《函数与导数》测试题
一、选择题
1.函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是
( )
A. )2,(-∞
B.(0,3)
C.(1,4)
D. ),2(+∞
解析 ()()(3)(3)(2)x x x f x x e x e x e '''=-+-=-,令()0f x '>,解得2x >,故选D 2. 已知直线y=x+1与曲线y ln()x a =+相切,则α的值为 ( ) B. 2 C.-1
解:设切点00(,)P x y ,则0000ln 1,()y x a y x =+=+,又0'
01
|1x x y x a
==
=+Q 00010,12x a y x a ∴+=∴==-∴=.故答案 选B 3.已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-,则曲线()y f x =在点
(1,(1))f 处的切线方程是( )
A.21y x =-
B.y x =
C.32y x =-
D.23y x =-+解析 由2()2(2)88f x f x x x =--+-得几何
2(2)2()(2)8(2)8f x f x x x -=--+--,
即22()(2)44f x f x x x --=+-,∴2()f x x =∴/()2f x x =,∴切线方程
12(1)y x -=-,即210x y --=选A
4.存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和215
94
y ax x =+
-都相切,则a 等于 ()
A .1-或25-64
B .1-或214
C .74-或25-64
D .7
4-或7
解析 设过(1,0)的直线与3y x =相切于点300(,)x x ,所以切线方程为
320003()y x x x x -=-
即230032y x x x =-,又(1,0)在切线上,则00x =或03
2
x =-,
当00x =时,由0y =与21594y ax x =+
-相切可得2564
a =-, 当032x =-时,由272744y x =
-与215
94y ax x =+-相切可得1a =-,所以选A . 5.设函数2()()f x g x x =+,曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+,则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为
( )
A .4
B .14-
C .2
D .1
2
-
解析由已知(1)2g '=,而()()2f x g x x ''=+,所以(1)(1)214f g ''=+?=故选A 6.曲线21
x
y x =
-在点()1,1处的切线方程为( )
A. 20x y --=
B. 20x y +-=
C.450x y +-=
D. 450x y --= 答案 B 解
111
222121
||[]|1(21)(21)
x x x x x y x x ===--'=
=-=---, 故切线方程为1(1)y x -=--,即20x y +-= 故选B.
7.若函数()y f x =的导函数...在区间[,]a b 上是增函数,则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是
( )
A .
B .
C .
D .
解析 因为函数()y f x =的导函数...()y f x '=在区间[,]a b 上是增函数,
即在区间[,]a b 上各点处的斜率k 是递增的,由图易知选A. 注意C 中y k '=为常数噢. 8.若1x 满足2x+2x =5, 2x 满足2x+22log (x -1)=5, 1x +2x = ( )
A.52
B.3
C.7
2 答案 C
解析 由题意1
1225x x += ①
22222log (1)5x x +-= ② 所以1
1252x x =-,121log (52)x x =-
即21212log (52)x x =-
令2x 1=7-2t,代入上式得7-2t =2log 2(2t -2)=2+2log 2(t -1) ∴5-2t =2log 2(t -1)与②式比较得t =x 2 于是2x 1=7-2x 2
9.设函数1
()ln (0),3f x x x x =->则()y f x =
( )
A 在区间1
(,1),(1,)e e 内均有零点。
B 在区间1
(,1),(1,)e e
内均无零点。
C 在区间1
(,1)e 内有零点,在区间(1,)e 内无零点。
D 在区间1
(,1)e 内无零点,在区间(1,)e 内有零点。
【考点定位】本小考查导数的应用,基础题。 解析 由题得x
x x x f 33131)`(-=-=
,令0)`(>x f 得3>x ;令0)`( ),3(+∞ 为增函数,在点3=x 处有极小值03ln 1<-;又 ()0131 )1(,013,31)1(>+=<-== e e f e e f f ,故选择D 。 二、填空题 10. 若函数2()1x a f x x +=+在1x =处取极值,则a = 解析 f ’(x)=22 2(1)() (1) x x x a x +-++ f ’(1)= 34 a -=0 a =3 11.若曲线()2f x ax Inx =+存在垂直于y 轴的切线,则实数a 的取值范围是 . 解析 解析 由题意该函数的定义域0x >,由()1 2f x ax x '=+ 。因为存在垂直于y 轴的切线,故此时斜率为0,问题转化为0x >范围内导函数 ()1 2f x ax x '=+ 存在零点。 解法1 (图像法)再将之转化为()2g x ax =-与()1 h x x = 存在交点。当0a =不符合题意,当0a >时,如图1,数形结合可得显然没有交点,当0a <如图2,此时正好有一个交点,故有0a <应填(),0-∞ 或是{}|0a a <。 解法 2 (分离变量法)上述也可等价于方程1 20ax x + =在()0,+∞内有解,显然可得()2 1 ,02a x =- ∈-∞ 12.函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 .解析 考查利用导数判断函数的单调性。 2()330333(11)(1)f x x x x x '=--=-+, 由(11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-。亦可填写闭区间或半开半闭区间。 13.在平面直角坐标系xoy 中,点P 在曲线3:103C y x x =-+上,且在第二象限内,已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2,则点P 的坐标为 .解析231022y x x '=-=?=±,又点P 在第二象限内,2x ∴=-点P 的坐标为(-2,15) 答案 : 1>a 14.(2009福建卷理)若曲线3()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线,则实数a 取值范围是_____________. 答案 (,0)-∞ 解析 由题意可知'21 ()2f x ax x =+,又因为存在垂直于y 轴的切线, 所以2311 20(0)(,0)2ax a x a x x + =?=->?∈-∞。 15.设曲线1*()n y x n N +=∈在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,令 lg n n a x =,则1299a a a +++L 的值为 . 答案 -2 1*1112991299()'(1)'|11(1)(1)1 1298991 ...lg ...lg ...lg 2 2399100100 n n n x n y x n N y x y n x y n y n x n x n a a a x x x ++==∈∴==+?=+?-=+-= ++++====-g g g g 解析:点(1,1)在函数的图像上,(1,1)为切点,的导函数为切线是:令y=0得切点的横坐标: 导数与三角函数压轴题归纳总结 近几年的高考数学试题中频频出现含导数与三角函数零点问题,内容主要包括函数零点个数的确定、根据函数零点个数求参数范围、隐零点问题及零点存在性赋值理论.其形式逐渐多样化、综合化. 一、零点存在定理 例1.【2019全国Ⅰ理20】函数()sin ln(1)f x x x =-+,()f x '为()f x 的导数.证明: (1)()f x '在区间(1,)2 π -存在唯一极大值点; (2)()f x 有且仅有2个零点. 【解析】(1)设()()g x f x '=,则()()() 2 11 cos ,sin 11g x x g x x x x '=- =-+++. 当1,2x π??∈- ?? ?时,()g'x 单调递减,而()00,02g g π?? ''>< ???, 可得()g'x 在1,2π?? - ?? ?有唯一零点,设为α. 则当()1,x α∈-时,()0g x '>;当,2x πα?? ∈ ??? 时,()0g'x <. 所以()g x 在()1,α-单调递增,在,2πα?? ???单调递减,故()g x 在1,2π?? - ???存在唯一极大 值点,即()f x '在1,2π?? - ?? ?存在唯一极大值点. (2)()f x 的定义域为(1,)-+∞. (i )由(1)知, ()f x '在()1,0-单调递增,而()00f '=,所以当(1,0)x ∈-时,()0f 'x <,故()f x 在(1,0)-单调递减,又(0)=0f ,从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点. (ii )当0,2x π?? ∈ ???时,由(1)知,()f 'x 在(0,)α单调递增,在,2απ?? ??? 单调递减,而 导数练习题 班 级 姓名 一、选择题 1.当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A .在区间[x 0,x 1]上的平均变化率 B .在x 0处的变化率 C .在x 1处的变化量 D .在区间[x 0,x 1]上的导数 2.已知函数y =f (x )=x 2 +1,则在x =2,Δx =0.1时,Δy 的值为( ) A .0.40 B .0.41 C .0.43 D .0.44 3.函数f (x )=2x 2-1在区间(1,1+Δx )上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A .4 B .4+2Δx C .4+2(Δx )2 D .4x 4.如果质点M 按照规律s =3t 2 运动,则在t =3时的瞬时速度为( ) A . 6 B .18 C .54 D .81 5.已知f (x )=-x 2+10,则f (x )在x =32处的瞬时变化率是( ) A .3 B .-3 C . 2 D .-2 6.设f ′(x 0)=0,则曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线( ) A .不存在 B .与x 轴平行或重合 C .与x 轴垂直 D .与x 轴相交但不垂直 7.曲线y =-1 x 在点(1,-1)处的切线方程 为( ) A .y =x -2 B .y =x C .y =x + 2 D .y =-x -2 8.已知曲线y =2x 2上一点A (2,8),则A 处的切线斜率为( ) A .4 B .16 C .8 D .2 9.下列点中,在曲线y =x 2上,且在该点 处的切线倾斜角为π 4的是( ) A .(0,0) B .(2,4) C .(14,1 16) D .(12,1 4) 10.若曲线y =x 2+ax +b 在点(0,b )处的切线方程是x -y +1=0,则( ) A .a =1,b = 1 B .a =-1,b =1 C .a =1,b =- 1 D .a =-1,b =-1 11.已知f (x )=x 2,则f ′(3)=( ) A .0 B .2x C . 6 D .9 12.已知函数f (x )=1 x ,则f ′(-3)=( ) A . 4 B.1 9 C .-14 D .-1 9 13.函数y =x 2 x +3 的导数是( )高考数学导数与三角函数压轴题综合归纳总结教师版
导数练习题 含答案
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