78、二次函数112 11)(c x b x a x f ++=与 22222)(c x b x a x f ++=使得)()(12x f x f -在][2,1上递增，且在][2,1上 有最大值5，最小值3，试写出一组满足上述要求的)(1x f 和)(2x f 。 例79、)(x f 是定义在R 上的奇函数且满足：①对任意的R y x ∈、有)()()(y f x f y x f +=+；当0>x 时，0)( 5）两个单调函数的运算性质： 例80、设)(),(x g x f 都是区间()+∞∞-,上的单调函数，有如下四个命题：①若)(x f 单调递增，)(x g 单调递增，则 )()(x g x f -单调递增；②若)(x f 单调递增，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递增；③若)(x f 单调递减，) (x g 单调递增，则)()(x g x f -单调递减；④若)(x f 单调递减，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递减； 其中正确得命题是（ ） A ①② B ①④ C ②③ D ②④ 例81、函数)2(log )(2 2 1--=x x x f 的单调递增区间 ，单调递减区间 。 例82、设)(x f 是定义在上R 的函数且在R 上是增函数，又)()()(x f x f x F --=，那么)(x F 一定是（ ） （A ）奇函数，且在R 上是增函数 （B ）奇函数，且在R 上是减函数 （C ）偶函数，且在R 上是增函数 （D ）偶函数，且在R 上是减函数 例83、讨论下列函数的单调性，指出相应的单调区间： （1）)0()(>- =a x a x x f （2）x a x x f +=)(（0>a ） 三、函数的图像 基础练习 1、下列图像不可能是函数图像的是 （ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 2、如果函数)(x f y =，对于任意的R x ∈，恒有)2()2(x f x f -=+，则)(x f y =的图像对称抽是 ，将其图像向 方向平移 个单位，即得偶函数得图像。 3、函数()x y -=1log 的图像是。 O x y O x y O x y O x y 4、设x x f lg )(=，若)(x g 与)(x f 的图像关于X 轴成对称，那么=)(x g ；若)(x g 与)(x f 的图像关于Y 轴成对称，那么=)(x g ；若)(x g 与)(x f 的图像关于原点成对称，那么=)(x g ；若)(x g 与 )(x f 的图像关于直线x y =成对称，那么=)(x g 。 5、设x x x f 2)(2+=，则)(x f 的图像关于直线1=x 对称的图像的解析式是 。 1、所学过的所有初等函数的图像是 2、图像的作用 3、图像的平移、对称、伸缩变换规律是什么 例100、向高为H 的水瓶中注水, 注满为止. 如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如左图所示, 那么水瓶的形状是( ) 图1 图2 例101、已知()x f y =图像如图（A ），则()x -f y =的图像是 ；()x f y -=的图像是 ；()x f y =的图像是 ；y=∣f(x)∣的图像是 . 例102、把x y 3=图像经怎样变换得到函数)1(log 3+=x y 的图像： 。 例103、要将函数12--=x x y 的图像通过平移变换得到x y 1 =的图像，需经过怎样的变换。 例104、已知定义在]2,2[-上的函数)(x f y =的图像如图所示，分别画出)(),(x f y x f y -=-=， )(),(x f y x f y ==，)2(),(2x f y x f y ==的图像。 例105、有三个函数，第一个是()x f y =，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图像与第二个函数的图像关于直线0y x =+对称，则第三个函数是 。 例106、设函数()x f 是定义在实数集上的函数，则函数()1-=x f y 与()x f y -=3的图像关于直线 对称。 例107、设曲线C 的方程是x x y -=3 ，将C 沿x 轴、y 轴正方向分别平移t 、s 个单位长度后得到曲线1C 。 （1）写出曲线1C 的方程；（2）证明：曲线C 和1C 关于点)2 ,2(s t A 对称。 4、图像的叠加 例108、粗略画出下列图像： （1）x y sin = （2）x x y sin sin += （3）x x y sin 2sin += （4）x y sin = 例109、y=x+sin x ,x ∈][ππ,-的大致图象( ). 例110、函数x x y cos -=的部分图象是( )。 5、画函数图像的一般步骤是 例111、作下列函数的图像 1）1 21-? ? ? ??=x y 2）()x x f 2log 2 = 3）()22-=x x f 4）322 --=x x y 5）2log 5.0+=x y 例112、函数()f x =1()1x +，则函数y=1()f x -的图象大致是________。 A. B. C. D. 例113、函数2|log |1 ()2x f x x x =-- 的图像为 …………………………………………（ ） 3、 数形结合（运用函数图像解题） 例114、设奇函数()x f 的定义域为[]5,5-。若当[]5,0x ∈时，()x f 的图像如右图，则不等式()0x f <的解是 。 例115、若函数()2b x a x f +-=在[)+∞,0上为增函数，则实数a 、b 的取值范围是 。 例116、函数)1lg()(x x f -=的单调增区间 ，单调减区间 。 例117、设函数2 x 1 x 2y --= ，则关于该函数图像的下列命题，其中正确的是 （ ） ①一定存在两点，这两点的连线平行于x 轴；②任意两点的连线都不平行于x 轴； ③关于直线x y =对称；④关于原点中心对称。 （A ）①③ （B ）②③ （C ）②③④ （D ）③ 例118、已知函数()x f y 1-=()2x ≥的图像过()0,1，则函数?? ? ??-=1x 2 1f y 的反函数的图像一定过点 （ ） （A ）()2,1 （B ）()1,2 （C ）()2,0 （D ）()0,2 ()()3????3()O x y 2 5 (A) (B) (C) (D) O 1y x 1O 1y x 1O 1y x 1O 1y x 1 第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。 2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数 )(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。 即：方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数) (x f y =有零点． 3、函数零点的求法： ○ 1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○ 2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 4、基本初等函数的零点： ①正比例函数(0)y kx k =≠仅有一个零点。 ②反比例函数(0)k y k x = ≠没有零点。 ③一次函数(0)y kx b k =+≠仅有一个零点。 ④二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y ． （1）△＞０，方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点． （2）△＝０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点． （3）△＜０，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点． ⑤指数函数(0,1)x y a a a =>≠且没有零点。 ⑥对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且仅有一个零点1. ⑦幂函数y x α =，当0n >时，仅有一个零点0，当0n ≤时，没有零点。 5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把()f x 转化成 ()0f x =，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数12,y y （基本初等函数），这另 个函数图像的交点个数就是函数()f x 零点的个数。 6、选择题判断区间(),a b 上是否含有零点，只需满足()()0f a f b <。 Eg ：试判断方程在区间0122 4 =-+-x x x [0,2]内是否有实数解？并说明理由。 第9课时 函数概念、一次函数 复习教学目标 1、能根据具体问题中的数量关系和变化规律了解函数、一次函数的意义。能说出函数的三种表示方法、一次函数的基本性质，知道函数图象的画法。 2、能画简单的一次函数图象，并根据已知条件确定一次函数的表达式。 3、能运用类比思想比较函数、一次函数和正比例函数的异同点，初步体会数形结合思想，并能运用数形结合的方法解决有关实际问题，并尝试用函数的方法描述有关实际问题，对变量的变化规律进行初步预测。 复习教学过程设计 1、【唤醒】 一、填空 （1）写出下列函数中自变量x 的取值范围。21+=x y ，2+=x y ， 2 1+=x y 。 （2）已知1-y 与x 成正比例，且2-=x 时，4=y ，那么y 与x 之间的函数关系式为_________________。 （3）直线121+-=x y 与x 轴的交点坐标为（_______），与y 轴的交点坐标为（_______）。（4）根据下列一次函数y=kx+b(k ≠0)的草图回答出各图中k 、b 的符号： 二、选择 （1）下列函数中，表示一次函数的是 ( ) A 、232+=x y B 、)0(2≠-=k x k y C 、5 32--=x y D 、123-=x x y （2）已知一次函数y=kx+b,y 随着x 的增大而减小,且kb<0,则在直角坐标系内它的大致图象是( ) 2、【尝试】 例1、已知一次函数的图象经过点)6,1(-A 、)2,1(B ，（1）求函数解析式；（2）画出函数图象；（3）函数的图象经过那些象限？（4）当x 增大时，y 的值如何？ 解略（答案：42+-=x y ，图略，图象经过一、二、四象限，y 随x 增大而减小） 例2、已知一次函数)3()2(n x m y --+= （1）当m 、n 取何值时，y 随x 的增大而增大？ （2）当m 、n 取何值时，直线与y 轴的交点在y 轴的下半轴？ （3）当m 、n 取何值时，直线经过一、二、四象限？ 分析：（1）一次函数)0(≠+=k b kx y 的性质：当0>k 时，y 随x 的增大而增大；（2）直线)0(≠+=k b kx y 与y 轴的交点坐标为),0(b ；（3）当0 《数学分析》10第三章-函数极限 第三章 函数极限 引言 在《数学分析》中，所讨论的极限基本上分两 部分，第一部分是“数列的极限”，第二部分是“函数的极限”。二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限的特例。 通过数列极限的学习。应有一种基本的观念：“极 限是研究变量的变化趋势的”或说：“极限是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果”。例如，数列{}n a 这种变量即是研究当n →+∞时，{}n a 的变化趋势。 我们知道，从函数角度看，数列{}n a 可视为一种特殊的函数f ，其定义域为N +，值域是{}n a ，即 :() n f N R n a +→→; 或 (),n f n a n N +=∈或()n f n a =. 研究数列{}n a 的极限，即是研究当自变量n →+∞时， 函数()f n 变化趋势。 此处函数()f n 的自变量n 只能取正整数！因此自变 量的可能变化趋势只有一种，即n →+∞。但是，如果代之正整数变量n 而考虑一般的变量为x R ∈，那么情况又如何呢？具体地说，此时自变量x 可能的变化趋势是否了仅限于x →+∞一种呢？ 为此，考虑下列函数: 1,0;()0,0.x f x x ≠?=?=? 类似于数列，可考虑自变量x →+∞时，()f x 的变化趋 势；除此而外，也可考虑自变量x →-∞时，()f x 的变化趋势；还可考虑自变量x →∞时，()f x 的变化趋势；还可考虑自变量x a →时，()f x 的变化趋势, L 由此可见，函数的极限较之数列的极限要复杂得 多，其根源在于自变量性质的变化。但同时我们将看到，这种复杂仅仅表现在极限定义的叙述有所不同。而在各类极限的性质、运算、证明方法上都类似于数列的极限。 下面，我们就依次讨论这些极限。 §1 函数极限的概念 一、x →+∞时函数的极限 １． 引言 设函数定义在[,)a +∞上，类似于数列情形，我们研 究当自变量x →+∞时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数Ａ。这种情形能否出现呢？回答是可能出现，但不是对所有的函数都具此性质。 例如 1(),f x x x =无限增大时，()f x 无限地接近于 ０；(),g x arctgx x =无限增大时，()f x 无限地接近于2 π；(),h x x x =无限增大时，()f x 与任何数都不能无限地接近。正因为如此，所以才有必要考虑x →+∞时，()f x 的变化趋势。 第三章 函数的应用 1：函数的零点 【典例精析】 例题1 求下列函数的零点。 （1）y=32x 2-+x ；（2）y ＝（2 x －2）（2 x －3x ＋2）。 思路导航：判断函数零点与相应的方程根的关系，就是求与函数相对应的方程的根。 答案：（1）①当x≥0时，y=x 2 +2x －3，x 2 +2x －3=0得x=+1或x=－3（舍） ②当x ＜0时，y=x 2 －2x －3，x 2－2x －3=0得x=－1或x=3（舍） ∴函数y=x 2 +2|x|－3的零点是－1，1。 （2）由（2x －2）（2 x －3x ＋2）＝0，得（x ＋2）（x －2）（x －1）（x －2）＝0， ∴x 1＝－2，x 2＝2，x 3＝1，x 4＝2。 ∴函数y ＝（x 2 －2）（x 2 －3x ＋2）的零点为－2，2，1，2。 点评：函数的零点是一个实数，不是函数的图象与x 轴的交点，而是交点的横坐标。 例题2 方程|x 2－2x|=a 2+1 （a∈R + ）的解的个数是______________。 思路导航：根据a 为正数，得到a 2 +1＞1，然后作出y=|x 2 －2x|的图象如图所示，根据图象得到y=a 2 +1的图象与y=|x 2 －2x|的图象总有两个交点，得到方程有两解。 ∵a∈R + ∴a 2 +1＞1。而y=|x 2 －2x|的图象如图， ∴y=|x 2 －2x|的图象与y=a 2 +1的图象总有两个交点。 ∴方程有两解。 答案：2个 点评：考查学生灵活运用函数的图象与性质解决实际问题，会根据图象的交点的个数判断方程解的个数。做题时注意利用数形结合的思想方法。 例题3 若函数f （x ）＝ax ＋b 有一个零点为2，则g （x ）＝bx 2 －ax 的零点是（ ） A. 0，2 B. 0，12 C. 0，－12 D. 2，－1 2 思路导航：由f （2）＝2a ＋b ＝0，得b ＝－2a ，∴g （x ）＝－2ax 2－ax ＝－ax （2x ＋1）。令g （x ）＝0，得x 1＝0，x 2＝－1 2 ，故选C 。 答案：C 【总结提升】 1. 函数y =f （x ）的零点就是方程f （x ）=0的根，因此，求函数的零点问题通常可转化为求相应的方程的根的问题。 2. 函数与方程二者密不可分，二者可以相互转化，如函数解析式y ＝f （x ）可以看作方程y －f （x ）＝0，函数有意义则方程有解，方程有解，则函数有意义，函数与方程体现了 第三章 测 度 论（总授课时数 14学时） 教学目的 引进外测度定义，研究其性质，由此过渡到可测集 本章要点 要引导学生注意外测度与测度之间的重要差别 ，测度概念抽象，要与具体点集 诸如面积体积等概念进行比较. §1、外测度 教学目的1、掌握外测度的定义及其基本性质. 2、理解区间及有理点集的外测度及其证明方法. 本节要点 外测度的定义及其基本性质. 本节难点 外测度的定义. 授课时数 4学时 —————————————————————————————— 一、引言 (1) Riemann 积分回顾（分割定义域） ||||0 1 ()()lim ()n b i i a T i R f x dx f x ξ→==?∑?，1i i i x x x -?=-，1i i i x x ξ-≤≤ 积分与分割、介点集的取法无关。 几何意义（非负函数）：函数图象下方图形的面积。 （2）新的积分（Lebesgue 积分,从分割值域入手） 记1{:()}i i i E x y f x y -=≤<，1i i i y y ξ-≤<，则 [,] 1 ()()lim n i i a b i L f x dx mE δξ→==∑? 问题：如何把长度,面积,体积概念推广? 达布上和与下和 上积分（外包）（达布上和的极限） ||||0 1 ()lim n b i i a T i f x dx M x →==?∑? 下积分（内填）达布下和的极限 ||||0 1 ()lim n b i i a T i f x dx m x →==?∑? 二、Lebesgue 外测度(外包) 1．定义：设 n E R ?，称非负广义实数*({})R R ?±∞= 高中数学必修一第三章函数的应用知识点总结（详细） 第三章函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数y=f(x),使f(x)=0 的实数x叫做函数的零点。（实质上是函数y=f(x)与x轴交点的横坐标） 2、函数零点的意义：方程f(x)=0 有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数y=f(x)有零点 3、零点定理：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的，并且有f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间（a,b）至少有一个零点c，使得f( c)=0,此时c也是方程f(x)=0 的根。 4、函数零点的求法：求函数y=f(x)的零点： （1）（代数法）求方程f(x)=0 的实数根； （2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 5、二次函数的零点：二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)． 1）△＞0，方程f(x)=0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点． 2）△＝0，方程f(x)=0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点． 3）△＜0，方程f(x)=0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点． 二、二分法 1、概念：对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法。 2、用二分法求方程近似解的步骤: ⑴确定区间[a,b],验证f(a)f(b)<0，给定精确度ε； ⑵求区间(a,b)的中点c; 第三章：函数的基本性质 第三节：函数的基本性质（零点） 【知识讲解】 函数零点 1． 函数的零点：对于函数)(x f y =)(D x ∈，如果存在实数c )(D c ∈，当c x =0)(=c f 那么就把c x =叫做函数)(x f y =)(D x ∈的零点。 函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 的解，也就是函数)(x f y =的图像与x 轴的交点的横坐标。 2． 函数零点的求法：求函数零点一般采取二分法。所谓二分法即通过每次把)(x f y =的 零点所在的小区间收缩一半，使区间的两个端点逐步逼近函数的零点，以求得零点的近似值的方法。 二分法的理论依据是：如果函数)(x f 在闭区间[]b a ,上满足0)()( 例3.用二分法求函数281832)(2 3+--=x x x x f 在区间()2,1内的零点（精确到0.1） 巩固练习： 1.已知函数19)13(22 -+--=m x m mx y ，若它在区间()2,1中仅有一个零点，求实数m 的取值范围 2.已知a 是实数，函数a x ax x f --+=322)(2 ，如果函数)(x f y =在区间[]1,1-上有零根，求实数a 的取值范围。 3.已知对于任意实数x ，函数)(x f 满足)()(x f x f =-. 若方程0)(=x f 有2009个实数解， 则这2009个实数解之和为 . 第三章函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数y = /(x)(xeD),把使/(x) = 0成立的实数无叫做函数y = f(x)(xeD)的零点。 2、函数零点的意义：函数y = /(x)的零点就是方程/(x) = 0实数根，亦即函数y = /(x)的图象与 兀轴交点的横坐标。 即：方程/(%) = 0有实数根o函数y = /(x)的图象与兀轴有交点o函数y = /(x) 有零点. 3、函数零点的求法： ①(代数法)求方程f(x) = 0的实数根； ? (几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y = /(x)的图象联系起來, 并利用函数的性质找出零点. 4、基本初等函数的零点： ①正比例函数y = kx(k 0)仅有一个零点。 ②反比例函数y =-伙H 0)没有零点。 x ③一次函数y = 伙工0)仅有一个零点。 ④二次函数y = ax2 + bx^- c(a H 0). (1)A> 0 ,方程ax2+bx+c = 0(a^0)有两不等实根，二次函数的图象与兀轴有两个交点，二次 函数有两个零点. (2)A=0,方程加+C =0(QH0)有两相等实根，二次函数的图象与兀轴有一个交点，二次函数 有一个二重零点或二阶零点. (3)A<0,方程a^+fex+c = 0(dH0)无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点. ⑤指数函数y = a x(a > 0,且o h 1)没有零点。 ⑥对数函数歹=log“ x(a > 0,且a工1)仅有一个零点1. ⑦幕函数丁 =屮，当〃>0时，仅有一个零点0,当〃50时，没有零点。 5、非基本初等函数(不可直接求出零点的较复杂的函数)，函数先把/(兀)转化成/(x) = 0,再把 复杂的函数拆分成两个我们常见的函数)［,儿(基本初等函数)，这另个函数图像的交点个数就是函数/ (兀)零点的个数。 6、选择题判断区间(a,b)上是否含有零点，只需满足/(a)/(b)<0。 试判断方程X4-X2+2X-1= 0在区间［0, 2］内是否有实数解？并说明理由。 第三章 函数极限 （计划课时：1 4 时）P42—68 §1 函数极限概念 （ 4时 ） 一、∞→x 时函数的极限： 1. 以+∞→x 时x x f 1)(=和arctgx x g =)(为例引入. 2. 介绍符号: +∞→x ,+∞→x ,+∞→x 的意义,)(lim x f 的直观意义. 3. 函 数 极 限 的 “ M -ε”定义 (A x f x =+∞→)(lim ,A x f x =-∞→)(lim ,A x f x =∞ →)(lim ). 4. 几何意义: 介绍邻域{}M x x U >=+∞)(,{}M x x U -<=-∞)(, {}M x x U >=∞)(其中M 为充分大的正数．然后用这些邻域语言介绍 几何意义． 5. 函数在∞与∞+,∞-极限的关系: Th1 .)()( )(A f f A f =+∞=-∞?=∞ 例1 验证.01lim =∞ →x x 证明格式：0>?ε（不妨设 <<ε0□）（不妨设>x □或>x □， 高一数学必修一第三章测试题及答案：函数的应用 数学在科学发展和现代生活生产中的应用非常广泛，小编准备了高一数学必修一第三章测试题及答案，具体请看以下内容。 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.设U=r，A={x|x0}，b={x|x1}，则AUb=() A{x|01} b.{x|0 c.{x|x0}D.{x|x1} 【解析】Ub={x|x1}，AUb={x|0 【答案】b 2.若函数y=f(x)是函数y=ax(a0，且a1)的反函数，且f(2)=1，则f(x)=() A.log2xb.12x c.log12xD.2x-2 【解析】f(x)=logax，∵f(2)=1， loga2=1，a=2. f(x)=log2x，故选A. 【答案】A 3.下列函数中，与函数y=1x有相同定义域的是() A.f(x)=lnxb.f(x)=1x 页 1 第 c.f(x)=|x|D.f(x)=ex 【解析】∵y=1x的定义域为(0，+).故选A. 【答案】A 4.已知函数f(x)满足：当x4时，f(x)=12x;当x4时，f(x)=f(x+1).则f(3)=() A.18b.8 c.116D.16 【解析】f(3)=f(4)=(12)4=116. 【答案】c 5.函数y=-x2+8x-16在区间[3,5]上() A.没有零点b.有一个零点 c.有两个零点D.有无数个零点 【解析】∵y=-x2+8x-16=-(x-4)2， 函数在[3,5]上只有一个零点4. 【答案】b 6.函数y=log12(x2+6x+13)的值域是() A.rb.[8，+) c.(-，-2]D.[-3，+) 一、解答题 沪教版(上海) 高一第一学期 新高考辅导与训练 第3章 函数的基本性质 3.3 函数关系的建立（2）1. 如图，已知菱形的边长为2，其中，动直线l 垂直于边所在的直线，l从点A 向右平行移动，交菱形于不同的两点P ，Q设直线l与点A的距离为x ，的面积为S，试写出S关于x 的函数 . 2. 某小区要建一个八边形的休闲区，如图所示，它的主要造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形区域.计划在正方形上建一个花坛，造价为4200元/，在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺设花岗岩地面，造价为210元/，再在四个 等腰直角三角形上铺设草坪，造价为80元/.求当的长度为多少时，建设这个休闲区的总价最低 . 3. 如图，一块矩形金属薄片，其长为，宽为，在它的四个角上都剪去一个边长为的小正方形，然后折成一个容积为的无 盖长方体盒子.试将V表示成关于x的函数. 4. 设二次函数的图象与x轴交于P，Q两点，与y轴交于点R.设的面积为S，求的解析式. 5. 如图，用长为l的铁丝围成下部为矩形、上部为半圆形的框架，若半圆直径的长为x，求此框架所围成图形的面积S关于x的函数解析式. 6. 如图，已知动点M从边长为1的正方形的顶点A出发沿边界按的顺序绕一圈，若用x表示点M从点A出发后的行 程，y表示点M到正方形对角线的距离，求y关于x的函数解析式. 7. 已知直角三角形的周长为，试用解析式将该直角三角形的面积S表示成关于其一条直角边长x的函数. 8. 为鼓励居民节约用水，某市自来水公司对全市用户采用分段计费的方式计算水费，收费标准如下：不超过的部分为2.20元/；超过不 超过的部分为2.80元/；超过部分为3.20元/. （1）试求居民月水费y（元）关于用水量的函数关系式； （2）某户居民4月份用水，应交水费多少元？ 第三章 函数极限 知识脉络 1．函数极限的24个定义，会用定义证明简单函数极限问题； 2. 函数极限的性质，注意与收敛数列性质的区别； 3. 函数极限存在的条件，会判断简单函数的极限是否存在； 4. 总结求函数极限的方法，掌握每种方法适用的极限问题； 5. 会比较无穷小的阶； 6. 会求曲线的渐近线. 一、判断题 1. 若要使0 lim ()x x f x →存在，()f x 在0x 处必须有定义.（ ） 2. 若lim ()x f x A →∞ =，则lim ()x f x A →∞ =，当且仅当0A =时反之也成立.（ ） 3. 若A x f x x =→)(lim 0 ，则)(x f 可表为))(1()(0x x o A x f →+=. （ ） 4. 若0 lim ()x x f x A →=存在，则()f x 有界.（ ） 5. 若在00()U x 内()()f x g x >，0 lim ()x x f x →与0 lim ()x x g x →都存在，则00 lim ()lim ()x x x x f x g x →→>.（ ） 6. 若0 lim ()x x f x A →=，0 lim ()x x g x B →=，A B >，则在某00()U x 内()()f x g x >.（ ） 7. 若30 lim ()x f x →存在，则3 lim ()lim ()x x f x f x →→=.（ ） 8. 若20 lim ()x f x →存在，则2 lim ()lim ()x x f x f x →→=（ ） 9.设函数()f x 为定义在00()U x +上的单调有界函数，则0 lim ()x x f x →存在.（ ） 10.设函数()f x 为定义在00()U x 上的单调函数，则0 lim ()x x f x + →存在.（ ） 11.若()f x 为周期函数，且lim ()0x f x →+∞ =，则()0f x ≡.（ ） 12.任意两个无穷小都可以进行阶的比较.（ ） 13.无穷小量就是很小很小的数.（ ） 16.无穷小量都是有界量，有界量也都是无穷小量.（ ） 17.无限个无穷小的和、差仍然是无穷小.（ ） 18.若()f x 和()g x 为当0x x →时的同阶无穷小量，则()(())f x O g x =.（ ） 19. 若()(())f x O g x =(0x x →)，则()f x 和()g x 为同阶无穷小量.（ ） 20. 当0→x 时，0)( )()()(>>=++n m x o x o x o n m n m . （ ） 二、填空题 §3.1 习题课课时目标 1.进一步了解函数的零点与方程根的联系.2.进一步熟悉用“二分法”求方程的近似解.3. 初步建立用函数与方程思想解决问题的思维方式． 1．函数f (x )在区间(0,2)内有零点，则( ) A ．f (0)>0，f (2)<0 B ．f (0)·f (2)<0 C ．在区间(0,2)内，存在x 1，x 2使f (x 1)·f (x 2)<0 D ．以上说法都不正确 2．函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图象与两条坐标轴共有两个交点，那么函数y ＝f (x )的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．1或2 3．设函数f (x )＝log 3－a 在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是( ) x ＋2x A ．(－1，－log 32) B ．(0，log 32) C ．(log 32,1) D ．(1，log 34) 4．方程2x －x －2＝0在实数范围内的解的个数是 ________________________________． 5．函数y ＝()x 与函数y ＝lg x 的图象的交点的横坐标是________．(精确到120.1) 6．方程4x 2－6x －1＝0位于区间(－1,2)内的解有__________ 个． 一、选择题 1．已知某函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)有零点的区间大致是( ) A．(0,0.5) B．(0.5,1) C．(1,1.5) D．(1.5,2) 2．函数f(x)＝x5－x－1的一个零点所在的区间可能是( ) A．[0,1]B．[1,2] C．[2,3]D．[3,4] 3．若x0是方程lg x＋x＝2的解，则x0属于区间( ) A．(0,1) B．(1,1.25) C．(1.25,1.75) D．(1.75,2) 4．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( ) A．[－2,1]B．[－1,0] C．[0,1]D．[1,2] 5．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(a 人教A 版（2019）高中数学课时练 必修第一册 第三章 函数概念与性质 3.2 函数的基本性质 一、选择题（60分） 1．若不等式 22 2 9t t a t t +≤≤+，在(0,2]t ∈上恒成立，则a 的取值范围是 A ．1,16?????? B ．2,113?? ???? C ．14,1613?????? D ．1,6??? 2．已知函数 是定义在R 上的偶函数，对于任意 都 成立；当 ，且 时，都有．给出下列四个命题：①；②直线是函数图象的一条对称轴； ③函数在上为增函数；④函数在上有335个零点． 其中正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．已知()f x 是定义在R 上恒不为零的单调递减函数．对任意,x y R ∈，都有()f x y +=()()f x f y ，集合 ()()()(){}2 2 ,|1?A x y f x f y f = >，()(){},|451? B x y f x ay =+-=，若A B ??=，则实数a 的取值范围为（ ， A ．[]3,3- B ．(][)--33+∞?∞，， C ．[] 22-， D ．314 ?? --??? ? ， 4．如果函数21()(2)(8)1(0,0)2f x m x n x m n = -+-+≥≥在区间1,22?? ???? 上单调递减，那么mn 的最大值为( ) A ．16 B ．18 C ．25 D ． 81 2 5．定义在R 上的奇函数()y f x =为减函数，若m ，n 满足() 2 2f m m -+( )2 20f n n -≥，则当1n ≤3 2 ≤时，m n 的取值范围为（ ） A ．2,13?? - ???? B ．31,2 ?????? C ．13,32 ?????? D ．1,13?? ???? 第三章函数极限 1． 函数极限概念 1． 按定义证明下列极限： （1）65lim 6x x x →+∞+=；（2）2 2lim(610)2x x x →-+=；（3）225lim 11x x x →∞-=-;（4）2lim 0x -→=； （5）0 0lim cos cos x x x x →=. 证明（1）任意给定0ε>，取5 M ε = ，则当x M >时有 6555 6x x x M ε+-=<=.按函数极限定义有65 lim 6x x x →+∞+=. （2）当2x ≠时有，2(610)2(2)(4)24x x x x x x -+-=--=--. 若限制021x <-<，则43x -<.于是，对任给的0ε>，只要取min{1,}3 ε δ=，则当 02x δ<-<时，有2(610)2x x ε-+-<.故有定义得22 lim(610)2x x x →-+=. (3)由于22254111 x x x --=--. 若限制1x >，则2211x x -=-，对任给的0ε>，取max M ??=???，则当x M >时有22 22544 111 1x x M x ε--=<=---，所以225lim 11x x x →∞-=-. (4) 0==若此时限制021x <-<， ==<=0ε>， 取2 min{1, }4 εδ=，当02x δ<-<022 ε ε<≤?=， 故由定义得2 lim 0x - →=. （5）因为sin ,x x x R ≤∈，则 00000 00cos cos 2sin sin 2sin sin 222222 x x x x x x x x x x x x x x -+-+--=-=≤?=-. 第三章 函数的应用（导学案） 3.2 函数模型及其应用 3.2.1几类不同增长的函数模型 一、阅读材料：函数是描绘客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述，本节的教学目标是认识，应用函数模型解决简单问题。课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的，数学来源于生活必将应用于生活。 二、学习目标 知识：了解指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长特征，了解函数模型的广泛应用。 能力： 体验函数是描绘客观世界变化规律的基本数学模型，分析其在刻画现实问题中的作用。 三、材料：澳大利亚兔子数“爆炸” 在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气． 1． 温馨提示：可用指数函数描述一个种群的前期增长，用对数函数描述后期增长的 2．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番． 请问，你会选择哪种投资方案？ （1） 在本例中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？ （2） 根据所提供的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？ 3．．某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型： x y 25.0= 1log 7+=x y x y 002.1=． 问：其中哪个模型能符合公司的要求？ 阶段测评(三) 函数及其图象 (时间：45分钟 分数：100分) 一、选择题(每题4分，共32分) 1．小明从家到学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交车沿着公路匀速行驶一段时间后到达学校，小明从家到学校行驶路程s(m )与时间t(min )的大致图象是( C ) ,A ),B ),C ),D ) 2．已知点A(－1，1)，B(1，1)，C(2，4)在同一个函数图象上，这个函数图象可能是( B ) ,A ) ,B ) ,C ) ,D ) 3．抛物线y ＝－35? ????x ＋122 －3的顶点坐标是( B ) A .? ?? ??12，－3 B .? ?? ??－1 2，－3 C .? ?? ??12，3 D .? ?? ??－12 ，3 4．已知抛物线y ＝x 2 －2mx －4(m ＞0)的顶点M 关于坐标原点O 的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M 的坐标为( C ) A ．(1，－5) B ．(3，－13) C ．(2，－8) D ．(4，－20) 5．在平面直角坐标系xOy 中，线段AB 的两个端点坐标分别为A(－1，－1)，B(1，2)，平移线段AB ，得到线段A′B′，已知A′的坐标为(3，－1)，则点B′的坐标为( B ) A ．(4，2) B ．(5，2) C ．(6，2) D ．(5，3) 6．若点A(m ，n)在一次函数y ＝3x ＋b 的图象上，且3m －n>2，则b 的取值范围为( D ) A ．b>2 B ．b>－2 C ．b<2 D ．b<－2 7．如图，O 是坐标原点，菱形OABC 的顶点A 的坐标为(－3，4)，顶点C 在x 轴的负半轴上，函数y ＝k x (x ＜0) 的图象经过顶点B ，则k 的值为( C ) A ．－12 B ．－27 C ．－32 D ．－36 (第7题图) (第8题图) 课时训练(十一)一次函数的图像与性质 (限时:30分钟) |夯实基础| 1.一次函数y=-2x+1的图像不经过() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.[2020·深圳]把函数y=x的图像向上平移3个单位,下列在该平移后的直线上的点是() A.(2,2) B.(2,3) C.(2,4) D.(2,5) 3.[2020·遵义]如图K11-1,直线y=kx+3经过点(2,0),则关于x的不等式kx+3>0的解集是() 图K11-1 A.x>2 B.x<2 C.x≥2 D.x≤2 4.[2020·陕西]如图K11-2,在矩形AOBC中,A(-2,0),B(0,1).若正比例函数y=kx的图像经过点C,则k的值为 () 图K11-2 A.- B. C.-2 D.2 5.[2020·宜宾]已知点A是直线y=x+1上一点,其横坐标为-,若点B与点A关于y轴对称,则点B的坐标为. 6.[2020·连云港]如图K11-3,一次函数y=kx+b的图像与x轴,y轴分别相交于A,B两点,☉O经过A,B两点,已知AB=2,则的 值为. 图K11-3 7.[2020·十堰]如图K11-4,直线y=kx和y=ax+4交于A(1,k),则不等式组kx-6 3.2.1 单调性与最大（小）值 《函数的单调性与最大（小）值}》系人教A版高中数学必修第一册第三章第二节的内容,本节包括函数的单调性的定义与判断及其证明、函数最大（小）值的求法。在初中学习函数时,借助图像的直观性研究了一些函数的增减性,这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一,函数的单调性一节中的知识是前一节内容函数的概念和图像知识的延续,它和后面的函数奇偶性,合称为函数的简单性质,是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础;在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问需用到函数的单调性;同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的救开结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。 A.理解增函数、减函数、单调区间、单调 性概念； B.掌握增（减）函数的证明与判断； C.能利用单调性求函数的最大（小）值； D.学会运用函数图象理解和研究函数的性 质； 1.教学重点：函数单调性的概念，函数的最值； 2.教学难点：证明函数的单调性，求函数的最值。多媒体 教学过程 教学设计意图 核心素养目标 一、情景引入 1. 观察这些函数图像，你能说说他们分别反映了相应函数的哪些特征吗？ 2、它们分别反映了相应函数有什么变化规律？ 二、探索新知 探究一 单调性 1、思考：如何利用函数解析式2 )(x x f =描述“随着x 的增大，相应的f(x)随着增大？” 【答案】图象在区间 ）+∞,0(上 逐渐上升， 在）+∞,0(内随着x 的增大，y 也增大。 对于区间）+∞,0(内任意21,x x ，当21x x <时， 都有)()(21x f x f <。这是，就说函数2 )(x x f =在区间 ）+∞,0(上是增函数. 2、你能类似地描述2 )(x x f =在区间)0,(-∞上是减函数吗？ 【答案】在区间)0,(-∞内任取21,x x ，得到2 11)(x x f =，2 22)(x x f = ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >。这时，我们就说函数 通过观察函数的图象，观察函数的变化规律，引入本节新课。提高学生概括、推理的能力。 通过思考，观察 函数的图象，学生归纳随着x 的变化，相应的f(x)也随着变化，提高学生的解决问题、分析问题的能力。 第三章：函数的应用 考纲要求： 1.方程的根和函数的零点： （1）理解函数（结合二次函数）零点的概念 （2）领会函数零点与相应方程根的关系 （3）掌握零点存在的判定条件． 2.用二分法求方程的解： （1）解二分法求解方程的近似解的思想方法，会用二分法求解具体方程的近似解 （2）体会程序化解决问题的思想，为算法的学习作准备 3.函数模型的应用： （1）结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义, 理解它们的增长差异性 （2）能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题 （3）能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题 第一课时;方程的根和函数的零点： （1）函数零点 概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数 ))((D x x f y ∈=的零点。 函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。即：方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点。 （2）二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的零点： １）△＞０，方程02 =++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点； ２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点； ３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点。 （3）零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(
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