泰勒公式的若干问题研究
毕业论文 题目泰勒公式的若干问题研究学院数学科学学院 专业信息与计算科学 班级计算0901 学生吕晗 学号20090921073 指导教师徐美荣
- 22 - 二〇一三年 五 月二十五日 摘 要 本文探讨了泰勒公式的若干问题。首先给出了几种不同形式的泰勒公式并 给出了相应的证明。其次我们讨论了泰勒公式的应用问题，主要分析了泰勒公式在计算行列式，判断级数敛散性，判断函数凹凸性等方面的应用，并辅以具体的例子进行说明，另外我们研究了泰勒公式中间点的渐近性问题，主要分区间长度趋于零和区间长度趋于无穷大两种情况进行了讨论，当区间长度趋于零与无穷时中间点ξ分 别满足的条件0 1 lim m m ξ→-= 与1 (1)lim []!(1)x a n x a n β ξββ→+∞-Γ-+=-Γ-。最后讨论了泰勒公式与泰勒级数之间的关系以及泰勒公式与泰勒级数在计算方面的应用。 关键词：泰勒公式；敛散性；行列式；渐近性
ABSTRACT In this paper，we discuss some problems of Taylor formula。Firstly, we discuss the Taylor formula of different types and the corresponding proof。Secondly, we discuss the application of Taylor formula。We mainly analysis of the Taylor formula in the calculation of determinant，judging the convergence of series，determining the application of convex function combined with concrete example to explain。In addition we study the asymptotic properties of intermediate point of Taylor formula and the main partition length tends to zero and the interval length tending to infinity are discussed in two situations when the length of interval tends to zero and infinity of intermediate point condition 0 1 lim m m ξ → - = and 1 (1) lim[] !(1) x a n x a n β ξβ β →+∞ -Γ-+ = -Γ-。 Finally, we discusses the relationship between the Taylor formula and Taylor series and the Taylor formula and Taylor Series in computational applications。 Key words：Taylor formula; convergence;determinant; asymptotic behavior - 22 -
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
§ 4 Taylor 公式和极值问题 (一) 教学目的： 掌握二元函数的高阶偏导数与泰勒公式的定义，掌握二元函数的极值的必要条件与充分条件． (二) 教学内容： 二元函数的高阶偏导数；中值定理与泰勒公式；二元函数的极值的必要条件与充分条件． 基本要求： (1)掌握二元函数的高阶偏导数与泰勒公式的定义，能够根据二元函数的极值的必要条件与充分条件寻找二元函数的极值与最大(小)值． (2) 较高要求：掌握混合偏导数与求导次序无关的定理的证明以及二元函数的极值的 必要条件充分条件定理的证明． (三) 教学建议： (1) 布置适量的求二元函数的高阶偏导数和求二元函数的极值与最值的习题． (2) 讨论混合偏导和与求导次序无关的多种定理证明的习题有一定的难度，只对较好 学生布置有关习题． ———————————————————— 一． 高阶偏导数: 1. 高阶偏导数的定义、记法： 例9 ,2y x e z += 求二阶偏导数和2 3 x y z ???. 例10 x y arctg z =. 求二阶偏导数. 上面两个例子中，关于y x 和,的不同顺序的两个二阶偏导数都相等，，但是这个结论并不对任何函数都成立，例如
?? ???=≠+-=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(2 22 2y x y x y x y x xy y x f ?? ???=≠+-+=)0,0(),(,0)0,0(),(,) (4(),(2 224 224y x y x y x y y x x y y x f x ?? ???=≠+--=) 0,0(),(,0)0,0(),(,) (4(),(2 224 224y x y x y x y y x x x y x f y 1lim ) 0,0(),0(lim )0,0(0 0-=??-=?-?=→?→?y y y f y f f y x x y xy 1lim ) 0,0()0,(lim )0,0(0 =??=?-?=→?→?x x x f x f f y y y x yx 由此可知，),(y x f 关于y x 和,的不同顺序的两个二阶混合偏导数与求次序有关。那么在什么条件下两个二阶混合偏导数与求次序无关呢？ 定理17。7 若),(),(y x f y x f yx xy 和都在),(00y x 连续，则 ),(),(0000y x f y x f yx xy = 约定：今后除特别指出外，都假定相应的混合偏导数连续。 例11 ) , (y x x f z =. 求22 x z ??和y x z ???2 . 验证或化简偏微分方程: 例12 2 2 ln y x z +=. 证明 2 2 x z ?? + 2 2 y z ??0=. ( Laplace 方程 ) 例13 将方程0=??-??x u y y u x 变为极坐标形式. 解 x y arctg y x r r y r x =+=?==θθθ , .sin , cos 2 2.
本科生毕业设计（论文） （ 2014届） 设计（论文）题目泰勒公式及其在解题中应用 作者周立泉 分院理工分院用数学1001班 指导教师（职称）徐华（讲师） 专业班级数学与应用数学） 论文字数 8000 论文完成时间 2014年4月3日 杭州师范大学钱江学院教学部制
泰勒公式及其在解题中应用 数学与应用数学1001班周立泉指导教师徐华 摘要：泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，它的基础思想是运用多项式来逼近一个已知函数，而该多项式的系数由给定的函数的各阶导数决定．本文主要归纳了其在证明不等式、等式，求极限，求近似值等各方面的应用． 关键词：泰勒公式;数学分析;导数 Taylor Formula and Its Application in Solving Problem Mathematics and Applied Mathematics class 1001 ZhouLiQuan Instructor: XuHua Abstract：Taylor's formula is an important equation of mathematical analysis, it is the basic idea is to use polynomial approximation to a known function, and the polynomial coefficients given by the derivatives of the function determined. This paper describes the method to prove the Taylor formula,summarized in inequalities, find the limit,the approximate value and the other applications. Keyword:Taylor's formula;Mathematical analysis; derivative.
泰勒公式 泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。 泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式。泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经常使用的近似方法之一，也是函数微分学的一项重要应用内容历史发展 泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容，它将一些复杂的函数逼近近似地表示为简单的多项式函数，泰勒公式这种化繁为简的功能，使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具。 18世纪早期英国牛顿学派最优秀的代表人物之一的数学家泰勒( Brook T aylor)，其主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》，书中陈述了他于1712年7月给他老师梅钦信中提出的著名定理——泰勒定理。1717年,泰勒用泰勒定理求解了数值方程。泰勒公式是从格雷戈里——牛顿差值公式发展而来，它是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑,在已知函数某一点各阶导数的前提下,泰勒公式可以利用这些导数值作为系数构建一个多项式来近似该函数在这一点的邻域中的值。1772年，拉格朗日强调了泰勒公式的重要性，称其为微分学基本定理，但是泰勒定理的证明中并没有考虑级数的收敛性，这个工作直到19世纪20年代，才由柯西完成。泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都
可以展开成幂级数，因此，人们称泰勒为有限差分理论的奠基者。 泰勒公式是数学分析中重要的内容，也是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，泰勒公式集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有独特的优势。利用泰勒公式可以将非线性问题化为线性问题，且具有很高的精确度，因此其在微积分的各个方面都有重要的应用。泰勒公式可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。
§3.3 泰勒公式 常用近似公式 ，将复杂函数用简单的一 次多项式函数近似地表示，这是一个进步。当然这种近似表示式还较粗糙（尤其当 较大时），从下图可看出。 上述近似表达式至少可在下述两个方面进行改进： 1、提高近似程度，其可能的途径是提高多项式的次数。 2、任何一种近似，应告诉它的误差，否则，使用者“ 心中不安”。 将上述两个想法作进一步地数学化： 对复杂函数 ，想找多项式来近似表示它。自然地，我们希望 尽可能多地反映出函数 所具有的性态 —— 如：在某点处的值与导 数值；我们还关心 的形式如何确定； 近似 所产生的误差 。 【问题一】 设 在含的开区间内具有直到阶的导数，能否找出一个关于 的 次多项式 近似 ? e x x x x x ≈+≈1,sin ()充分小 x f x ()p x n ()p x n () f x ()p x n () p x n () f x ()R x f x p x n n ()()() =-f x ()x 0n +1() x x -0n ) ,,1,0()()() 1()()()()(0)(0) (0202010n k x f x p x x a x x a x x a a x p k k n n n n ==-++-+-+=且f x ()
【问题二】 若问题一的解存在，其误差 的表达式是什么? 一、【求解问题一】 问题一的求解就是确定多项式的系数 。 …………… 上述工整且有规律的求系数过程，不难归纳出： R x f x p x n n ()()() =-a a a n 01,,, p x a a x x a x x a x x n n n ()()()()=+-+-++-0102020 ∴=a p x n 00() '=+-+-++--p x a a x x a x x na x x n n n ()()()()1203020123 ∴ ='a p x n 10() ''=??+???-+???-++?-??--p x a a x x a x x n n a x x n n n ()()()()()213243123040202 ∴ ??=''2120a p x n () '''=???+????-+????-++?-?-??--p x a a x x a x x n n n a x x n n n ()()()()()()3214325431234050203 ∴???='''32130a p x n ()
第一章 变量与函数 §1 函数的概念 一 变量 变量、常量、实数性质、区间表示 二 函数 １．定义１ 设,X Y R ?，如果存在对应法则f ，使对x X ?∈，存在唯一的一个数y Y ∈与之对应，则称f 是定义在数集X 上的函数，记作:f X Y →(|x y →).也记作|()x f x →。习惯上称x 自变量， y 为因变量。函数f 在点x 的函数值，记为()f x ，全体函数值的集合称为函数f 的值域，记作()f X . {}()|(),f X y y f x x X ==∈。 ２．注 （1） 函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域。 例：1）()1,,f x x R =∈ {}()1,\0.g x x R =∈（不相同，对应法则相同，定义域不同） 2）()||,,x x x R ?=∈ ().x x R ψ= ∈（相同，对应法则的表达形式不同） 。 （2）函数的记号中的定义域Ｄ可省略不写，而只用对应法则f 来表示一个函数。即“函 数()y f x =”或“函数f ”。 （3）“映射”的观点来看，函数f 本质上是映射，对于a D ∈，()f a 称为映射f 下a 的 象。a 称为()f a 的原象。 3. 函数的表示方法 1 主要方法：解析法（分式法）、列表法和图象法。 2 可用“特殊方法”来表示的函数。 分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示。 例： 1,0sgn 0,01,0x x x x >?? ==??-，则称f 为X 上的严格减函数。
§3.泰勒公式 [教学目的]掌握Taylor 公式，并能应用它解决一些有关的问题。 [教学要求]（1）深刻理解Taylor 定理，掌握Taylor 公式，熟悉两种不同余项的Taylor 公式及其之间的差异； （2）掌握并熟记一些常用初等函数和Taylor 展开公式，并能加以应用。（3）会用带Taylor 型余 项的Taylor 公式进行近似计算并估计误差；会用代Peanlo 余项的Taylor 公式求某些函数的极限。 [教学重点]Taylor 公式 [教学难点]Taylor 定理的证明及应用。 [教学方法]系统讲授法。 [教学程序] 引言 不论在近似计算或理论分析中，我们希望能用一个简单的函数来近似一个比较复杂的函数，这将会带来很大的方便。一般来说，最简单的是多项式，因为多项式是关于变量加、减、乘的运算，但是，怎样从一个函数本身得出我们所需要的多项式呢？ 上一节中，讨论过“微分在近似计算中的应用”从中我们知道，如果函数f 在点0x 可导，则有有限存在公式； 0000()()()()0() f x f x f x x x x x '=+-+-即在0x 附近，用一次多项式1000()()()()p x f x f x x x '=+-逼近函数f(x)时，其误差为00()x x -。 然而，在很大场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为00()x x -，其中n 为多项式次数。为此，有如下的n 次多项式： 0100()()()n n n p x a a x x a x x =+-++- 易见： 00()n a p x =，01()1!n p x a '=，02()2!n p x a ''=，…，()0()! n n n p x a n =（多项式的系数由其各阶导数在0x 的取值唯一确定）。 对于一般的函数，设它在0x 点存在直到n 阶导数，由这些导数构造一个n 次多项式如下： ()00000()()()()()()1!! n n n f x f x T x f x x x x x n '=+-++- 称为函数f 在点0x 处泰勒多项式，()n T x 的各项函数，()0()! k f x k （k ＝1,2,…,n ）称为泰勒系数。问题当用泰勒多项式逼近f(x)时，其误差为0()()0(())n n f x T x x x -=-1、带有皮亚诺余项的泰勒公式 定理1若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()0(())n n f x T x x x =+-，即()000000()()()()()()0(())1!! n n n f x f x f x f x x x x x x x n '=+-++-+-
第十七章 多元函数微分学 4泰勒公式与极值问题 一、高价偏导数 概念1：二元函数z=f(x,y)的二阶偏导数有如下四种情形： (1)??? ??????x z x =22x z ??=f xx (x,y); (2)??? ??????x z y =y x z 2???=f xy (x,y); (3)???? ??????y z x =x y z 2???=f yx (x,y); (4)??? ? ??????y z y =22y z ??=f yy (x,y). 二元函数z=f(x,y)的三阶偏导数有共有八种情形，如： ???? ??????22x z x =33x z ??=3x f (x,y)；???? ??????22x z y =y x z 23???=y x 2f (x,y)；…… 例1：求函数z=e x+2y 的所有二阶偏导数和2 3x y z ???. 解：∵z x =e x+2y ; z y =2e x+2y ; ∴z xx =e x+2y ; z xy =2e x+2y ; z yx =2e x+2y ; z yy =4e x+2y ;23x y z ???=???? ???????x y z x 2=2e x+2y . 例2：求函数z=arctan x y 的所有二阶偏导数. 解：∵z x =22x y 1x y -?? ? ??+=-22y x y +; z y =2x y 1x 1? ?? ??+=22y x x +; ∴z xx =222)y (x 2x y +; z xy =-222222)y (x y 2y x +-+=2222 2)y (x x y +-; z yx =222222)y (x x 2y x +-+=2 222 2) y (x x y +-; z yy =-222)y (x 2x y +.
导数公式: = scc 2 x / 2 (cfgx)'= -cscr (secx)r = secx ?tgx (esc x\ = - esc x ? etgx (a x \ = a x \na (arccosx)'=——/ yjl-x 2 — 2 I n = Jsin" xdx = jcos M xdx 0 (log. x\ = 1 x\na (arcctgx)f = 1 l + x 2 基本积分表： ygxdx = - ln|cos x +C ^ctgxdx = ln|sin x +C jscc xdx = ln|scc 兀 + fgx + C Jese xdx = ln|csc x - etgx + C 1 x =—arctg — +C a a = ±lnl dx cos 2 x dx sin 2 x |sec 2 xdx = tgx + C jese 2 xdx = -etgx + C dx ~2 2 a +x dx 2 7 x -er dx a 2 -x 2 dx \la 2 -x 2 x-a 2ci \x + a\ 1 , ci + x 厂 =——In ---- + C 2a a-x = = arcsin —+ C a jsec x ? tgxdx = sec x + C |cscx-c/gxJx = -esex + C ia x dx = ———C J Inez jshxdx = chx + C ^chxdx = shx + C J 岛 T 777 " ^x 2 +a 2 dx = — y/x 2 + a 2 + — ln(x + y/x 2 +a 2 ) + C 2 _________ ____________________ 2 JVx 2 -a 2d x = ~ J 兀2 _ — In 兀 + — cz 厶 + C JJ/ x = *罷 三角函数的有理式积分： 2 一 + — arcsin — + C 2 a sinx = 2u l + u 2 cosx = 1 -M 2 1 + w 2 U=tg 2 dx = 2du l + w 2 (arctgx)f = 1 l + x 2 /r 2 (arcsin x)f
考研高数：泰勒公式求极限
凯程教育： 凯程考研成立于2005年，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。 凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯； 凯程考研的价值观口号：凯旋归来，前程万里； 信念：让每个学员都有好最好的归宿； 使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构； 激情：永不言弃，乐观向上； 敬业：以专业的态度做非凡的事业； 服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。 如何选择考研辅导班： 在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方
面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。 师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。 对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取30人，翻译硕士接近20人，中传状元王园璐、郑家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、武汉大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程网站。在凯程官方网站的光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。 建校历史：机构成立的历史也是一个参考因素，历史越久，积累的人脉资源更多。例如，凯程教育已经成立10年（2005年），一直以来专注于考研，成功率一直遥遥领先，同学们有兴趣可以联系一下他们在线老师或者电话。 有没有实体学校校区：有些机构比较小，就是一个在写字楼里上课，自习，这种环境是不太好的，一个优秀的机构必须是在教学环境，大学校园这样环境。凯程有自己的学习校区，有吃住学一体化教学环境，独立卫浴、空调、暖气齐全，这也是一个考研机构实力的体现。此外，最好还要看一下他们的营业执照。
§10.4 二元函数的泰勒公式 一.高阶偏导数 二元函数=z f ),(y x 的两个（一阶）偏导函数x z ??， y z ?? 仍是x 与y 的二元函数。若 他们存在关于x 和y 的偏导数，即 x ??（ x z ??）， y ??（ x z ??）， x ??（ y z ??）， y ??（ y z ??）. 称它们是二元函数=z f ),(y x 的二阶偏导（函）数.二阶偏导数至多有22 个。通常将 x ??（x z ??）记为 2 2 x z ??或' 'xx f ),(y x . y ??（ x z ??）记为 y x z ???2 或' 'xy f ),(y x . (混合偏导数) x ??（y z ??）记为 x y x ???2 或' 'yx f ),(y x . (混合偏导数) y ??（y z ??）记为 22 y z ??或' 'yy f ),(y x . 一般地，二元函数=z f ),(y x 的1-n 阶偏导数的偏导数称为二元函数的n 阶偏导数. 二元函数的n 阶偏导数至多有2n 个.二元函数z=f (x,y)的n 阶偏导数的符号与二阶偏导数类似.例如,符号 k k n n y x z ???-或 ) (n y x k k n f -),(y x 表示二元函数=z f ),(y x 的n 阶偏导数，首先对x 求k n -阶偏导数,其次对y 求k 阶偏导数. 二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 类似可定义三元函数、一般n 元函数的高阶偏导数. 例1 求函数332 2 3 3 ++-=xy y x y x z 的二阶偏导数. 解 x z ??=2 3 2 63y xy y x +-， y z ??=xy x y x 2332 23+-. 2 2 x z ??=y xy 663 -.
§4 泰勒公式与极值问题 教学计划：６课时． 教学目的：让学生掌握多元函数高阶偏导数的求法；二元函数的中值定理和泰勒公式；二元函数取极值的必要和充分条件． 教学重点：高阶偏导数、泰勒公式和极值的判定条件． 教学难点：复合函数高阶偏导数的求法；二元函数的泰勒公式． 教学方法：讲授法． 教学步骤： 一 高阶偏导数 由于),(y x f z =的偏导函数),(),,(y x f y x f y x 仍然是自变量x 与y 的函数，如果它们关于x 与y 的偏导数也存在，则说函数f 具有二阶偏导数，二元函数的二阶偏导数有如下四种情形： () ,2222 2222y x y x y x y y y x z +--=???? ??+-??=??? () ,22222222y x y x y x x x x y z +--=???? ??+??=??? () .22 2 22222y x xy y x x y y z +-=???? ??+??=?? □ 注意 从上面两个例子看到，这些函数关于x 和y 的不同顺序的两个二阶偏导数都相等（这 种既有关于x 又有关于y 的高阶偏导数称为混合偏导数），即 .22x y z y x z ???=??? 但这个结论并不对任何函数都成立，例如函数 ()?? ???=+≠++-=.0,0,0,,2222 2222y x y x y x y x y x y x f 它的一阶偏导数为 ()( )() ?? ???=+≠++-+=, 0,0, 0,4,2222 2 2 24 224y x y x y x y y x x y y x f x ()( )() ?? ???=+≠++--=, 0,0, 0,4,2222 2 2 24224y x y x y x y y x x x y x f y 进而求f 在（0，0）处关于x 和y 的两个不同顺序的混合偏导数，得 ()()(),1lim 0,0,0lim 0,000-=??-=?-?=→?→?y y y f y f f y x x y xy ()()()1lim 0,00,lim 0,000=??=?-?=→?→?x x x f x f f x y y x yx ． 由此看到，这里的()y x f ,在原点处的两个二阶混合偏导数与求导顺序有关，那么，在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢？为此，我们按定义先把()()0000,,y x f y x f yx xy 与表示 成极限形式．由于
第3章导数的应用 函数的极值与最值 【教学目的】：1?理解函数的极值的概念； 2.掌握求函数的极值的方法； 3.了解最大值和最小值的定义； 4.掌握求函数的最值的方法； 5.会求简单实际问题中的最值。 【教学重点】： 1.函数极值的第一充分条件，第二充分条件； 2.导数不存在情况下极值的判定； 3.函数最值的求解方法； 4.函数的最值的应用。 【教学难点】： 1.导数不器在情况下极值的判定； 2.区分函数的驻点、拐点、极值点以及最值点； 3.区分极值点与极值，最值点与最值； 4.函数的最值的应用。 【教学时数】：2学时 【教学过程】： 3. 3.1函数的极值 从图3-7可以看出，函数y = /(x)在点勺、心处的函数值儿、儿 比它们近旁各点的函数值都大； 在点河、些、入处的函数值儿、 儿、儿比它们近旁各点的函数值 都小，因此，给出函数极值的如 下定义： 一般地，设函数y = /(x) 在旺 的某邻域内有定义，若对于?邻域内不同于厲的所有x，均有/(x) < /(“),则称/(儿)是函数y = f(x)的一个极大值，心称为极大值点；若对于耳邻域内不同于％的所有x,均 有f(x) > /(x0),则称/g)是函数y = /(x)的一个极小值，?称为极小值点. 函数的极大值与极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点. 注意可导函数的极值点必是它的驻点，但反过来是不成立的，即可导函数的驻点不一定是它的极值点. 极值的第一充分矗件设函数y = /(x)在点心的邻域内可导且广凤)=0,则 (1)如果当x取兀左侧邻近的值时，广(心)>0；当x取心右侧邻近的值时, /V0）＜0，则;为函数y = /（x）的极大值点，/（%）为极大值；
§6.3 泰勒公式 教学章节：第六章 微分中值定理及其应用——§6.3 泰勒公式 教学目标：掌握Taylor 公式,并能应用它解决一些有关的问题. 教学要求：（1）深刻理解Taylor 定理,掌握Taylor 公式,熟悉两种不同余项的Taylor 公式及其 之间的差异；（2）掌握并熟记一些常用初等函数和Taylor 展开公式,并能加以应用.（3）会用带Taylor 型余项的Taylor 公式进行近似计算并估计误差；会用代Peanlo 余项的Taylor 公式求某些函数的极限. 教学重点：Taylor 公式 教学难点：Taylor 定理的证明及应用. 教学方法：系统讲授法. 教学过程： 引 言 不论在近似计算或理论分析中,我们希望能用一个简单的函数来近似一个比较复杂的函数,这将会带来很大的方便.一般来说,最简单的是多项式,因为多项式是关于变量加、减、乘的运算,但是,怎样从一个函数本身得出我们所需要的多项式呢？ 上一节中,讨论过“微分在近似计算中的应用”从中我们知道,如果函数f 在点0x 可导,则有有限存在公式； 0000()()()()0()f x f x f x x x x x '=+-+- 即在0x 附近,用一次多项式1000()()()()p x f x f x x x '=+-逼近函数f(x)时,其误差为00()x x -. 然而,在很大场合,取一次多项式逼近是不够的,往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近,并要求误差为00()x x -,其中n 为多项式次数.为此,有如下的n 次多项式： 0100()()()n n n p x a a x x a x x =+-++- 易见： 00()n a p x =,01()1!n p x a '= ,02()2!n p x a ''=,…,() 0() ! n n n p x a n =（多项式的系数由其各阶导数在0x 的取值唯一确定）. 对于一般的函数,设它在0x 点存在直到n 阶导数,由这些导数构造一个n 次多项式如下：
数学分析公式 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222?????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 2 2)ln(221 cos sin 22 2222 2222222 22222 2 22 2 π π
2010年全国数学微积分-泰勒公式
泰勒公式及其应用 [摘要]文章简要介绍了泰勒公式及其几个常见函数的展开式,针对泰勒公式的应用讨论了九个问 题，即应用泰勒公式求极限，证明不等式，判断级数的敛散性，证明根的唯一存在性,判断函数的极值, 求初等函数的幂级数展开式,进行近似计算,求高阶导数在某些点的数值,求行列式的值. [关键词]泰勒公式；极限；不等式；敛散性；根的唯一存在性；极值;展开式;近似计算;行列式. １引言 泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明. ２预备知识 定义2.1?Skip Record If...?若函数?Skip Record If...?在?Skip Record If...?存在?Skip Record If...?阶导数,则有 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?（1） 这里?Skip Record If...?为佩亚诺型余项,称(1)f在点?Skip Record If...?的泰勒公式. 当?Skip Record If...?=0时,（1）式变成?Skip Record If...?,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.
定义2.2?Skip Record If...?若函数 ?Skip Record If...?在?Skip Record If...?某邻域内为存在直至 ?Skip Record If...?阶的连续导数,则?Skip Record If...? , （2）这里?Skip Record If...?为拉格朗日余项?Skip Record If...?,其中?Skip Record If...?在?Skip Record If...?与?Skip Record If...?之间,称（2）为?Skip Record If...?在?Skip Record If...?的泰勒公式. 当?Skip Record If...?=0时,（2）式变成?Skip Record If...? 称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式. 常见函数的展开式： ?Skip Record If...?. ?Skip Record If...?. ?Skip Record If...?. ?Skip Record If...?. ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?. 定理2.1?Skip Record If...?(介值定理) 设函数?Skip Record If...?在闭区间?Skip Record If...?上连续,且?Skip Record If...?,若?Skip Record If...?为介于?Skip Record If...?与?Skip Record If...?之间的任何实数,则至少存在一点?Sk ip Record If...??Skip Record If...?,使得 ?Skip Record If...?. 3泰勒公式的应用
常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1． d x ax b +?＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ +? ＝ 11 ()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3． d x x ax b +?＝21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +? ＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5． d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6． 2 d () x x ax b +? ＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7． 2 d ()x x ax b +?＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22 d ()x x ax b +?＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9． 2d ()x x ax b +? ＝ 2 11ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10． x C + 11．x ?＝2 2(3215ax b C a - 12．x x ?＝2223 2(15128105a x abx b C a -+ 13． x ? ＝22 (23ax b C a -
14 ． 2x ? ＝2223 2 (34815a x abx b C a -+ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>< 16 ． ? 2a b - 17． d x x ? ＝b ?18． 2d x x ? ＝2a + （三）含有2 2 x a ±的积分 19． 22d x x a +?=1arctan x C a a + 20． 22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21． 22d x x a -?=1ln 2x a C a x a -++ （四）含有2 (0)ax b a +>的积分 22．2d x ax b +? ＝(0) (0) C b C b ?+>+< 23． 2d x x ax b +?＝2 1ln 2ax b C a ++